Đề cương giải bài tập giải tích 2

Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2
CHƯƠNG I: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Bài 1: Tính các tích phân sau
a/
∫
=
2
ln
e
e
xx
dx
I
b/
∫
−=
1
0
2
1 dxxI
c/
∫
=
e
xdxI
1
ln
d/
∫
=

2/
0
sin
π
xdxI
n
n
e/
∫
++
=
1
0
2
544 xx
dx
I
f/
∫
−
=
3/
3/
2
cos
sin
π
π
dx
x

xx
I
g/
∫
−
+
=
2
2
4
2
1
2
dx
x
xtgx
I
h/
∫
−=
π
2
0
2cos1 dxxI
i/
∫
+
=
π
0

2
cos1
sin
x
xdxx
I
j/
∫
−+
=
6
1
231 x
dx
I
k/
∫
+
=
2
0
cos23 x
dx
I
l/
∫
+
=
1
0

1
arcsin
dx
x
x
I
m/
∫
+
=
8ln
3ln
1
x
e
dx
I
n/
∫
=
3
0
xarctgxdxI
o/
∫
=
e
xdxI
1
2

ln
p/
∫
+
=
2/
0
2
sin21
π
x
dx
I
q/
∫
=
e
n
n
xdxI
1
ln
r/
∫
=
2/
0
coscos
π
nxdxxI

n
n
s/
∫
=
4/
0
2
π
xdxtgI
n
n
t/
∫
−
=
1
0
dxexI
xn
n
Bài 2: Tính các tích phân suy rộng
a/
∫
+∞
+
=
0
2
1 x

dx
I
b/
∫
−
=
1
0
2
1 x
dx
I
c/
∫
+∞
∞−
+
=
22
)1( x
dx
I
d/
∫
+∞
+
=
0
3
1 x

dx
I
e/
∫
+∞
−
=
0
dxexI
xn
f/
∫
+∞








−
=
2
2
1xx
dx
I
g/
∫

=
e
xx
dx
I
1
ln
h/
∫
−−
=
b
a
xbax
xdx
I
))((
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
1





=
∫
∫
−
a
a

a
dxxf
dxxf
0
)(2
0
)(


, nếu
)(xf
là hàm lẻ
, nếu
)(xf
là hàm lẻ
, nếu
)(xf
là hàm chẵn
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
i/
∫
−−
=
3
1
2
34 xx
dx
I
j/

∫
+∞
−
=
0
2
dxxeI
x
k/
∫
−
+
=
2
0
2
2
dx
x
x
I
l/
( )
∫
+∞
+
=
0
2/3
2

1
dx
x
arctgx
I
Bài 3: Khảo sát sự hội tụ (hay phân kỳ) của tích phân suy rộng
a/
∫
∞
=
a
x
dx
I
α
, với
0
>
α
b/
∫
∞
+
=
0
2
2
1
cos
dx

x
x
I
c/
∫
∞
+
=
1
2
1 xx
dx
I
d/
∫
∞
+
=
1
2
2/3
1
dx
x
x
I
e/
∫
−
=

b
a
xb
dx
I
α
)(
, với
R
∈
α
f/
∫
−
=
1
0
4
4
1 x
dx
I
g/
∫
+
=
1
0
2
1

ln
dx
x
x
I
h/
∫
∞
+
=
0
2
1
ln
dx
x
x
I
i/
∫
=
1
0
dx
x
arctgx
I
j/
∫
+∞

+
=
2
1 x
dx
I
k/
∫
+∞
∞−
++
=
22
)1( xx
dx
I
l/
∫
+∞
+
=
1
)1ln(
dx
x
x
I
m/
∫
+∞

+
=
1
3
1
dx
x
xarctgx
I
n/
∫
+∞
+
=
1
1
ln xx
dx
I
βα
, với
0
>
α

o/
∫
+∞
−
=

1
1
ln xx
dx
I
βα
, với
0
>
α
p/
∫
+∞
=
2
ln xx
dx
I
β
q/
∫
+∞
=
0
cos xdxI
r/
∫
+∞
=
1

2
sin
dx
x
x
I
s/
∫
+∞
=
1
cos
dx
x
x
I
t/
∫
−
=
1
0
1
x
e
dx
I
u/
∫
−

=
1
0
1x
dx
I
v/
∫
=
2
1
ln x
dx
I
w/
∫
−
=
1
0
cos xe
dx
I
x
x/
∫
−
=
1
0

2
xx
dx
I
y/
∫
+∞
++
=
0
3
12xx
xdx
I
z/
∫
+∞
+
−
=
1
3
3
3sin41
dx
xx
x
I
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi các đường cong
a/

xy 2
2
=
và
yx 2
2
=
b/
∫
−=
2
0
|1| dxxS
c/
2
2 xy −=
và
23
xy =
d/



−=
−=
)cos1(
)sin(
tay
ttax
và trục

Ox
e/
1
2
−= tx
và
3
4 tty −=
f/
)cos1(
ϕ
+= ar
và
ar =
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
2
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
g/
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
, với
0,0 >> ba

h/
2
)1( += xy
và
)sin( yx
π
=
i/
4
22
=+ yx
và
02
22
=++ xyx
j/
xy =
và
xxy
2
sin+=
, với
π
≤≤
x0
k/
0,0 == yx
và
)1(
2

