Bài tập tích phân chọn lọc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.39 MB, 108 trang )
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
1
TÍCH PHÂN
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN
0909 230 970
108/53b,Trần Văn Quang,F10,Tân Bình.
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
2
TÍCH PHÂN
I. ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 1
Để tính tích phân
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính
/
dt u (x)dx
.
Bước 2. Đổi cận:
x a t u(a) , x b t u(b)
.
Bước 3.
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
e
e
dx
I
x ln x
.
Giải
Đặt
dx
t ln x dt
x
.ĐỔI CẬN :
2
x e t 1, x e t 2
2
2
1
1
dt
I ln t ln 2
t
. Vậy
I ln 2
.
Ví dụ 8. Tính tích phân
4
3
0
cos x
I dx
(sin x cos x)
.
Hướng dẫn:
4 4
3 3 2
0 0
cos x 1 dx
I dx .
(sin x cos x) (tan x 1) cos x
. Đặt
t tan x 1
;ĐS:
3
I
8
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
.
Hướng dẫn:
Đặt
t 2x 3
ĐS:
3
I ln
2
.
Ví dụ 10. Tính tích phân
1
0
3 x
I dx
1 x
.
Hướng dẫn:
Đặt
3
2
2 2
1
3 x t dt
t 8
1 x
(t 1)
; đặt
t tan u
ĐS:
I 3 2
3
.
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
3
Chú ý:
Phân tích
1
0
3 x
I dx
1 x
, rồi đặt
t 1 x
sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 2
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính
( )
b
a
f x dx
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính
/
( )
dx u t dt
.
Bước 2. Đổi cận:
, x a t x b t
.
Bước 3.
/
( ) [ ( )] ( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
.
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
2
2
0
1
I dx
1 x
.
Giải
Đặt
x sin t, t ; dx cos tdt
2 2
ĐỔI CẬN :
1
x 0 t 0, x t
2 6
6 6
2
0 0
cos t cos t
I dt dt
cos t
1 sin t
6
6
0
0
dt t 0
6 6
. Vậy I
6
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2
0
I 4 x dx
.
Hướng dẫn:
Đặt
x 2 sin t
ĐS:
I
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
1
2
0
dx
I
1 x
.
Giải
Đặt
2
x tan t, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
x 0 t 0, x 1 t
4
4 4
2
2
0 0
tan t 1
I dt dt
4
1 tan t
. Vậy I
4
.
Ví dụ 4. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
.
Hướng dẫn:
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
4
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
. Đặt
x 1 tan t
; ĐS: I
12
.
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
2
0
dx
I
4 x
. ĐS: I
2
.
Ví dụ 6. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
. ĐS: I
12
.
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
2
2 3
0
I cos x sin xdx
.
Hướng dẫn:
Đặt
t cos x
ĐS:
2
I
15
.
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
.
Hướng dẫn:
Đặt
t sin x
ĐS:
8
I
15
.
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
2
4 2
0
I cos x sin xdx
.
Giải
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx
16 4
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16 8
3
2
0
x 1 sin 2x
sin 4x
16 64 24 32
.
Vậy I
32
.
Ví dụ 14. Tính tích phân
2
0
dx
I
cos x sin x 1
.
Hướng dẫn:
Đặt
x
t tan
2
. ĐS:
I ln 2
.
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
5
Biểu diễn các hàm số LG theo
tan
2
a
t
:
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân
0
xdx
I
sin x 1
.
Giải
Đặt
x t dx dt
.ĐỔI CẬN
x 0 t , x t 0
0
0
( t)dt
t
I dt
sin( t) 1 sin t 1 sin t 1
0 0
dt dt
I I
sin t 1 2 sin t 1
2
2
0 0
dt dt
t
t t
2 4
cos
sin cos
2 4
2 2
2
0
0
t
d
2 4 t
tan
2 t 2 2 4
cos
2 4
. Vậy
I
.
Tổng quát:
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
.
Ví dụ 16. Tính tích phân
2
2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
.
Giải
Đặt
x t dx dt
2
.ĐỔI CẬN:
x 0 t , x t 0
2 2
2007
0
2007 2007
2
sin t
2
I dx
sin t cos t
2 2
2
2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t
(1).
Mặt khác
2
0
I J dx
2
(2). Từ (1) và (2) suy ra I
4
.
Tổng quát:
2 2
n n
n n n n
0 0
sin x cos x
dx dx , n
sin x cos x sin x cos x 4
.
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
6
Ví dụ 17. Tính tích phân
6
2
0
sin x
I dx
sin x 3 cos x
và
6
2
0
cos x
J dx
sin x 3 cos x
.
Giải
I 3J 1 3
(1).
6 6
0 0
dx 1 dx
I J dx
2
sin x 3 cos x
sin x
3
Đặt
t x dt dx
3
1
I J ln 3
4
(2).
Từ (1) và (2)
3 1 3 1 1 3
I ln 3 , J ln 3
16 4 16 4
.
Ví dụ 18. Tính tích phân
1
2
0
ln(1 x)
I dx
1 x
.
Giải
Đặt
2
x tan t dx (1 tan t)dt
. ĐC: x 0 t 0, x 1 t
4
4 4
2
2
0 0
ln(1 tan t)
I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt
1 tan t
.
Đặt
t u dt du
4
.ĐC:
t 0 u , t u 0
4 4
0
4
0
4
I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du
4
4 4
0 0
1 tan u 2
ln 1 du ln du
1 tan u 1 tan u
4 4
0 0
ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I
4
.Vậy
I ln 2
8
.
Ví dụ 19. Tính tích phân
4
x
4
cos x
I dx
2007 1
.
Hướng dẫn:
Đặt
x t
.ĐS:
2
I
2
.
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
7
Tổng quát:
Với
a > 0
,
0
, hàm số
f(x)
chẵn và liên tục trên đoạn
;
thì
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1
.
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên
và thỏa
f( x) 2f(x) cos x
.
Tính tích phân
2
2
I f(x)dx
.
Giải
Đặt
2
2
J f( x)dx
,
x t dx dt
.ĐC: x t , x t
2 2 2 2
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
2 2
0
2
cos xdx 2 cos xdx 2
. Vậy
2
I
3
.
3.3. Các kết quả cần nhớ
i/ Với
a > 0
, hàm số
f(x)
lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a
a
f(x)dx 0
.
ii/ Với
a > 0
, hàm số
f(x)
chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
.
iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)
2 2
n n
0 0
(n 1)!!
,
n !!
cos xdx sin xdx
(n 1)!!
. ,
n !! 2
neáu n leû
neáu n chaün
.
Trong đó
n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn:
0 !! 1; 1!! 1; 2 !! 2; 3 !! 1.3; 4 !! 2.4; 5 !! 1.3
.5;
6 !! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9 !! 1.3
.5.7.9; 10 !! 2.4.6.8.10
.
Ví dụ 21.
2
11
0
10!! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
.
Ví dụ 22.
2
10
0
9!! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512
.
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
8
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Công thức
Cho hai hàm số
u(x), v(x)
liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có
/ / / /
/ /
uv u v uv uv dx u vdx uv dx
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udv
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu
.
Công thức:
b b
b
a
a a
udv uv vdu
(1).
Công thức (1) còn được viết dưới dạng:
b b
b
/ /
a
a a
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx
(2).
2. Phương pháp giải toán
Giả sử cần tính tích phân
b
a
f(x)g(x)dx
ta thực hiện
Cách 1.
Bước 1. Đặt
u f(x), dv g(x)dx
(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm
v(x)
và vi
phân
/
du u (x)dx
không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân
b
a
vdu
phải tính được.
Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
i/ Nếu gặp
b b b
ax
a a a
P(x)sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dx
Với P(x) là đa thức thì đặt
u P(x)
.
ii/ Nếu gặp
b
a
P(x) ln xdx
thì đặt
u ln x
.
Cách 2.
Viết lại tích phân
b b
/
a a
f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx
và sử dụng trực tiếp công thức (2).
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
x
0
I xe dx
.
Giải
Đặt
x
x
u x
du dx
dv e dx
v e
1 1
1
1
x x x x
0
0
0 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1
.
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
9
Ví dụ 2. Tính tích phân
e
1
I x ln xdx
.
Giải
Đặt
2
dx
du
u ln x
x
dv xdx
x
v
2
e e
e
2 2
1
1 1
x 1 e 1
x ln xdx ln x xdx
2 2 4
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
2
x
0
I e sin xdx
.
Giải
Đặt
x
x
u sin x
du cos xdx
dv e dx v e
2 2
x x x
2
2
0
0 0
I e sin xdx e sin x e cos xdx e J
.
Đặt
x
x
u cos x
du sin xdx
dv e dx
v e
2 2
x x x
2
0
0 0
J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I
2
2
e 1
I e ( 1 I) I
2
.
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
4
0
I cos xdx
.
Hướng dẫn:
Đặt
t x
2
0
I 2 t cos tdt 2
.
Ví dụ 8. Tính tích phân
e
1
I sin(ln x)dx
. ĐS:
(sin1 cos1)e 1
I
2
.
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
Phương pháp giải toán:
1. Dạng 1:
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
10
Giả sử cần tính tích phân
b
a
I f(x) dx
, ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x
a
1
x
2
x
b
f(x)
0
0
Bước 2. Tính
1 2
1 2
b x x b
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
2
2
3
I x 3x 2 dx
.
Giải
Bảng xét dấu
x
3
1
2
2
x 3x 2
0
0
1 2
2 2
3 1
59
I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2
. Vậy
59
I
2
.
Ví dụ 10. Tính tích phân
2
2
0
I 5 4 cos x 4 sin xdx
. ĐS: I 2 3 2
6
.
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân
b
a
I f(x) g(x) dx
, ta thực hiện
Cách 1.
Tách
b b b
a a a
I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx
rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 11. Tính tích phân
2
1
I x x 1 dx
.
Giải
Cách 1.
2 2 2
1 1 1
I x x 1 dx x dx x 1 dx
0 2 1 2
1 0 1 1
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
11
0 2 1 2
2 2 2 2
1 0 1 1
x x x x
x x 0
2 2 2 2
.
Cách 2.
Bảng xét dấu
x
–
1 0 1 2
x
– 0 +
+
x
–
1
–
–
0 +
0 1 2
1 0 1
I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx
1
2
0 2
1 1
0
x x x x 0
. Vậy
I 0
.
3. Dạng 3
Để tính các tích phân
b
a
I max f(x), g(x) dx
và
b
a
J min f(x), g(x) dx
, ta thực
hiện các bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
h(x) f(x) g(x)
trên đoạn [a; b].
Bước 2.
+ Nếu
h(x) 0
thì
max f(x), g(x) f(x)
và
min f(x), g(x) g(x)
.
+ Nếu
h(x) 0
thì
max f(x), g(x) g(x)
và
min f(x), g(x) f(x)
.
Ví dụ 12. Tính tích phân
4
2
0
I max x 1, 4x 2 dx
.
Giải
Đặt
2 2
h(x) x 1 4x 2 x 4x 3
.
Bảng xét dấu
x
0 1 3 4
h(x)
+ 0
–
0 +
1 3 4
2 2
0 1 3
80
I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx
3
.
Vậy
80
I
3
.
Ví dụ 13. Tính tích phân
2
x
0
I min 3 , 4 x dx
.
Giải
Đặt
x x
h(x) 3 4 x 3 x 4
.
Bảng xét dấu
x
0 1 2
h(x)
–
0 +
1 2
2
1
x 2
x
0
1
0 1
3 x 2 5
I 3 dx 4 x dx 4x
ln 3 2 ln 3 2
.Vậy
2 5
I
ln 3 2
.
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
12
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Để chứng minh
b
a
f(x)dx 0
(hoặc
b
a
f(x)dx 0
) ta chứng minh
f(x) 0
(hoặc
f(x) 0
) với
x a; b
.
Ví dụ 14. Chứng minh
1
3
6
0
1 x dx 0
.
Giải
Với
1
3 3
6 6 6
0
x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0
.
2. Dạng 2
Để chứng minh
b b
a a
f(x)dx g(x)dx
ta chứng minh
f(x) g(x)
với
x a; b
.
Ví dụ 15. Chứng minh
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
.
Giải
Với
11 10
x 0; : 0 sin x 1 0 sin x sin x
2
10 11
10 11
1 1
1 sin x 1 sin x 0
1 sin x 1 sin x
.
Vậy
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
.
3. Dạng 3
Để chứng minh
b
a
A f(x)dx B
ta thực hiện các bước sau.
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được
m f(x) M
.
Bước 2. Lấy tích phân
b
a
A m(b a) f(x)dx M(b a) B
.
Ví dụ 16. Chứng minh
1
2
0
2 4 x dx 5
.
Giải
Với
2 2
x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5
.
Vậy
1
2
0
2 4 x dx 5
.
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
13
Ví dụ 17. Chứng minh
3
4
2
4
dx
4 2
3 2 sin x
.
Giải
Với
2
3 2 1
x ; : sin x 1 sin x 1
4 4 2 2
2
2
1 1
1 3 2 sin x 2 1
2
3 2 sin x
3
4
2
4
1 3 dx 3
1
2 4 4 4 4
3 2 sin x
. Vậy
3
4
2
4
dx
4 2
3 2 sin x
.
Ví dụ 18. Chứng minh
3
4
3 cotx 1
dx
12 x 3
.
Giải
Xét hàm số
cotx
f(x) , x ;
x 4 3
ta có
2
/
2
x
cotx
sin x
f (x) 0 x ;
4 3
x
f f(x) f x ;
3 4 4 3
3 cotx 4
x ;
x 4 3
3
4
3 cotx 4
dx
3 4 x 3 4
. Vậy
3
4
3 cotx 1
dx
12 x 3
.
4. Dạng 4 (tham khảo)
Để chứng minh
b
a
A f(x)dx B
(mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện
Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho
b
b
a
a
f(x) g(x) x a; b
f(x)dx B
g(x)dx B
.
Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho
b
b
a
a
h(x) f(x) x a; b
A f(x)dx
h(x)dx A
.
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
14
Ví dụ 19. Chứng minh
2
2
2007
0
2 dx
2 4
1 x
.
Giải
Với
2007 2
2 1
x 0; : 0 x x
2 2
2 2007
2007 2
1 1 1
1 x 1 x 1 1
2
1 x 1 x
2 2 2
2 2 2
2007 2
0 0 0
dx dx
dx
1 x 1 x
.
Đặt
x sin t dx cos tdt
.ĐC:
2
x 0 t 0, x t
2 4
2
2 4
2
0 0
dx cos tdt
cos t 4
1 x
. Vậy
2
2
2007
0
2 dx
2 4
1 x
.
Ví dụ 20. Chứng minh
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2
x 2 1
.
Giải
Với
2
x 0; 1 : 2 1 x 2 1 3 1
2
x x x
3 1 2 1
x 2 1
1 1 1
2
0 0 0
xdx xdx xdx
3 1 2 1
x 2 1
.
Vậy
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2
x 2 1
.
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
1. Diện tích hình thang cong
Cho hàm số
f(x)
liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
y f(x), x a, x b
và trục hoành là
b
a
S f(x) dx
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) dx
.
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y ln x, x 1, x e
và Ox.
Giải
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
15
Do
ln x 0 x 1; e
nên
e e
e
1
1 1
S ln x dx ln xdx x ln x 1 1
. Vậy
S 1
(đvdt).
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
y x 4x 3, x 0, x 3
và Ox.
Giải
Bảng xét dấu
x
0 1 3
y
–
0 + 0
1 3
2 2
0 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 8
2x 3x 2x 3x
3 3 3
. Vậy
8
S
3
(đvdt).
2. Diện tích hình phẳng
2.1. Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y g(x), x a, x b
là
b
a
S f(x) g(x) dx
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) g(x)
trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) g(x) dx
.
2.2. Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y g(x)
là
S f(x) g(x) dx
. Trong đó
,
là nghiệm nhỏ nhất và lớn
nhất của phương trình
f(x) g(x)
a b
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình
f(x) g(x)
.
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) g(x)
trên đoạn
;
.
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
f(x) g(x) dx
.
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 2
y x 11x 6, y 6x
,
x 0, x 2
.
Giải
Đặt
3 2 3 2
h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6
h(x) 0 x 1 x 2 x 3
(loại).
Bảng xét dấu:
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
16
x
0 1 2
h(x)
–
0 + 0
1 2
3 2 3 2
0 1
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx
1 2
4 2 4 2
3 3
0 1
x 11x x 11x 5
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
. Vậy
5
S
2
(đvdt).
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 2
y x 11x 6, y 6x
.
Giải
Đặt
3 2 3 2
h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6
h(x) 0 x 1 x 2 x 3
.
Bảng xét dấu
x
1 2
3
h(x)
0 + 0
–
0
2 3
3 2 3 2
1 2
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx
2 3
4 2 4 2
3 3
1 2
x 11x x 11x 1
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
. Vậy
1
S
2
(đvdt).
Chú ý:Nếu trong đoạn
;
phương trình
f(x) g(x)
không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể
dùng công thức
f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
.
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
3
y x , y 4x
.
Giải
Ta có
3
x 4x x 2 x 0 x 2
0 2
3 3
2 0
S x 4x dx x 4x dx
0 2
4 4
2 2
2 0
x x
2x 2x 8
4 4
.
Vậy
S 8
(đvdt).
Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
y x 4 x 3
và trục hoành.
Giải
Ta có
2 2
x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0
t 1 x 1 x 1
t 3 x 3 x 3
3 3
2 2
3 0
S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx
1 3
2 2
0 1
2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
17
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 16
2 2x 3x 2x 3x
3 3 3
. Vậy
16
S
3
(đvdt).
Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
y x 4x 3
và
y x 3
.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm
2
x 4x 3 x 3
2
2
x 3 0
x 0
x 4x 3 x 3
x 5
x 4x 3 x 3
.
Bảng xét dấu
x
0 1 3 5
2
x 4x 3
+ 0
–
0 +
1 3 5
2 2 2
0 1 3
S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx
1 3 5
3 2 3 2 3 2
0 1 3
x 5x x 3x x 5x 109
6x
3 2 3 2 3 2 6
. Vậy
109
S
6
(đvdt).
Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
y x 1 , y x 5
.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm
2 2
x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0
2
2
t x 0
t x 0
t 1 t 5
x 3
t 3
t 1 t 5
3 3
2 2
3 0
S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx
Bảng xét dấu
X
0 1 3
2
x 1
–
0 +
1 3
2 2
0 1
S 2 x x 4 dx x x 6 dx
1 3
3 2 3 2
0 1
x x x x 73
2 4x 6x
3 2 3 2 3
. Vậy
73
S
3
(đvdt).
Chú ý:
Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có).
B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY:
1. Trường hợp 1.
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
18
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x) 0 x a;b
,
y 0
,
x a
và
x b (a b)
quay quanh trục Ox là
b
2
a
V f (x)dx
.
Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn
2 2 2
(C) : x y R
quay quanh Ox.
Giải
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là
2 2
x R x R
.
Phương trình
2 2 2 2 2 2
(C) : x y R y R x
R R
2 2 2 2
R 0
V R x dx 2 R x dx
R
3 3
2
0
x 4 R
2 R x
3 3
. Vậy
3
4 R
V
3
(đvtt).
2. Trường hợp 2.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
x g(y) 0 y c;d
,
x 0
,
y c
và
y d (c d)
quay quanh trục Oy là
d
2
c
V g (y)dy
.
Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse
2 2
2 2
x y
(E) : 1
a b
quay quanh Oy.
Giải
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là
2
2
y
1 y b
b
.
Phương trình
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x y a y
(E) : 1 x a
a b b
b b
2 2 2 2
2 2
2 2
b 0
a y a y
V a dy 2 a dy
b b
R
2 3 2
2
2
0
a y 4 a b
2 a y
3
3b
. Vậy
2
4 a b
V
3
(đvtt).
3. Trường hợp 3.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y g(x)
,
x a
và
x b (a b, f(x) 0, g(x) 0 x a; b )
quay quanh trục Ox là
b
2 2
a
V f (x) g (x) dx
.
Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y x
,
2
y x
quay
quanh Ox.
Giải
Hoành độ giao điểm
4
x 0
x 0
x 1
x x
.
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
19
1 1
4 4
0 0
V x x dx x x dx
1
5 2
0
1 1 3
x x
5 2 10
. Vậy
3
V
10
(đvtt).
4. Trường hợp 4.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
x f(y), x g(y)
,
y c
và
y d (c d, f(y) 0, g(y) 0 y c; d )
quay quanh trục Oy là
d
2 2
c
V f (y) g (y) dy
.
Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
x y 5
,
x 3 y
quay quanh Oy.
Giải
Tung độ giao điểm
2
y 1
y 5 3 y
y 2
.
2
2
2
2
1
V y 5 3 y dy
2
4 2
1
y 11y 6y 16 dy
2
5 3
2
1
y 11y 153
3y 16y
5 3 5
. Vậy
153
V
5
(đvtt).
PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
D
ấu hiệu
Cách ch
ọn
2 2
a x
Đặt x = |a| sint; với
;
2 2
t
hoặc x = |a| cost; với
0;
t
2 2
x a
Đặt x =
a
sint
; với
; \ 0
2 2
t
hoặc x =
a
cost
; với
0; \
2
t
2 2
a x
Đặt x = |a|tant; với
;
2 2
t
hoặc x = |a|cost; với
0;
t
a x
a x
hoặc
a x
a x
Đặt x = acos2t
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
20
x a b x
Đặt x = a + (b – a)sin
2
t
2 2
1
a x
Đặt x = atant; với
;
2 2
t
Bài 1: Tính
1
2
2
2
2
1 x
I dx
x
Giải:
Đặt x = cost,
;
2 2
t
.
dx = - sint d.
Đổi cận:
x
2
2
4
t
1
0
Khi đó:
1
2
2
2
2
1 x
I dx
x
=
0
2
2
4
1 os .
c t sint
dt
cos t
=
4
2
0
sin .sin
t t
dt
cos t
=
24
2
0
sin
t
dt
cos t
=
4
2
0
1
1
dt
cos t
=
tan
4
0
t t
= 1
4
. (vì
0;
4
t
nên sint
0 sin sin
t t
)
Bài 2: Tính
2 2 2
0
a
I x a x dx
Giải:
Đặt x = asint,
;
2 2
t
.
dx = acostdt
Đổi cận:
X
0
A
T 0
2
Khi đó:
2 2 2
0
a
I x a x dx
=
2
2 2 2 2
0
sin 1 sin .
a t a t acostdt
=
2
4 2 2
0
sin
a tcos tdt
=
4 2
2
0
sin 2
4
a
tdt
=
4 2
0
1 4
8
a
cos t dt
=
4
1
sin 4
2
8 4
0
a
t t
=
4
16
a
Bài 3: Tính
1
2 2
0
1
I x x dx
Giải:
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
21
Đặt x = sint,
;
2 2
t
.
dx = costdt.
Đổi cận:
x
0
1
t 0
2
Khi đó:
1
2 2
0
1
I x x dx
=
2
2 2
0
sin 1 sin .
t t costdt
=
2
2 2
0
1
sin
4
tcos tdt
=
2
2
0
1
sin 2
4
tdt
=
=
2
0
1
1 4
8
cos t dt
=
1 1
sin 4
2
8 4
0
t t
=
16
Bài 4: Tính
1
3 2
0
1
I x x dx
Giải: Đặt t =
2
1
x
t
2
= 1 – x
2
xdx = -tdt
Đổi cận:
x
0
1
t
1
0
Khi đó:
1
3 2
0
1
I x x dx
=
1
2 2
0
1
I x x xdx
=
1
2
0
1 . .
t t tdt
=
1
2 4
0
t t dt
=
3 5
1
0
3 5
t t
=
2
.
15
Bài 5: Tính
2
5
ln
e
e
dx
I
x x
Giải: Đặt t = lnx
dt =
dx
x
Đổi cận:
x
e
e
2
t
1
2
Khi đó:
2
5
ln
e
e
dx
I
x x
=
2
5
1
dt
t
=
4
2
1 15
.
1
4 64
t
Bài 6: Tính
1
4
3 4
0
1
I x x dx
Giải: Đặt t = x
4
+ 1
dt = 4x
3
dx
3
4
dt
x dx
Đổi cận:
x
0
1
t
1
2
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
22
Khi đó:
1
4
3 4
0
1
I x x dx
=
2
4 5
1
2
1 1 31
.
1
4 20 20
t dt t
Bài 7: Tính
2
5
0
sin
I xcoxdx
Giải: Đặt t = sinx ;
dt cosxdx
Đổi cận:
x 0
2
t
0
1
Khi đó:
1
2
5 5
0 0
1
sin
6
I xcoxdx t dt
.
Bài 8: Tính
12
4
0
tan
I xdx
Giải:
Ta có:
12 12
0 0
sin 4
tan 4
4
x
xdx dx
cos x
Đặt t = cos4x ; 4s 4 sin 4
4
dt
dt in xdx xdx
Đổi cận:
x 0
12
t 1
1
2
Khi đó:
1
1
12 12 2
1
0 0 1
2
1
sin 4 1 1 1 1
tan 4 ln ln 2.
1
4 4 4 4 4
2
x dt dt
I xdx dx t
cos x t t
Bài 9: Tính
2
5
0
I cos xdx
Giải:
Ta có:
2 2 2
2
5 4 2
0 0 0
1 sin
cos xdx cos xcoxdx x coxdx
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx
Đổi cận:
x 0
2
t
0
1
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
23
Khi đó:
3 52 2 2 2
2 2
5 2 2 2 4
0 0 0 0
1
2 5
1 sin 1 1 2 .
0
3 5 18
t t
I cos xdx x coxdx t dt t t dt t
Bài 10: Tính
4
4
0
1
I dx
cos x
Giải: Đặt t = tanx ;
2
1
dt dx
cos x
Đổi cận:
x 0
4
t
0
1
Khi đó:
1
34 4
2 2
4 2
0 0 0
1
1 1 4
1 tan 1 .
0
3 3
t
I dx x dx t dt t
cos x cos x
Bài 11: Tính
3
2
2
6
s
cos x
I dx
in x
Giải: Đặt t = sinx ;
dt cosxdx
Đổi cận:
x
6
2
t
1
2
1
Khi đó:
1 1
3 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
6 6 2 2
1
(1 s ) 1 1 1 1
1 .
1
s s 2
2
cos x in x t
I dx cosxdx dt dt t
in x in x t t t
Bài 12: Tính
2
3 3
0
sin
I xcos xdx
Giải:
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx
Đổi cận:
x
0
2
t
0
1
Khi đó:
1 1
4 62 2
3 3 3 2 3 2 3 5
0 0 0 0
1
1
sin sin 1 sin 1 .
0
4 6 12
t t
I xcos xdx x x cosxdx t t dt t t dt
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
24
Bài 13: Tính
2
2
sin
0
sin 2
x
I e xdx
Giải:
Đặt t = sin
2
x ; s 2
dt in xdx
Đổi cận:
x
0
2
t
0
1
Khi đó:
2
1
2
sin
0 0
1
sin 2 1.
0
x t t
I e xdx e dt e e
Bài 14: Tính
2
2
0
sin 2
1
x
I dx
cos x
Giải:
Đặt t = 1 + cos
2
x ; s 2 s 2
dt in xdx in xdx dt
Đổi cận:
x
0
2
t
2
1
Khi đó:
1 2
2
2
0 2 1
2
sin 2
ln ln 2.
1
1
x dt dt
I dx t
cos x t t
Bài 15: Tính
4
3
0
tan
I xdx
Giải:
Đặt t = tanx ;
2 2
2
1 tan 1
1
dt
dt x dx t dt dx
t
Đổi cận:
x
0
4
t
0
1
Khi đó:
2
1 1 1 1 1
3 2
4
3
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
1
1
1 2 1
tan
01 1 2 1 2 2 1
1
1 1 1 1 1
ln 1 ln 2 1 ln 2 .
0
2 2 2 2 2
d t
t t t t
I xdx dt t dt tdt dt
t t t t
t
Bài 16: Tính
1
0
1
1
I dx
x
/>THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
25
Giải:
Đặt t =
x
;
2
2
t x dx tdt
Đổi cận:
x
0
1
t
0
1
Khi đó:
1 1 1
0 0 0
1
1 1
2 2 1 2 ln 1 2 1 ln 2 .
0
1 1
1
t
I dx dt dt t t
t t
x
Bài 17: Tính
1
33 4
0
1
I x x dx
Giải:
Đặt t =
3 4 3 4 3 2
3
1 1
4
x t x x dx t dt
Đổi cận:
x
0
1
t
1
0
Khi đó:
1 1
33 4 3 4
0 0
1
3 3 3
1 .
0
4 16 16
I x x dx t dt t
Bài 18: Tính
0
2
1
1
2 4
I dx
x x
Giải:
Ta có:
0 0
2
2
2
1 1
1 1
2 4
1 3
dx dx
x x
x
Đặt
1 3 tan
x t
với
2
; . 3 1 tan
2 2
t dx t dt
Đổi cận:
x
-
1
0
t 0
6
Khi đó:
0
6
2
1 0
1 3 3 3
.
6
2 4 3 3 18
0
I dx dt t
x x
Bài 19: Tính
1
3
8
0
1
x
I dx
x
Giải:
Ta có:
1 1
3 3
2
8
4
0 0
1
1
x x
dx dx
x
x
Đặt
4
tan
x t
với
3 2
1
; . 1 tan
2 2 4
t x dx t dt
/>
