Ứng dụng phương trình hàm Cauchy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
NGUYỄN THỊ TRÚC LY
ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Bình Định - Năm 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
NGUYỄN THỊ TRÚC LY
ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. NGUYỄN SUM
Bình Định - Năm 2013
Mục lục
Lời mở đầu 1
Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị về hàm số một biến số 3
1.1 Hàm số chẵn - hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . 7
1.4 Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính và nhân tính . 9
Chương 2 Một số dạng phương trình hàm một biến 13
2.1 Phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Phương trình hàm Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Phương trình hàm Cauchy và phương trình hàm Jensen trên
một đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Phương trình hàm dạng tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Phương trình hàm dạng lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chương 3 Một số bài toán ứng dụng 34

3.1 Ứng dụng phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Ứng dụng phương trình hàm Jensen . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Ứng dụng phương trình hàm dạng lượng giác . . . . . . . . . . 54
Kết luận 61
Tài liệu tham khảo 62
Quyết định giao đề tài luận văn 63
1
Lời mở đầu
Phương trình hàm là một trong những lĩnh vực sâu sắc trong toán sơ cấp,
nó được sử dụng trong nhiều trong việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh các
lớp chuyên chọn ở trường trung học phổ thông và trong các kỳ thi học sinh
giỏi ở các cấp.
Nhiều tài liệu và các đề tài về phương trình hàm đã được biên soạn và
thực hiện. Tuy nhiên, mỗi tài liệu chỉ trình bày một số vấn đề và các ứng
dụng chưa bao quát được đầy đủ các phương pháp giải tổng quát. Chủ yếu
các tài liệu chỉ nói về các phương trình hàm đối với các hàm cần tìm là các
hàm liên tục. Vì vậy các vấn đề về phương trình hàm vẫn còn rất phong phú.
Mục đích của luận văn là trình bày vấn đề phương trình hàm theo hướng
hệ thông hóa lý thuyết theo các dạng của phương trình hàm và ứng dụng
một cách có hiệu quả hệ thống lý thuyết trong việc nhận dạng và giải các lớp
phương trình hàm một biến số. Đặc biệt là ứng dụng các lý thuyết này trong
việc giảng dạy và bồi dưỡng kiến thức toán học cho học sinh trung học phổ
thông và làm tài liệu tham khảo cho sinh viên các ngành Toán học.
Luận văn gồm ba chương:
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị về hàm số một biến số
Chương 2. Trình bày một số dạng phương trình hàm một biến
Chương 3. Một số bài toán ứng dụng
2
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS.
NGUYỄN SUM. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng

sâu sắc đến Thầy. Thầy đã hướng dẫn tận tình để tác giả hoàn thành luận
văn này một cách tốt nhất. Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô trong Phòng sau
đại học và Khoa Toán đã tạo điều kiện, giúp đỡ cho tác giả trong quá trình
học tập và nghiên cứu.
3
Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị về hàm số
một biến số
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất của hàm số một
biến số sẽ được sử dụng trong các chương sau.
1.1 Hàm số chẵn - hàm số lẻ
Xét hàm số f x với tập xác định D f R và tập giá trị R f R.
Định nghĩa 1.1.1.
a) f x được gọi là hàm số chẵn trên M , M D f nếu
x M x M và f x f x , x M.
b) f x được gọi là hàm số lẻ trên M, M D f nếu
x M x M và f x f x , x M.
Mệnh đề 1.1.2. Cho x
0
R. Nếu hàm số f x thỏa mãn
f x
0
x f x , x R (1.1.1)
thì f x g x
x
0
2
với mọi x R và g x là hàm số chẵn.
Chứng minh. Đặt x
x

