Bài toán tìm cạnh của tam giác đều

BÀI TOÁN TÌM CẠNH CỦA TAM GIÁC ĐỀU
Người soạn : Running Man
Chúng ta xem xét một Bài toán 1 như sau
Sau khi phân tích bài toán, Running Man đưa ra các bài toán sau để giúp các bạn giải quyết vấn đề
Bài toán 2. Cho điểm M nằm trong tam giác đều ABC. CMR độ dài các đoạn thẳng MA, MB, MC lập thành 3 cạnh của
một tam giác có 3 góc đều < 120
0
Bài toán 3. Cho điểm M nằm trong tam giác đều ABC. CMR tổng khoảng cách từ M xuống BC,CA,AB là một hằng số
1
Bài toán 4. Cho tam giác ABC có các góc đều < 120
0
. CMR có duy nhất một điểm M trong tam giác thỏa mãn

BM C =

CMA =

AMB = 120
0
Bài toán 5. Cho tam giác ABC có các góc đều < 120
0
. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều BCH, CAI và
ABJ. Gọi K,L,N là tâm đường tròn ngoại tiếp của 3 tam giác đó.
a. CMR KLN là tam giác đều và KL
2
=
1
6
(a
2
+ b

2
+ c
2
) +
2
√
3
3
S
ABC
( Bài toán Napoleon )
b. CMR các đường thẳng qua A vuông góc với LN, qua B vuông góc với NK, qua C vuông góc với KL đồng quy tại điểm M
và

BM C =

CMA =

AMB = 120
0
Các bạn có thể có cách giải của riêng mình cho Bài toán 1 và đây là đáp án
1. Điều kiện bộ 3 số a, b, c phải lập thành một tam giác có tất cả các góc đều < 120
0
. Gọi diện tích của tam giác là S
Tất nhiên bạn đã có công thức Herông cho diện tích S =
1
4

(a + b + c)(b + c − a)(a + c − b)(a + b − c)
2. Ta có công thức x =


1
2
(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 2
√
3S
Thay số a =
√
3, b = 1, c = 2 ta có x =
√
7
2