Tuyển tập các đề thi Học sinh giỏi môn toán lớp 12 năm học 20092010

1
2
x

x 7

x2 7 x
x 1
x 2

x2

y2

2

z
xt

a b
1 ab

2
2

9

2

t 16

yz 12

3
3

1
2

u1
un

1

1
2
un un

1

1

u1 1 u2 1 u3 1

...

1
un 1


UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
MƠN THI: TỐN – LỚP 12 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011
================

Câu 1:(5 điểm)
1/ Cho hàm số y  x 3  3x  2 có đồ thị là (T). Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng trên (T),
tiếp tuyến của (T) tại các điểm A, B, C lần lượt cắt (T) tại các điểm A’, B’, C’ (tương ứng
khác A, B, C). Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng.
2/ Cho hàm số y  x 2n 1  2011x  2012 (1) , chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n đồ thị
hàm số (1) ln cắt trục hồnh tại đúng một điểm.
Câu 2:(5 điểm)
1/ Giải phương trình: log 2 x  log 4 x  log 6 x  log3 x  log 5 x  log7 x  x   .
2

2/ Giải phương trình:  5x  6  

1
5x  7

 x2 

1
x 1

x  .

Câu 3:(3 điểm)
Kí hiệu Ck là tổ hợp chập k của n phần tử  0  k  n; k, n   , tính tổng sau:
n
2
2009
2010
S  C0  2C1  3C 2010  ...  2010C 2010  2011C2010 .
2010
2010
Câu 4:(5 điểm)
1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành, AD  4a  a  0  , các cạnh
bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất.
2/ Cho tứ diện ABCD có BAC  60 0 , CAD  1200 . Gọi E là chân đường phân giác trong góc A
của tam giác ABD. Chứng minh rằng tam giác ACE vuông.
Câu 5:(2 điểm)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x 2  y 2   . Chứng minh rằng:
cos x  cos y  1  cos  xy  .
…………………… HẾT……………………
(Đề thi gồm có 01 trang)



ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12 - 1
(Thời gian làm bài 180’)
ĐỀ SỐ 1

Câu 1: Chứng minh rằng hàm số y = x4- 6x2 + 4x + 6 luôn luôn có 3 cực trị đồng
thời gốc toạ độ O là trọng tâm của các tam giác tạo bởi 3 đỉnh và 3 điểm cực trị của đồ thị
hàm số.
Câu 2: Giải hệ phương trình.
x+y =

4z 1

y+z=

4x  1

z+x=

4y 1

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc oxy cho parabơn (P): y2
= 4x. M là một điểm di động trên (P). M  0, T là một điểm trên (P) sao cho T  0, OT
vuông góc với OM.
a. Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì đường thẳng MT ln đi qua một
điểm cố định.
b. Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì thì trung điểm I của MT chạy trên
1 pa ra bol cố định .
Câu 4: Giải phương trình sau:
sinx + siny + sin (x+y) =
4 n

Câu 5: Cho dãy số In =



2n

3 3
2

cos x
dx ,
x

Tính lim In
n  

Câu 6: Cho 1  a > 0, chứng minh rằng.
ln a
1 3 a
<
a 1 a  3 a

nN*


ĐÁP ÁN
Câu 1: (3 điểm )
Tập xác định: D = R y = x4 - 6x2 + 4x + 6.
y’ = 4x3 - 12x + 4
y’ = 0 <=> g(x) = x3 - 3x + 1 = 0
(1)
Ta có g(x), liên tục g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) = 3
 g(- 2).g(-1)  0


 g(-1).g(1)  0
 g( 1).g( 2)  0

g(x) liên tục nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn :
- 2 < x1 < -1 < x2 < 1 < x3 < 2
1
* Ta có y = y’.x- 3.(x2 - x - 2)
(1)
4
Gọi các điểm cực trị là A (x1,y1), B(x2,y2), C (x3,y3) và G (x0,y0) là trọng tâm tam
giác ABC.
Theo ĐL Viet có
x1 + x2 + x3 = 0
(2)
x1 x2 + x2x3 = x3 x1 = -3
(3)
x  x  x3
Từ (2) suy ra x0 = 1 2
=0
3
Từ (1) (2) (3) suy ra:
1
2
2
y0 = (y1+y2+y3) = -3 ( x12  x2  x3 )-(x1+x2+x3) - 6
3
= -3 (x1 + x2 + x3)2 - 2 (x1x2 + x2x3 + x3 x1) - 6 = -3 (0 - 2 (-3) - 6) = 0
Vậy G (0;0)  0(0;0) (ĐPCM)
Câu 2: ( 2 điểm)

x+y = 4 z  1
(1)
1
y + z = 4x  1
(2)
(I) đk x,y,z >
4
z + x = 4y 1
(3)
áp dụng bất đẳng thức cosi tacó:
(4 z  1)  1
4 z  1  (4 z  1).1 <
= 2z
(1’)
2
Tương tự 4 x  1 < 2x
(2’)
4 y  1 < 2y (3’)
Từ (1’) ;(2’) ; (3’) và (1) ; (2) ; (3) suy ra.
2(x+y+z) = 4 z  1  4 x  1  4 y  1 < 2z + 2x + 2y
(4)
Từ (4) suy ra:
4z - 1 = 1
1
(I) <=>
4x - 1 = 1
<=>
x=y=z=
nghiệm đúng (I)
2

4y - 1 = 1
1
Vậy hệ (I) có nghiệm x = y = z =
2
2
Câu 3: (P): y = 4x


 y2

 2

M  1 ; y 1  ; T  y 2 ; y 2  với y1,y2  0; y1  y2.
a. (3điểm ) Giả sử
 4

 4





2
2
y y
OTOM
 OT.OM  0  1 . 1  y 1 .y 2  0
4 4


y1 . y2 + 16 = 0
(1)
2
y
x- 1
y - y1
4

Phương trình đường thẳng MT:
2
2
y 2 - y1
y 2 y1
4 4
2
 4x - y 1 = (y1 + y2). (y-y1)
 4x - (y1 + y2) y - 16 = 0  4(x- 4)- (y1 + y2) y= 0
Nên đường thẳng MT luôn đi qua điểm cố định J (4;0)
b. (3điểm) Gọi I (x0, y0) là trung điểm MT thì
1 2
x0 = y 1  y 2 
(1)
2
8
y  y2
y0 = 1
(2)
2
1
1

Từ (1) suy ra x0 = (y1+y2)2 - 2y1 y2 = (2y0)2 - 2 (-16)
8
8
1 2
2
= . y 0  4  y 0 = 2x0 - 8
2
Từ đó  I chạy trên parabơn (P) : y2 = 2x = 8 cố định .
Câu 4: (3 điểm)
3 3
sin x + sin y + sinz (x+y) =
(1)
2
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki và từ (1) ta có .
27
3 3 2
(
) = [sinx + siny + sinz (x+y)] 2 < (12 + 12+12).(sin2x + zin2 y + sin2(x+y))
4
2
1  cos 2 x 1  cos 2 y
= 3. 

+sin2 (x+y)
2
2
= 3.[1- cos (x+y) . cos (x-y) + 1 - cos2 (x+y)]
1
1
= 3. 2-(cos (x+y)+ cos (x-y)2) +

cos2 (x-y)
2
4
1
27
1
< 3 (2- 0 + ) =
(2) (Do cos2 (x-y) < 1; (cos (x+y) + cos (x-y)2 > 0
4
4
2
Từ (2) suy ra:
cos2 (x-y) = 1
1
(1) 
cos (x+y) +
cos (x-y) = 0
2


sinx = sin y = sin (x+y) =



 x  3  2k


 y    2n



3



víi k , n  Z

4n 

In 

Câu 5: (3 điểm)



2n

Ta chứng minh:
=



2n

4 n

=



2n

sin x
<
x2
dx
1

2
x
x

* Ta có:
4 n

In <



2n

cos x
dx =
x

* Ta có: In = 

k n

=> JK =



2k

1
(1)
4n
d (sin x) sin x 4n
=
x
x 2n

4 n



4n

4 n

1

 sin x.d ( x )

2n

sin x
dx
x2

1
x  2n , 4n  nên
x2
4n
1
1
1
=

2n
4 n 2n 4 n

2 n 1 2 ( k 1)

( 2 k 1)

cosx
dx
x

0 < In <
4 n

Ta có: In

3
2



2k

sin x
+
x2

sin x
dx đặt JK =
x2

2 ( k 1)



( 2 k 1)

sin x
dx >
x2

2 ( k 1)



2k

2 ( k 1)

(2)
sin x

dx
x2

1

sin x ( x

2k

2



1
)dx >0
(x   )2

2 n 1

Ta lại có: In =  Jk do (3) nên In > 0

(4)

k n

Từ (2) (4) suy ra 0 < In 

1
4n



(1) đúng

1
= 0 nên Lim I n  0
n  
4n
Câu 6: (3 điểm)
ln a
1 3 a
<
(1) với 1  a > 0
a 1
a3 a
Trong hợp 1: a >1
(1) <=> (a + 3 a )lna < (1 + 3 a ) (a-1)
(2)
Đặt x =
3
3
(2) <=> 3(x +x) lnx < (1+x).(x -1)
x > 1
4
3
3
<=> x + x - x - 1 - 3 (x +x)lnx > 0 (3) x > 1
Đặt f(x) = x4 + x3 - x - 1 -3 (x3 + x)lnx
x 1;+  )

Ta lại có Lim

n  

3

a => x >1

(3)