0
2
t, suy ra t
x
0
2
x . Khi đó
x
0
x
x
0
2
t
4
và (1.1.1) có dạng
f
x
0
2
t f
x
0
2
t , t R. (1.1.2)
Đặt g t f
x
0
2
t thì (1.1.2) có dạng g t g t . Do đó g t là hàm số

chẵn trên R.
Vậy f x g x
x
0
2
trong đó g x là hàm số chẵn tùy ý trên R.
Mệnh đề 1.1.3. Nếu tồn tại a, b R sao cho hàm số f x thỏa mãn
f a x f x b, x R (1.1.3)
thì f x g x
a
2
b
2
, trong đó g x là hàm số lẻ tùy ý trên R.
Chứng minh. Đặt
a
2
x t, thì x
a
2
t và a x
a
2
t. Khi đó (1.1.3)
có dạng
f
a
2
t f
a

2
t b.
Đặt f
a
2
t
b
2
g t , ta có thể viết (1.1.3) dưới dạng
g t g t 0, t R
hay
g t g t , t R. (1.1.4)
Vậy f x g x
a
2
b
2
, trong đó g x là hàm số lẻ tùy ý trên R.
1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn
Định nghĩa 1.2.1.
a) f x được gọi là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ a 0 trên M D f
nếu
x M x a M,
f x a f x , x M.
(1.2.5)
5
b) Cho f x là một hàm tuần hoàn trên M. Khi đó số T 0 được gọi là chu
kỳ cơ sở của f x nếu f x tuần hoàn với chu kỳ T mà không tuần hoàn với
bất cứ chu kỳ nào bé hơn T .
Chú ý 1.2.2. Tồn tại một hàm số f x khác hằng số, tuần hoàn trên R

nhưng không có chu kì cơ sở.
Chứng minh. Xét hàm Dirichlet
f x
0, khi x Q,
1, khi x Q.
Khi đó f x là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a Q tùy ý. Vì trong Q
không có số nhỏ nhất nên hàm f x không có chu kỳ cơ sở.
Mệnh đề 1.2.3. Nếu các hàm số f x , g x tuần hoàn trên M có các chu
kỳ lần lượt là a và b với
a
b
Q thì các hàm số F x : f x g x và
G x : f x g x cũng là những hàm tuần hoàn trên M .
Chứng minh. Theo giả thiết m, n Z với m, n 1 sao cho
a
b
m
n
.
Đặt T na mb. Khi đó
F x T f x na g x mb
f x g x
F x , x M,
G x T f x na g x mb
f x g x
G x , x M.
Hơn nữa, dễ thấy x M thì x T M . Vậy F x , G x là những hàm
tuần hoàn trên M.
6
Định nghĩa 1.2.4. Hàm số f x được gọi là phản tuần hoàn (cộng tính) chu

kỳ b b 0 trên M nếu M D f và
x M x b M
f x b f x , x M.
Mệnh đề 1.2.5. Mọi hàm phản tuần hoàn trên M đều là hàm tuần hoàn
trên M.
Chứng minh. Theo giả thiết, b 0 sao cho x M thì x b M và
f x b f x , x M. Khi đó, chúng ta có được x M thì x 2b M
và
f x 2b f x b b f x b f x f x , x M.
Ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.2.6. Hàm số f x là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M khi
và chỉ khi f x có dạng f x g x b g x với g x là hàm tuần hoàn chu
kỳ 2b.
Chứng minh. Thật vậy, với f x thỏa mãn giả thiết trên, ta có
f x b g x 2b g x b
g x g x b
g x b g x
f x , x M.
Hơn nữa, x M thì x b M. Do đó f x là hàm phản tuần hoàn chu kỳ
b trên M.
Ngược lại, với f x là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M, chọn
g x
1
2
f x
7
thì g x là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M và
g x b g x
1
2

f x b
1
2
f x
1
2
f x
1
2
f x
f x , x M.
1.3 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính
Định nghĩa 1.3.1. Hàm số f x được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính chu
kỳ a a 0, 1, 1 trên M D f nếu
x M a
1
x M,
f ax f x , x M.
Ví dụ 1.3.2. Hàm số f x sin 2π log
2
x là hàm tuần hoàn nhân tính chu
kỳ 2 trên R .
Chứng minh. Thật vậy, ta có x R thì 2
1
x R và
f 2x sin 2π log
2
2x
sin 2π 1 log
2

