mạch dao động và sóng điện từ sô 6

Khóa h
ọ
c
LTðH

môn
V
ậ
t lí
–

Th
ầ
y ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Năng lượng của mạch dao ñộng ñiện t
ừ

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-




1) Năng lượng ñiện trường, (W

C
)
Là năng lượng tích lũy trong tụ ñiện, tính bởi công thức
2
2
C
1 q
W Cu
2 2C
= =

2) Năng lượng từ trường, (W
L
)
Là năng lượng tích lũy trong cuộn cảm, tính bởi công thức
2
L
1
W Li
2
=

3) Năng lượng ñiện từ, (W)
Là tổng của năng lượng ñiện trường và năng lượng từ trường, cho bởi
2 2
2
2
L C
2
1 1

Cu Li
2 2
q 1
W W W Li
2C 2
1 1
qu Li
2 2
+
= + = +
+

4) Sự bảo toàn năng lượng ñiện từ của mạch dao ñộng ñiện từ lí tưởng
Giả sử
(
)
( )
( )
( )
2 2
2
2
o
o
2
o
o
q Q cos ωt
Q cos ωt
q 1 1

W Li L ωQ sin ωt
2C 2 2C 2
i q ωQ sin ωt
 =

→ = + = + −  =

 
′
= = −



( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
o o o
o o
Q Q Q
1 1 1
cos
ωt Lω Q sin ωt cos ωt L. Q sin ωt const.
2C 2 2C 2 LC 2C
= + = + = =

Vậy trong mạch dao ñộng LC thì năng lượng có thể chuyển hóa qua lại giữa năng lượng ñiện trường và năng
lượng từ trường nhưng tổng của chúng là năng lượng ñiện từ luôn ñược bảo toàn.
Nhận xét:





Từ các công thức tính ở trên ta thấy năng lượng ñiện từ bằng năng lượng từ trường cực ñại và cũng bằng năng
lượng ñiện trường cực ñại.
Khi ñó ta có
( )
( )
2
o
2
2 2
o
2 2
o o
C o o o
max
o o
2 2 2
L o o o
max
o o
Q
LC
I
Q Q
1 1 1
W CU QU LI
C
2C 2 2 2 2C
W I U

L
1 1 1
W LI LI CU
2 2 2
L
U I
C

=



= = = =


 
= → ⇔ =
 
 
= =
 

=





Cũng giống như ñộng năng và thế năng của dao ñộng cơ, nếu mạch dao ñộng biến thiên tuần hoàn với chu kỳ T,
tần số f thì năng lượng ñiện trường và năng lượng từ trường biến thiên tuần hoàn với tần số là

2f
và chu kỳ là
T/2.

ðể tính các giá trị tức thời (u, i) ta dựa vào phương trình bảo toàn năng lượng:
( )
( )
2 2
o
2 2 2 2 2 2
o o
2 2
o
2 2 2 2 2 2
o o
C U u
1 1 1
CU Cu Li Li CU Cu i
2 2 2 L
L I i
1 1 1
LI Cu Li Cu LI Li u
2 2 2 C
−
= + ⇔ = − → =
−
= + ⇔ = − → =


ðể tính các giá trị tức thời (i, q) ta dựa vào hệ thức liên hệ:

( )
( )
2 2
o
o o
o
q Q cos ωt
i q
1.
ωQ Q
i q ωQ sin ωt
 =
   

→ + =

   
′
= = −

   


NĂNG LƯỢNG CỦA MẠCH DAO ðỘNG ðIỆN TỪ
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG

Khóa h
ọ
c
LTðH

môn
V
ậ
t lí
–

Th
ầ
y ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Năng lượng của mạch dao ñộng ñiện t
ừ

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-


Từ ñó ta có một số các cặp (i, q) liên hợp:
C
o
L
L
o

C
o o
C L
o o
L C
o o
L C
W W
i 0 ; q Q
W 0
W W
i I ; q 0
W 0
I Q 3
i ; q W 3W
2 2
I 3 Q
i ; q W 3W
2 2
I 2 Q 2
i ; q W W
2 2
=

