Cách giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc Modun tự do

Lời nói đầu
Môđun là một trong những cấu trúc đại số cơ bản của đại số hiện đại. Nó đợc
chia làm nhiều loại nh: môđun tự do, môđun chia đợc, môđun nội xạ và môđun xạ
ảnh.
Để hiểu sâu hơn về môđun tự do, tiểu luận này sẽ trình bày cách giải một số bài
tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do.
Nội dung tiểu luận gồm hai phần. Phần đầu của tiểu luận sẽ trình bày kiến thức lí
thuyết về môđun tự do bao gồm các định nghĩa về môđun tự do và cơ sở của môđun
tự do, một số mệnh đề và định lí liên quan đến môđun tự do. Phần hai trình bày cách
giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do.
Vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận khó tránh khỏi sai sót, mong
nhận đợc ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc.
Huế, tháng 02 năm 2009.
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Mục lục
Lời nói đầu 1
1 Lý thuyết về môđun tự do 2
1.1 Định nghĩa môđun tự do và cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Một số mệnh đề và định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Bài tập áp dụng 9
2.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Bài giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Tài liệu tham khảo 17
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &1
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
1 Lý thuyết về môđun tự do
1.1 Định nghĩa môđun tự do và cơ sở
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử R là một vành có đơn vị 1 = 0, M là một nhóm cộng aben.
Nhóm aben M cùng với ánh xạ:
R ì M M
(r, x) rx

đợc gọi là một môđun trái trên vành R ( hay Rmôđun trái) nếu:
(i) r(x + y) = rx + ry, r R, x, y M
(ii) (r + s)x = rx + sx, r, s R, x M
(ii) (rs)x = r(sx), r, s R, x M
(ii) 1.x = x, x M
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử X, Y là hai Rmôđun trái. Một ánh xạ f : X Y là một
R đồng cấu môđun nếu:
(i) f(x + y) = f(x) + f(y), x, y M
(ii) f(rx) = rf(x), r R, x M
Định nghĩa 1.1.3. Cho R là vành, S là tập hợp. Một R-môđun tự do trên S là một
cặp (F, f), trong đó F là R-môđun, f : S F là một ánh xạ sao cho với mỗi ánh
xạ g : S X, X là R-môđun, có duy nhất một đồng cấu R-môđun h : F X thỏa
hf = g.
Định nghĩa 1.1.4. R-môđun M là tự do nếu M là môđun tự do trên một tập nào đó.
Định nghĩa 1.1.5. M là R-môđun , S là tập con của M.
S đợc gọi là hệ sinh của M, nếu x M thì
x =
n

i=1
r
i
s
i
, r
i
R, s
i
S, i = 1, , n
.

S đợc gọi là độc lập tuyến tính, nếu
x =
n

i=1
r
i
s
i
= 0, r
i
R, s
i
S r
i
= 0, i = 1, , n
S đợc gọi là cơ sở của M khi và chỉ khi S độc lập tuyến tính và S là hệ sinh của M.
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &2
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
1.2 Một số mệnh đề và định lí
Định lí 1.1. Nếu (F, f) là môđun tự do trên S thì f : S F là đơn ánh và f(S) sinh ra
F.
Chứng minh:
Chứng minh f : S F là đơn ánh.
Giả sử f không đơn ánh. Khi đó: a, b S, a = b sao cho f(a) = f(b).
Lấy X là môđun có nhiều hơn một phần tử và g : S X là ánh xạ sao cho
g(a) = g(b).
Suy ra có đồng cấu h : F X sao cho hf=g.
Vì hf(a)=hf(b) nên g(a)=g(b) ( mâu thuẫn ).
Vậy f : S F là đơn ánh.