x
sin 2π log
2
x
f x , x R .
Mệnh đề 1.3.3. Nếu các hàm số f x , g x là các hàm tuần hoàn nhân
tính chu kỳ a và b tương ứng trên M và
ln a
ln
b
m
n
, m, n Z thì các hàm
F x : f x g x và G x : f x g x cũng là những hàm tuần hoàn nhân
tính trên M .
8
Chứng minh. Từ giả thiết suy ra a
n
b
m
. Ta chứng minh T : a
2n
b
2m
là chu kỳ của F x và G x . Thật vậy, ta có
F T x f a
2n
x g b
2m
x

f x g x
F x , x M,
G T x f a
2n
x g b
2m
x
f x g x
G x , x M.
Hơn nữa, x M thì T
1
x M.
Do dó F x và G x là những hàm tuần hoàn nhân tính trên M.
Định nghĩa 1.3.4. Hàm số f x được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân tính
chu kỳ a a 0, 1, 1 trên M nếu M D f và
x M a
1
x, M,
f ax f x , x M.
Mệnh đề 1.3.5. Mọi hàm phản tuần hoàn nhân tính trên M cũng là hàm
tuần hoàn nhân tính trên M.
Chứng minh. Theo giả thiết tồn tại b 0, 1, 1 sao cho với mọi x M thì
b
1
M và f bx f x . Do đó với mọi x M thì b
2 1
x M và
f b
2
x f bbx f bx f x f x .

Như vậy, f x là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b
2
trên M.
Mệnh đề 1.3.6. Hàm số f x là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ
b b 0, 1, 1 trên M khi và chỉ khi f x có dạng
f x
1
2
g bx g x , (1.3.6)
9
trong đó g x là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b
2
trên M.
Chứng minh. Thật vậy, nếu f x có dạng (1.3.6) thì
f bx
1
2
g b
2
x g bx
1
2
g x g bx
1
2
g bx g x
f x , x M.
Hơn nữa, x M thì b
1
M. Do đó f x là hàm phản tuần hoàn nhân tính

chu kỳ b trên M.
Ngược lại, giả sử f x là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M.
Khi đó g x f x là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b
2
trên M và
1
2
g bx g x
1
2
f bx f x
1
2
f x f x
f x , x M.
1.4 Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính
và nhân tính
Mệnh đề 1.4.1. Hàm số f x thỏa mãn hệ thức
f ax f x , x R (1.4.7)
với a 0, a 1 khi và chỉ khi
f x
h
1
log
a
x , nếu x 0,
c tùy ý, nếu x 0,
h
2
log

a
x , nếu x 0,
10
trong đó h
1
t , h
2
t là các hàm tuần hoàn cộng tính tùy ý chu kỳ 1 trên R.
Chứng minh. Xét x 0. Đặt x a
t
và f a
t
h
1
t . Khi đó, ta có t log
a
x
và hệ thức (1.4.7) tương đương với
h
1
t 1 h
1
t , t R.
Xét x 0. Đặt x a
t
và f a
t
h
2
t . Khi đó, ta có t log

a
x và hệ
thức (1.4.7) tương đương với
h
1
t 1 h
2
t , t R.
Vậy h
1
t , h
2
t là các hàm tuần hoàn cộng tính tùy ý chu kỳ 1 trên R. Mệnh
đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.4.2. Hàm số f x thỏa mãn hệ thức
f ax f x , x R (1.4.8)
với a 0, a 1 khi và chỉ khi
g x
h
3
1
2
log
a
x , nếu x 0
d tùy ý, nếu x 0
h
4
1
2

