TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT VÀNH VÀ MÔ ĐUN ĐỀ TÀI LINH HÓA TỬ

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
——————– * ———————
TIỂU LUẬN
LÝ THUYẾT VÀNH VÀ MÔ ĐUN
Đề tài:
LINH HÓA TỬ
Giảng viên hướng dẫn : GS.TS. Lê Văn Thuyết
Học viên thực hiện : Hà Văn Quý
Lớp Cao học Toán K20
HUẾ, 11-2012
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy giáo, Giáo sư, Tiến sĩ Lê Văn
Thuyết đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành tốt tiểu luận này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trong khoa Toán,
trường Đại học Sư phạm Huế đã tận tâm truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt
quá trình học tập tại khoa.
Tôi cũng xin cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của quý thầy cô giáo và
bạn bè trong suốt thời gian tôi làm tiểu luận.
Huế, ngày 20 tháng 11 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Hà Văn Quý.
i
MỤC LỤC
Lời cảm ơn . . . . . i
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Chương 1. Một số kiến thức về Môđun . . . . . . . . 1
1.1. Vành và Iđêan . . . . . 1
1.2. Môđun . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Môđun con và môđun thương . . . 3

1.4. Song môđun . . . . . . . . . . . 4
1.5. Đồng cấu môđun . . . . . . . . . . 5
Chương 2. Lý thuyết Linh hóa tử . . 6
2.1. Linh hóa tử. . . . . . . . 6
2.2. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . 13
ii
MỞ ĐẦU
Chúng ta đều biết rằng các cấu trúc đại số cơ bản như nhóm, vành là sự khái
quát hóa từ các tập hợp số với hai phép toán (+) và (×) thông thường. Môđun là
khái niệm mở rộng của khái niệm nhóm aben và khái niệm không gian vectơ. Một
cấu trúc R-môđun M được xây dựng từ một vành R. Vấn đề đặt ra là tìm hiểu
các tính chất của một môđun M thông qua vành R. Một trong những công cụ hỗ
trợ khảo sát mối liên hệ giữa đó là linh hóa tử.
Để có tính hệ thống trong trình bày, tiểu luận sẽ nhắc lại hết sức ngắn gọn khái
niệm, tính chất cần thiết về vành, môđun trong Chương 1. Chương 2 là nội dung
chính của tiểu luận, giới thiệu khá chi tiết về linh hóa tử và cuối cùng là giải quyết
ba bài toán liên quan đến vành nửa đơn.
Để hoàn thành được tiểu luận này, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Giáo
sư, Tiến sĩ Lê Văn Thuyết đã giảng dạy và tạo điều kiện. Mặc dù đã có nhiều cố
gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình bày khó tránh khỏi các sai sót,
mong quý thầy cô giáo và các bạn chỉ bày thêm để cuốn tiểu luận được hoàn thiện
hơn.
Huế, ngày 20 tháng 11 năm 2012
Học viên thực hiện
Hà Văn Quý.
iii
CHƯƠNG 1
Một số kiến thức về Môđun