Chứng minh f(S) sinh ra F
Lấy X=<f(S)> là môđun sinh bởi f(S) F . Khi đó với ánh xạ
g : S X
s f(s)
tồn tại h : F X sao cho hf=g
Xét d : X F là đồng cấu bao hàm.
Khi đó: dg = f dhf = f dh = id d là toàn cấu.
Vậy X

=
F hay <f(S)>=F.
Định lí 1.2. Nếu (F, f) và (F', f') là các môđun tự do trên S thì F và F' đẳng cấu với
nhau.
Chứng minh:
Vì F tự do trên S nên h : F F

là đồng cấu sao cho hf=f' (1).
Vì F' cũng tự do trên S nên h

: F

F là đồng cấu sao cho h'f'=f (2).
Từ (1) và (2) suy ra h'hf=f và hh'f'=f'. Do đó: hh'=id và h'h=id.
Vậy h là đẳng cấu hay F

=
F

Định lí 1.3. Với mọi tập S bất kì bao giờ cũng có một R-môđun tự do trên S.
Chứng minh:

Đặt F = { : S R|(s) = 0 hầu khắp}
Dễ dàng kiểm tra đợc F cùng với hai phép toán
+ : F ì F F
(, ) + : S R
s (s) + (s)
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &3
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
. : R ì F F
(r, ) r : S R
s r(s)
làm thành một R môđun.
s S, xét
f
s
: S R
t f
s
(t) =



1 , nếu t = s
0 , nếu t = s
Ta có: f
s
F
Xét
f : S F
s f
s

Ta chứng minh (F,f) là R môđun tự do trên S.
Thật vậy: Với mọi ánh xạ g : S X, X là R môđun.
Lấy F , ta có:
=

sS
(s)f
s
Xét
h() =

sS
(s)g(s)
+ Ta chứng minh h là đồng cấu.
Thật vậy:
h( + ) =

sS
( + )(s)g(s) =

sS
((s)g(s) + (s)g(s)) = h() + h()
h(r) =

sS
(r)(s)g(s) =

sS
r(s)g(s) = r

sS
(s)g(s) = rh()
+Ta chứng minh hf=g
Thật vậy: s S, hf(s) = h(f(s)) = h(f
s
) = g(s). Vậy hf=g
+Ta chứng minh h duy nhất.
Giả sử có đồng cấu h

: F X thỏa h'f=g. Khi đó:
F, =

sS
(s)f
s
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &4
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Ta có:
h

() = h

(

sS
(s)f
s
) =

sS

(s)h

f(s) =

sS
(s)g(s) = h()
Vậy h=h' hay h là duy nhất.
Vậy với mọi tập S bất kì bao giờ cũng có một R môđun tự do trên S.
Định lí 1.4. F là R môđun tự do với cơ sở S khi và chỉ khi
F =

sS
A
s
, A
s

=
R, s S
Chứng minh:
s S, xét ánh xạ:

s
: R Rs
r rs
Rõ ràng là toàn cấu.
Hơn nữa: r R,
s
(r) = rs = 0 rs = 0s r = 0 ( vì S là cơ sở của F).
Suy ra

s
đơn cấu.
Vậy
s
là đẳng cấu.
Đặt: A
s
= Rs.
Vì S là cơ sở của F nên Rs là hệ sinh. Do đó:
F =

sS
Rs =

sS
A
s
Với mỗi t S, xét
x Rt

sS,s=t
Rs
Lúc đó có s
1
, , s
n
S, s
i
= t, i = 1, , n và r, r
1

, , r
n
R sao cho:
x = rt =
n

i=1
r
i
s
i
rt +
n

i=1
r
i
s
i
= 0
Suy ra r = r
1
= = r
n
= 0 ( vì t, s
1
, , s
n
S và S là cơ sở của F ). Do đó: x=0.
Vậy

