tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 tham khảo bồi dưỡng thi (14)

Điểm Nhận xét của Giáo viên
I- Trắc nghiệm :Chọn các phương án trả lời phù hợp cho các câu hỏi sau:
Câu 1: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 12 cm. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
bằng bao nhiêu?
. 3 b. 2 3 c. 3 3 d. 4 3a cm cm cm cm
Câu 2: Một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông là 7dm và 24dm. Bán kính đường
tròn nội tiếp tam giác bằng bao nhiêu?
. 2 b. 3 c. 4 d. 5a cm cm cm cm
Câu 3
0 0
60 sin60tg +
là số nào?
2 2 2 3 3 2 3 3
. b. c. d.
3 3 2 2
a
Câu 4
2 0 2 0 2 0 2 0
cos 30 sin 30 30 cot 30tg g+ + +
là số nào?
10 11 12 13
. b. c. d.
3 3 3 3
a
II. Phần tự luận
Bài 1 (4đ)
Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện:
2 2

1 1 1x y y x− + − =
Chứng minh rằng:
2 2
1x y+ =
Bài 2 (3đ)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 2
2 2 5 2 4 4y x x x x= − + + − +
`Bài 3 (3đ)
Giải hệ phương trình sau:
3
2 0
2
3 6 14
x y
x y
x y
x y

− − =

+



− − =

+

Bài 4 (3đ)

Cho
ABC∆
. Lấy điểm E trên AB và F trên AC sao cho AE = AF. Gọi M là trung điểm BC
và I là giao điểm của EF và AM.
Chứng minh rằng
IE AC
IF AB
=
Bài 5 (3đ)
Cho
ABC∆
có
0 0
ˆ ˆ
2, 60 , C 45AB A= = =
.
Tính AC, BC. Suy ra giá trị của
0 0
sin 75 ,cos75
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN Toán
Thời gian: 120 phút
ĐÁP ÁN ĐỀ THI TOÁN 9
I) Phần trắc nghiệm
câu 1 2 3 4
Đáp án b b d d
II) Phần tự luận
Bài 1 (4đ)
ĐK
1 1, 1 1x y− ≤ ≤ − ≤ ≤

0,5đ
Theo giả thiết
2 2
1 1 1x y y x− + − =

(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1
1 1 2 1 1 1
1 1 2 1 1 0
1 1 0
1 1
1 1
1 dpcm

x y y x
x y y x xy x y
x y x y xy x y
x y xy
x y xy
x y x y
x y
⇒ − + − =
⇒ − + − + − − =
⇒ − − + − − − =
⇒ − − − =
⇒ − − =
⇒ − − =
⇒ + =
Bài 2 (3đ)
( )
2 2
2 2
2
2 2 5 2 4 4
1 3
2 1 1
2 2
y x x x x
x x
= − + + − +
 
   
 
= − + + − +

 ÷  ÷
 
   
 
0,5đ
Trong cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy xét các điểm
( ) ( )
1 3
; 0 , ; , 1; 1
2 2
A x B C
 
−
 ÷
 
Khi đó
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
1 3 1 3
0
2 2 2 2
1 0 1 1 1
1 3 13
1 1
2 2 2
AB x x
AC x x

BC
       
= − + − = − +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
= − + + = − +
   
= − + + =
 ÷  ÷
   
( )
13
2 2 2. 13
2
y AB AC BC⇒ = + ≥ = =
Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất là
13
Bài 3 (3đ)
0.5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

A
B
C
M
F
E
K
I
H
( )
3
2 0
2
3 6 14
x y
x y
I
x y
x y

− − =

+



− − =

+


Đặt
1
2 ; u x y v
x y
= − =
+
. Đk:
0; 0u v≥ ≠
( )
( )
( )
3 0 1
3 2 14 2
u v
I
u v
 − =
⇔

− =

Giải hệ phương trình ta được
6 à 2u v v= =
Do đó ta có hệ phương trình sau
2 6
2 6
1
1
2
2

x y
x y
x y
x y
 − =
− = ±

 
⇔
 
=
+ =
 
+


Trường hợp 1
( )
( )
( )
2 6 3
*
1
4
2
x y
x y
 − =



+ =


Giải hệ ta tìm được
7 11
à
3 6
x v y= = −
Trường hợp 2
( )
( )
( )
2 6 5
**
1
6
2
x y
x y
 − = −


+ =


Giải hệ ta tìm được
5 13
à
3 6
x v y= − =

Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm là
7 11
;
3 6
 
−
 ÷
 
và
5 13
;
3 6
 
−
 ÷
 
Bài 4 (3đ) vẽ hình, ghi gt – kl 0,5đ
Chứng minh:
Vẽ EK, FH song song với BC (
,K H BC∈
)
//EK FH⇒
Xét
IEK
∆
có
//EK FH⇒

IE EK
IF HF

⇒ =
(1)
Xét
ó //ABM c EK BM∆
AE EK
AB BM
⇒ =
Xét
ó //ACM c FH CM∆
AC MC
AF HF
⇒ =
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
A
B
H
Do đó
. .
AE AC EK MC
AB AF BM HF
=

. .
AE AC EK BM
AB AE BM HF
⇒ =
(Vì AE = AF (gt) ; BM = MC)
( )
2
AC EK
AB HF
⇒ =
Từ (1) và (2) suy ra
IE AC
IF AB
=
Bài 5 (3đ) vẽ hình, ghi gt – kl 0,5đ
Vẽ
, BH AC H AC⊥ ∈
HAB
∆
vuông tại H có
0
ˆ
60A =
suy ra
HAB
∆
là nửa tam giác đều
1 2 3 6
à
2 2 2 2

AH AB v BH AB⇒ = = = =
HBC∆
vuông tại H có
0
ˆ
45C =
HBC⇒ ∆
vuông cân tại H
6
2
HC BH⇒ = =
2 6
2 2
6. 2
2 3
2
AC AH HC
BC HC
= + = +
= = =
Vẽ
, AK BC K BC⊥ ∈
( )
0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ó A + B + C = 180 180 75ABC c B A C∆ ⇒ = − + =
Ta có
. . ( 2. )
6 2 6

.
2 2
. 3 1
2
3
ABC
AK BC BH AC S
BH AC
AK
BC
∆
= =
 
+
 ÷
+
 
⇒ = = =
Mặt khác
0
ˆ
ó 90KAB c K∆ =
, do đó
3 1 6 2
ˆ
sin
4
2 2
AK
B

AB
+ +
= = =
C
K
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Vậy
0 2 0 2 0
6 2
sin 75 ,sin 75 cos 75 1
4
+
= + =
( )
2
0
2
6 2
6 2
cos75 1
4 4
+
−
⇒ = − =

0,5đ