Phần này trình bày hết sức ngắn gọn một số khái niệm và tính chất cần thiết
để chuẩn bị cho Chương 2. Các khái niệm vành, iđêan, môđun, song môđun xem
như đã biết và được chứng minh đầy đủ trong [1], [2]. Những chứng minh còn lại
(mà trong [2] chưa trình bày) là của bản thân học viên, mong nhận được sự góp ý
của Thầy và người đọc.
1.1. Vành và Iđêan
Định nghĩa 1.1 ([1], tr. 78). Một tập hợp R được gọi là một vành nếu trên R có
hai phép toán hai ngôi, một gọi là phép cộng và một gọi là phép nhân, sao cho các
điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Tập hợp R là một nhóm aben đối với phép cộng.
(ii) Phép nhân trên R là kết hợp.
(iii) Luật phân phối: Phép nhân là phân phối đối với phép cộng. Tức, với các
phần tử x, y, z ∈ R tùy ý, ta có
(x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy.
Vành R đối với phép cộng có phần tử không, ký hiệu 0; đối với phép nhân nếu
có phần tử đơn vị gọi là vành có đơn vị.
Trong toàn bộ tiểu luận này, nếu không nói gì thêm, ta quy ước vành R luôn
có đơn vị khác không và được ký hiệu là 1.
Định nghĩa 1.2. (i) Một tập hợp A của một vành R được gọi là một vành con
của R, nếu A lập thành một nhóm con aben với phép cộng của R và đóng
đối với phép nhân, tức ab ∈ A, ∀a, b ∈ A.
1
(ii) Một tập hợp con I của một vành R được gọi là một iđêan trái (hoặc iđêan
phải) của R, nếu I là một vành con của R và thỏa mãn tính chất RI ⊂ I(hoặc
IR ⊂ I).
(iii) Nếu I vừa là iđêan phải vừa là iđêan trái của R thì được gọi là một iđêan
của R.
1.2. Môđun
Định nghĩa 1.3 ([2], tr. 4). Cho R là một vành có đơn vị khác không. Một
R-môđun phải M là:

1) Một nhóm cộng aben M với
2) Ánh xạ M × R −→ M, (m, r) −→ mr được gọi là phép nhân môđun, thỏa
các điều kiện sau:
i) Quy tắc kết hợp: (mr
1
)r
2
= m(r
1
r
2
)
ii) Quy tắc phân phối: (m
1
+ m
2
)r = m
1
r + m
2
r,
m(r
1
+ r
2
) = mr
1
+ mr
2
iii) Quy tắc unita: m1 = m

trong đó m, m
1
, m
2
là các phần tử tùy ý của M, r
1
, r
2
∈ R.
Lúc đó, R được gọi là vành cơ sở. Nếu M là một R-môđun phải ta ký hiệu
M = M
R
. Tương tự ta cũng định nghĩa khái niệm R-môđun trái.
Nhận xét 1. Từ định nghĩa ta có các kết quả sau:
0
M
r = 0
M
, m0
R
= 0
M
, −(mr) = (−m)r = m(−r)
với mọi m ∈ M, r ∈ R.
Định nghĩa 1.4. Một R-môđun trái M là đơn nếu nó không có một môđun con
không tầm thường nào.
Một R-môđun trái M là nửa đơn nếu M là một tổng trực tiếp của các môđun
đơn.
Một vành R là nửa đơn trái nếu R là một tổng trực tiếp của các iđêan trái cực
tiểu.([4], VIII.3, tr. 556)

2
1.3. Môđun con và môđun thương
Định nghĩa 1.5 (Môđun con). Cho M là một R-môđun phải. Tập con A của
M được gọi là môđun con của M, ký hiệu A ≤ M hay A
R
≤ M
R
, nếu A là một
R-môđun phải với phép toán cộng và nhân môđun hạn chế trên A.
Chú ý rằng ký hiệu A ≤ M để phân biệt với ký hiệu có tính tập hợp thông
thường A ⊂ M. Ngoài ta nếu ta viết
A ≤
=
M có nghĩa A là môđun con thực sự của M.
A  M có nghĩa A là không phải là môđun con của M.
Sau đây là dấu hiệu nhận biết một môđun con:
Định lý 1.3.1. Giả sử M là một R-môđun phải. Nếu A là một tập con khác ∅ của
M, thì các khẳng định sau là tương đương:
i) A ≤ M,
ii) A là nhóm con của nhóm cộng của môđun M và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có
ar ∈ A,
iii) Với mọi a
1
, a
2
∈ A ta có a
1
+ a
2
∈ A, và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A.