Rt

sS,s=t
Rs = 0
hay
A
t

sS,s=t
A
s
= 0
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &5
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Vậy
F =

sS
A
s
, A
s

=
R, s S
Ngợc lại, ta có: A
s
=
s
(R) =

s
(R.1) = R
s
(1)
Suy ra:
F =

sS
A
s
=

sS
R
s
(1)
Do đó: {
s
(1)}
sS
là hệ sinh của F và độc lập tuyến tính hay S là cơ sở của F.
Định lí 1.5. Một tập con S của R-môđun X = 0 là một cơ sở của X khi và chỉ khi ánh
xạ bao hàm d : S X đợc mở rộng thành đẳng cấu h : F X, với F là môđun tự
do sinh bởi S.
Chứng minh:
Giả sử F là môđun tự do sinh bởi S. Khi đó h : F X là đồng cấu thỏa hf=d.
() Giả sử S là cơ sở của X. Chứng minh h là đẳng cấu.
Vì h(F ) = h(< f(S) >) =< hf(S) >=< d(S) >=< S >= X nên h toàn cấu.
Lấy F sao cho h() = 0. Lúc đó:
=

sS
(s)f
s
với
f
s
: S R
t f
s
(t) =



1 , nếu t = s
0 , nếu t = s
và
0 = h() = h(

sS
(s)f
s
) =

sS
(s)hf(s) =

sS
(s)d(s) =

sS
(s)s
Suy ra (s) = 0, s S hay = 0 hay là đơn cấu.
Vậy h là đẳng cấu.
() Giả sử h đẳng cấu. Chứng minh S là cơ sở của X.
* Chứng minh S độc lập tuyến tính.
Xét
n

i=1
r
i
s
i
= 0, r
i
R, s
i
S
Ta có:
0 =
n

i=1
r
i
s
i
=
n

i=1
r
i
d(s
i
) =
n

i=1
r
i
hf(s
i
) = h(
n

i=1
r
i
f
s
i
)
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &6
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Hơn nữa h là đẳng cấu nên:
n

i=1

r
i
f
s
i
= 0
Suy ra r
i
= 0, i = 1, , n. Vậy S độc lập tuyến tính.
* Chứng minh S là hệ sinh của X.
x X, F : h() = x ( do h đẳng cấu ), với
=

sS
(s)f
s
Ta có:
x = h() = h(

sS
(s)f
s
) =

sS
(s)hf(s) =

sS
(s)d(s) =

sS
(s)s
Vì (s) = 0 hầu khắp nên s
1
, s
2
, , s
n
S sao cho:
(t) =



(s
i
) , nếu t = s
i
{s
1
, , s
n
}
0 , nếu t {s
1
, , s
n
}
Suy ra
x =
n

i=1
(s
i
)s
i
, (s
i
) R, s
i
S
Do đó: S là hệ sinh của X.
Vậy S là cơ sở của X.
Hệ quả: Môđun M là môđun tự do khi và chỉ khi M có cơ sở.
Định lí 1.6. Mọi K-không gian vectơ V đều là K-môđun tự do.
Chứng minh:
Giả sử V là K-không gian vectơ. Khi đó:
Nếu V=O thì V là K-môđun tự do sinh bởi O.
Nếu V = O thì gọi M là tập tất cả các bộ phận độc lập tuyến tính của V.
Rõ ràng M = và M sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm.
Lấy N là tập con sắp thứ tự tuyến tính của M.
Đặt
W =

W
i
N
W
i
Lấy w

1
, , w
n
W . Suy ra w
i
W
i
nào đó, và tồn tại W
j
sao cho w
1
, , w
n
W
j
.
Do đó w
1
, , w
n
độc lập tuyến tính. Vậy W độc lập tuyến tính và W là chặn trên
của N trong M.
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &7
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Suy ra M có phần tử cực đại ( theo bổ đề Zorn ). Gọi C là phần tử cực đại của M.
Vì C M nên C độc lập tuyến tính.
x V
+Nếu x=0 thì x < C >
+Nếu x = 0 thì C {x} phụ thuộc tuyến tính ( vì C cực đại ).
Suy ra r

0
, r
1
, , r
n
R không bằng 0 tất cả sao cho:
r
0
x + r
1
x
1
+ + r
n
x
n
= 0, x
1
, , x
n
C
Do đó: r
0
= 0 ( vì nếu r
0
= 0 thì mâu thuẫn với x
1
, , x
n
độc lập tuyến tính )

