BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 (PHẦN ĐẠI SỐ)

BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM CÁC CHUYÊN
ĐỀ TOÁN 10
PHẦN ĐẠI SỐ
Chương 1: Mệnh đề-Tập hợp

§1. Mệnh đề và mệnh đề chứa biến
1. Mệnh đề −mệnh đề chứa biến
a) Mệnh đề
Mệnh đề lôgic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là
mệnh đề sai.
Ví dụ 1:
-1-
a) Góc vuông có số đo 80
0
(là mệnh đề sai)
b) Số 7 là một số nguyên tố (là mệnh đúng)
c) Hôm nay trời đẹp quá ! (không là mệnh đề)
d) Bạn có khỏe không ? (không là mệnh đề)
Ví dụ 2: Trong các câu sau đậy câu nào là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy xác định
xem mệnh đề đó đúng hay sai.
a) Không được đi lối này!
b) Bây giờ là mấy giờ?
c) Chiến tranh thế giới lần thứ hai kết thúc năm 1946.
d) 16 chia 3 dư 1.
f) 2003 không là số nguyên tố.
e) là số vô tỉ.
 Chú ý:
+ Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải là mệnh đề.
+ Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa.

Ví dụ: Q: “ 36 chia hết cho 12”
+ Một câu mà chưa thể nói đúng hay sai nhưng chắc chắn nó chỉ đúng hoặc sai,
không thể vừa đúng vừa sai cũng là mệnh đề.
Ví dụ: “Có sự sống ngoài Trái Đất” là mệnh đề.
b) Mệnh đề chứa biến
Những câu khẳng định mà tính đúng-sai của chúng tùy thuộc vào giá trị của biến
được gọi là những mệnh đề chứa biến.
Ví dụ: Cho P(x): “x > x
2
“ với x là số thực. Khi đó:
P(2) là mệnh đề sai, P(1/2) là mệnh đề đúng.
2. Mệnh đề phủ định
Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của
P và kí hiệu là . Mệnh đề đúng nếu P sai và sai nếu P đúng.
 Chú ý: Mệnh đề phủ định của P có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau
Ví dụ: P: “là số vô tỉ”. Khi đó mệnh đề
có thể phát biểu : “không phải là số vô tỉ” hoặc “là số hữu tỉ”.
3. Mệnh đề kéo theo
+Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được là mệnh đề kéo theo
+Kí hiệu là P
⇒
Q.
+ Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai.
* P⇒Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q”,
“P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề
P : “ Tứ giác ABCD là một hình chữ nhật “
Q : “ Tứ giác ABCD là một hình bình hành “
P⇒Q: “ Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD là hình bình
hành “.

Q⇒P “ Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật “.
* Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng, thường có dạng : P
⇒
Q
P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận. Hoặc
P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)
Q(x) là điều kiện cần để có P(x)
Hoặc điều kiện đủ để có Q(x) là P(x)
5
PPP
5
P
55
-2-
điều kiện cần để có P(x) là Q(x)
4. Mệnh đề đảo-Mệnh đề tương đương
a) Mệnh đề đảo:
Cho mệnh đề P
⇒
Q. Mệnh đề Q
⇒
P được gọi là mệnh đề đảo của P
⇒
Q
b) Mệnh đề tương đương
+ Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” (P khi và chỉ khi Q) được gọi là mệnh đề
tương đương,
+ Kí hiệu P
⇔
Q

+Mệnh đề P
⇔
Q đúng khi P
⇒
Q đúng và Q
⇒
P đúng và sai trong các trường
hợp còn lại.
( hay P
⇔
Q đúng nếu cả hai P và Q cùng đúng hoặc cùng sai)
Các cách đọc khác:
P tương đương Q
P là điều kiện cần và đủ để có Q
Điều kiện cần và đủ để có P(x) là có Q(x)
Ví dụ 1: Xét các mệnh đề
A: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3”;
B: “36 chia hết 12”
Khi đó: A đúng; B đúng
A⇔B: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 nếu và chỉ nếu 36 chia hết 12”. đúng
Ví dụ 2: Mệnh đề “Tam giác ABC là tam giác có ba góc bằng nhau nếu và chỉ
nếu tam giác có ba cạnh bằng nhau” là mệnh đề gì? Mệnh đề đúng hay
sai? Giải thích.
Xét P:” Tam giác ABC là tam giác có ba góc bằng nhau”
Q:” Tam giác có ba cạnh bằng nhau”
Khi đó P⇒ Q đúng; Q⇒P đúng. Vậy P⇔Q
6. Các kí hiệu ∀ và ∃
Kí hiệu ∀ (với mọi): ” hoặc “”
Kí hiệu ∃ (tồn tại) :“” hoặc “ ”
Phủ định của mệnh đề “

∀
x
∈
X, P(x) ” là mệnh đề “
∃
x
∈
X, ”
Phủ định của mệnh đề “
∃
x
∈
X, P(x) ” là mệnh đề “
∀
x
∈
X, ”
Ví dụ: Các biết tính đúng/sai của các mệnh đề sau? Nêu mệnh đề phủ định.
a) ∀n ∈
*
, n
2
-1 là bội của 3
b) ∀x ∈, x
2
-x+1>0
c) ∃x ∈ , x
2
=3
d) ∃ n ∈ , 2

n
+ 1 là số nguyên tố
e) ∀n ∈ , 2
n
≥ n+2.
* Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng, thường có dạng : P
⇒
Q
P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận. Hoặc
P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)
Q(x) là điều kiện cần để có P(x)
Hoặc điều kiện đủ để có Q(x) là P(x)
điều kiện cần để có P(x) là Q(x)
)(," xPXx ∈∀
)(: xPXx ∈∀
)(, xPXx ∈∃
)(: xPXx ∈∀
P(x)
P(x)
¡
¤
-3-
* Mệnh đề tương đương
+ Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” (P khi và chỉ khi Q) được gọi là mệnh đề
tương đương. Kí hiệu P
⇔
Q
+Mệnh đề P
⇔
Q đúng khi P

⇒
Q đúng và Q
⇒
P đúng và sai trong các trường
hợp còn lại. ( hay P⇔Q đúng nếu cả hai P và Q cùng đúng hoặc cùng sai)
Các cách đọc khác:
P tương đương Q
P là điều kiện cần và đủ để có Q
Điều kiện cần và đủ để có P(x) là có Q(x).
Bổ sung:
Trong lôgic toán, một phân ngành lôgic học, cơ sở của mọi ngành toán học, mệnh đề,
hay gọi đầy đủ là mệnh đề lôgic là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa.
Chú ý:(mệnh đề)
1. Trong thực tế có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời
gian và địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc
địa điểm khác. Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lí
đúng hoặc sai.
Ví dụ: Sáng nay bạn An đi học.
Trời mưa.
Học sinh tiểu học đang đi nghỉ hè.
2. Ta thừa nhận các luật sau đây của lôgic mệnh đề:
Luật bài trùng: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng, hoặc sai; không có mệnh đề nào
không đúng cũng không sai.
Luật mâu thuẫn: Không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai.
3. Có những mệnh đề mà ta không biết (hoặc chưa biết) đúng hoặc sai nhưng biết
"chắc chắc" nó nhận một giá trị.
Ví dụ: Trên sao Hỏa có sự sống.
Chú ý:(mệnh đề kéo theo)
1. Trong lôgic, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề a b người ta không quan tâm
đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề a, b. Không phân biệt trường hợp a có