log
a
x , nếu x 0
trong đó h
3
t và h
4
t là các hàm tuần hoàn cộng tính tùy ý chu kỳ 1 trên R.
Chứng minh. Với a 0 thì f x
1
2
g x g ax , trong đó f a
2
x f x
và f x được cho bởi công thức
f x
1
2
g x g ax , (1.4.9)
ở đây g a
2
x g x , x R. Thật vậy, nếu f x có dạng (1.4.9) thì ta có
f ax
1
2
g ax g a
2
x
1
2

g ax g x f x , t R.
11
Ngược lại, nếu f x thỏa mãn (1.4.8) thì chọn g x f x . Khi đó, ta có
g a
2
x g x , x R
và
1
2
f x f x f x , x R.
Bây giờ áp dụng kết quả của Mệnh đề 1.4.1, ta được điều cần chứng minh.
Mệnh đề 1.4.3. Hàm số f x thỏa mãn
f ax f x , x R, (1.4.10)
với a 0, a 1, khi và chỉ khi f x
1
2
g x g ax , trong đó
g x
h
1
1
2
log
a
x , nếu x 0
d tùy ý, nếu x 0
h
2
1
2

log
a
x , nếu x 0
với h
1
t , h
2
t là các hàm tuần hoàn cộng tính tùy ý chu kỳ 1 trên R.
Chứng minh. Từ (1.4.10) suy ra f a
2
x f x , x R. Do đó, mọi nghiệm
của (1.4.10) đều có dạng
f x
1
2
g x g ax ,
trong đó g a
2
x g x , x R. Thật vậy, nếu f x có dạng đó thì ta có
f ax
1
2
g ax g a
2
x
1
2
g ax g x f x , x R.
Ngược lại, với mỗi f x thỏa mãn (1.4.10), chọn g x f x . Khi đó, ta
có

g a
2
x g x , x R
và
1
2
g x g ax
1
2
f x f ax
1
2
f x f x f x , x R.
Từ Mệnh đề 1.4.2 suy ra điều cần chứng minh.
12
Chú ý 1.4.4. Nếu f x là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ a 0 trên R thì
ta có được hàm số g t f ln t , t 0 là hàm tuần hoàn nhân tính chu
kỳ e
a
trên R . Ngược lại, nếu f x là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a
0 a 1 trên R thì g t f e
t
là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ lna
trên R.
13
Chương 2
Một số dạng phương trình hàm một
biến
Chương này trình bày một số dạng phương trình hàm một biến số thông
dụng được sử dụng nhiều trong việc giải các bài toán về phương trình hàm.

2.1 Phương trình hàm Cauchy
Định nghĩa 2.1.1. Phương trình hàm một biến là đẳng thức có dạng
f F x
1
, x
2
, . . . , x
k
G x
1
, x
2
, . . . , x
k
, f x
1
, f x
2
, . . . , f x
k
, (2.1.1)
trong đó:
- f là hàm số 1 biến số cần tìm xác định trên miền D R, với giá trị
trong miền E R,
- F là hàm số k biến số cho trước xác định trên D
k
R
k
,
- G là hàm số 2k biến số cho trước xác định trên D

k
E
k
R
2k
,
- x
1
, x
2
, . . . , x
k
lấy giá trị tùy ý trong D.
Phương trình hàm (2.1.1) được gọi là phương trình hàm thường với k biến
tự do.
Định nghĩa 2.1.2. Hàm số f : D E thỏa mãn phương trình (2.1.1) được
gọi là một nghiệm của phương trình đã cho. Giải phương trình (2.1.1) là tìm
tập hợp tất cả các nghiệm của nó.
Trong phần này chúng tôi trình bày các kết quả về việc giải phương trình
hàm với hai biến tự do F, G là các phép toán trên R.
14
Định nghĩa 2.1.3. Phương trình hàm Cauchy là phương trình hàm có dạng
f x y f x f y , x, y R, (2.1.2)
trong đó f x là hàm số xác định trên R.
Định lí 2.1.4. Hàm số liên tục f x là nghiệm của phương trình (2.1.2) khi
và chỉ khi
f x ax, x R,
trong đó a là hằng số tùy ý.
Chứng minh. Cho x y ta có f 2x 2f x . Bằng cách quy nạp theo n, ta
sẽ chứng minh f nx nf x với mọi n N và x R.

