Phân loại và phương pháp giải một số bài toán sóng cơ và giao thoa sóng

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SÓNG CƠ VÀ GIAO
THOA SÓNG
Tác giả: Nguyễn Văn Lịch
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn tổ Vật lí-KTCN
Đơn vị công tác : THPT Phạm Công Bình
Đối tượng bồi dưỡng : Học sinh lớp 12
Số tiết dự kiến: 4 tiết
Trang 1
A
C
B
I
D
G
H
F
E
J
Phương truyn sng
λ
2λ
2
λ
2
3
λ
A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ:
I. SÓNG CƠ VÀ SỰ TRUYỀN SÓNG CƠ :
1.Sóng cơ- Định nghĩa- phân loại
+ Sng cơ là những dao động lan truyn trong môi trường .
+ Khi sng cơ truyn đi chỉ c pha dao động của các phần tử vật chất lan truyn còn các

phần tử vật chất thì dao động xung quanh vị trí cân bằng cố định.
+ Sng ngang là sng trong đ các phần tử của môi trường dao động theo phương vuông
gc với phương truyn sng. Ví dụ: sng trên mặt nước, sng trên sợi dây cao su.
+ Sng dọc là sng trong đ các phần tử của môi trường dao động theo phương trùng với
phương truyn sng.
Ví dụ: sng âm, sng trên một lò xo.
2.Các đặc trưng của một sóng hình sin
+ Biên độ của sng A: là biên độ dao động của một phần tử của môi trường c sng truyn
qua.
+ Chu kỳ sng T: là chu kỳ dao động của một phần tử của môi trường sng truyn qua.
+ Tần số f: là đại lượng nghịch đảo của chu kỳ sng : f =
T
1

+ Tốc độ truyn sng v : là tốc độ lan truyn dao động trong môi trường .
+ Bước sng λ: là quảng đường mà sng truyn được trong một chu kỳ. λ = vT =
f
v
.
+Bước sng λ cũng là khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất trên phương truyn sng
dao động cùng pha.
+Khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất trên một phương truyn sng dao động ngược
pha là
λ
2
+Khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất trên phương
truyn sng mà dao động vuông pha là
λ
4
.

+Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên phương
truyn sng mà dao động cùng pha là: kλ.
+Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên phương
truyn sng mà dao động ngược pha là: (2k+1)
λ
2
.
+Lưu ý: Giữa n đỉnh (ngọn) sng c (n - 1)
bước sng.
3. Phương trình sóng:
a.Tại nguồn O: u
O
=A
o
cos(ωt)
b.Tại M trên phương truyền sóng: u
M
=A
M
cosω(t-
∆t)
Nếu bỏ qua mất mát năng lượng trong quá trình
truyn sng thì biên độ sng tại O và tại M bằng nhau: A
o
= A
M
= A.
Thì : u
M
=Acosω(t -

v
x
) =Acos 2π(
λ
x
T
t
−
)
c.Tổng quát:Tại điểm O: u
O
= Acos(ωt + ϕ).
d.Tại điểm M cách O một đoạn x trên phương truyền sóng.
Trang 2
O
x
M
x
O
M
x
sng
u
x
d
1
0 N
N
d
d

2
M
* Sng truyn theo chiu dương của trục Ox thì:
u
M
= A
M
cos(ωt + ϕ -
x
v
ω
) = A
M
cos(ωt + ϕ -
2
x
π
λ
)
* Sng truyn theo chiu âm của trục Ox thì:
u
M
= A
M
cos(ωt + ϕ +
x
v
ω
) = A
M

cos(ωt + ϕ +
2
x
π
λ
)
e. Độ lệch pha giữa hai điểm cách nguồn một khoảng x
1
, x
2:

1 2 1 2
2
x x x x
v
ϕ ω π
λ
− −
∆ = =

-Nếu 2 điểm đ nằm trên một phương truyn sng và cách nhau một khoảng x thì:

2
x x
v
ϕ ω π
λ
∆ = =
(Nếu 2 điểm M và N trên phương truyn sng và cách nhau một khoảng d thì :
∆ϕ = )

- Vậy 2 điểm M và N trên phương truyn sng sẽ:
+ dao động cùng pha khi:d = kλ
+ dao động ngược pha khi: d = (2k + 1)
+ dao động vuông pha khi: d = (2k + 1)
với k = 0, ±1, ±2
Lưu ý: Đơn vị của x, x
1
, x
2
,d,
λ
và v phải tương ứng với nhau.
f. Trong hiện tượng truyền sóng trên sợi dây, dây được kích thích dao động bởi nam châm
điện với tần số dòng điện là f thì tần số dao động của dây là 2f.
II. GIAO THOA SÓNG
1. Điều kiện để có giao thoa: Hai sng là hai sng kết hợp tức là hai sng cùng tần số và c
độ lệch pha không đổi theo thời gian (hoặc hai sng cùng pha).
2.Lý thuyết giao thoa:
Giao thoa của hai sng phát ra từ hai nguồn sng kết hợp S
1
, S
2
cách nhau một khoảng l:
+Phương trình sng tại 2 nguồn :(Điểm M cách hai nguồn lần lượt d
1
, d
2
)

1 1

Acos(2 )u ft
π ϕ
= +
và
2 2
Acos(2 )u ft
π ϕ
= +
+Phương trình sng tại M do hai sng từ hai nguồn truyn tới:

1
1 1
Acos(2 2 )
M
d
u ft
π π ϕ
λ
= − +
và
2
2 2
Acos(2 2 )
M
d
u ft
π π ϕ
λ
= − +
+Phương trình giao thoa sng tại M: u

M
= u
1M
+ u
2M

1 2 1 2 1 2
2 os os 2
2 2
M
d d d d
u Ac c ft
ϕ ϕϕ
π π π
λ λ
− + +∆
   
= + − +
   
   
+Biên độ dao động tại M:
1 2
2 os
2
M
d d
A A c
ϕ
π
λ

−
∆
 
= +
 ÷
 
với
1 2
ϕ ϕ ϕ
∆ = −
+Chú ý:Tìm số điểm dao động cực đại, số điểm dao động cực tiểu:
Cách 1 * Số cực đại:
(k Z)
2 2
l l
k
ϕ ϕ
λ π λ π
∆ ∆
− + < < + + ∈
* Số cực tiểu:
1 1
(k Z)
2 2 2 2
l l
k
ϕ ϕ
λ π λ π
∆ ∆
− − + < < + − + ∈

Cách 2 :
Ta lấy: S
1
S
2
/λ = m,p (m nguyên dương, p phần phân sau dấu phảy)
Số cực đại luôn là: 2m +1( chỉ đối với hai nguồn cùng pha)
Số cực tiểu là:+Trường hợp 1: Nếu p<5 thì số cực tiểu là 2m.
Trang 3
M
S
1
S
2
d
1
d
2

M
d
1
d
2
S
1
S
2
k =
0

-1
-
2
1
Hình ảnh giao thoa
sóng
2
+Trường hợp 2: Nếu p ≥ 5 thì số cức tiểu là 2m+2.
Nếu hai nguồn dao động ngược pha thì làm ngược lại.
a. Hai nguồn dao động cùng pha (
1 2
0
ϕ ϕ ϕ
∆ = − =
hoặc 2k
π
)
+ Độ lệch pha của hai sóng thành phần tại M:
( )
12
2
dd −=∆
λ
π
ϕ
+ Biên độ sóng tổng hợp: A
M
=2.A.
( )
12

cos dd −⋅
λ
π
 A
max
= 2.A khi:+ Hai sng thành phần tại M cùng pha ↔ ∆ϕ=2.k.π (k∈Z)
+ Hiệu đường đi d = d
2
– d
1
= k.λ
 A
min
= 0 khi:+ Hai sng thành phần tại M ngược pha nhau ↔ ∆ϕ=(2.k+1)π (k∈Z)
+ Hiệu đường đi d=d
2
– d
1
=(k +
2
1
).λ
+ Để xác định điểm M dao động với A
max
hay A
min
ta xét tỉ số
λ
12
dd −

-Nếu
=
−
λ
12
dd
k = số nguyên thì M dao động với A
max
và M nằm trên cực đại giao thoa thứ
k
- Nếu
=
−
λ
12
dd
k +
2
1
thì tại M là cực tiểu giao thoa thứ (k+1)
+ Khoảng cách giữa hai đỉnh liên tiếp của hai hypecbol cùng loại (giữa hai cực đại (hai cực
tiểu) giao thoa): λ/2.
+ Số đường dao động với A
max
và A
min
:
 Số đường dao động với A
max
(luôn là số lẻ) là số giá trị của k thỏa mãn điu kiện

(không tính hai nguồn):
λλ
AB
k
AB
≤≤−
và k∈Z.
Vị trí của các điểm cực đại giao thoa xác định bởi:
22
.
1
AB
kd +=
λ
(thay các giá trị tìm được của k vào)
 Số đường dao động với A
min
(luôn là số chẵn) là số giá trị của k thỏa mãn điu kiện
(không tính hai nguồn):
2
1
2
1
−≤≤−−
λλ
AB
k
AB
và k∈Z.
Vị trí của các điểm cực tiểu giao thoa xác định bởi:

422
.
1
λλ
++=
AB
kd
(thay các giá trị của k vào).

→
Số cực đại giao thoa bằng số cực tiểu giao thoa + 1.
b. Hai nguồn dao động ngược pha:(
1 2
ϕ ϕ ϕ π
∆ = − =
)
* Điểm dao động cực đại: d
1
– d
2
= (2k+1)
2
λ
(k∈Z)
Số đường hoặc số điểm dao động cực đại (không tính hai nguồn):

1 1
2 2
l l
k

λ λ
− − < < −
* Điểm dao động cực tiểu (không dao động):d
1
– d
2
= kλ (k∈Z)
Số đường hoặc số điểm dao động cực tiểu (không tính hai nguồn):
Trang 4
A B
k=1
k=2
k= -1
k= - 2
k=0
k=0
k=1
k= -1
k= - 2

l l
k
λ λ
− < <
c. Trường hợp hai nguồn dao động vuông pha nhau:(
1 2
2
π
ϕ ϕ ϕ
∆ = − =

)
+ Phương trình hai nguồn kết hợp:
tAu
A
.cos.
ω
=
;
π
ω
= +
.cos( . )
2
B
u A t
.
+ Phương trình sng tổng hợp tại M:
( ) ( )
2 1 1 2
2. .cos cos .
4 4
u A d d t d d
π π π π
ω
λ λ
   
= − − − + +
   
   
+ Độ lệch pha của hai sóng thành phần tại M:

( )
2 1
2
2
d d
π π
φ
λ
∆ = − −
+ Biên độ sóng tổng hợp: A
M
=
( )
π π
λ
 
= − −
 
 
2 1
2. . cos
4
u A d d
+Tìm số điểm dao động cực đại, số điểm dao động cực tiểu:
* Số cực đại:
(k Z)
2 2
l l
k
ϕ ϕ

