sử dụng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng nghiên cứu các trạng thái của electron trong chấm lượng tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC



HÀ ĐÌNH KHỞI



SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG KHỐI LƯỢNG
HIỆU DỤNG NGHIÊN CỨU CÁC TRẠNG THÁI CỦA
ELECTRON TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC






SƠN LA, NĂM 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC


HÀ ĐÌNH KHỞI

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG KHỐI LƯỢNG
HIỆU DỤNG NGHIÊN CỨU CÁC TRẠNG THÁI CỦA
ELECTRON TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ



CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ LÝ THUYẾT


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC


Người hướng dẫn: Ths. Lê Thu Lam




SƠN LA, NĂM 2013
LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu, với sự hướng dẫn của các thầy giáo cô giáo
trong tổ Vật lý, Trường Đại học Tây Bắc em đã hoàn thành khóa luận này.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ThS. Lê Thu Lam - Giảng viên Vật lý,
Trường Đại học Tây Bắc đã tận tình giúp đỡ, động viên và hướng dẫn em trong suốt
quá trình thực hiện khóa luận.
Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ Vật lý, Ban Chủ
nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, phòng KHCN&HTQT, Thư viện trường Đại học Tây
Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận.

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các bạn sinh viên lớp K50 ĐHSP Vật Lý, gia đình,
bạn bè đã giúp đỡ, động viên và đóng góp ý kiến để tôi hoàn thành khoá luận này.

Sơn La, Tháng 4 năm 2013
Sinh viên

HÀ ĐÌNH KHỞI






MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
I. Lý do chọn đề tài 1
II. Cơ sở nghiên cứu 2
1. Cơ sở lý luận 2
2. Cơ sở thực tiễn 2
III. Mục đích của đề tài 2
IV. Nhiệm vụ của đề tài 2
V. Đối tượng nghiên cứu 2
VI. Phạm vi nghiên cứu 2
VII. Cấu trúc của đề tài 2
VIII. Giả thuyết khoa học 3
IX. Kế hoạch thực hiện đề tài 3
X. Phương pháp nghiên cứu 3
NỘI DUNG 4
CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG KHỐI LƯỢNG HIỆU DỤNG

CHO BÀI TOÁN ELETRON TRONG TINH THỂ 4
1.1. Giới thiệu các phương pháp gần đúng nghiên cứu chuyển động của
electron trong tinh thể [4, 77

78] 4
1.1.1. Phương pháp gần đúng electron liên kết yếu [4, 93] 5
1.1.2. Phương pháp gần đúng electron liên kết mạnh [4, 105

112] 5
1.1.3. Phương pháp tổ hợp tuyến tính các hàm nguyên tử [3, 137

138] 6
1.1.4. Phương pháp giả thế [3, 146

148] 6
1.1.5. Phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng [4, 126

129] 6
1.2. Electron trong tinh thể và khái niệm khối lượng hiệu dụng 7
1.2.1. Hạt trong giếng thế [8, 1

4] 7
1.2.2. Hạt trong thế đối xứng cầu [8, 5

7] 11
1.2.3. Electron trong thế Coulomb [8, 8

11] 14
1.2.4. Hạt trong thế tuần hoàn [8,11


15] 18
1.2.5. Xây dựng khái niệm khối lượng hiệu dụng [7, 129

134] 20
1.2.6. Electron trong tinh thể [8, 16

19] 24
CHƯƠNG II: KHÁI NIỆM CÁC GIẢ HẠT VÀ CÁC CẤU TRÚC THẤP
CHIỀU 28
2.1. Khái niệm các giả hạt: electron, lỗ trống, exction [8, 19

23] 28
2.2. Các cấu trúc thấp chiều: giếng lượng tử, dây lượng tử, chấm lượng tử [5] 33
CHƯƠNG III: TRẠNG THÁI ĐIỆN TỬ TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ 36
3.1. Chế độ giam giữ yếu [8, 28 29] 36
3.2. Chế độ giam giữ mạnh [8, 30

34] 38
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 44
I. Kết luận 44
II. Kiến nghị 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO







1

MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển vượt bậc của khoa học kĩ
thuật, nhiều ngành khoa học công nghệ đã ra đời, trong đó có nghành công nghệ
nano. Tuy mới xuất hiện nhưng ngành công nghệ nano đã có những thành tựu hết
sức to lớn trên hầu hết các lĩnh vực: điện tử, y học, công nghiệp, môi trường…và
đang có rất nhiều triển vọng. Chính vì những ứng dụng kì diệu như vậy đã thúc đẩy
các nhà khoa học nói chung và các nhà vật lý nói riêng tập trung nghiên cứu nhiều
về nghành công nghệ này.
Đối tượng nghiên cứu của nghành công nghệ nano là các vật liệu có kích
thước cỡ nanomet. Vật liệu nano gồm các hệ vật liệu thấp chiều (hai chiều, một
chiều hay không chiều). Tính chất quang của các vật liệu này khác với vật liệu khối
do hiệu ứng giam giữ các hạt tải dẫn đến các phản ứng khác biệt của hệ điện tử
trong cấu trúc lượng tử đối với các kích thích bên ngoài. Sự giam giữ còn làm thay
đổi mật độ trạng thái của hạt. Giảm số chiều sẽ làm tăng tính kì dị trong mật đội
trạng thái ở điểm tới hạn. Do xác suất dịch chuyển bao gồm cả mật độ của các trạng
thái nên hiệu ứng giam giữ có thể ảnh hưởng đến các quá trình động học trong vật
liệu nano. Ví dụ CdS dưới dạng các chấm nano có thể dùng làm nguồn tạo laser
công suất lớn, hiệu suất và tính định hướng cao và đặc biệt có thể điều chỉnh kích
thước để thay đổi bước sóng phát ra.
Có nhiều phương pháp để nghiên cứu tính chất của hệ electron trong vật liệu
khối nói chung và vật liệu nano nói riêng như phương pháp gần đúng electron liên
kết yếu, phương pháp gần đúng electron liên kết mạnh… Trong đó, phương pháp
gần đúng khối lượng hiệu dụng được sử dụng rộng rãi và có nhiều ưu điểm. Người
ta hy vọng phương pháp này sẽ giúp dự báo các tính chất của hệ electron khi có ảnh
hưởng của hiệu ứng giam giữ lượng tử và tính đối xứng tuần hoàn của mạng tinh
thể khi bị phá vỡ.
Để bước đầu tiếp cận với việc nghiên cứu tính chất của các vật liệu mới này
và chuẩn bị cho các nghiên cứu sâu hơn, tôi chọn đề tài cho khóa luận của mình là:
“Sử dụng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng nghiên cứu các trạng

thái của electron trong chấm lượng tử”



2
II. Cơ sở nghiên cứu
1. Cơ sở lý luận
Để hiểu rõ hơn và nghiên cứu sâu hơn thì việc bước đầu tìm hiểu nghành công
nghệ nano qua nghiên cứu các trạng thái của electron trong tinh thể nano là rất cần
thiết.
2. Cơ sở thực tiễn
Trên thực tế, thuật ngữ công nghệ nano xuất hiện thường xuyên. Tuy nhiên để
hiểu được nó thì cũng không phải dễ dàng. Do đó, việc đưa ra một cách tổng quát
về các phương pháp gần đúng nghiên cứu electron trong tinh thể và nghiên cứu sâu
hơn về phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng sẽ giúp chúng ta có một cái
nhìn tổng quát về nghành công nghệ nano và phần nào hiểu được cở sở khoa học
của nghành công nghệ này.
III. Mục đích của đề tài
Dùng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng để tính toán các trạng thái
điện tử trong các chấm lượng tử.
IV. Nhiệm vụ của đề tài
1. Khái quát các phương pháp gần đúng nghiên cứu trạng thái của electron
trong tinh thể đặc biệt là phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng.
2. Nghiên cứu khái niệm các giả hạt, tìm hiểu về cấu trúc thấp chiều.
3. Áp dụng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng trong việc nghiên
cứu các trạng thái electron trong các chấm lượng tử.
V. Đối tượng nghiên cứu
Các chấm lượng tử.
VI. Phạm vi nghiên cứu
Các trạng thái của electron trong các chấm lượng tử.

VII. Cấu trúc của đề tài
Mở đầu
Nội dung

3
Chương I: Phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng cho bài toán electron
trong tinh thể.
Chương II: Khái niệm các giả hạt và các cấu trúc thấp chiều.
Chương III: Trạng thái electron trong chấm lượng tử.
Kết luận và đề nghị.
VIII. Giả thuyết khoa học
Luận văn này sẽ làm rõ phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng để
nghiên cứu các trạng thái electron trong các chấm lượng tử. Mà electron trong tinh
thể là hạt có khối lượng nhỏ nên linh động, mang điện tích, dễ tham gia vào nhiều
hiện tượng, quy định nhiều tính chất của vật liệu nhưng chúng lại có số lượng rất
lớn trong các tinh thể. Do đó, nghiên cứu các trạng thái của electron trong các nano
tinh thể bán dẫn là một việc rất quan trọng quyết định rất nhiều tới việc tạo ra các
chấm lượng tử theo ý muốn sau này. Và vì thế phương pháp gần đúng khối lượng
hiệu dụng là một phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu các trạng thái của electron
trong các nano tinh thể này. Đây là một phương pháp nghiên cứu ưu việt hơn hẳn
các phương pháp nghiên cứu khác.
IX. Kế hoạch thực hiện đề tài
-Từ tháng 09/2012 đến tháng 11/2012: Sưu tầm tài liệu, dịch tài liệu và hoàn
thành đề cương của đề tài.
-Từ tháng 11/2012 đến tháng 01/2013: Chắt lọc và phân tích tài liệu, hoàn
thành đề cương chi tiết của đề tài.
-Từ tháng 01/2013 đến tháng 03/2013: Viết đề tài.
-Từ tháng 03/2013 đến tháng 04/2013: Chỉnh sửa đề tài.
-Tháng 05/2013: Bảo vệ đề tài.
X. Phương pháp nghiên cứu

- Sưu tầm và dịch tài liệu.
- Tập hợp và sử lí dữ liệu
- Lấy ý kiến chuyên gia



4
NỘI DUNG
CHƯƠNG I
PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG KHỐI LƯỢNG HIỆU DỤNG
CHO BÀI TOÁN ELETRON TRONG TINH THỂ
1.1. Giới thiệu các phương pháp gần đúng nghiên cứu chuyển động của
electron trong tinh thể [4, 77

78]
Việc nghiên cứu tính chất của electron trong tinh thể là một trong những
nhiệm vụ quan trọng nhất của vật lý chất rắn. Đó là vì electron là hạt có khối lượng
bé, mang điện tích nguyên tố âm nên là hạt rất linh động, tham gia vào nhiều hiện
tượng quy định nhiều tính chất của vật chất. Đây là một vấn đề khó vì rằng để mô
tả chính xác tính chất của electron trong tinh thể cần phải xét một hệ gồm rất nhiều
hạt tương tác với nhau : electron và hạt nhân. Số lượng số hạt này rất lớn, cùng bậc
với số Avôgađrô (
23
6.10
) nên khi tính toán ta phải lập và giải một hệ phương
trình rất lớn đến mức các máy tính hiện đại mạnh nhất hiện nay cũng không giải
được.
Vì vậy cần tìm cách đơn giản hóa các phép tính toán bằng cách sử dụng các
phép gần đúng.
Trong tinh thể vật rắn, các nguyên tử cấu tạo nên hệ tương tác với nhau.

Electron trong từng nguyên tử của tinh thể chịu tác dụng của tương tác giữa các
nguyên tử. Electron ở lớp ngoài cùng chịu ảnh hưởng rất yếu của hạt nhân và dễ
bứt ra chuyển động tự do trong mạng tinh thể gọi là các electron hóa trị. Khi nghiên
cứu tính chất của vật rắn ta chỉ giới hạn việc khảo sát tính chất của các electron hóa
trị. Theo đó, ta coi mạng tinh thể được cấu tạo từ các lõi nguyên tử (gồm hạt nhân
và những electron ở lớp bên trong) mang điện dương, đặt ở các nút mạng và các
electron hóa trị.
Đầu tiên ta giả thiết rằng các lõi nguyên tử đứng yên đối với các nút mạng,
xếp đặt tuần hoàn trong mạng tinh thể. Với giả thiết này, ta xét chuyển động của
electron trong trường lực của các lõi nguyên tử đứng yên, xếp đặt tuần hoàn trong
mạng tinh thể. Sau đó mới tiếp tục xét đến ảnh hưởng của dao động mạng lên tính
chất electron.
Tuy nhiên, với giả thiết trên bài toán vẫn còn phức tạp vì ta vẫn phải xét
khoảng
23
10
electron tương tác với electron. Vì vậy một phép gần đúng đơn giản

5
hóa tiếp theo là sử dụng phép gần đúng một electron. Theo cách này, ta giả thiết
rằng có thể xét chuyển động của từng electron hóa trị riêng rẽ trong một trường thế
 
Vr
nào đó phụ thuộc vào bản thân electron mà ta đang xét, trường này được gây
ra bởi tất cả các electron còn lại cùng với tất cả các lõi nguyên tử trong tinh thể.
Sau đó, tùy thuộc vào ảnh hưởng của trường thế
 
Vr
lên chuyển động của
electron mà ta có các mô hình khác nhau cho tinh thể. Điều này cũng dẫn tới các

cách tiếp cận khác nhau khi nghiên cứu chuyển động của electron trong tinh thể thể
hiện qua các phương pháp gần đúng như phương pháp gần đúng electron liên kết
yếu, phương pháp gần đúng electron liên kết mạnh, phương pháp LCAO…
1.1.1. Phương pháp gần đúng electron liên kết yếu [4, 93]
Trong phương pháp này ta xét bài toán về chuyển động của electron trong
trường hợp thế năng
 
