NGHIÊN CỨU, TÌM HIỂU CÁC CÔNG CỤ TOÁN HỌC DÙNG CHO VẬT LÝ NÓI CHUNG VÀ VẬT LÝ LÝ THUYẾT NÓI RIÊNG

MỤC LỤC

PHẦN I. MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 1
3. Đối tượng nghiên cứu 2
4. Phương pháp nghiên cứu 2
5. Cấu trúc khóa luận 2
PHẦN II. NỘI DUNG 3
CHƢƠNG 1. PHÉP BIỂN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ
DESCARTES 3
1.1. Gradient của trƣờng vô hƣớng 3
1.1.1. Khái niệm trường vô hướng 3
1.1.2. Gradien của trường vô hướng 3
1.2.Dive của trƣờng vectơ 6
1.2.1. Khái niệm trường vecto-đường vectơ 6
1.2.1.1. Trường vecto-đường vecto 6
1.2.1.2. Thông lượng của trường vecto qua một mặt 7
1.2.2. Dive của trƣờng vectơ 9
1.2.2.1. Dive của trường vectơ 9
1.2.2.2. Trường hình ống: 11
1.2.2.3. Ý nghĩa vật lý của dive 12
1.3 .Rota của trƣờng vectơ 12
1.3.1. Lưu thông trường vectơ theo chu tuyến 12
1.3.2. Rota của trường vectơ 13
1.3.3. Định lý Stokes dưới dạng vecto 15
1.3.4. Ý nghĩa vật lý của rota 15
1.4. Các phép toán đối với dive và rote 15
1.5.Toán tử nabla và toán tử vi phân cấp 2 17
1.5.1.Toán từ nabla: 17
1.6. Các định lí tích phân 18

KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 19
CHƢƠNG 2.PHÉP BIỂN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG 20
2.1. Hệ tọa độ cong 20
2.1.1. Định nghĩa 20
2.1.2. Các ví dụ 21
2.1.2.1. Hệ tọa độ cực 21
2.1.2.3Hệ tọa độ cầu 22
2.1.3.Hệ tọa độ cong trực giao 22
2.1.3.1.Khái niệm 22
2.1.3.2.Hệ số Lame 23
2.1.3.3. Hệ tọa độ cong trực giao ,điều kiện cần và đủ để hệ tọa độ cong trực giao 24
2.1.4. Các toán tử gradient,dive,rota,laplace trong hệ tọa độ cong trực giao 27
2.1.4.1. Gradient của trường vô hướng trong hệ tọa độ cong trực giao 27
2.1.4.2. Dive của trường vecto trong hệ tọa độ cong trực giao 29
2.1.4.3. Rota của trường vecto trong hệ tọa độ cong trực giao 32
2.1.4.4. Biểu thức toán tử Laplace trong hệ tọa độ cong trực giao 35
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 36
CHƢƠNG 3. BÀI TẬP 37
PHẦN 3. KẾT LUẬN 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

1
PHẦN I. MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Tính chất cơ bản của vật lý học là thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày
những định luật định lượng của vật lý học một cách chính xác ta phải sử dụng
các phương pháp toán học. Phương pháp toán học dã được sử dụng rất lâu trong
vật lý. Nó là sự giao thoa giữa toán học và vật lý học. Toán học là một công cụ
hỗ trợ hữu ích giúp phát triển các môn khoa học khác và đặc biệt đóng vai trò
hết sức quan trọng trong vật lý học.

Những quy luật đơn giản đã được vật lý cổ điển giải quyết một cách trọn
vẹn. Nhưng những quy luật vĩ mô thì vật lý cổ điển bất lực. Cùng với điều đó
thì toán học ngày càng phát triển kể cả bề rộng lẫn bề sâu. Vì thế một ngành vật
lý mới đã ra đời có tên vật lý lý thuyết để giải quyết những vấn đề chưa được
giải quyết.
Sử dụng phương pháp toán học tìm ra các quy luật mới. Những quy luật
này tổng quát hơn quy luật đã biết, đoán trước được những mối quan hệ giữa
những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm được những quy
luật tổng quát nhất, phản ánh được nhiều bản chất vật lý của nhiều hiện tượng
xét một cách tổng quát hơn.
Các phương pháp toán học dùng cho vật lý học rất hiện đại và phong phú,
nó thuộc một khối kiến thức lớn với nhiều ngành như: hàm phức, hàm thực, các
phương trình vi phân. Các kiến thức ấy rất cần thiết cho sinh viên khi ra trường
và có nhu cầu nâng cao trình độ sau này.
Chọn đề tài: “Nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán học dùng cho vật lý
nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng”, tôi muốn giúp giải quyết một cách đơn
giản nhất các bài toán của vật lý sử dụng các công cụ toán học cần thiết được
nhắc đến trong đề tài này.
2.Mục đích nghiên cứu
-Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng trong nghiên cứu vật lý một
cách linh hoạt.
-Tìm hiểu phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.