= = ± →

=

=


= ± = →

=

= ± = ± → =
= ± = ± → =
= ± = ± → =

Ví dụ 1: (Trích ðề thi Cð – 2011)
Trong mạch dao ñộng lí tưởng gồm tụ ñiện có ñiện dung C và cuộn cảm thuần có ñộ tự cảm L, ñang có dao
ñộng ñiện từ tự do. Biết hiệu ñiện thế cực ñại giữa hai bản tụ là U
0
. Khi hiệu ñiện thế giữa hai bản tụ là
0
U
2

thì cường ñộ dòng ñiện trong mạch có ñộ lớn bằng
A.
0
U
3L
.
2 C
B.
0
U
5C
.
2 L

C.
0
U
5L
.
2 C
D.
0
U
3C
.
2 L

Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2 2 2 2 2 2 2
0
0 0 0 0
U
1 1 1 1 1 1 1 3 3C
CU Cu Li CU CU Li Li CU i
2 2 2 2 2 4 2 4 2 L
= + ⇔ = + ⇒ = ⇒ =

Ví dụ 2: Mạch dao ñộng lí tưởng gồm tụ ñiện có ñiện dung C = 1 (µF) và cuộn dây có ñộ từ cảm L = 1 (mH).
Trong quá trình dao ñộng, cường ñộ dòng ñiện qua cuộn dây có ñộ lớn lớn nhất là 0,05 (A). Sau bao lâu thì
hiệu ñiện thế giữa hai bản tụ ñiện có ñộ lớn lớn nhất, ñộ lớn ñó bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:

Thời gian từ lúc cường ñộ dòng ñiện ñạt cực ñại ñến lúc hiệu ñiện thế ñạt cực ñại là T/4 (T là chu kì dao ñộng

riêng của mạch). Vậy thời gian cần tìm là
6 2 4
1 1
t .2
π LC π 10 .10 1,57.10 (s).
4 2
− − −
∆ = = =


Bảo toàn năng lượng ta ñược
2
2 2
o o o o
6
1 1 L 10
CU LI U I 0,05. 5 (V).
2 2 C 10
−
−
= → = = =

Ví dụ 3: Mạch dao ñộng LC có cường ñộ dòng ñiện cực ñại I
o
= 10 (mA), ñiện tích cực ñại của tụ ñiện là Q
o
=
4.10
–8
(C).

a) Tính tần số dao ñộng riêng của mạch.
b) Tính hệ số tự cảm của cuộn dây, biết ñiện dung của tụ ñiện C = 800 (pF).
Hướng dẫn giải:
a)
Ta có
3
5
o
o o
8
o
I
10.10
I
ωQ ω 2,5.10 (rad/s).
Q
4.10
−
−
= → = = =

Từ ñó tần số dao ñộng riêng của mạch là
5
ω 2,5.10
f 40000 (Hz).
2
π 2π
= = =

b)

Từ phương trình bảo toàn năng lượng
2
2
2
8
2
o o
o
12 3
o
Q Q
1 1 1 4.10
LI L . 0,02 (H).
2C 2 C I 800.10 10.10
−
− −
 
 
= → = = =
 
 
 
 

Vậy hệ số tự cảm của cuộn dây là L = 0,02 (H).
Ví dụ 4: Mạch dao ñộng LC lí tưởng dao ñộng với chu kì riêng T = 10
–4
(s),

hiệu ñiện thế cực ñại giữa hai bản

tụ U
o
= 10 (V), cường ñộ dòng ñiện cực ñại qua cuộn dây là I
o
= 0,02 (A). Tính ñiện dung của tụ ñiện và hệ số
tự cảm của cuộn dây.
Khóa h
ọ
c
LTðH

môn
V
ậ
t lí
–

Th
ầ
y ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Năng lượng của mạch dao ñộng ñiện t
ừ

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3
-


Hướng dẫn giải:

Bảo toàn năng lượng ta ñược
( )
2
2 2 4
o
o o
2
o
U
1 1 L
LI CU 25.10 , 1 .
2 2 C
I
= → = =


Theo giả thiết
( )
2 8
10
2 2
T 10
T 2
π LC LC 2,5.10 , 2 .