Thật vậy, có thể thấy được trường hợp n 1 và n 2 hệ thức cần chứng
minh là đúng. Giả sử f kx kf x , k 1. Khi đó
f k 1 x f x kx f x f kx f x kf x k 1 f x .
Cho x y 0, suy ra f 0 0.
Tiếp theo ta thay y x sẽ được
0 f x x f x f x
hay
f x f x .
Nếu n 0 thì f nx f n x nf x nf x .
Vậy f nx nf x , n Z.
Nếu n Z, n 0 thì
f x f n.
x
n
n.f
x
n
hay
f
x
n
f x
n
.
15
Xét p
m
n
Q, trong đó m, n Z. Ta có
f px f

m
n
x f m
x
n
mf
x
n
m
n
f x pf x .
Với mọi α R, n N, đặt r
n
nα
n
Q, ta có r
n
α r
n
1
n
.
Do đó ta có
lim
n
r
n
α và αx lim
n
r

n
x .
Vì f liên tục nên
f αx lim
n
f r
n
x lim
n
r
n
f x αf x .
Đặt a f 1 thì f x f x.1 xf 1 ax. Vậy f x ax, x R, a R
cho trước.
Ngược lại nếu f x ax, x R với a R thì đẽ thấy rằng f là một
nghiệm của phương trình Cauchy.
Điều kiện liên tục của hàm f tương đương với một trong các điều kiện
sau.
Bổ đề 2.1.5. Cho f : R R là một nghiệm của phương trình Cauchy (2.1.2)
không đồng nhất bằng 0. Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương
i) f liên tục trên R.
ii) f liên tục tại điểm x
0
R.
iii) f liên tục tại điểm 0.
iv) f đơn điệu thực sự trên một khoảng trong R.
v) f bị chặn trên một khoảng (hoặc một đoạn) trong R.
Chứng minh. Từ phép chứng minh của Định lý 2.1.4 ta có
f rx rf x , x R, r Q.
16

Từ i) suy ra ii) và từ ii) suy ra iii) là hiển nhiên. Ta chứng minh từ iii) suy
ra i). Thật vậy,
x
0
R, f x f x x
0
x
0
f x x
0
f x
0
.
Nếu lim
n
x
n
x
0
thì
lim
n
f x
n
lim
n
f x
n
x
0

f x
0
f 0 f x
0
f x
0
.
Vậy f liên tục tại x
0
. Do đó f là hàm số liên tục.
Bây giờ ta chứng minh i) suy ra iv). Giả sử f liên tục. Theo Định lý 2.1.4,
f x ax với mọi x R và a là hằng số. Vì f không đồng nhất bằng 0
nên a 0. Do đó f đơn điệu trên R. Ngược lại giả sử f đơn điệu trên một
khoảng I R. Ta giả thiết f đơn điệu tăng. Lấy x
0
I và ε 0 sao cho
x
0
ε, x
0
ε I. Vì x
0
ε
n
x
0
x
0
ε
n

nên
f x
0
f ε
n
f x
0
ε
n
f x
0
f x
0
ε
n
f x
0
f ε
n
.
Do đó lim
n
f x
0
ε
n
lim
n
f x
0

ε
n
f x
0
.
Giả sử lim
n
x
n
x
0
. Với mọi δ 0, chọn n
0
N sao cho x
0
ε
n
0
x
n
x
0
ε
n
0
với mọi n n
0
và f x
0
ε

n
f x
0
ε
n
δ. Khi đó
f x
0
ε
n
0
f x
n
f x
0
ε
n
0
.
Từ đây suy ra f x
n
f x
0
δ với mọi n n
0
. Vậy f liên tục tại x
0
nên
f liên tục.
Cuối cùng ta chứng minh i) tương đương với v). Ta chỉ cần chứng minh

v) suy ra i). Giả sử f bị chặn trên khoản I R. Lấy x
0
I và ε 0 sao
cho x
0
ε, x
0
ε I. Với mọi x ε, ε , f x f x x
0
f x
0
với
x x
0
I. Do đó f bị chặn trên ε, ε . Tức là tồn tại M 0 sao cho
f x M với x ε. Giả sử lim
n
x
n
0. Đặt k
n
1
x
n
N. Ta
17
có k
n
x
n

1
x
n
x
n
x
n
. Với mọi δ 0, chọn n
0
N sao cho
M
k
n
δ
và k
n
x
n
x
n
ε với mọi n n
0
. Khi đó
f x
n
f
k
n
x
n

k
n
f k
n
x
n
k
n
M
k
n
δ.
Vậy lim
n
f x
n
0 f 0 nên f liên tục tai 0, do đó f liên tục.
Kết hợp Định lý 2.1.4 và Bổ đề 2.1.5, ta thấy rằng hàm f thỏa mãn một
trong các điều kiện của Bổ đề 2.1.5 là nghiệm của phương trình hàm Cauchy
khi và chỉ khi f x ax với mọi x R và a là hằng số.
Hệ quả 2.1.6. Hàm số f liên tục trên R và nghiệm của phương trình hàm
f x y f x f y , x, y R (2.1.3)
khi và chỉ khi f x b
x
, với mọi x R và b 0 là hằng số.
Chứng minh. Nếu có x
0
R sao cho f x
0
0 thì

f x f x x
0
x
0
f x x
0
f x
0
0, x R.
Tức là f 0. Bây giờ giả thiết f x 0, x R. Khi đó
f x f
x
2
x
2
f
x
2
2
0.
Hệ thức (2.1.3) tương đương với
ln f x y ln f x f y lnf x ln f y
hay
g x y g x g y ,
trong đó g x ln f x . Theo Định lý 2.1.4, ta có g x ax với một giá trị
a R nào đó. Vậy
f x e
ax
b
x

với b e
a
0 .
Hệ quả được chứng minh.
18
Hệ quả 2.1.7. Hàm f x liên tục trên R 0 là nghiệm của phương trình
hàm
f xy f x f y , x, y R,
khi và chỉ khi f x a ln
x , x R.
Chứng minh. Với x, y R , đặt x e
u
và y e
v
. Ta có
f e
u v
f e
u
f e
v
g u v g u g v , u, v R.
Ở đây g u f e
u
liên tục trên R. Áp dụng Định lý 2.1.4, ta có g u au.
Suy ra f x g ln x a ln x, x R .
Với x 0, ta có
f x
2
f x f x

hay
f x
1
2
f x
2
1
2
a ln x
2
a ln x .
Vậy f x a ln x , x R 0 , với a R tuỳ ý.
Hệ quả 2.1.8. Hàm số f x liên tục trên R 0 là nghiệm của phương trình
f xy f x .f y , x, y R
0 .
khi và chỉ khi f x x
α
, x R 0 và α là hằng số.
Chứng minh. Cho y 1 f x f x .f 1 f x 1 f 1 0.
Nếu f 1 1 thì f x 0, x R 0 . Do vậy f 0.
Bây giờ xét f 1 1. Khi đó f 1 f x.
1
x
f x .f
1
x
. Từ đây suy ra
f x 0, x R 0 . Vì vậy
f x
2

f x .f x f
2
x 0 f x 0, x R .
19
Đặt g t f e
t
, t R. Khi đó
g t u f e
t u
f e
t
.e
u
f e
t
.f e
u
g t .g u .
Phương trình trên có ngiệm là: g t a
t
, t R. Vì x e
t
t ln x,
cho nên
f x g ln x a
ln x
e
ln a ln x
e
ln x ln a

x
ln a
x
α
, α R.
Xét x, y R , thì x, y R . Nếu x y ta nhận được f x
2
f
2
x 0.
Vì x
2
0, theo chứng minh trên f x
2
x
2 β
, với β R. Do đó
f
2
x x
2β
f x x
β
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
1. f x 0,
2. f x x
α
, x R 0 ,
3. f x
x