Chứng minh. i) ⇒ ii). Giả sử A = ∅ và là môđun con của M. Khi đó, theo Định
nghĩa 1.5, A là một R-môđun. Theo Định nghĩa 1.3, A cùng với phép toán cộng
trong M là một nhóm cộng aben, do đó A là một nhóm con của nhóm cộng của
môđun M. Cũng theo Định nghĩa 1.5, phép nhân môđun M ×R −→ M, (m, r) −→
mr, hạn chế trên A nên với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A.
ii) ⇒ iii). Do tính chất của nhóm con của nhóm cộng nên với mọi a
1
, a
2
∈ A
ta có ngay a
1
+ a
2
∈ A.
iii) ⇒ i). Lưu ý rằng, vành R trong tiểu luận này luôn được giả thiết có đơn
vị khác không. Do đó, từ A = ∅, nên với mọi a ∈ A, ta có 0
M
= a0
R
∈ A và
−a = (−a)1
R
∈ A. Hay A là nhóm cộng. Hơn nữa, tính aben của A có được do
A ⊂ M. Vậy A là một nhóm cộng aben.
Mặt khác phép nhân môđun trên A thừa hưởng các điều kiện trong định nghĩa
1.3 nên A là một R-môđun. Theo Định nghĩa 1.5, A ≤ M. 
3
Nhận xét 2. Mỗi iđêan phải của vành R cũng là một môđun con của R
R

.
Định lý 1.3.2 (Xây dựng môđun thương). Cho M
R
và N ≤ M. Khi đó:
1) M/N là một nhóm cộng aben với phép toán cộng :
(x + N) + (y + N) = x + y + N.
2) Quy tắc
M/N × R −→ M/N
(m + N, r) −→ (m + N).r = mr + N
là phép nhân môđun.
3) Nhóm aben M/N cùng với phép nhân môđun này trở thành một R-môđun
phải.
Định nghĩa 1.6 (Môđun thương). M/N xác định như trong Định lý 1.3.2 được
gọi là môđun thương của môđun M trên môđun con N của nó.
1.4. Song môđun
Định nghĩa 1.7 (Song môđun). 1. Cho R, S là hai vành. Nhóm aben (M, +) là
một song môđun R-bên phải S-bên trái, ký hiệu
S
M
R
, nếu:
(a) M là R-môđun phải và M là S-môđun trái,
(b) Ta phải có
(sx)r = s(xr), r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M.
2. Cho R, S là hai vành. Nhóm aben (M, +) là một song môđun R-bên phải S-bên
phải, ký hiệu M
R−S
, nếu:
(a) M là R-môđun phải và M là S-môđun phải,
(b) Ta phải có

(xs)r = (xr)s, r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M.
4
1.5. Đồng cấu môđun
Định nghĩa 1.8. Cho A, B là hai R-môđun phải. Đồng cấu môđun α từ A vào B
là một ánh xạ α : A −→ B thỏa:
∀a
1
, a
2
∈ A, ∀r
1
, r
2
∈ R [α(a
1
r
1
+ a
2
r
2
) = α(a
1
)r
1
+ α(a
2
)r
2
] .

Lúc đó ta viết α : A
R
−→ B
R
.
Định nghĩa 1.9. Đồng cấu α : A
R
−→ B
R
được gọi là đơn cấu (tương ứng toàn
cấu, đẳng cấu) nếu nó là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh).
Bổ đề 1.5.1. Cho α : A
R
−→ B
R
. Lúc đó:
1) U ≤ A ⇒ α(U) ≤ B.
2) V ≤ B ⇒ α
−1
(V ) ≤ A.
Định nghĩa 1.10. Theo Bổ đề 1.5.1, α
−1
(0) là môđun con của A
R
. Ta gọi là nhân
của đồng cấu α. Ký hiệu Ker(α).
Nhận xét 3. Nhân của đồng cấu môđun α cũng là nhân của đồng cấu nhóm nên
α đơn cấu khi và chỉ khi Ker(α) = 0.
5
CHƯƠNG 2

Lý thuyết Linh hóa tử
2.1. Linh hóa tử
R là một vành, M là một R-môđun trái. Ta có thể tìm hiểu các tính chất của
M từ R và ngược lại. Một trong những khái niệm được đề cập để khảo sát mối liên
hệ đó là linh hóa tử. Các chứng minh trong phần này được tham khảo chủ yếu từ
[2], [3]. Ngoài ra, học viên đã mạnh dạn đưa ra và chứng minh một số ví dụ minh
họa khái niệm liên quan.
Định nghĩa 2.1. Cho M là một R-môđun trái. X ≤ M là môđun con của M.
Khi đó, linh hóa tử (trái) của X trong R là:
l
R
(X) = {r ∈ R|rx = 0, ∀x ∈ X}.
Mỗi với A ⊆ R, linh hóa tử (phải) của A trong M là:
r
M
(A) = {x ∈ M|ax = 0, ∀a ∈ A}.
Với mỗi tập {x}, {a}, ta viết tắt là l
R
(x) và r
M
(a). Khi không có sự nhầm lẫn
nào, ta có thể lược bỏ chỉ số dưới R và M.
Nếu bắt đầu với R - môđun phải M, ta cũng định nghĩa linh hóa tử phải r
R
(X)
và linh hóa tử trái l
M
(A).
Nếu A ⊆ l
R

(X) ta nói A linh hóa X.
Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chất của khái niệm linh hóa tử.
Mệnh đề 2.1.1. Cho
R
M
S
là một song môđun, X ⊆ M, A ⊆ R. Khi đó:
1) l
R
(X) là một iđêan trái của R.
2) r
M
(A) là một môđun con của M
S
.
Hơn nữa, nếu X là một môđun con của
R
M thì l
R
(X) là một iđêan (hai phía) của
R.
6
Nếu A là một iđêan phải của R thì r
M
(A) là một môđun con của
R
M
S
.
Nếu R giao hoán thì l

R
(X) là một iđêan và r
M
(A) là môđun con của
R
M
S
.
Chứng minh. 1). Ta có l
R
(X) = ∅ (vì 0
R
x = 0, ∀x ∈ X nên 0
R
∈ l
R
(X)).
Với mọi x ∈ X, mọi a, b ∈ l
R
(X), ta có (a + b)x = ax+bx = 0 nên (a + b) ∈ l
R
(X).
Với ∀r ∈ R, ∀a ∈ l
R
(X) ⊂ R, ta chứng minh ra ∈ l
R
(X). Thật vậy, với mọi x ∈ X,
ta có
(ra)x = r(ax) (do định nghĩa của R-môđun M)
= r0 = 0 (do a ∈ l

R
(X)).
Do đó, l
R
(M) là một iđêan trái của R.
2). Ta sử dụng Định lý 1.3.1 để chứng minh.
+Ta có r
M
(A) = ∅ (vì a0
M
= 0, ∀a ∈ A nên 0
M
∈ r
M
(A)).
+Với mọi x, y ∈ r
M
(A) ⊂ M, mọi a ∈ A ⊂ R ta có:
a(x + y) = ax + ay (do tính chất của R-môđun trái
R
M)
= 0 (do x, y ∈ r
M
(A), a ∈ A),
suy ra x + y ∈ r
M
(A).
+Với ∀x ∈ r
M
(A), ∀s ∈ S, ∀a ∈ A, ta có:

a(xs) = (ax)s (do tính chất của song môđun
R
M
S
)
= 0 (do x ∈ r
M
(A), a ∈ A),
suy ra xs ∈ r
M
(A).
Đối chiếu các điều kiện của Định lý 1.3.1iii)ta có r
M
(A) ≤ M
S
.
Nếu X ≤ M thì với mọi a ∈ l
R
(X), ∀r ∈ R, ∀x ∈ X, ta có (ar)x = a(rx) = 0,
(do X là R-môđun nên rx ∈ X). Suy ra l
R
(X) là iđêan phải, do đó cả hai phía,
của R.
Nếu A là iđêan phải của R ta luôn có với ∀a ∈ A, ∀r ∈ R thì ar ∈ A. Chứng
minh tương tự ta có:
∀r ∈ R, ∀x
1
, x
2
∈ r