4π 4.π
−
−
= → = = =

Từ (1) và (2) ta có
4
10
L
25.10
L 7,9 (mH)
C
C 31,6 (nF)
LC 2,5.10
−

=
=


→
 
=


=


Ví dụ 5: Mạch dao ñộng LC gồm tụ C = 6 (µF) và cuộn cảm thuần. Biết giá trị cực ñại của ñiện áp giữa hai
ñầu tụ ñiện là U

o
= 14 V. Tại thời ñiểm ñiện áp giữa hai bản của tụ là u = 8 V, năng lượng từ trường trong
mạch bằng
A. W
L
= 588 µJ. B. W
L
= 396 µJ. C. W
L
= 39,6 µJ. D. W
L
= 58,8 µJ.
Hướng dẫn giải:
Bảo toàn năng lượng ta ñược
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
o L o o
1 1 1 1 1 1 1
CU Li Cu W Li CU Cu C U u
2 2 2 2 2 2 2
= + → = = − = −

Thay số ta ñược năng lượng từ trường của mạch là
( )
2 2
L
1
W .6. 14 8 396
µJ.
2

= − =

Bình luận:
Trong ví dụ trên các em thấy ñược các ñáp án ñều ñể ñơn vị của W
L
là bội số của µ nên trong phép tính toán ta
không cần thiết phải ñổi ñơn vị của ñiện dung C ra Fara. ðó là một kĩ năng quan trọng của làm trắc nghiệm: hãy
quan sát ñáp án ñể có hướng tính toán hợp lý.
Ví dụ 6:
(Trích ðề thi ðH – 2011)
Một mạch dao ñộng LC lí tưởng gồm cuộn cảm thuần có ñộ tự cảm 50 mH và tụ ñiện có ñiện dung C. Trong
mạch ñang có dao ñộng ñiện từ tự do với cường ñộ dòng ñiện i = 0,12cos(2000t) (i tính bằng A, t tính bằng s).
Ở thời ñiểm mà cường ñộ dòng ñiện trong mạch bằng một nửa cường ñộ hiệu dụng thì hiệu ñiện thế giữa hai
bản tụ có ñộ lớn bằng
A.
3 14 V.

B.
5 14 V.

C.

12 3 V.

D.

6 2 V.

Ví dụ 7: (Trích ðề thi ðH – 2011)
Trong mạch dao ñộng LC lí tưởng ñang có dao ñộng ñiện từ tự do. Thời gian ngắn nhất ñể năng lượng ñiện
trường giảm từ cực ñại xuống còn một nửa giá trị cực ñại là 1,5.10
-4
s. Thời gian ngắn nhất ñể ñiện tích trên
tụ giảm từ giá trị cực ñại xuống còn một nửa giá trị ñó là
A. 4.10
-4
s. B. 3.10
-4
s. C. 12.10
-4
s. D. 2.10
-4
s.






Khóa h
ọ
c

LTðH

môn
V
ậ
t lí
–

Th
ầ
y ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Năng lượng của mạch dao ñộng ñiện t
ừ

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-


Ví dụ 8:
Tại thời ñiểm cường ñộ dòng ñiện qua cuộn dây trong một mạch dao ñộng có ñộ lớn là 0,1 (A) thì
hiệu ñiện thế giữa hai bản tụ ñiện của mạch là 3 (V). Tần số dao ñộng riêng của mạch là 1000 (Hz). Tính các
giá trị cực ñại của ñiện tích trên tụ ñiện, hiệu ñiện thế hai ñầu cuộn dây và cường ñộ dòng ñiện qua cuộn dây,
biết ñiện dung của tụ ñiện 10 (µF).