Suy ra x = r
1
0
(r
1
x
1
+ + r
n
x
n
) < C >. Do đó: C là hệ sinh của V.
Vậy C là cơ sở của V nên V là môđun tự do.
Mệnh đề 1.2.1. Tổng trực tiếp của các môđun tự do là môđun tự do.
Mệnh đề 1.2.2. Mọi R-môđun đều là ảnh toàn cấu của một R-môđun tự do.
Chứng minh:
Giả sử M là R-môđun. Khi đó lấy tập con S của M sao cho M=<S>
Gọi (F,f) là R-môđun tự do trên S, với f : S F. Lúc đó F=<f(S)> và với ánh xạ
bao hàm d : S M, h : F M là đồng cấu sao cho hf=d.
Ta có: h(F ) = h(< f(S) >) =< hf(S) >=< d(S) >=< S >= M
Suy ra h là toàn cấu
Hệ quả: Mọi R-môđun M đều đẳng cấu với môđun thơng của một R-môđun tự
do.
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &8
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
2 Bài tập áp dụng
2.1 Đề bài
Bài 1: Cho M là một Rmôđun hữu hạn sinh. Chứng minh rằng nếu M là một
Rmôđun tự do với S là cơ sở của M thì S hữu hạn.
Bài 2: Cho M là một Rmôđun tự do và có một cơ sở hữu hạn. Chứng minh rằng

mọi cơ sở của M cũng hữu hạn và có số phần tử bằng nhau.
Bài 3: Cho A là môđun con của Rmôđun M. Chứng minh rằng nếu Rmôđun
thơng M/A là tự do thì A là hạng tử trực tiếp của M.
Bài 4: Chứng minh rằng mọi Rmôđun M đều có thể đặt vào một dãy khớp các đồng
cấu Rmôđun.
F
n
f
n
F
n1
f
n1
F
1
f
1
F
0
f
0
M O
trong đó mọi F
i
đều là Rmôđun tự do.
Bài 5: Cho R là miền nguyên, M là Rmôđun. Phần tử x M đợc gọi là xoắn nếu
tồn tại R{0} sao cho x = 0. Đặt T (M) là tập hợp tất cả các phần tử xoắn của
M. Nếu T (M) = 0 thì ta nói M là môđun không xoắn. Chứng minh rằng nếu M là
Rmôđun tự do, thì M là Rmôđun không xoắn.
Nếu M là Rmôđun không xoắn trên miền nguyên R thì có thể kết luận M là Rmôđun

tự do hay không?
Bài 6: Cho R là một miền nguyên chính, M là một Rmôđun tự do với S là cơ sở.
Giả sử rằng S' là một cơ sở thứ hai của Rmôđun M. Chứng minh rằng S, S' có cùng
số phần tử.
Bài 7: Cho R là một miền nguyên chính, M là một Rmôđun tự do. Chứng minh
rằng mọi Rmôđun con của M đều là Rmôđun tự do.
Bài 8: Cho R là một miền nguyên chính, M là một Rmôđun hữu hạn sinh. Phần tử
x M đợc gọi là xoắn nếu tồn tại R\0 sao cho x = 0. Đặt T (M) là tập tất cả
các phần tử xoắn của M.
i) Chứng minh rằng T(M) là môđun con của M.
ii) Chứng minh rằng M/T (M) là môđun tự do.
Bài 9: Cho n N, n 2. Chứng minh rằng Z
n
là Z
n
môđun tự do, nhng Z
n
không
phải là Z môđun tự do.
Bài 10: Cho m, n N, n 2, m 2 và (m,n)=1. Chứng minh rằng Z
m
không phải là
Z
mn
-môđun tự do.
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &9
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
2.2 Bài giải
Bài 1: Vì M là một Rmôđun hữu hạn sinh nên ta gọi {m
1