M
(A) → x
1
+ x
2
∈ r
M
(A), rx
1
∈ r
M
(A) (do với mọi a ∈ A ta có
a(rx
1
) = (ar)x
1
= 0, với ar ∈ A). Suy ra r
M
(A) là môđun con của
R
M, và từ đó
là môđun con của
R
M
S
.
Nếu R giao hoán thì trong các phép chứng minh ở trên ta luôn có (ar)x =
(ra)x = r(ax) = 0 và a(rx
1
) = (ar)x

1
= (ra)x
1
= r(ax
1
) = r0 = 0. Do đó đủ để
kết luận l
R
(X) là iđêan của R và r
M
(A) là môđun con của
R
M
S
. 
7
Mệnh đề 2.1.2. Cho
R
M là một R-môđun. X, Y là các tập con của M và A, B
là các tập con của R. Khi đó:
1) X ⊂ Y ⇒ l
R
(X) ⊇ l
R
(Y ) và A ⊂ B ⇒ r
M
(A) ⊇ r
M
(B).
2) X ⊆ r

M
l
R
(X) và A ⊆ l
R
r
M
(A).
3) l
R
(X) = l
R
r
M
l
R
(X), r
M
(A) = r
M
l
R
r
M
(A).
Chứng minh. 1). Giả sử X ⊂ Y . Với mọi r ∈ l
R
(Y ), ry = 0, ∀y ∈ Y . Suy ra
ry = 0, ∀y ∈ X ⊂ Y . Hay r ∈ l
R

(X). Vậy, l
R
(X) ⊇ l
R
(Y ).
Tương tự, với mọi x ∈ r
M
(B), ta có ax = 0, ∀a ∈ B. Suy ra ax = 0, ∀a ∈ A ⊂ B.
Hay x ∈ r
M
(A). Do đó, r
M
(A) ⊇ r
M
(B).
2). Với mọi x ∈ X ⊂ M, ta chứng minh x ∈ r
M
l
R
(X) ⇔ ax = 0, ∀a ∈ l
R
(X).
Điều này hiển nhiên đúng theo định nghĩa của l
R
(X).
3). Áp dụng 2) thay A bởi l
R
(X) ta có l
R
(X) ⊆ l

R
r
M
l
R
(X). Ngoài ra, vì
X ⊆ r
M
l
R
(X) nên từ 1) ta có l
R
(X) ⊇ l
R
r
M
l
R
(X). 
Mệnh đề 2.1.3. Cho
R
M là một R-môđun trái. (K
α
)
α∈A
và (I
α
)
α∈A
là các nhóm

con của nhóm cộng của M và R tương ứng. Khi đó:
1) l
R
(

α∈A
K
α
) = ∩
α∈A
l
R
(K
α
) và r
M
(

A
I
α
) = ∩
A
r
M
(I
α
).
2)


A
l
R
(K
α
) ⊆ l
R
(∩
A
K
α
) và

A
r
M
(I
α
) ⊆ r
M
(∩
A
I
α
).
Chứng minh. 1). Vì K
β
≤

A

K
α
với mỗi β, áp dụng mệnh đề 2.1.2.1 ta có
l
R
(

A
K
α
) ⊆ K
α
với mỗi α. Mặt khác, nếu mỗi phần tử r ∈ R linh hóa mọi K
α
thì nó cũng linh hóa mọi tổng các phần tử trong K
α
đó. Do vậy, ∩
A
l
R
(K
α
) ⊆
l
R
(