1
Ta có f’(x) = 4 x3 + 3x2 - 1 - 3 (3x2 + 1) lnx + (x3 + x) . 
x
= 4x3 - 4 - 3 (3x2 + 1) lnx
1
1
f”(x) = 3.(4x2 - 3x - 6xln x - )
f(3)(x) = 3 ( 8x + 2 -6ln x - 9)
x
x
3
2
6(4 x  3 x  1) 6( x  1)(4 x  4 x  1
6 2
f(4)(x) = 3.(8-  3 ) =
=
> 0 , x > 1
x x
x3

x3
Suy ra f(3)(x) đồng biến nên [1;+  )
f(3)(x) > f(3)(1) = 0 ... tương tự f’(x)> 0 với x > 1
 f(x)> f (1) = 0 với x >1 suy ra (3) đúng.
1
Trường hợp 2: 0 < a < 1 đặt a =
, a1 > 1 quay về trường hợp 1.
a1


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Trường THPT chuyên
Nguyễn Bỉnh Khiêm

Bài 1) ( 8 điểm)

ĐỀ KIỂM TRA MƠN TỐN LỚP 12
Thời gian : 45 phút
(Dành cho lớp chuyên Anh)

Cho hàm số y =

x3
4
 2 x 2  3x 
3
3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2) Xác định m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt :
x3 – 6x2 + 9x – 4 = 3m2 – 7m
3) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị , biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 1;
Bài 2) ( 2 điểm)

Cho hàm số y =

5
)
3

x3
có đồ thị (C)
x 1

Xác định m để đường thẳng d: y = m(x – 3) + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B thuộc hai
nhánh.
ĐÁP ÁN
Bài 1) ( 8 điểm)
1) (3 điểm)
+ TXĐ: D = R
+ lim y    , lim y   
x 

x 

2

+ y’ = x – 4x + 3 ,

x  1 y  0
y’ = 0  
x  3  y   4
3


+BBT
x
y’
y

-
+

1
0
0

3
0

-

+
+
+

-



4
3

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-  ; 1) và ( 3; +  ), nghịch biến trên khoảng (1; 3)
4
3

Điểm cực đại đồ thị (1,0), điểm cực tiểu đồ thị (3,  )
2
2
. Suy ra điểm uốn đồ thị (2,  )
3
3
x  1
4
+ Điểm đặc biệt : x = 0  y   ., y = 0  
3
x  4

+y” = 2x – 4 , y” = 0  x = 2  y  

+ Đồ thị


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

hx =



x3

 

-2x2 +3x -

3

4
3

4

2

-5

5

-2

2) (2,5 điểm)
Phương trình : x3 – 6x2 + 9x – 4 = 3m2 – 7m 

x3
4
7

 2 x 2  3x   m 2  m (1)
3
3
3
7
3

+ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m 2  m cắt đồ thị
x3
4
4
7
 2 x 2  3x  tại 3 điểm phân biệt    m 2  m  0
3
3
3
3
4
4
 2 7

0  m  1
m  1  m  3
m  3 m  3  0


 4


7

 m
7
7
m 2  m  0
0  m 
3
3


3
3



y=

3) (2,5 điểm)
+ Đường thẳng d qua A(1,

5
5
) với hệ số góc k có phương trình : y = k(x – 1) +
3
3

+ Đường thẳng d tiếp xúc đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
 x3
4
5
2

  2 x  3 x   k ( x  1)  (1)
3
3
3
2

 x  4 x  3  k (2)

x3
4
5
 2 x 2  3x  = (x – 1) ( x2 – 4x + 3) +
3
3
3
2
 x(2x – 9x + 12) = 0  x = 0 .

Thế (2) vào (1) ta có

Thế x = 0 vào (2) ta có k = 3 suy ra phương trình tiếp tuyến y = 3(x – 1) +

5
3


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Bài 2) (2 điểm)

+ Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và d :

x3
 m( x  3)  1
x 1

m  1
 2
mx  2mx  3m  4  0 (1)

+ Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B thuộc hai nhánh khi và chỉ khi (1) có hai
nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện x1 < - 1 < x2

m  0
m  0
m  0


 2
2
   m  m(4  3m)  0  4m  4m  0
 m  0  m  1
m0
x x  ( x  x )  1  0
( x  1)( x  1)  0
 4  3m
2
1
2
 1

 1 2

 2 1  0
 m

**********************


S GIÁO D C – ÀO T O PHÚ YÊN
TRƯ NG THPT PHAN ÌNH PHÙNG
T TỐN

THI CH N H C SINH GI I C P TRƯ NG
Năm h c 2010 – 2011
MƠN TỐN – L P 12
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát
------------------------------

Bài 1: (5 i m)
Cho hàm s : y = x 4 + 2(m + 2)x 2 + m 2 + 3m + 1 .

Tìm t t c các giá tr c a m

th hàm s có ba i m c c tr là ba

nh c a m t tam

giác vuông cân.
Bài 2: (4 i m)

π

Cho f (x) = cos 2x − 2 2 cos  x −  + 2x .
4

π
Gi i phương trình: f '(x) = f '   − 4 .
2

Bài 3: (5 i m)

Cho phương trình: m +

2
x − x2 = x + 1− x .
3

a/ Gi i phương trình khi m = 1.
b/ Tìm các giá tr c a m

phương trình ã cho có nghi m.

Bài 4: (4 i m)

Cho hình chóp S.ABCD có các c nh bên b ng nhau, áy ABCD là hình ch nh t v i
AB = a, BC = a 2 . M t ph ng (P) i qua AB và chia tam giác SCD thành hai ph n sao cho
di n tích ph n th nh t b ng 8 l n di n tích ph n th hai (ph n th hai là ph n ch a

nh c a

hình chóp). Gi s mp(P) vng góc v i mp(SCD), tính di n tích hình thi t di n t o b i hình
chóp S.ABCD v i mp(P).
Bài 5: (2 i m)

Cho ba s th c dương x, y, z th a mãn: xy + yz + zx < 3xyz .
Ch ng minh r ng:

x+y
y+z
z+x
+
+
<3 2 .
xy
yz
zx
-------------------- H T --------------------

H và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


SỞ GD-ĐT BẠC LIÊU

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐBSCL
MƠN TỐN

Thời gian làm bài 180’
Câu 1 (4đ)

Cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn điều kiện :

2
a 4  b 4  c 4  d 4  e4  1

Chứng minh rằng :
a3
b3
c3
d3
e3
54 5
 4
 4 4
 4
 4

b4  c4  d 4  e4 c  d 4  e4  a 4 d  e  a 4  b4 e  a 4  b4  c4 a  b4  c 4  d 4
4
Câu 2 (4đ)

Giải phương trình sau :

sin 3 x  4 cos 3 x  3 cos x
Câu 3 (4đ)
2

Cho dãy số (an) , n= 1,2,3…. được xác định bởi a1  0, an 1  can
với n = 1,2,3 … Còn c là hằng số dương. Chứng minh rằng :

 an

an  c n 1.n n .a1n 1
Câu 4 (4đ)

Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác khơng vuông ABC .
Chứng minh rằng:




 

(tgA  tgB )OC  (tgB  tgC )OA  (tgC  tgA)OB  0

Câu 5 (4đ)

Các cạnh AC,ADvàBC,BD của tứ diện ABCD tiếp xúc với mặt càu
S tâm I nằm trên cạnh AB bán kính R. cịn các cạnh CA,CBvà DA,DB
tiếp xúc với mặt cầu S’ tâm J nằm trên cạnh CD bán kính r.
Chứng minh rằng :

AB 4 (CD 2  4r 2 )  CD 4 ( AB 2  4 R 2 )
Hết


SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HẬU GIANG
ĐỀ THI ĐBSCL MÔN TOÁN
BÀI 1 (số học )
Cho a, b  Z . Chứng minh rằng :
Nếu 24a2 + 1 = b2 thì một và chỉ một trong các số a và b chia hết cho 5.
BÀI 2 (Đại số)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
f(x) = 20x144 – 1.x120 + 2006, xIR.
BÀI 3 (Hình học phẳng)
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di động
sao cho
1
1
1

 (không đổi).
AM AN l
Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định.
BÀI 4 (Hình học khơng gian)
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC nhọn. Trên đường thẳng d vng góc với mặt
phẳng (P) tại A lấy điểm S di động, gọi K và H lần lượt là hình chiếu vng góc của B
lên AC và SC, đường thẳng l đi qua K và H cắt đường thẳng d tại N. Định điểm S trên d
sao cho đoạn SN ngắn nhất.
BÀI 5 (dãy số)

f (1). f (3)... f (2n  1)
, n  1; 2;3;...
f (2). f (4)... f (2n)
Trong đó : f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1
2
Chứng minh rằng : lim n un 
n 
2
Cho dãy un nN * và un 

SỞ GD&ĐT BẾN TRE
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẾN TRE

KỲ THI HỌC SINH GIỎI
ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG

ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TỐN
Thời gian: 180 phút
Câu 1 (3đ) :
Giải hệ phương trình:

( x  3 y  4 z  t ) 2  27( x 2  y 2  z 2  t 2 )

 3
3
3
3
 x  y  z  t  93

Câu 2 (3đ):
Cho một đường tròn với hai dây AB và CD không song song. Đường vng góc với AB kẻ
từ A cắt đường vng góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại M và P. Đường vng góc với AB kẻ
từ B cắt đường vng góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng các đường
thẳng AD, BC, MN đồng quy; các đường thẳng AC, BD, PQ đồng quy.
Câu 3 (2đ):
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

4 y 3  4 x 2 y 2  4 xy 2  x 2 y  5 x 2  4 y 2  4 xy  8 x  0
Câu 4 (3đ):
Cho dãy số (un ) xác định như sau :

2008

u1 
2009

u 2  2u  1  0 , n  1, 2,3,...
n 1
 n
Tìm lim un
n 

Câu 5 (3đ):
Cho hai số tự nhiên n, k thỏa : 0  k  n . Chứng minh rằng :
n
n
0
1
n
C2n k .C2n k  ((Cn )2  (Cn )2  ...  (Cn )2 )2

Câu 6 (3đ):
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện:

x 2  y 2  z 2  1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f 

xy yz zx

 .

z
x
y

Câu 7 (3đ):
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Các điểm X,Y,Z lần lượt di động trên các cạnh
C’D’, AD, BB’. Định vị trí của X,Y,Z để chu vi tam giác XYZ nhỏ nhất.

1


SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
Trường THPT Cao lãnh 2
NĂM HỌC 2009 - 2010

ĐỀ THI MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 21 tháng 9 năm 2009
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: (3.0 điểm)
1.1. Cho hàm số

(C). Cho điểm A (0;a) .Xác định a đẻ từ A kẻ được hai tiếp tuyến

tới (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục ox.
1.2. Giải phương trình nghiệm ngun dương sau:

x6

z 3 15x 2z

3x 2 y 2z

y2 5

3

Câu 2: (3.0 điểm)

sin 2 x sin 2 2 x
2
sin 2 2 x sin 2 x
2.2. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta ln có:
2.1. Giải phương trình:

tg

A
3

3 tg

B
3

3 tg

C
3

3

4 tg

A
B
tg
3
3

tg

C
3

3

Câu 3: (3.0 điểm)
3.1. Giải bất phương trình

x2

3.2. Tìm m để phương trình: m

2x 2

3x 2
x2

2x 2 1

3x 1 x 1
x(2 x)

0 (2) có nghiệm x

0; 1

3

Câu 4: (3.0 điểm)
4.1. Cho đa thức P (x) = x5 + x4 – 9x3 + ax2 +bx + c.
Biết rằng P (x) chia hết cho (x - 2)(x + 2)(x + 3). Hãy tìm đa thức ấy.

2

1

4.2. Cho dãy số (un) xác định bởi:

3
1

1

với

1

3.

Xác định số hạng tổng quát (un) theo n.
Câu 5: (3.0 điểm)
5.1. Cho tam giác ABC. Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB, sáu đường
thẳng song song với BC và bảy đường thẳng song song với CA. Hỏi các đường thẳng này tạo ra bao
nhiêu hình bình hành, bao nhiêu hình thang?
n n
1 2
2 2
n 2
5.2. Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức: C n
2 Cn
... n C n
C2n
2
Câu 6: (2.0 điểm)
a
b
c
7
1
Cho a, b, c
;3 . Chứng minh rằng:
a b b c c a 5
3
Câu 7: (3.0 điểm)
7.1. Trên mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxy cho các đường thẳng
d1 : 3 x y 4 0; d 2 : x y 6 0; d 3 : x 3 0 . Tìm toạ độ các đỉnh của hình vng ABCD biết
rằng A và C thuộc d3, B thuộc d1, D thuộc d2.
7.2. Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 2 6 .

Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán
kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó./.Hết.
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh

1


SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
Trường THPT Cao lãnh 2
NĂM HỌC 2009 - 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN
Ngày 21-9-2009
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có trang)
Đáp án

Điểm
3.0
Câu 1
2.0
1.1. Phương trình tiếp tuyến.
0.25 Phương trình tiếp tuyến qua A (0;a) có dạng y =kx+a (1)

0.25

Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A:

0.25

Thay (3) vào (2) và rút gọn ta được:

0.25

Để (4) có 2 nghiệm

có nghiệm

là:

0.25

Hồnh độ tiếp điểm

là nghiệm của (4) . Tung độ tiếp điểm là

0.5

Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục ox là :
. Vậy

0.25
1.0

(1)

0.25

Áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số ; ta đđược: VT

thoả mãn đkiện bài toán

1.2. Giải phương trình nghiệm nguyên dương.

0.25

,

x2

3

y2 5

3

2

x3

5

x y x

VP . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x 2

0.25

Từ phương trình: x

0.25
3.0

2.0

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là: x, y, z

0.5

y

2

3x 2 z 5 y 2

y

y2 5

5
3, 2,9

Câu 2
2.1. Giải phương trình lượng giác.
sin 2 x
sin 2 2 x

PT

sin 2 2 x
sin 2 x

sin 2 x

2

sin x
sin 2 x

0
sin 2 x
sin x

0

sin 2 x

0

sin 2 x

sin 2 2 x

sin 2 x

sin 2 2 x

x

3
2
3

0.5

x

1.0

B
3

0
1
cos 2 x
4

2k
2k , k

Z

2.2. CMR

0.25

0
sin 2 x

sin 2 x

1.0

2

C
3

3

A
3

Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh

tan

B
3

C
3

tan

3

A
3

2

z

B
C
tg
3
3
B C
1 tg .tg
3
3

A
3
A
3.tg
3

tg

0.25

0.25
0.25
3.0
1.5

3 tg
1

A
B

C
tg
tg
3
3
3
A
B
tg
3 tg
3
3
Câu 3
tg

A B C
.tg .tg
3
3
3
C
A
B
C
tg
3
4 tg
tg
tg
3

3
3
3

3 tg

3

ĐS
1.5

x2
3.1. Giải bất phương trình
*BPT có tập nghiệm S=(- ;1/2]
3.2. Tìm tham số m.

ĐS

Do đó, ycbt

3.0
1.5
ĐS

Câu 4
4.1. Tìm đa thức.
Vậy đa thức phải tìm là P (x) = x5 + x4 – 9x3 - x2 +20x - 12.

