BÀI GIẢNG Cơ học ứng dụng Trần Hưng Trà, Dương Đình Hảo

1

PHẦN 1: CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI
A. TĨNH HỌC

 Tĩnh học là một phần nội dung của cơ học vật rắn tuyệt đối khảo sát sự cân bằng của vật
thể dưới tác dụng của lực.
 Hai vấn đề cơ bản hay còn gọi là hai bài toán cơ bản trong phần này là: Khảo sát tác dụng
của hệ lực lên vật rắn và điều kiện cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của lực và những
ứng dụng để giải quyết các bài toán kỹ thuật.
 Phương pháp nghiên cứu trong phần tĩnh học là phương pháp tiên đề kết hợp phương
pháp mô hình.
 Các kết quả nghiên cứu trong tĩnh học sẽ được áp dụng để giải thích các hiện tượng thực
tế, đồng cũng là cơ sở để học các môn sức bền vật liệu, cơ học kết cấu và một số môn học
cơ sở và chuyên môn khác.


2

Chương 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC





3

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1.1 Chất điểm, hệ chất điểm, vật rắn tuyệt đối, vật rắn cân bằng hệ quy chiếu và hệ đơn vị

a. Chất điểm:
Là điểm vật chất vô cùng bé sao cho sự sai khác về chuyển động của các phần tử thuộc chất điểm là vô
cùng nhỏ, có thể bỏ qua.
b. Hệ chất điểm:
Là hệ thống nhiều chất điểm, có sự ràng buộc (liên kết) lẫn nhau sao cho chuyển động của mỗi chất
điểm không thể không ảnh hưởng đến các chất điểm khác.
c. Vật rắn tuyệt đối:
Là vật thể có hình dạng bất biến nghĩa là khoảng cách hai phần tử bất kỳ trên nó luôn luôn không đổi.

Hình 1.1: Minh họa sự biến dạng của vật khi chịu tác dụng của lực
d. Vật rắn cân bằng:
Là vật rắn đang ở trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng và đều so với hệ quy chiếu.
e. Hệ quy chiếu:
Là một vật rắn được chọn làm chuẩn để quan sát, đánh giá vị trí của vật khảo sát.
Trong cơ học ta thường gặp hai khái niệm về hệ quy chiếu là hệ quy chiếu quán tính và hệ quy chiếu phi
quán tính.
Hệ quy chiếu trong đó các định luật của Newton được nghiệm đúng được gọi là hệ quy chiếu quán tính,
trong trường hợp ngược lại được gọi là hệ quy chiếu phi quán tính. Với sai số cho phép trong kỹ thuật
thường coi hệ quy chiếu gắn với trái đất là hệ quy chiếu quán tính. Hệ quy chiếu chuyển động thẳng và đều
trong hệ quy chiếu quán tính cũng được coi là hệ quy chiếu quán tính.
f. Hệ đơn vị:
Trong cơ học, chúng ta sử dụng 4 đại lượng cơ bản đó là: chiều dài, khối lượng, lực và thời gian. Những
đại lượng này liên hệ với nhau bởi định luật 2 Newton. Có hai hệ đơn vị mà hiện nay người ta hay dùng đó là
hệ SI và hệ US.
Hệ đơn vị SI: Là hệ thống đơn vị đo lường quốc tế viết tắt của International System of Units. Đây là hệ
đơn vị được sử dụng phổ biến nhất.
Hệ đơn vị US: Là hệ thống đơn vị Anh Mỹ (United States) thường được sử dụng cho những nước nói
tiếng Anh. Nó còn ký hiệu là FPS, viết tắt của foot-pound-second.
Các bảng 1.1 và 1.2 và 1.3 là các bảng ký hiệu đơn vị của 4 đại lượng cơ bản trong hai hệ thống đơn vị
SI và US.

Bảng 1.1a: Bảng ký hiệu đơn vị các đại lượng cơ bản
Đại lượng cơ bản
Hệ đơn vị SI Hệ đơn vị US
Đơn vị Ký hiệu Đơn vị Ký hiệu
Chi
ều d
ài

Mét

m

Foot

f
t

Khối lượng Kilogram kg Slug slug
Lực Newton N Pound lb
Thời gian Giây s Second sec


Vật rắn biến dạng
Vật rắn tuyệt đối
4

Bảng 1.1b: Một số tiền tố
Tên gọi Ký hiệu Quy đổi
Tera

T

10
12

Giga G 10
9

Mega M 10
6

Kilo k 10
3

Hecto h 10
2

Deka da 10
1

Deci d 10
-
1

Centi c 10
-
2

Milli m 10
-

3

Micro µ 10
-
6

Nano n 10
-
9

Pico p 10
-
12

Femto f 10
-
15

Atto

a

10
-
18

Bảng 1.2: Một số đơn vị được sử dụng trong cơ học
Đại lượng Đơn vị cơ bản Ký hiệu SI
Chiều dài Mét m
Khối lượng Kilogram kg

Lực Newton N (kg.m/s
2
)
Thời gian Giây s
Góc Radian rad
Vận tốc Mét/giây m/s
Gia tốc Mét/giây
2

m/s
2

Vận tốc góc Radian/giây rad/s
Gia tốc góc Radian/giây
2
rad/s
2

Diện tích Mét
2
m
2

Mô men lực Newton.mét N.m
Mô men quán tính tiết diện Mét
4
m
4

Mô men quán tính khối Kilogram.mét

2
kg.m
2

Động lượng Kilogram.mét/giây kg.m/s
Xung lượng Newton.giây N.s
Mô men động lượng Kilogram.mét/giây
2

kg.m/s
2

Công, Năng lượng Jun J (= N.m)
Công suất Wat W (= J/s)
Áp suất, Ứng suất Pascal Pa (= N/m
2
)
T
ầng số

