phân loại và phương pháp giải toán 12 luyện thi quốc gia 2015 có đáp án chi tiết rõ ràng

Bi

n h

c vô b

l

y chuyên c

n làm b

n


Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên


Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 1 -

KH
Ố
I ĐA DI
Ệ
N

1
11
1



Chương


ÔN TẬP



1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho
ABC
∆
vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:

2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường

a) Định lí hàm số cosin







b) Định lí hàm số sin







c) Công thức tính diện tích của tam giác

d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác



2 2 2
2
2 4
AB AC BC
AM
+
∗ = −
.

2 2 2
2
2 4
BA BC AC
BN
+
∗ = −
.
A
C
B
R

2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =


(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC)
b

c

a

HÌ
NH
HỌ
C PH
Ẳ
NG

A
B C
b c
a
p
– nửa chu vi
r
– bán kính đường tròn nội tiếp


1 1 1
. . .
2 2 2
ABC a b c
S a h b h c h
∆
= = =


1 1 1
sin sin sin
2 2 2
ABC
S ab C bc A ac B
∆
= = =



, .
4
ABC ABC
abc
S S p r
R
∆ ∆
= =



( )( )( )
,
2
ABC
a b c
S p p a p b p c p
∆
 
+ +


= − − − =




 
A
B C
b c
a



2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2

2 cos cos
2
2 cos cos
2
2 cos cos
2
b c a
a b c bc A A
bc
a c b
b a c ac B B
ac
a b c
c a b ab C C
ab
+ −
∗ = + − ⇒ =
+ −
∗ = + − ⇒ =
+ −
∗ = + − ⇒ =

A
B C
H M

(
)

2 2 2

BC AB AC Pitago
= +

. .
AH BC AB AC
=



2 2
. , .
AB BH BC AC CH CB
= =


2
2 2 2
1 1 1
, .
AH HB HC
AH AB AC
= + =

2
BC
AM =
A
B C
N K
M

Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn

Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên


Mr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 2 -


2 2 2
2
2 4
CA CB AB
CK
+
∗ = −
.

3/ Định lí Talet

4/ Diện tích của đa giác


a/ Diện tích tam giác vuông

 Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh góc
vuông.







b/ Diện tích tam giác đều
 Diện tích tam giác đều:

.
3
4
S
∆

=

 Chiều cao tam giác đều:

.
3
2
h
∆
=




c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật

 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.
 Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân
2
.
 Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.



d/ Diện tích hình thang

 Diện tích hình thang:
S
Hình Thang
1

2
=
.(đáy lớn
+
đáy bé)
x
chiều cao



e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc
nhau bằng ½ tích hai đường chéo.
 Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại
trung điểm của mỗi đường.



Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính diện tích, sau
đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác.




2
2
/ /
AMN
ABC

AM AN MN
MN BC k
AB AC BC
S
AM
k
S AB
∆
∆
∗ ⇒ = = =
 



∗ = =





 


(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)
A
B C
N M

A

C

B

1
.
2
ABC
S AB AC
∆
⇒ =

A
B
C
a

h

2
3
4
3
2
ABC
a
S
a
h
∆




=



⇒



=




A B
C D
a

O
2
2
HV
S a
AC BD a

=




⇒


= =



A

B

H

C

D

(
)
.
2
AD BC AH
S
+
⇒ =

A
B
D

C
.
1
.
2
H Thoi
S AC BD
⇒ =

(cạnh)
2

đề
u

(cạnh)
đề
u


Bi

n h

c vô b

l

y chuyên c


n làm b

n


Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên


Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 3 -

1/ Chứng minh đường thẳng
//
( )
d mp
α
với
(
)
( )

d
α
⊄

 Chứng minh:
//
'
d d
và
' ( )
d
α
⊂

 Chứng minh:
( )
d
β
⊂
và
(
)
//
( )
β α

 Chứng minh
d
và
( )

α
cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc cùng vuông góc với một mặt phẳng.
2/ Chứng minh
(
)
//
( )mp mp
α β

 Chứng minh
( )
mp
α
chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với
(
)
mp
β
.
 Chứng minh
( )
mp
α
và
(
)
mp
β
cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng.

3/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau
 Hai
(
)
( ),
mp
α β
có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song
,
a b
thì
(
)
// //
( )
Sx a b
α β
∩ =
.

(
)
( )
//
//
( )
( )
a mp
b a
a mp

α
α β
β




⇒ ∩ =


⊂



.
 Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.
 Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo giao tuyến song song.
 Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
 Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, …
4/ Chứng minh đường thẳng
(
)
d mp
α
⊥

 Chứng minh
d
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong
( )

mp
α
.
 Chứng minh:
(
)
// '
'
d d
d mp α




⇒


⊥



(
)
d mp
α
⊥

 Chứng minh:
(
)

( ) ( )
//
d mp
mp mp
β
β α


⊥


⇒





(
)
d mp
α
⊥

 Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt
phẳng thứ 3:
(
)
(
)
( ) ( )

(
)
(
)
( )
P
P d P
d
α
β
α β


⊥




⊥ ⇒ ⊥




∩ =




 Có hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến, cũng
vuông góc với mặt phẳng kia.

5/ Chứng minh đường thẳng
'
d d
⊥

 Chứng minh
(
)
d
α
⊥
và
(
)
'
d
α
⊃
.
 Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
 Chứng tỏ góc giữa
d
và
'
d
bằng
0
90
.
 Sử dụng hình học phẳng.

6/ Chứng minh
(
)
(
)
mp mp
α β
⊥


Chứng minh
(
)
( )
( ) ( )
d
mp mp
d
α
α β
β


⊃


⇒ ⊥


⊥




(chứng minh mp chứa 1 đường thẳng vuông góc với mp kia)
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn

Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên


Mr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 4 -
 Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng
0
90
.

Bi

n h


c vô b

l

y chuyên c

n làm b

n


Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên


Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 5 -

1/ Góc giữa hai đường thẳng

 Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương
với hai đường thẳng đó:



//
//
'
( , ) ( ', ')
'
a a
a b a b
b b
φ



⇒ = =





2/ Góc giữa đường thẳng
d
và mặt phẳng
(
)

mp
α

 Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
(
)


, ( , ')
d d d
α φ
 
= =
 
 
 

(với
'
d
là hình chiếu vuông góc của
d
lên
( )
mp
α
).

3/ Góc giữa hai
(

)
mp
α
và
(
)
mp
β

 Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến
u
,
2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên
2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
(
)

(
)

( ); ( , )
a b
α β φ
= =


4/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:


 Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng

(
)
,
d M MH
∆ =


5/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)
này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia.

6/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.

7/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.
 Là khoảng cách MH từ một điểm M trên
d
đến
(
)
mp
α

chứa
'
d

và song song với
d
.
 Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
(
)
(
)
,
α β

lần lượt chứa
d
và
'
d
.




GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
φ

a

b

'
a

'
b

φ
α

d

'
d

α

β

φ

a

b

u

M

d

'
d

M
M

∆

H

M
d

'
d

Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn

Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên


Mr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 6 -
S

A

B

C

H

O

A

B

C

D

S

O

H

1/ Định nghĩa.

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm
của đa giác đáy.

Nhận xét:

 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

2/ Hai hình chóp đều thường gặp

a/ Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
. Khi đó:

 Đáy
ABC
là tam giác đều.
 Các mặt bên là các tam giác cân tại
S
.
 Chiều cao:
SO
.
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:




SAO SBO SCO
= =
.
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy:

SHO
.
 Tính chất:

2 1 3
, ,
3 3 2
AB
AO AH OH AH AH= = =
.
 Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.
+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

b/ Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABCD
.