, m
2
, , m
n
} là một tập
sinh của M.
Vì S là cơ sở của M nên
M =

sS
Rs
Khi đó, với mỗi i {1, 2, , n}, tồn tại tập hữu hạn F
i
S sao cho
m
i


sF
i
Rs
Đặt
F =
n

i=1
F
i
Khi đó: F hữu hạn, F S và i {1, 2, , n}, ta có:
m

i


sF
Rs
Do đó:
M

sF
Rs
hay
M =

sF
Rs
Nếu F S thì s

S\F , do đó
s

M =

sF
Rs
Suy ra
s

=

sF

rs, r R
Điều này mâu thuẫn với S là cơ sở của M. Vậy S=F, hay S hữu hạn.
Bài 2: Ta sẽ chứng minh bài toán này trong trờng hợp R là vành giao hoán.
Giả sử R là vành giao hoán và M là một Rmôđun tự do với cơ sở S = {x
1
, x
2
, , x
n
}.
Gọi S' là một cơ sở khác của M. Ta chứng minh S' hữu hạn và có n phần tử.
Vì S là cơ sở của M nên
M =
n

i=1
Rx
i
Do R giao hoán nên tồn tại một iđêan cực đại I của R. Đặt K = R/
I
, ta có K là
một trờng.
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &10
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Khi đó M/
IM
là K-môđun, hay M/
IM
là một K-không gian vectơ.
Ta lại có:

M/
IM
=
n

i=1
Rx
i
/
IM

=
n

i=1
Rx
i
/
Ix
i

=
n

i=1
Kx
i
(1)
Tơng tự vì S' là cơ sở của M nên
M/

IM

=

sS

Ks(2)
Từ (1) và (2) suy ra S' hữu hạn và có n phần tử.
Bài 3: Gọi S = {y
i
}
iI
= {y
i
+ A}
iI
là cơ sở của M/A.
i I, xét x
i
y
i
.
Đặt B =< {x
i
}
iI
>.
Ta sẽ chứng minh M = A

B

Thật vậy:
x A B x B, do đó:
x =

iI
r
i
x
i
, r
i
R, i I
Vì x A nên x = 0.
x = 0

iI
r
i
x
i
= 0

iI
r
i
y
i
= 0
r
i

= 0, i I (vì {y
i
}
iI
là cơ sở của M/A).
Do đó x=0 .Vậy A B = 0.
x M.
Nếu x A thì x=x+0 với x A, 0 B.
Nếu x A thì x M\A. Lúc đó:
x =

iI
r
i
y
i
=

iI
r
i
x
i
x

iI
r
i
x
i

A
Đặt
y = x

iI
r
i
x
i
Ta có:
x = y +

iI
r
i
x
i
, y A,

iI
r
i
x
i
B
Vậy M=A+B.
Từ đó ta suy ra M = A

B. Vậy A là hạng tử trực tiếp của M.
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &11

Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Bài 4: Giả sử M là một Rmôđun. Khi đó M là ảnh đồng cấu của một Rmôđun tự
do F
0
nào đó, nghĩa là tồn tại R toàn cấu f
0
: F
0
M. Đặt K
0
= Kerf
0
, ta có dãy
khớp sau:
K
0
i
0
F
0
f
0
M O
với i
0
là phép nhúng chính tắc.
Tơng tự, vì K
0
là Rmôđun nên K
0

là ảnh đồng cấu của một Rmôđun tự do
F
1
nào đó, nghĩa là tồn tại R toàn cấu g
0
: F
1
K
0
. Đặt f
1
= i
0
g
0
, K
1
= Kerf
1
, ta có
dãy khớp sau:
K
1
i
1
F
1
f
1
F

0
f
0
M O
với i
1
là phép nhúng chính tắc.
Tiếp tục quá trình trên ta sẽ thu đợc một dãy khớp các đồng cấu Rmôđun.
F
n
f
n
F
n1
f
n1
F
1
f
1
F
0
f
0
M O
trong đó mọi F
i
đều là Rmôđun tự do.
Bài 5: Gọi S là cơ sở của M.
Xét x M là phần tử xoắn. Khi đó: R{0} sao cho x = 0.