Hertz

Hz (= s
-
1
)

Th
ể tích

Mét
3

m
3

Kh
ối l
ư
ợng ri
êng

Kilogram.mét
3

kg/m
3








5

Bảng 1.3: Bảng chuyển đổi giữa hai hệ đơn vị SI và US
Đại lượng Đơn vị hệ US Đơn vị hệ SI
Chiều dài 1 foot

1 inch
1 mile
1 ft
1 in
1 mi
mét
centimét
kilomét
0.305

m

2.540 cm
1.609 km
Khối lượng 1 oz mass
1 pound mass
1 slug
1 ton
1 ozm
1 lbm
1 slug
2000 lbm
gram
kilogram
kilogram
kilogram
28.35 g
40.454

kg

14.590 kg
907.20 kg
Lực tác dụng 1 pound force
1 kip
1 lb
1 kip
Newton
kilo Newton
4.448 N
4.448 kN
Vận tốc (Tốc độ) 1 foot/second
1 knot
1 mile/hour
1 mile/hour
1 ft/sec
1 mi/hr
1 mi/hr
1 mi/hr
mét/giây
mét/giây
mét/giây
kilomet/giây
0.305 m/s
0.514 m/s
0.447

m/s

1.609 km/h

Năng lượng 1 foot.pound 1 ft.lb Jun 1.356 J
Công suất 1 foot.pound/second
1 horsepower
1 ft.lb/sec
550 ft.lb/sec
Wat
Wat
1.356 W
745.7 W
Gia tốc 1 foot/second
2
1 inch/second
2
1 ft/sec
2
1 in/sec
2
mét/giây
2
mét/giây
2
0.305 m/s
2

0.025 m/s
2

1.1.2 Lực, hệ lực, hệ lực cân bằng
a. Lực:
Là thước đo tác dụng tương hỗ về cơ học giữa các vật thể

mà kết quả của nó là làm thay đổi hình dáng và kích thước
(biến dạng) hoặc trạng thái chuyển động của các vật thể.
Hay nói một cách vắn tắt:
Lực là nguyên nhân gây ra sự biến đổi chuyển động và
biến dạng của các vật thể. Lực có các đặc trưng sau:

Hình 1.2: Cách biểu diễn lực
 Điểm đặt: Là điểm mà vật nhận được sự tác dụng tương hỗ từ vật khác.

Hình 1.3: Cách biểu diễn điểm đặt lực
 Phương, chiều: Biểu thị phương hướng chuyển động hay khuynh hướng chuyển động của vật thể khi
bị lực tác dụng.
 Độ lớn: Là thước đo sự tác dụng mạnh yếu của lực và được biểu thị là bội số của lực lấy làm đơn vị.
Do đó có thể dùng véctơ để biểu diễn các đặc trưng của lực, ví dụ như:
, ,
F P
 
hay F, P.
Điểm đặt của véctơ là điểm đặt của lực, phương chiều của véctơ biểu diễn phương chiều của lực, độ dài
của véctơ biểu diễn cường độ của lực. Giá của véctơ được gọi là đường tác dụng của lực.
b. Hệ lực:
Hệ thống nhiều lực cùng tác dụng lên một vật thể (chất điểm, vật rắn, hệ vật rắn). Ký hiệu:
1 2 3
( , , , , )
n
F F F F
   
(1.1)

Hướng

Độ lớn
Phương
6

d. Hệ lực cân bằng:
Là hệ lực khi tác dụng lên một vật rắn cân bằng mà
không làm mất trạng thái cân bằng của nó. Ký hiệu:
1 2 3
( , , , , ) 0
n
F F F F

   
(1.2)
e. Hệ lực tương đương:
Hai hệ lực được coi là tương đương với nhau khi thay
thế hệ lực này bằng hệ lực khác thì kết quả tác dụng lên vật
thể không thay đổi. Ký hiệu:

Hình 1.4: Hệ lực tác dụng lên vật rắn
1 2 3 1 2 3
( , , , , ) ( , , , , )
n n
F F F F P P P P

       
(1.3)
f. Hợp lực của hệ lực:
Là lực duy nhất tương đương với hệ lực đã cho. Ký hiệu:
1 2 3

( , , , , )
n
F F F F R

    
(1.4)
1.2 MÔ MEN CỦA LỰC
Mô men của một lực được quy ước là đại lượng véctơ, đặc trưng cho tác dụng cơ học làm vật thể quay
hoặc bị biến dạng quanh một điểm hay một trục nào đó.

1.2.1 Mô men của lực đối với một điểm
a. Định nghĩa:
Mô men của lực F (đặt tại A) đối với một điểm (O) là một véctơ, ký hiệu
( )
O
m F


(hoặc M
O
), có các đặc
trưng sau đây:
 Phương: Vuông góc với mặt phẳng chứa lực F và điểm O.
 Chiều: Nếu nhìn từ điểm ngọn của véctơ thấy lực có xu hướng làm vật quay ngược chiều kim đồng
hồ (hay nhìn thấy véc tơ
r OA



quay một góc nhỏ nhất theo chiều ngược kim đồng hồ tới trùng với phương

và chiều của véctơ biểu diễn lực).
 Giá trị: Bằng tích độ lớn của lực nhân
với khoảng cách từ lực tới điểm O.
( ) .