A
K
α

) . Lập luận tương tự đối với linh hóa tử bên phải ta có điều cần chứng
minh.
2). Rõ ràng, ∩
A
K
α
⊆ K
β
, với mỗi β ∈ A. Do đó theo mệnh đề 2.1.2.1, l
R
(K
β
) ⊆
l
R
(∩
A
K
α
) với mỗi β. Ngoài ra, l
R
(∩
A
K
α
) là một iđêan trái của R (theo mệnh đề
2.1.1.1), do vậy

β∈A
l

R
(K
β
) ⊆ l
R
(∩
A
K
α
). Các lập luận tương tự đối với linh hóa
tử phải. 
8
2.2. Bài tập
Bài toán 1. Nếu R là một vành nửa đơn trái, thì R thỏa cả hai điều kiện dây
chuyền trên các iđêan trái.
Giải. Ta chứng minh tính chất, một môđun M trên vành R có một chuỗi hợp
thành khi và chỉ khi nó thỏa cả hai điều kiện dây chuyền trên các môđun con. Thật
vậy, nếu M có một chuỗi hợp thành có độ dài n thì không có dãy môđun con nào
có độ dài lớn hơn n, do đó M thỏa cả hai điều kiện dây chuyền. Ngược lại, gọi F
là họ của các môđun con thực sự của M. Khi đó, từ điều kiện cực đại tồn tại một
môđun con lớn nhất M
1
∈ F. Gọi F
2
là họ các môđun con thực sự của M
1
, tương
tự ta tìm được môđun con lớn nhất M
2
∈ F

2
. Lặp lại thế, ta có một dãy giảm
M ⊃
=
M
1
⊃
=
M
2
⊃
=
· · · .
Ta có M thỏa hai điều kiện dây chuyền nên dãy này phải dừng, do đó tồn tại t ∈ N
nào đó sao cho M
t
= 0. Như vậy, dây chuyền này là một chuỗi hợp thành của M
với mỗi M
i
là một môđun con cực đại của môđun liền trướcM
i−1
, i ≥ 2.
Ta xét R là nửa đơn trái, thì R =

i
L
i
. Đặt I =

i

e
i
, với e
i
∈ L
i
. Nếu
r =

i
L
i
, thì r = 1r và do đó r
i
= e
i
r
i
. Vì vậy, nếu e
i
= 0, thì L
i
= 0. Suy ra có
hữu hạn các L
i
= 0; tức là, R = L
1
⊕ · · · ⊕ L
n
. Ta có chuỗi

R = L
1
⊕ · · · ⊕ L
n
⊇ L
2
⊕ · · · ⊕ L
n
⊇ · · · ⊇ L
n
⊇ {0}
là một chuỗi hợp thành, với các môđun đơn L
1
, , L
n
. Theo nhận xét trên, ta có
R (mà được xem như một R-môđun trái) thỏa cả hai điều kiện dây chuyền. 
Bài toán 2. 1) Mỗi môđun con và mỗi môđun thương của một nửa môđun M
là môđun nửa đơn.
2) Nếu R là một vành nửa đơn (trái), thì mọi R-môđun trái M là một môđun
nửa đơn.
3) Nếu I là một iđêan hai phía của một vành nửa đơn R, thì vành thương R/I
cũng là một vành nửa đơn.
9
Giải 1). Cho B là một môđun con của M. Khi đó mọi môđun con C của B
cũng là môđun con của M. Vì M là nửa đơn trái nên C là một số hạng trực tiếp
của M và do đó C cũng là một số hạng trực tiếp của B. Từ đó, B là nửa đơn trái.
Cho M/H là môđun thương của M. H là một số hạng trực tiếp của M, do đó
M = H ⊕ H


với H

là một môđun con nào đó của M. Nhưng do H

lại là nửa đơn
nên từ M/H
∼
=
H

kéo theo M/H là nửa đơn.
2). Cho M là một R-môđun. Khi đó có một R-môđun trái tự do F và một toàn
cấu R-môđun φ : F −→ M. Vì R là một môđun nửa đơn trên chính nó nên F cũng
là một môđun nửa đơn. Suy ra, M là một thương của môđun nửa đơn F,. Theo
phần 1), M cũng nửa đơn.
3). Vì I là một iđêan hai phía nên R/I là một vành. Từ đó, R/I cũng được
xem như một R-môđun trái nửa đơn (theo 1)), và do đó nó có tổng trực tiếp
R/I
∼
=