Vì x M nên
x =
n

i=1
r
i
s
i
, r
i
R, s
i
S, i = 1, , n
Do đó:
x = 0
n

i=1
r
i
s
i
= 0
n

i=1
r
i
s

i
= 0 r
i
= 0, i = 1, , n
( vì S là cơ sở) r
i
= 0, i = 1, , n( vì R là miền nguyên).
Suy ra x=0. Vậy M là Rmôđun không xoắn.
Nếu M là Rmôđun không xoắn trên miền nguyên R thì M cha chắclà Rmôđun
tự do. Thật vậy:
Ta lấy ví dụ: Xét Z môđun Q.
Rõ ràng Q là Z môđun không xoắn. Vì nếu x Q, Z{0} : x = 0 thì x=0.
Ta chứng minh Q không phải là Z môđun tự do.
Giả sử Q là Z môđun tự do. Khi đó: gọi S là cơ sở của Q
Vì Q là Z môđun không xoắn nên x Q\{0}, Z\{0} sao cho x = 0.
Hơn nữa: x Q nên
x =
n

i=1
r
i
s
i
, r
i
Z, s
i
Q, i = 1, , n
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &12

Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Do đó:
x = 0 = 0
n

i=1
r
i
s
i
= 0 r
i
= 0, i = 1, , n
( vì S là cơ sở ) r
i
= 0, i = 1, , n ( vì Z là miền nguyên ).
Suy ra x=0 ( mâu thuẫn với x = 0 ). Vậy Q không phải là Z môđun tự do.
Bài 6: Vì R là miền nguyên nên R là vành giao hoán, do đó R có chứa một iđêan cực
đại I. Đặt K = R/
I
, ta có K là một trờng.
Gọi S, S' là các cơ sở của M. Khi đó M/
IM
là K-môđun, hay M/
IM
là một K-không
gian vectơ.
Ta lại có:
M/
IM

=

xS
Rx/
IM

=

xS
Rx/
Ix

=

xS
Kx(1)
Tơng tự vì S' là cơ sở của M nên
M/
IM
=

yS

Ry/
IM

=

yS

Ry/
Iy

=

yS

Ky(2)
Từ (1) và (2) suy ra S và S' có cùng số phần tử.
Bài 7: Vì M là Rmôđun tự do nên gọi I là cơ sở của M. Khi đó ta có thể đồng nhất
M =

iI
Ri
với Ri = R.
Gọi {e
i
|i I} là một cơ sở chính tắc của M và F là môđun con của M.
Ta sắp I thành tập sắp thứ tự tốt và gọi A
i
là môđun con của M sinh bởi tập
{e
j
|j < i} , đặt F
i
= A
i

F .
Xét phép chiếu:

p
i
:

iI
Ri R
(x
i
)
iI
x
i
Khi đó p
i
(F
i
) là iđêan của R.
Vì R là iđêan chính nên p
i
(F
i
) = a
i
R. Khi đó có b
i
F
i
sao cho p
i
(b

i
) = a
i
. Nếu
a
i
= 0 thì ta chọn b
i
= 0 và ta đợc họ {b
i
|i I}.
* Ta chứng minh F
i
sinh bởi họ {b
j
|j i} bằng phơng pháp quy nạp.
Thật vậy: Giả sử F
k
sinh bởi họ {b
j
|j k} và điều này xảy ra với mọi k < i. Lấy
phần tử tùy ý x F
i
. Khi đó p
i
(x) = a
i
r và do đó:
p
i

(x b
i
r) = p
i
(x) p
i
(b
i
r) = a
i
r a
i
r = 0
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &13
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Suy ra x b
i
r F
k
, với k < i hay x b
i
r F
k
biểu thị tuyến tính qua các b
j
, j k.
Vậy x biểu thị tuyến tính qua họ {b
j
, j i}. Điều này chứng tỏ F
i

sinh bởi họ
{b
j
, j i}.
* Ta chứng minh F sinh bởi họ {b
j
, j I} .
Thật vậy: Lấy phần tử tùy ý x F , khi đó: x = e
i
1
r
1
+ + e
i
m
r
m
, với i
1
< < i
m
Do đó: x A
i
m
nên x F
i
m
. Vậy x biểu thị tuyến tính qua họ {b
j
, j i