 
O
m F d F
(1.5)
 Đơn vị: N.m, kN.m, lb.ft…
Từ định nghĩa có thể biểu diễn mô men của
lực đối với điểm O:

Hình 1.6: Cách biểu diễn mô men

( )
O
m F r F
 
 
 
(1.6)
Trong hệ tọa độ Descartes Oxyz có các véc tơ đơn vị
, ,
i j k

 
và hình chiếu của
F


là (F
x
, F
y
, F
z
), của
r


là (x, y, z) ta có thể biểu diễn:
( )
O
x y z
i j k
m F x y z
F F F


 
 
(1.7)
Hình 1.5: Minh họa mô men
F
1
F
2
A

F

n
B

F
3
C

D

7

Hay:
( ) ( ) ( ) ( )
O
z x z y x
m F yF zFy i zF xF j xF yF k
     
    
(1.8)
Hình chiếu véctơ mô men trên các trục tọa độ khi đó có thể xác định:
z
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
O y
x
O x z
y
O y x
z

m F yF zF
m F zF xF
m F xF yF
 
 
 
 
 
 
 
 
 






(1.9)

Hình 1.7: Mô men đối với 3 trục tọa độ

b. Các tính chất của mô men:
 Mô men của một lực với một điểm nằm trên đường tác dụng của nó thì bằng 0.
Từ biểu thức véc tơ xác định mô men:
( )
O
m F r F
 
 

 
(1.10)
Nếu điểm O nằm trên đường tác dụng của lực có nghĩa là
r

và
F

song song với nhau nên tích của nó
bằng không.
 Mô men của hai lực trực đối nhau thì triệt tiêu.
Giả sử hai lực
1
F F
 
 
(trực đối nhau), thì:
1 1
( )
( ) ( ) ( )
O
O O
m F r F
m F r F r F r F m F
 
         
   
         
(1.11)
Điều cần chứng minh đã được làm rõ.

 Hợp mô men của nhiều lực đối với cùng một điểm được thực hiện bằng phương pháp cộng véctơ.
c. Mô men của các lực đối với một điểm cùng nằm trong mặt phẳng:
Khi các lực nằm trong cùng mặt phẳng với điểm
O thì véctơ mô men của các lực đối với điểm O sẽ
song song với nhau và nằm trên cùng một trục, khi
đó ta sẽ dùng khái niệm mô men là một lượng đại số
để đơn giản trong tính toán và được định nghĩa như
sau:

Mô men của lực F đối với điểm cố định A không
nằm trên đường tác dụng của nó là đại lượng đại số
có giá trị bằng tích số giữa giá trị của lực F và
khoảng cách từ đường tác dụng của lực đến điểm A.
( ) .
O
m F d F

(1.12)

Hình 1.8: Mô men c
ủa lực đối với một điểm nằm
trên cùng mặt phẳng
F

x

y
m
O
(F) = d.F

A

d

8

Mô men có giá trị dương khi nó có tác dụng làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ, trong trường hợp
ngược lại nó có giá trị âm.
Nó cũng thỏa mãn các tính chất:
1. Mô men của một lực với một điểm nằm trên đường tác dụng của nó thì bằng 0.
2. Mô men của hai lực trực đối nhau thì triệt tiêu.
3. Muốn hợp các mô men cùng nằm trên mặt phẳng ta dùng phép cộng đại số.
1.2.2 Mô men của lực đối với một trục
a. Định nghĩa:
Mômen của lực F đối với trục

ký hiệu là
( )
m F


là đại lượng đại số có giá trị bằng mômen của lực
F’ đối với điểm O, với F’là hình chiếu của lực F lên mặt phẳng

vuông góc trục

. O là giao điểm giữa
trục

và mặt phẳng


.
( ) ( ')
O
m F m F


 
(1.13)

Hình 1.9: Mô men của lực đối với một trục
Mô men của lực đối với một trục có giá trị dương khi làm cho vật có xu hướng quay ngược chiều kim
đồng hồ nếu nhìn đầu mút của trục và ngược lại có giá trị âm.
Hợp mô men của các lực đối với cùng một trục có thể thực hiện bởi phương pháp cộng đại số.
b. Tính chất:
Mô men của lực đối với trục bằng không khi lực song song hoặc cắt trục.
( ) 0 ( ) . 0
' '
O
m m F dF F

   
 
(1.14)
Ở đây, F’ là hình chiếu của F lên mặt phẳng vuông góc với trục

. Do đó khi
F

//


thì F’ = 0. Còn
khi
F

cắt

thì d = 0.
Do vậy, trong cả hai trường hợp thì
( )
m F


đều bằng 0.
Ta thấy, trong cả hai trường hợp này đường tác dụng của lực
F

và

là đồng phẳng. Do đó khi xét hệ lực
đồng phẳng và trục cũng nằm trong mặt phẳng ấy thì mô men của hệ lực với đối với trục cũng triệt tiêu.
1.2.3 Quan hệ giữa mô men của lực đối với một điểm cố định với mô men của lực đối với
trục đi qua điểm cố định đó
Quan hệ giữa mô men của một lực đối với một điểm và mô men
của nó đối với trục đi qua điểm đang xét được mô tả qua định lý sau.
 Định lý:
Mô men của lực F đối với trục

bằng hình chiếu lên trục


của mô men lực
F

đối với điểm bất kỳ nào đó trên trục

.
( ) ( )
/
O
m mF F
 

 
 

 
(1.15)


Hình 1.10: Minh họa định lý
O

r

1
F

2
F


F

1
r F



2
r F



r F



9

 Chứng minh:
Ta phân tích:
1 2
F F F
 
  
.
Ta có:
1 2
( )
( )

O
m
F r F r F F
    

   
 
.
Hay:
1 2
( )
O
m
F r F r F

  

  
 
(*)
Chiếu (*) lên trục ta được:
1 2
( )
/ / /
O
m F r F r F
  

     
  

     

  
 

Rõ ràng:
2
/ 0
r F

 
 
 


và
1 1
/
r F r F

 
  
 
 
 
.
Như vậy:
1
( ) ( )
/

O
m r mF F F
 
 
 

 
 
  

1.2.4 Quan hệ giữa mô men của lực đối với một điểm cố định với mô men của lực đối với 3
trục vuông góc đi qua điểm cố định đó
Vận dụng định lý trên ta có mối quan hệ:
z
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
O y x
x
O x z y
y
O y x z
z
m F yF zF m F
m F zF xF m F
m F xF yF m F
 
  
 
 

  
 
 
  
 
 

 

 

(1.16)
Ví dụ 1.1
Hãy xác định tổng mô men tác dụng lên điểm P bởi lực W
1

và đối trọng W
2
ở hình 1.11.
Giải:
 Phân tích các lực tác dụng lên hệ như hình vẽ.
 Hai lực gây mô men tại điểm P đó là:
1
W

và
2
W

.

 Lấy mô men tại P ta được:


M
P
= D
1
W
1
– D
2
W
2

Ví dụ 1.2
Hãy xác định độ lớn mô men của các lực tác dụng lên điểm
O trong các trường hợp ở hình 1.12.
Giải:
 Hình 1.12a :
100(2) 200
O
M
 
N.m

 Hình 1.12b :
50(0.75) 37.5
O
M
 

N.m

 Hình 1.12c :
0
40(4 2cos30 ) 229
O
M   
lb.ft



Hình 1.11: Minh họa ví dụ 1.1
 Hình 1.12d :
0
60(1sin 45 ) 42.4
O
M  
lb.ft

 Hình 1.12e : 7(4 1) 21.0
O
M   
kN.m



10

Hình 1.12: Minh họa ví dụ 1.2
Ví dụ 1.3
Một lực F = 400 N tác dụng vào một mã gia cường với
một góc hợp với phương thẳng đứng 1 góc

= 30
0
như hình vẽ.
Hãy xác định mô men của lực F gây ra tại điểm O.
Giải:
 Phân tích lực F thành 2 thành phần F
x
và F
y
:
0
0
400sin30
400cos30
x
y
F
F


N
N

 Chọn chiều dương của mô men ngược chiều kim đồng hồ
và lấy mô men của hai lực F

x
và F
y
quanh điểm O ta được:
0 0
( ) ( )
400sin30 (0.2) 400cos30 (0.4)
-98.6 N.m
O O x O y
M M F M F 
 

 



Hình 1.13: Minh họa ví dụ 1.3
Ví dụ 1.4:
Hãy xác định mô men của lực F = 600 N gây ra tại điểm O
(hình 1.14) bằng 5 cách khác nhau.
Giải:
 Sử dụng công thức M = F.d trong đó:
0 0
4 cos40 2 sin 40 4.35
600
d
F

  




m
N

Lúc này ta có:
. 600(4.35) 2610
O
M F d  
N.m


11


Phân tích lực F làm 2 thành phần là F
x
và F
y
trong đó:
0
0
600 cos40 460
600 sin 40 386
x
y
F
F

 



 


N
N

Lúc này ta có:
4. 2. 4(460) 2(386)
2610
O x y
M F F
   

N.m

 Trượt lực F dọc theo đường tác dụng của nó về điểm B, sau
đó phân tích lực F làm 2 thành phần F
x
và F
y
, trong đó thành phần
F
y
không gây ra mô men tại O (vì F
y
qua O). Do đó mô men tại O
sẽ là:
1

.
O x
M F d


Trong đó:
0
1
4 2.tan 40 5.68
d   
m

Lúc này ta có:
1
. 460(5.68) 2610 N.m
O x
M F d
  




Tương tự ta cũng trượt lực F dọc theo đường tác
dụng của nó về điểm C, sau đó phân tích lực F làm 2 thành
phần F
x
và F
y
, trong đó thành phần F
x

không gây ra mô
men tại O (vì F
x
qua O). Do đó mô men tại O sẽ là:

2
.
O y
M F d

Trong đó:
0
2
2 4. 40 6.77
d   
cotg m

Lúc này ta có:
2
. 3.86(6.77) 2610
O y
M F d  
N.m

 Sử dụng biểu thức véc tơ mô men:
O OA
M r F
 



.

Hình 1.14: Minh họa ví dụ 1.4
Trong đó:




0 0
2. 4. 0. 2. 4.
(600cos40 . 600sin 40 . 0. ) (460. 386. )
OA
r i j k i j
F i j k i j

    



    


   



   

Lúc này ta có:
2 4 0

460 386 0
O
i j k
M
 
 

 
 

 

 

     
4(0) 0( 386) . 0(460) 2(0) . 2( 386) 4(460) . 2610.i j k k
 
         
 
 
 
N.m

Dấu “-“ chứng tỏ M
O
có chiều ngược với trục z và có trị số là:
2610
O
M 
N.m

.
Ví dụ 1.5
Xác đ
ịnh tổng mô men c
ủa 4 lực tác dụng l
ên đi
ểm O
như hình 1.15.
Giải:
Giả sử chiều dương của mô men ngược chiều kim đồng
hồ. Ta có:
0 0
.
50(2) 60(0) 20(3sin30 ) 40(4 3cos30 )
334
O
M F d
     
 

N.m

Vậy: Tổng mô men của 4 lực tác dụng lên điểm O là
334
O
M 
N.m
. Dấu “-“ chứng tỏ nó quay cùng chiều kim
đồng hồ.

Hình 1.15: Minh họa ví dụ 1.5
12

1.3 NGẪU LỰC
1.3.1 Khái niệm về ngẫu lực
Ngẫu lực là cặp lực song song trái chiều và có cùng
cường độ. Trong hệ lực không gian ngẫu lực được quy ước
như một đại lượng véctơ và có các đặc trưng như sau:
 Phương: Vuông góc với mặt phẳng chứa các lực.
 Chiều: Đứng từ đầu ngọn thấy ngẫu làm vật quay ngược
chiều kim đồng hồ.
 Cường độ: M = d.F (d: khoảng cách giữa hai đường tác
dụng của hai lực ngẫu, F: giá trị của lực).
 Đơn vị: N.m, kN.m, lb.ft, kip.ft.

Hình 1.16: Minh họa ngẫu lực
1.3.2 Các tính chất của ngẫu lực
a. Tính chất 1:
Mô men đối với điểm bất kỳ nào đó của cặp ngẫu lực luôn luôn
không đổi và bằng véctơ mô men của ngẫu lực.
b. Tính chất 2:
Véctơ mô men của ngẫu lực bằng véctơ mô men của lực thành
phần thứ nhất đối với điểm bất kỳ nào đó trên đường tác dụng của lực
thành phần thứ hai.
Chứng minh:
Giả sử ta có cặp ngẫu
( , )
F F

 

có đường tác dụng đi qua A và B,
ta hãy tính mô men của cặp lực ngẫu với điểm O.
( )
( ) ( ) ( ) ( )
O A
O A A
m F r F
m F r F r r F
 
       
 
 
  
   

( ) ( ) ( ) ( )
( )
O O A A
B
m F m F r r F r F
r F M m F
       
   
   
    
  
 

Hình 1.17: Minh họa tính chất 1,2
của ngẫu lực
c. Tính chất 3: Hai ngẫu lực có véctơ mô men bằng nhau thì tương đương với nhau.

Hình 1.18: Minh họa tính chất 3 của ngẫu lực
Sự chuẩn xác của nhận xét trên được minh chứng bởi hai tính chất sau:
 Hai ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng, có cùng chiều, và cùng giá trị thì tương đương nhau.
 Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi ta dời ngẫu lực trong mặt phẳng hay đến mặt phẳng song
song với chính nó.
Từ đây ta có thể suy ra:
 Ngẫu lực là véctơ tự do.
 Tác dụng của ngẫu sẽ không thay đổi nếu ta thực hiện các phép biến đổi mà không làm thay đổi
phương chiều và cường độ của véctơ mô men.
13

d. Tính chất 4:
Hợp hai ngẫu lực được một ngẫu lực có véctơ mô men
bằng tổng các véctơ mô men của hai ngẫu lực đã cho.
Ví dụ 1.6
Khối trụ chịu tác dụng của một ngẫu lực gồm hai lực
song song ngược chiều và có độ lớn 100 N (hình 1.20). Để
thay thế ngẫu lực này người ta tác dụng vào khối trụ hai
lực P và –P, mỗi lực có độ lớn 400 N. Hãy xác định góc


trong trường hợp này.

Hình 1.19: Minh họa tính chất 4 của ngẫu lực
Giải:
 Ngẫu lực do hai lực ban đầu sinh ra có độ lớn là:

1
100(100) 10000 N 10 kN
M   

 Ngẫu lực sinh ra do hai lực P và –P có độ lớn là:
2
400(40cos ) 16cos kN
M
 
 

 Theo yêu cầu của đề bài ta có:
1 2
0
10 16cos
51.3
M M


  
 

Ví dụ 1.7
Hãy xác định tổng ngẫu lực của 3 cặp ngẫu lực tác dụng vào
tấm phẳng như hình 1.21.
Giải:
 Trên hình vẽ chúng ta thấy khoảng cách các cặp ngẫu lực
lần lượt là d
1
, d

2
, d
3
. Chọn chiều dương ngược chiều kim đồng hồ,
chúng ta có:

Hình 1.20: Minh họa ví dụ 1.6
1 1 2 2 3 3
-200(4) 450(3)-300(5) -950 lb.ft
R
M M F d F d F d    
  
 

Như vậy, tổng ngẫu lực tác dụng lên tấm phẳng có độ
lớn là
950 lb.ft
R
M

. Dấu trừ chứng tỏ nó quay cùng
chiều kim đồng hồ.
1.4 HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
Toàn bộ lý thuyết của phần tĩnh học được xây dựng
trên 6 tiên đề dưới đây:
1.4.1 Tiên đề 1 (Hệ hai lực cân bằng)
Điều kiện cần và đủ để hai lực cân bằng là chúng có
cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau, có cùng
cường độ và cùng điểm đặt.

Hình 1.21: Minh họa ví dụ 1.7
1 2
F F
 
 
(1.15)
1.4.2 Tiên đề 2 (Thêm bớt lực)
Tác dụng của một lực sẽ không thay đổi khi ta thêm vào
hay bớt đi hai lực cân bằng.

Hình 1.22: Hình minh họa tiên đề 1
Có thể mở rộng cho hệ lực:
Tác dụng của hệ lực sẽ không thay đổi khi thêm hay bớt một hệ lực cân bằng.
 Hệ quả 1: Khi ta trượt lực trên đường tác dụng của nó thì tác dụng của lực lên vật thể không thay
đổi.
14

Có thể chứng minh bằng cách; giả sử có lực
F

đạt A, trên
đường tác dụng của nó tại B thêm hai lực trực đối là
( ', '')
F F
 

với điều kiện
( ' '' )
F F F
  

  
, theo tiên đề 2 ta có:



'( ', '')
F F F F
   


Hình 1.23: Cách chứng minh hệ quả 1
Theo tiên đề 1, hai lực
( , '')
F F
 
là các lực cùng phương ngược chiều và cùng giá trị nên cân bằng và
theo tiên đề hai ta có thể bớt khỏ hệ lực, như vậy hệ lực sẽ tương đương với
'
F

đặt B hay nói cách khác đi
có thể trượt
F

trên đường tác dụng của nó từ A đến B mà không làm thay đổi sự tác dụng của nó lên vật
rắn. Quá trình được minh họa như sau:





( ', ''), ' ( '', ), ' '
F F F F F F F F
  
       
(1.16)
 Hệ quả 2: Khi hệ lực cân bằng thì một lực bất kỳ của hệ lực ấy sẽ là lực trực đối với hợp lực của các
lực còn lại.
Có thể chứng minh hệ quả này như sau: giả sử có hệ lực
1 2 3
( , , , , )
n
F F F F
   
nếu gọi
'
R

là hợp lực của các
lực
2 3
( , , , ) '
n
F F F R

   
, thì lực đã cho sẽ tương đương với hệ
1
( , ')
F R
 

và tất nhiên vẫn là hệt lực cân bằng và
điều tất nhiên là
1
'
F R

 
có nghĩa là
1
( , ')
F R
 
trực đối với nhau, hệ quả được chứng minh.
1.4.3 Tiên đề 3 (Hình bình hành lực)
Hai l
ực tác dụng l
ên m
ột vật rắn tại c
ùng m
ột điểm sẽ t
ương
đương với một lực đặt tại điểm chung đó và có giá trị phương và
chiều được biểu diễn bằng véctơ tổng hai véctơ biểu diễn hai lực
thành phần.
1 2
R F F
 
  
(1.17)
Từ tiên đề 3 cho phép chúng ta tìm hợp lực của hệ gồm nhiều

lực có cùng điểm đặt, hoặc phân tích một lực đã cho thành hai hay
ba thành phần đã biết phương.

Hình 1.24: Cách hợp lực của hai lực

1.4.4 Tiên đề 4 (Tác dụng và phản tác dụng)
Lực tác dụng tương hỗ giữa hai vật thể bao giờ
cũng có cùng đường tác dụng, cùng độ lớn và ngược
chiều nhau.

A B
F F 
 
(1.18)
Lưu ý: Lực tác dụng và phản tác dụng không
phải là hai lực cân bằng nhau vì chúng được đặt lên
hai vật khác nhau.

Hình 1.26: Tác dụng và lực phản tác dụng
F
1
F
2
F
3
F
4
4321
FFFFR 

x
y
F
x
F
y
R

F
x
x
F
y
y
z
F
z
F

F’
2
=F
2
F’
4
= F
4
F
3
’= F

3
Hình 1.25: Hợp lực nhiều lực và phép phân tích lực
F
B
F
A
15


Hình 1.27: Minh họa hai lực tác dụng và phản tác dụng
1.4.5 Tiên đề 5 (Hóa rắn)
Vật biến dạng ở trạng thái cân bằng khi hoá rắn nó vẫn cân bằng.

Hình 1.28: Hóa rắn kết cấu
Tiên đề này cho phép chúng ta phần nào đó đơn giản hoá trong khi giải các bài toán của vật biến dạng.
Tuy nhiên khi áp dụng tiên đề này cần chú ý: Các điều kiện cân bằng của vật rắn tuyệt đối chỉ là điều kiện
cần khi xét cân bằng của vật biến dạng.
1.4.6 Tiên đề 6 (Giải phóng liên kết)
Vật rắn chịu liên kết cân bằng có thể xem là vật tự do cân bằng khi thay thế các liên kết bằng các lực
liên kết, khi đó các lực tác dụng và các lực liên kết tác dụng lên vật rắn sẽ là hệ lực cân bằng.

Hình 1.29: Giải phóng liên kết hệ vật rắn
Ví dụ 1.8
Một cái móc đinh vít chịu tác dụng của 2 lực F
1
và F
2
như
hình 1.30a. Hãy xác định độ lớn và hướng của hợp lực tác dụng
lên đinh vít.

Giải:
 Áp dụng tiên đề hình bình hành lực ta xác định được hợp
lực F
R
. Cách xác định được thể hiện trên hình 1.30b.
 Xác định F
R
bằng cách sử dụng định lý Cosin trong tam
giác, được thể hiện trên hình 1.30c.
2 2 0 2 2 0
1 2 1 2 1 2 1 2
2 cos115 2 cos65
R
F F F F F F F F F     


(a)
Hóa rắn
Giải phóng
liên kết
16


Hình 1.30: Minh họa ví dụ 1.8
Ta có:
2 2 0
100 150 2(100)(150)cos65
10000 22500 30000(0.4226) 212.6 N
213 N
R

F   
   


 Áp dụng định lý Sin để xác định góc

. Ta có:
0 0
0
150 212.6 150
sin (sin115 ) 39.8
sin sin115 212.6
 

    

 Như vậy hợp lực F
R
hợp với phương ngang một góc:
0 0 0 0
15 39.8 15 54.8
 
    

Ví dụ 1.9
Hãy xác định độ lớn của lực F và hợp lực F
R
trên hình 1.31a, nếu biết phương của hợp lực F
R
trùng với

trục y.

Hình 1.31: Minh họa ví dụ 1.9
Giải:
 Dựa vào tiên đề 3 ta xác định được hợp lực như hình 1.31b.
 Áp dụng định lý Sin trong tam giác như hình 1.31c ta có:
0 0
200
245 lb
sin60 sin 45
F
F  

0 0
200
273 lb
sin 75 sin 45
R
R
F
F  



17

Ví dụ 1.10
Hãy xác định góc

hợp bởi thanh A và tấm tôn như hình 1.32a để cho hợp lực F

R
của hai lực F
A
và F
B

có phương nằm ngang và chiều hướng sang phải?
Giải:
 Áp dụng tiên đề hình bình hành lực để xác định hợp lực
F
R
như hình 1.32b.
 Sử dụng định lý Sin trong tam giác ta có:
0 0
0
0
sin(90 ) sin50
sin(90 ) 0.5745
6 8
54.93




   
 