2
-Tìm hiểu phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệ tọa độ
thường gặp trong vật lý: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu.
3.Đối tượng nghiên cứu
-Các phép biến đổi Laplace và ý nghĩa của chúng.
4.Phương pháp nghiên cứu
-Vật lý lý thuyết.

-Phương pháp giải tích toán học.
-Đọc tài liệu và tra cứu.
5.Cấu trúc khóa luận
Đề tài nghiên cứu gồm:
-Chương 1:Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.
-Chương 2:Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong.
-Chương 3: Bài tập.










3
PHẦN II. NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. PHÉP BIỂN ĐỔI LAPLACE
TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES

1.1. Gradient của trƣờng vô hƣớng
1.1.1. Khái niệm trường vô hướng
Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó ứng
vơi một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f(M). Cho một trường vô
hướng có nghĩa là một hàm vô hướng u = f(M) có giá trị phụ thuộc vào từng
điểm M của miền V. Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có:
U = f( M ) = f (x,y,z)
Ví dụ 1: Ta xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗi điểm được

cho tương ứng với một đại lượng vô hướng, đó là nhiệt độ tại điểm này.
Ví dụ 2: Xét một vật thể rắn không đồng chất, mật độ

phụ thuộc vào từng
điểm của vật và ta có trường mật độ

(M) của vật thể. Khi đó mật độ điểm M
đã cho là giới hạn :
0
lim
v
m
V


Trong đó m là khối lượng của miền nhỏ bao quanh điểm M, còn V là thể tích
của miền này.
Nếu mật độ của vật thể tại tất cả các điểm là như nhau thì vật thể được coi là
đồng nhất, còn ngược lại là không đồng nhất.
1.1.2. Gradien của trường vô hướng
Ta xét trường vô hướng u = f(x,y,z) và tính đạo hàm của u theo vectơ
j

Người ta gọi đạo hàm theo hướng của vectơ
j
tại điểm M là đạo hàm theo cung
bất kì đi qua M và tiếp xúc với
j
. Đạo hàm riêng
u

x


là đạo hàm theo hướng
vectơ
i
, và đạo hàm
u
y


là đạo hàm theo hướng của vectơ
j
, đạo hàm
u
z


là

4
đạo hàm theo hướng vectơ
k
. Trước hết ta hãy tìm cosin theo hướng của vectơ
j

cos

=
2 2 2

a
abc

, cos

=
2 2 2
b
a bc

, cos

=
2 2 2
c
abc


do đó :
u
j


=
2 22
. . .
u u u
abc
x y z
a b c

  

  

(1.1)
Trong biểu thức( 1.1), tử số là tích vô hướng của vectơ
j
và vectơ có tọa độ là
(
,,
uuu
x y z

  
). Gọi vectơ này là gradien của u và kí hiệu gradu:
Gradu =
. . .
u u u
i j k
x y z
  

  
(1.2)
do đó:
u
j


=

.gradu j
j

hay là:
. . os( , )gradu j c gradu j
u
j
j




vậy:
. os( , )
u
gradu c gradu j
j



(1.3)
Ta thấy vế phải của (1.3) là hình chiếu của gradu lên hướng
j
. Từ đây ta suy ra
đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất. Như vậy gradu
j
là vectơ
hướng của nó hàm u tăng theo hướng lớn nhất.
Ví dụ 1: Cho trường vô hướng
2

3
z
y
x
xuất phát từ M(1 , 2 , 1) theo hướng nào
hàm u tăng nhanh nhất.

5
Giải:
3
2
2
3
2
2
. . .
3
2
y
k
u u u
gradu i j k i j
x y z z z
yy
x
xx
z
  
     
  

Gradu tại M: Gradu =
12 4 4i j k
. Đạo hàm theo hướng gradien tức là:
axm
u
j


=
2
22
4
12 4
()


=
176


13,3
Ví dụ 2: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với parabonic z = x
2
+y
2
tại
M(2 , 1 , 5).
Mặt đã cho có thể coi như mặt mức của hàm u = z - x
2

-y
2
bởi vì:
Gradu =
2 2 1xi y j k  

cho nên:
0
M
gradu/
=
42i j k  

do đó phương trình mặt phẳng tiếp xúc của parabonic đã cho tại M có dạng:
-4 ( x - 2) - 2 (y - 1) + 1(z - 5) = 0
hay:
- 4x - 2y + z + 5 = 0
1.1.3.Các tính chất của gradien
Gradien có tính chất quan trọng sau đây mà ta có thể sử dụng để chứng
minh các công thức vật lý:
a, Grad(u + v) = grad u + grad v (1.4)
b. grad(u.v) = ugradv + vgradu (1.5)
c,grad (
u
v
) =
2
-vgradu ugradv
v
(1.6)

1.1.4. Ý nghĩa vật lý của gradien
Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ,
nên trong vật lý tường dùng phương pháp trong đó tính một đại lượng vô hướng
( không đơn trị) một cách đơn giản hơn, nhưng gradien của nó lại cho ta một đại

6
lượng vật lý thực dưới dạng vectơ đơn thể đo trên thực nghiệm. Thí dụ trong
điện động lực học người ta tính thế vô hướng

( không đơn trị), nhưng
E
=
grad

là cường độ điện trường có thể đo trên thực nghiệm.
1.2.Dive của trƣờng vectơ
1.2.1. Khái niệm trường vectơ-đường vectơ
1.2.1.1. Trường vectơ-trường vectơ
Trong vật lý ta tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực, trường từ
hay trường điện từ như
E
= grad

nêu ở trên. Để biểu diễn hình học trường
vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà các điểm của
nó vecto
A
nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này.
Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ ( được gọi
là các đường lực) là các tia xuất phát từ các gốc tọa độ.

Trong trường gradien
A
= grad

đường vectơ của trường là đường mà khi
chuyển động dọc theo nó, đại lượng u tăng với vận tốc lớn nhất.
Để tìm vecto của trường
A
= P(x , y , z)
i
+ Q( x , y , z )
j
+ R(x , y , z)
k

Ta tiến hành như sau:
Giả sử phương trình tham số của trường vectơ là:
x = x (t), y = y( t ), z = z( t )
khi đó vectơ tiếp xúc tại điểm tùy ý của đường này có dạng:
x y z
j i j k
t t t
  
  
  

Theo định nghĩa của trường vectơ, vectơ này đồng phương với vectơ của
trường tại điểm (x , y , z). Vì thế hình chiếu lên các trục tọa độ của vectơ này tỉ
lệ với nhau.
( , , ) ( , , ) ( , , )QRP

dx dy dz
dt dt dt
x y z x y z x y z

(1.7)
gọi giá trị chung của các tỉ sổ trên là

(x , y , z) ta có:

7
( , , , ) ( , , );
( , , , ) ( , , );
( , , , ) ( , , );
P
Q
R
dx
x y z t x y z
dt
dy
x y z t x y z
dt
dz
x y z t x y z
dt







( 1.8)
Chú ý : Vì hàm

(x , y , z ,t) được chọn tùy ý nên phương trình của đường
vectơ là không đồng nhất.
Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh ra bởi chất điểm sinh ra từ gốc tọa độ.
Khi đó các đường vectơ là các tia xuất phát từ gốc tọa độ, vì thế ống vectơ trong
trường này có dạng hình nón với đỉnh ở gốc tọa độ.
1.2.1.2.Thông lượng của trường vectơ qua một mặt
-Khái niệm thông lượng của trường vectơ:
Ta xét một mặt trơn, hữu hạn S đặt trong một trường vectơ
A
nào đó. Ta chọn
trên mặt này một hướng xác định và gọi đó là hướng dương, hướng ngược lại ta
gọi là hướng âm. Ta nói mặt như vậy được gọi là mặt định hướng.
Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơ này
hướng từ âm sang dương là vectơ
n
. Vị trí vectơ
n
phụ thuộc vào vị trí điểm
M trên mặt.
Xét hàm f(M) = (
,An
) được xác định tại mọi điểm của mặt S
Nếu
A
= P
i

+ Q
j
+ R
k
và các góc chỉ phương của veato tương ứng với
,,
  
tức là
n
= cos


i
+ cos

j
+ cos

k
thì f(M) = P cos

+ Q cos

+
R cos

, hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên
mặt S.
Tích phân này được gọi là thông lượng của trường vectơ qua mặt S và được kí
hiệu bằng


:
( , ) ( cos cos cos )
S
A n ds P Q R dS
   
   
 
(1.9)
Chú ý: Khi thay đổi hướng của mặt S ta thay đổi dấu của thông lượng

8
Nếu mặt S là mặt kín thì ta thường định hướng như sau: hướng bên ngoài của
mặt là hướng dương , hướng bên trong của mặt là hướng âm.
-Ý nghĩa vật lý của thông lượng của trường vectơ:
Trong trường hợp thủy động học, thông lượng qua mặt được dịnh hướng bằng
khối lượng chất lỏng chảy qua mặt này trong một đơn vị thời gian.
Ta xét trường hợp mặt kín S. Nếu thông lượng qua S là mặt dương điều này có
nghĩa là lượng chất lỏng chảy qua từ một phần không gian được giới hạn bởi
mặt S lớn hơn lượng chất lỏng chảy vào nó. Ngược lại nếu thông lượng âm thì
lượng chảy vào S lớn hơn lượng chảy ra từ S.
Ví dụ1: Cho trường vecto:
( ) ( )A x y i y x j zk    

Tính thông lượng của trường này qua bề mặt của hình cầu bán kính 1 với tâm tại
gốc tọa độ.
Giải :
Trong trường hợp này pháp tuyến tại điểm bất kỳ của mặt S hướng theo
bán kính vectơ tại điểm này. Vì thế vectơ pháp tuyến đơn vị:
n

=
R
R
=
xi y j zk

do
2
2
2
y
x
z

= 1 đối với mọi điểm nằm trên mặt cầu đã cho.
như vậy:
( , )An
= (x + y)x + (y - x)y + zz =
2
2
2
y
x
z


vì thế thông lượng bằng:
2
2
2

( , ) ( ) 4
S S S
A n dS ds ds s
y
x
z

     
  

Ví dụ 2:Tính thông lượng của trường lực hút
3
Rm
A
R


qua mặt cầu bán kinh a với tâm tại gốc tọa độ.
Giải:
Ta thấy
n
=
R
R
do đó:

9
(A,n)
= (
3

,
mR R
R
R

) = = -
2
m
a


cho nên:
2
222
( , ) ( ) 4 4
S S S
m m m
A n ds ds ds m
a a a
a
  
  
       
  

Ví dụ 3: Tính thông lượng của trường vectơ
A
= (-y, x, 0) qua phần mặt
cầu x
2

+y
2
+z
2
=a
2
nằm trong góc tọa độ thứ nhất(
0, 0, 0x y z  
) định hướng
theo pháp tuyến hướng ra phía ngoài mặt cầu.
Giải
Ta tính thông lượng của trường vectơ theo tích phân mặt loại 2

S
ydydz xdzdx

  


Trước hết ta xét phương trình tham số của mặt cầu.
x = a sin

cos


y = a sin

sin


z = a cos


trong đó: 0


,
2




ta có:
22
( , )
os
( , )
sin
yz
c
a







22
( , )

sin
( , )
sin
zx
a






thay vào các biểu thức trên ta có:

33
0
2
0
2
3
3
(0sin os os sin )
sin
sin
c c d
aa




     







1.2.2.Dive của trƣờng vectơ
1.2.2.1. Dive của trường vectơ
Dive (divergent) của trường vectơ
A
tại điểm M là giới hạn của tỉ số thông
lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi bề mặt này

10
Div
A
=
( . )
lim
S
VM
An ds
V


(1.10)
Những điểm của trường vectơ tại đó dive mang dấu dương được gọi là
điểm nguồn. Những điểm mà tại đó dive mang dấu âm được gọi là những điểm
hút.
Giả sử trường vectơ:

A Pi Q j Rk  

trong đó P , Q, R là những hàm vô hướng có đạo hàm cấp 1, 2 liên tục
thì:
Div
A
=
( , ) ( cos cos cos )
lim lim
sS
V M V M
A n ds P Q R ds
VV
  



 
(1.11)
trong đó:
,,
  
là những góc chỉ phương của pháp tuyến ngoài. Theo
công thức Ostrogradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp:
Div
A
=
()
lim

v
vM
P Q R
dV
x y z
V

  

  

(1.12)
Theo định lý giá trị trung bình ,trong miền V,ta tìm được một điểm
M
tb

sao cho:

0
0
( ) ( ) .
/
V
P Q R P Q R
dV
M
x y z x y z
V
     
    

     


vì thế:
Div
A
=
()
lim lim( ) /
tb
v
v M v m
P Q R
dV
x y z
P Q R
V x y z
M

  


  
  
  


khi v
M
thì

tb
M
M

vì thế:
Div
A
=
P Q R
x y z
  

  
(1.13)
từ công thức: (1.12) và (1.13) ta có:

11

( , )
sv
A n ds divAdV
 
=(1.14)
Như vậy thông lượng của trường vecto
A
qua bề mặt kín bằng tích phân
ba lớp của div
A
trên miền mà bề mặt này giới hạn. Chú ý rằng công thức này
chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi div

A
liên tục bên trong miền V.
Ví dụ 1:Tính thông lượng của trường vectơ :
( ) ( )A x y i y x j zk    

Qua mặt cầu đơn vị tâm tại gốc tọa độ.
Giải

divA
=
( ) ( )
3
x y y z z
x y z
    
  
  

như vậy thông lượng:
( , ) 3 3 3.4/ 3 4
s v V
A n ds divAdV dV V
  
     
  

1.2.2.2.Trường hình ống
Nếu tại tất cả các điểm của miền G nào đó dive của trường
A
bằng 0, thì

ta nói
A
là trường hình ống trong miền này.
Ví dụ 1: Cho trường hấp dẫn F =
3
Rm
R


trong miền G nào đó không chứa
gốc tọa độ. Hãy tính dive
F
.
Giải
Bằng cách tính trực tiếp ta thấy rằng :
Div
F
=0
Tại điểm bất kì khác gốc tọa độ. Vậy
F
là trường hình ống trong miền G.
Bây giờ ta tính dive tại gốc tọa độ.
Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a bằng
4 m


, tỉ số thông lượng và
thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng:

3

3
43
4
3
mm
a
a
 





12
theo định nghĩa:

(0,0,0)
0
3
3
lim
()
a
m
F
a
div




  

1.2.2.3. Ý nghĩa vật lý của dive
Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng của
một trường theo vectơ (1.14).Ngoài ra, qua biến dổi của tích phân khi tính thông
lượng người ta còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực học
div
D
=

(1.15)
trong đó
D
là vectơ cảm ứng điện từ ,còn

là mật độ điện tích tự do.
1.3. Rota của trƣờng vectơ
1.3.1. Lưu thông trường vectơ theo chu tuyến
Ta xét trường vectơ:

A Pi Q j Rk  

Và chu tuyến đóng nằm trong trường này. Ta gọi tích phân đường:
Pdx Qdy Rdz

(1.16)
là lưu thông của trường vectơ
A
theo chu tuyến .
Ta hiểu ngầm rằng lưu thông phụ thuộc không chỉ vào

A
và , mà còn
phụ thuộc vào cả hướng của chu tuyến . Khi thay đổi hướng của đường cong,
lưu thông thay đổi dấu.
Ví dụ 1: Nếu
A
là trường lực, thì lưu thông của trường theo chu tuyến
bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lực dọc theo chu tuyến .
Ta hiểu rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào
A
và , mà còn cả hướng của
chu tuyến . Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay đổi dấu.
Ví dụ 2: Nếu
A
là trường lực, thì lưu thông của trường theo chu tuyến
bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lưu dọc theo chu tuyến .
Giả sử đường cong cho dưới dạng tham số:
x=

(t) , y=

(t), z =

(t) với
0
t

t
T

13
như vậy ,để tính lưu thông trường vectơ ta có thể áp dụng công thức Stockes:
( ) os ( ) os ( ) os
S
R Q P R Q P
Pdx Qdy Rdz c c c ds
y z z x x y
  


     

       

     



 

(1.18)
trong trường hợp đặc biệt:
()
s
QP
Pdx Qdy ds
xy


  

 
(1.19)
1.3.2.Rota của trường vectơ
Trong không gian oxyz cho bề mặt S nào đó. Ta xét trường vectơ:
A Pi Q j Rk  

trong đó: P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của nó liên tục tại điểm
0
M


S và
trong lân cận diểm
0
M

Trên bề mặt S, ta vẽ chu tuyến đóng bao quanh điểm
0
M
rồi chọn một
hướng xác định trên chu tuyến này và tính:

Adl


Tỉ số lưu thông theo chu tuyến và diện tích

của bề mặt S được giới

hạn bởi chu tuyến trên được gọi là mật độ lưu thông trung bình

Adl



Chú ý: Trong một số tài liệu, tích phân đường:

Pdx Qdy Rdz

được gọi là lưu số.
ta gọi giới hạn:
0
lim
Adl
M



là mật độ lưu thông tại điểm
0
M
trên mặt S. Ta có:
0
0
os os os
lim lim
dian
R Q P R Q P
c c c d

Pdx Qdy Rdz
y z z x x y
M


   



   
     

    

   


     

   





14
=
0
os os os
lim /

TB
dian
M
R Q P R Q P
c c c
y z z x x y

  



   
     

    

   

     

   

=
0
os os os /
R Q P R Q P
c c c
y z z x x x
M
  


     
   
    

   
     
   


như vậy :

A Pi Q j Rk  
,
n
=cos
os osi c j c k
  

thì mật độ lưu thông tại
điểm
0
M
theo hướng
n
bằng:


0
os os os /

R Q P R Q P
c c c
y z z x x x
M
  

     
   
    

   
     
   


biểu thức trên là tích vô hướng của vecto
n
và vectơ
n


( ) ( ) ( )
R Q P R Q P
i j k
y z z x x y
     
    
     

Vectơ này chỉ phụ thuộc vào trường vectơ đã cho

A
ta kí hiệu rot
A
.
Như vậy mật độ lưu thông của trường vectơ
A
theo hướng
n
bằng
rot
A
.
n

rota của trường vectơ
A

rot
A
=
( ) ( ) ( )
R Q P R Q P
i j k
y z z x x y
     
    
     
(1.20)
Có giá trị hoàn toàn xác định(về độ lớn,về hướng) tại mỗi điểm của trường đã
cho, do đó, rota lập thành trường vectơ mới.

Biểu thức (1.20) cũng có thể viết dưới dạng định thức như sau:
Rot
A
=
P Q R
i j k
x y z
  
  
(1.21)
Ví dụ 1: Tính rota của trường vectơ
A
cho bởi biểu thức:

15

A
=




 
2
2
22
22
i j k
y
y

xx
zz
    

Giải:
Theo công thức (1.3.2.2) ta nhận được:

rotA
=
     
2z 2x 2yi j k    

Nói riêng tại (0,0,1):

rotA
=-2
i

Ví dụ 2: Xét trường vận tốc tại các điểm vật thể rắn quay với vận tốc góc
không đổi
0
W
quanh trục Oz
Giải
Ta đã biết trường này được cho bởi công thức,ta vận dụng các công thức phần lí
thuyết để giải quyết bài tập một cách linh hoạt nhất.

1.3.3.Định lý Stokes dưới dạng vectơ

s

Adl rotAds
 

trong đó
rotA
là hình chiếu của vectơ rot
A
lên pháp tuyến của mặt S
Như vậy, lưu thông của trường vecto theo chu tuyến đóng bằng thông lượng
của rot
A
của trường này trên bề mặt với biên là chu tuyến .
1.3.4.Ý nghĩa vật lý của rota
Từ rot
A
có nghĩa là xoáy,cho nên nó mô tả nhiều hiện tượng điện từ quan
trọng như rota thông thường của trường
H
thì sinh ra dòng điện mật độ
j

Rot
H
=
j
(1.22)
Còn rota của thông lượng trường điện từ
E
thì sinh ra sự biến thiên của
vecto cảm ứng từ

B
theo thời gian
Rot
E
=-
B
t


(1.23)
Các phương trình (1.22) và (1.23) là các phương trình Maxwell.
1.4: Các phép toán đối với dive và rota
a,Dive và rota của vectơ hằng số bằng không:

16
Thật vậy,
A ai b j ck  
trong đó a, b, c là hằng số thì :
div
A
=
0
a b c
xyz
  
  

(1.24)
Tương tự thì rot
A

= 0
b,Dive và Rota có tính chất tuyến tính:
Điều này nghĩa là nếu
C
=
AB


trong đó
,AB
là các vectơ
,

là
các hằng số thì:
div
C
=

div
A
+

div
B

rot
C
=


rot
A
+

rot
B

chứng minh: Giả sử:

11
1
A i j k
Q
PR




2
22
B i j k
Q
PR
  

khi đó:

12 12
21
( ) ( ) ( )C i j k

QQ
PP RR
  
     

và
div
C
=
1 2 1 2
1
2
( ) ( ) ( )
x y z
Q
Q
P P R R
     
  
    
  
=
1 1 2 212
( ) ( ) AB
QQ
div div
x y z x y y
P R P R
  


   
      
     


c,Các phép tính đối với tích
-Giả sử u và v là hai trường vô hướng . Khi đó uv cũng là trường vô hướng ,ta
có:
Grduv = ugrad v + v grad u
-Giả sử u là trường vô hướng ,
A
là trường vectơ .Khi đó u
A
là trường vectơ
và:
Divu
A
= (gradu,
A
) + udiv
A

Rotu
A
= (gradu)
A
+ u rot
A

17
Để chứng minh ta hãy viết vecto
A
dưới dạng:
A Pi Q j Rk  

-Giả sử
,AB
là các trường vectơ. Khi đó(
,AB
) là trường vô hướng,còn
tích vecto
.AB
là trường vectơ và ta có:
Div(
.AB
)=
B
rot
A
-
A
rot
B

1.5. Toán tử nabla và toán tử vi phân cấp 2
1.5.1.Toán từ nabla
Kí hiệu :

là toán tử nabla hay toán tử Haminton.Trong hệ tọa độ

Descarse vuông góc,nó có dạng:

I J k
x y z
  
   
  

Dùng kí hiệu toán tử nabla

ta có:

,,grad divA A rotA A


     


Nếu dùng toán tử

lên chúng một lần nữa ta được toán tử vi phân cấp
hai. Ta có lược đồ sau:

 
divgrad
grad
rotgrad

  


 
 
 


()divA A graddivA A
divrotA A
A
rotA
rotrotA A
     

  



  



ta dễ dàng suy ra các hệ thức sau:
a, rotgrad

=0
thật vậy
   
0

   
vì tích vô hướng của hai vectơ cộng tuyến bằng 0

b,divrot
A
=
A

 

= 0
vì vectơ
A



vuông góc với vectơ

,và tích vô hướng của hai vectơ vuông
góc với nhau =0
đặt B=rot
A
,ta có div
B
=0,nghĩa là B là trường hình ống

18
c,Rotrot
A
=
A

 


=
2
( ) ( )A A graddivA A     


d,Divgrad

=
2

 

(1.25)
1.6. Các định lý tích phân
Định lý 1: Nếu f(t) là một hàm gốc với chỉ số tăng là
S
0
và F(p) là ảnh của nó
thì tại điểm liên tục f(t) , ta có:
1
( ) ( )
2
ai
pt
ai
f t F p dp
i
e