S
j
,
với S
j
là các R-môđun trái đơn. Mặt khác, mỗi S
j
lại là một (R/I)-môđun trái
đơn, và với bất kỳ (R/I)-môđun con nào của S

j
cũng là một R-môđun con của S
j
.
Từ đó R/I là nửa đơn. 
Bài toán 3. 1) Cho M là một R-môđun trái nửa đơn hữu hạn sinh. Chứng
minh rằng, M là một tổng hữu hạn trực tiếp các môđun trái đơn. Nói riêng,
một vành nửa đơn trái R là một tổng trực tiếp của hữu hạn các iđêan trái
cực tiểu.
2) Cho R
1
, · · · , R
m
là các vành nửa đơn trái. Chứng minh tích trực tiếp
R = R
1
× · · · × R
m
cũng là một vành nửa đơn trái.
Giải. 1). Giả sử {x
1
, · · · , x
n
} là tập sinh của M. M là nửa đơn trái nên M =

j
S
j
, với S
j

là các môđun trái nửa đơn. Mỗi x
i
=

j
s
ij
, với s
ij
∈ S
j
, có hữu hạn
thành phần khác không. Từ đó, {x
1
, · · · , x
n
} chỉ hữu hạn các phần tử của các S
j
,
gọi đó là S
j
1
, · · · , S
j
t
. Khi đó,
M ⊆< x
1
, · · · , x
n

>⊆ S
j
1
⊕ · · · ⊕ S
j
t
⊆ M.
10
R được xem như một môđun trái nửa đơn trên chính nó, là cyclic, do đó là hữu
hạn sinh. Từ đó, R là tổng trực tiếp của hữu hạn các môđun con trái đơn. Tức là,
R là tổng trực tiếp của hữu hạn các iđêan trái cực tiểu.
2). Ta có mỗi R
i
là một nửa đơn trái nên R
i
= J
i1
⊕ · · · ⊕ J
it(i)
, với mỗi J
ik
là
một iđêan trái không chỉ trong R
i
mà còn của R. Do đó, J
ik
là iđêan trái cực tiểu
trong R. Từ đây, R là tổng trực tiếp của các iđêan trái cực tiểu, nên nó là một
vành nửa đơn trái. 
11

KẾT LUẬN
Tiểu luận gồm ba phần: mở đầu, nội dung và kết luận. Phần nội dung được
chia làm hai chương. Trong đó, phần chương 1 nêu lên một số kiến thức cơ bản về
vành, môđun làm nền tảng và cơ sở cho các chứng minh trong chương còn lại.
Chương 2 của tiểu luận trình bày chi tiết khái niệm và tính chất của linh hóa
tử. Đồng thời giải một số bài tập liên quan đến vành nửa đơn theo yêu cầu của
giáo sư.
Tác giả đã cố gắng kiểm tra lỗi chính tả và cách hành văn rất nhiều lần, nhưng
chắc chắn những thiếu sót là khó tránh khỏi, rất mong được sự góp ý của quý thầy
cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Một lần nữa tác giả xin chân
thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn và các bạn học viên.
12
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] H.X. Sính (2001), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam.
[2] T.C. Quỳnh, L.V. Thuyết (2012), Bài giảng Lý thuyết Vành và Môđun, ĐHSP
- ĐH Huế.
Tiếng Anh
[3] F.W. Anderson, K.R. Fuller (1973), Rings and Categories of Modules,
Springer-Verlag New York - Heidelberg - Berlin.
[4] J.J. Rotman (2003), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall.
13