phải là nguyên nhân để có b hay không, mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng.
Ví dụ:
"Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở Châu Âu" ← mệnh
đề đúng. Vì ở đây hai mệnh đề a = "mặt trời quay quanh trái đất" và b = "Việt
Nam nằm ở Châu Âu" đều sai.
"Nếu tháng 12 có 31 ngày thì mỗi năm có 13 tháng" ← mệnh đề sai.
Chú ý:(mệnh đề tương đương)
Hai mệnh đề a, b tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của
chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lí (cùng đúng hoặc
cùng sai).
Ví dụ:
"Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi trái đất quay quanh mặt trời" là mệnh đề
đúng.
"12 giờ trưa hôm nay Tuấn có mặt ở Hà Nội nếu và chỉ nếu vào giờ đó anh đang
ở thành phố Hồ Chí Minh" là mệnh đề sai.
"Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố" là mệnh đề
đúng.
-4-
-5-
Giải bài toán bằng suy luận
Ví dụ:Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapor,
Thái Lan và Inđônêxia. Trước khi thi đấu vòng bán kết, ba bạn Dung, Quang, Trung dự
đoán như sau:
Dung: Singapor nhì, còn Thái Lan ba.
Quang: Việt Nam nhì, còn Thái Lan tư.
Trung: Singapor nhất và Inđônêxia nhì.
Kết quả, mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải
mấy?
Giải: Kí hiệu các mệnh đề:
d

1
, d
2
là hai dự đoán của Dụng.
q
1
, q
2
là hai dự đoán của Quang.
t
1
, t
2
là hai dự đoán của Trung.
Vì Dung có một dự đoán đúng và một dự đoán sai, nên có hai khả năng:
Nếu G(d
1
) = 1 thì G(t
1
) = 0. Suy ra G(t
2
) = 1. Điều này vô lí vì cả hai đội Singapor
và Inđônêxia đều đạt giải nhì.
Nếu G(d
1
) = 0 thì G(d
2
) = 1. Suy ra G(q
2
) = 0 và G(q

1
) = 1. Suy ra G(t
2
) = 0 và G(t
1
) = 1.
Vậy Singapor nhất, Việt Nam nhì, Thái Lan ba còn Inđônêxia đạt giải tư.
1. Số vô tỉ
Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là không thể biểu
diễn được dưới dạng tỉ số a/b , với a, b là các số nguyên.
Ví dụ: Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi:
0.1010010001000010000010000001
Số = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 7
Số pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679
Số lôgarít tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536
Nếu như mọi số hữu tỉ đều có biểu diễn thập phân hoặc hữu hạn (số thập phân hữu
hạn, ví dụ: 1/2=0,5) hoặc vô hạn tuần hoàn (số thập phân vô hạn tuần hoàn, ví dụ:1/11=
0.090909 ) thì số vô tỉ có biểu biễn thập phân vô hạn nhưng không tuần hoàn.
Căn bậc hai của tất cả các số nguyên
Ta có thể chứng minh rằng căn bậc hai của bất kỳ số nguyên nào cũng phải hoặc là số
nguyên hoặc là số vô tỉ.
Lấy số nguyên bất kỳ r. Thí dụ, r = 2.
Trong hệ nhị phân, 2 = 10
2
Vậy, như ở trên, nếu = m/n thì, trong hệ nhị phân:
m
2
= 10
2

n
2
trong đó m, n là số nguyên
Trường hợp n = 1 không thể xảy ra, vì ta biết không phải là số nguyên.
Lập luận như trên, vế trái có số chẵn số 0 (trong hệ nhị phân) ở cuối, nhưng vế phải
lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy giả thiết là số hữu tỉ phải sai.
Với số nguyên r bất kỳ, cũng chứng minh như trên trong hệ r-phân:
m
2
= 10
r
n
2
trong đó m, n là số nguyên
Nếu n = 1 thì m
2
= 10
r
= r, vậy là số nguyên.
Còn nếu n ≠ 1 thì, như trên, một số bình phương trong hệ r-phân phải có số chẵn số 0
(trong hệ r-phân) ở cuối. Do đó trong đẳng thức này vế trái có số chẵn số 0 ở cuối nhưng
vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy không thể là số hữu tỉ.
2. Số chính phương
Số chính phương hay còn gọi là số hình vuông là số nguyên có căn bậc 2 là một số
nguyên, hay nói cách khác, số chính phương là bình phương (lũy thừa bậc 2) của một số
-6-
nguyên khác.
Ví dụ:4 = 2²; 9 = 3²; 1.000.000 = 1.000²
Số chính phương hiển thị diện tích của một hình vuông có chiều dài cạnh bằng số
nguyên kia.

-7-
§1 MỆNH ĐỀ
1.1 Xét xem các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?
a) 7+x=3 b) 7+5=6 c) 4+x<3
d) có phải là số nguyên không? e) +4 là số vô tỉ.
1.2. Tìm giá trị của x để được một mệnh đúng, mệnh đề sai
a) P(x):”3x
2
+2x−1=0” b) Q(x):” 4x+3<2x−1”.
1.3. Cho tam giác ABC. Lập mệnh đề P⇒Q và mệnh đề đảo của nó, rồi xét tính đúng
sai, với:
a) P: “ Góc A bằng 90
0
” Q: “ BC
2
=AB
2
+AC
2
”
b) P: “” Q: “ Tam giác ABC cân”.
1.4. Phát biểu bằng lới các mệnh đề sau. Xét tính đúng/sai và lập mệnh đề phủ
định của chúng
a) ∃ x ∈ : x
2
=−1 b) ∀ x ∈ :x
2
+x+2≠0
1.5. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó
a) b)

c) là số hữu tỉ
d) x=2 là nghiệm của
phương trình
1.6. Tìm giá trị của m để được mệnh
đề đúng, mệnh đề sai.
a) P(m): “ m< −m” b) Q(m): “m<” c) R(m): “ m=7m”.
1.7. Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của
chúng
a) P: “ 15 không chia hết cho 3”
b) Q: “”
1.8. Lập mệnh đề P⇒Q và xét tính đúng sai của nó, với:
a) P: “2<3” Q: “−4<−6”
b) P: “10=1” Q: “100=0”.
1.9. Cho số thực . Xét mệnh đề P: “ là số hữu tỉ”, Q: “
2
là một số hữu tỉ”
a) Phát biểu mệnh đề P⇒Q và xét tính đúng sai
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên
c) Chỉ ra một giá trị mà mệnh đề đảo sai.
1.10. Cho số thực . Xét mệnh đề P: “
2
=1”, Q: “=1”
a) Phát biểu mệnh đề P⇒Q
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng sai
c) Chỉ ra một giá trị mà mệnh đề P⇒Q sai.
1.11. Cho số thực . Xét mệnh đề P: “ là số nguyên”, Q: “+2 là một số nguyên”
a) Phát biểu mệnh đề P⇒Q
b) Phát biểu mệnh đề Q⇒P
c) Xét tính đúng sai của P⇒Q, Q⇒P.
1.12. Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề P: “AB=AC”, Q: “Tam giác ABC cân”

a) Phát biểu P⇒Q, cho biết tính đúng sai
b) Phát biểu mệnh đề đảo Q⇒P.
1.13. Cho tam giác ABC. Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau:
a) Nếu AB=BC=CA thì tam giác ABC đều;
b) Nếu AB>BC thì ;
c) Nếu =90
0
thì ABC là tam giác vuông.
3
2
5
µ µ
A B=
¡¡
1
3 2
3 2
+ =
−
( )
2
2 8 8− >
( )
2
3 12+
2
4
0
2
x

x
−
=
−
1
m
7 3>
xxx
x
xxx
x
xxx
µ
µ
C A>
µ
A
-8-
1.14. Dùng kí hiệu ∀ hoặc ∃ để viết các mệnh đề sau:
a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó;
b) Mọi số thức cộng với 0 đều bằng chính nó;
c) Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó;
d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nó.
1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng
a) ∀ ∈ : x
2
≤ 0 b) ∃ ∈ : x
2
≤0
c) ∀ ∈ : d) ∃ ∈ :

e) ∀ ∈ :
2
++1>0 f) ∃ ∈ :
2
++1>0
1.16.Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó
a) ∀ ∈ : .1=
b) ∀ ∈ : . =1
c) ∀ n ∈ : n<n
2
1.17. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và chó biết tính đúng saicủa chúng
a) Mọi hình vuông là hình thoi;
b) Có một tam giác cân không phải là tam giác đều;
1.18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề:
a) x , 4x
2
-1= 0.
b) x , n
2
+1 chia hết cho 4.
c) x , (x-1)
2
x-1.
1.19. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:
a) x , x > x
2
.
b) x , |x| < 3  x< 3.
c) x N, n
2

+1 không chia hết cho 3.
d) a , a
2
=2.
1.20. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:
A: ” 15 là số nguyên tố”
B: ”∃ a ∈ , 3a=7”
C: “∀ a ∈ , a
2
≠3”
1.21. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ":
a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một đường
thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song nhau.
b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.
c) Nếu một số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 thì chia hết cho 5.
d) Nếu a+b > 5 thì một trong hai số a và b phải dương.
1.22. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần":
a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúngcó các góc tươmg ứmg bằng nhau.
b) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc nhau.
c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho thì nó chia hết cho 3.
d) Nếu a=b thì a
2
=b
2
.
1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”
“Tam giác ABC là một tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân và
có một góc bằng 60
0
”

1.24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng:
a) Để tứ giác T là một hình vuông, điều kiện cần và đủ là nó có bốn cạnh bằng
nhau.
b) Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần và đủ là mỗi số đó chia
x
¡
x
¡
x
¡
2
1
1
1
x
x
x
−
= +
−
x
¡
2
1
1
1
x
x
x
−

= +
−
x
¡
xxx
¡
xx
x
¡
xx
x
¡
xx
¢
∃
∈
¤
∃
∈
¥
∀
∈
¡
≠
∃
∈
¡
∀
∈
¡

∀
∈
∃
∈
¤
¢
¤
-9-
hết cho 7.
c) Để ab>0, điều kiện cần là cả hai số a và b điều dương.
d) Đề một số nguyên dương chia hết cho 3, điều kiện đủ là nó chia hết cho 9.
1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích.
a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng.
c) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc(trong) bằng tổng hai
góc còn lại.
d) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai trung tuyến bằng nhau và
có một góc bằng 60
0
.
BÀI TẬP THÊM
1. Xét đúng (sai)của mệnh đề sau :
a/ Hình thoi là hình bình hành
b/ Số 4 không là nghiệm của phương trình : x
2
− 5x + 4 = 0
c/ ( > ) ∧ (3 < π) d/ ( > ) ∨ (4
2
< 0)
e/ (5.12 > 4.6) ⇒ (π

2
< 10) f) (1< 2 ) ⇒ 7 là số nguyên tố
2. Phủ định các mệnh đề sau :
a/ 1 < x < 3 b/ x ≤ −2 hay x ≥ 4
c/ Có một ∆ABC vuông hoặc cân
d/ Mọi số tự nhiên đều không chia hết cho 2 và 3
e/ Có ít nhất một học sinh lớp 10A học yếu hay kém.
f/ x< 2 hay x=3.
g/ x ≤ 0 hay x>1.
h/ Pt x
2
+ 1 = 0 vô nghiệm và pt x+3 =0 có nghiệm
3. Xét đúng (sai)mênh đề và phủ định các mệnh đề sau :
a/ ∀x ∈ R , x
2
+ 1 > 0 b/ ∀x ∈ R , x
2
− 3x + 2 = 0
c/ ∃n ∈ N , n
2
+ 2 chia hết cho 4 d/ ∃n ∈ Q, 2n + 1 ≠ 0
e/ ∀a ∈ Q , a
2
> a f) ∀x ∈ R , x
2
+x chia hết cho 2.
4.Dùng bảng đúng (sai)để chứng minh:
a) A⇒ B = b)
c) d)
B. SUY LUẬN TOÁN HỌC

5. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện đủ"
a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng.
b/ Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
c/ Nếu a + b > 2 thì a > 1 hay b > 1
d/ Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là số 0 thì nó chia hết cho 5.
e/ Nếu a + b < 0 thì ít nhất một trong hai số phải âm.
6. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện cần"
a/ Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.
b/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì nó có các góc tương ứng bằng nhau.
c/ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
d/ Nếu a = b thì a
3
= b
3
.
¤
3
3
11
2
7
B A⇒
A B A BΛ = ∨
A B A B∨ = ∧
( ) ( ) ( )A B C A B A C∧ ∨ = ∧ ∨ ∧
-10-
e/ Nếu n
2
là số chẵn thì n là số chẵn.
7.Dùng phương pháp phản chứng, CMR :

a/ Nếu n
2
là số chẵn thì n là số chẵn.
b/ Nếu n
2
là số chẵn thì n là số chẵn.
c/ Nếu x
2
+ y
2
= 0 thì x = 0 và y = 0
d/ Nếu x = 1 hay y = thì x + 2y − 2xy − 1 = 0
d/ Nếu x ≠ − và y ≠ − thì x + y + 2xy ≠ −
e/ Nếu x.y chia hết cho 2 thì x hay y chia hết cho 2.
f) Nếu d
1
// d
2
và d
1
// d
3
thì d
2
// d
3
.
8. Chứng minh vơi mọi số nguyên dương n, ta có:
a) 1 + 3 + 5 + 7 + . . . . . . . . . + (2n – 1) = n
2

b) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . . . . . . . . + (2n) = n(n +1)
c) 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . . . . . + n =
a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . . . + n.(n +
1) =
b)
c)
d) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . . . . . . . . + n
2
=
e) 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . . . . + n
3
=
f) 2
1
+ 2
2
+ 2

3
+ . . . . .+ 2
n
=
2(2
n
– 1)
g) 3
1
+ 3
2
+ 3
3
+ . . . . + 3
n
= ( 3
n
– 1 )
h) n
3
+2n chia hết cho 3
i) n
3
+11n chia hết cho 6
j) n
3
+5n chia hết cho 6
k) 3
2n
+ 63 hết 72

l) 3
2n + 1
+ 2
n + 2
chia hết cho 7
m) 6
2n
+ 3
n + 2
+ 3
n
chia hết cho 11
n) 3
2n
– 2
n
chia hết cho 7
o) 4
n
+ 15.n – 1 chia hết cho 9
§1 MỆNH ĐỀ
1.3. a) P⇒Q: “ Nếu góc A bằng 90
0
thì BC
2
=AB
2
+AC
2
”→ đúng

Q⇒P: “ Nếu BC
2
=AB
2
+AC
2
thì góc A bằng 90
0
”→ đúng
b) P⇒Q: “ thì tam giác ABC cân”→ đúng
Q⇒ P:” “Nếu tam giác ABC cân thì ”→ sai (vì có thể
1.4. a) ∃ x ∈ : x
2
=−1; “ Có một số thực mà bình phương của nó bằng −1”→ sai
∀ x ∈ : x
2
≠−1; “ Với mọi số thực, bình phương của nó đều khác −1”
b) ∀ x ∈ :x
2
+x+2≠0; “ Với mọi số thực đều có x
2
+x+2≠0” → đúng
∃ x ∈ :x
2
+x+2=0
1.5. a) Đúng. : “”
b) Sai. :
c) Đúng vì =27 là số hữu tỉ. : “là số vô
tỉ”
d) Sai. :” x=2 khônglà nghiệm

của phương trình ”
1.8. Lập mệnh đề P⇒Q và xét tính đúng sai của nó, với:
a) Nếu 2<3 thì −4<−6 → Sai
b) Nếu 10=1 thì 100=0 → Đúng
1.9. a) Nếu là số hữu tỉ thì
2
là một số hữu tỉ → Đúng
b) Nếu
2
là một số hữu tỉ thì là số hữu tỉ
c) Khi = mệnh đề đảo sai.
2
1
2
1
2
1
2
1
2
)1n(n +
3
)2n)(1n(n ++
1n
n
)1n.(n
1

4.3
1

3.2
1
2.1
1
+
=
+
++++
1n2
n
)1n2).(1n2(
1

7.5
1
5.3
1
3.1
1
+
=
+−
++++
6
)1n2)(1n(n ++
4
)1n(n
22
+
2

3
µ µ
A B=
µ µ
A B=
µ
µ
A C=
¡
¡
¡
¡
P
1
3 2
3 2
+ ≠
−
P
( )
2
2 8 8− ≤
( )
2
3 12+
P
( )
2
3 12+
P

2
4
0
2
x
x
−
=
−
xx
xx
x
2
-11-
1.10. b) mệnh đề đảo đúng
c) =−1 thì P⇒Q sai.
1.11. a) P⇒Q đúng
b) Q⇒P đúng
1.12. a) Nếu AB=AC thì tam giác ABC cân →đúng
b) Nếu tam giác ABC cân thì AB=AC , khi AB=BC≠AC → mđ sai
1.13. a) Nếu tam giác ABC đều thì AB=BC=CA →cả hai đúng
b) Nếu AB>BC thì ; → đúng và mđ đảo đúng
c) Nếu =90
0
thì ABC là tam giác vuông. → đúng và mđ đảo sai (vuông tại B hoặc C)
1.14. a) ∃ n ∈ : n không chia hết cho n b) ∀ ∈ : +0=0
c) ∃ ∈ : < d) ∀ n ∈ : n>−n
1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng
a) Bình phương mọi số thực đều nhỏ hơn hoặc bằng 1→ sai
b) Có một số thực mà bình phương của nó nhỏ hơn hoặc bằng 0→đúng

c) Với mọi số thực , sao cho→ Sai
d) Có số thực, sao cho → Đúng
e) Với mọi số thực , sao cho
2
++1>0→
đúng
f) Có một số thực , sao cho
2
++1>0→ đúng
1.16. a) ∃ ∈ : .1≠ → sai
b) ∃ ∈ : . ≠1→ đúng
c) ∃ n ∈ : n≥n
2
→ đúng
1.17. a) “Có ít nhất một hình vuông không phải là hình thoi”→ sai
b) “Mọi tam giác cân là tam giác đều”→ sai
1.18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề:
a) x , 4x
2
-1= 0→ sai; mđ phủ “ ∀ ∈ , 4x
2
- 1≠0”
b) n , n
2
+1 chia hết cho 4→ Sai vì
Nếu n là số
tự nhiên chẳn : n
=2k (kN)
n
2

+
1 = 4k
2
+1
không chia
hết cho 4
Nếu n là số
tự nhiên le : n =
2k+1 (kN)
x
µ
µ
C A>
µ
A
¢
x
¡
x
x
¤
x
1
x
¥
2
1
1
1
x

x
x
−
= +
−
2
1
1
1
x
x
x
−
= +
−
xxx
xxx
x
¡
xx
x
¡
xx
¢
∃
∈
¤
x
¤
∃

∈
¥
∈
⇒
∈
-12-
H
G
P
Q
M
N
A
B
C
n
2
+1 = 4(k
2
+k)+2 không chia hết cho 4
Mđ phủ định “ ∀ n ∈ , n
2
+1 không chia hết cho 4”
c) x , (x-1)
2
x-1. → Sai khi =0
mđ phủ định “∃ ∈ ,(x-1)
2
=x-1”
1.19. a) đúng, ví dụ =1/10

b) sai, vì khi <3 ⇒ ||<3 sai khi =−8
Sửa lại : “∃ ∈ , ||<3⇔ <3”
c) đúng (giải thích)
d) sai. Sửa lại “∀a , a
2
≠2”
1.20. tương tự 1.19
1.21. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ":
a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng thứ ba là điều kiện đủ
để hai đường thẳng ấy song song nhau.
b) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau.
c) Số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 là điều kiện đủ để số đó chia hết cho 5.
d) a+b > 5 là điều kiện đủ để một trong hai số a và b dương.
1.22. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần":
a) Điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau là chúng có các góc tươmg ứmg bằng nhau.
b) Điều kiện cần để tứ giác T là một hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc nhau.
c) Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho là nó chia hết cho 3.
d) Điều kiện cần để a=b là a
2
=b
2
.
1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”
“Tam giác ABC là một tam giác đều là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC là tam giác cân và có một
góc bằng 60
0
”
1.24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng:
a) Sai. “Tứ giác T là một hình vuông là điều kiện đủ để nó có bốn cạnh bằng nhau”
b) Sai. “Tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7 là điều kiện cần để mỗi số đó chia hết cho 7.

c) Sai. “ ab>0 là điều kiện cần để hai số a và b dương”
d) Đúng.
1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích.
a) Sai. Vì khi diện tích bằng nhau thì chỉ cần 1 cạnh và đường cao ứng với cạnh đó bằng nhau
b) Sai.
c) Đúng. Vì Nếu ABC vuông tại A thì .
Ngược lại nếu thì
d) Đúng. Vì ABC đều
thì 2 trung tuyến bằng nhau.
Ngược lại, nếu BM=CN. Lấy Q đối xứng của C qua N, P đối ứng B qua M
⇒
¥
∀
∈
¡
≠
x
x
¡
x
xxx
x
¡
xx
∈
¤
µ
µ
µ
B C A+ =

µ
µ
µ
B C A+ =
µ µ
µ
µ µ
0 0 0
180 2 180 90A B C A A+ + = ⇒ = ⇒ =
x
-13-
Khi đó AQBC và APCB là hai hình bình hành bằng nhau
Mà CQ=BP⇒ AB=AC⇒ ABC cân.
-14-
§2 TẬP HỢP
1. Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa .
- Tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa như: A, B, C, D, các phần tử của tập
hợp đặt trong cặp dấu { }.
- Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp A ta viết a
∈
A, ngược lại ta viết a
∉
A.
- Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng. Khí hiệu
∅
2. Cách xác định tập hợp: có 2cách
- Liệt kê các phần tử : mỗi phần tử liệt kê một lần, giữa các phần tử có dấu phẩy hoặc dấu chấm
phẩy ngăn cách. Nếu số lượng phần tử nhiều có thể dùng dấu ba chấm
VD : A = {1; 3; 5; 7}
B = { 0 ; 1; 2; . . . . ;100 }

C={1;3;5; ;15;17}
- Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp, tính chất này được viết sau dấu gạch
đứng
VD : A = {x∈ N | x lẻ và x <9} ; B= {x ∈| 2x
2
-5x+3=0}
3. Tập con : Nếu tập A là con của B, kí hiệu: AB hoặc BA.
Khi đó A
⊂
B
⇔∀
x( x
∈
A
⇒
x
∈
B)
Ví dụ: A={1;3;5;7;9}, B={1;2;3; ;10}
Cho A ≠
∅
có ít nhất 2 tập con là
∅
và A.
Tính chất: A
⊂
A ,
∅

⊂

A với mọi A
Nếu A
⊂
B và B
⊂
C thì A
⊂
C
4. Tập hợp bằng nhau:
A=B
⇔
A
⊂
B và B
⊂
A hay A=B
⇔

∀
x (x
∈
A
⇔
x
∈
B)
Ví dụ : C={xR | 2x
2
-5x+2=0}, D={,2 }
⇒

C=D
- Biểu đồ Ven
Ta có *
⊂

⊂⊂

⊂

BÀI TẬP §2
2.1. Viết các tập sau bằng cách liệt kê các phần tử
A= { ∈ | 2x
2
−5x+2=0}
B= {n ∈ | n là bội của 12 không vượt quá 100}
C = {xR | (2x-x
2
)(2x
2
-3x-2) = 0}
D = {xZ | 2x
3
-3x
2
-5x = 0}
E = {xZ | |x| < 3 }
F = {x | x=3k với kZ và -4 < x < 12 }
G= {Các số chính phương không vượt quá 100}
H= {n ∈ | n(n+1)≤ 20}.
I={ | là ước nguyên dương của 12}

J={ | là bội nguyên dương của 15}
K= {n ∈ | n là ước chung của 6 và 14}
L= { n ∈ | n là bội của 6 và 8}
2.2. Viết các tập sau theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng
A={2;3;5;7} B= {1;2}
C={2;4;6;8; ;88;90} D={4;9;16;25}
2.3. Trong các tập sau tập nào là tập rỗng?
A = {x | x
2
-x+1=0 }
B = {x | x
2
-4x+2= 0}
C = {x | 6x
2
-7x+1= 0}
D = {x | | x| < 1} .
¡
⊂
⊃
∈
2
1
¥¥
¢
¤
¡
x
¡
¥

∈
∈
∈
∈
¥
xx
xx
¥
¥
∈
¡
∈
¤
∈
¢
∈
¢
-15-
2.4. Trong các tập sau, tập nào là con của tập nào?
A = {1,2,3} B = { xN | x<4 }
C = (0;+) D = { xR | 2x
2
- 7x+3= 0} .
2.5. Tìm tất cả các tập con của các tập sau:
a) A = {1;2} b) B= {1;2;3;4}.
c) C= ∅ d) D= {∅}
2.6. Tìm tất cả các tập X sao cho:
{1,2} X {1,2,3,4,5} .
2.7. Tập A = {1,2,3,4,5,6} có bao nhiêu tập con gồm hai phần tử ? Để giải bài toán , hãy
liệt kê tất cả các tập con của A gồm hai phần tử rồi đếm số tập con này. Hãy thử tìm

một cách giải khác.
2.8. Liệt kê tất cả các phần tử của mỗi tập sau:
R={3k-1| k ∈ , -5≤ k ≤5}
S={x ∈ | 3<|x|≤ }
T= { ∈ | 2x
2
−5x+2=0}
MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA
1. Liệt kê các phần tử của tập hợp sau :
a/ A = {x ∈ N / x < 6}
b/ B = {x ∈ N / 1 < x ≤ 5}
c/ C = {x ∈ Z , /x / ≤ 3}
d/ D = {x ∈ Z / x
2
− 9 = 0}
e/ E = {x ∈ R / (x − 1)(x
2
+ 6x + 5) = 0}
f/ F = {x ∈ R / x
2
− x + 2 = 0}
g/ G = {x ∈ N / (2x − 1)(x
2
− 5x + 6) = 0}
h/ H = {x / x = 2k với k ∈ Z và −3 < x < 13}
i/ I = {x ∈ Z / x
2
> 4 và /x/ < 10}
j/ J = {x / x = 3k với k ∈ Z và −1 < k < 5}
k/ K = {x ∈ R / x

2
− 1 = 0 và x
2
− 4x + 3 = 0}
l/ L = {x ∈ Q / 2x − 1 = 0 hay x
2
− 4 = 0}
2. Xác định tập hợp bằng cách nêu tính chất :
a/ A = {1, 3, 5, 7, 9} b/ B = {0, 2, 4}
c/ C = {0, 3, 9, 27, 81} d/ D = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}
e/ E ={2, 4, 9, 16, 25, 36} f/ F = {, , , }
3. Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau :
a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c}
c/ C = {a, b, c, d} d) A = {1, 2, 3, 4}
4. Cho A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 3} ; C = {2, 3} ; D = {2, 3, 5}
a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ ⊂
b/ Tìm tất cả các tập X sao cho C ⊂ X ⊂ B
c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C ⊂ Y ⊂ A
5. Cho A = {x / x là ước nguyên dương của 12} ;
B = {x ∈ N / x < 5} ; C = {1, 2, 3} ;
D = {x ∈ N / (x + 1)(x − 2)(x − 4) = 0}
a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ ⊂
b/ Tìm tất cả các tập X sao cho D ⊂ X ⊂ A
c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C ⊂ Y ⊂ B
∈
∞
∈
⊂⊂
¢
¢

19
2
x
¡
3
1
5
2
7
3
9
4
-16-
§3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
1. Phép giao 2. Phép hợp 3. Hiệu 2 tập hợp
A
∩
B =
{
x|x
∈
A và
x
∈
B
}
xAB 
Tính chất
A ∩ A=A
A ∩ ∅ = ∅

A ∩ B=B ∩ A
A
∪
B =
{
x| x
∈
A hoặc
x
∈
B
}
xAB 
Tính chất
A ∪ A=A
A ∪ ∅=A
A ∪ B= B ∪ A
A\ B =
{
x| x
∈
A và
x
∉
B
}
xA\B 
Tính chất
A\ ∅ =A
A\A= ∅

A\B≠B\A
Ví dụ 1: Cho A= {1;2;3;4}, B= {1;3;5;7;9} , C= {4;5;6;7}.
Tính AB, (AB) C, AC, (AB) C, A\ B, A\ C
BÀI TẬP §3
3.1. Cho các tập A = {0 ; 1; 2; 3}, B = {0 ; 2; 4; 6}, C = {0 ; 3; 4; 5}. Tính
A ∩ B, B ∪ C, C\A, (A ∪ B)\ (B ∪ C)
3.2. Cho A = {x∈N | x < 7} và B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}
a) Xác định A ∪ B ; A∩B ; A\B ; B\ A
b) CMR : (A ∪ B)\ (A∩B) = (A\B)∪ (B\ A)
3.3. Cho R={3k-1| k ∈ , -5≤ k ≤5}, S={x ∈ | 3<|x|≤ },
T= { ∈ | 2x
2
−4x+2=0}. Tính R ∩ S, S ∪ T, R\S
3.4. Cho A={0;2;4;6;8}, B={0;1;2;3;4}, C={0;3;6;9}. Tính
a) (A ∪ B) ∪ C và A ∪ (B ∪ C). Có n hận xét gì về hai kết quả?
b) (A ∩ B) ∩ C
d) (A ∪ B) ∩ C
e) (A \ B) ∪ C
3.5. Cho A={0;2;4;6;8;10}, B={0;1;2;3;4;5;6}, C={4;5;6;7;8;9;10}. Tính
a) B ∪ C, A ∩ B, B ∩ C, A\B, C\B b) A ∩ (B ∩ C)
c) (A ∪ B) ∩ C d) A ∩ (B ∪ C)
e) (A ∩ B) ∪ C f) (A\B) ∪ (C\B)
3.6. Cho E = { x∈ | 1 ≤ x < 7}
A= { x∈ | (x
2
-9)(x
2
– 5x – 6) = 0 }
B = { x∈ | x là số nguyên tố ≤ 5}
a) Chứng minh rằng B ⊂ E

b) Tìm C
E
B ; C
E
(A∩B)
c) Chứng minh rằng : E \ (A ∩B)= (E \A) ∪ ( E \B)
E \ ( A∪B) = ( E \A) ∩ ( E \ B)
∈
∩



∈
∈
Bx
Ax
∈
∪



∈
∈
Bx
Ax
∈
{
x A
x B
∈

∉
∪∩∪∪∪∪
¢¢
19
2
x
¡
¥
¥
¥
-17-
§4 CÁC TẬP HỢP SỐ
1. Các tập số đã học
, *, , ,
2. Các tập con thường dùng của
3.
Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn
Tập số thực (-∞;+∞)

Đoạn [a ; b]
{x∈R, a ≤ x ≤ b}
Khoảng (a ; b )
Khoảng (-∞ ; a)
Khoảng(a ; + ∞)
{x∈R, a < x < b}
{x∈R, x < a}
{x∈R, a< x }
Nửa khoảng [a ; b)
Nửa khoảng (a ; b]
Nửa khoảng (-∞ ; a]

Nửa khoảng [a ; ∞ )
{x∈R, a ≤ x < b}
{x∈R, a < x ≤ b}
{x∈R, x ≤ a}
{x∈R, a ≤ x }
[a ; b]= {x∈R, a ≤ x ≤ b}, R
+
=[0;+∞), R
−
=(−∞;0]
Chú ý 1: Có hai cách biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn trên trục số: Hoặc
gạch bỏ phần không thuộc khoảng hay đoạn đó, hoặc tô đậm phần trục số thuộc
khoảng hay đoạn đó.
Ví dụ: Biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn sau trên trục số theo hai cách
(−2;5), [−3;1], ([−1;4]
Chú ý 2:
-Tìm giao của các khoảng ta biểu diễn các khoảng đó trên cùng một trục số. Phần
còn lại sau khi đã gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp.
-Tìm hợp của các khoảng ta viết các khoảng đó trên cùng một trục số,sau đó tiến
hành tô đậm từng khoảng. Hợp của các khoảng là tất cả các tô đậm trên trục số.
-Tìm hiệu của hai khoảng (a;b)\(c,d) ta tô đậm khoảng (a;b) và gạch bỏ khoảng
(c;d), phần tô đậm còn lại là kết quả cần tìm.
Ví dụ: Tính
a) (−1;2] ∩ [1;3) = [1;2]
b) [−3;) ∩ (−1;+ ∞) =[−1; )
c) (−;2) ∪ (1;4) =(− ;4)
d) (−;2]\(1;4) =(− ;1]
BÀI TẬP §4-C1
4.1. Viết lại các tập sau về kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng. Biểu diễn chúng trên trục
số.

A={ ∈ | ≥ −3}
B={ ∈ | <8}
C={ ∈ | −1<< 10}
D={ ∈ | −6 < ≤ 8}
E={ ∈ | ≤≤ }
F={ ∈ | −1<0}
4.2. Viết các khoảng, đoạn sau về dạng kí tập hợp
E=(1;+∞) F=(−∞;6]
G=(−2;3] H=[−;1]
4.3. Xác định AB, AB, A\B, B\A và biểu diễn kết quả tên trục số
¥¥
¢
¤
¡
¡
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
x
¡
x

x
¡
x
x
¡
x
x
¡
x
x
¡
1
2
x
5
2
x
¡
x
3
2
∩∪
-18-
//////////// [
)/////////////////////
////////////( ) /////////
///////////////////(
////////////[ ) /////////
]/////////////////////
///////////////////[

0
a) A = { | 1 } B ={ | 3 }
b) A = { | 1 } B ={ | 3 }
c) A = [1;3] B = (2;+)
d) A = (-1;5) B = [ 0;6)
4.4. Cho A={ ∈ | −2≥0 }, B={ ∈ | −5>0}.
Tính A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A.
4.5. Xác định các tập sau và biểu diễn chúng trên trục số
a) (−5;3) ∩ (0;7) b) (−1;5) ∪ (3;7)
c) \(0;+∞) d) (−∞;;3) ∩ (−2;+∞)
4.6. Xác định A\B , A ∩ B, A ∪ B và biểu diễn chúng trên trục số
a) A=(−3;3) B=(0;5)
b) A=(−5;5) B=(−3;3)
c) A= B=[0;1]
d) A=(−2;3) B=(−3;3)
4.7. Xác định tập hợp C ∩ D, biết
a) C=[1;5] D=(−3;2) ∪ (3;7)
b) C=(−5;0) ∪ (3;5) D=(−1;2) ∪ (4;6)
4.8. Xác định các tập sau
a) (−3;5] ∩ b) (1;2) ∩ c) [−3;5] ∩
4.9. Xác định các tập sau
a) \((0;1) ∪(2;3)) b) \((3;5) ∩(4;6))
c) (−2;7)\[1;3] d) ((−1;2) ∪(3;5))\(1;4)
4.10. Xác định các tập sau
a) (−∞;) ∩ (;+∞) b) (−;7) ∪ (−2;)
c) (0;12)\[5;+∞) d) \[−1;1)
BÀI TẬP MINH HỌA
1. Cho 3 tập hợp : A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 6} ; C = {4, 6}
a/ Tìm A ∩ B , A ∩ C , B ∩ C b/ Tìm A ∪ B , A ∪ C , B ∪ C
c/ Tìm A \ B , A \ C , C \ B

d/ Tìm A ∩ (B ∪ C) và (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Có nhận xét gì về hai tập hợp này ?
2. Cho 3 tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {2, 4, 6} ; C = {1, 3, 4, 5}.
Tìm (A ∩ B) ∪ C và (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Nhận xét ?
3. Cho 3 tập hợp A = {a, b, c, d} ; B = {b, c, d} ; C = {a, b}
a/ CMR : A ∩ (B \ C} = (A ∩ B) \ (A ∩ C)
b/ CMR : A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)
4. Tìm A ∩ B ; A ∪ B ; A \ B ; B \ A , biết rằng :
a/ A = (2, + ∞) ; B = [−1, 3] b/ A = (−∞, 4] ; B = (1, +∞)
c/ A = (1, 2] ; B = (2, 3] d/ A = (1, 2] ; B = [2, +∞)
e/ A = [0, 4] ; B = (−∞, 2] e) A = (2 , 10) ; B = ( 4, 7 )
5. Cho A = {a, b} ; B = {a, b, c, d}. Xác định các tập X sao cho A ∪ X = B
6. A= {x ∈ N / 0< x < 10} ; A, B ⊂ X ;
A ∩ B = {9, 4, 6}
A∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} ;
B∪ { 4, 8} = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Xác định A, B.
x
∈
¡
x
≥
x
∈
¡
x
≤
x
∈
¡
x

≤
x
∈
¡
x
≥
∞
x
¡
xx
¡
x
¡
¡
¢¢
¥
¡¡
1
3
1
4
11
2
27
2
¡
-19-
§5 SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ
1. Số gần đúng
Trong nhiều trường hợp ta không thể biết được giá trị đúng của đại lượng mà ta

chỉ biết số gần đúng của nó.
Ví dụ: giá trị gần đúng của là 3,14 hay 3,14159; còn đối với là 1,41 hay 1,414;…
Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và giá trị gần
đúng của nó. Để đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối.
2. Sai số tuyệt đối:
a) Sai số tuyệt đối của số gần đúng
Nếu a là số gần đúng của thì
∆
a
=|
−
a| được gọi là sai số tuyệt đối của số gần
đúng a.
b) Độ chính xác của một số gần đúng
Trong thực tế, nhiều khi ta không biết nên ta không tính được
∆
a
. Tuy nhiên ta có
thể đánh giá
∆
a
không vượt quá một số dương d nào đó.
Nếu
∆
a
≤ d thì a
−
d≤≤ a+d, khi đó ta viết =a ± d
d gọi là độ chính xác của số gần đúng.
Ví dụ:Giả sử = và một giá trị gần đúng của a. Ta có

(1,41)
2
= 1,9881 < 2
1,41 < - 1,41 > 0.
(1,42)
2
= 2,0164 > 2
1,42 > -1,41 < |1,42-1,41|
=0,01.
Do đó : Vậy sai số
tuyệt đối của số 1,41 là không
vượt quá 0,01.
*Sai số tương đối
, do đó .
Người ta thường viết sai số tương
đối dưới dạng phần trăm (nhân với
100%).
Nếu càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao.
* Sai số tuyệt đối không nói lên chất lượng của xắp xỉ mà chất lượng đó được
phản ánh qua sai số tương đối. Sai số tương đối càng nhỏ thì độ chính xác càng
lớn.
3. Quy tròn số gần đúng
* Nguyên tắc quy tròn các số như sau:
- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay chữ số đó và
các chữ số bên phải nó bởi 0.
- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay chữ số đó và
các chữ số bên phải nó bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào số hàng vi tròn.
Ví dụ 1: Quy tròn số 7216,4 đến hàng chục là 7220(vì chữ số ở hàng quy tròn là
1 chữ số sau nó là 6)
Ví dụ 2: Quy tròn số 2,654 đến hàng phần trăm là 2,65(vì chữ số ở hàng qui tròn

là 1 chữ số sau nó là 4)
Ví dụ 3: Quy tròn số 2,649 đến hàng phần chục là 2,6(vì chữ số ở hàng qui tròn
là 6 chữ số sau nó là 4).
Chú ý: Khi thay số đúng bởi số quy tròn thì sai số tuyệt đối nhỏ hơn nửa đơn vị hàng
quy tròn
π
2
aa
a
aa
a
2
⇒
22 ⇒
⇒
22 ⇒
01,041,12 <−=−=∆ aa
a
a
δ
|| a
a
a
∆
=
δ
a
δ
|| a
d

≤
|| a
d
-20-
Ở vd1 ta có
∆
a
=|7216,4-7220|=3,6<5 (hàng quy tròn là hàng chục)
Ở vd2 ta có
∆
a
=|2,654-2,65|=0,004 <0,005 (hàng quy tròn là hàng phần trăm 0,01)
* Các viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước:
Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu quy tròn a mà không nói
rõ quy tròn đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị
của hàng đó.
d Hàng quy tròn
Hàng trăm Hàng nghìn
Hàng chục Hàng trăm
Hàng phần trăm Hàng phần chục
…………………
….
……………………
….
Ví dụ 1: Cho =1,236±0,002 số quy tròn của 1,236 là 1,24 (vì 0,002<0,01)
Ví dụ 2: Cho =37975421±150 số quy tròn của 37975421 là 37975000
Ví dụ 3: Cho số gần đúng a=173,4592 có sai số tuyệt đối không vượt
quá 0,01 (d=0,01). Khi đó số quy tròn của a là 173,5
* Chú ý:
- Kí hiệu khi viết gần đúng là

- Khi thực hiện quy tròn thì sai số tuyệt đối tăng lên.
- Hàng phần chục, phần trăm,… là những số sau đấu phẩy.
- Hàng hơn vị, hàng chục, hàng trăm,… là những số trước dấu phẩy.
4. Chữ số chắc chắn (đáng tin) (Ban CB chỉ đến số 3)
Trong số gần đúng a, một chữ số được gọi là chữ số chắc chắn nếu d không vượt
quá ( ≤ )nửa đơn vị của hàng có chữ số đó (nếu d > nửa đơn vị của hàng có chữ số đó
thì chữ số đó không chắc)
Tất cả những chữ số đứng bên trái chữ số chắc chắn là chắc chắn. Những chữ số
đứng bên phải chữ số không chắc là không chắc.
Ví dụ 1: Cho =1379425±300, xác định các chữ số chắc chắn
Ta có nên chữ số hàng
trăm không chắc, chữ số hàng
nghìn chắc chắn=> 1,3,7,9 lá các chữ số chắn.
Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có diện tích S = 180,57 cm
2
0,06 cm
2
. Tìm các
chữ số chắc của S.
Ta có nên chữ số hàng
phần chục không chắc, chữ số
hàng đơn vị chắc chắn=> 1,8,0 là các chữ số chắc chắn.
5. Dạng chuẩn của số gần đúng
- Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ
số của nó đều là chữ chắc chắn.
- Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là A.10
k
trong đó A là
số nguyên , k là hàng thấp nhất có chữ số chắc (kN). (suy ra mọi chữ số của A đều là
chữ số chắc chắn)

Khi đó độ chính xác d=0,5.10
k
Ví dụ: Giá trị gần đúng của viết ở dạng chuẩn là 2,236. Nên độ chính xác
d=0,5.10
-3
=0,0005, do đó 2,236- 0,0005≤≤2,236+0,0005
6. Kí hiệu khoa học của một số
Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng α.10
n
, 1≤|α|<10, n ∈ Z
a
a
≈
a
2
1000
50050
2
100
=<<= d
±
5,0
2
1
06,005,0
2
1,0
=<=<= d
∈
55