 Theo hình 1.32c ta có:



0 0 0 0 0
180 90 54.93 50 94.93

    

 Áp dụng định lý Cosin ta tìm được hợp lực F
R
:
2 2 0
8 6 2(8)cos94.93
10.4 kN
R
F   




Hình 1.32: Minh họa ví dụ 1.10
Ví dụ 1.11
Hợp lực F
R
của hai lực hoạt động tác
dụng lên khúc gỗ có phương dọc theo trục x
và có độ lớn là 10 kN. Hãy xác định góc

của
dây cáp mắc vào B để cho F
B
đạt giá trị nhỏ
nhất. Độ lớn của lực ở mỗi dây cáp trong

trường hợp này?
Giải:
 Dựa vào tiên đề hình bình hành lực để
xác định lực F
B
. Dựa vào hình 1.33b, để F
B

đạt giá trị nhỏ nhất thì F
B
phải có phương
vuông góc với F
A
.
 Theo hình 1.33b ta có:
0
0
10sin30 5.00 kN
10cos30 8.66 kN
B
A
F
F
 
 

 Góc  được xác định như sau:
0 0 0
90 30 60


  
.

a)

b)

0
90


6 kN
8 kN
0
50
R
F
c)

0
90


0
50
0
40
6 kN
8 kN
0

50
R
F
A
F
B
F
10 kN
0
30

)
b
A
F
B
F
10 kN
0
30
)
c

Hình 1.33: Minh họa ví dụ 1.11
a)
18

1.5 LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT
1.5.1 Vật rắn tự do và vật rắn liên kết
a. Vật rắn tự do:

Là vật thể có thể di chuyển trong không gian theo thời gian mà không chịu bất kỳ một ràng buộc hay
cản trở nào.
b. Vật rắn không tự do (hay còn gọi vật rắn chịu liên kết):
Là vật rắn mà chuyển động của nó theo hướng nào đó bị ngăn trở bởi một vật khác.
Vật cản trở chuyển động đó gọi là vật gây liên kết.
c. Liên kết:
Những điều kiện cản trở di chuyển của vật khảo sát được gọi là những liên kết đặt lên vật ấy.
1.5.2. Lực liên kết, lực hoạt động và phản lực liên kết.
a. Lực liên kết:
Những lực đặc trưng cho tác dụng tương hỗ giữa các vật có liên kết với nhau qua chỗ tiếp xúc hình học.
b. Lực hoạt động:
Những lực tác dụng lên vật khảo sát có thể gây ra chuyển động nếu không có liên kết.
c. Phản lực liên kết:
 Phản lực liên kết: Là lực tác dụng của vật liên kết lên vật rắn khảo sát
 Áp lực: Lực liên kết do vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết.
1.6 CÁC DẠNG LIÊN KẾT THƯỜNG GẶP VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT CỦA NÓ
1.6.1 Liên kết tựa
Mặt tiếp xúc nhẵn phản lực liên kết có phương trùng với
pháp tuyến chung của mặt tiếp xúc.
Khi hai bề mặt nhám (có ma sát), phản lực liên kết có hai
thành phần:
 Pháp tuyến
 Tiếp tuyến (ma sát)
1.6.2 Liên kết dây mềm


Hình 1.34: Liên kết tựa

Khi dây không có trọng lượng (trọng lượng nhỏ), sức căng
theo trục của dây.

 Khi dây có trọng lượng sức căng theo phương tiếp tuyến
của dây.
1.6.3 Liên kết con lăn trên mặt phẳng nhẵn
Phản lực liên kết có phương vuông góc với mặt phẳng tựa.


Hình 1.35: Liên kết dây mềm

Hình 1.36: Liên kết con lăn
1.6.4 Liên kết khớp trụ trượt (bản lề trụ) và máng trượt nhẵn
Phản lực có phương pháp tuyến với phương dịch chuyển

Hình 1.37: Liên kết bản lề trụ và máng trượt
19

1.6.5 Liên kết ngàm
Ngoài các phản lực theo phương x, y, z còn có mô men phản lực M.


Hình 1.38: Liên kết ngàm
1.6.6 Liên kết gối tựa (gối cố định)
Nếu chốt không ma sát có phản lực chưa thể xác định phương
nên thường được phân tích thành hai thành phần.
Nếu vật bị chốt cứng vào gối phản lực còn có mô men phản
lực.

Hình 1.39: Liên kết gối tựa
1.6.7 Một số liên kết khác
Dạng liên kết Phản lực liên kết
1. Liên kết tựa trên mặt phẳng nhẵn

2. Liên kết tựa trên mặt phẳng gồ ghề


3. Con lăn chuyển động trên đường ray


Ph
ản lực li
ên k
ết có ph
ương
vuông góc với mặt tựa tiếp xúc
Ngoài phản lực pháp tuyến
còn có phản lực ma sát.
Ngoài phản lực pháp
tuyến còn có phản lực
theo phương ngang để
cho con lăn không trượt
khỏi rãnh.
20

4. Khớp cầu


5. Ngàm


6. Ổ đỡ chặn

7. Khớp trụ trượt không nối cứng


8. Khớp trụ trượt nối cứng


9. Khớp bản lề trong không gian








Đặt 3 phản lực theo 3
phương của trục.
Ngoài các ph
ản
lực còn có mô
men phản lực
21

Chương 2
HỆ LỰC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

22

2.1 PHÂN LOẠI HỆ LỰC
Như đã biết: Hệ lực là hệ thống gồm các lực cùng tác dụng lên một vật thể. Tùy thuộc vào đường tác
dụng của các lực mà người ta phân ra các hệ lực như sau:

2.1.1 Hệ lực tổng quát (hệ lực không gian)

Là hệ lực có các lực phân bố trong không gian, bao gồm các
lực và ngẫu lực.