1.5

4.2. CMR

ĐS

Suy ra:

3.0
1.0
0.5

Câu 5
5.1.
Số hình bình hành là: C 52 .C 62

0.5
2.0
0.5

1
1
1
1
1
1
Số hình thang là: C 52 .C 6 .C 7 C 62 .C 5 .C 7 C 72 .C 6 .C 5 1575 (hìnhh)
5.2. CMR
0
n
k
n

Đặt S là vế trái hệ thức cần chứng minh, lưu ý C n C n 1 và C n C n

0.5

Ta thấy: 2 S

tan

1
n Cn

n

0.75
0.25
2.0
0.25

Từ 1 x 1 x
n

n

3x 2
{1}

t2 2
có nghiệm t
t 1

bpt m

2008

2x 2

3

2007

2

2
n Cn
2n

1 x

n

502

C 52 .C 72

, x

m

[1,2]

tan

C 62 .C 72

3

2

3x 1

n
.... n C n

1 2

x 1

t 1;2

tan

3

2
3

max g(t) g(2)

2
1

3

2
3

Vậy m

3
6

675 (hình).

2

n
n Cn

k

1
n

R . So sánh hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của
2

2n

2

1
2
Cn
1 x 1 x và 1 x ta suy ra: C n
Từ (1) và (2) có đpcm.
Câu 6
a
b
c
Đặt F a, b, c
Giả sử a
a b b c c a

n
Cn

...

2

n
C2n

2

max a, b, c .
2

0.5

0.5

Ta có: F a, b, c

0.5

7
5

b
1
a

2
7
5
a
1
b

x2
x

2

c

b c

c a

2

7 . Đặt x
5

1
b
1
a
2

1

b

a b

F a, b, ab

Để ý rằng F a, b, ab

1

a

7
x 1 5

a

b
0

1

1
3 x
2

a

2 b
a
b

2x 1

ab c
0

a c b c

a
b
2

b

a

1

b

3 , ta thấy

1

0

2

BĐT ( 2) đúng, từ (1), (2) có bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
0.25
và các hoán vị.
a , b, c
3;1;
3
3.0
Câu 7
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh
3


1.5
0.5

7.1. Tìm tọa độ.
Ta có: B (b;3b 4)

0.5

Suy ra b d 6
3b 4

6 d

d1 ; D d ;6 d
b
d

2.
4

d 2 . Vì A, C

d 3 // Oy nên B và D đối xứng nhau qua d3

Do đó B (2; 2), D(4;2), dẫn tới tâm hình vng ABCD là I (3; 2).
2

0.25
1.5

Mặt khác A(3; a ) d 3 và IA 2 IB 2 nên a 2
1 a 3 hoặc a = 1.
Bài tốn có hai nghiệm hình: A (3; 3), B(2; 2), C(1; 3), D(4; 2); A 3), B 2), C 3 D 2)
(1;
(2;

(3; ), (4;
7.2. Tính thể tích và tìm bán kính mặt cầu nội tiếp.

0.5

* Ta có: VSAMN

0.5

* Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp SAMN. Sử dụng công thức:

0.5

S SAMN

0.25

1
SO.S AMN
3

1
r S AMN
3

S ASN

3
2

S SMN , ta tính được: r

3
4 2 2

Chú ý: Nếu học sinh có hướng giải quyết khác mà đúng và hợp lơgích thì vẫn chấm
điểm tối đa như hướng dẫn này. Sai phần trên thì khơng chấm phần dưới.

Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh

4


SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
Trường THPT Cao lãnh 2
NĂM HỌC 2009 - 2010

ĐỀ THI MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 20 tháng 9 năm 2009 (buổi chiều)
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: (4.0 điểm)
1.1. Cho hàm số: y x 3 (m 3) x 2 (2 3m) x 2m . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh
tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó.
ecos x cos3 x 1
khi x 0
1.2. Cho hàm số f ( x)
. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0
x
0

khi x 0
Câu 2: (3.0 điểm)
1
2.1. Giải phương trình lượng giác: cos x. cos 2 x. cos 3 x sin x. sin 2 x. sin 3 x
.
2
x3 1 2 x2 x y
2.2.
y3 1 2 y2 y x
Câu 3: (2.0 điểm)
2

2

2

2

x 8 y 2 xy (1)
3.1. Giải phương trình nghiệm nguyên: x y
3.2. Hàm
xác định và có đạo hàm trên tồn trục số, thỏa mãn điều kiện:
(*)
Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số
tại điểm có hồnh độ
Câu 4: (3.0 điểm)
1
3
4.1. Tìm giới hạn: lim
x

1 x 1 x3
n
195Cn 3
4.2. Cho dãy số ( Un) có số hạng tổng quát un
Cnn 5 1 n N . Tìm các số hạng
16(n 1)
dương của dãy.
Câu 5: (2.0 điểm)
Cho

f ( x)

1 x x3

4

x4 .