λ π λ π
∆ ∆
− + < < + + ∈
* Số cực tiểu:
1 1
(k Z)
2 2 2 2
l l
k
ϕ ϕ
λ π λ π
∆ ∆
− − + < < + − + ∈
B.PHÂN LOẠI BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. Sóng cơ và sự truyền sóng
Dạng 1 : Xác định các đại lượng đặc trưng:
–Kiến thức cần nhớ :
-Chu kỳ (T), vận tốc (v), tần số (f), bước sng (λ) liên hệ với nhau :

T
1
f =
;
f
v
vTλ ==
;
t
s
v

∆
∆
=
với ∆s là quãng đường sng truyn trong thời gian ∆t.
+ Quan sát hình ảnh sng c n ngọn sóng liên tiếp thì c n-1 bước sng. Hoặc quan sát thấy
từ ngọn sng thứ n đến ngọn sng thứ m (m > n) c chiu dài l thì bước sng

nm
l
λ
−
=
;
+ Số lần nhô lên trên mặt nước là N trong khoảng thời gian t giây thì
1−
=
N
t
T
-Độ lệch pha giữa 2 điểm nằm trên một phương truyn sng cách nhau khoảng d là

λ
π
ϕ
d2
=∆
- Nếu 2 dao động cùng pha thì
πϕ
k2=∆
- Nếu 2 dao động ngược pha thì

πϕ
)12( +=∆ k
–Phương pháp :
Áp dụng các công thức chứa các đại lượng đặc trưng:
T
1
f =
;
f
v
vTλ ==
;
λ
π
ϕ
d2
=∆

- Bài tập ví dụ
Câu 1: Một sng cơ truyn trên một sợi dây đàn hồi rất dài. Phương trình sng tại một điểm
trên dây c dạng u = 4cos(20πt -
.x
3
π
)(mm). Với x: đo bằng met, t: đo bằng giây. Tốc độ
truyn sng trên sợi dây c giá trị.
A. 60mm/s B. 60 cm/s C. 60 m/s D. 30mm/s
Trang 5
Giải: Ta c
.x

3
π
=
2 .xπ
λ
=> λ = 6 m => v = λ.f = 60 m/s (chú ý: x đo bằng mét)
Đáp án C
Câu 2: Một sng cơ truyn dọc theo trục Ox c phương trình là
5cos(6 )u t x
π π
= −
(cm), với
t đo bằng s, x đo bằng m. Tốc độ truyn sng này là
A. 3 m/s. B. 60 m/s. C. 6 m/s. D. 30 m/s.
Giải : Phương trình c dạng
)
2
cos( xtau
λ
π
ω
−=
.Suy ra:
)(3
2
6
)/(6 Hzfsrad ==⇒=
π
π
πω

;

2
x
π
λ
= πx =>
m2
2
=⇒=
λπ
λ
π

⇒
v =
f.
λ
= 2.3 = 6(m/s)
⇒
Đáp án C
Câu 3: Một người ngồi ở bờ biển trông thấy c 10 ngọn sng qua mặt trong 36 giây,
khoảng cách giữa hai ngọn sng là 10m Tính tần số sng biển.và vận tốc truyn sng biển.
A. 0,25Hz; 2,5m/s B. 4Hz; 25m/s C. 25Hz; 2,5m/s D.4Hz; 25cm/s
Giải : Xét tại một điểm c 10 ngọn sng truyn qua ứng với 9 chu kì.
T=
36
9
= 4s. Xác định tần số dao động.
1 1

0,25
4
f Hz
T
= = =
Xác định vận tốc truyn sng:
( )
10
=vT v= 2,5 m / s
T 4
λ
λ ⇒ = =
Đáp án A
Câu 4: Tại một điểm trên mặt chất lỏng c một nguồn dao động với tần số 120Hz, tạo ra
sng ổn định trên mặt chất lỏng. Xét 5 gợn lồi liên tiếp trên một phương truyn sng, ở v
một phía so với nguồn, gợn thứ nhất cách gợn thứ năm 0,5m. Tốc độ truyn sng là
A. 30 m/s B. 15 m/s C. 12 m/s D. 25 m/s
Giải : 4λ = 0,5 m ⇒ λ = 0,125m ⇒ v = 15 m/s Đáp án B.
- Bài tập vận dụng
Câu 1: Một sng truyn trên sợi dây đàn hồi rất dài với tần số 500Hz, người ta thấy
khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất dao động cùng pha là 80cm. Tốc độ truyn sng
trên dây là
A. v = 400cm/s. B. v = 16m/s. C. v = 6,25m/s. D. v = 400m/s
Câu 2. Một người quan sát một chiếc phao trên mặt biển thấy n nhô lên cao 10 lần trong
18 s, khoảng cách giữa hai ngọn sng k nhau là 2 m. Tốc độ truyn sng trên mặt biển là :
A. 2 m/s. B . 1 m/s. C. 4 m/s. D. 4.5 m/s.
Câu 3. Một sng lan truyn với vận tốc 200m/s c bước sng 4m. Tần số và chu kì của
sng là
A .f = 50Hz ;T = 0,02s. B.f = 0,05Hz ;T= 200s.
C.f = 800Hz ;T = 1,25s. D.f = 5Hz;T = 0,2s.

Câu 4 : Một sng truyn theo trục Ox với phương trình u = acos(4πt – 0,02πx) (u và x tính
bằng cm, t tính bằng giây). Tốc độ truyn của sng này là :
A. 100 cm/s. B. 150 cm/s. C. 200 cm/s. D. 50 cm/s.

Dạng 2 :Viết phương trình sóng:
- Kiến thức cần nhớ :
+Tổng quát: Nếu phương trình sng tại nguồn O là
)cos(
0
ϕω
+=
tAu
thì
+ Phương trình sng tại M là
2
cos( )
M
x
u A t
π
ω φ
λ
= +
m
.
Dấu (–) nếu sng truyn từ O tới M, dấu (+) nếu sng truyn ngược lại từ M tới O.
Trang 6
+Lưu ý: Đơn vị của , x, x
1
, x

2
,
λ
và v phải tương ứng với nhau.
- Bài tập ví dụ :
Câu 1: Một sợi dây đàn hồi nằm ngang c điểm đầu O dao động theo phương đứng với
biên độ A=5cm, T=0,5s. Vận tốc truyn sng là 40cm/s. Viết phương trình sng tại M cách
O d=50 cm.
A.
5cos(4 5 )( )
M
u t cm
π π
= −
B
5cos(4 2,5 )( )
M
u t cm
π π
= −
C.
5cos(4 )( )
M
u t cm
π π
= −
D
5cos(4 25 )( )
M
u t cm

π π
= −
Giải: Phương trình dao động của nguồn:
cos( )( )
o
u A t cm
ω
=
Với :
( )
a 5cm
2 2
4 rad / s
T 0,5
=
π π
ω = = = π
5cos(4 )( )
o
u t cm
π
=
.Phương trình dao động tai M:
2
cos( )
M
d
u A t
π
ω

λ
= −

Trong đ:
( )
vT 40.0,5 20 cmλ = = =
;d= 50cm .
5cos(4 5 )( )
M
u t cm
π π
= −
. Chọn A.
Câu 2: Một sng cơ học truyn theo phương Ox với biên độ coi như không đổi. Tại O,
dao động c dạng u = acosωt (cm). Tại thời điểm M cách xa tâm dao động O là
1
3
bước sng
ở thời điểm bằng 0,5 chu kì thì ly độ sng c giá trị là 5 cm. Phương trình dao động ở M thỏa
mãn hệ thức nào sau đây:
A.
2
cos( )
3
M
u a t cm
λ
ω
= −
B.

cos( )
3
M
u a t cm
πλ
ω
= −

C.
2
cos( )
3
M
u a t cm
π
ω
= −
D.
cos( )
3
M
u a t cm
π
ω
= −

Giải :Sng truyn từ O đến M mất một thời gian là :t=
d
v
=

3v
λ

Phương trình dao động ở M c dạng:
1.
cos ( )
.3
M
u a t
v
λ
ω
= −
.Với v =λ/T .Suy ra :
Ta c:
2 2
.
v
T
T
ω π π
λ
λ
= =
Vậy
2 .
cos( )
.3
M
u a t

π λ
ω
λ
= −
Hay :
2
cos( )
3
M
u a t cm
π
ω
= −
Chọn C
- Bài tập vận dụng:
Câu 1. Sng truyn tại mặt chất lỏng với bước sng 0,8cm. Phương trình dao động tại O
c dạng u
0
= 5cos
ω
t (mm). Phương trình dao động tại điểm M cách O một đoạn 5,4cm theo
hướng truyn sng là
A. u
M
= 5cos(
ω
t + π/2) (mm) B. u
M
= 5cos(
ω

t+13,5π) (mm)
C . u
M
= 5cos(
ω
t – 13,5π ) (mm). D. u
M
= 5cos(
ω
t+12,5π) (mm)
Câu 2.(ĐH_2008) Một sng cơ lan truyn trờn một đường thẳng từ điểm O đến điểm M
cách O một đoạn d. biên độ a của sng không đổi trong quá trình sng truyn. Nếu phương
trình dao động của phần tử vật chất tại điểm M c dạng u
M
(t) = acos2πft thì phương trình
dao động của phần tử vật chất tại O là:
A.
d
u (t) a cos (ft )
π
λ
= −
0
2
B.
d
u (t) acos (ft )
π
λ
= +

0
2

C.
d
u (t) a cos (ft )
π
λ
= −
0
D.
d
u (t) acos (ft )
π
λ
= +
0
Câu 3: Một sng cơ học lan truyn trên một phương truyn sng với vận tốc 4m/s. Phương
trình sng của một điểm 0 c dạng :
cmtu )
3
cos(10
0
π
π
+=
. Phương trình sng tại M nằm sau 0
và cách 0 một khoảng 80cm là:
Trang 7
d

1
0 N
N
d
d
2
M
A.
cmtu
M
)
5
cos(10
π
π
−=
B.
cmtu
M
)
5
cos(10
π
π
+=
C .
cmtu
M
)
15

2
cos(10
π
π
+=
D.
cmtu
M
)
15
8
cos(10
π
π
−=
Câu 4: Một sng cơ học lan truyn trên một phương truyn sng với vận tốc 5m/s. Phương
trình sng của một điểm O trên phương truyn đ là:
6cos(5 )
2
O
u t cm
π
π
= +
. Phương trình sng
tại M nằm trước O và cách O một khoảng 50cm là:
A.
)(5cos6 cmtu
M
π