Trong đó a là một số thực bất kì lớn hơn
0
S
. Tích phân trong công thức trên
được hiểu theo nghĩa giá trị chính, và công thức này có tên là công thức Mellin
Định lý 2: Cho hàm gốc f,g trơn từng khúc trên nửa trục
0t 
có chỉ số tăng lần
lượt là
12
,
SS
. Giả sử f(t)= F(p); g(t)= G(p). Khi đó f,g cũng là hàm gốc với chỉ
số tăng
12
SS

và:
2
1
( ). ( ) ( ) ( )
ai
ai
i
f t g t F v G p v dv







Trong đó : a>
S
1
, Rep > a+
2
S

Định lý 3: Điều kiện đủ để F(p) là một hàm ảnh
Giả sử F(p) là một hàm biến phức thỏa mãn điều kiện sau:
1,F(p) giải tích trong nửa mặt Rep >
0
S

2,
0
p
F

khi
p  
trong nửa mặt phẳng Rep >
o
S
đều đối với argp

;
22
  





3, Tích phân
ai
p
ai
dp
F



hội tụ tuyệt đối.
Khi đó :
p
F
là ảnh của hàm gốc f(t) cho bởi công thức:
1
( ) ( )
2
ai
pt
ai
f t F p dp
i

e






a >
0
S
, t > 0.

19
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1

Chương

chúng ta đã nghiên cứu những khái niệm quan trọng về trường
và những đặc trưng cơ bản của trường vectơ và trường vô hướng. Cùng với nó
là phép tính cơ bản của trường như: phép tính gradient của trường vô hướng,
phép tính dive của trường vectơ, phép tính rota của trường vectơ, đồng thời ta
tìm hiểu toán tử nabla và toán tử vi phân cấp 2. Trong phạm vi chương

chúng
ta chỉ tìm hiểu các phép tình này trong tọa độ Descarest vuông góc.

20
CHƢƠNG 2. PHÉP BIỂN ĐỔI LAPLACE
TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG

2.1. Hệ tọa độ cong
2.1.1. Định nghĩa
Vị trí điểm M trong không gian được xác định bằng bán kính vecto
r OM
. Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz:
r xi y j zk  

Trong đó : x là hoành độ, y là tung độ,z là cao độ của điểm M. Nhưng
việc cho hoành độ, tung đô, cao độ của một điểm không phải là phương pháp
duy nhất để xác định vị trí của điểm đó trong không gian. Trong nhiều bài toán
để xác định vị trí của điểm M , thay cho bộ 3 x,y,z người ta dùng bộ ba số khác
1 2 3
,,
q q q
phù hợp và thuận tiện hơn với bài toán đang xét, đồng thời những
điểm khác nhau tương ứng với bộ ba số khác nhau. Ngược lại ta giải thiết một
bộ ba số:
1 2 3
,,
q q q
ứng với bán kính vectơ
r
, do đó ứng với một điểm M nào đó
của không gian. Các đại lượng
1 2 3

,,
q q q
được gọi là tọa độ cong của điểm M.
Vì mỗi điểm M ứng với tọa độ:
1 2 3
,,
q q q
do đó mỗi một tọa độ này là
một hàm của bán kính
r
.
11
22
33
( ) ( , , )
( ) ( , , )
( ) ( , , )
x y z
x y z
x y z
r
r
r
qq
qq
qq




Ngược lại vì bán kính vectơ
r
của mỗi điểm trong không gian được xác
định hoàn toàn khi cho 3 số:
1 2 3
,,
q q q
nên các thành phần x,y,z của
r
là hàm
của.
1 2 3
,,
q q q

1 2 3
1 2 3
1 2 3
,,
,,
, , )
()
()
(
xx
yy
zz
q q q
q q q
q q q






21
Tập hợp tất cả các điểm trong không gia sao cho trên tập này
1
q
không đổi
được gọi là mặt tọa độ
q
1
. Tương tự ta có mặt tọa độ:
23
,
qq
.
Tập hợp tất cả các điểm sao cho trên tập này chỉ có tọa độ
1
q
thay đổi
(còn những tọa độ
23
,
qq
không thay đổi) được gọi là các đường tọa độ. Hiển
nhiên giao tuyến của hai mặt
qq
21

,
cho ta đường tọa độ
q
3
.
2.1.2. Các ví dụ
2.1.2.1. Hệ tọa độ cực
Trong hệ tọa độ đề các mặt tọa độ là các mặt x = const ( song song với
mặt Oxyz) mặt y = const, mặt z = const.
Đường tọa độ x, đó là đường thẳng song song với trục Ox, đường y là
đường thẳng song song với trục Oy, đường z là đường song song với trục Oz.
2.1.2.2.Hệ tọa độ trụ
Trong không gian
3
R
với hệ tọa độ Descares Oxyz ta xét hệ 3 số:
,,rz

,
trong đó:
0,0 2r

  
và tương ứng ba số này với một điểm M có độ cao z
và hình chiếu của nó lên mặt phẳng Oxyz có tọa độ r và