 Đáy
ABCD
là hình vuông.
 Các mặt bên là các tam giác cân tại
S
.

 Chiều cao:
SO
.
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:




SAO SBO SCO SDO
= = =
.
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy:

SHO
.






1/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:
Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông
góc với đáy.

Ví dụ: Hình chóp
.
S ABC
có cạnh bên
(

)
SA ABC
⊥
thì chiều cao là
SA
.

2/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy:

Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác
chứa trong mặt bên vuông góc với đáy.
Ví dụ: Hình chóp
.
S ABCD
có mặt bên
(
)
SAB

vuông góc với mặt đáy
(
)
ABCD
thì chiều
cao của hình chóp là chiều cao của
SAB
∆
.

3/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy:
Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt
bên cùng vuông góc với đáy.
Ví dụ: Hình chóp
.
S ABCD
có hai mặt bên
(
)
SAB
và
(
)
SAD
cùng vuông góc với mặt
đáy
(
)
ABCD
thì chiều cao là
SA
.

4/ Hình chóp đều:
Chi
ều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và
tâm của đáy.
Ví dụ: Hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD

có tâm
m
ặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường
chéo hình vuông
ABCD
thì có đường cao
HÌ
NH
CHÓ
P
ĐỀ
U

XÁ
C Đ
Ị
NH CHI
Ề
U CAO
CỦ
A
HÌ
NH
CHÓ
P


Bi

n h


c vô b

l

y chuyên c

n làm b

n


Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên


Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 7 -
là
SO
.

Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn

Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên


Mr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 8 -
A

B








1/ Thể tích khối chóp:

1
.
3
V B h
=


:
B
Diện tích mặt đáy.

:
h
Chiều cao của khối chóp.







2/ Thể tích khối lăng trụ:
.
V B h
=


:
B
Diện tích mặt đáy.

:
h
Chiều cao của khối chóp.

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là cạnh
bên.





3/ Thể tích hình hộp chữ nhật:
. .
V a b c
=


⇒
Thể tích khối lập phương:
3
V a
=






4/ Tỉ số thể tích:

. ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=


5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC
(
)
' '
3
h
V B B BB
= + +

Với
, ',
B B h
là diện tích hai đáy và chiều cao.



4 phương pháp thường dùng tính thể tích

 Tính diện tích bằng công thức.
+ Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,….
+ Sử dụng công thức tính thể tích.
 Tính thể tích bằng cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng
tính thể tích của chúng. Sau đó, ta cộng kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm.
 Tính thể tích bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác, sao cho
khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được thể tích.
TH
Ể TÍ
CH KH
Ố
I ĐA DI
Ệ
N

C
D
S
O
C
A
B
B’
A’ C’
A
B
C
A’
B’
C’

a
b
c
a
a
a
S
A’
B’
C’
A
B
C

Bi

n h

c vô b

l

y chuyên c

n làm b

n


Mây xanh không l


i
l

y chí c

d

ng lên


Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 9 -
 Tính thể tích bằng tỉ số thể tích.

Bài giải tham khảo
Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
.
* Ta có:
( )

.
1
. . 1
3
S ABC ABC
V S SA
∆
=

* Trong đó:
(
)

2
SA a
=

* Tìm

ABC
S
∆
?
Trong
ABC
∆
vuông tại
B
, ta có:
0
0
0
0
.sin 30
sin 30
2
3
cos 30
.cos 30
2
a
BC
BC AC
AC
AB
a
AB AC
AC







= =
=




 
⇔
 
 
 
=
= =
 
 





( )

2
1 1 3 3
. . . 3

2 2 2 2 8
ABC
a a a
S AB BC
∆
⇒ = = =

* Thay
(
)
(
)
2 , 3
vào
( )
2 3
.
1 3 3
1 .
3 8 24
S ABC
a a
V a⇒ = ⋅ =
(đvtt)
(
)
4

Tính khoảng cách từ
A

đến
(
)
mp SBC
.
* Ta có:
( ) ( ) ( )

.
.
3.
1
, . , 5
3
S ABC
S ABC SBC
SBC
V
V d A SBC S d A SBC
S
∆
∆
   
= ⇒ =
   
   

* Tìm
SBC
∆

?
Ta có:
( )
BC AB
BC mp SAB BC SB SBC
BC SA


⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆


⊥


vuông tại
B
.
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 3
. . . . .
2 2 2 2 2
SBC
a a
S BC BS AC AB SA AB a a
∆
   
 

 
 
 
⇒ = = − + = − +
 
 
 
 
 
 
   

( )

2
1 7 7
6
2 2 2 8
a a a
= ⋅ ⋅ =
.
CÁ
C
DẠ
NG
TOÁ
N TH
ƯỜ
NG G
Ặ

P
VÀ
M
Ộ
T
VÀ
I
THÍ DỤ

Thí dụ 1. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông tại

0
, 30 ,
B BAC SA AC a
= = =
và
SA
vuông
góc với
(
)
mp ABC
.Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
và khoảng cách từ
A

đến
(
)
mp SBC
.
S
A
C
B
30
0

a
Dạ
ng
1
.
Tí
nh th
ể tí
ch kh
ố
i đa di
ệ
n b
ằ
ng
cá
ch s
ử dụ

ng tr
ự
c ti
ế
p công t
h
ứ
c


Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích.
Trong nhiều trường hợp, chiều cao này được xác định ngay từ đầu bài, nhưng cũng có trường hợp việc
xác định này phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc đã học ở lớp 11 (hay dùng nhất là định lí 3
đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng,…). Việc
tính chiều cao thông thường nhờ vào việc sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ phép biến tính lượng giác,…
 Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết.
Nhìn chung, dạng toán loại này rất cơ bản, chỉ đòi hỏi tính toán cẩn thận và chính xác.
Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn

Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên

Mr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 10 -
* Th
ế
(
)
(
)
4 , 6
vào
(
)
5
( )
3
2
3 8 21
, 3
24 7
7
a a
d A SBC
a
 
⇒ = ⋅ ⋅ =
 
 
.

Bài giải tham khảo
 Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SAB ABCD
SAD ABCD SA ABCD
SAB SAD SA


⊥



⊥ ⇒ ⊥



∩ =



.
⇒

Hình chiếu của
SC
lên
(
)
mp ABCD
là
AC
.
(
)


0
, 60
SC ABCD SCA
 
⇒ = =
 
 
 
.
 Mà:
( )

.
1
. 1
3
S ABCD ACBD

V SAS
=
.
 Tìm

?
SA

Trong
SAC
∆
vuông tại
A
:
 
tan .tan
SA
SCA SA AC SCA
AC
= ⇒ =
(
)

2 2 0 2 2
.tan60 (2 ) . 3 15 2
AB BC a a a= + = + =
.
 Ta lại có:
(
)

2
. .2 2 3
ABCD
S AB BC a a a
= = =
.
 Thay
(
)
(
)
2 , 3
vào
( )
3
2
1 2 15
1 15 2
3 3
ABCD
a
V a a⇒ = ⋅ ⋅ =
(đvtt).

Bài giải tham khảo
a/ CM:
(
)
SI mp ABC
⊥

 Do
SAB
∆
vuông cân tại có
SI
là trung tuyến
⇒
SI
cũng đồng thời
là đường cao
SI AB
⇒ ⊥
.
 Ta có:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
SAB ABC
AB SAB ABC SI mp ABC
AB SI SAB



⊥



= ∩ ⇒ ⊥



⊥ ⊂



(đpcm)
b/ Tính thể tích khối chóp
.
S ABC


 Gọi
K
là trung điểm của đoạn
AC
.
SK
⇒
vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong
SAC SK AC
∆ ⇒ ⊥

.
 Trong
ABC
∆
vuông tại
C
có
KI
là đường trung bình.
Thí dụ 2. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật có
, 2
AB a BC a
= =
. Hai
(
)
mp SAB
và
(
)
mp SAD
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh
SC
hợp với đáy một góc
0

60
. Tính thể tích khối
chóp
.
S ABCD
theo
a
.
S
A
D
B
C
60
0

Thí dụ 3. Hình chóp
.
S ABC
có
2
BC a
=
, đáy
ABC
là tam giác vuông tại
,
C SAB
là tam giác vuông cân
tại

S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi
I
là trung điểm cạnh
AB
.
a/ Chứng minh rằng, đường thẳng
(
)
SI mp ABC
⊥
.
b/ Biết
(
)
mp SAC
hợp với
(
)
mp ABC
một góc
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
.
S
A
B

C
I
K
60
0

2a

Bi

n h

c vô b

l

y chuyên c

n làm b

n


Mây xanh không l

i
l

y chí c


d

ng lên


Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 11 -
//KI BC
KI AC
BC AC



⇒ ⇒ ⊥


⊥


.
 Mặt khác:
( ) ( )


0
( ) ( ) { }
( ) ; 60
( )
mp ABC mp SAC AC

KI AC mp ABC mp SAC mp ABC SKI
SK AC mp SAC


⊥ =


 

⇒ ⊥ ⊂ ⇒ = =

 
  
 

⊥ ⊂



.
 Mà:
( )

.
1
. 1
3
S ABC ABC
V S SI
∆

=

 Tìm

?
SI

Trong
SKI
∆
vuông tại
I
, ta có:
 
( )

0
1
tan .tan . .tan 60 3 2
2
SI
SKI SI IK SKI BC a
IK
= ⇒ = = =
.
 Tìm
ABC
S
∆
?

( )
2
2 2 2
1 1 1
. . . . . . 2
2 2 2
ABC
S BC AC BC AB BC BC SI BC
∆
= = − = −

(
)
( ) ( )

2
2
2
1
.2 . 2 3 2 2 2 3
2
a a a a= − =
.
 Thế
(
)
(
)
2 , 3
vào

( )
3
2
.
1 2 6
1 .2 2. 3
3 3
S ABC
a
V a a
⇒ = =
(đvtt).




Bài giải tham khảo
Tính thể tích khối chóp
.
S ABCD

 Gọi
O
là tâm của mặt đáy thì
(
)
SO mp ABCD
⊥

nên

SO
là đường cao của hình chóp và gọi
M
là trung
điểm đoạn
CD
.
 Ta có:

0
( )
( ) 60
( ) ( )
CD SM SCD
CD OM ABCD SMO
CD SCD ABCD


⊥ ⊂



⊥ ⊂ ⇒ =



= ∩




(góc giữa mặt
( )
SCD
và mặt đáy)
 Ta có:
( )

.
1
. 1
3
S ABCD ABCD
V S SO
=

 Tìm

?
SO

Trong
SMO
∆
vuông tại
O
, ta có:

tan
SO

SMO
OM
=


( )

0
.tan . tan 60 3 2
2
BC
SO OM SMO a
⇒ = = =
.
 Mặt khác:
(
)
(
)

2
2 2
2 4 3
ABCD
S BC a a= = =
.
 Thế
(
)
(

)
2 , 3
vào
( )
3
2
1 4 3
1 .4 . 3
3 3
ABCD
a
V a a
⇒ = =
(đvtt).
.

Thí dụ 4. Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có cạnh đáy
2
a
, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
0
60
. Tính thể tích của
hình chóp
.
S ABCD
.

S
A
B
C
D
O
2a
M
60
0

Thí dụ 5. Cho hình
lăng
trụ
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
a
. Hình chiếu vuông góc của
'
A
xuống
(
)
mp ABC
là trung điểm của
AB
. Mặt bên

(
)
' '
AA C C
tạo với đáy một góc bằng
45

.
Tính thể tích của khối lăng trụ này.
Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn

Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên


Mr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 12 -

Bài giải tham khảo
 Gọi
, ,
H M I
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
, ,
AB AC AM
.

(
)

. ' ' '
. . ' 1
ABC A B C ABC
V B h S A H
∆
= =

 Do
ABC
∆
đều nên:
( )

2 2
. 3 3
2
4 4
ABC

BC a
S
∆
= =
.
 Tìm
'
A H
?
Do
IH
là đường trung bình trong đều
AMB
∆
, đồng
thời
BM
là trung tuyến nên cũng là đường cao.
Do đó:
// IH MB
IH AC
MB AC



⇒ ⊥


⊥



và
( )
'
' '
AC A H
AC A HI AC A I
AC IH


⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥



Mà:
( ) ( )


0
( ) ( ' ') { }
( ) ' ' ; ' 60
' ( ' ')
ABC ACC A AC
AC IH ABC ACC A ABC A IH
AC A I ACC A



∩ =


 

⊥ ⊂ ⇒ = =

 
  
 

⊥ ⊂



.
Trong
'
A HI
∆
vuông tại
H
, ta có:
( )
o

0
' 1 3

tan45 ' .tan45 3
2 4
A H a
A H IH IH MB
HI
= ⇒ = = = =
.
 Thay
(
)
(
)
2 , 3
vào
( )
2 3
. ' ' '
3 3 3
1 .
4 4 16
ABC A B C
a a a
V
⇒ = =
.

Bài giải tham khảo
 Do

BC AB
BC A B
BC AA


⊥

′
⇒ ⊥

′

⊥


.
 Và

( )
( ) '
( ) ( ' )
BC AB ABC
BC AB A BC ABA
BC ABC A BC


⊥ ⊂




′
⊥ ⊂ ⇒



= ∩



là góc giữa
( )
ABC
và
( )
ABC
.
 Ta có:
2
2.
1 2. 3
. 2 3
2
A BC
A BC
S
a
S A B BC A B a

BC a
′
∆
′
∆
′ ′
= ⇒ = = =
.



0
0
.cos 2 3.cos 30 3
.sin 2 3.sin 30 3
AB A B ABA a a
AA A B ABA a a
′ ′
= = =
′ ′ ′
= = =


Vậy:
3
. ' ' '
1 1 3 3
. . . . . .3 . . 3
2 2 2
ABC A B C ABC

a
V B h S AA AB BC AA a a a
′ ′
= = = = =
(đvtt).
A’
B’
C’
A
B
C
M
I
H
a
Thí dụ 6. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
,
B BC a
=
,
(
)
'
mp A BC

tạo với đáy một góc
0
30
và
'
A BC
∆
có diện tích bằng
2
3
a
. Tính thể tích khối lăng trụ.

B
A’ C’
B’
A
C
30
o

a

Bi

n h

c vô b

l


y chuyên c

n làm b

n


Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên


Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 13 -






Bài giải tham khảo

 Ta có:
( )
AB AC
AB ACC A
AB AA


⊥

′ ′
⇒ ⊥

′

⊥


. Do đó
AC
′
là hình chiếu vuông
góc của
BC
′
lên
( )
ACC A
′ ′
.
Từ đó, góc giữa

BC
′
và
( )
ACC A
′ ′
là

0
30
BC A
′
=
.

 Trong tam giác vuông
ABC
:
0
. tan 60 3
AB AC a
= =
.

 Trong tam giác vuông
'
ABC
:
0
.cot 30 3. 3 3

AC AB a a
′
= = =
.

 Trong tam giác vuông
'
ACC
:
2 2 2 2
' ' (3 ) 2 2
CC AC AC a a a
= − = − =
.

 Vậy, thể tích lăng trụ là:
3
1 1
. . . ' . 3. .2 2 6
2 2
V B h AB AC CC a a a a
= = = =
(đvdt).

Bài giải tham khảo
Cách giải 1.
 Ta có:
( )
BC AB
BC SBA BC SB
BC SA


⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥


.
(
)
(
)
( )
(
)
( ) ( )


0
; 30

SBC ABC BC
BC SB SBC SBC ABC SBA
BC AB ABC


∩ =


 


⇒ ⊥ ⊂ ⇒ = =
  
  
 


⊥ ⊂



.
 Kẻ
//
MN BC
. Do
(
)
BC SBA
⊥

nên
(
)
MN SBA
⊥
và lúc đó,
MN
là đường trung bình
SBC
∆
( )

1
2 2
BC a
MN⇒ = =

 Lúc đó:
( )

. .
1
. . 2
3
S ABM M SAB SAB
V V S MN
∆
= =
.
 Tìm:

SAB
S
∆
?
Trong
SAB
∆
vuông tại
A
, ta có:
0 0
3
tan 30 .tan 30
3
SA a
SA AB
AB
= ⇒ = =
.
( )

2
1 1 3 3
. . . . 3
2 2 3 6
SAB
a a
S SA AB a
∆
⇒ = = =

 Thế
(
)
(
)
1 ; 3
vào
( )
2 3
. .
1 3 3
2 . .
3 6 2 36
S ABM M SAB
a a a
V V⇒ = = =
(đvtt).
Cách giải 2.
Thí dụ 7. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại

0
, , 60
A AC a ACB
= =

.
Đường chéo
'
BC
của mặt bên
(
)
' '
BC C C
tạo với mặt phẳng
(
)
' '
mp AA C C
một góc
0
30
. Tính thể
tích của khối lăng trụ theo
a
.

B’
A C
B’
A’
C’
a
60
0

30
o

Thí dụ 8. (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011)
Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
(
)
, ,
B AB a SA ABC
= ⊥
, góc giữa
(
)
mp SBC
và
(
)
mp ABC
bằng
0
30
. Gọi
M
là trung điểm của cạnh

SC
. Tính thể tích khối chóp
.
S ABM
theo
a
.
B
A
S
M
C
30
o

N

Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn

Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên

Mr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 14 -

3
.
1 1 1 3 3
. . . . .
3 3 2 3 18
S ABC ABC
a a
V S SA a a
∆
= = =
(đvtt).

3
. .
.
.
2 3
. . 2
2 36
S ABC S ABC
S ABM
S ABM
V V
SA SB SC SM a
V

V SA SB SM SM
= = = ⇒ = =
(đvtt).








Bài giải tham khảo

 Ta có:
(
)
(
)
{
}
(
)
( )
SBC ABC BC
AB SBC
BC AB ABC


⊥ =



⇒ ⊥


⊥ ⊂



.
 Thể tích khối chóp
.
S ABC
:
. .
1
. .
3
S ABC A SBC SBC
V V S AB
∆
= =
.

0 2
1 1
. . .sin .4 .2 3.sin 30 2 3
2 2
SBC
S BC BS SBC a a a
∆

= = =

( )

2 3
. .
1
.2 3.3 2 3 1
3
S ABC A SBC
V V a a a⇒ = = =
(đvtt).
 Tìm khoảng cách từ
B
đến
(
)
mp SAC
?
 Ta có:
( )
. .
1
. . ;
3
S ABC B SAC SAC
V V S d B SAC
∆
 
= =

 
 

( ) ( )

.
3.
; 2
S ABC
SAC
V
d B SAC
S
∆
 
⇒ =
 
 
.
 Ta có:
(
)
2 2 2 2 2 2
9 12 21
AB SBC AB SB SA AB SB a a a
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = + = + =
.
 Mặt khác, áp dụng định lí hàm số cosin trong
SBC
∆

:

2 2 2
2. . .cos
SC BC BS BC BS SBC
= + −

2 2 2 2
3
16 12 2.4 .2 3. 4
2
SC a a a a a
⇒ = + − =
.
 Trong
ABC
∆
vuông tại
B
:
2 2 2 2 2 2
9 16 25
AC AB BC a a a
= + = + =
.
 Nhận thấy:
2 2 2 2 2 2
21 4 25
SA SC a a a AC SAC
+ = + = = ⇒ ∆

vuông tại
S
.
 Do đó, diện tích tam giác
SAC
là:
( )

2
1 1
. . .2 . 21 21 3
2 2
SAC
S SC SA a a a
∆
= = =
.
 Thay
(
)
(
)
1 , 3
vào
( ) ( )
3
2
3.2 3 6 7
2 ;
7

21
a a
d B SAC
a
 
⇒ = =
 
 
.







Thí dụ
10
.
(
Trí
ch
đề
thi tuy
ể
n sinh Đ
ạ
i
họ
c kh

ố
i A
–
2009)


Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và

, 2 ,
D AB AD a CD a
= = =
, góc
giữa hai
(
)
mp SBC
và
(
)
mp ABCD
bằng
0
60
. Gọi
I

là trung điểm của
AD
. Biết rằng
(
)
mp SBI
và
(
)
mp SCI
cùng vuông góc với
(
)
mp ABCD
. Tính thể tích khối chóp
.
S ABCD

Thí dụ 9. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2011)
Hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
, 3 , 4
B BA a BC a
= =
,
(

)
(
)
SBC ABC
⊥
.
Biết

0
2 3, 30
SB a SBC
= =
. Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
và khoảng cách từ
B
đến
(
)
mp SAC

S
C
B
A
3
a

4

a

2 3
a

0
30


Bi

n h

c vô b

l

y chuyên c

n làm b

n


Mây xanh không l

i
l

y chí c


d

ng lên


Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 15 -


Bài giải tham khảo

 Vì
(
)
mp SBI
và
(
)
mp SCI
cùng vuông góc với
(
)
mp ABCD
, nên giao tuyến
(
)
SI ABCD
⊥

.
 Kẻ
IH BC SH BC
⊥ ⇒ ⊥
(định lí 3 đường vuông góc).
 Ta có:

0
60
SHI
=
là góc giữa hai
(
)
mp SBC
và
(
)
mp ABCD
.
 Thể tích khối chóp
.
S ABCD
:
( )

.
1
. . 1
3

S ABCD ABCD
V S SI
=
.
 Tìm

?
SI

Trong
SIH
∆
vuông tại
I
, ta có:
0
.tan 60 . 3
SI IH IH
= =
.
Gọi
,
M N
tương ứng là trung điểm của
,
AB BC
.
Vì
IN
là đường trung bình của hình thang

ABCD
, nên ta có:

.
1 2 3
. . ?
3 2 2 2
S ABCD ABCD
AB CD a a a
V S SI IN
+ +
= = = =
.
Mà:


.cos .cos
IH IN HIN IN MCB
= =
(do

HIN
và

MCB
là
các góc có cạnh tương ứng vuông góc).

.cos .
MC

IH IN MCB IN
BC
⇒ = =


2 2 2 2
3 2 3 5
. .
2 5
4
AD a a a
IN
MB MC a a
= = =
+ +
.
( )

3 5 3 15
. 3 . 3 2
5 5
a a
SI IH⇒ = = =
.
 Tìm
ABCD
S
?
(
)

(
)
( )

2
2 .2
3 3
2 2
ABCD
DC AB AD a a a
S a
+ +
= = =
.
 Thay
(
)
(
)
2 , 3
vào
( )
3
2
.
1 3 15 3 15
1 . .3
3 5 5
S ABCD
a a

V a⇒ = =
(đvtt).







Bài giải tham khảo

 Gọi
H
là trung điểm của
AD
thì
SH AD
⊥
.
 Do
(
)
(
)
SAD ABCD
⊥
nên
(
)
SH ABCD

⊥
.
Và
SAD
∆
đều
3
2
a
SH⇒ =
.
 Kẻ
(
)
//
MK SH K HB
∈

(
)
MK ABCD
⇒ ⊥
và
3
2 4
SH a
MK = =
.
S
D

A
M
B
C
N

H
I
60
0

Thí dụ 11. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)

Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy là hình vuông
ABCD
cạnh
a
, mặt bên
SAD
là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy
ABCD
. Gọi
, ,
M N P
lần lượt là trung điểm của
, ,

SB BC CD
. Tính thể
tích khối tứ diện
CMNP
.
S
H
A
D
C
B
M
N

P
K
Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn

Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên

Mr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 16 -
 Vậy:
1
. .
3
CMNP CNP
V S MK
∆
=

2 3
1 3 . 3
. .
3 8 4 96
a a a
= =
(đvtt).

Bài giải tham khảo
 Gọi
O
là tâm của của đáy
ABCD
.
 Trong
SAC
∆
, ta có
NO
là đường trung bình nên:
(
)
( )
// NO SA
NO ABCD
SA ABCD




⇒ ⊥


⊥




(
)
NO ABI
⇒ ⊥
hay
NO
là đường cao của hình tứ
diện
ANIB
.
Và
( )

1
2 2
SA a
NO = =

 Ta có:
( )

.
1
. . 2
3
ANIB N AIB AIB
V V S NO
∆
= =
.

 Tìm
?
AIB
S
∆
=

Do
I
là trọng tâm
ABD
∆
nên:
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 3
.
3 3 2 3 3 3 3
2 2 2 6
. . .
3 3 3 2 3
AC AC AD DC AD AB a
AI AO
AD a
BI BM AB AM AB


+ +



= = = = = =



⇒


 





= = + = + =







 



Nhận thấy:
2 2
2 2 2 2
3 6

3 3
a a
AB a AI BI AIB
   
 
 
 
 
= = + = + ⇒ ∆
 
 
 
 
 
 
   
vuông tại
I
.
( )

2
1 1 3 6 2
. . . . 3
2 2 3 3 6
AIB
a a a
S AI BI
∆
⇒ = = =

.
 Thay
(
)
(
)
1 , 3
vào
( )
2 3
.
1 2 2
2 . .
3 6 2 36
N AIB
a a a
V⇒ = =
(đvtt).








Thí dụ
1
2
.

(
Trí
ch đ
ề
thi tuy
ể
n sinh Đ
ạ
i
họ
c kh
ố
i B
–
2006)

Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
, 2,
AB a AD a SA a
= = =
và
SA

vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
,

M N
lần lượt là trung điểm của
,
AD SC
và
I
là giao điểm của
BM
và
AC
. Tính thể tích khối tứ diện
ANIB
.
A
B
C D
M
I
S
A
D
C
B
M
N

I
O
Thí dụ 13. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009)
Cho lăng trụ tam giác

. ' ' '
ABC A B C
có
'
BB a
=
, góc giữa đường thẳng
'
BB
và
(
)
mp ABC
bằng
0
60
, tam giác
ABC
vuông tại
C
và góc

0
60
BAC
=
. Hình chiếu vuông góc của điểm
'
B
lên

(
)
mp ABC
trùng với trọng tâm của
ABC
∆
. Tính thể tích của khối tứ diện
'
A ABC
theo
a
.

Bi

n h

c vô b

l

y chuyên c

n làm b

n


Mây xanh không l


i
l

y chí c

d

ng lên


Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 17 -
Bài giải tham khảo

• Gọi
,
M N
là trung điểm của
,
AB AC
. Khi đó,
G
là trọng tâm của
ABC
∆
.
• Do hình chiếu điểm
'
B

lên
(
)
mp ABC
là
G
nên
(
)
'
B G ABC
⊥

(
)


0
; ' 60
BB ABC B BG
 
⇒ = =
 
 
 
.
• Ta có:
( )

'

1 1
. . ' . . . ' 1
3 6
A ABC ABC
V S B G AC BC B G
∆
= =
.
• Tìm
'
B G
?
Trong
'
B BG
∆
vuông tại
G
và có

0
' 60
B BG
=
nên nó là nữa tam giác đều cạnh là
'
BB a
=

(

)

3
; ' 2
2 2
a
a
BG B G⇒ = =
.
 Tìm
,
AB BC
?
Đặt
2
AB x
=
. Trong
ABC
∆
vuông tại
C
có

0
60
BAC
=
nên nó cũng
là nữa tam giác đều với đường cao là

BC
.

, 3
2
AB
AC x BC x⇒ = = =

Do
G
là trọng tâm
ABC
∆
3 3
2 4
a
BN BG⇒ = =
.
Trong
BNC
∆
vuông tại
C
:
2 2 2
BN NC BC
= +

( )

2 2 2
2 2
3
9 9 3
2 13
3 3
16 4 52
3 3
2 13
2 13
a
AC
a x a a
x x x
a
BC



=




⇔ = + ⇔ = ⇒ = ⇒



=







 Thế
(
)
(
)
2 , 3
vào
( )
3
'
1 3 3 3 3 9
1 . . .
6 2 108
2 13 2 13
A ABC
a a a a
V⇒ = =
(đvtt).





 Trong nhiều bài toán, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện như trong dạng 1 có thể gặp khó khăn vì hai lí do:
+ Hoặc là khó xác định và tính được chiều cao.

+ Hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng.
 Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau:
+ Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản (hình chóp hoặc hình lăng trụ) mà các
khối này dễ tính hơn.
+ Hoặc là so sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích.
 Trong dạng này, ta thường hay sử dụng kết quả của bài toán:
Cho hình chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên cạnh SA, SB, SC. Khi đó:
. ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=
.
Chứng minh:

Kẻ A’H’ và AH cùng vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Khi đó: A’H // AH và S, H’, H thẳng hàng.
A’
B’
C’
A
B
C
G
N

M
60
0

B

A

C

N

M

G

Dạng 2. Tính thể tích khối đa diện bằng cách lắp ghép khối hoặc so sánh khối (tỉ số)
S
A’
B’
C’
A
B
C
H
H’
Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn

Mây xanh không l


i
l

y chí c

d

ng lên


Mr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 18 -
Ta
có:
' '
. ' ' ' ' ' '
. .
1
. ' '
3
1
.
3
SB C
S A B C A SB C
S ABC A SBC
SBC
S A H
V V

V V
S AH
∆
∆
= =

( )
1
'. '.sin . ' '
'. '. '
2
1 . .
. .sin .
2
SB SC A H
SB SC SA
Ðpcm
SB SC SA
SB SC AH
α
α
= = ⇒
.
Trong đó:


' '
B SC BSC
α
= =

.

Lưu ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm
', ', '
A A B B C C
≡ ≡ ≡
.
Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu,…

Bi

n h

c vô b

l

y chuyên c

n làm b

n


Mây xanh không l

i
l

y chí c


d

ng lên


Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 19 -








Bài giải tham khảo
a/ Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
.
Ta có:
.
1
. .
3
S ABC ABC
V S SA
∆

=
và
SA a
=
.
Mặc khác:
ABC
∆
vuông cân ở
B
và có:
2
AC a
=
nên
ABC
∆
là
nữa hình vuông có đường chéo
2
AC a
=
⇒
cạnh
AB BC a
= =
.
2
1
.

2 2
ABC
a
S AB BC
∆
⇒ = =
.
Vậy:
( )

2 3
.
1 1
. . . .
3 3 2 6
S ABC ABC
a a
V S SA a Ðvtt
∆
= = =
.

b/ Tính thể tích khối chóp
.
S AMN
.

Gọi I là trung điểm của
BC
,

G
là trọng tâm của
SBC
∆
.
Ta có:
2
3
SI
SG
=
.
Do
( )
// //
2
3
SM SN SG
mp BC MN BC
SB SC SI
α
⇒ ⇒ = = =
.
( )

3 3
.
. .
.
4 4 4 2

. . .
9 9 9 6 27
S AMN
S AMN S ABC
S ABC
V
SM SN a a
V V Ðvtt
V SB SC
⇒ = = ⇒ = = =
.






Bài giải tham khảo

 Ta có:
(
)

. . . . . .
1
A BCKH S AHK S ABC A BCKH S ABC S AHK
V V V V V V
+ = ⇒ = −
.
 Do

ABC
∆
đều cạnh
a
và
2
SA a
=
nên:
( )

2 3
.
1 1 3 3
. . . .2 2
3 3 4 6
S ABC ABC
a a
V S SA a
∆
= = =
.
 Ta lại có:
.
2 2
.
. .
. . .
S AHK
S ABC

V
SA SH SK SH SB SK SC
V SA SB SC
SB SC
= =


2 2 4
2 2 2 2 2 2
16 16
.
25
5 .5
SA SA a
SA AB SA AC a a
= = =
+ +
.
( )

. .
16
. 3
25
S AHK S ABC
V V
⇒ =
.
Thí dụ 14. Cho hình chóp
.

S ABC
có đáy là
ABC
∆
vuông cân ở
(
)
, 2, ,
B AC a SA mp ABC SA a
= ⊥ =
.
a/ Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
.
b/ Gọi
G
là trọng tâm của
SBC
∆
,
(
)
mp
α
đi qua
AG
và song song với
BC
cắt

,
SC SB
lần lượt
tại
,
M N
. Tính thể tích khối chóp
.
S AMN
.
S
A
B
C
M
N
G
I
Thí dụ
15
.
(
Trí
ch
đề
thi tuy
ể
n sinh Đ
ạ
i

họ
c kh
ố
i D
–
2006)

Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là
ABC
∆
đều cạnh
a
và
(
)
SA ABC
⊥
,
2
SA a
=
. Gọi
,
H K
lần lượt là
hình chiếu vuông góc của điểm
A

lần lượt lên cạnh
,
SB SC
. Tính thể tích khối
.
A BCKH
theo
a
.
S
A
B
C
H
a
K
2a
Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn

Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên

Mr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 20 -
 Từ
( ) ( ) ( ) ( )

3
. . . .
16 9 3 3
1 , 2 , 3 . .
25 25 50
A BCKH S ABC S ABC S ABC
a
V V V V Ðvtt
⇒ = − = =
.





Bài giải tham khảo

 Kẻ
(
)
//
MN CD N SD
∈

thì hình thang
ABMN
là thiết diện của khối chóp cắt bởi mặt phẳng
(
)
ABM
.
 Ta có:
.
.
1
2
S ABN
S ABD
V
SN
V SD
= =
.
( )

. . .
1 1
1
2 4
S ABN S ABD S ABCD
V V V
⇒ = =
.
 Mặt khác:

.
.
1 1 1
. .
2 2 4
S BMN
S BCD
V
SM SN
V SC SD
= = =
.
( )

. . .
1 1
2
4 8
S BMN S BCD S ABCD
V V V
⇒ = =
.
 Mà:
(
)

. . .
3
S ABMN S ABN S BMN
V V V

= +
.
 Kết hợp:
( ) ( ) ( )
. .
3
1 , 2 , 3
8
S ABMN S ABCD
V V
⇒ =
.
. .
ABCDNM S ABCD S ABMN
V V V
⇒ = −
.
. . .
3 5
8 8
ABCDNM S ABCD S ABCD S ABCD
V V V V
⇒ = − =
.
.
3
5
S ABMN
ABCDNM
V

V
⇒ =
.





Bài giải tham khảo

 Gọi
I SO AM
= ∩
. Ta có:
(
)
// //
AEMF BD EF BD
⇒
.
 Ta có:
.
1
. .
3
S ABCD ABCD
V S SO
=
với
2

ABCD
S a
=
.
Trong
SOA
∆
có:
0
6
.tan 60
2
a
SO AO= =
3
.
6
6
S ABCD
a
V⇒ =
.
 Mặt khác:
.
2
S AEMF SAMF SAME SAMF
V V V V
= + =
và
.

2 2
S ABCD SACD SABC
V V V
= =

Xét khối
.
S AMF
và khối
.
S ACD
có:
1
2
SM
SC
=

Và trong
SAC
∆
có trọng tâm
I
,
Thí dụ 16. Cho khối chóp tứ giác đều
.
S ABCD
. Một mặt phẳng
(
)

α
qua
,
A B
và trung điểm
M
của
SC
. Tính tỉ số
thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
S

A

B

C

M

N

D

Thí dụ 17. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
, đáy là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên tạo với đáy góc 60

0
. Gọi
M
là trung điểm
SC
. Mặt phẳng đi qua
AM
và song song với
BD
, cắt
SB
tại
E
và cắt
SD
tại
F
.
Tính thể tích khối chóp
.
S AEMF
.


Bi

n h

c vô b


l

y chuyên c

n làm b

n


Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên


Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 21 -
//
2 1
.
3 3
SAMF
SACD

V
SI SF SM SF
EF BD
SO SD V SC SD
⇒ = = ⇒ = =
.
( )

3 3 3
. .
1 1 6 6 6
2.
3 6 36 36 18
SAMF SACD S ABCD S AEMF
a a a
V V V V Ðvtt
⇒ = = = ⇒ = =
.







Bài giải tham khảo

 Gọi
,
O H

lần lượt là tâm của
ABCD
và trung điểm
AB
.
 Do
(
)
, ,
MS MA d A MNP d S MNP
 
 
= ⇒ =
 
 
 
 

(
)

. .
1
A MNP S MNP
V V
⇒ =
.
 Mặt khác:
.
.

1
. .
4
S MNP
S ABP
V
SM SN SP
V SA SB SP
= =
.
. .
1 1 1 1 1
. . . . . .
4 4 3 12 2
S MNP S ABP ABP
V V S SO AB HP SO
∆
⇒ = = =

( ) ( )

2 3
2
.
1 6
. . . 2
24 2 48
S MNP
a a
V a a a Ðvtt⇒ = − =

.
 Từ
( ) ( ) ( )

3
.
6
1 , 2
48
A MNP
a
V Ðvtt
⇒ =
.

Dạng toán 3. Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách

Cá
c
bà
i
toá
n
tì
m
khoả
ng
cá
ch
: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai
đường thẳng, trong nhiều trường hợp có thể qui về bài toán thể tích khối đa diện. Việc tính khoảng
cách này dựa vào công thức hiển nhiên:
3
V
h

B
=
, ở đây
, ,
V B h
lần lượt là thể tích, diện tích đáy và
chiều cao của một hình chóp nào đó (hoặc
V
h
S
=
đối với hình lăng trụ).
 Phương pháp này áp dụng được trong trường hợp sau: Giả sử có thể qui bài toán tìm khoảng cách
về bài toán tìm chiều cao của một hình chóp (hoặc một lăng trụ) nào đó. Dĩ nhiên, các chiều cao này
thường là không tính được trực tiếp bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường như định lí
Pitago, công thức lượng giác,… Tuy nhiên, các khối đa diện này lại dễ dàng tính được thể tích và diện
tích đáy. Như vậy, chiều cao của nó sẽ được xác định bởi công thức đơn giản trên.
 Lược đồ thực hành:
 Sử dụng các định lí của hình học trong không gian sau đây:
o Nếu
(
)
//
AB mp P
trong đó
(
)
mp P
chứa
CD

thì
(
)
(
)
, ,
d AB CD d AB P
 
=
 
 
.
o Nếu
(
)
(
)
//
mp P mp Q
trong đó
(
)
(
)
,
mp P mp Q
lần lượt chứa
AB
và
CD

thì:
(
)
(
)
(
)
, ,
d AB CD d mp P mp Q
 
=
 
 
.
o Từ đó, qui bài toán tìm khoảng cách theo yêu cầu bài toán về việc tìm chiều cao của khối chóp
(hoặc một khối lăng trụ) nào đó.
 Giả sử bài toán đã được qui về tìm chiều cao kẻ từ đỉnh
S
của một hình chóp (hoặc một lăng trụ).
Ta tìm thể tích của hình chóp (lăng trụ) này theo một con đường khác mà không dựa vào đỉnh
S

này, chẳng hạn như quan niệm hình chóp ấy có đỉnh
'
S S
≠
. Sau đó, tính diện tích đáy đối diện
v
ớ
i đ

ỉ
nh
S
.
Như th
ế
,
ta suy ra đ
ượ
c chi
ề
u cao
kẻ
t
ừ
S
c
ầ
n
tì
m.

Thí dụ
18
.
(
Trí
ch
đề
thi tuy

ể
n sinh Cao đ
ẳ
ng kh
ố
i A
–
2008)

Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có cạnh đáy
AB a
=
, cạnh bên
2
SA a
=
. Gọi
, ,
M N P
lần
lượt là trung điểm của
, ,
SA SB CD
. Tính thể tích tứ diện
AMNP
.
M

A

B

N

C

D

S

P

O

H

Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn

Mây xanh không l

i
l

y chí c

d


ng lên


Mr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 22 -













Bài giải tham khảo
∗ Ta có:
( )
DC AD
DC SAD DC SD
DC SA


⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥



⊥


.
(
)
(
)
( )
(
)
( ) ( )


0
, 60
SCD ABCD DC
DC SD SCD SCD ABCD SDA
DC AD ABCD


∩ =


 


⊥ ⊂ ⇒ = =

 


 
 


⊥ ⊂




∗ Mặt khác:
.
1
.
3
S ADC ADC
V S SA
∆
=
và
2
1
.
2 2
ADC
a
S AD DC
∆

= =
.
0 0
tan 60 .tan 60 3
SA
SA AD a
AD
= ⇒ = =
3
.
3
6
S ADC
a
V⇒ =
.
∗ Vì vậy
( ) ( )
.
. .
3
1
. , ,
3
S ADC
S ADC A SDC SDC
SDC
V
V V S d A SDC d A SDC
S

∆
∆
   
= = ⇒ =
   
   
.
( )
. .
2 2
6 6
3
,
. 2
.
S ADC S ADC
V V
a
d A SDC
DC SD
DC SA AD
 
⇒ = = =
 
 
+
.

Bài giải tham khảo

∗ Ta có:
2 2 2 2 2 2
3 4 5
AB AC BC ABC
+ = + = = ⇒ ∆
vuông tại
A
.
(
)
2
1 1
. .3.4 6
2 2
ABC
S AB AC cm
∆
⇒ = = =
.
(
)
3
1 1
. .6.4 8

3 3
ABCD ABC
V S DA cm
∆
⇒ = = =
.
∗ Mặt khác:
(
)
2 2 2 2
3 4 5
BD AB AD cm
= + = + =

(
)
2 2 2 2
4 4 4 2
DC AC AD cm
= + = + =

Nên
(
)
(
)
(
)
DBC
S p p BC p DC p BD

∆
= − − −

Thí dụ 19. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
(
)
SA ABCD
⊥
và mặt bên
(
)
SCD

hợp với mặt phẳng đáy
ABCD
một góc
0
60
. Tính khoảng cách từ điểm
A
đến
(
)

mp SCD
.
Thí dụ
20
.
(
Trí
ch
đề
thi tuy
ể
n sinh Đ
ạ
i
họ
c kh
ố
i D
–
2002)

Cho tứ diện
ABCD
có cạnh
AD
vuông góc với
(
)
mp ABC
,

(
)
(
)
4 , 3
AC AD cm AB cm
= = =
,
(
)
5
BC cm
=
. Tính khoảng cách từ
A
đến
(
)
mp BCD
.
S
A
D
B
C
60
0

D
A

C
B

Bi

n h

c vô b

l

y chuyên c

n làm b

n


Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên

Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 23 -
Với
5 5 4 2
5 2 2
2 2
BC DC DB
p
+ + + +
= = = +
nửa chu vi
DBC
∆

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
5 2 2 5 2 2 5 5 2 2 4 2 5 2 2 5 2 34
DBC
S cm
∆

⇒ = + + − + − + − =
.
∗ Do đó,
( ) ( ) ( )
.
3
1 6 34
. , ,
3 17
ABCD
ABCD A BCD DBC
DBC
V
V V S d A DBC d A DBC cm
S
∆
∆
   
= = ⇒ = =
   
   
.

Bài giải tham khảo

∗ Gọi
M
là trung điểm của cạnh
BC
. Ta có
ABC
∆
vuông cân tại
A
nên:
(
)

BC AM
BC SM do SAB SAC SBC cân


⊥




⊥ ∆ = ∆ ⇒ ∆




∗ Ta có:

(
)
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
( )
SAB SAC SA
SAB ABC SA ABC
SAC ABC


∩ =




⊥ ⇒ ⊥




⊥



.

Và
(
)
(
)
( )
(
)
( ) ( )


0
, 60
SBC ABC BC
BC AM ABC SBC ABC SMA
BC SM SBC


∩ =




⊥ ⊂ ⇒ = =




⊥ ⊂





∗ Ta có:
0 0
2 6
.tan 60 .tan 60 . 3
2 2 2
BC a a
SA AM= = = =
.
Và:
2 2
1 1
. . .
2 2 2 2
ABC
BC a
S AM BC
∆
= = =
( )

2 3
.
1 1 6 6
. . . .
3 3 2 2 12
S ABC ABC
a a a

V S SA Ðvtt
∆
⇒ = = =
.
∗ Mặt khác:
( ) ( )
.
. .
3
1
. . , ,
3
S ABC
S ABC A SBC SBC
SBC
V
V V S d A SBC d A SBC
S
∆
∆
   
= = ⇒ =
   
   
.
Mà:
2
2 2 2 2
1 1 1
. . . .

2 2 2 2
SBC
BC
S SM BC SA AM BC SA BC a
∆
 



= = + = + =





 
( )
6
,
4
a
d A SBC
 
⇒ =
 
 
.

Bài giải tham khảo

∗ Do
M
là trung điểm của
SC
nên
(
)
// //
OM SA SA OMB
⇒
.
Thí dụ 21. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
. Hai mặt phẳng
(
)
SAB
và

(
)
SAC

cùng vuông góc với mặt phẳng đáy
(
)
ABC
, cho
2
BC a
=
, mặt bên
(
)
SBC
tạo với đáy
(
)
ABC
một
góc
0
60
. Tính khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
(
)
SBC

.
Thí dụ
22
.
(
Trí
ch
đề
thi tuy
ể
n sinh Đ
ạ
i
họ
c kh
ố
i A
–
2004)


Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thoi
ABCD
có
SO
vuông góc với đáy với
O

là giao điểm của
AC
và
BD
. Giả sử
2 2, 4, 5
SO AC AB
= = =
và
M
là trung điểm của
SC
. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng
SA
và
BM
.
S
A
C
B

M
(do
AM
vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao trong
ABC
∆
cân)

S
C
A
B
D
O
M

H
Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn

Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên


Mr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 24 -
(
)
(
)

(
)
, , ,
d SA MB d SA MOB d S MOB
   
⇒ = =
   
   

(
)
(
)
(
)

, 1
d C MOB do MS MC
 
= =
 
 
.
Kẻ
( ) ( )

1
2 2
2
MH ABCD MH SO⊥ ⇒ = =

∗ Mà
( )
. .
1 1
. . ,
3 3
C MOB M OBC OBC MOB
V V S MH S d C MOB
∆ ∆
 
= = =
 
 

( ) ( )

.
, 3
OBC
MOB
S MH
d C MOB
S
∆
∆
 
⇒ =
 
 

.
∗ Từ
( ) ( ) ( ) ( )

.
1 , 3 , 4
OBC
MOB
S MH
d SA MB
S
∆
∆
⇒ =
.
∗ Ta lại có:
( )

2 2 2
1 1
1
. 1 5
4
2
2
2 2
OBC
OB AB OA OB
S OB OC
AC

OC OC
∆


= − = ⇒ =



⇒ = =


= = ⇒ =




.
∗ Mặt khác:
OB OC
OB OM MOB
OB SO


⊥

⇒ ⊥ ⇒ ∆


⊥



vuông tại đỉnh
B
.
( )

2 2
1 1 1 1 3
. . . .1. 8 4 6
2 2 2 4 4 2
MOB
SA
S OB OM OB OB SO AO
∆
⇒ = = = + = + =
.
∗ Thay
(
)
(
)
(
)
2 , 5 , 6
vào
( ) ( )
2 6
4 ,
3
d SA MB⇒ =

.







Bài giải tham khảo

∗ Ta có:
(
)
// //
'
MN BC MN A BC
⇒
.
(
)
(
)
(
)
(
)

, ' , ' , ' 1
d MN AC d MN A BC d M A BC
   

⇒ = =
   
   
.
∗ Mà:
( )

'.
1 1 1 1
. ' . .1.1.1 2
3 3 2 12
A MBC MBC
V S A A
∆
= = =
.
∗ Mặt khác:
(
)
' '
CB BAA B CB BA
⊥ ⇒ ⊥
.
'
A BC
⇒ ∆
vuông tại
B
.
∗ Ta lại có:

( ) ( )

'. . ' '
1
. , ' 3
3
A MBC M A BC A BC
V V S d M A BC
∆
 
= =
 
 
.
∗ Từ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2
2 , 3 . ' . . , ' . , ' , ' 4
12 3 2 6 4
A B BC d M A BC d M A BC d M A BC
     
⇒ = = ⇒ =
     
     
.
∗ Từ
( ) ( ) ( )
2
1 , 4 , '

4
d MN AC⇒ =
.
Thí dụ
23
.
(
Trí
ch
đề
thi tuy
ể
n sinh Đ
ạ
i
họ
c kh
ố
i A
–
2006)


Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có cạnh bằng 1. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của

AB
và
CD
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
'
A C
và
MN
.
B’

A’

C’

D’

A

B

C

D

M

N

Bi

n h

c vô b

l

y chuyên c

n làm b

n


Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lên


Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 25 -

Bài giải tham khảo

∗ Gọi
O
là tâm mặt phẳng đáy và
,
M N
là trung điểm của
,
AD BC

SNM
α
⇒ =
.
∗ Ta có:
( ) ( ) ( )
BC MN
BC MNS SBC MNS
BC SO


⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥


.

∗ Kẻ
(
)

MH SN H SN
⊥ ∈
.
Do
( ) ( ) ( )
BC MN
BC MNS SBC MNS
BC SO


⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥



Nên
(
)
(
)
(
)

( )
SBC MNS SN
MH SBC
SN MH MNS


⊥ =


⇒ ⊥


⊥ ⊂



.
Và
(
)
// //
DA BC AD mp SBC
⇒
(
)
(
)
, , 2
d A SBC d M SBC MH a
   

⇒ = = =
   
   
.
∗ Trong tam giác vuông
MHN
, ta có:
2
sin sin
MH a
MN
α α
= =
.
∗ Và trong tam giác vuông
sin
: tan .
sin cos cos
a a
SON SO ON
α
α
α α α
= = =
.
( )

2
3
2

.
2
1 1 1 2 4
. . . . 1
3 3 3 sin cos
3 sin cos
S ABCD ABCD
a a a
V S SO MN SO
α α
α α
 



⇒ = = = =





 
.
∗ Từ
(
)
1
, để
.
S ABCD

V
đạt giá trị nhỏ nhất thì hàm
(
)
2 3
sin .cos cos cos
f
α α α α α
= = −
đạt giá trị lớn nhất.
Dạng toán 4. Bài toán thể tích kết hợp với việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
 Đây có thể xem là bài toán rất cơ bản mặc dù nó chưa một lần xuất hiện trong các đề thi TNPT cũng như
Đại học – Cao đẳng (cho dù bài tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với hàm số hầu như năm nào cũng
có mặt trong các đề thi).

 Nội dung bài toán: Thể tích khối đa diện trong các dạng toán này phụ thuộc một tham số nào đó (tham
số có thể là góc, hoặc là độ dài cạnh). Bài toán đòi hỏi xác định giá trị của tham số để thể tích đạt giá trị
lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

 Phương pháp giải:

 Bước 1: Chọn tham số, thực chất là chọn ẩn. Ẩn này có thể là góc α thích hợp trong khối đa diện,
hoặc là một yếu tố nào đó.
 Bước 2: Với ẩn số được chọn ở bước 1, ta xem đó như là các yếu tố đã cho để tính thể tích V của
khối đa diện theo các phương pháp đã biết.
 Bước 3: Đến đây, nhiệm vụ của bài toán hình học coi như đã “kết thúc”. Ta có một hàm số

(
)
,

f x x D
∀ ∈
mà cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó. Dùng bất đẳng thức
cổ điển (Cauchy hay Bunhiacopski) hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm để tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất ấy.
Thí dụ 24. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
mà khoảng cách từ điểm
A
đến
(
)
mp SBC
bằng
2
a
. Góc hợp bởi
mặt phẳn bên và mặt phẳng đáy của hình chóp là
α
. Với giá trị nào của góc
α
thì thể tích của hình chóp
đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó ?
α

A

D

C

B

S

N

O

M

H