−= yyx
l/
)(
2222
xaxy −=
, với
0
>
a
Bài 5: Tính thể tích
a/



−=
−=
)cos1(
)sin(
tay
ttax
;
π
20
≤≤
t
và
0=y
xoay quanh
Ox
b/




=
−=
0
2
2
y
xxy
xoay quanh
Ox
và
Oy
c/ vật bị giới hạn bởi mặt
2
4 yz −=
và
ax =
(với
0
>
a
),
0,0 >> zx
d/ vật bị giới hạn bởi 2 mặt trụ
222
ayx =+
và
222

azy =+
e/ vật tròn xoay khi quay hình phẳng bị giới hạn bởi
xy sin=
(
π
≤≤
x0
) và trục
Ox
khi
quay quanh
Ox
và quay quanh
Oy
f/ vật tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi
2
xy =
và
4=y
quay quanh
Oy
và quay
quanh đường thẳng
2=x
g/
32
)4( += xy
,
0=x
xoay quanh trục

Oy

h/
0,1,1
2
=+=−=
−−
xeyey
xx
quay quanh trục
Ox
Bài 6: Tính diện tích mặt tròn xoay
a/
2
xy =
;
10 ≤≤ x
xoay quanh
Oy
b/



−=
−=
)cos1(
)sin(
tay
ttax
; và

0=y
xoay quanh
Ox
c/
22
)3(9 xxy −=
;
30 ≤≤ x
quay quanh
Ox

d/
3
3 xy =
;
ax ≤≤0
quay quanh
Ox
e/



=
=
tay
tax
3
32
sin
cos

;
π
20 ≤≤ t
quay quanh
Ox
Bài 7: Tính độ dài đường cong
a/
32
xy =
từ gốc toạ độ đến điểm
)8,4(A
b/



=
=
tay
tax
3
3
sin
cos
;
π
20 ≤≤ t
c/
3
sin
3

ϕ
=r
với
2/0
πϕ
≤≤
d/
xxy )3(
3
1
−=
;
30 ≤≤ x
e/
xxy ln
2
1
4
1
2
−=
;
ex ≤≤1
CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI
Bài 1: Tính các tích phân bội hai
a/
∫∫
−=
D
dxdyxyxI )2(

2
, với



=
−=
2
2
2
3
:
xy
xy
D
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
3
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
b/
∫∫
+=
D
dxdyxxyI )3(
, với



+=
=
12

2
:
2
xy
xy
D
c/
∫∫
+=
D
dxdyxyxI )5(
2
, với



−=
−=
xy
xy
D
1
1
:
2
d/
∫∫
=
D
xydxdyI

, với





=
=
=
1
2:
y
yx
yx
D
e/
∫∫
−=
D
dxdyyxI )4(
, với



≤≤
≤+≤
xyx
yx
D
3

41
:
22
f/
∫∫
−−=
D
dxdyyxI
22
4
, với



≤
=+
0
2
:
22
y
xyx
D
g/
∫∫
+
=
D
dxdy
yx

I
22
1
, với



≤
≤+
xy
yyx
D
2
:
22
h/
∫∫
+=
D
dxdyyxI )2(
, với





≤
−≥
≤+
0

4
:
22
y
xy
yx
D
i/
∫∫
−=
D
dxdyyxI )72(
, với





−≥
≥
−≤
xy
y
xy
D 0
2
:
2
j/
∫∫

=
D
xdxdyI 3
, với





≥
≥
≤+≤
0
42
:
22
x
xy
yyxy
D
k/
∫∫
−=
D
dxdyyxI )6(
, với






=
=
=
2
0
ln
:
ex
y
xy
D
Bài 2: Tính các tích phân bội ba
a/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzzxI
22
, với





=
=
=+
Ω
2
0

4
:
22
y
y
zx
b/
∫∫∫
Ω
−+= dxdydzzyxI )(
, với





=−+−=−+
=++−=++−
=+−=+−
Ω
4;1
3;1
2;0
:
zyxzyx
zyxzyx
zyxzyx

c/
∫∫∫

Ω
++
= dxdydz
zyx
I
222
1
, với



≥
≤++
Ω
0
4
:
222
y
zyx
d/
∫∫∫
Ω
= xdxdydzI
, với



=+
+=

Ω
2
:
22
yz
yxz
e/
∫∫∫
Ω
= zdxdydzI
, với



≤++
≤++≤
Ω
0
41
:
22
222
zyx
zyx
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
4
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
f/
∫∫∫
Ω