m
}.
* Ta chứng minh hệ {b
j
|b
j
= 0, j I} độc lập tuyến tính.
Thật vậy: Giả sử b
i
1
r
1
+ + b
i
m
r
m
= 0, r
m
= 0, với i
1
< < i
m
. Khi đó:
p
i
m
(
m

j=1
b
i
j
r
j
) = a
i
m
r
m
= 0
Vì R là miền nguyên nên r
m
= 0 hay a
i
m
= 0. Điều này vô lí.
Vậy hệ {b
j
|b
j
= 0, j I} độc lập tuyến tính.
Nh vậy {b
j
|b
j
= 0, j I} là cơ sở của F. Suy ra F là R môđun tự do.
Bài 8:
i) Ta có 1

R
R, 0 M : 1
R
.0 = 0. Do đó: 0 T (M). Vậy T (M) = .
x, y T (M), r, s R,
1
,
2
R\{0} :
1
x = 0,
2
y = 0
Ta có:
1

2
(rx + sy) = r
2
(
1
x) + s
1
(
2
y) = 0.
Vì R là miền nguyên nên
1

2

= 0. Do đó: rx + sy T(M).
Vậy T (M) là môđun con của M.
Bài 9: Rõ ràng Z
n
là Z
n
môđun tự do vì Z
n
có cơ sở S = {1}
Ta sẽ chứng minh Z
n
không phải là Z môđun tự do.
Thật vậy: Giả sử Z
n
có cơ sở là S hay Z
n
=< S >. Khi đó:
x Z
n
, x =
k

i=1
r
i
a
i
với r
i
Z, a

i
S.
Do đó:
nx =
k

i=1
nr
i
a
i
Vì S là cơ sở nên
k

i=1
nr
i
a
i
= 0 nr
i
= 0, i = 1 k
Suy ra r
i
= 0, i = 1 k. Vậy x=0 (vô lí).
Vậy Z
n
không phải là Z môđun tự do.
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &14
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17

Bài 10: Giả sử Z
m
là Z
mn
-môđun tự do.
Khi đó gọi S là cơ sở của Z
m
, ta có: Z
m
=< S >.
x Z
m
, ta có:
x =
k

i=1
r
i
a
i
với r
i
Z
mn
, a
i
S
Suy ra
mx =

k

i=1
mr
i
a
i
Vì S là cơ sở nên
k

i=1
mr
i
a
i
= 0 mr
i
= 0, i = 1 k
Suy ra r
i
chia hết cho n, i = 1 k ( vì (m,n)=1 )
Vậy x chia hết cho n ( vô lí )
Vậy Z
m
không phải là Z
mn
-môđun tự do.
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &15
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Kết luận

Tóm lại, tiểu luận này đã trình bày những kiến thức cơ bản về môđun tự do, đặc
biệt là đã giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhng vì kiến thức và thời gian còn hạn chế nên tôi
vẫn cha tìm ra thêm đợc nhiều các bài tập thuộc loại này. Nếu sau này có thời gian
tôi sẽ cố gắng tìm đợc nhiều bài tập loại này để giải và trên cơ sở đó sẽ thử tập dợt
ra thêm một số bài tập khác. Hy vọng tài liệu nhỏ này sẽ có ích cho những độc giả
muốn tìm hiểu về cấu trúc môđun tự do.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của TS Phan Văn Thiện,
xin cám ơn các tác giả của các quyển sách mà tôi đã tham khảo đã giúp tôi hoàn thành
tiểu luận này.
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &16
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Tài Liệu Tham Khảo
[1] Giáo trình cơ sở đại số hiện đại, NXBGD, 2001. Nguyễn Xuân Tuyến - Lê Văn
Thuyết
[2] Đại số (giáo trình sau đại học), Nhà xuất bản giáo dục (1985). Ngô Thúc Lanh
[3] Đại số trừu tợng - Tập 1, NXBGD (2005). Nguyễn Xuân Tuyến - Lê Văn Thuyết
[4] Theory of Categories, NEWYORK, Copyright 1965. BARRY MITCHELL
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &17