phương trình lagrange và phương pháp giải một số bài tập
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.18 MB, 48 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
NGUYỄN THỊ PHƢỢNG
PHƢƠNG TRÌNH LAGRANGE VÀ PHƢƠNG PHÁP
GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Sơn La, năm 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
NGUYỄN THỊ PHƢỢNG
PHƢƠNG TRÌNH LAGRANGE VÀ PHƢƠNG PHÁP
GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Ngô Đức Quyền
Sơn La, năm 2014
LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy giáo,
giảng viên chính - Thạc sĩ Ngô Đức Quyền. Người đã tận tình hướng dẫn và
giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán – Lý – Tin
trường Đại họcTây Bắc đã trang bị cho em những kiến thức và tạo điều kiện cho
em trong suốt thời gian học tập tại trường. Và em cũng xin cản ơn phòng Nghiên
cứu khoa học và hợp tác quốc tế, thư viện nhà trường đã góp phần không nhỏ để
em hoàn thành khóa luận.
Và tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến các thành viên trong lớp K51 – ĐHSP
Vật Lý đã đóng góp những ý kiến rất hay và giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn
thành khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 6 năm 2014
Tác giả khóa luận
Nguyễn Thị Phượng
MỤC LỤC
A. PHẦN MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích 2
3. Nhiệm vụ 2
4. Giả thuyết khoa học 2
5. Đối tượng nghiên cứu 2
6. Phương pháp nghiên cứu 2
7. Đóng góp của khóa luận 2
B: PHẦN NỘI DUNG 3
CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN 3
1.1. Tổng quát 3
1.1.1. Tọa độ suy rộng 3
1.1.2. Dịch chuyển ảo 3
1.1.3. Công ảo 4
1.1.4. Liên kết lí tưởng 4
1.2. Lí thuyết về phương trình Lagrange loại II 4
1.2.1 Nguyên lý dalambert – lagrange 4
1.2.2 Phương trình lagrange loại II 4
CHƢƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI 8
2.1. Dao động của con lắc lò xo 8
2.1.1. Phương trình vi phân 8
2.1.2. Nghiệm của phương trình vi phân 9
2.1.3. Trường hợp suy biến 10
2.1.4.Vận dụng 10
2.2. Dao động cưỡng bức của con lắc lò xo 15
2.2.1. Phương trình vi phân 15
2.2.2. Nghiệm của phương trình vi phân 16
2.2.3. Cộng hưởng 20
2.2.4. Vận dụng 23
2.3. Dao động của con lắc đơn 27
2.3.1. Dao động tự do của con lắc đơn 27
2.3.2. Dao động của con lắc đơn khi vật chịu thêm tác dụng của một lực lạ 28
2.3.3. Con lắc vật lý 34
2.3.4. Vận dụng 34
CHƢƠNG III: BÀI TẬP VỀ PHƢƠNG TRÌNH LAGRANGE VÀ MỘT
SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI 38
C: PHẦN KẾT LUẬN 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO 43
1
A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cơ học lý thuyết là khoa học nghiên cứu các quy luật về chuyển động
hoặc sự cân bằng và tương tác cơ học giữa các vật thể trong không gian, theo
thời gian. Sự ra đời và phát triển của cơ học lý thuyết liên quan đến các vấn đề
của kĩ thuật nói riêng và thế giới tự nhiên nói chung. Vì vậy cho đến hiện nay
nó vẫn là một trong các cơ sở của khoa học tự nhiên và kĩ thuật.
Vào thế kỉ XVII, phép tính vi phân và tích phân phát triển mạnh mẽ.
Người ta đã xây dựng được nguyên lý tổng quát của động lực học và sang thế kỉ
XIX phương pháp giải tích hóa cơ học tiếp tục được phát triển, điều này dẫn đến
hình thành nên lĩnh vực cơ học giải tích.
Từ cuối thế kỉ XIX sang cả thế kỉ XX, cơ học lí thuyết phát triển rất mạnh
mẽ. Quá trình này đã dẫn đến xuất hiện một lĩnh vực mới của cơ học ra đời đó là
lí thuyết tương đối của nhà bác học vĩ đại Anhxtanh, một trong những đỉnh cao
của trí tuệ loài người. Học thuyết này đã làm lay động quan niệm tách rời
chuyển động với không gian và thời gian của Newton mà trái lại nó khẳng định
tính hiện thực tương đối và phạm vi ứng dụng của cơ học Newton. Và như thế
cơ học lí thuyết vẫn còn đầy đủ giá trị thực tiễn của nó.
Chương trình môn Vật lí nói chung, môn Cơ học và lí thuyết nói riêng ở bậc
đại học tương đối phong phú và đa dạng. Để học tốt được các môn vật lí lí thuyết
mỗi sinh viên vần phải trang bị cho mình không những kiến thức về vật lí mà còn
phải chuẩn bị thêm cho mình kiến thức về toán giải tích, phương trình vi phân,
phương trình đạo hàm riêng, phương pháp toán lí. Chính vì vậy mà các sinh viên
gặp rất nhiều khó khăn trong quá trình học tập môn Cơ học và lý thuyết tương đối.
Nhiều sinh viên sau khi đã học xong môn Cơ học và lí thuyết tương đối đếu không
thể vận dụng các kiến thức mới, phương pháp mới vào để giải các bài toán động
lực học, đặc biệt là các bài tập về dao động và dao động điện.
Hiện nay tại thư viện trường Đại học Tây Bắc có rất ít đề tài và khóa luận
nghiên cứu về vấn đề này. Các giáo trình viết về vấn đề dao động thì sử dụng
phương pháp dùng các định luật Newton, để xây dựng các kiến thức cần thiết.
Trong các giáo trình đó đã trình bày phương pháp giản đồ véc tơ để giải các bài
toán về dao động phương pháp này hay, ngắn gọn nhưng chưa mang tính khái
quát cao. Sử dụng phương pháp ấy chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản,
trong nhiều trường hợp không thể giải quyết được. Nhiều bài toán về phương
trình Lagrange rất phức tạp vì vậy tôi đã chọn khóa luận “Phương trình
Lagrange và phương pháp giải một số bài tập”. Trong khóa luận này tôi đã
2
thống kê những kiến thức cơ bản về hàm Lagrange, bên cạnh đó để người đọc dễ
hiểu thì tôi có dựa vào hàm Lagrange để giải một số các bài tập về dao động.Tôi
mong rằng khóa luận này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên
và các giáo viên giảng dạy môn vật lý ở trường phổ thông.
2. Mục đích
Mục đích của khóa luận là giúp cho các bạn sinh viên hiểu sâu hơn về
phần cơ học đại cương và phần dao động, nhằm phục vụ tốt cho việc học tập các
môn: Điện động lực học, Vật lý thống kê, Cơ lý thuyết, Cơ học lượng tử.
3. Nhiệm vụ
Nhiệm vụ của khóa luận là nghiên cứu nguyên lý Dalambert – Lagrange,
các phương trình Lagrange loại II. Từ đó vận dụng nó để giải quyết các bài toán
và xây dựng các kiến thức về dao động.Thông qua phần kiến thức được xây
dựng, khóa luận này có vận dụng phương pháp giải tích để giải một số bài về
dao động.
4. Giả thuyết khoa học
Sự vận dụng nguyên lí Dalambert – Lagrange và các phương trình Lagrange
loại II vào để giải một số bài tập còn rất khó khăn. Nếu đi sâu nghiên cứu một cách
có hệ thống, quy trình vận dụng phương trình Lagrange loại II vào giải các bài tập cơ
học, điện học thì chắc chắn sinh viên vật lí sẽ có khả năng vận dụng tốt các kiến thức
của cơ học lí thuyết để giải các bài toán cơ, điện một cách triệt để.
5. Đối tƣợng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là phương trình Lagrange loại II và các kiến thức
về dao động.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
Khóa luận này dùng phương pháp nghiên cứu lí thuyết để xây dựng một
số kiến thức về dao động và sử dụng phương trình Lagrange loại II
7. Đóng góp của khóa luận
Khóa luận này sẽ trở thành tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên
chuyên nghành Vật lý để phục vụ cho học tập và là tài liệu tham khảo trong
giảng dạy
Khóa luận chỉ ra một số bài tập mà dùng phương pháp giản đồ vectơ
không giải quyết được.
3
B: PHẦN NỘI DUNG
CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Tổng quát
1.1.1. Tọa độ suy rộng
Để khảo sát 1 cơ hệ ta cần chỉ ra được liên kết đặt lên cơ hệ. Liên kết này
được biểu diễn bởi n phương trình
1 2 N
f (r ,r , r ,t) 0, 1,2,3, ,n
(1.1)
Nếu n phương trình này là độc lập thì trong số 3N tọa độ Descartes có
s = 3N – n tọa độ độc lập
Muốn xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ cần phải xác định s
thông số độc lập.
Giả sử chúng ta tìm được s thông số
1 2 3 s
q ,q ,q , q
liên hệ với các véctơ
i
r (i 1,2,3 N)
bởi các phương trình.
i i 1 2 3 s
r r (q ,q ,q , q ,t),i 1,2,3, N
(1.2)
Sao cho khi thay phương trình (1.2) vào phương trình (1.1) thì các
phương trình này sẽ trở thành đồng nhất thức
1 2 N
f (r ,r , r ,t) 0
Các thông số độc lập
1 2 3 s
q ,q ,q , q
gọi là tọa độ suy rộng của cơ hệ chịu
liên kết (1.1).
1.1.2. Dịch chuyển ảo
Chất điểm M được xác định bởi véctơ
i
r
. Sau một khoảng thời gian
dt
vô
cùng bé chất điểm được xác định bởi véctơ
ii
r dr
.
Tập hợp các véctơ dịch chuyển vô cùng bé
i
dr
được gọi là những dịch
chuyển khả dĩ.
Giả sử tại thời điểm t ta lấy hai hệ thống véctơ dịch chuyển khả dĩ
i
dr
và
i
dr '
.
Hiêụ của hai véctơ
i
dr
và
i
dr '
là một véc tơ vô cùng bé và được kí hiệu
bằng
i
r
Tập hợp những véctơ
i
r
=
i
dr
-
i
dr '
gọi là những véctơ dịch chuyển ảo.
4
1.1.3. Công ảo
Công ảo là một đại lượng vật lý được xác định bởi công thức:
NN
i i ix i iy yi iz zi
i 1 i 1
A R r (R x R R )
(1.3)
Trong đó
i
R
là những phản lực kiên kết đặt lên cơ h
1.1.4. Liên kết lí tƣởng
Liên kết được gọi là liên kết lí tưởng nếu tổng công ảo của những phản
lực liên kết đặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng không, nghĩa là:
NN
i i ix i iy yi iz zi
i 1 i 1
R r (R x R R )
= 0 (1.4)
1.2. Lí thuyết về phƣơng trình Lagrange loại II
1.2.1 Nguyên lý dalambert – lagrange
Xét cơ hệ gồm N chất diểm chịu những lực kiên kết lí tưởng đặt lên nó,
phương trình chuyển động của chất điểm i trong cơ hệ có dạng.
i i i i i i i i
m a F R m a F R
Nhân hai vế của phương trình trên với
i
r
ta nhận được
i
i i i i i
(m a F) r R r
Phương trình chuyển động của tất cả các chất điểm trong cơ hệ
N
i i i i
i1
(m a F) r 0
Theo điều kiện (1.4) ta có :
N
i i i i
i1
(m a F) r 0
(1.5)
(1.5) được gọi là biểu thức của nguyên lý Dalambert – Lagrange
1.2.2 Phƣơng trình lagrange loại II
- Khảo sát hệ gồm N chất điểm, liên kết đặt trên cơ hệ được biểu diễn bằng
n phương trình:
1 2 N
f (r ,r , r ,t) 0, 1,2,3, ,n
- Số bậc tự do của cơ hệ :
s 3N n
5
- Vị trí của cơ hệ được xác định bởi s tọa độ suy rộng
1 2 3 s
q ,q ,q , q
. Các bán
kính véctơ
i
r
là hàm của
1 2 3 s
q ,q ,q , q
và t:
i i 1 2 3 s
r r (q ,q ,q , q ,t),i 1,2, N
- Xuất phát từ nguyên lý Dalambert – lagrange ta thành lập phương trình
chuyển động của cơ hệ trong tọa độ suy rộng.
- Trước tiên ta biểu diễn dịch chuyển ảo
i
r
qua biến phân của tọa độ suy
rộng.
- Giả sử các tọa độ suy rộng
kk
q q (t, )
, trong đó t là biến số thời gian,
là thông số thực
Khi
0
thì
kk
q (t,0) q (t)
xác định vị trí thực của cơ hệ
Khi
0
thì tọa độ suy rộng
k
q (t, )
xác định vị trí khả dĩ của cơ hệ phù
hợp với liên kết đặt lên nó.
Dạng
k
q
thay đổi khi biến số t không thay đổi nhưng thông số
thay đổi
- Ta định nghĩa biến phân của tọa độ suy rộng
k
q (t)
là đại lượng thực
được xác định bằng công thức:
k
k k k
q
q (t) q (t, ) q (t, )
- Tương tự ta có biến phân của
i
r
:
i
i i i
r
r r (t, ) r (t, )
(1.6)
- Vì bán kính véctơ
i
r
phụ thuộc
qua hàm
k
q (t, )
nên ta có:
ss
i i k i
ik
k 1 k 1
kk
r r q r
rq
(1.7)
- Đặt biểu thức của
i
r
từ (1.7) vào (1.5) ta nhận được
s
k k k
k1
(Z Q ) q 0
(1.8)
Trong đó :
NN
ii
k i k i i
i 1 i 1
kk
rr
Q F ,Z m a ,(k 1,2,3, s)
6
- Công nguyên tố của những hoạt lực đối với mọi dịch chuyển ảo bằng:
NN
i
i k k
i 1 i 1
k
r
A F Q q
q
Đại lượng
k
Q
gọi là lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng
- Biến đổi
k
Z
về dạng thuận tiện hơn ta được:
N N N N
i i i i i
k i i i i i i i
i 1 i 1 i 1 i 1
k k k k
r dr r d r d r
Z m r m m r m r ( )
q dt q dt q dt q
(1.9)
- Ta có:
s
i i i
ij
j1
k
dr r r
rq
dt t q
(1.10)
- Từ (1.10) suy ra:
ii
kk
rr
(i 1,2,3 N;k 1,2, s)
(1.11)
- Dùng hệ thức (1.10) ta có:
22
s
i i i i
j
j1
k k j k k
r r r d r
q ( )
q t q q q dt q
(1.12)
- Chú ý đến các hệ thức (1.11) và (1.12) ta có thể viết
k
Z
dưới dạng :
NN
ii
k i i i i
i 1 i 1
kk
d r r
Z m r m r
dt q q
Hay:
k
kk
d T T
Z ,(k 1,2 ,s)
dt q q
(1.13)
Trong đó
2
ii
1
T m (r )
2
T là động năng của cơ hệ .
- Vì các biến phân
k
q
là độc lập tùy ý và khác không nên biểu thức (1.8)
chỉ thỏa mãn khi tất cả các nhân tử của
k
q
trong biểu thức đó bằng không,
nghĩa là:
kk
Z Q 0
hay
kk
ZQ
- Thay từ (1.13) vào ta được :
k
kk
d T T
Q
dt q q
, (k = 1,2,…,s) (1.14)
7
- Nếu hoạt lực
i
F
tác dụng lên cơ hệ là lực thế thì giữa năng lượng tương tác
của cơ hệ
1 2 N
U r ,r , r
và lực thế liên hệ với nhau bằng hệ thức:
i
i
U
F
r
- Biểu thức của lực suy rộng trong trường hợp này có dạng :
NN
ii
ki
i 1 i 1
k k k
i
r U r U
QF
q q q
r
(1.15)
- Đặt
k k 1, 2, s,
r r q q q t
vào biểu thức của U thì thế năng U chỉ phụ thuộc
vào
k
q
và thời gian t,
1 2 3 s,
U U q ,q ,q , q t
Do
k
U
0
q
nên ta có :
kk
TU
T
- Như vậy phương trình (1.14) bây giờ có dạng
kk
d L L
0
dt q q
(1.16)
Trong đó L = T-U là hàm Lagrange của hệ .
Các phương trình (1.14) và (1.16) chính là phương trình Lagrange loại II
của hệ.
8
CHƢƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI
2.1. Dao động của con lắc lò xo
Bài toán
Xét một con lắc lò xo gồm 1 vật nặng có khối lượng m gắn vào một đầu
của lò xo có độ cứng k, đầu kia của lò xo được giữ cố định. Khối lượng của lò
xo nhỏ không đáng kể. Con lắc được đặt trên một mặt phẳng nằm ngang, hệ
số ma sát giữa vật và mặt phẳng coi như không đáng kể. Đặt hệ thống trong
một môi trường có hệ số nhớt
. Kích thích để con lắc dao động.Hãy khảo sát
sự dao động của con lắc nói trên, biết rằng lực cản tác dụng lên vật tỉ lệ với
vận tốc
c
Fx
2.1.1. Phƣơng trình vi phân
- Chọn hệ tọa độ gồm mặt phẳng xOy nằm ngang, trục Oz thẳng đứng và
vuông góc với mặt phẳng xOy.
- Các phương trình liên kết:
x 0,y 0
hệ có một bậc tự do, con lắc chỉ
chuyển động theo trục Ox
- Chọn
qx
là tọa độ suy rộng của hệ, gốc tọa độ và gốc thế năng tại vị trí
cân bằng
- Xét vật ở li độ x, động năng của hệ:
2
1
T mx
2
- Các lực tác dụng lên vật m gồm có:
+ Trọng lực:
P mg
+ Phản lực:
N
+ Lực đàn hồi:
F kx
+ Lực cản của môi trường:
c
Fx
.
- Công nguyên tố đối với dịch chuyển ảo
r
.
CC
0
A P N F F r P r N r F r F r kx x x x Q x
Q kx x
9
- Phương trình Lagrange loại II có dạng:
d T T
Q
dt x x
Hay
k
mx kx x mx x kx 0 x x x 0
mm
- Đặt
22
00
k
, x 2 x x 0
2m m
(2.1)
(2.1) chính là phương trình vi phân của dao động tắt dần.
2.1.2. Nghiệm của phƣơng trình vi phân
- Đặt
rt
x Ce
, thay x vào phương trình (2.1) ta có phương trình đặc trưng
22
0
r 2 r 0
(2.2)
' 2 2
0
- Nếu
' 0 2 km
thì nghiệm của phương trình (2.2) là:
22
10
r q ;
22
20
rq
Với
22
0
q
- Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) có dạng:
12
r t r t
t qt qt
1 2 1 2
x C e C e e C e C e
Trong đó
1, 2
CC
là các hằng số tùy ý, phụ thuộc điều kiện ban đầu, q là số
thực.Với mọi điều kiện ban đầu, độ dời
x0
khi
t0
.Trong trường hợp này
không có dao động vì lực cản quá lớn. Người ta gọi đây là quá trình biến đổi khi
ma sát lớn.
- Nếu
' 0 2 km
thì nghiệm của (2.2) là:
12
rr
- Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) có dạng:
t
12
x C C t e
- Với mọi điều kiện ban đầu, độ dời
x0
khi
t0
.Trường hợp này
x0
chậm hơn trường hợp
'0
. Người ta gọi quá trình này là quá trình tới hạn.
- Nếu
' 0 2 km
thì nghiệm của phương trình (2.2) là:
22
10
r i i ;
22
20
r i i
Với
22
0
10
- Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) có dạng:
12
r t r t
t i t i t
1 2 1 2
x C e C e e C e C e
- Khai triển hàm mũ theo công thức Euler
i t i t
e cos t isin t; e cos t isin t
- Khi đó x được viết dưới dạng:
t i t t
1 2 1 2 1 2
x C C e cos t C C e sin t e D cos t D sin t
Với
1 1 2 2 1 2
D C C ; D C C i
, trong đó
12
D ,D
là các hằng số tùy ý.
- Đặt:
it
1
1 0 0 2 0 0 0 0 0
2
D
D A sin ;D A cos tan x e aA sin t
D
2.1.3. Trƣờng hợp suy biến
- Trong điều kiện lý tưởng thì hệ số nhớt
0
. Khi đó phương trình vi
phân (2.1) có dạng:
2
0
x x 0
(2.9)
Phương trình (2.9) được gọi là phương trình vi phân của dao động điều hòa.
- Từ (2.3), suy ra nghiệm của phương trình dao động điều hòa có dạng:
00
x A sin t
Trong đó:
0
k
m
gọi là tần số góc dao dộng riêng của hệ
0
0
2m
T2
k
gọi là chu kì dao động của hệ.
2.1.4.Vận dụng
Bài tập 1
Cho hệ dao động như hình vẽ. Hãy tìm chu kì dao động nhỏ của hệ. Biết
khối lượng của sợi dây và lò xo không đáng kể, mômen quán tính của ròng rọc
M là I, bán kính ròng rọc là R, sợi dây không trượt trên ròng rọc, ma sát ở trục
ròng rọc là không đáng kể. Khối lượng của vật là m, độ cứng của lò xo là k
GIẢI
- Chọn hệ trục tọa độ gồm mặt phẳng xOy
trùng với mặt phẳng hình vẽ, trục Oz vuông góc với
mặt phẳng xOy.
- Các phương trình liên kết:
11
x x ;y y ;z 0
M 0M M 0M M
y y ,z 0
m 0m m
Hệ số một bậc tự do, vật dao động
theo trục Ox.
- Chọn q = x là tọa độ suy rộng, gốc tọa độ và gốc thế năng tại vị trí cân
bằng.
- Động năng của hệ:
2
2 2 2 2
22
1 1 1 1 x 1 I
T mx I mx I m x
2 2 2 2 R 2 R
- Thế năng của hệ được xác định bởi công thức:
dU Fdx
- Tại vị trí cân bằng ta có:
0
P T 0
hay
0
P T 0
. Với
0
T k l
Trong đó
l
là độ dãn tại vị trí cân bằng.
- Tại li độ x ta có:
F P T
hay
F P k l x kx
- Từ công thức
2
1
dU Fdx U kx
2
22
2
1 I 1
L T U m x kx
2 R 2
- Phương trình Lagrange loại II:
d L L
0
dt x x
Hay:
2
2
Ik
m x kx 0 x x 0
I
R
m
R
- Đặt:
22
00
2
k
x x 0
I
m
R
- Chu kì dao động của hệ là:
2
0
0
I
m
2
R
T2
k
Bài tập 2
Cho hệ thống dao động như hình vẽ, vật năng có khối lượng m khung
ABCD gồm các thanh khối lượng không đáng kể.Có thể di động được nhờ khớp
12
ở 4 đỉnh. Tại vị trí cân bằng, khung có dạng hình thoi, góc ở đỉnh là
0
2
. Bóp
nhẹ hai đầu BD rồi thả ra.
1. Chứng minh vật dao động điều hòa? Biết rằng độ biến dạng của lò xo
nhỏ hơn rất nhiều so với AB.
2. Lập biểu thức tần số và chu kì dao động?
GIẢI
1. Chọn hệ trục tọa độ gồm mặt phẳng xOy trùng
với mặt phẳng hình vẽ (trục Ox thẳng đứng hướng
xuống dưới, trục Oy nằm ngang) và trục Oz vuông góc
với mặt phẳng xOy
- Các phương trình liên kết
y0
z0
hệ có một bậc tự do, vật chỉ dao động theo trục.
- Chọn q = x là tọa độ của hệ, gốc tọa độ và gốc
thế năng tại vị trí cân bằng.
* Khi vật ở vị trí cân bằng ta có:
Tại C :
0
P 2T 0
Tại B, D:
00
2T k l 0
00
0
0 0 0
0
P 2T cos 0
1
P k l 0
2T sin k l 0
tan
Với
0
l
là độ biến dạng của lò xo ở vị trí cân bằng.
* Khi vật m có li độ x thì lò xo biến dạng một đoạn x’
- Chiều dài của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng:
10
l 2ABsin
- Chiều dài của lò xo khi ở li độ x:
2
l 2ABsin
Trong đó 2
là góc tại đỉnh A khi vật ở li độ x.
- Độ biến dạng của lò xo khi vật ở li độ x:
x’=
1 2 0
l l 2AB sin sin
(*)
- Li độ x của vật được xác định bởi:
0
x 2AB cos cos
(**)
13
- Từ (*) và (**) ta có:
00
0 0 0 0
cos sin
x' 1 x
22
x'
x
sin sin tan tan
2 2 2 2
- Ta có:
0
0
00
P 2T cos F
P 2T F
2Tsin k l x' 0
2T k l x' 0
0
k1
Fx
tan
tan
2
- Vì x’
AB
nên
0
2
0
k
Fx
tan
- Từ công thức dU
2
2
0
1k
Fdx U x
2 tan
- Động năng của hệ là:
2
1
T mx
2
- Hàm Lagrange của hệ :
22
2
0
1 1 k
L T U mx x
2 2 tan
- Phương trình Lagrange loại II của hệ
d L L
0
dt x x
Hay
22
00
k k 1
mx x 0 x x 0
tan m tan
- Đặt
22
00
2
0
k1
x x 0
m tan
vật m dao động điều hòa
2. Tần số và chu kì dao động:
0
00
0
1 k 2 2 m
;T
1
tan m k
tan
Bài tập 3
Một mạch điện gồm hai dây dẫn song song, được nối với nhau nhờ cuộn
dây có độ tự cảm L và một thanh có khối lượng m có thể trượt tự do không ma
sát trên các dây dẫn. Các dây dẫn nằm trong mặt phẳng nằm ngang trong từ
trường thẳng đứng đồng nhất có cảm ứng từ
B
. Khoảng cách giữa hai dây dẫn
14
là l, điện trở của mạch nhỏ không đáng kể. Tại thời điểm t = 0 người ta truyền
cho thanh vận tốc
0
v
về phía phải. Hãy tìm quy luật chuyển động x(t) của nó ?
x
GIẢI
- Khi thanh chuyển động, từ thông qua khung dây biến thiên:
BS
= Blx
- Từ thông biến thiên làm xuất hiện trong khung một dòng điện cảm ứng:
i =
Blx
LL
- Chọn q = x là tọa độ suy rộng của thanh, gốc tọa độ và gốc thế năng tại vị
trí cân bằng ta có:
- Động năng của thanh:
2
1
T mx
2
- Các lực tác dụng lên thanh:
+ Trọng lực
P
+
Phản lực đặt lên hai đầu của thanh:
12
N ,N
+ Lực từ:
F Bli
- Công nguyên tố đối với dịch chuyển ảo
r
:
12
A F P N N r Q x
15
Hay iBl
x
= Qδx
Lực suy rộng:Q = iBl =
22
B l x
L
- Phương trình Lagrange loại II:
2 2 2 2
d T T B l x B l x
Q mx x 0
dt x x L mL
- Đặt:
22
22
00
Bl
x x 0
mL
- Nghiệm của phương trình vi phân có dạng: x = Asin
0
t
- Điều kiện ban đầu:
0
0
o
0
0
x 0 0
Asin 0
v
A
A cos 0
x 0 v
- Vậy nghiệm của dao động là:
0
0
0
v
x sin t
với
0
Bl
ml
2.2. Dao động cƣỡng bức của con lắc lò xo
Bài toán
Xét một con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào một đầu
của lò xo có độ cứng k, đầu kia của lò xo được giữ cố định. Vật nặng chuyển
động dọc theo trục Ox trong môi trường có hệ số nhớt
dưới tác dụng của lực
cưỡng bức hợp với phương dao động một góc
. Cho biết lò xo có khối lượng
không đáng kể, lực cản của môi trường nhớt tác dụng lên vật tỉ lệ với vận tốc
của vật
c
F
. Hãy khảo sát đặc tính của hệ?
2.2.1. Phƣơng trình vi phân
- Chọn hệ tọa độ gồm mặt phẳng xOy
trùng với mặt phẳng hình vẽ
(trục Ox thẳng đứng hướng xuống dưới )
và trục Oz vuông góc với mặt phẳng xOy.
- Các phương trình liên kết:
x0
y0
Hệ có một bậc tự do, vật dao động theo trục
Ox
16
- Chọn q = x là tọa đô suy rộng
- Động năng của hệ:
2
1
T mx
2
- Ở li độ x các lực tác dụng lên vật gồm có:
+ Trọng lực:
P mg
+ Lực cưỡng bức:
F
+ Lực đàn hồi:
dh
F k x l
+ Lực cản của môi trường:
c
Fx
- Công nguyên tố đối với dịch chuyển ảo
r
:
dh c
A P F F F r Q x
Hay:
A mg x k l x x x F cos x
Q mg k l kx x F cos
- Tại vị trí cân bằng thì:
mg k l 0
Ta luôn có điều này trong suốt quá trình dao động
- Vì vậy biểu thức của lực suy rộng là:
Q kx x F cos
- Phương trình Lagrange của hệ:
d T T
Q
dt x x
F
k
mx kx x F cos x x x cos
m m m
(3.1)
2.2.2. Nghiệm của phƣơng trình vi phân
- Giả sử biểu thức của lực cưỡng bức có dạng :
bt
0
F F e cos t
- Khi đó phương trình vi phân (3.1) có dạng:
bt
0
k F e
x x x cos cos t
m m m
(3.5)
- Đối với dạng phương trình này thì phương pháp giản đồ không tìm ra
được nghiệm. Ta phải dùng phương pháp giải tích để giải và trong khuôn khổ
của khóa luận ta chỉ giải các phương trình vi phân bằng phương pháp giải tích.
17
- Đặt:
2
0
2m
k
m
- Khi đó phương trình (3.5)
bt
2
0
0
Fe
x 2 x x cos cos t
m
(3.6)
- Phương trình thuần nhất tương ứng:
2
0
x 2 x x 0
- Nghiệm tổng quát của phương trình này đã giải ở chương II và có dạng:
qt qt
12
t C e C e
1
xe
nếu
' 0 2 km
Trong đó
22
0
q
t
1 1 2
x e C C t
nếu
' 0 2 km
t
1 1 2
x e D cos t D sin t
nếu
' 0 2 km
Với
12
D ,D
là các hằng số thực tùy ý, được xác định dựa vào điều kiện
ban đầu. Nghiệm trong các trường hợp
2 km
không có ý nghĩa thực tế nên
ta không xét đến trường hợp này.Ta chỉ xét trường hợp, và khi đó nghiệm của
phương trình thuần nhất mà ta xét là:
t
1 1 2
x e D cos t D sin t
(3.7)
- Nghiệm riêng của phương trình (3.6) có dạng:
bt bt
1
2 1 2 1
2
C
x e C cos t C sin t e C cos t sin t
C
- Đặt:
bt
11
2
2
bt
1
CC
tan x e cos tcos sin tsin
C cos
C
e cos t
cos
- Ta có :
2
1
1
22
22
12
C
tan
C
C
cos
CC
cos sin 1
- Vậy
bt 2 2
1
2 1 2
1
C
x e C C cos t
C
- Lần lượt lấy đạo hàm bậc nhất và bậc hai biểu thức của
2
x
theo t, ta được:
bt bt
2 1 1 2
x C bC e cos t C bC e sin t
2 2 bt 2 2 bt
1 2 1 2 1 2
x b C 2b C C e cos t b C 2b C C e sin t
18
- Thay
x
và
x
vào phương trình (3.6), ta được:
2 2 2 bt
1 0 2
2 2 2 bt bt
0
1 1 0
C b 2 b C 2 2b e cos t
F
C 2b 2 C b 2 b e sin t e cos cos t
m
- Đồng nhất hệ số của hai phương trình trên, ta có:
2 2 2
0
1 0 2
2 2 2
1 1 0
F
C b 2 b C 2 2b cos
m
C 2b 2 C b 2 b 0
- Giải hệ trên ta xác định được các hệ số
12
C ,C
:
2 2 2
00
1
2
2
2 2 2
0
b 2 b Fcos
C
m b 2 b 2 2b
0
2
2
2
2 2 2
0
2 2b F cos
C
m b 2 b 2 2b
2 2 2
0
2 2b
tan
b 2 b
(3.8)
22
0
12
2
2
2 2 2
0
F cos
CC
m b 2 b 2 2b
- Do đó nghiệm riêng của phương trình (3.6):
bt
0
2
2
2
2 2 2
0
F cos e
x cos t
m b 2 b 2 2b
- Nghiệm tổng quát của phương trình (3.6) :
t
1 2 1 2
bt
0
2
2
2 2 2
0
x x x e D cos t D sin t
F cos e
cos t
m b 2 b 2 2b
* Các trƣờng hợp đặc biệt
- Nếu b=0 thì
0
F Fcos t
Phương trình vi phân có dạng (3.2)
t
0
12
2
2 2 2 2
0
F cos
x e D cos t D sin t cos
m4
19
+ Nếu lực cưỡng bức có phương trùng với phương dao dộng thì nghiệm
của phương trình (3.2) lại có dạng:
t
0
12
2
2 2 2 2
0
F
x e D cos t D sin t cos t
m4
- Nếu
0
thì
bt
0
F Fe
Khi đó phương trình vi phân có dạng (3.3)
Nghiệm tổng quát của phương trình này là:
bt
t
0
12
2
22
0
F cos e
x e D cos t D sin t cos
m b 2 b
* Giai đoạn chuyển tiếp và giai đoạn ổn định
- Nếu xét biểu thức của lực cưỡng bức có dạng
0
F Fcos t
. Thì nghiệm
của phương trình vi phân (3.2) là:
t
0
12
2
2 2 2 2
0
F cos
x e D cos t D sin t cos t
m4
- Trong biểu thức của nghiệm có chứa một thừa số phụ thuộc theo thời
gian, theo hàm số mũ âm
t
e
. Sau khoảng thời gian
4,6
thì nghiệm này
giảm đi 100 lần. Ở các khoảng thời gian sau đó
t
có thể coi như nghiệm
1
x0
, dao động tự do tắt hẳn.
- Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (3.2) là:
0
2
2
2 2 2 2
0
F cos
x x cos t
m4
Trong khoảng thời gian ngắn (gọi là giai đoạn chuyển tiếp) dao động của
hệ là sự chồng chập hai dao động; dao động tự do được biểu diễn bằng
1
x
, dao
động cưỡng bức được biểu diễn bằng
2
x
. Sau giai đoạn chuyển tiếp, dao động tự
do của hệ gần như tắt dần, dao dộng của hệ chỉ còn là dao động cưỡng bức
2
x
.
Người ta gọi giai đoạn này là giai đoạn ổn định.
20
2.2.3. Cộng hƣởng
a. Cộng hưởng li độ
Xét bài toán dao động cưỡng bức của một vật trong môi trường nhớt dưới
tác dụng của lực cưỡng bức có dạng
0
F Fcos t
và phương của lực cưỡng bức
hợp với phương dao động một góc
- Khi vật chỉ dao động cưỡng bức thì li độ dao động có biểu thức:
0
2
2 2 2 2
0
F cos
x cos t
m4
- Biên độ dao động cưỡng bức
0
2
2 2 2 2
0
F cos
A( )
m4
Biên độ này phụ thuộc tần số của ngoại lực cưỡng bức.
- Đặt:
fA
- Ta có:
2 2 2
00
2
2 2 2 2 2 2 2 2
00
2F cos 2
df
d
m 4 4
2 2 2
0
df
0 2 0
d
0
hoặc
22
0
2
;
00
2
0
F cos F cos
A0
mk
22
0
0
2
2 2 2 2 2 2
0 0 0
F cos
A2
m 2 4 2
00
22
0
F cos F cos
2m
2m