Sau

khi

khai

triển

và

rút

gọn

ta

được:

f ( x) a 0 a1 x a 2 x 2 ...a16 x 16 . Hãy tính giá trị của hệ số a10 .
Câu 6: (2.0 điểm)
Cho x, y, z là các số thực thoả mãn các điều kiện sau: x y z 0, x 1 0, y 1 0, z 4 0
x
y
z
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q
.
x 1 y 1 z 4
Câu 7: (4.0 điểm)
7.1. Cho đường thẳng ( d): x 2 y 2 0 và hai điểm A ( 0; 1), B( 3; 4). Hãy tìm toạ độ điểm
M trên ( d) sao cho 2 MA 2 MB 2 có giá trị nhỏ nhất.
7.2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính
AD = 2a. SA vng góc với mp’ ( ABCD ) và SA = a 6 .
1. Tính khoảng cách từ A và B đến mp’ ( SCD ).
2. Tính diện tích của thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp’( ) song song với mp’( SAD) và
a 3
cách mp’(SAD) một khoảng bằng
./.Hết.
4

Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh

1

SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
Trường THPT Cao lãnh 2
NĂM HỌC 2009 - 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN
(Buổi chiều: Ngày 20-9-2009)
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 04 trang)
Đáp án

Điểm
4.0
Câu 1
2.0
1.1. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho …
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của PT:
0.5
x3 (m 3) x 2 (2 3m) x 2m 0
x1 1, x2 2 , x3 m
0.5
Ba hoành độ này lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó thì ta có hệ phương trình:
3
m
x1 x 2 2 x3
2
0.5
x1 x3 2 x 2
m 3
m 0
x 2 x3 2 x1

0.5
2.0
0.5
0.5
0.5
0.5
3.0
1.5

Đs

1.5

3
; m 3; m 0 thỏa yêu cầu bài tốn.
2
1.2. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0
f ( x) f (0)
e cos x cos 3 x 1
e cos x cos 3 x 1 cos x 3 cos 3x
Ta có: f ' (0) lim
.
lim
lim
.
x 0
x 0
x 0 cos x
x 0
cos 3x

x2
x2
ecos x cos3 x 1
et 1
Ta lại có: lim
lim
1
x 0 cos x
cos 3x t 0 t
cos x cos 3 x
2sin 2 x sin x
sin 2 x sin x
lim
lim
lim 4
.
4
2
2
x 0
x 0
x 0
x
x
2x
x
Vậy f’ ( 0) = 4.
Câu 2
2.1. Giải phương trình lượng giác.
k

* 4x
2x k 2
x
k Z
2
12 3

Vậy với m

* 4x

2x

k2
x
2
4
Vậy PT đã cho có 3 họ nghiệm.
2.2. Giải hệ phương trình.

k

Đs
1.0

Z

1;1 ;

Đs

2.0
1.0

k

1
2

5 1
;

5
2

;

1
2

5 1
;

5
2

Câu 3
3.1. Giải phương trình nghiệm ngun.
Dễ thấy pt có nghiệm: x = y = 0.
*Thay x = 4 vào (2) ta được y = -1, y = 2.
*Thay x = -4 vào (2) ta được y = 1, y = -2.

Vậy PT có các nghiệm nguyên (x; y) là: (0;0), (4; -1), (4;2), (-4;1), (-4;2).
3.2. Tìm phương trình tiếp tuyến.
Vì

nên

. Suy ra

. Do đó phương trình tiếp tuyến có dạng;

ĐS
3.0

Câu 4

Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh

2


1.5

4.1. Tìm giới hạn.
Vậy n

2.0
2.0

4.0
2.0

2.0
1.0

1;2 . Từ đó tìm được u1

75
, u2
8

45
8

Câu 5: Tìm giá trị của hệ số a10 .
1
3
4 2
Vậy a10 C 4 .C 4 C 4 C 4 4.4 1.6 22
Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
1
3
Vậy max Q
a b; a b c
a b
;c
3
2
Câu 7:
7.1. Tìm tọa độ điểm M.
M ( 2;
7.2. Tính khoảng cách và diện tích thiết diện.

1. Tính khoảng cách.

3

x

y

1
;z
2

1

0.25

d(B,(SCD)) = d(I,(SCD)) =
1.0

1
a 2
d ( A, ( SCD ))
2
2

2. Tính diện tích thiết diện.
+ Thiết diện là hình thang vng ( MN // PQ, MQ MN )
1
3a
a 6

a
a2 6
S = (MN + PQ).MQ. MN =
. Vậy: S =
, MQ
, PQ
2
2
2
2
2

Chú ý: Nếu học sinh có hướng giải quyết khác mà đúng và hợp lơgích thì vẫn chấm
điểm tối đa như hướng dẫn này. Sai phần trên thì khơng chấm phần dưới.

Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh

3


SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
Trường THPT Cao lãnh 2
NĂM HỌC 2009 - 2010

ĐỀ THI MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
SÁNG Ngày thi: 20 tháng 9 năm 2009
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: (3.0 điểm)
x2

có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) một điểm có hồnh độ lớn
x 1
hơn 1 sao cho tại điểm này tiếp tuyến của (C) tạo với hai đường tiệm cận của (C) tạo thành một tam
giác có chu vi nhỏ nhất.
2. Cho hàm số y x 3 (m 1) x 2 (m 1) x 1 . Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0 của m, đồ
thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có hồnh độ phụ thuộc tham số
m. Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau.
Câu 2: (5.0 điểm)

1. Cho hàm số y

f x

3
3
2.1. Giải phương trình: sin x. sin 3 x cos x. cos 3 x

tg x

2.2. Giải hệ phương trình: x

2

x( x

6
y

2

.tg x
x

y 1)

y

1.
8

3
4

y ( y 1)

2

2.3. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: yx – x2 + y – x – 1 = 0
Câu 3: (3.0 điểm)
3.1. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thoả mãn:

A
B 2 3
tg
2
2
3
cos A cos B 1

tg

2 sin A
3.2. Tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn: 2 sin B
2 sin B
2 sin C

. CMR

4 sin A 1 4 sin B

. CM

ABC đều.

ABC đều

4 sin B 1 4 sin C

Câu 4: (2.0 điểm)
Cho dãy số (un ) :

u1
un

n

2010
1

u

2
n

. Tính giới hạn: L
un 1

lim
n

i 1

1
.
ui

Câu 5: (2.0 điểm)
5.1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có đúng hai chữ số 1 và 3 chữ số còn
lại khác nhau?
5.2. Cho n là số nguyên dương với n 2 . Chứng minh rằng:
1
2
3
n
12.C n 2 2.C n 3 2 C n .... n 2 .C n n(n 1).2 n 2
Câu 6: (2.0 điểm)
Chứng minh rằng: 1 2 7 x 2 xy 2 y 2
1 2 7 . Trong đó x, y là các số thực thoả
mãn: x 2 xy y 2 3 .
Câu 7: (3.0 điểm)

7.1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(10;5), B(3;2), C(6;-5). Viết phương
trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC và tìm giao điểm của đường trịn này với đường thẳng y = 5.
7.2. Cho tứ diện OABC với OA = a, OB = b, OC = c và OA, OB, OC đơi một vng góc với
nhau. Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c. Gọi , , là góc giữa OA, OB, OC với mặt phẳng (
ABC). Chứng minh rằng: sin 2

Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh

sin 2

sin 2

1 ./.Hết.

1


SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
Trường THPT Cao lãnh 2
NĂM HỌC 2009 - 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 05 trang)
Đáp án

Điểm
3.0
Câu 1
1.5
1.1. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho chu vi nhỏ nhất.
x2

Giả sử M x0 ; 0
với x0 > 1 là một điểm thoả mãn đề bài. A và B là giao điểm của tiếp
x0 1
0.25
tuyến với đồ thị với các tiệm cận đứng, tiệm cận xiên tương ứng, I( 1; 2) là giao điểm của hai
tiệm cận.
2 x0
, B 2 x0 1;2 x0 .
0.25 Khi đó A 1;
x0 1
0.25

Dựng BH

0.25

1
AI .BH
2

Mặt khác S ABI

0.25

AI . Ta có S ABI

2 (đvdt).

1
IA.IB sin AIB

IA.IB 4 2 .
2
Từ đó IA IB 44 2 . Từ định lí cosin cho tam giác AIB có
AB 2 IA 2 IB 2 2 IA.IB. cos 45 0 2 IA.IB 8 8 2 1 .
1

0.25

Kết luận: Chu vi tam giác AIB đạt giá trị nhỏ nhất ứng với M 1

1.5
ĐS
5.0
2.0
ĐS

Nghiệm x

1

2.0
ĐS

Tóm lại hệ Pt (I) có 4 nghiệm

x

2

y

2

x y

x

y

y

x2

2

2

y

2

xy

x

2

y

2

y

1

x y
x2

x 2

4

2

.

2

x 1
x
2
V
y
2
y 1

V

1

xy
0 hay x y

2

1

2

x
0

y)2 x y 0

(x

2

x

2

xy

hay

V

x2 y2 x y

2

x

x

4

0 hay x y

xy

4

(I)

x 2 y 2 x y xy
2.0

2

Z thoả mãn các điều kiện bài tốn.

k
k
6
2.2. Giải hệ phương trình.

CÁCH KHÁC

;2

4

1.2. Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau.
Vậy m = 2 thỏa u cầu bài tốn.
Câu 2
2.1. Giải phương trình lượng giác.

4

y

2
2

V

x
y

2
2

V

x 1
y

2

V

x

2

y 1

2

1.0
ĐS
3.0
1.5

2.3. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: yx – x + y – x – 1 = 0 (3).
Thử lại ta được các nghiệm của (3) là: (x; y) = (- 2; - 3), (0; 1).
Câu 3
3.1. Chứng minh tam giác ABC đều.

ĐS

ABC đều
3
3.2. Chứng minh tam giác ABC đều.

1.5

A

B

Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh

2