Hướng dẫn giải:
i = 0,1 A
u = 3 V
f = 1000 Hz
C = 10 µC

Tính Q
o
; U
o
; I
o




Bảo toàn năng lượng ta ñược
( )
2
2 2 2 2 2 2
o
o
Q
1 1
Li Cu Q LCi C u , 1 .
2 2 2C
+ = → = +

Mà
2 2

1 1
f LC
4
π f
2π LC
= → = , thay vào (1) ta ñược
2 2
2 2 6 2 2 5
o
2 2 2 2
i 0,1
Q C u (10.10 ) .3 3,4.10 (C).
4π f 4.π .1000
− −
= + = + =


Hiệu ñiện thế cực ñại và cường ñộ dòng ñiện cực ñại ñược tính bởi
5
o
o
5
5
o o o
Q
3,4.10
U 3,4 V.
C 10
I
ωQ 2πfQ 2.π.1000.3,4.10 0,21 A.

−
−
−
= = =
= = = =

Ví dụ 9: Một mạch dao ñộng LC, cuộn dây có ñộ tự cảm L = 2 (mH) và tụ ñiện có ñiện dung C = 0,2 (µF).
Cường ñộ dòng ñiện cực ñại trong cuộn cảm là I
o
= 0,5 (A). Tìm năng lượng của mạch dao ñộng và hiệu ñiện
thế giữa hai bản tụ ñiện ở thời ñiểm dòng ñiện qua cuộn cảm có cường ñộ i = 0,3 (A). Bỏ qua những mất mát
năng lượng trong quá trình dao ñộng.
Hướng dẫn giải:

Năng lượng ñiện từ của mạch
2 3 2 3
o
1 1
W LI .2.10 .0,5 0,25.10 (J).
2 2
− −
= = =


Mặt khác ta cũng có
2 3 3 2
2 2
6
1 1 2W Li 2.0,25.10 2.10 .0,3
W Li Cu u 40 (V).

2 2 C 0,2.10
− −
−
− −
= + → = = =

Ví dụ 10: Cường ñộ dòng ñiện tức thời trong một mạch dao ñộng LC lí tưởng là i = 0,08cos(2000t) A. Cuộn
dây có ñộ tự cảm là L = 50 (mH).
a) Hãy tính ñiện dung của tụ ñiện.
b) Xác ñịnh hiệu ñiện thế giữa hai bản tụ ñiện tại thời ñiểm cường ñộ dòng ñiện tức thời trong mạch bằng giá
trị cường ñộ dòng ñiện hiệu dụng.
Hướng dẫn giải:
a)
Từ giả thiết ta có
6
2 3 2
1 1 1
ω C 5.10 F 5 (µF).
Lω 50.10 .2000
LC
−
−
= → = = = =

b)
Bảo toàn năng lượng ta ñược
2 2 2
o
1 1 1
Li Cu LI

2 2 2
+ =

Tại thời ñiểm
3
o
o
6
I
L 50.10
i I u I 0,08 4 2 (V).
2C 25.10
2
−
−
= = → = = =
Ví dụ 11: Mạch dao ñộng ñiện từ LC có ñiện tích cực ñại giữa hai bản tụ ñiện là Q
o
, cường ñộ dòng ñiện cực
ñại trong mạch là I
o
. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất
a) từ khi tụ bắt ñầu phóng ñiện ñến khi cường ñộ dòng ñiện qua cuộn dây cực ñại.
b) từ thời ñiểm mà năng lượng ñiện trường cực ñại ñến thời ñiểm năng lượng ñiện trường bằng 3 lần năng
lượng từ trường.
c) từ thời ñiểm năng lượng từ trường cực ñại ñến thời ñiểm năng lượng ñiện trường bằng năng lượng từ
trường.
d) từ thời ñiểm năng lượng từ trường bằng ba lần năng lượng ñiện trường ñền thời ñiểm năng lượng từ
trường cực ñại.
Khóa h