α
, x 0,
x
α
, x 0.
2.2 Phương trình hàm Jensen
Định nghĩa 2.2.1. Phương trình hàm Jensen là phương trình có dạng
f
x y
2
f x f y
2
, x, y R. (2.2.4)
Định lí 2.2.2. Hàm số f : R R là nghiệm của phương trình (2.2.4) khi
và chỉ khi
f x ax b, x R,
với a, b R là các hằng số.
20
Chứng minh. Rõ ràng hàm số f x ax b, x R là nghiệm của phương
trình (2.2.4). Giả sử f là một nghiệm của phương trình (2.2.4). Với y 0, ta
có
f
x
2
f x f 0
2
, x R.
Kết hợp với đẳng thức (2.2.4) ta có
f x f y
2

f
x y
2
f x y b
2
, x, y R,
trong đó b f 0 . Do đó f x y f x f y b. Đặt g x f x b, ta
có
g x y g x g y , x, y R.
Theo Định lý 2.1.4, g x ax, x R với a g 1 f 1 b f 1 f 0 .
Vậy f x ax b. Định lý được chứng minh.
Từ các kết quả trên ta có
Hệ quả 2.2.3. Nghiệm của phương trình (2.2.4) là
f x f
0
x b,
trong đó f
0
x là nghiệm tùy ý của phương trình (2.1.2) và b là hằng số thực
tùy ý.
2.3 Phương trình hàm Cauchy và phương trình hàm
Jensen trên một đoạn
Trong phần này chúng tôi trình bày việc giải các phương trình (2.1.2) và
(2.2.4) với hàm cần tìm f x xác định và liên tục trên một đoạn I α, β
R.
21
Định lí 2.3.1. Hàm số f x ax b, với a, b là các hằng số, là nghiệm tổng
quát của phương trình hàm
f
x y

2
f x f y
2
, x, y I. (2.3.5)
Chứng minh. Xét hàm ϕ : 0, 1 I α, β , ϕ t 1 t α tβ, t I.
Khi đó hàm số hàm số f là nghiệm của phương trình (2.3.5) khi và chỉ khi
g t f ϕ t , t 0, 1 là nghiệm của phương trình (2.3.5) với I 0, 1 .
Vì vậy ta có thể giả thiết I 0, 1 . Đặt f 0 b, f 1 c. Từ (2.3.5) suy ra
f
1
2
f 0 f 1
2
b
1
2
c b ,
f
1
4
f 0 f
1
2
2
b
1
4
c b ,
.
.

.
.
.
.
f
1
2
n
f 0 f
1
2
n 1
2
b
1
2
n
c b .
Ta chứng minh f x ax b, x 0, 1 , với a c b.
Với mỗi số nguyên dương n cố định, ta chứng minh
f
m
2
n
a
m
2
n
b, với mọi m N, m 2
n

. (2.3.6)
Ta thấy rằng đẳng thức này đúng với m 0, 1 với mọi n N. Giả sử đẳng
thức (2.3.6) đúng với m N và m 1 2
n
. Khi đó
f
m 1
2
n
1
2
f
m
2
n 1
f
1
2
n 1
1
2
a
m
2
n 1
b a
1
2
n 1
b

a
m 1
2
n
b.
Vậy đẳng thức (2.3.6) đúng với mọi m, n N.
Với mọi x 0, 1 ta có x lim
n
2
n
x
2
n
. Vì f liên tục nên
f x lim
n
f
2
n
x
2
n
lim
n
a
2
n
x
2
n

b ax b.