= zdxdydzI 2
, với



≤
≤++
Ω
0
2
:
222
z
yzyx
g/
∫∫∫
Ω
= zdxdydzI 3
, với



≤+
≤++
Ω
zyx
zyx
22
222
4

:
h/
∫∫∫
Ω








++= dxdydzz
yx
I
2
22
49
, với





≥
≤++
Ω
0
1
49

:
2
22
z
z
yx
i/
∫∫∫
Ω
−= dxdydzyxI )4(
, với





≤≤
≥
≤+
Ω
50
0
4
:
22
z
x
yx
j/
∫∫∫

Ω
+= dxdydzzyI
22
, với





=−
=+
=+
Ω
2
2
4
:
22
xy
xy
zy
k/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzyxzI
22
, với




≤≤
≤+
Ω
yz
xyx
0
2
:
22
l/
∫∫∫
Ω
= xdxdydzI
, với



≥+
≤++
Ω
222
222
4
:
zyx
zzyx
Bài 3: Tính thể tích các khối vật thể
Ω
sau
a/




=
+=
Ω
1
2
:
22
z
yxz
b/





−=+
+=
=+
Ω
zyx
yxz
yx
4
1
:
22
22

22
c/





+=
≤+
≥≥≥
Ω
2
22
2
1
0,0,0
:
xz
yx
zyx
d/



+≥
≤++
Ω
22
222
1

:
yxz
zyx
Bài 4: Tính các tích phân sau
a/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzzxI )(
, với





+=
==
==
Ω
22
0,1
2,
:
yxz
zy
xyxy
b/
∫∫∫
Ω
= xdxdydzI
, với






+=
=
==
Ω
2
2
1
0
,
:
yz
z
xyxy
c/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzyxI
22
, với





+=

+=
=+
Ω
22
22
22
2
4
:
yxz
yxz
yx

d/
∫∫∫
Ω
= zdxdydzI
, với



≤
=++
Ω
0
2
:
222
z
xzyx

Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
5
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
e/
∫∫∫
Ω
= ydxdydzI
, với



+≥
=++
Ω
22
222
4
:
yxz
zyx
f/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzxI )2(
, với






++=
≥≥≥
≤+
Ω
22
22
1
0,0,0
1
:
yxz
zyx
yx
g/
∫∫∫
Ω
= xdxdydzI 2
, với







=+
=
++=
Ω
1

0
1
:
22
22
zy
x
zyx
h/
∫∫∫
Ω
= zdxdydzI
, với



=+
+=
Ω
2
:
22
xz
yxz
i/
∫∫∫
Ω
= ydxdydzI
, với




+≥
=++
Ω
22
222
4
:
yxz
zzyx
j/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzzyI )(
, với





=
≥=
−=
Ω
xz
zy
xy
2
0,1

2
:
2
k/
∫∫∫
Ω
= dxdydzI 3
, với





=−
=+
=+
Ω
4
4
2
:
22
zx
zx
xyx
l/
∫∫∫
Ω
= dxdydzI 2
, với






≥
≤+
=++
Ω
0
1
4
:
22
222
z
yx
zyx
m/
∫∫∫
Ω
−= dxdydzI 4
, với



−−=
+=
Ω
22

22
2
:
yxz
yxz
n/
∫∫∫
Ω
= ydxdydzI 2
, với



≤
≤++
Ω
1
2
:
222
y
yzyx
o/
∫∫∫
Ω
= zdxdydzI
, với




≤
≤++
Ω
0
1
:
222
z
zyx
p/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzzxI )(
, với



+−≤
≥
Ω
22
4
1
:
yxz
z
q/
∫∫∫
Ω
++= dxdydzzyxI )(

222
, với



+≤
≤++≤
Ω
22
222
41
:
yxz
zyx
r/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzyzxI )(
, với





≤≤
≤≤
≤≤
Ω
41
10

10
:
z
y
x
s/
∫∫∫
Ω
= dxdydzI
, với





+≤
≥
≤+
Ω
22
22
0
2
:
yxz
z
xyx
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
6
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn

Bài 5 : Biểu diễn các miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân
∫∫
=
D
dxdyyxfI ),(
, với
a/ D là hình chữ nhật bị giới hạn bởi
6,4,3,2 ==== yyxx
và
yxyxf +=),(
b/ D bị giới hạn bởi
4,0,2 === yxxy
và
xyxf =),(
c/ D bị giới hạn bởi
11,0,4
2
≤≤−=−= yxyx
và
2
),( xyyxf =
d/ D là hình thang bị giới hạn bởi
1,2,0,0 =+=+== yxyxyx
và
xyxf =),(
e/ D là tam giác bị giới hạn bởi
3,0,0 =+== yxyx
và
xy
exxyxf )1(),( −=

f/ D là hình tròn
4
22
=+ yx
nằm trong phần tư thứ nhất, và
yxyxf 2),(
2
+=
g/ D là miền
1|||| ≤+ yx
và
xyxf =),(
h/ D là miền nằm phía trên đường
2
1
=y
; nằm trong vòng tròn
1
22
=+ yx
và
1),(
2
+= yxyxf
i/ D bị giới hạn bởi
10,7,5 =+−=+= xxyxy
và
53),( −= xyxf
j/ D là hình tròn
16

22
≤+ yx
nằm trong phần tư thứ hai, và
xyxf =),(
k/ D là hình chữ nhật
]1,0[]2,2[ ×−
và
yxyxf −=),(
l/ D là hình chữ nhật
]3,1[]4,0[ ×
và
xyyxf =),(
Bài 6 : Hãy tính tích phân
∫∫
=
D
ydxdyxI
2
trên miền D cho bởi các hình vẽ sau
a/ b/
c/ d/
e/ f/
Bài 7 : Tính các tích phân sau
a/
∫∫
=
1
0 0
x
dydxI

b/
∫∫
=
1
0
0
x
dydxI
c/
∫ ∫
+=
1
0
6
3
)1(
x
x
dydxyI
d/
∫ ∫
−
−=
2
0
4
0
2/32
2
)4(

x
dxdyxI
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
7
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
e/
∫∫
=
4
2 1
3
3
y
dxdy
x
y
I
f/
∫ ∫
=
2/
0
cos
0
π
y
ydxdyI
Bài 8 : Tính thể tích của các khối
Ω
sau

a/
Ω
có đáy là
),0(),0,(),0,0( ba
, với
0, >ba
và nằm dưới mặt phẳng






+−=
b
y
a
x
z 2
b/
Ω
nằm phía trên mặt phẳng
Oxy
và dưới mặt
22
21 yxz −−=
c/
Ω
nằm trong hình trụ
82

22
=+ yx
, trên
4−= yz
và dưới
xz
−=
8
d/
Ω
là tứ diện nằm trong góc
0,0,0 ≥≥≥ zyx
, tạo ra bởi các mặt tọa độ và mặt
12243 =++ zyx
e/
Ω
là tứ diện có các đỉnh
)5,0,3(),0,1,2(),0,0,3(),0,0,0(
f/
Ω
là nửa mặt cầu
0,0,
2222
≥≥≤++ azazyx
g/
Ω
là tứ diện với các mặt
015128,5,0,0 =+−=+== zyxyxzx
Bài 9 : Tính tích phân
∫∫

++=
S
zdxdyydzdxxdydzI
, với
S
là phía trên của phần mặt phẳng
01 =−+ zx
, nằm giữa 2 mặt phẳng
4,0 == yy
và thuộc góc phần tám thứ nhất.
Bài 10: Tính tích phân
∫∫
−+=
S
xzdydzydxdzdxdyI 2
, với
S
là phía ngoài ellipsoid
444
222
=++ zyx
và thuộc góc phần tám thứ nhất.
Bài 11 : Tính tích phân
∫∫
=
S
xydSI
, với
S
là mặt

20,10,2 ≤≤≤≤= yxxz
Bài 1 2 : Tính tích phân
∫∫
++=
S
dSyzyxyI )(
2
, với
S
là mặt
20,10,1 ≤≤≤≤=++ zyzyx
CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT
Bài 1: Tính các tích phân đường (trên mặt phẳng
Oxy
)
a/
∫
−=
)(
2
C
xdydxyI
, với
xyC 4:)(
2
=
từ
)0,0(
đến
)2,1(

b/
∫
+=
)(
222
C
dyxydxyxI
, với
)(C
là đường
42,1 ≤≤= yx
c/
∫
+
+
+
=
)(
2222
C
dy
yx
y
dx
yx
x
I
, với
)(C
là

4
1
vòng tròn bán kính 1, từ
)0,1(
đến
)1,0(
.
d/
∫
+−=
)(C
xdyydxI
, với
)(C
là
xy 4
2
=
từ
)2,1(
đến
)0,0(
e/
∫
−=
)(
)23(
C
dxyxI
, với

)(C
là
2
28 xxy −=
từ
)0,4(
đến
)0,0(
f/
∫
=
)(C
xydxI
, với
)(C
là đường thẳng nối
)1,0(
tới
)0,1(
g/
∫
+−=
)(
22
)(
C
xdydxyxI
, với
)(C
là vòng tròn

4
22
=+ yx
, từ
)2,0(
đến
)0,2(
Bài 2: Tính các tích phân sau
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
8
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
a/
∫
+=
)(
222
C
dyxydxyxI
, với
)(C
là đường cong kín, ngược chiều kim đồng hồ, tạo ra bởi
đường
1
=
x
và parabol
2
yx =
b/
∫

+−=
)(C
ydxxdyI
, với
)(C
là tam giác tạo bởi 3 đỉnh
)0,(),,0(),0,0( ba
ngược chiều kim
đồng hồ.
c/
∫
=
)(C
xdyI
, với
)(C
là ellipse
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
thuận chiều kim đồng hồ.
d/
∫

=
)(C
ydxI
, với
)(C
là đường cong tạo bởi
0,1
22
==+ yyx
trong nửa mặt phẳng trên theo
chiều ngược chiều kim đồng hồ.
e/
∫
+−=
)(
223
2)(
C
dyxydxyxI
, với
)(C
là đường ngược chiều kim đồng hồ, xung quanh hình
vuông tạo bởi
2,0,2,0 ==== yyxx
f/
∫
=
)(
2
C

dxxyI
, với
)(C
là đường tròn
222
ayx =+
thuận chiều kim đồng hồ.
g/
∫
+=
)(
322
C
ydyxdxyxI
, với
)(C
là hình vuông tạo bởi
1,0,1,0 ==== yyxx
ngược chiều
kim đồng hồ.
Bài 3: Chứng minh các tích phân sau không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân, và tính các
tích phân
a/
∫
+++=
)(
)2()(
C
x
dyyxdxyeI

, với
)(C
là đường cong bất kỳ khả vi từng khúc, nối
)1,0(
đến
(2,4).
b/
∫
++=
)(
22
)2()12(
C
dyyxdxxyI
, với
)(C
là đường cong bất kỳ nối từ
)2,1(−
đến
)3,2(
.
c/
∫
+++=
)(
2
)()2(
C
yy
dyexxdxxeyI

, với
)(C
là đường



=
=
tty
ttx
ln)(
)(
2/1
, nối từ
)0,1(
đến
)2ln,2(
.
d/
∫
+






+=
)(
2

2
)2(
1
C
dyxydxy
x
I
, với
)(C
là đường cong bất kỳ nối từ
)4,1(
đến
)2,3(
trong
miền
0, >yx
e/
( ) ( )
∫
+++++=
)(
)cos()sin()cos(
C
dyyxxdxyxyxxI
, với
)(C
là đường cong bất kỳ, nối từ
)0,0(
đến







3
,
6
ππ
f/
∫
++=
)(
2
)1()2(
C
dyxdxxyI
, với
)(C
là đường cong tạo bởi bốn cạnh của hình vuông
2,0,2,0 ==== yyxx
g/
∫
++=
)(
2
)1()2(
C
dyxdxxyI
, với

)(C
là đường cong bất kỳ, nối từ
)1,0(
đến
)3,2(
h/
∫
−+−=
)(
22
)8(ln)44(
C
dyxyydxyxI
, với
)(C
là đường cong bất kỳ, nối từ
)1,1(−
đến
),4( e

trong miền
0>y
Bài 4: Hãy tính tích phân đường bằng định lý Green
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
9
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
a/
∫
+=
)(C

xdyydxI
, với
)(C
là đường cong kín bao quanh miền



≤≤
≤≤
10
10
:
y
x
D
b/
∫
+=
)(
sincos
C
xx
ydyeydxeI
, với
)(C
là tam giác có 3 đỉnh
)0,1(),1,0(),0,0(
c/
∫
=

)(C
ydxI
, với
)(C
là đường cong kín bao quanh miền
D
là phần hình tròn nằm trong góc
phần tư thứ nhất.
d/
∫
++=
)(
2/32/3
)(
C
dyyxxydxI
, với
)(C
là đường cong kín, bao quanh miền
D
là hình vuông
]1,0[]1,0[ ×
e/
∫
+=
)(
sincos
C
ydyxxdxyI
, với

)(C
là biên của tam giác có 3 đỉnh












2
,0,0,
2
),0,0(
ππ
.
f/ Tính tích phân
I
trong câu b/ với
)(C
là biên của tam giác có 3 đỉnh
)0,1(),1,1(),0,0(
g/ Tính tích phân
I
trong câu b/ với
)(C

là đường cong kín bao quanh miền
]1,0[]2,0[: ×D
.
Bài 5: Chứng minh rằng với miền
D
thỏa định lý Green thì ta có thể tính diện tích
D
bằng các
công thức
∫
)(C
xdy
,
∫
−
)(C
ydx
,
∫
+−
)(
2
1
C
xdyydx
với
)(C
là đường cong kín bao quanh miền
D
.

Sau đó áp dụng để tính các diện tích sau
a/ Tính diện tích hình tam giác
D
có các đỉnh
)8,3(),2,5(),0,0( −
b/ Diện tích tứ giác với các đỉnh
)4,4(),3,1(),1,2(),0,0( −
.
c/ Diện tích tam giác với 3 đỉnh
),(),,(),,(
332211
bababa
, với giả thiết 3 điểm này không thẳng
hàng.
Bài 6: Cho

22
),(
yx
y
yxP
+
−
=
và
22
),(
yx
x
yxQ

+
=
a/ Chứng minh rằng
y
P
x
Q
∂
∂
=
∂
∂

b/ Chứng minh rằng
∫∫∫ 







∂
∂
−
∂
∂
≠+
DC
dxdy

y
P
x
Q
QdyPdx
)(
, với
)(C
là đường cong kín bao quanh
1:
22
≤+ yxD
c/ Giải thích vì sao định lý Green không thỏa ở câu b/
Bài 7: Tính các tích phân đường sau
a/
∫
+=
)(
2
C
dyyxydxI
, với
)(C
là nửa đường tròn



≥
=+
1

2
22
x
xyx
ngược chiều kim đồng hồ.
b/
[ ]
∫
−++=
+−
)(
2)(
)()2(
22
C
yx
dyyxdxyxeI
, với
)(C
là đường tròn
4
22
=+ yx
theo chiều dương
lượng giác.
c/
∫
+
+
+

+
−
=
)(
2222
)()(
C
yx
dyyx
yx
dxyx
I
, trong đó
TH1:
)(C
là đường tròn
222
ayx =+
theo chiều dương lượng giác
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
10
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
TH2:
)(C
là đường cong tùy ý không bao quanh gốc tọa độ
O
, ngược chiều kim
đồng hồ.
d/
∫

−
−++=
)4,3(
)1,1(
3
)()( dyyxdxyeI
x
e/
∫
++=
)(
2
2)(
C
xdydxyxI
, với
)(C
là
4
1
đường ellipse
14
22
=+ yx
, phần
0≥y
, theo chiều
kim đồng hồ.
f/
∫

++=
)(
2
)2(
C
xdyydxxyI
, với
)(C
là chu vi tam giác
OAB
, trong đó
)2,0(),1,1(),0,0( BAO

ngược chiều kim đồng hồ.
g/
∫
+=
)(
2
2
C
dyyxydxI
, với
)(C
là
2/1
đường tròn
4
22
=+ yx

cùng chiều kim đồng hồ.
h/
∫
+−=
)(
22
2)(
C
xydydxyxI
, với
)(C
là
2/1
đường tròn
xyx 4
22
=+
,
0≥y
ngược chiều kim
đồng hồ
i/
∫
+
−
+
+
+
=
)(

2222
)3()2(
C
yx
dyxy
yx
dxyx
I
, với
)(C
là đường tròn
9
22
=+ yx
ngược chiều kim đồng hồ
j/
∫
+
−
+
+
+
=
)(
2222
4
5
4
32
C

dy
yx
yx
dx
yx
yx
I
, với
)(C
là phần tư ellipse
14
22
=+ yx
ở góc phần tư thứ
nhất, ngược chiều kim đồng hồ.
k/
[ ]
∫
−++=
−−
)(
22
)3()12(
22
C
yx
dyxydxxyeI
, với
)(C
là đường tròn

1
22
=+ yx
cùng chiều kim
đồng hồ.
l/
∫
++=
)(
)32(
C
dyyxxydxI
, với
)(C
là chu tuyến (biên của chu vi) dương của miền



−=
=
xy
xy
D
2
:
2
m/
∫
+++=
)(

3
)2()2(
C
y
dyxedxyxI
, với
)(C
là đường cong tùy ý, nối từ
)1,1(A
đến
)2,3(B
n/
∫
+
+
=
)2,3(
)1,1(
22
yx
ydyxdx
I
theo đường cong tùy ý không chứa gốc
O
.
o/
∫
−++=
)(
222

)()1(
C
dyyxdxxyI
, với
)(C
là nửa đường tròn
yyx 4
22
=+
,
1≥y
ngược chiều
kim đồng hồ.
p/
∫
+++=
)(
)(2
C
zdzdyzyxdxI
, trong đó
TH1:
)(C
là đoạn thẳng nối từ
)1,1,2( −A
đến
)2,3,3(B
(chiều từ
BA
→

)
TH2:
)(C
là giao của
1
22
=+ yx
và
22
2 yxz +−=
theo chiều kim đồng hồ, nhìn từ
hướng dương
Oz
.
q/
∫
++=
)(C
yzdzxzdyxydxI
, với
)(C
là giao của
2
xy =
và
xz =
từ
)0,0,0(
đến
)1,1,1(

.
Bài 8: Cho
y
eyxyxP
−
++= )1(),(
và
y
eyxyxQ
−
−−= )1(),(
a/ Tìm
)(xhh =
, với
1)0( =h
để
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
11
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
∫
+=
)(
),()(),()(
C
dyyxQxhdxyxPxhI
không phụ thuộc vào đường đi.
b/ Với
)(xh
ở câu a/ hãy tính
I

, với
)(C
là
2/1
đường tròn
9
22
=+ yx
bên phải trục tung,
ngược chiều kim đồng hồ.
Bài 9: Tìm hàm
)(
22
yxh −
, với
1)1( =h
để tích phân sau không phụ thuộc vào đường đi
[ ]
∫
+−+−=
)(
222322
)()()(
C
dxyyxdyxyxyxhI
Bài 9: Tính các tích phân mặt (loại 1) sau
a/
∫∫
+=
S

dSzxI )2(
, với
)(S
là phần mặt phẳng
1=++ zyx
ở góc phần 8 thứ nhất.
b/
∫∫
=
S
zdSI
, với
)(S
là phần mặt cầu
4
222
=++ zyx
nằm trên hình nón
22
yxz +=
c/
∫∫
+=
S
dSyxI )(
, với
)(S
là phần mặt nón
22
yxz +=

nằm trong hình trụ
xyx 2
22
=+
d/
∫∫
=
S
dSI
, với
)(S
là phần mặt paraboloic
22
yxz +=
nằm trong hình trụ
4
22
=+ yx
ở góc
phần 8 thứ nhất.
e/
∫∫
=
S
dSxI
2
, với
)(S
là phần mặt trụ
4

22
=+ yx
nằm giữa 2 mặt phẳng



=
=
1
0
z
z
f/
∫∫
=
S
dS
z
y
I
2
, với
)(S
là phần mặt
22
yxz +=
giới hạn bởi




−+=
=
2
11
1
xy
y
g/
∫∫
=
S
zdSI
, với
)(S
là phần mặt nón
22
yxz +=
nằm dưới mặt phẳng
2=z
h/
∫∫
+
=
S
dS
yx
x
I
22
, với

)(S
là phần 8 mặt cầu
4
222
≤++ zyx
trong góc
0,0,0 ≤≤≤ zyx
i/
∫∫
=
S
xdSI
, với
)(S
là phần mặt trụ
1
22
=+ yx
nằm giữa 2 mặt phẳng
4,0 == zz
j/
∫∫
=
S
zdSI
, với
)(S
là phần mặt trụ
zzx 4
22

=+
bị cắt bởi mặt nón
22
yxz +=
Bài 10: Tính các tích phân mặt (loại 2) sau
a/
dxdyxzdydzyxI
S
)3()2(
22
+++=
∫∫
, với
)(S
là phần của mặt
22
yxz +=
nằm trong hình trụ
1
22
=+ yx
, phía dưới nhìn từ hướng dương
Oz
.
b/
∫∫
=
S
xdydzI
, với

)(S
là mặt phía dưới





=
=
+=
6
0
22
z
z
yxz
c/
∫∫
−++++=
S
dxdyzxdxdzzydydzyxI )2()()2(
, với
)(S
là phần mặt nón
22
yxz +=
nằm
trong hình trụ
4
22

=+ yx
, phía dưới.
d/
∫∫
+=
S
dxdyzxI )(
, với
)(S
là biên của vật thể bị giới hạn bởi
22
yxz +=
,
4=z
, phía
ngoài.
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
12
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
e/
∫∫
+++++=
S
dxdyxzdxdzzydydzyxI )2()2()2(
, với
)(S
là phần mặt nón
22
yxz +=
bị

cắt bởi mặt phẳng
2=z
, phía dưới, nhìn từ hướng dương
Oz
.
f/
∫∫
+++=
S
dxdyzydxdzxdydzI )1(
2
, với
)(S
là nửa trên mặt cầu
xzyx 2
222
=++
(phần
0
≥
z
), phía trong.
g/
∫∫
+++=
S
dxdyzydxdzxdydzI )1(
, với
)(S
là phần mặt paraboloic

22
yxz +=
nằm dưới mặt
phẳng
2=+ zx
, phía dưới, nhìn từ hướng dương
Oz
.
h/
∫∫
+++=
S
dxdyzydxdzdydzzxI
2
2)(
, với
)(S
là phần mặt trụ
4
22
=+ yx
nằm giữa 2 mặt
phẳng
1,0 == zz
, phía ngoài.
i/
∫∫
++=
S
dxdyxzI )2(

, với
)(S
là phần hình cầu
1
222
=++ zyx
ở góc phần 8 thứ nhất, phía
trong.
j/
∫∫
++++=
S
dxdyzdxdzzydydzyxI
2
)2()2(
, với
)(S
là phần mặt cầu
4
222
=++ zyx
nằm
trên mặt nón
22
yxz +=
, phía ngoài.
k/
∫
++=
)(

32
C
xdzxdyydxI
, với
)(C
là giao của
xyx 2
22
=+
và mặt phẳng
2
=+
zx
theo
chiều ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương
Oz
.
l/
∫
−+−+−=
)(
222222
)()()(
C
dzyxdyxzdxzyI
, trong đó
TH1:
)(C
là giao giữa paraboloic
22

yxz +=
và hình trụ
1
22
=+ yx
chiều ngược
chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương
Oz
TH2:
)(C
là giao của
4
222
=++ zyx
và
1=++ zyx
, chiều ngược chiều kim đồng
hồ, nhìn từ hướng dương
Oz
.
m/
∫∫
+++++=
S
dxdyyzdxdzxydydzyxI )()()2(
22
, với
)(S
là phần mặt phẳng
2=++ zyx

ở
góc phần 8 thứ nhất, phía dưới nhìn từ hướng dương
Oz
.
C HƯƠNG IV : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài 1: giải các phương trình vi phân cấp 1 sau
a/
xyy 42' =+
b/
xyy cos' =+
c/
2
2'
x
xexyy
−
=+
d/
1
21
'
2
=






−

+ y
x
x
y
e/
bayeyxy
x
==−+ )(,0'
f/
0)1(,
1
' ==
+
− yx
x
y
xy
g/
222
)1(2')1( xxyyx +=−+
h/
x
y
y
2
'=
i/
x
y
y

13
'
−
=
j/
xx
eyey =+2'
Bài 2: giải các phương trình vi phân sau
a/
2
2
'
y
x
y =
b/
tex
x
sin'=
với
)(txx =
c/
22
' yxy =
d/
2
1' yy −=
với
)(xyy =
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang

13
Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
e/
0)1()1( =−++ xdyyydxx
f/
)cos(' yxy −=
g/
0')(
2222
=++− xyyyyxx
h/
0sin2cos' =− yyy
i/
)1('
2
yyy −=
với
)(xyy =
j/
)sin()sin(' yxyxy −=++
Bài 3: giải các phương trình
a/
0)2()2(
2323
=−+− dyyxydxxyx
b/
dx
yx
y
yx

xdy








−
+
=
+
1
2222
c/
0)2( =−+ dyyxedxe
yy
d/
0
)(
)2(
2
=
+
++
yx
dyyxxdx
e/
0)3()1(

2
=+−+++ dyyxdxyx
Bài 4:
Khi gặp phương trình dạng
α
yxbyxay )()(' =+
ta có thể đặt
α
−
=
1
yz
Lúc này, hãy chứng minh z thỏa
)()1()()1(' xbzxaz
αα
−=−+

Tìm được z ta sẽ tìm được y. Dùng lý luận trên để giải các phương trình sau
a/
52
5
2
' yx
x
y
y =−
b/
0
1
'

2
=+
+
+ y
x
y
y
c/
33
22' yxxyy =+
d/
x
yyxy
ln2
' =+
e/
0cos'
2
=+− xyytgxy
Bài 5:
Khi gặp phương trình dạng






=
x
y

fy'
ta đặt
x
y
u =
, khi đó
uxy =
. Hãy chứng minh
rằng

uuf
du
x
dx
−
=
)(
Áp dụng để giải các phương trình sau
a/
0)()( =++− dyxydxxy
b/
02'
22
=−+ yxxyy
c/
x
y
y
x
y +='

d/
dyxyxdxxxyy )2()33(
222
+=++
e/
0)(
22
=+−− dxyxyxdy
f/
0')()3(
2222
=−++ xyxyyyx
g/
x
y
yxy ln'=
h/
22
2
'
yx
xy
y
−
=
i/
x
y
ey
x

y
+='
Bài 6: giải các phương trình vi phân sau
a/
x
eyyy 2'"2 =−+
b/
329'6"
2
+−=+− xxyyy
c/
x
eyay =+
2
"
d/
x
eyyy
−
=+− 2'3"
e/
xyyy sin6'7" =+−
f/
02'" =−+ yyy
g/
0'4" =− yy
h/
09" =− yy
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
14

Bài tập Giải Tích 2 ThS. Lê Hoàng Tuấn
i/
0" =+yy
j/
013'6" =++ yyy
k/
025204
2
2
=+− x
dt
dx
dt
xd
l/
07'"
=++
xxx
với
)(txx =
m/
04
2
2
=+ x
dt
xd
với
)(txx =
n/

012'6" =++ yyy
o/
05'2" =++ yyy
p/
0'2" =+− yyy
Bài 7: giải các phương trình sau
a/
03'4" =+− yyy
với



=
=
10)0('
6)0(
y
y
b/
029'4" =++ yyy
với



=
=
15)0('
0)0(
y
y

c/
0'4"4 =++ yyy
với



=
=
0)0('
2)0(
y
y
Bài 8: giải các phương trình vi phân sau
a/
06'5" =+− yyy
b/
04'4" =+− yyy
c/
04" =+ yy
d/
0'3"4''' =+− yyy
e/
0'''' =+yy
f/
0"4''''4 =++ yyy
g/
0'''9''''6''''' =+− yyy
h/
3022'3"
3

−=+− xyyy
i/
2
2'2" xyyy =+−
j/
x
eyyy
−
=−+ 43'2"
k/
x
eyyy
3
49'6" =+−
l/
4
2sin9
2cos3"
xx
xyy +−=+
m/
xxyy cos" =+
n/
xeyyy
x
sin2'2" =+−
o/
x
exyyy −=−+ '2"'''
p/

xxyyy 2cossin4'4" =+−
q/
xeyyy
x
ln4'4"
2−
=++
r/
xyy =− '"
s/
xx
exeyy
−
+=+ 3"
Bài 9: giải các phương trình vi phân sau (bằng cách đặt
t
ex =
)
a/
xyxyyx ln12'4"
2
=++
b/
08'5"
2
=+− yxyyx
c/
024'18"6'''
23
=−+− yxyyxyx

d/
03')2(3")2(
2
=−+++ yyxyx

e/
22
35'3" xyxyyx =+−
f/
22
2'2" xyxyyx =+−
g/
xyxyyx ln12'4"
2
=++
Bộ môn Toán - Lý, trường ĐH CNTT Trang
15