=
B.
cmtu
M
)
2
5cos(6
π
π
+=
C.
cmtu
M
)
2
5cos(6
π
π
−=
D.
6cos(5 )
M
u t cmp p= +
Câu 5: Nguồn sng ở O dao động với tần số 10Hz, dao động truyn đi với vận tốc 0,4m/s
theo phương Oy; trên phương này c hai điểm P và Q với PQ = 15cm. Biên độ sng bằng a =
1cm và không thay đổi khi lan truyn . Nếu tại thời điểm t nào đ P c li độ 1cm thì li độ tại
Q là
A. 1cm B. -1cm C. 0 D. 2cm
Giải :Cách 1:
v 40

f 10
λ = =
= 4cm; lúc t, u
P
= 1cm = acosωt → cosωt =1
u
Q
= acos(ωt -
2 dπ
λ
) = acos(ωt -
2 .15
4
π
)
= acos(ωt -7,5π) = acos(ωt + 8π -0,5π) = acos(ωt - 0,5π) = asinωt = 0
Cách 2:
PQ 15
3,75
4
= =
λ
→ hai điểm P và Q vuông pha
Mà tại P c độ lệch đạt cực đại thi tại Q c độ lệch bằng 0 : u
Q
= 0 (Hình vẽ) Chọn C
Dạng 3 : Tính độ lệch pha giữa hai điểm nằm trên cùng một phương truyền sóng
- Kiến thức cần nhớ :
+ Độ lệch pha giữa hai điểm cách nguồn một khoảng x
1

, x
2
(

có khi người ta dùng d
1
,d
2
)

1 2 1 2
2
x x x x
v
ϕ ω π
λ
− −
∆ = =

+Nếu 2 điểm đ nằm trên một phương truyn sng và cách nhau một khoảng x thì:

2
x x
v
ϕ ω π
λ
∆ = =
(Nếu 2 điểm M và N trên phương truyn sng và cách nhau một khoảng d thì :
∆ϕ = )
- Vậy 2 điểm M và N trên phương truyn sng sẽ:

+ dao động cùng pha khi: Δφ = k2π => d = kλ
+ dao động ngược pha khi:Δφ = π + k2π => d = (2k + 1)
+ dao động vuông pha khi:Δφ = (2k + 1)
2
π
=>d = (2k + 1)
với k = 0, 1, 2
- Phương pháp :
-Độ lệch pha giữa hai điểm cách nguồn một khoảng x
1
, x
2
(

hay d
1
,d
2
)
1 2 1 2
2
x x x x
v
ϕ ω π
λ
− −
∆ = =

Hay
2

x x
v
ϕ ω π
λ
∆ = =
-Vận dụng các công thức:Δφ =
2 d
π
λ

- Lưu ý: Đơn vị của d, x, x
1
, x
2
,
λ
và v phải tương ứng với nhau.
Trang 8
P
1
Q
- Bài tập ví dụ:
Câu 1: Tại hai điểm A và B trên mặt nước c hai nguồn kết hợp cùng dao động với
phương trình
u = acos100πt
. Tốc độ truyn sng trên mặt nước là 40 cm/s. Xét điểm M trên
mặt nước c AM = 9 cm và BM = 7 cm. Hai dao động tại M do hai sng từ A và B truyn
đến là hai dao động :
A. cùng pha. B. ngược pha. C. lệch pha 90º. D. lệch pha 120º.
Giải :Chọn B. Ta c: f =50Hz; λ = v/f = 40/50 =0,8cm.

Xét: d
2
– d
1
= 9-7=(2 +
1
2
)0,8 cm =2,5λ:
Hai dao động do hai sng từ A và B truyn đến M ngược pha.
- Bài tập vận dụng:
Câu 1: Sng cơ c tần số 80 Hz lan truyn trong một môi trường với vận tốc 4 m/s. Dao
động của các phần tử vật chất tại hai điểm trên một phương truyn sng cách nguồn sng
những đoạn lần lượt 31 cm và 33,5 cm, lệch pha nhau gc :
A. 2π rad. B.
.
2
π
C. π rad. D.
.
3
π
Câu 2: Một sng cơ c chu kì 2 s truyn với tốc độ 1 m/s. Khoảng cách giữa hai điểm gần
nhau nhất trên một phương truyn mà tại đ các phần tử môi trường dao động ngược pha
nhau là :
A. 0,5 m. B. 1,0 m. C. 2,0 m. D. 2,5 m.
Câu 3: Một sng c tần số 500Hz, c tốc độ lan truyn 350m/s. Hai điểm gần nhau nhất
trên phương truyn sng phải cách nhau gần nhất một khoảng là bao nhiêu để giữa chúng c
độ lệch pha bằng
3
π

rad ?
A. 0,117m. B. 0,467m. C. 0,233m. D. 4,285m.
Câu 4: Một sng cơ truyn trong môi trường với tốc độ 120m/s. Ở cùng một thời điểm, hai
điểm gần nhau nhất trên một phương truyn sng dao động ngược pha cách nhau 1,2m. Tần
số của sng là :
A. 220Hz. B. 150Hz. C. 100Hz. D. 50Hz.
Câu 5: Một sng cơ c chu kì 2 s truyn với tốc độ 1 m/s. Khoảng cách giữa hai điểm gần
nhau nhất trên một phương truyn mà tại đ các phần tử môi trường dao động cùng pha nhau
là:
A. 0,5m. B. 1,0m. C. 2,0 m. D. 2,5 m.
Trang 9
II. Giao thoa sóng
1.Tìm số điểm dao động cực đại và cực tiểu giữa hai nguồn Avà B ( hay S
1
và S
2
) :
- Phương pháp:
a .Tìm số điểm dao động cực đại và cục tiểu giữa hai nguồn cùng pha:
+Các công thức: (
= =
1 2
S S AB l
)
* Số Cực đại giữa hai nguồn:
l l
k
λ λ
− < <
và k∈Z.

* Số Cực tiểu giữa hai nguồn:
1 1
2 2
l l
k
λ λ
− − < < −
và k∈ Z.Hay
0,5 (k Z)
− < + < + ∈
l l
k
λ λ
b.Tìm số điểm dao động cực đại và cục tiểu giữa hai nguồn ngược pha: (
1 2
ϕ ϕ ϕ π
∆ = − =
)
* Điểm dao động cực đại: d
1
– d
2
= (2k+1)
2
λ
(k∈Z)
Số đường hoặc số điểm dao động cực đại (không tính hai nguồn):

1 1
2 2

l l
k
λ λ
− − < < −
Hay
0,5 (k Z)
− < + <+ ∈
l l
k
λ λ
* Điểm dao động cực tiểu (không dao động):d
1
– d
2
= kλ (k∈Z)
Số đường hoặc số điểm dao động cực tiểu (không tính hai nguồn):
Số Cực tiểu:
(k Z)
− < <+ ∈
l l
k
λ λ
c.Tìm số điểm dao động cực đại và cục tiểu giữa hai nguồn vuông pha:
∆ϕ
=(2k+1)
π
/2 ( Số Cực đại= Số Cực tiểu)
+ Phương trình hai nguồn kết hợp:
tAu
A

.cos.
ω
=
;
π
ω
= +
.cos( . )
2
B
u A t
.
+ Phương trình sng tổng hợp tại M:
( ) ( )
2 1 1 2
2. .cos cos .
4 4
u A d d t d d
π π π π
ω
λ λ
   
= − − − + +
   
   
+ Độ lệch pha của hai sóng thành phần tại M:
( )
2 1
2
2

d d
π π
φ
λ
∆ = − −
+ Biên độ sóng tổng hợp: A
M
=
( )
π π
λ
 
= − −
 
 
2 1
2. . cos
4
u A d d
* Số Cực đại:
1 1
(k Z)
4 4
− + < < + + ∈
l l
k
λ λ

* Số Cực tiểu:
1 1

(k Z)
4 4
− − < < + − ∈
l l
k
λ λ
Hay
0, 25 (k Z)
− < + <+ ∈
l l
k
λ λ
Nhận xét: số điểm cực đại và cực tiểu trên đoạn AB là bằng nhau nên c thể dùng 1
công thức là đủ
=> Số giá trị nguyên của k thoả mãn các biểu thức trên là số đường cần tìm.
- Bài tập ví dụ:
Ví dụ 1:Trong một thí nghiệm v giao thoa sng trên mặt nước, hai nguồn kết hợp S
1
và
S
2
cách nhau 10cm dao động cùng pha và c bước sng 2cm.Coi biên độ sng không đổi
khi truyn đi.
a.Tìm Số điểm dao động với biên độ cực đại, Số điểm dao động với biên độ cực tiểu
quan sát được.
b.Tìm vị trí các điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn S
1
S
2
.

Giải: Vì các nguồn dao động cùng pha,
a.Ta c số đường hoặc số điểm dao động cực đại:
l l
k
λ λ
− < <

=>
10 10
2 2
k− < <
=>-5< k < 5 . Suy ra: k = 0; ± 1;±2 ;±3; ±4 .
Trang 10
A B
k=1
k=2
k=
-1
k= -
2
k=0
k=0
k=1
k=
-1
k= -
2
- Vậy có 9 số điểm (đường) dao động cực đại
-Ta c số đường hoặc số điểm dao động cực tiểu:
1 1

2 2
l l
k
λ λ
− − < < −

=>
10 1 10 1
2 2 2 2
k− − < < −
=> -5,5< k < 4,5 . Suy ra: k = 0; ± 1;±2 ;±3; ±4; - 5 .
-Vậy có 10 số điểm (đường) dao động cực tiểu
b. Tìm vị trí các điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn S
1
S
2
.
- Ta c: d
1
+ d
2
= S
1
S
2
(1)
d
1
- d
2

= S
1
S
2
(2)
-Suy ra: d
1
=
1 2
2 2
S S
k
λ
+
=
10 2
2 2
k
+
= 5+ k với k = 0; ± 1;±2 ;±3; ±4
-Vậy Có 9 điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn S
1
S
2
.
-Khỏang cách giữa 2 điểm dao động cực đại liên tiếp bằng λ/2 = 1cm.
Ví dụ 2: Hai nguồn sng cùng biên độ cùng tần số và ngược pha. Nếu khoảng cách giữa
hai nguồn là:
16,2AB
λ

=
thì số điểm đứng yên và số điểm dao động với biên độ cực đại
trên đoạn AB lần lượt là:
A. 32 và 33 B. 34 và 33 C. 33 và 32 D. 33 và 34.
Giải: Do hai nguồn dao động ngược pha nên số điểm đứng yên trên đoạn AB là :
-AB AB
< K <
λ λ
Thay số :
-16,2λ 16, 2λ
< K <
λ λ
Hay : 16,2<k<16,2.
Kết luận c 33 điểm đứng yên.
Tương tự số điểm cực đại là :
-AB 1 AB 1
- < K < -
λ 2 λ 2
thay số :
-16,2λ 1 16,2λ 1
- < K < -
λ 2 λ 2
hay
17,2 15,2k- < <
.
C 32 điểm
Ví dụ 3:Trên mặt nước c hai nguồn kết hợp A,B cách nhau 10(cm) dao động theo các
phương trình :
1
0,2. (50 )u cos t cm