-21-
(ta có )
Ví dụ : Khối lượng Trái Đất là
5,98.10
24
kg
Khối nguyên tử của Hiđrô là 1,66.10
-24
g
Bình luận:
Bài số gần đúng quy tròn số chỉ mang tính chất đọc thêm nên không cần đi sâu.
BÀI TẬP §5
5.1. Cho =1,7320508…Viết số gần đúng theo quy tắc là tròn đến hai, ba, bốn chữ
số thập phân có ước lượng sai số tuyệt đối mỗi trường hợp.
HD: Ta có 1,73<<1,74⇒|-1,73|<|1,73- 1,74|=0,01 vậy sai số tuyệt đối trong
trương hợp (làm tròn 2 chữ số thập phân) không vượt quá 0,001.
5.2. Theo thống kê dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người. Giả sử sai số tuyệt
đối nhỏ hơn 10000. Hãy viết quy tròn của số trên.
Kq: 79720000
5.3. Đo độ cao một ngọn núi là h=1372,5m±0,1m. Hãy viết số quy tròn của số 1372,5
Kq: 1373
5.4. Đo độ cao một ngọn cây là h=347,13m±0,2m. Hãy viết số quy tròn của số 347,13
Kq: 347
5.5. Chiều dài cây cầu là d=1745,25m±0,01m. Hãy viết số quy tròn của 1745
Kq : 1745,3
5.6. Cho giá trị gần đúng của π là a=3,141592653589 với độ chính xác là 10
-10
. Hãy viết
số quy tròn của a.
Kq : 3,141592654

5.7. Một hình lập phương có thể tích V=180,57cm
3
±0,05 cm
3
. Xác định các chữ số chắc
chắn của V.
Kq : 0,01/2<0,05≤0,1/2⇒ 1,8,0,5 là chữ số chắc chắn.
5.8. Trong một thí nghiệm, hằng số C được xác định là 2,43265 với cận trên của sai số
tuyệt đối d=0,00312. Tìm các chữ số chắc chắn của C.
5.9. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x=43m±0,5m, chiều dài y=63m±0,5m.
chứng minh rằng chu vi P của miếng đất là P=212m±2m
m
m
10
1
10 =
−
33
33
-22-
Chương II
HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
§1 HÀM SỐ
I. Ôn tập về hàm số
1. Hàm số:
Cho D
⊂
. Hàm số f xác định trên D là một quy tắc ứng với mỗi x
∈
D là một và

chỉ một số y
∈
, kí hiệu là y= f(x). Khi đó:
+ x gọi là biến số (hay đối số) của hàm số và y gọi là hàm số của x;
+ D gọi là tập xác định (hay miền xác định);
+ f() là giá trị của hàm số tại x.
2. Cách cho hàm số
+ Hàm số cho bằng bảng.
+ Hàm số cho bằng biểu đồ.
+ Hàm số cho bằng công thức: y=f()
Chú ý: Khi hàm số cho bởi công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì : “ Tập
xác định của hàm số y=f() là tập hợp tất cả các số thực sao cho biểu thức f() có nghĩa”.
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số
a) y=f()= b) y= c)
y=
Ví dụ 2: Cho
a) Tìm tập xác định
của hàm số.
b) Tính f(−1), f(1), f(0).
3. Đồ thị hàm số
Đồ thị của hàm số y=f() xác định trên D là tập hợp các điểm M(x;f(x)) trên mặt
phẳng tọa độ với mọi
∈
D.
II. Sự biến thiên của hàm số
Cho f(x) xác định trên khoảng K. Khi đó:
f đồng biến ( tăng) trên K
⇔∀
x
1

;x
2
∈
K ; x
1
< x
2

⇒
f(x
1
) < f(x
2
)
f nghịch biến ( giảm) trên K
⇔∀
x
1
;x
2
∈
K ; x
1
< x
2

⇒
f(x
1
) > f(x

2
)
Bảng biến thiên: là bảng tổng kết chiều biến thiên của hàm số (xem SGK)
III. Tính chẵn lẻ của hàm số
+ f gọi là chẵn trên D nếu
∀
x
∈
D
⇒

−
x
∈
D và f(
−
x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.
+ f gọi là lẻ trên D nếu
∀
x
∈
D
⇒

−
x
∈
D và f(
−
x) =

−
f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng.
(Ban CB đến III)
* Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Oxy
Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có
Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q
Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q
Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p)
Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)
Đối xứng qua trục hoành thì x không đổi y’= -y
Đối xứng qua trục tung thì y không đổi x’= -
* Tịnh tiến điểm A(x;y) song song với trục tọa độ Oxy :
+ Lên trên q đơn vị được A
1
(x ; y+q)
+ Xuống dưới q đơn vị được A
1
(x ; y−q)
+ Sang trái p đơn vị được A
1
(x−p ; y)
¡¡
x
x
xxx
x
3x −
3
2x +
1 1x x+ + −

2
2 1 0
0
x khi x
y
x khi x
+ ≥

=

− <

xx
x
-23-
+ Sang phải p đơn vị được A
1
(x+p ; y)
-24-
CÁC DẠNG BÀI TẬP
I. Tìm tập xác định của hàm số
*Phương pháp
+ Để tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) ta tìm điều kiện để f(x) có nghĩa,tức là:
D = {x | f(x) }
+ Cho u(x), v(x) là các đa thức theo x , khi ta xét một số trường hợp sau :
a) Miền xác định của hàm số dạng đẳng thức : y=u(x) ; y = u(x)+v(x) ; y=| u(x) | ;
y =… là D =
(không chứa căn bậc chẵn, không có phân số, chỉ có căn bậc lẻ,…)
b) Miền xác định hàm số y = là D = { x | v(x)0 }
c) Miền xác định hàm số y = là D = { x | u(x) }

d) Miền xác định hàm số y = là D = { x | u(x) > 0 }
e) Miền xác định hàm số y = là
D= {x | u(x) }{x | v(x) } tức là
nghiệm của hệ
VÍ DỤ : Tìm tập xác định của các hàm số sau
II. Xét sự biến thiên của hàm số
* Phương pháp
+ Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x).
+ Viết D về dạng hợp của nhiều khoảng xác định ( nếu có ).
+ Xét sự biến thiên của hàm số trên từng khoảng xác định K= (a;b) như sau:
. Giả sử
∀
x
1
,x
2
∈
K, x
1
< x
2
. Tính f(x
2
) - f(x
1
)
. Lập tỉ số T =
Nếu T > 0 thì
hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b)
Nếu T < 0 thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b).

VÍ DỤ:
III. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
* Phương pháp
+ Tìm tập xác định D của hàm số y =f(x)
+ Chứng minh D là tập đối xứng, tức là : xD D
+ Tính f(-x), khi đó
. Nếu f(-x) = f(x) với xD thì y =f(x) là hàm số chẵn
. Nếu f(-x) = -f(x) với xD thì y = f(x) là hàm số lẻ.
. Nếu có một x
0
D sao f(-x
0
)f(x
0
) & f(- x
0
)-f(x
0
) thì hàm số y = f(x) không chẵn và
không lẻ.
VÍ DỤ:
IV. Tịnh tiến đồ thị song song trục tọa độ
Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có
Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q
Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q
Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p)
Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)
∈
¡
∈

¡
|)(| xu
¡
)(
)(
xv
xu
∈
¡
≠
)(xu
∈
¡
0
≥
)(
)(
xv
xu
∈
¡
)()( xvxu +
∈
¡
0
≥
∩
∈
¡
0

≥





≥
≥
0)(
0)(
xv
xu
12
12
)()(
xx
xfxf
−
−
∀
∈
∈−⇒ x
∀
∈
∀
∈
∈
≠≠
-25-