Hình 2.1: Hệ lực không gian
2.1.2 Hệ lực đồng quy

Là hệ lực có đường tác dụng của các lực gặp nhau tại một
điểm.


Hình 2.2: Hệ lực đồng quy
2.1.3 Hệ lực song song

Là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng song song với
nhau.

Hình 2.3: Hệ lực song song
2.1.4 Hệ lực phẳng

Là hệ lực gồm các lực và mô men cùng nằm trên một mặt
phẳng.


Hình 2.4: Hệ lực phẳng
2.1.5 Hệ ngẫu lực

Hệ đơn thuần gồm các ngẫu lực.


Hình 2.5: Hệ ngẫu lực
23

2.1.6

Hệ

lực

phân

bố

Hệ lực phân bố là hệ lực song song và phân bố theo một quy
luật nào đó trên một đường hay mặt phẳng.
Trong phần này chúng ta chỉ tìm hiểu về lực phân bố trên
một đường thẳng.

Xét một dầm thẳng chịu tác dụng của hệ lực song song phân bố
như hình 2.6 theo quy luật:
( )
w w x

 
(2.1)
Giá trị của lực phân bố cũng theo quy luật:

Hình 2.6: Hệ lực phân bố
( )
w w x

(2.2)
( )
w w x

- gọi là cường độ của phân bố lực trên dầm theo chiều dài.
Ta chỉ xét hàm
( )
w w x

đơn trị. Để tìm véctơ chính và mô men chính cũng như hợp lực của hệ lực
phân bố ta chia nhỏ dầm thành n đoạn. Xét đoạn dầm
i
x

. Hệ lực phân bố trên đoạn
i
x


xem như không đổi
và tương đương với lực:
,
( ).
i i i
F w x x
 


với
,
1
,


iii
xxx (2.3)
Khi đó véctơ chính của hệ lực song song cùng chiều với
i
F

và có giá trị:
,
1
( ).
n
i i
i
R w x x


 

(2.4)
Cho n  ta có:




n
i
ii
n
xxwR
1
,
).(lim
(2.5)
Hay :


l
dxxwR
0
)( (2.6)
Ta nhận thấy rằng: Giá trị véctơ chính của hệ lực phân bố chính bằng diện tích của biểu đồ lực phân bố
và đây cũng chính là giá trị của hợp lực.
Mô men của lực phân bố trên đoạn
i
x với điểm O có thể tính bởi công thức:

( ) ( )
i
o i i i
m F w x x x
 

(2.7)
Mômen chính của hệ lực đối với điểm O (đầu mút của dầm) sẽ là:





l
n
i
iii
n
o
xdxxwxxxwM
0
1
)()(lim
(2.8)
Khoảng cách điểm đặt của hợp lực đến điểm O bởi công thức:



l
l

o
dxxw
xdxxw
R
M
d
0
0
)(
)(
(2.9)
a.

Cường độ lực phân bố đều
:

[w(x) = w]

Hợp lực của hệ lực:
wLwdxR
l


0
(2.10)
Khoảng cách điểm đặt đến đầu dầm:
2
0
0
L

wdx
wxdx
d
l
l



(2.11)

Hình 2.7: Hệ lực phân bố đều
24

Vậy hợp lực đặt ra tại điểm giữa của dầm, có trị số bằng diện tích của hình chữ nhật phân bố lực.
b. Cường độ lực phân bố hình tam giác:







L
x
wxw )(
Hợp lực của hệ lực có giá trị:
2
0
L
wdx

L
x
wR
l


(2.12)
Và khoảng các từ điểm đặt của hợp lực đến đầu dầm:

Hình 2.8: Hệ lực phân bố tam giác
2
0
2
0
.
2
3
3
.
2
l
l
x
w L
w xdx
L
L
d L
w L
x

w dx
L
L
  


(2.13)
Vậy hệ lực phân bố theo quy luật tuyến tính (tam giác) có hợp lực bằng
.
2
L
R w

(Diện tích của tam
giác phân bố lực), và cách đỉnh của tam giác phân bố lực một đoạn bằng
2
3
d L

(qua trọng tâm của tam giác).
c. Cường độ lực phân bố theo kiểu hình thang:
Trong trường hợp này ta có thể phân hệ lực thành hai hệ, một hệ có
cường độ phân bố không đổi, một hệ có cường độ phân bố theo hình tam
giác để tìm hợp lực của hai hệ này sau đó hợp lại.
1 1
.
R w L


 

2 2 1
1
2
R w w L
 

2.2 VÉCTƠ CHÍNH VÀ MÔ MEN CHÍNH CỦA HỆ LỰC
2.2.1 Véctơ chính
Véctơ chính của hệ lực
'
R
là tổng hình học của các véctơ biểu diễn
các lực thuộc hệ lực.

Hình 2.9: Cường độ lực phân bố
hình thang


1 2 3
'
n i
R F F F F F
     

     
(2.14)
Chiếu lên các trục tọa độ ta được:
'
1 2
'

1 2
'
1 2



x x x nx ix
y y y ny iy
z z z nz iz
R F F F F
R F F F F
R F F F F

    


    


    





(2.15)
2.2.2 Mô men chính của hệ lực
Mô men chính của hệ lực M
O
đối với tâm O, là một véctơ bằng tổng hình học các véctơ mô men các

lực đối với tâm O.
1 2
( ) ( ) ( )
O
O O O
n
M m F m F m F
   
      
(2.16)
Chiếu lên các trục tọa độ ta được:
1 2
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n i
Ox x x x x
n i
Oy y y y y
n i
Oz z z z z
M m F m F m F m F
M m F m F m F m F
M m F m F m F m F

    



    


    





   
   
   
(2.17)