π π
= +
và :
1
0,2. (50 )
2
u cos t cm
π
π
= +
. Biết vận tốc truyn sng
trên mặt nước là 0,5(m/s). Tính số điểm cực đại và cực tiểu trên đoạn A,B.
A.8 và 8 B.9 và 10 C.10 và 10 D.11 và 12
Giải : Nhìn vào phương trình ta thấy A, B là hai nguồn dao động vuông pha nên số điểm
dao động cực đại và cực tiểu là bằng nhau và thoã mãn :
-AB 1 AB 1
- < K < -
λ 4 λ 4
. Với
2 2
50 ( / ) 0,04( )
50
rad s T s
π π
ω π
ω π
= ⇒ = = =

Vậy :
. 0,5.0,04 0,02( ) 2v T m cm

λ
= = = =
Thay số :
10 1 10 1
2 4 2 4
K
-
- < < -
Vậy
5,25 4,75k
− < <
:
Kết luận c 10 điểm dao động với biên độ cực đại và cực tiểu
- Bài tập vận dụng
Bài 1 : Hai nguồn sng cơ S
1
và S
2
trên mặt chất lỏng cách nhau 20cm dao động theo
phương trình
tuu
π
40cos4
21
==
(cm,s) , lan truyn trong môi trường với tốc độ v = 1,2m/s .
1/ Xét các điểm trên đoạn thẳng nối S
1
với S
2

.
a. Tính khoảng cách giữa hai điểm liên tiếp c biên độ cực đại .
b. Trên S
1
S
2
c bao nhiêu điểm dao động với biên độ cực đại .
2/ Xét điểm M cách S
1
khoảng 12cm và cách S
2
khoảng 16 cm. Xác định số đường cực đại
đi qua đoạn S
2
M.
Trang 11
Bài 3 : (ĐH 2004). Tại hai điểm A,B trên mặt chất lỏng cách nhau 10(cm) c hai nguồn
phát sng theo phương thẳng đứng với các phương trình :
1
0,2. (50 )u cos t cm
π
=
và
1
0,2. (50 )u cos t cm
π π
= +
. Vận tốc truyn sng là 0,5(m/s). Coi biên độ sng không đổi. Xác
định số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn thẳng AB ?
A.8 B.9 C.10 D.11

Bài 4: Hai nguồn sng cơ AB cách nhau dao động chạm nhẹ trên mặt chất lỏng, cùng tấn
số 100Hz, cùng pha theo phương vuông vuông gc với mặt chất lỏng. Vận tốc truyn
sng 20m/s.Số điểm không dao động trên đoạn AB=1m là :
A.11 điểm B. 20 điểm C.10 điểm D. 15 điểm
Bài 5: Hai nguồn sng cơ dao động cùng tần số, cùng pha .Quan sát hiện tượng giao thoa
thấy trên đoạn AB c 5 điểm dao động với biên độ cực đại (kể cả A và B). Số điểm không
dao động trên đoạn AB là:
A. 6 B. 4 C. 5 D. 2
2.Tìm s ố điểm dao động với biên độ cực đại, cực tiểu giữa hai điểm bất kỳ:
- .Phương pháp:
Ghi nhớ : Trong trường hợp hai nguồn kết hợp ngược pha và cách nhau khoảng l thì :
Vị trí dao động cực đại sẽ có :





+=−
=+
λ
)
2
1
(
12
12
kdd
ldd
(1)
Khoảng cách giữa hai điểm liên tiếp có biên độ cực đại:

khoảng cách giữa hai cực đại liên tiếp bằng
2
λ
- Bài tập ví dụ:
Câu 1: Hai nguồn sng cơ S
1
và S
2
trên mặt chất lỏng cách nhau 20cm dao động theo
phương trình
tu
π
40cos4
1
=
(cm,s) và
)40cos(4
2
ππ
+= tu
, lan truyn trong môi trường với
tốc độ v = 1,2m/s .
1/ Xét các điểm trên đoạn thẳng nối S
1
với S
2
.
a. Tính khoảng cách giữa hai điểm liên tiếp c biên độ cực đại .
b. Trên S
1

S
2
c bao nhiêu điểm dao động với biên độ cực đại .
2/ Xét điểm M cách S
1
khoảng 20cm và vuông gc với S
1
S
2
tại S
1
. Xác định số đường cực
đại đi qua đoạn S
2
M .
Giải :
1a/ Khoảng cách giữa hai điểm liên tiếp có biên độ cực đại:
khoảng cách giữa hai cực đại liên tiếp bằng
2
λ
→
∆d = 3 cm .
1b/ Số điểm dao động với biên độ cực đại trên S
1
S
2
:
- Từ (1) →







+−=
λ
)
2
1
(
2
1
1
kld
; Do các điểm dao động cực đại trên S
1
S
2
luôn c :
ld <<
1
0
→
lkl <







+−<
λ
)
2
1
(
2
1
0
=>
83,283,3 <<− k

→
6 cực đại
2/ Số đường cực đại đi qua đoạn S
2
M .
sử dụng công thức
λ
)
2
1
(
12
+=−
kdd
,
với : d
1
= l =20cm,

2202
2
== ld
cm.
Giả thiết tại M là một vân cực đại , ta có
λ
)
2
1
(
12
+=− kdd
Trang 12
→k = 0,88 . Như vậy tại M không phải là cực đại , mà M nằm trong khoảng từ cực đại
ứng với k = 0 đến cực đại ứng với k = 1 → trên đoạn S
2
M c 4 cực đại .
Câu 2: Trong thí nghiệm giao thoa sng trên mặt nước , Hai
nguồn kết hợp A và B cùng pha . Tại điểm M trên mặt nước cách
A và B lần lượt là d
1
= 40 cm và d
2
= 36 cm dao động c biên độ cực đại . Cho biết vận
tốc truyn sng là v = 40 cm/s , giữa M và đường trung trực của AB c một cực đại khác .
1/ Tính tần số sng .
2/ Tại điểm N trên mặt nước cách A và B lần lượt là d
1
= 35 cm và d
2

= 40 cm dao động
c biên độ như thế nào ? Trên đoạn thẳng hạ vuông gc từ N đến đường trung trực của AB
c bao nhiêu điểm dao động với biên độ cực đại ?
G iải :
1/ Tần số sóng : Đ bài đã cho vân tốc v , như vậy để xác định được tần số f ta cần phải
biết đại lượng bước sng λ mới xác định được f theo công thức
λ
v
f =
.
Tại M c cực đại nên :
λ
kdd =−
12
(1)
Giữa M và đường trung trực c một cực đại khác →
2=k
( Hay k = -2 ) (2)
Vậy từ (1) và (2)→
=
−
=
2
3640
λ
2 cm ; Kết quả : f = 20 Hz.
2/ Biên độ dao động tại N: Tại N c
53540
12
=−=− dd

→
λ
)
2
1
(
12
+=− kdd
với k = 2 . Như vậy tại N c biên
độ dao động cực tiểu (đường cực tiểu thứ 3)
- từ N đến H c 3 cực đại , ứng với k = 0 , 1, 2
.( Quan sát hình vẽ sẽ thấy rõ số cực đại từ N đến H)
3.Xác Định Số Điểm Cực Đại, Cực Tiểu Trên Đoạn Thẳng CD Tạo Với AB Một Hình
Vuông Hoặc Hình Chữ Nhật.
- Phương pháp:
a.TH1: Hai nguồn A, B dao động cùng pha:
Cách 1: Ta tìm số điểm cực đại trên đoạn DI.
do DC =2DI, kể cả đường trung trực của CD.
=> Số điểm cực đại trên đoạn DC là: k’=2.k+1
Đặt :
1
DA d=
,
2
DB d=
Bước 1: Số điểm cực đại trên đoạn DI thoã mãn :
2 1
2 1
d d BD AD

d d k k
λ
λ λ
− −
− = ⇒ = =
Với k thuộc Z.
Bước 2 : Vậy số điểm cực đại trên đoạn CD là : k’=2.k+1
Số điểm cực tiểu trên đoạn CD : k’’=2.k
Cách 2 : Số điểm cực đại trên đoạn CD thoã mãn :
2 1
2 1
d d k
AD BD d d AC BC
λ
− =


− < − < −

Suy ra :
AD BD k AC BC
λ
− < < −
Hay :
AD BD AC BC
k
λ λ
− −
< <
. Giải suy ra k.

Số điểm cực tiểu trên đoạn CD thoã mãn :
2 1
2 1
(2 1)
2
d d k
AD BD d d AC BC
λ

− = +



− < − < −

Trang 13
A
B
D
C
O
I
k: 2 1 0
N H
A B
Suy ra :
(2 1)
2
AD BD k AC BC
λ

− < + < −
Hay :
2( ) 2( )
2 1
AD BD AC BC
k
λ λ
− −
< + <
. Giải suy ra k.
b.TH2: Hai nguồn A, B dao động ngược pha ta đảo lại kết quả.
Đặt :
1
AD d=
,
2
BD d=
Tìm Số Điểm Cực Đại Trên Đoạn CD :
Số điểm cực đại trên đoạn CD thoã mãn :
2 1
2 1
(2 1)
2
d d k
AD BD d d AC BC
λ

− = +




− < − < −

Suy ra :
(2 1)
2
AD BD k AC BC
λ
− < + < −
Hay :
2( ) 2( )
2 1
AD BD AC BC
k
λ λ
− −
< + <
Giải suy ra k.
Tìm Số Điểm Cực Tiểu Trên Đoạn CD:
Số điểm cực tiểu trên đoạn CD thoã mãn :
2 1
2 1
d d k
AD BD d d AC BC
λ
− =


− < − < −


Suy ra :
AD BD k AC BC
λ
− < < −
Hay :
AD BD AC BC
k
λ λ
− −
< <
. Giải suy ra k.
- Bài tập ví dụ :
Bài 1: Trên mặt nước, hai nguồn kết hợp A, B cách nhau 40cm luôn dao động cùng pha,
c bước sng 6cm. Hai điểm CD nằm trên mặt nước mà ABCD là một hình chữ nhât,
AD=30cm. Số điểm cực đại và đứng yên trên đoạn CD lần lượt là :
A. 5 và 6 B. 7 và 6 C. 13 và 12 D. 11 và 10
Giải :
2 2
50BD AD AB AD cm= = + =
Cách 1 :
Bước 1: Số điểm cực đại trên đoạn DI thoã mãn :
2 1
2 1
50 30
3,33
6
d d BD AD
d d k k
λ
λ λ

− − −
− = ⇒ = = = =
Với k thuộc Z lấy k=3
Vậy số điểm cực đại trên đoạn CD là : k’=2.k+1=3.2+1=7
Bước 2 : Số điểm cực tiểu trên đoạn DI thoã mãn :
2 1
2 1
2( ) 2( ) 2(50 30)
(2 1) 2 1 6,67
2 6
d d BD AD
d d k k
λ
λ λ
− − −
− = + ⇒ + = = = =
. Giải suy ra k=2,83
(Với k thuộc Z) nên lấy k=3 ( vì
2,83 2,5k = >
ta lấy cận trên là 3)
Vậy số điểm cực tiểu trên đoạn CD là : k’=2.k =2.3=6 Chọn B.
Cách 2 :
Do hai nguồn dao động cùng pha nên số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn CD
thoã mãn :
Số điểm cực đại trên đoạn CD thoã mãn :
2 1
2 1
d d k
AD BD d d AC BC
λ

− =


− < − < −

Suy ra :
AD BD k AC BC
λ
− < < −
Hay :
AD BD AC BC
k
λ λ
− −
< <
. Hay :
30 50 50 30
6 6
k
− −
< <
Giải ra : -3,3<k<3,3 Kết luận c 7 điểm cực đại trên CD.
Số điểm cực tiểu trên đoạn CD thoã mãn :
2 1
2 1
(2 1)
2
d d k
AD BD d d AC BC
λ


− = +



− < − < −

Suy ra :
(2 1)
2
AD BD k AC BC
λ
− < + < −
Hay :
2( ) 2( )
2 1
AD BD AC BC
k
λ λ
− −
< + <
. Thay số :
Trang 14
A
B
D
C
O
I
2(30 50) 2(50 30)

2 1
6 6
k
− −
< + <
Suy ra :
6,67 2 1 6,67k− < + <

Vậy : -3,8<k<2,835. Kết luận c 6 điểm đứng yên. Chọn B.
4.Xác định Số điểm Cực Đại, Cực Tiểu trên đường thẳng vuông góc với hai nguồn AB.
- Các bài tập có hướng dẫn:
Bài 1 : Tại 2 điểm A, B cách nhau 13cm trên mặt nước c 2 nguồn sng đồng bộ , tạo ra
sng mặt nước c bước sng là 1,2cm. M là điểm trên mặt nước cách A và B lần lượt là
12cm và 5cm .N đối xứng với M qua AB .Số hyperbol cực đại cắt đoạn MN là :
A.0 B. 3 C. 2 D. 4
Giải 1: Số đường hyperbol cực đại cắt MN bằng số điểm cực đại trên CD
+Ta c AM – BM = AC – BC = 7cm
Và AC + BC = AB = 13cm suy ra AC = 10cm
+Ta lại c AM2 – AD2 = BM2 – DB2
Và DB = AB – AD suy ra AD = 11,08cm
+Xét một điểm bất kì trên AB, điu kiện để điểm đ cực đại là :
d
2
–d
1
= kλ; d
2
+ d
1
= AB => d

2
= (AB + kλ)/2
+ số điểm cực đại trên AC là:
2
2
0 0
2
AB k AB AC AB
d AC AC k
λ
λ λ
+ −
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔− ≤ ≤

10,8 5,8k⇔ − ≤ ≤
=> c 16 điểm cực đại
+ số cực đại trên AD:
2
0 2 0
2
AB k AB AD AB
d AD AD k
λ
λ λ
+ −
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔− ≤ ≤
10,8 7,6k⇔ − ≤ ≤
=> c 18 điểm cực đại
Vậy trên CD c 18 – 16 = 2 cực đại, suy ra có 2 đường hyperbol cực đại cắt MN.
Chọn C

- Bài tập vận dụng
Câu 1: Trên mặt nước c hai nguồn sng kết hợp cùng pha A, B cách nhau 6 cm, bước
sng λ = 6 mm. Xét hai điểm C, D trên mặt nước tạo thành hình vuông ABCD. Số điểm
dao động với biên độ cực tiểu trên CD
A. 6 B. 8 C. 4 D. 10
Câu 2: Trong một thí nghiệm giao thoa sng trên mặt nước, c hai nguồn kết hợp A và B
dao động cùng pha với tần số f = 20Hz, cách nhau 8cm. Tốc độ truyn sng trên mặt nước
v = 30cm/s. Gọi C và D là hai điểm trên mặt nước sao cho ABCD là hình vuông. Số điểm
dao động với biên độ cực đại trên đoạn CD là
A. 11 điểm. B. 5 điểm. C. 9 điểm. D. 3 điểm.
5. Xác Định Số Điểm Cực Đại, Cực Tiểu Trên Đoạn Thẳng Là Đường Chéo Của Một
Hình Vuông Hoặc Hình Chữ Nhật
a.Phương pháp: Xác định số điểm dao động cực đại trên đoạn CD,
biết ABCD là hình vuông .Giả sử tại C dao động cực đại, ta c:
d
2
– d
1
= k
λ
= AB
2
- AB = k
λ
⇒

( 2 1)AB
k
λ
−

=
⇒
Số điểm dao động cực đại.
b. Bài tập ví dụ:
Bài 1: (ĐH-2010) ở mặt thoáng của một chất lỏng c hai nguồn kết hợp A và B cách nhau
20(cm) dao động theo phương thẳng đứng với phương trình
2. (40 )( )
A
U cos t mm
π
=
và
2. (40 )( )
B
U cos t mm
π π
= +
. Biết tốc độ truyn sng trên mặt chất lỏng là 30(cm/s). Xét hình
Trang 15
B
M
C
D
A
N
d
1
d
2
A

D
C
B
vuông ABCD thuộc mặt chất lỏng. Số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn BD
là :
A. 17 B. 18 C.19 D.20
Giải:
2 2
20 2( )BD AD AB cm= + =

Với
2 2
40 ( / ) 0,05( )
40
rad s T s
π π
ω π
ω π
= ⇒ = = =

Vậy :
. 30.0,05 1,5v T cm
λ
= = =
Tìm số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn DB chứ không phải DC.
Nghĩa là điểm C lúc này đng vai trò là điểm B.
Do hai nguồn dao động ngược pha nên số cực đại trên đoạn BD thoã mãn :
2 1
2 1
(2 1)

2
d d k
AD BD d d AB O
λ

− = +



− < − < −


(vì điểm
D B≡
nên vế phải AC thành AB còn BC thành B. B = O)
Suy ra :
(2 1)
2
AD BD k AB
λ
− < + < −
Hay :
2( ) 2
2 1
AD BD AB
k
λ λ
−
< + <
. Thay số :

2(20 20 2) 2.20
2 1
1,5 1,5
k
−
< + <
=>
11,04 2 1 26,67k− < + <
Vậy: -6,02<k<12,83. c 19 điểm cực
đại.Chọn C.
Bài 2 : Trong thí nghiệm giao thoa sng nước, hai viên bi nhỏ S
1
, S
2
gắn ở cần rung cách
nhau 2cm và chạm nhẹ vào mặt nước. Khi cần rung dao động theo phương thẳng đứng với
tần số f=100Hz thì tạo ra sng truyn trên mặt nước với vận tốc v=60cm/s. Một điểm M
nằm trong min giao thoa và cách S
1
, S
2
các khoảng d
1
=2,4cm, d
2
=1,2cm. Xác định số
điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn MS
1
.
A. 7 B.5 C.6 D.8

Giải: Ta c:
60
0,6
100
v
cm
f
λ
= = =

Gọi số điểm cực đại trong khoảng S
1
S
2
là k ta c:
1 2 1 2
2 2
3,33 3,33 0, 1, 2, 3
0,6 0,6
S S S S
k k k k
λ λ
− < < → − < < → − < < → = ± ± ±
.
Như vậy trong khoảng S
1
S
2
c 7 điểm dao động cực đại.Tại M ta c d
1

- d
2
=1,2cm=2.λ →
M nằm trên đường cực đại k=2, nên trên đoạn MS
1
c 6 điểm dao động cực đại. Chọn C.
- Bài tập vận dụng
Câu 1: Ở mặt thoáng của một chất lỏng c hai nguồn kết hợp A và B cách nhau 10cm dao
động theo phương thẳng đứng với phương trình u
1
= 10cos20πt (mm) và u
2
= 10cos(20πt
+
π
)(mm) Tốc độ truyn sng trên mặt chất lỏng là 30cm/s. Xét hình vuông AMNB thuộc
mặt thoáng của chất lỏng. Số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn BM là
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 2: Ở mặt thoáng của một chất lỏng c hai nguồn sng kết hợp A và B cách nhau 20
cm, dao động theo phương thẳng đứng với phương trình u
A
= 2cos(40πt) mm và
u
B
= 2cos(40πt + π) mm. Biết tốc độ truyn sng trên mặt chất lỏng là 30 cm/s. Xét hình
vuông AMNB thuộc mặt thoáng chất lỏng. Số điểm dao động với biên độ cực đại trên
đoạn BM là
A. 19 B. 18 C. 17 D. 20
Trang 16
A

B
D
C
O
I
d
2
N
C
d
1
M
S
2
S
1
Câu 3: Hai nguồn kết hợp A, B cách nhau 16 cm dao động cùng pha. C là điểm nằm trên
đường dao động cực tiểu, giữa đường cực tiểu qua C và trung trực của AB còn c một
đường dao động cực đại. Biết rằng AC = 17,2 cm; BC = 13,6 cm. Số đường dao động cực
đại trên AC là
A. 16 B. 6 C. 5 D. 8
Câu 4: Trong một thí nghiệm v giao thoa sng trên mặt nước, hai nguồn kết hợp A và B
dao động với cùng tần số, cùng biên độ dao động, cùng pha ban đầu. Tại một điểm M cách
hai nguồn sng đ những khoảng lần lượt là d
1
= 41cm, d
2
= 52cm, sng tại đ c biên độ
triệt tiêu. Biết tốc độ truyn sng trên mặt nước là 1m/s. Số đường cực đại giao thoa nằm
trong khoảng giữa M và đường trung trực của hai nguồn là 5 đường. Tần số dao động của

hai nguồn bằng
A. 100Hz. B. 20Hz. C. 40Hz. D. 50Hz.
Câu 5: Tại hai điểm trên mặt nước, c hai nguồn phát sng A và B c phương trình
u = acos(40
π
t) cm, vận tốc truyn sng là 50 cm/s, A và B cách nhau 11 cm. Gọi M là
điểm trên mặt nước c MA = 10 cm và MB = 5 cm. Số điểm dao động cực đại trên đoạn
AM là
A. 9. B. 7. C. 2. D. 6.
6.Xác Định Số Điểm Cực Đại, Cực Tiểu Trên Đường Tròn tâm O(O Là Trung Điểm
Của đọan thẳng chứa hai nguồn AB )
Phương pháp: ta tính số điểm cực đại hoặc cực tiểu trên đoạn AB là k. Suy ra số điểm
cực đại hoặc cực tiểu trên đường tròn là =2.k . Do mỗi đường cong hypebol cắt đường tròn
tại 2 điểm.
- Các bài tập có hướng dẫn:
Bài 1: Trên mặt nước c hai nguồn sng nước A, B giống hệt nhau cách nhau một
khoảng
4,8AB
λ
=
. Trên đường tròn nằm trên mặt nước c tâm là trung điểm O của đoạn
AB c bán kính
5R
λ
=
sẽ c số điểm dao động với biên độ cực đại là :
A. 9 B. 16 C. 18 D.14
Giải : Do đường tròn tâm O c bán kính
5R
λ

=
còn
4,8AB
λ
=
nên đoạn AB chắc chắn
thuộc đường tròn. Vì hai nguồn A, B giống hệt nhau nên dao động cùng pha.
Số điểm dao động với biên độ cực đại trên AB là :
AB AB
K
l l
-
< <
Thay số :
4,8 4,8
K
l l
l l
-
< <
Hay : -4,8<k<4,8 .
Kết luận trên đoạn AB c 9 điểm dao động với biên độ cực đại
hay trên đường tròn tâm O c 2.9 =18 điểm.
Bài 3 : Trên b mặt chất lỏng hai nguồn dao động với phương trình tương ứng là:
cmtucmtu
AA
)
3
10cos(.5;)10cos(.3
π

ππ
+==
. Tốc độ truyn sng trên mặt thoáng chất lỏng là
50cm/s, cho điểm C trên đoạn AB và cách A, B tương ứng là 28cm, 22cm. Vẽ đường tròn
tâm C bán kính 20cm, số điểm cực đại dao động trên đường tròn là:
A. 6 B. 2 C. 8 D. 4
Giải :
1 2
10  :8 42 10 48 2
: 3,4 4,6
Ta c d d k
Hay k
λ
= − ≤ − = ≤ −
− ≤ ≤
c 8 điểm
- Bài tập vận dụng:
Trang 17
A
B
O
Câu 1: Ở mặt nước c hai nguồn sng cơ A và B cách nhau 15 cm, dao động điu hòa
cùng tần số, cùng pha theo phương vuông gc với mặt nước. Điểm M nằm trên AB, cách
trung điểm O là 1,5 cm, là điểm gần O nhất luôn dao động với biên độ cực đại. Trên
đường tròn tâm O, đường kính 20cm, nằm ở mặt nước c số điểm luôn dao động với biên
độ cực đại là
A. 18. B. 16. C. 32. D. 17.
Câu 2: Trong thí nghiệm giao thoa sng trên mặt nước, hai nguồn AB cách nhau 15cm
dao động ngược pha. Điểm M trên AB gần trung điểm I của AB nhất, cách I là 1cm luôn
dao động cực đại. Số điểm dao động cực đại trên đường elíp thuộc mặt nước nhận A, B

làm tiêu điểm là:
A. 16 điểm. B. 30 điểm. C. 28 điểm. D. 14 điểm.
7. Xác định vị trí, khoảng cách của một điểm M dao động cực đại, cực tiểu trên đoạn
thẳng là đường trung trực của AB , hoặc trên đoạn thẳng vuông góc với hai nguồn AB.
a.Xác định khoảng cách ngắn nhất hoặc lớn nhất từ một điểm M đến hai nguồn .
- Phương pháp: Xét 2 nguồn cùng pha ( Xem hình vẽ bên)
Giả sử tại M c dao đông với biên độ cực đại.
-Khi / k/ = 1 thì :
Khoảng cách lớn nhất từ một điểm M đến hai nguồn là :
d
1
=MA
Từ công thức :
AB AB
k
λ λ
−
< <
với k=1, Suy ra được AM
-Khi / k/ = /K
max
/ thì :
Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm M’ đến hai nguồn là:
d
1
= M’A
Từ công thức :
AB AB
k
λ λ

−
< <
với k= k
max ,
Suy ra được AM’
Lưu ý :
-Với 2 nguồn ngược pha ta làm tưong tự.
- Nếu tại M c dao đông với biên độ cực tiểu ta cũng làm tưong tự.
- Các bài tập có hướng dẫn:
Bài 1 : Trên b mặt chất lỏng c hai nguồn kết hợp AB cách nhau 40cm dao động cùng
pha. Biết sng do mỗi nguồn phát ra c tần số f=10(Hz), vận tốc truyn sng 2(m/s). Gọi
M là một điểm nằm trên đường vuông gc với AB tại đ A dao đông với biên độ cực đại.
Đoạn AM có giá trị lớn nhất là :
A. 20cm B. 30cm C. 40cm D.50cm
Giải: Ta c
200
20( )
10
v
cm
f
λ
= = =
. Do M là một cực đại
giao thoa nên để đoạn AM c giá trị lớn nhất thì M
phải nằm trên vân cực đại bậc 1 như hình vẽ và thõa mãn:
2 1
1.20 20( )d d k cm
λ
− = = =

(1). ( do lấy k= +1)
Mặt khác, do tam giác AMB là tam giác vuông tại A nên ta c :

2 2 2 2
2 1
( ) ( ) 40 (2)BM d AB AM d= = + = +
Thay (2) vào (1)
ta được :
2 2
1 1 1
40 20 30( )d d d cm+ − = ⇒ =
Đáp án B
Bài 2 : Trên b mặt chất lỏng c hai nguồn phát sng kết hợp S
1
, S
2

dao động cùng pha,
cách nhau một khoảng S
1
S
2
= 40 cm. Biết sng do mỗi nguồn phát ra c tần số f = 10 Hz,
vận tốc truyn sng v = 2 m/s. Xét điểm M nằm trên đường thẳng vuông gc với S
1
S
2

tại
Trang 18

A
B
M
K=0
d
1
d
2
K=1
A B
k=1
k=2
k=
-1
/k
max
/
k=0
k=0
k=1
k=
-1
k= -
2
N
M
N’
M’
S
1

. Đoạn S
1
M c giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu để tại M c dao động với biên độ cực
đại?
A. 50 cm. B. 40 cm. C. 30 cm. D. 20 cm.
GIẢI : d
1
max khi M thuộc vân cực đại thứ k =1
2 1
1
2 2 2
2 1
20
30
40
d d
d
d d
− =

⇒ =

− =

b. Xác Định Biên Độ tại một điểm Nằm Trong Miền Giao Thoa của Sóng Cơ.
- Lý thuyết giao thoa tìm biên độ:
+Phương trình sng tại 2 nguồn:(Điểm M cách hai nguồn lần lượt d
1
, d
2

)

1 1 1
A cos(2 )u ft
π ϕ
= +
và
2 2 2
A cos(2 )u ft
π ϕ
= +
+Phương trình sng tại M do hai sng từ hai nguồn truyn tới:

1
1 1 1
A cos(2 2 )
M
d
u ft
π π ϕ
λ
= − +
và
2
2 2 2
A cos(2 2 )
M
d
u ft
π π ϕ

λ
= − +
* Nếu 2 nguồn cùng pha thì:

1
1 2
2A cos(2 2 )
M
d
u ft
π π
λ
= −
và
2
2 2
A cos(2 2 )
M
d
u ft
π π
λ
= −
-Phương trình giao tổng hợp sng tại M: u
M
= u
1M
+ u
2M:
Thế các số liệu từ đ cho để tính kết quả( giống như tổng hợp dao động nhờ số phức)

* Nếu 2 nguồn cùng biên độ thì:
+Phương trình sng tại 2 nguồn :(Điểm M cách hai nguồn lần lượt d
1
, d
2
)

1 1
Acos(2 )u ft
π ϕ
= +
và
2 2
Acos(2 )u ft
π ϕ
= +
+Phương trình sng tại M do hai sng từ hai nguồn truyn tới:

1
1 1
Acos(2 2 )
M
d
u ft
π π ϕ
λ
= − +
và
2
2 2

Acos(2 2 )
M
d
u ft
π π ϕ
λ
= − +
+Phương trình giao thoa sng tại M: u
M
= u
1M
+ u
2M

1 2 1 2 1 2
2 os os 2
2 2
M
d d d d
u Ac c ft
ϕ ϕϕ
π π π
λ λ
− + +∆
   
= + − +
   
   
+Biên độ dao động tại M:
1 2

2 os
2
M
d d
A A c
ϕ
π
λ
−
∆
 
= +
 ÷
 
với
2 1
∆ = −
ϕ ϕ ϕ
TH1: Hai nguồn A, B dao động cùng pha
Từ phương trình giao thoa sng:
2 1 1 2
( ( )
2 . . .
M
d d d d
U A cos cos t
π π
ω
λ λ
− +

   
= −
   
   
Ta nhận thấy biên độ giao động tổng hợp là:
2 1
( )
2 . cos(
M
d d
A A
π
λ
−
=
Biên độ đạt giá trị cực đại
2 1
2 1
( )
2 1
M
d d
A A cos d d k
π
λ
λ
−
= ⇔ = ± ⇔ − =
Biên độ đạt giá trị cực tiểu
2 1

2 1
( )
0 (2 1)
2
M
d d
A cos o d d k
π λ
λ
−
= ⇔ = ⇔ − = +
Chú ý: Nếu O là trung điểm của đoạn AB thì tại 0 hoặc các điểm nằm trên đường trung
trực của đoạn A,B sẽ dao động với biên độ cực đại và bằng:
2
M
A A=
(vì lúc này
1 2
d d=
)
TH2: Hai nguồn A, B dao động ngược pha
Ta nhận thấy biên độ giao động tổng hợp là:
2 1
( )
2 . cos(
2
M
d d
A A
π π

λ
−
= ±
Chú ý: Nếu O là trung điểm của đoạn AB thì tại 0 hoặc các điểm nằm trên đường trung
trực của đoạn A,B sẽ dao động với biên độ cực tiểu và bằng:
0
M
A =
(vì lúc này
1 2
d d=
)
Trang 19
M
A B
d
1
d
2
TH3: Hai nguồn A, B dao động vuông pha
Ta nhận thấy biên độ giao động tổng hợp là:
2 1
( )
2 . cos(
4
M
d d
A A
π π
λ

−
= ±
Chú ý: Nếu O là trung điểm của đoạn AB thì tại 0 hoặc các điểm nằm trên đường trung
trực của đoạn A,B sẽ dao động với biên độ :
2
M
A A=
(vì lúc này
1 2
d d=
)
Các ví dụ và bài tập có hướng dẫn:
Ví dụ 1: Âm thoa c tần số f=100hz tạo ra trên mặt nước hai nguồn dao động O
1
và O
2

dao động cùng pha cùng tần số . Biết trên mặt nước xuất hiện một hệ gợn lồi gồm một gợn
thẳng và 14 gợn dạng hypebol mỗi bên. Khoảng cách giữa 2 gợn ngoài cùng đo được là
2,8cm.
a.Tính vận tốc truyn sng trên mặt nước
b.Xác định trạng thái dao động của hai điểm M
1
và M
2
trên mặt nước Biết O
1
M
1
=4.5cm

O
2
M
1
=3,5cm Và O
1
M
2
=4cm O
2
M
2
= 3,5cm
Giải:
a.Tính vận tốc truyn sng trên mặt nước
Theo đ mỗi bên 7 gợn ta c 14.λ/2 = 2,8
Suy ra λ= 0,4cm. Vận tốc v= λ.f =0,4.100=40cm/s
b.Xác định trạng thái dao động của hai điểm M
1
và M
2
-Dùng công thức hiệu đường đi của sng từ hai nguồn đến M
1
là:

1 2 1
( ) ( )
2
− =∆ −∆
M

d d
λ
ϕ ϕ
π

Với 2 nguồn cùng pha nên ∆ϕ= 0 suy ra:

1 2 1 1 1 2
2
( ) ( ) ( )
2
− = ∆ => ∆ = −
M M
d d d d
λ π
ϕ ϕ
π λ
Thế số :
2
(4,5 3,5)
0,4
∆ = −
M
π
ϕ
=5π = (2k+1) π
=> hai dao động thành phần ngược pha nên tại M
1
c trạng thái dao động cực tiểu ( biên
độ cực tiểu)

-Tương tự tại M
2
:
1 2 2 2 1 2
2
( ) ( ) ( )
2
− = ∆ => ∆ = −
M M
d d d d
λ π
ϕ ϕ
π λ
Thế số :
2 2
(4 3,5) 0,5. 2,5 (2 1)
0,4 0,4 2
∆ = − = = = +
M
k
π π π
ϕ π
=> hai dao động thành phần vuông pha
nên tại M
2
c biên độ dao động A sao cho
2 2 2
1 2
= +
A A A

với A
1
và A
2
là biên độ của 2 hai
động thành phần tại M
2
do 2 nguồn truyn tới .
Bài 2: (ĐH 2008). Tại hai điểm A, B trong môi trường truyn sng c hai nguồn kết hợp
dao động cùng phương với phương trình lần lượt là :
. ( )( )
A
U a cos t cm
ω
=
và
. ( )( )
B
U a cos t cm
ω π
= +
. Biết vận tốc và biên độ do mỗi nguồn truyn đi không đổi trong quá
trình truyn sng. Trong khoảng giữa Avà B c giao thoa sng do hai nguồn trên gây ra.
Phần tử vật chất tại trung điểm O của đoạn AB dao động với biên độ bằng :
A.
2
a
B. 2a C. 0 D.a
Trang 20
M

1
d
1
d
2
O
1
O
2
k = 0
-1
-2
1
Hình ảnh giao thoa
sóng
2
Giải: Theo giả thiết nhìn vào phương trình sng ta thấy hai nguồn dao động ngược pha
nên tại O là trung điểm của AB sẽ dao động với biên độ cực tiểu
0
M
A =
.
Chọn C
- Bài tập vận dung
Câu 1: Tại hai điểm A và B trên mặt nước c 2 nguồn sng giống nhau với biên độ a,
bước sng là 10cm. Điểm M cách A 25cm, cách B 5cm sẽ dao động với biên độ là
A. 2a B. a C. -2a D. 0
Câu 2: Thực hiện giao thoa cơ với 2 nguồn S
1
S

2
cùng pha, cùng biên độ 1cm, bước sng λ
= 20cm thì điểm M cách S
1
50cm và cách S
2
10cm c biên độ
A. 0 B.
2
cm C.
2 2
cm D. 2cm
Câu 3: Trên mặt một chất lỏng c hai nguồn sng kết hợp, cùng pha c biên độ a và 2a
dao động vuông gc với mặt thoáng chất lỏng. Nếu cho rằng sng truyn đi với biên độ
không thay đổi thì tại một điểm cách hai nguồn những khoảng d
1
= 12,75λ và d
2
= 7,25λ sẽ
c biên độ dao động a
0
là bao nhiêu?
A. a
0
= 3a. B. a
0
= 2a. C. a
0
= a. D. a ≤ a
0

≤ 3a.
Câu 4: Trên mặt nước c hai nguồn phát sng kết hợp A, B c cùng biên độ a =2cm, cùng
tần số f=20Hz, ngược pha nhau. Coi biênđộ sng không đổi, vận tốc sng v = 80 cm/s.
Biên độ dao động tổng hợp tại điểm M c AM =12cm, BM =10 cm là
A. 4 cm B. 2 cm. C.
2 2
cm. D. 0.
Câu 5: Tại hai điểm A và B trong một môi trường truyn sng c hai nguồn sng kết hợp,
dao động cùng phương với phương trình lần lượt là u
A
= acos50πt và u
B
= acos(50πt - π).
Biết tốc độ truyn sng là 2 m/s. Một điểm M nằm trong min giao thoa do hai nguồn trên
gây ra, c khoảng cách đến hai nguồn lần lượt là MA = 32 cm, MB = 16 cm sẽ dao động
với biên độ bằng
A. a/2 B. 0 C. a D. 2a
8.Xác định phương trình sóng cơ tại một điểm trong trường giao thoa
- Phương pháp
+Phương trình sng tại 2 nguồn :(Điểm M cách hai nguồn lần lượt d
1
, d
2
)

1 1
Acos(2 )u ft
π ϕ
= +
và

2 2
Acos(2 )u ft
π ϕ
= +
+Phương trình sng tại M do hai sng từ hai nguồn truyn tới:

1
1 1
Acos(2 2 )
M
d
u ft
π π ϕ
λ
= − +
và
2
2 2
Acos(2 2 )
M
d
u ft
π π ϕ
λ
= − +
+Phương trình giao thoa sng tại M: u
M
= u
1M
+ u

2M

1 2 1 2 1 2
2 os os 2
2 2
M
d d d d
u Ac c ft
ϕ ϕϕ
π π π
λ λ
− + +∆
   
= + − +
   
   
+Biên độ dao động tại M:
1 2
2 os
2
M
d d
A A c
ϕ
π
λ
−
∆
 
= +

 ÷
 
với
1 2
ϕ ϕ ϕ
∆ = −
- Bài tập ví dụ
Bài 1: Hai nguồn S
1
, S
2
cách nhau 6cm, phát ra hai sng c phương trình
u
1
= u
2
= acos200πt . Sng sinh ra truyn với tốc độ 0,8 m/s. Điểm M trên mặt chất lỏng
cách đu và dao động cùng pha với S
1
,S
2
và gần S
1
S
2
nhất c phương trình là
A. u
M
= 2acos(200πt - 12π) B. u
M

= 2√2acos(200πt - 8π)
C. u
M
= √2acos(200πt - 8π) D . u
M
= 2acos(200πt - 8π)
Giải: Phương trình sng tổng quát tổng hợp tại M là:
u
M
= 2acos(π
2 1
d d
λ
−
)cos(20πt - π
2 1
d d
λ
+
)
Trang 21
M
S
1
S
2
d
1
d
2

+ Với M cách đu S
1
, S
2
nên d
1
= d
2
. Khi đ d
2
– d
1
= 0 → cos(π
2 1
d d
λ
−
) = 1 → A = 2a
+ Để M dao động cùng pha với S
1
, S
2
thì:
λ
λ
π
λ
π
kddk
dd

k
dd
==⇒=
+
⇒=
+
21
2121
22

+ Gọi x là khoảng cách từ M đến AB: d
1
= d
2
=
2
2
2
AB
x
 
+
 ÷
 
=
k
λ
( )
964,0
2

2
2
2
−=






−=⇒
k
AB
kx
λ
⇒
2
0,64 9k
−
≥ 0 ⇔ k ≥ 3,75
⇒
k
min
= 4
⇒
⇒==
+
82
21
k

dd
λ
Phương trình sóng tại M là: u
M
= 2acos(200πt - 8π)
Bài 2: Hai mũi nhọn S
1
, S
2
cách nhau 9cm, gắn ở đầu một cầu rung c tần số f = 100Hz
được đặt cho chạm nhẹ vào mặt một chất lỏng. Vận tốc truyn sng trên mặt chất lỏng là v
= 0,8 m/s. Gõ nhẹ cho cần rung thì 2 điểm S
1
,

S
2
dao động theo phương thẳng đứng với
phương trình dạng: u = acos2πft. Điểm M trên mặt chất lỏng cách đu và dao động cùng
pha S
1
, S
2
gần S
1
S
2
nhất c phương trình dao động là:
Giải: Phương trình sng tổng quát tổng hợp tại M là:
u

M
= 2acos(π
2 1
d d
λ
−
)cos(20πt - π
2 1
d d
λ
+
)
Với M cách đu S
1
, S
2
nên d
1
= d
2
. Khi đ d
2
– d
1
= 0 → cos(π
2 1
d d
λ
−
) = 1 → A = 2a

Để M dao động cùng pha với S
1
, S
2
thì: π
2 1
d d
λ
+
= 2kπ
suy ra:
2 1
2d d k
λ
+ =

1 2
2
d d
k
λ
+
⇔ =
và d
1
= d
2
= kλ
Gọi x là khoảng cách từ M đến AB: d
1

= d
2
=
2
2
2
AB
x
 
+
 ÷
 
=
k
λ
Suy ra
( )
2
2
2
AB
x k
λ
 
= −
 ÷
 
=
2
0,64 9k −

; (λ = v/f = 0,8 cm)
Biểu thức trong căn c nghĩa khi
2
0,64 9k −
≥ 0 ⇔ k ≥ 3,75
Với x ≠ 0 và khoảng cách là nhỏ nhất nên ta chọn k = 4. Khi đ
1 2
2 8
d d
k
λ
+
= =
Vậy phương trình sng tại M là: u
M
= 2acos(200πt - 8π) = u
M
= 2acos(200πt)
9.Xác định tại vị trí điểm M dao động cùng pha hoặc ngược pha với nguồn.
- Phương pháp
Xét hai nguồn cùng pha:
Cách 1: Dùng phương trình sóng. Gọi M là điểm dao động ngược pha với nguồn
Phương trình sng tổng hợp tại M là: u
M
= 2acos(π
2 1
d d
λ
−
)cos(20πt - π

2 1
d d
λ
+
)
-Nếu M dao động cùng pha với S
1
, S
2
thì: π
2 1
d d
λ
+
= 2kπ suy ra:
2 1
2d d k
λ
+ =

Với d
1
= d
2
ta c:

2 1
d d k
λ
= =

Gọi x là khoảng cách từ M đến AB: d
1
= d
2
=
2
2
1 2
2
S S
x
 
+
 ÷
 
=
k
λ
. Rồi suy ra x
Trang 22
S
1
O S
2
x
d
1
S
1
O S

2
x
d
1
-Nếu M dao động ngược pha với S
1
, S
2
thì: π
2 1
d d
λ
+
= (2k + 1)π suy ra:
( )
2 1
2 1d d k
λ
+ = +

Với d
1
= d
2
ta c:

( )
2 1
2 1
2

d d k
λ
= = +
Gọi x là khoảng cách từ M đến AB: d
1
= d
2
=
2
2
1 2
2
S S
x
 
+
 ÷
 
=
( )
2 1
2
k
λ
+
.Rồi suy ra x
Cách 2: Giải nhanh: Ta c: k =
1 2
2
S S

λ
⇒ k =
-Tìm điểm cùng pha gần nhất: chọn k = k + 1
-Tìm điểm ngược pha gần nhất: chọn k = k + 0.5
-Tìm điểm cùng pha thứ n: chọn k = k + n
-Tìm điểm ngược pha thứ n : chọn k = k + n - 0.5
Sau đ Ta tính: kλ = gọị là d .Khoảng cách cần tìm: x= OM =
2
2
1 2
2
S S
d
 
−
 ÷
 

- Các bài tập có hướng dẫn:
Bài 1: Trên mặt nước c hai nguồn kết hợp S
1
, S
2
cách nhau 6
2
cm dao động c phương
trình
tau
π
20cos

=
(mm).Tốc độ truyn sng trên mặt nước là 0,4 m/s và biên độ sng
không đổi trong quá trình truyn. Điểm gần nhất ngược pha với các nguồn nằm trên đường
trung trực của S
1
S
2
cách S
1
S
2
một đoạn: A. 6 cm. B. 2 cm. C. 3
2
cm
D. 18 cm.
Cách 1: Gọi M là điểm dao động ngược pha với nguồn
Phương trình sng tổng hợp tại M là: u
M
= 2acos(π
2 1
d d
λ
−
)cos(20πt - π
2 1
d d
λ
+
)
Để M dao động ngược pha với S

1
, S
2
thì: π
2 1
d d
λ
+
= (2k + 1)π
suy ra:
( )
2 1
2 1d d k
λ
+ = +
;Với d
1
= d
2
ta c:

( )
2 1
2 1
2
d d k
λ
= = +
Gọi x là khoảng cách từ M đến AB: d
1

= d
2
=
2
2
1 2
2
S S
x
 
+
 ÷
 
=
( )
2 1
2
k
λ
+
Suy ra
2 2
1 2
(2 1)
2 2
S S
x k
λ
   
= + −

 ÷  ÷
   
=
2
4(2 1) 18k
+ −
; Với λ = v/f = 4cm
Biểu thức trong căn c nghĩa khi
2
4(2 1) 18k + −
≥ 0 ⇔ k ≥ 0,56
Với x ≠ 0 và khoảng cách là nhỏ nhất nên ta chọn k = 1 suy ra x = 3
2
cm; Chọn C
Bài 2: Ở mặt thoáng của một chất lỏng c hai nguồn sng kết hợp S
1
và S
2
cách nhau
20cm, dao động theo phương thẳng đứng với phương trình u = 2cos40πt (mm). Biết tốc độ
truyn sng trên mặt chất lỏng là 40 cm/s. Phần tử O thuộc b mặt chất lỏng là trung điểm
của S
1
S
2
. Điểm trên mặt chất lỏng thuộc trung trực của S
1
S
2
dao động cùng pha với O, gần

O nhất, cách O đoạn:
A. 6,6cm. B. 8,2cm. C. 12cm. D. 16cm.
Giải: λ =2cm Ta c: k =
1 2
2
S S
λ
= 5 ⇒ O cùng pha nguồn.Vậy M cần tìm cùng pha
nguồn; chọn k = 5 .Cùng pha gần nhất: chọn k = k + 1 =6. Ta tính: d = kλ = 12
Khoảng cách cần tìm: OM =
2
2
1 2
2
S S
d
 
−
 ÷
 
= 2 cm = 6,6cm. Chọn A
Trang 23
d
1
d
2
M
•
•
B

•
A
10. Xác định Số điểm dao động cùng pha hoặc ngược pha với nguồn.
- Phương pháp chung
Phương trình sóng tại 2 nguồn cùng biên độ A:(Điểm M cách hai nguồn lần lượt d
1
, d
2
)

1 1
Acos(2 )u ft
π ϕ
= +
và
2 2
Acos(2 )u ft
π ϕ
= +
+Phương trình sng tại M do hai sng từ hai nguồn truyn tới:

1
1 1
Acos(2 2 )
M
d
u ft
π π ϕ
λ
= − +

và
2
2 2
Acos(2 2 )
M
d
u ft
π π ϕ
λ
= − +
+Phương trình giao thoa sng tại M: u
M
= u
1M
+ u
2M

1 2 1 2 1 2
2 os os 2
2 2
M
d d d d
u Ac c ft
ϕ ϕϕ
π π π
λ λ
− + +∆
   
= + − +
   

   
Pha ban đầu sng tại M : ϕ
M
=
1 2 1 2
2
M
d d
ϕ ϕ
ϕ π
λ
+ +
= − +
Pha ban đầu sng tại nguồn S
1
hay S
2
:
1 1S
ϕ ϕ
=
hay
2 2S
ϕ ϕ
=
Độ lệch pha giữa 2 điểm M và nguồn S
1
(ay S
2
)

1 2
1 1S M
d d
ϕ ϕ ϕ ϕ π
λ
+
∆ = − = +


1 2
2 2S M
d d
ϕ ϕ ϕ ϕ π
λ
+
∆ = − = +
Để điểm M dao động cùng pha với nguồn 1:
1 2
1
2
d d
k
ϕ π ϕ π
λ
+
∆ = = +
.suy ra:
1
1 2
2d d k

ϕ λ
λ
π
+ = −
Để điểm M dao động ngược pha với nguồn 1:
1 2
1
(2 1)
d d
k
ϕ π ϕ π
λ
+
∆ = + = +
suy ra:
1
1 2
(2 1)d d k
ϕ λ
λ
π
+ = + −
Tập hợp những điểm dao động cùng pha với 2 nguồn là họ đường Ellip nhận S
1
và S
2
làm
2 tiêu điểm.
Tập hợp những điểm dao động ngược pha với 2 nguồn là họ đường Ellip nhận S
1

và S
2
làm
2 tiêu điểm xen kẻ với họ đường Ellip trên
- Phương pháp nhanh :
Xác định số điểm cùng pha, ngược pha với nguồn S
1
S
2
giữa 2 điểm MN trên đường
trung trực
Ta c: k =
1 2
2
S S
λ
⇒ k = …… d =
2
2
1 2
2
S S
OM
 
+
 ÷
 
; d =
2
2

1 2
2
S S
ON
 
+
 ÷
 

- Cùng pha khi:
M
M
d
k
λ
=
;
N
N
d
k
λ
=

- Ngược pha khi:
0,5
M
M
d
k

λ
+ =
;
0,5
N
N
d
k
λ
+ =

Từ k và k ⇒ số điểm trên OM
Từ k và k ⇒ số điểm trên OM
⇒ số điểm trên MN ( cùng trừ, khác cộng)
- Bài tập ví dụ:
Ví dụ 1: Trên mặt nước c 2 nguồn sng giống hệt nhau A và B cách nhau một khoảng
AB = 24cm.B ước sng
λ
= 2,5 cm. Hai điểm M và N trên mặt nước cùng cách đu trung
điểm của đoạn AB một đoạn 16 cm và cùng cách đu 2 nguồn sng và A và B. Số điểm
trên đoạn MN dao động cùng pha với 2 nguồn là:
A. 7. B. 8. C. 6. D. 9.
Cách 1: Gọi M là điểm dao động cùng pha với nguồn
Trang 24
A
B
.
.
M.
Phương trình sng tổng hợp tại M là: u

M
= 2acos(π
2 1
d d
λ
−
)cos(20πt - π
2 1
d d
λ
+
)
Để M dao động ngược pha với S
1
thì: π
2 1
d d
λ
+
= 2kπ suy ra:
2 1
2d d k
λ
+ =

Với d
1
= d
2
ta c:

2 1
d d k
λ
= =
; Gọi x là khoảng cách từ M đến AB: d
1
= d
2
=
2
2
2
AB
x
 
+
 ÷
 
=
k
λ
Suy ra
( )
2
2
2
AB
x k
λ

 
= −
 ÷
 
=
2
6,25 144k −
;
Với 0 ≤ x ≤ 16 ⇔ 4,8 ≤ k ≤ 8 ⇔ k = 5, 6, 7, 8.
Vậy trên đoạn MN c 2x 4 = 8 điểm dao động cùng pha với hai nguồnChọn B
Cách 2: λ =2,5cm ; k =
1 2
2
S S
λ
= 4,8
d =
2
2
1 2
2
S S
OM
 
+
 ÷
 
= 20cm ⇒
M
M

d
k
λ
=
= 8 chọn 5,6,7,8
d =
2
2
1 2
2
S S
ON
 
+
 ÷
 
=20cm ⇒
N
N
d
k
λ
=
= 8
chọn 5,6,7,8 M,N ở 2 phía vậy c 4+4 = 8 điểm
ví dụ 2 : Hai nguồn sng kết hợp trên mặt nước cách nhau một đoạn S
1
S
2
= 9λ phát ra dao

động cùng pha nhau. Trên đoạn S
1
S
2
, số điểm c biên độ cực đại cùng pha với nhau và
cùng pha với nguồn (không kể hai nguồn) là:
A.12 B.6 C.8 D.10
Giải 1: Giả sử pt dao động của hai nguồn u
1
= u
2
= Acosωt . Xét điểm M trên S
1
S
2

S
1
M = d
1
; S
2
M = d
2
. Ta c: u
1M
= Acos(ωt -
λ
π
1

2 d
); u
2M
= Acos(ωt -
λ
π
2
2 d
).
u
M
= u
1M
+ u
2M
= 2Acos(
λ
π
)(
12
dd −
cos(ωt -
λ
π
)(
21
dd +
) = 2Acos
λ
π

)(
12
dd −
cos(ωt -9π)
Để M là điểm dao động với biên độ cực đại, cùng pha với nguồn thì cos
λ
π
)(
12
dd −
= - 1
=>
λ
π
)(
12
dd −
= (2k + 1)π => d
2
– d
1
= (2k + 1)λ (1)
Và ta c: d
1
+ d
2
= 9λ (2) Từ (1) và (2) => d
1
= (4 - k)λ
Ta c: 0 < d

1
= (4 - k)λ < 9λ => - 5 < k < 4 => - 4 ≤ k ≤ 3 . Do đ c 8 giá trị của k
Chọn C
Giải 2: Số điểm dao động cực đại giữa hai nguồn
99
2121
≤≤−↔≤≤− k
SS
k
SS
λλ
C 19 đường dao động cực đại, hai nguồn là hai đường cực đại, những điểm cực đại và
cùng pha với hai nguồn ứng với k=-7; -5; -3; -1; 1; 3; 5; 7 (c 8 điểm không tính hai
nguồn)
- Bài tập vận dụng
Câu 1: Hai mũi nhọn A, B cách nhau 8 cm gắn vào đầu một cần rung c tần số f = 100 Hz,
đặt chạm nhẹ vào mặt một chất lỏng. Tốc độ truyn sng trên mặt chất lỏng v = 0,8 m/s.
Hai nguồn A, B dao động theo phương thẳng đứng với cùng phương trình u
A
= u
B
=
acos(ωt) cm. Một điểm M
1
trên mặt chất lỏng cách đu A, B một khoảng d = 8 cm. Tìm
trên đường trung trực của AB một điểm M
2
gần M
1
nhất và dao động cùng pha với M

1
.
A. M
1
M
2
= 0,4 cm. B. M
1
M
2
= 0,94 cm. C. M
1
M
2
= 9,4 cm. D. M
1
M
2
= 5,98 cm.
Trang 25