. Rõ ràng rằng mỗi bộ
3 tương ứng với một điểm M và ngược lại mỗi điểm M tương ứng với bộ ba
số:
.,rz


trong đó:
0,0 2r

  
,
z  

(Trừ trường hợp khi điểm M nằm trên trục Oz, r và z được xác định đơn
trị còn góc

có thể nhận giá trị tùy ý)
Những số:
,,rz

được gọi là tọa độ trụ của điểm M.
3
1
2
,,rz
qq
q

  

ta có thể dễ dàng thiết lập sự liên hệ giữa tọa độ trụ và tọa độ Descartes
x=r cos

, y=r sin


, z=z
và :
2
2
2
z
y
x
z

,
'
ar
x
tag
y


, z = z

22
Các mặt tọa độ : Mặt tọa độ r = const là mặt tọa độ trục Oz, mặt tọa độ

=const là nửa mặt phẳng giới hạn bởi trục Oz, mặt z = const là mặt phẳng song
song trục Oxy.
Các đường tọa độ : đường z là đường thẳng song song với trục Oz, đường

là đường tròn có tâm nằm trên trục Oz trong mặt phẳng vuông góc với trục
Oz, đường r là nửa đường thẳng xuất phát từ trục Oz và song song với mặt Oxy.
2.1.2.3. Hệ tọa độ cầu

Cho bộ ba số:
,,
  
đặc trưng cho điểm M trong không gian như sau:

là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm M,

là góc giữa chiều dương của trục
Oz và bán kính vecto OM,

là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox và hình
chiếu của bán kính vecto lên mặt phẳng Oxy.
Rõ ràng rằng mỗi điểm trong không gian tương ứng với bộ ba
,,
  

0,0 ,0 2
    
    

Và ngược lại 3 số này tương ứng với một điểm xác định trong không gian.
sự liên hệ giữa tọa độ cầu và tọa độ Descarets:
sin os , sin sin , osx c y z c
       
  

và :
2
2
2

2
2
2
, arccos , ar
zy
ctg
x
y
y
x
z
x
z
  


  

Các mặt tọa độ , mặt

= const là mặt cầu với tâm đặt tại gốc tọa độ, mặt

= const là nửa mặt giới hạn bởi trục Oz, mặt

= const là nửa mặt nón có
đỉnh O, trục là Oz.
Các đường tọa độ : đường

là nửa đường thẳng xuất phát từ gốc O,
đường


là đường tròn vĩ tuyến trên mặt cầu, đường

là đường kinh tuyến trên
mặt cầu.
2.1.3.HỆ TỌA ĐỘ CONG TRỰC GIAO
2.1.3.1.Khái niệm
Hệ tọa độ cong (
1 2 3
,,
q q q
) mà các đường tọa độ vuông góc với nhau từng

23
đôi một tại mỗi điểm được gọi là hệ tọa độ cong trực giao.
Trong các ví dụ trên, hệ tọa độ Descartes, hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu là
các hệ tọa độ cong trực giao.
Trong không gian cho một điểm M nào đó, gọi
e
i
, i = 1,2,3 là các vectơ
đơn vị tiếp xúc tại điểm này với các đường tọa độ
i
q
.
Ta nhận thấy rằng các hệ tọa độ Descartes hướng của các vectơ
i
e
không
phụ thuộc vào vị trí của M, còn trong hệ tọa độ cong, ba vetơ

1 2 3
,,
e e e
phụ
thuộc vào vị trí của M.
Gọi các vectơ đơn vị có phương pháp tuyến với mặt tọa độ
i
i
q
c

và
hướng theo chiều tăng của
i
q
là
i
e
.
Trong hệ tọa độ cong trực giao thì
i
i
ee


2.1.3.2.Hệ số Lame
Trong không gian
3
R
ta xét điểm M(

1 2 3
,,
q q q
) và
1
1 1 2 3
( , , )
q q q q
M

.
Cả hai điểm này nằm trên cùng một đường tọa độ
1
q
. Ta kí hiệu độ dài cung
1
MM
là
1
s

và xét tỉ số
1
1
s
q


.Nếu khi
1

0
q
 
tỉ số này có giới hạn ( hữu hạn),
thì giới hạn này được kí hiệu là
1
h
và được gọi là hệ số Lame đối với tọa dộ
1
q

tại điểm M.

1
1 2 3
( , , )
q q q
h
=
1
1
1
0
lim
q
s
q




Rõ ràng rằng hệ số Lame, nói chung, phụ thuộc vào vi trí của điểm M. Cũng như
vậy ta định nghĩa hệ số Lame đối với tọa độ hệ thứ hai tại điểm M.

2
2
2
1 2 3
0
2
( , , ) lim
s
q
q q q
h
q





trong đó :
1
M
(
1 2 3
,,
q q q
) và
1 2 2 3

2
( , , )
q q q q
M

và
2
S

là độ dài cung
2
MM
.
tương tự ta có hệ số Lame đối với tọa độ thứ ba.