ọ
c
LTðH

môn
V
ậ
t lí
–

Th
ầ
y ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Năng lượng của mạch dao ñộng ñiện t
ừ

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-


Hướng dẫn giải:
a)
Tụ bắt ñầu phóng ñiện thì q = Q

o
, cường ñộ dòng ñiện cực ñại thì
o o
i I q Q
= ⇔ =

khi ñó ta ñược
( )
o
T 2
π LC π LC
t : q Q q 0 t
4 4 2
∆ = → = →∆ = = =

b)
Năng lượng ñiện trường cực ñại tức q = Q
o
Khi năng lượng ñiện trường bằng 3 lần năng lượng từ trường thì
2 2
o
C L o
Q 3
3 3
W 3W W q Q q
4 4 2
= = ⇔ = → = ±

Khi ñó thời gian ngắn nhất cần tìm thỏa mãn
o

o
Q 3
T 2
π LC π LC
t : q Q q t
2 12 12 6
 
∆ = → = →∆ = = =
 
 
 

c)
Năng lượng từ trường cực ñại tức
o
i I q 0.
= ⇔ =

Khi năng lượng ñiện trường bằng năng lượng từ trường thì
2 2
o
C L o
Q 2
1 1
W W W q Q q
2 2 2
= = ⇔ = → = ±

Khi ñó thời gian ngắn nhất cần tìm thỏa mãn
o

o
Q 2
T 2
π LC π LC
t : q Q q t
2 8 8 4
 
∆ = → = ± →∆ = = =
 
 
 

d)
Khi năng lượng từ trường bằng 3 lần năng lượng ñiện trường thì
2 2
o
L C o
I 3
3 3
W 3W W i I i
4 4 2
= = ⇔ = → = ±

khi năng lượng từ trường cực ñại, tức là i = I
o
.
Khi ñó thời gian ngắn nhất cần tìm thỏa mãn
o
o
I 3

T 2
π LC π LC
t : i i I t
2 12 12 6
 
∆ = → = →∆ = = =
 
 
 

Ví dụ 12:
Mạch dao ñộng LC có
−
= =
2
10 1
L (H), C (
µF).
π π
Bỏ qua ñiện trở dây nối. Tích ñiện cho tụ ñiện ñến
giá trị cực ñại Q
o
, trong mạch có dao ñộng ñiện từ riêng.
a) Tính tần số dao ñộng của mạch.
b) Khi năng lượng ñiện trường ở tụ ñiện bằng năng lượng từ trường ở cuộn dây thì ñiện tích trên tụ ñiện
bằng bao nhiêu phần trăm Q
o
?
Hướng dẫn giải:
a)

Tần số dao ñộng riêng của mạch là
2 6
1 1
f 5000 (Hz).
2π LC
10 10
2π. .
π π
− −
= = =

b)
Khi năng lượng ñiện trường bằng năng lượng từ trường ta có
2 2
o
C L o
Q 2
1 1
W W W q Q q
2 2 2
= = ⇔ = → = ±

Vậy
o
q 70%Q
≈
.
Ví dụ 13:

Trong mạch dao ñộng tụ ñiện ñược cấp một năng lượng W = 1 (µJ) từ nguồn ñiện một chiều có

suất ñiện ñộng e = 4 (V). Cứ sau những khoảng thời gian như nhau ∆
∆∆
∆t = 1 (µs) thì năng lượng trong tụ ñiện
và trong cuộn cảm lại bằng nhau. Xác ñịnh ñộ tự cảm L của cuộn dây ?
A.
=
2
32
L (nH).
π
B.
=
2
34
L (
µH).
π
C.
=
2
32
L (
µH).
π
D.
=
2
30
L (
µH).

