Tải bản đầy đủ (.doc) (24 trang)

Tích phân chọn lọc lý thuyết và bài tập

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (166.61 KB, 24 trang )

Bài 1 : ĐẠO HÀM
1/ Công thức đạo hàm
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ
bản
Đạo hàm của hàm số
hợp
( )
( )
1
/
/
.
0

=
=
αα
α
xx
C
2
/
11
x
x
−=







( )
x
x
2
1
/
=
( )
/1
/
.. UUU

=
αα
α
/
2
/
.
11
U
U
U
−=







( )
/
/
.
2
1
U
U
U
=
( )
( )
( )
( )
( )
xg
x
gx
xtg
x
tgx
xx
xx
2
2
/
2
2
/

/
/
cot1
sin
1
cot
1
cos
1
sincos
cossin
+−=−=
+==
−=
=
( )
( )
( )
( )
/
2
/
/
2
/
/
/
/
/
sin

1
cot
cos
1
.
.sincos
.cossin
U
U
gU
U
U
tgU
UUU
UUU
−=
=
−=
=
( )
( )
aaa
ee
xx
xx
ln.
/
/
=
=

( )
( )
/
/
/
/
.ln.
.
Uaaa
Uee
UU
UU
=
=

( )
( )
ax
x
x
x
a
ln.
1
log
1
ln
/
/
=

=
( )
( )
aU
U
U
U
U
U
a
ln.
log
ln
/
/
/
/
=
=
2.Các bài tập đạo hàm :
1/ y =
tgx21
+
2/ y = x.cotgx
3/ y = tg
2
1
+
x
4/ y = sin(sinx)

5/ y = cotg
( )
3 2
1 x
+
6/ y = ln
2
x
7/ y = ln(x
2
+1) 8/ y = ln
4
(sinx)
9/ y =
xx
1
10/ y =
2
xx
ee

+
11/
xx
y 3.2
=
12)
x
x
y

ln
=

13/
x
xy
=
Bài 2 :NGUYÊN HÀM
1/Đònh nghóa nguyên hàm:
. F (x) là nguyên hàm của f( x) trên (a,b)



( ) ( )
xFxf
/
=
*lưu ý :
+ F(x) chỉ là một nguyên hàm của f(x)
+ F(x) + C là một họ nguyên hàm của f(x) và kí
hiệu

dxxf )(
. Ta có:

( )
)()()(
/
xfxFCxFdxxf
=⇔+=


2/Bảng các nguyên hàm
Nguyên hàm của các
hàm số sơ cấp
Nguyên hàm mở rộng






+=
+=
+=

−=
+
+
=
+=

+
C
a
a
dxa
Cedxe
Cxdx
x
xn

dx
x
C
x
dxx
Cxdx
x
x
xx
nn
ln
ln
1
)1(
11
1
1
1
1
α
α
α
( )




+=
++=
+

+
+
+
=+
+=
+
+
Ce
a
dxe
Cbax
a
dx
bax
C
bax
a
dxbax
Ckxkdx
xbax
1
ln
11
1
)(1
1
α
α
α





+−=
+=
+−=
+=
Cgxdx
x
Ctgxdx
x
Cxxdx
Cxxdx
cot
sin
1
cos
1
cossin
sincos
2
2




++−=
+
++=
+

++−=+
++=+
Cbaxg
a
dx
bax
Cbaxtg
a
dx
bax
Cbax
a
dxbax
Cbax
a
dxbax
)(cot
1
)(sin
1
)(
1
)(cos
1
)cos(
1
)sin(
)sin(
1
)cos(

2
2
3.Các tính chất của nguyên hàm
a)
[ ]
∫∫∫
+=+
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

b)
[ ]
∫∫∫
−=−
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c)
∫ ∫
=
dxxfkdxxkf )()(
4.Các bài tập:
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1/ f(x) = x
2
-3x+
x
1

2/ f(x) =
( )
2
2

3 x

3/ f(x) =
2
4
32
x
x
+

4/ f(x) =
43
xxx
++

5/ f(x) =
xx
−+
1
1
6/ f(x) =
3
11
xx

7/ f(x) = tg
2
x
8/ f(x) = sin2x.cos3x
9/ f(x) = 2sin

2
2
x

10/ f(x) =
( )
xx
ee

1
11/ f(x) =
xx
x
22
sin.cos
2cos
12/ f(x) =
52
1
+
x
13/ Chứng minh rằng F(x) = xlnx – x là một nguyên hàm của f(x) = lnx
14/ Tìm một nguyên hàm cho hàm f đònh bởi f(x) = 2x(x
3
+1). Biết rằng nguyên hàm này bằng 3
khi x= -1
15/ Xác đònh các số a;b;c để hàm số F(x) = (a.x
2
+bx+c)
x

e
2

là một nguyên hàm của hàm số
f(x) =(-2x
2
+8x-7)
x
e
2

trên R
Bài 3: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ

* Để tính tích hữu tỉ dạng
)(
)(
xQ
xP
với bậc tử lớn hơn mẫu, ta chia tử cho mẫu Khi đó ta được

)(
)(
xQ
xP
= A(x)+
)(
)(
xQ
xR

trong đó bậc R(x)

bậc Q(x)
* Do đó ta quan tâm việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn mẫu
Dạng
( )
( )( )( )

−−−
dx
cxbxax
xp
: Đặt:
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
cx
c
bx
B
ax
A
cxbxax
xp

+

+

=
−−−
.

)(
Từ đó ta xác đònh được A, B, C
Dạng
( )( )

−−
dx
bxax
xP
3
)(
Đặt:
( )( ) ( ) ( )
323
)(
bx
D
bx
C
bx
B
ax
A
bxax
xP

+

+


+

=
−−
@ Cần nhớ : công thức nguyên hàm hữu tỉ sau
Cbax
a
dx
bax
++=
+

ln
11

( )

+
+
−=
+
C
baxa
dx
bax
1
.
11
2


( )( )
∫ ∫










−−
=
−−
βαβαβα
xx
dx
xx
1111
( )( )
∫ ∫
=
+−
=

dx
axax
dx
ax

11
22

=

+








+

=






+


C
ax
ax
a

dx
axaxa
ln
2
111
2
1
Bài tập: Tìm các nguyên hàm sau
1/ a) Xác đònh các hằng số A, B sao cho

233
)1()1()1(
13
+
+
+
=
+
+
x
B
x
A
x
x
b) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)=
3
)1(
13
+

+
x
x
Đs: A = –2, B = 3,
C
x
x
xF
+
+

+
=
1
3
)1(
1
)(
2
2/

+−
dx
xx 44
1
2
3/

++
dx

xx
x
12
2
3

4/

−+
+
dx
xxx
x
2
32
23
5/
dx
xx
xx

+−
++
23
333
2
2

6/
dx

x
xx

+
++
3
23
2
7/

+
++
dx
x
xx
2
54
2

8/
( )

+
dx
x
3
32
1
9/


+−
dx
xx 96
1
2

10/

+−
dx
xx 65
1
2
11/

+−−
+
dx
xxx
x
652
13
23
2

12/

−−
+
dx

xxx
x
)5)(2(
107

Bài 4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯNG GIÁC
1/. Cần nhớ công thức :

( )
Cx
a
dxbax
+−=+

cos
1
sin

( )
( )
Cbaxtg
a
dx
bax
++=
+

1
cos
1

2


( )
( )
Cbaxg
a
dx
bax
++−=
+

cot
1
sin
1
2
2/. Ta thường dùng đổi biến số để tính tích phân các hàm số lượng giác
* Dạng
( )

xdxxR cossin
đặt t = sinx
* Dạng
( )

xdxxR sincos
đặt t = cosx
* Dạng
( )


dx
x
tgxR
2
cos
1
đặt t = tgx
* Dạng
( )

dx
x
gxR
2
sin
1
cot
đặt t = cotgx
* Dạng
[ ]
dxxxR
nn

22
cos,sin
dùng công thức hạ bậc
2
2cos1
cos

2
x
x
+
=
,
2
2cos1
sin
2
x
x

=

* Dạng

bxdxax sin.cos
dùng công thức biến đổi
* tích thành tổng
C + C = 2CC C - C = 2SS
S + S = 2SC S - S = 2CS

)]cos()[cos(
2
1
cos.cos bababa
−++=
)]cos()[cos(
2

1
sin.sin bababa
−−+−=
)]sin()[sin(
2
1
cos.sin bababa
−++=
)]sin()[sin(
2
1
sin.cos bababa
−−+=
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau
a)

xdxx
52
cossin

b)

xdxx
23
cossin
c)

dx
x
x

4
cos
sin

d)

dx
x
6
cos
1
Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau
a)

xdxx
22
cossin

b)

xdx
4
sin

c)

xdx
6
cos


d)

xdx
2
cos

e)

dx
x
3
sin
Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau
a)

dx
xsin
1

b)

dx
xcos
1

c)

+
dx
xcos45

1

d)

dx
x
4
cos
1
Bài 4: Tìm các nguyên hàm sau
a)

xdxx 2cos3sin

b)

xdxx 3coscos

Bài 5 : Tìm các nguyên hàm sau
a)
tgxdx



b)
2
tg xdx


c)

3
tg xdx



d)
4
tg xdx



e)
2
4
sin
cos
x
dx
x


f)
1
sin2
dx
x


Bài 5 : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1.Đònh nghóa: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên

[ ]
ba,
và F(x) là một nguyên hàm của f(x) .
Hiệu f(b) –f(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x).Kí hiệu:


−==
b
a
b
a
aFbFxFdxxf )()()()(
2.Chú ý:

=
b
a
dxxf )(

b
a
dttf )(
=

b
a
duuf )(
3.Các tính chất :
1/
0)(


=
a
a
dxxf
2/

=
b
a
dxxf )(
-

a
b
dxxf )(

3/

=
b
a
dxxf )(

c
a
dxxf )(
+

b

c
dxxf )(
4/

=
b
a
dxxfk )(.

b
a
dxxfk )(.
5/
[ ]

=+
b
a
dxxgxf )()(

b
a
dxxf )(
+

b
a
dxxg )(

6/

( )
abMMdx
b
a
−=


7/ Nếu f(x)

g(x) ,
[ ]
bax ,
∈∀
thì
dxxgdxxf
b
a
b
a
∫ ∫

)()(
*Đặc biệt, nếu f(x)

0 ,
[ ]
bax ,
∈∀
thì


b
a
dxxf )(
0

8/ Nếu f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
ba,


[ ]
baxMxfm ,,)(
∈∀≤≤
thì
m(b-a)



b
a
dxxf )(

M(b-a)
.Bài tập :Tính các tích phân sau
1/

−++
3
1
11 xx

dx
Đsố:
)22(
3
4

2/

+
1
0
3
1
dx
x
x
Đsố :
2ln
6
5

3/
dx
x
x


2
1
0

2
4
1
Đsố







3ln
12
13
2
1
4/
( )

+
4
1
2
1xx
dx
Đsố
8
5
ln
4

3
+
5/

π
0
4
cos xdx
Đsố
8
3
π
6/
( )

+
4
0
44
cossin
π
dxxx
Đsố
16
3
π
7/

+
π

0
2cos1 dxx
Đsố
22
8/


2
2
sin
π
π
dxx
Đsố 2
9/

+
π
0
sin1 dxx
Đsố
24
10/ a) Cho hàm số f(x) =
xx
x
cossin
sin
+
. Tìm a ,b để f(x) = a+b
xx

xx
cossin
sincos
+


b) Tính

2
0
)(
π
dxxf
(Đsố
2
1
=−=
ba
, I =
4
π
)
11/ a) Tính đạo hàm của hàm số
F(x) = ln
12
12
2
2
++
+−

xx
xx
. Tính I =
dx
x
x

+

1
1
4
2
Đsố
1
1
22)(
4
2
/
+

=
x
x
xF
,
)12ln(
2
2

−=
I
12/ Tính








t
dxx
0
4
2
3
sin4
. Từ đó giải pt f(t) = 0
13/ Tính
( )

∈+
1
0
;1 Nndxx
n
.Từ kết quả đó chứng minh rằng 1+
1
12

1
1
...
3
1
2
1
1
21
+

=
+
+++
+
n
C
n
CC
n
n
nnn
14/


3
4
2
2
cos

cot23
π
π
dx
x
xg
15/


π
0
2
sin1 dxx
16/
dx
x
x

+
+
1
0
1
12

17/

+
++
3

1
2
2
132
dx
x
xx

18/


+−
0
1
2
34xx
dx
19/

++
2
0
2
3
12
dx
xx
x



20/

+−
+
5
3
2
23
1
dx
xx
x
21/
( )

+
+
1
0
3
1
13
dx
x
x


22/
dx
xx


+−
1
0
2
56
1

23/


2
0
2
dxxx
Đáp số : 1
Bài 6: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1.Tích phân đổi biến loại I : Đặt x =
( )
t
ϕ
* Dạng


dxxa
22

Đặt x = asint với







−∈
2
,
2
ππ
t
* Dạng

+
dx
xa
22
1

Đặt x = atgt t






−∈
2
,
2
ππ



@ Lưu ý : đổi biến phải đổi cận

×