Tài liệu Tổ hợp nâng cao, cho các bạn học sinh giỏi doc

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HP

1.Có 6 bài toán Đại số , 5bài hình học và 4 bài lượng giác. Từ các bài toán trên có bao
nhiêu cách tạo một đề kiểm tra gồm 3bài toán :1 bài Đại số ,1 bài Hình học ,1 bài
lượng giác .
ĐS : ( cách )
111
654
.. 120CCC=

2.a)Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau ?
b)Có bao nhiêu số tự nhiên có 5chữ số và số đó là số chẵn ?
c)Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi 1 khác nhau và số đó là số là số lẻ ?
Giải:
a) Gọi số tự nhiên cần tìm là:
12345
aaaaa

Chọn ( khác 0 ) có ( cách )
1
a
1
9
9C =
Chọn ( khác ) có ( cách )
2
a
1
a
1

9
9C =
Chọn ( khác ) có ( cách )
3
a
2
a
1
8
8C =
Chọn ( khác ) có ( cách )
4
a
3
a
1
7
7C =
Chọn ( khác ) có ( cách )
5
a
4
a
1
6
6C =
Vậy có :
9.9.8.7.6
( số )
27216=

b) Gọi số tự nhiên cần tìm là:
12345
aaaaa
3
1000=
45000=

Chọn ( khác 0 ) có ( cách )
1
a
1
9
9C =
Chọn ( chẵn: 0,2,4,6,8 ) có 5 ( cách )
5
a
Chọn co ù
10
( cách )
234
,,aaa
Vậy có:
9.5.1000
( số )
c) Gọi số tự nhiên cần tìm là:
12345
aaa
1
a
1

9
9=
2
a
1
a
1
9
9C =
3
a
2
a
1
8
8C =
4
a
3
a
5
a
aa

Chọn ( khác 0 ) có
C
( cách )
Chọn ( khác ) có ( cách )
Chọn ( khác ) có ( cách )
Chọn ( khác ) có ( cách )

1
7
7C =
Chọn ( lẻ: 1,3,5,7,9) có 5 ( cách )
Vậy có:
9.9.8.7.5
( số ).
22680=

3. Có 6 loại tem thư và 7 loại bì thư . Cần chọn ra 3 tem và 3 bì thư (dán trên mỗi bì
thư 1 tem thư) .Hỏi có bao nhiêu cách ?
Giải:
Chọn 3 tem thư :
3
6
C
Chọn 3 bì thư :
3
7
C
Dán 3 tem thư lên 3 bì thư ta có 3! Cách .

23
15 25
. 241500CC =
14
15 25
. 189750CC =
5
25

53130C =
32
25 15
. 241500=
14
25 15
. 34125=
23
25 15
. 136500CC=
32
25 15
. 241500CC=
14
15 25
. 189750CC =
Vậy số cách chọn là :3!. . = 4200 ( cách )
3
6
C
3
7
C

4. Có một n giác lồi .
a)Tìm số đường chéo của đa giác.
b) Tìm số giao điểm của các đường chéo đó, biết rằøng các đường chéo cắt nhau từng
đôi một và không có đường chéo nào đồng qui.
ĐS:a)
2

n
Cn−
b) Cứ 4 đỉnh cho ta 2 đường chéo và 1 điểm chéo.Vậy có giao điểm chéo
4
n
C

5. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ . Giáo viên chủ nhiệm muốn
chọn 5 học sinh lập thành một đoàn đại biểu để tham gia tổ chức lễ khai giảng . Hỏi
có bao nhiêu cách:
a) Chọn ra 5 học sinh, trong đó không quá 3 nữ.
b) Chọn ra 5 học sinh , trong đó có 3 nam 2 nữ .
c) Chọn ra 5 học sinh, trong đó có ít nhất 1nam .
d) Chọn ra 5 học sinh , trong đó anh A và chò B không thể cùng tham gia cùng đoàn
đại biểu.
e) Chọn ra 5 học sinh , trong đó anh X và chò Y chỉ có thể hoăïc cùng tham gia đoàn
đại biểu họăc không không tham gia.
Giải:
a)TH1: có 3 nữ : ( cách )
32
15 25
. 136500CC =
TH2: có 2 nữ : ( cách )
TH3: có 1 nữ : ( cách )
TH4: không có nữ : ( cách )
Vậy có: 136500+241500+189750+53130=620880( cách )
b)
CC
( cách )
c)TH1:có 1 nam:

CC
( cách )
TH2:có 2 nam: ( cách )
TH3:có 3 nam: ( cách )
TH4:có 4 nam: ( cách )
TH5:có 5 nam: ( cách )
5
25
53130C =
Vậy có: 34125+136500+241500+189750+53130=655005( cách )
d) ( cách )
5
38
501942C =
e)TH1:chọn 5 người có cả X và Y:
Chọn X và Y:có 1 cách
Chọn 3 người còn lại: ( cách )
3
38
8436C =
Vậy có 8436 ( cách )
TH2: chọn 5 người không có cả X và Y:
5
38
501942C =

Vậy có: 8436+501942=510378 ( cách )

6. Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu Cháu ngoan Bác Hồ , trong đó 4
cặp anh em sinh đôi . Cần chọn 1 nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự Đại

hội cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp sinh đôi nào . Hỏi có bao
nhiêu cách chọn ?
ĐS: ( cách )
3
42
11480C =

7. a)Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào 7 ô trống . Hỏi
có bao nhiêu cách ?
b)Có bao nhiêu cách để 3 bi đỏ cạnh nhau và 3 bi xanh cạnh nhau ?
Giải :
a)Sắp 3 bi đỏ khác nhau vào 7 chỗ:
3
7
A

Sắp bi xanh vào 4 ô :
3
4
C
Vậy có: ( cách )
33
47
.84CA= 0
3
7
4
8
b) Sắp vò trí các ô theo 3 màu (coi ô trống là 1 màu ) : 3! Cách
Sắp 3 bi đỏ vào chỗ màu đỏ: 3! Cách

Sắp 3 bi xanh : 1 cách
Vậy có :
3!
( cách )
3!1 = 36

8. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó mặt 2 chữ số 1; 3 chữ số 5 và các
chữ số khác phải có mặt 1 lần .
Giải :
_ Sắp 2 chữ số 1 :
2
9
C
Sắp 3 chữ số 5 :
C

A

Sắp 4 chữ số còn lại :
Vậy có : ( cách )
432
879
. . 2116800ACC =
2
8
3
6
_ Số 0 ở đầu :
Sắp 2 chữ số 1:
C

Sắp 3 chữ số 5 :
C

Sắp 3 chữ số còn lại :
3
7
A

Vậy có : ( cách )
233
867
. . 117600CCA=
Vậy các số thoả đề : ( số )
2116800 117600 1999200−=

9.Có 4bi đỏ, 7 bi xanh , 8vàng = 19 bi.
Chọn 6 bi đủ 3 màu .
Giải:
Chọn 6 bi từ 19 bi ta có :
6
19
C

2
Chọn 6 bi chỉ có xanh + vàng :
6
15
C
Chọn 6 bi chỉ có đỏ + vàng :

6
12
C
Chọn 6 bi chỉ có đỏ + xanh :
6
11
C
Vây số cách chọn 6 bi đủ 3 màu :
666666
19 15 12 11 7 8
20776CCCCCC−−+++=
(vì ta trừ 2 lần số bi xanh và số bi vàng )

10.Cho 2 đường thẳng song song và .Trên lấy 17 điểm phân biệt, trên d lấy
20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 trong số 37 điểm đã chọn trên
và ?
1
d
2
d
1
d
1
d
2
d
Giải:
TH1: Lấy 1 điểm trên và 2 điểm trên , có
1
d

2
d
12
17 20
.CC
TH2: Lấy 2 điểm trên và 1 điểm trên , có
1
d
2
d
21
17 20
.CC
Vậy có : ( cách )
12 21
17 20 17 20
. . 5950CC CC+=