π

Hướng dẫn giải:
Tụ ñược nạp ñiện bằng suất ñiện ñộng một chiều nên e = U
o
= 4 (V).
Khi năng lượng ñiện trường bằng năng lượng từ trường thì
2 2
o
C L o
Q 2
1 1
W W W q Q q
2 2 2
= = ⇔ = → = ±

Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp mà W
L
= W
C
thỏa mãn
o o
Q 2 Q 2
T T
t : q q t 2.
2 2 8 4
 
∆ = − → = →∆ = =
 
 

 

Khóa h
ọ
c
LTðH

môn
V
ậ
t lí
–

Th
ầ
y ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Năng lượng của mạch dao ñộng ñiện t
ừ

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6
-

Từ ñó ta ñược T = 4.
∆
t = 4 (µs).
Mặt khác
( )
2
6
2
2 2 2
o
o o
2 2 2 2 6 2
2 2
1
4.10 .4
W CU
U T U
2W 32
2
L (
µH).
T 4π L 8π W 8π .10 π
T 2π LC T 4π LC
−
−

=

→ = ⇔ = = =



= ⇔ =


Ví dụ 14: Mạch dao ñộng ñiện từ LC gồm một cuộn dây có ñộ tự cảm 50 mH và tụ ñiện có ñiện dung 5 µF.
Nếu mạch có ñiện trở thuần 10
-2

Ω, ñể duy trì dao ñộng trong mạch với hiệu ñiện thế cực ñại giữa hai bản tụ
ñiện là 12 V thì phải cung cấp cho mạch một công suất trung bình bằng
A. 36 µW. B. 36 mW. C. 72 µW. D. 72 mW.
Hướng dẫn giải:
*
2 2
6
0 0
0 0
2
CU L.I
C 5.10
W I U 12. 0,12A
2 2 L
5.10
−
−
= = → = = =

* Công suất cần cung cấp:
2
2 2

2 5
0
I .R
0,12 .10
P I R 7,2.10 W 72
µW
2 2.
−
−
= = = = =

Ví dụ 15: Mạch dao ñộng LC có L = 1,6.10
-4
(H), C = 8 µF, R ≠ 0. Cung cấp cho mạch một công suất P = 0,625
(mW) thì duy trì hiệu ñiện thế cực ñại ở hai bản cực tụ là U
max
= 5 V. ðiện trở thuần của mạch là
A. 0,1 (
Ω
ΩΩ
Ω
). B. 1 (
Ω
ΩΩ
Ω
). C. 0,12 (
Ω
ΩΩ
Ω
). D. 0,5 (

Ω
ΩΩ
Ω
).








Ví dụ 16: Một mạch dao ñộng gồm một tụ ñiện có C = 3500 pF và cuộn dây có ñộ tự cảm L = 30 µH, ñiện trở
thuần R = 1,5 Ω. Hiệu ñiện thế cực ñại ở hai ñầu tụ ñiện là 15 V. Phải cung cấp cho mạch công suất bằng bao
nhiêu ñể duy trì dao ñộng của nó?
A. 13,13 mW. B. 16,69 mW. C. 19,69 mW. D. 23,69 mW.

Khóa h
ọ
c
LTðH

môn
V
ậ
t lí
–

Th
ầ
y ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Năng lượng của mạch dao ñộng ñiện t
ừ

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 7

-


III. SỰ TƯƠNG QUAN GIỮA DAO ðỘNG CƠ VÀ DAO ðỘNG ðIỆN TỪ
Các ñại lượng tương tự nhau của dao ñộng cơ và dao ñộng ñiện từ thể hiện qua bảng sau:

Dao ñộng cơ học Dao ñộng ñiện từ
x q
v i
2
d
1
E mv
2
=

2
L
1
W Li
2
=

2
t
1
E kx
2
=

2
C
q
W
2C
=

m L
k
1
C



Giáo viên : ðặng Việt Hùng

Nguồn: Hocmai.vn