Tích phân chọn lọc lý thuyết và bài tập

Bài 1 : ĐẠO HÀM
1/ Công thức đạo hàm
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ
bản
Đạo hàm của hàm số
hợp
( )
( )
1
/
/
.
0
−
=
=
αα
α
xx
C
2
/
11
x
x
−=







( )
x
x
2
1
/
=
( )
/1
/
.. UUU
−
=
αα
α
/
2
/
.
11
U
U
U
−=







( )
/
/
.
2
1
U
U
U
=
( )
( )
( )
( )
( )
xg
x
gx
xtg
x
tgx
xx
xx
2
2
/
2
2
/

/
/
cot1
sin
1
cot
1
cos
1
sincos
cossin
+−=−=
+==
−=
=
( )
( )
( )
( )
/
2
/
/
2
/
/
/
/
/
sin

1
cot
cos
1
.
.sincos
.cossin
U
U
gU
U
U
tgU
UUU
UUU
−=
=
−=
=
( )
( )
aaa
ee
xx
xx
ln.
/
/
=
=

( )
( )
/
/
/
/
.ln.
.
Uaaa
Uee
UU
UU
=
=

( )
( )
ax
x
x
x
a
ln.
1
log
1
ln
/
/
=

=
( )
( )
aU
U
U
U
U
U
a
ln.
log
ln
/
/
/
/
=
=
2.Các bài tập đạo hàm :
1/ y =
tgx21
+
2/ y = x.cotgx
3/ y = tg
2
1
+
x
4/ y = sin(sinx)

5/ y = cotg
( )
3 2
1 x
+
6/ y = ln
2
x
7/ y = ln(x
2
+1) 8/ y = ln
4
(sinx)
9/ y =
xx
1
10/ y =
2
xx
ee
−
+
11/
xx
y 3.2
=
12)
x
x
y

ln
=

13/
x
xy
=
Bài 2 :NGUYÊN HÀM
1/Đònh nghóa nguyên hàm:
. F (x) là nguyên hàm của f( x) trên (a,b)

⇔

( ) ( )
xFxf
/
=
*lưu ý :
+ F(x) chỉ là một nguyên hàm của f(x)
+ F(x) + C là một họ nguyên hàm của f(x) và kí
hiệu
∫
dxxf )(
. Ta có:

( )
)()()(
/
xfxFCxFdxxf
=⇔+=

∫
2/Bảng các nguyên hàm
Nguyên hàm của các
hàm số sơ cấp
Nguyên hàm mở rộng
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+=
+=
+=
−
−=
+
+
=
+=
−
+
C
a
a
dxa
Cedxe
Cxdx
x
xn

dx
x
C
x
dxx
Cxdx
x
x
xx
nn
ln
ln
1
)1(
11
1
1
1
1
α
α
α
( )
∫
∫
∫
∫
+=
++=
+

+
+
+
=+
+=
+
+
Ce
a
dxe
Cbax
a
dx
bax
C
bax
a
dxbax
Ckxkdx
xbax
1
ln
11
1
)(1
1
α
α
α
∫

∫
∫
∫
+−=
+=
+−=
+=
Cgxdx
x
Ctgxdx
x
Cxxdx
Cxxdx
cot
sin
1
cos
1
cossin
sincos
2
2
∫
∫
∫
∫
++−=
+
++=
+

++−=+
++=+
Cbaxg
a
dx
bax
Cbaxtg
a
dx
bax
Cbax
a
dxbax
Cbax
a
dxbax
)(cot
1
)(sin
1
)(
1
)(cos
1
)cos(
1
)sin(
)sin(
1
)cos(

2
2
3.Các tính chất của nguyên hàm
a)
[ ]
∫∫∫
+=+
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

b)
[ ]
∫∫∫
−=−
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c)
∫ ∫
=
dxxfkdxxkf )()(
4.Các bài tập:
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1/ f(x) = x
2
-3x+
x
1

2/ f(x) =
( )
2
2

3 x
−
3/ f(x) =
2
4
32
x
x
+

4/ f(x) =
43
xxx
++

5/ f(x) =
xx
−+
1
1
6/ f(x) =
3
11
xx
−
7/ f(x) = tg
2
x
8/ f(x) = sin2x.cos3x
9/ f(x) = 2sin

2
2
x

10/ f(x) =
( )
xx
ee
−
1
11/ f(x) =
xx
x
22
sin.cos
2cos
12/ f(x) =
52
1
+
x
13/ Chứng minh rằng F(x) = xlnx – x là một nguyên hàm của f(x) = lnx
14/ Tìm một nguyên hàm cho hàm f đònh bởi f(x) = 2x(x
3
+1). Biết rằng nguyên hàm này bằng 3
khi x= -1
15/ Xác đònh các số a;b;c để hàm số F(x) = (a.x
2
+bx+c)
x

e
2
−
là một nguyên hàm của hàm số
f(x) =(-2x
2
+8x-7)
x
e
2
−
trên R
Bài 3: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ

* Để tính tích hữu tỉ dạng
)(
)(
xQ
xP
với bậc tử lớn hơn mẫu, ta chia tử cho mẫu Khi đó ta được

)(
)(
xQ
xP
= A(x)+
)(
)(
xQ
xR

trong đó bậc R(x)
≤
bậc Q(x)
* Do đó ta quan tâm việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn mẫu
Dạng
( )
( )( )( )
∫
−−−
dx
cxbxax
xp
: Đặt:
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
cx
c
bx
B
ax
A
cxbxax
xp
−
+
−
+
−
=
−−−
.

)(
Từ đó ta xác đònh được A, B, C
Dạng
( )( )
∫
−−
dx
bxax
xP
3
)(
Đặt:
( )( ) ( ) ( )
323
)(
bx
D
bx
C
bx
B
ax
A
bxax
xP
−
+
−
+
−

+
−
=
−−
@ Cần nhớ : công thức nguyên hàm hữu tỉ sau
Cbax
a
dx
bax
++=
+
∫
ln
11

( )
∫
+
+
−=
+
C
baxa
dx
bax
1
.
11
2

( )( )
∫ ∫








−
−
−−
=
−−
βαβαβα
xx
dx
xx
1111
( )( )
∫ ∫
=
+−
=
−
dx
axax
dx
ax

11
22

=
∫
+








+
−
=






+
−
−
C
ax
ax
a

dx
axaxa
ln
2
111
2
1
Bài tập: Tìm các nguyên hàm sau
1/ a) Xác đònh các hằng số A, B sao cho

233
)1()1()1(
13
+
+
+
=
+
+
x
B
x
A
x
x
b) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)=
3
)1(
13
+

+
x
x
Đs: A = –2, B = 3,
C
x
x
xF
+
+
−
+
=
1
3
)1(
1
)(
2
2/
∫
+−
dx
xx 44
1
2
3/
∫
++
dx

xx
x
12
2
3

4/
∫
−+
+
dx
xxx
x
2
32
23
5/
dx
xx
xx
∫
+−
++
23
333
2
2

6/
dx

x
xx
∫
+
++
3
23
2
7/
∫
+
++
dx
x
xx
2
54
2

8/
( )
∫
+
dx
x
3
32
1
9/
∫

+−
dx
xx 96
1
2

10/
∫
+−
dx
xx 65
1
2
11/
∫
+−−
+
dx
xxx
x
652
13
23
2

12/
∫
−−
+
dx

xxx
x
)5)(2(
107

Bài 4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯNG GIÁC
1/. Cần nhớ công thức :

( )
Cx
a
dxbax
+−=+
∫
cos
1
sin

( )
( )
Cbaxtg
a
dx
bax
++=
+
∫
1
cos
1

2


( )
( )
Cbaxg
a
dx
bax
++−=
+
∫
cot
1
sin
1
2
2/. Ta thường dùng đổi biến số để tính tích phân các hàm số lượng giác
* Dạng
( )
∫
xdxxR cossin
đặt t = sinx
* Dạng
( )
∫
xdxxR sincos
đặt t = cosx
* Dạng
( )

∫
dx
x
tgxR
2
cos
1
đặt t = tgx
* Dạng
( )
∫
dx
x
gxR
2
sin
1
cot
đặt t = cotgx
* Dạng
[ ]
dxxxR
nn
∫
22
cos,sin
dùng công thức hạ bậc
2
2cos1
cos

2
x
x
+
=
,
2
2cos1
sin
2
x
x
−
=

* Dạng
∫
bxdxax sin.cos
dùng công thức biến đổi
* tích thành tổng
C + C = 2CC C - C = 2SS
S + S = 2SC S - S = 2CS

)]cos()[cos(
2
1
cos.cos bababa
−++=
)]cos()[cos(
2

1
sin.sin bababa
−−+−=
)]sin()[sin(
2
1
cos.sin bababa
−++=
)]sin()[sin(
2
1
sin.cos bababa
−−+=
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau
a)
∫
xdxx
52
cossin

b)
∫
xdxx
23
cossin
c)
∫
dx
x
x

4
cos
sin

d)
∫
dx
x
6
cos
1
Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau
a)
∫
xdxx
22
cossin

b)
∫
xdx
4
sin

c)
∫
xdx
6
cos

d)
∫
xdx
2
cos

e)
∫
dx
x
3
sin
Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau
a)
∫
dx
xsin
1

b)
∫
dx
xcos
1

c)
∫
+
dx
xcos45

1

d)
∫
dx
x
4
cos
1
Bài 4: Tìm các nguyên hàm sau
a)
∫
xdxx 2cos3sin

b)
∫
xdxx 3coscos

Bài 5 : Tìm các nguyên hàm sau
a)
tgxdx
∫


b)
2
tg xdx
∫

c)

3
tg xdx
∫


d)
4
tg xdx
∫


e)
2
4
sin
cos
x
dx
x
∫

f)
1
sin2
dx
x
∫

Bài 5 : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1.Đònh nghóa: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên

[ ]
ba,
và F(x) là một nguyên hàm của f(x) .
Hiệu f(b) –f(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x).Kí hiệu:

∫
−==
b
a
b
a
aFbFxFdxxf )()()()(
2.Chú ý:
∫
=
b
a
dxxf )(
∫
b
a
dttf )(
=
∫
b
a
duuf )(
3.Các tính chất :
1/
0)(

∫
=
a
a
dxxf
2/
∫
=
b
a
dxxf )(
-
∫
a
b
dxxf )(

3/
∫
=
b
a
dxxf )(
∫
c
a
dxxf )(
+
∫
b

c
dxxf )(
4/
∫
=
b
a
dxxfk )(.
∫
b
a
dxxfk )(.
5/
[ ]
∫
=+
b
a
dxxgxf )()(
∫
b
a
dxxf )(
+
∫
b
a
dxxg )(

6/

( )
abMMdx
b
a
−=
∫

7/ Nếu f(x)
≥
g(x) ,
[ ]
bax ,
∈∀
thì
dxxgdxxf
b
a
b
a
∫ ∫
≥
)()(
*Đặc biệt, nếu f(x)
≥
0 ,
[ ]
bax ,
∈∀
thì
∫

b
a
dxxf )(
0
≥
8/ Nếu f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
ba,

và
[ ]
baxMxfm ,,)(
∈∀≤≤
thì
m(b-a)
≤

∫
b
a
dxxf )(
≤
M(b-a)
.Bài tập :Tính các tích phân sau
1/
∫
−++
3
1
11 xx

dx
Đsố:
)22(
3
4
−
2/
∫
+
1
0
3
1
dx
x
x
Đsố :
2ln
6
5
−
3/
dx
x
x
∫
−
2
1
0

2
4
1
Đsố






−
3ln
12
13
2
1
4/
( )
∫
+
4
1
2
1xx
dx
Đsố
8
5
ln
4

3
+
5/
∫
π
0
4
cos xdx
Đsố
8
3
π
6/
( )
∫
+
4
0
44
cossin
π
dxxx
Đsố
16
3
π
7/
∫
+
π

0
2cos1 dxx
Đsố
22
8/
∫
−
2
2
sin
π
π
dxx
Đsố 2
9/
∫
+
π
0
sin1 dxx
Đsố
24
10/ a) Cho hàm số f(x) =
xx
x
cossin
sin
+
. Tìm a ,b để f(x) = a+b
xx

xx
cossin
sincos
+
−

b) Tính
∫
2
0
)(
π
dxxf
(Đsố
2
1
=−=
ba
, I =
4
π
)
11/ a) Tính đạo hàm của hàm số
F(x) = ln
12
12
2
2
++
+−

xx
xx
. Tính I =
dx
x
x
∫
+
−
1
1
4
2
Đsố
1
1
22)(
4
2
/
+
−
=
x
x
xF
,
)12ln(
2
2

−=
I
12/ Tính
∫






−
t
dxx
0
4
2
3
sin4
. Từ đó giải pt f(t) = 0
13/ Tính
( )
∫
∈+
1
0
;1 Nndxx
n
.Từ kết quả đó chứng minh rằng 1+
1
12

1
1
...
3
1
2
1
1
21
+
−
=
+
+++
+
n
C
n
CC
n
n
nnn
14/
∫
−
3
4
2
2
cos

cot23
π
π
dx
x
xg
15/
∫
−
π
0
2
sin1 dxx
16/
dx
x
x
∫
+
+
1
0
1
12

17/
∫
+
++
3

1
2
2
132
dx
x
xx

18/
∫
−
+−
0
1
2
34xx
dx
19/
∫
++
2
0
2
3
12
dx
xx
x

20/
∫
+−
+
5
3
2
23
1
dx
xx
x
21/
( )
∫
+
+
1
0
3
1
13
dx
x
x


22/
dx
xx

∫
+−
1
0
2
56
1

23/
∫
−
2
0
2
dxxx
Đáp số : 1
Bài 6: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1.Tích phân đổi biến loại I : Đặt x =
( )
t
ϕ
* Dạng
∫
−
dxxa
22

Đặt x = asint với







−∈
2
,
2
ππ
t
* Dạng
∫
+
dx
xa
22
1

Đặt x = atgt t






−∈
2
,
2
ππ

@ Lưu ý : đổi biến phải đổi cận