Vr
của electron là yếu. Hay nói cách khác, electron liên kết
yếu với các ion nút mạng. Do thế năng
 
Vr
là yếu nên ta có thể coi nó là một nhiễu
loạn và áp dụng lý thuyết nhiễu loạn của cơ học lượng tử để giải bài toán này.
Trên cơ sở của phép gần đúng này, ta có thể giải thích được nhiều tính chất
chung của vùng năng lượng trong vật rắn và giải quyết nhiều bài toán về electron
trong kim loại.
Phương pháp này áp dụng tốt cho electron lớp ngoài cùng vì những electron
này chịu tác dụng rất yếu của các lõi nguyên tử. Tuy nhiên, phương pháp này có
nhược điểm là mới xét hàm sóng ở xa tâm ion được coi gần như sóng phẳng nhưng
chưa tính đến hàm sóng của electron ở gần tâm ion có dao động nhanh như hàm
nguyên tử.
1.1.2. Phương pháp gần đúng electron liên kết mạnh [4, 105

112]
Đối với các tinh thể trong đó electron liên kết chặt với lõi nguyên tử thì trạng
thái của electron gần với trạng thái nguyên tử hơn là trạng thái electron tự do.
Trong trường hợp này, ta sử dụng phương pháp electron kết mạnh. Ở đây hàm sóng
của electron được xây dựng dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm nguyên tử.
Mỗi trạng thái nguyên tử này định xứ tại một nguyên tử nhất định nhưng trạng thái

thông qua tổ hợp các hàm nguyên tử được lan truyền trong toàn tinh thể. Phương
pháp này mô tả một nguyên lý quan trọng. Giả sử có N nguyên tử đặt rất xa nhau,
khi tổ hợp lại sẽ xuất hiện trạng thái suy biến bậc N đối với mỗi electron riêng biệt.

6
Khi các nguyên tử trên xích lại gần thì các hàm sóng sẽ phủ lẫn nhau và các trạng
thái trước đây suy biến bậc N sẽ tách ra thành các vùng, mỗi mức nguyên tử ứng
với một vùng gồm N trạng thái.
Phương pháp electron liên kết mạnh thích hợp cho việc nghiên cứu tính chất
của các electron ở những lớp bên trong của tinh thể. Phương pháp này có thể giải
thích được sự hình thành vùng năng lượng vật rắn và cho thấy chỉ cần sự ảnh
hưởng lẫn nhau giữa các nguyên tử lân cận là đã đủ làm sinh ra bức tranh vùng
năng lượng chứ không phải chỉ có tính tuần hoàn của trường tinh thể. Do đó, một
số chất rắn không có cấu trúc tinh thể vẫn có thể có các vùng năng lượng.
1.1.3. Phương pháp tổ hợp tuyến tính các hàm nguyên tử [3, 137

138]
Các vùng khác nhau nêu trên có thể rộng đến mức bắt đầu phủ nhau. Khi đó
phương pháp gần đúng electron liên kết mạnh phải được biến đổi và hàm sóng của
hệ là tổ hợp tuyến tính của các hàm nguyên tử (Linear Canbination of Atomic
Orbitals). Phương pháp LCAO được sử dụng rộng rãi trong hóa lượng tử để xác
định các hàm sóng của các phân tử. Tuy nhiên nó không được thành công lắm đối
với tính giải tích các hàm Bloch trong vật rắn. Lý do không những ở khối lượng
tính lớn hay các hàm cơ sở không trực giao mà còn ở những điều không thích hợp
mà ta không xét ở đây.
1.1.4. Phương pháp giả thế [3, 146

148]
Phương pháp này thay thế năng lượng của từng nguyên tử riêng biệt
a

V
bằng
một thế yếu
a
W
. Trừ đi các hàm sóng chuẩn hóa của các trạng thái bên trong tâm
lõi nguyên tử, giả thế yếu
a
W
cần được xây dựng sao cho ở ngoài vùng tâm lõi của
nguyên tử nó dẫn đến chính xác các hàm sóng mà chúng ứng với thế nguyên tử
a
V
.
Phương pháp này đưa đến khả năng giải quyết trong toàn bộ vấn đề của lý thuyết
về cấu trúc vùng. Tuy nhiên, việc làm trên gặp phải một số khó khăn do tính không định
xứ và không đơn giá cũng như sự phụ thuộc vào năng lượng của giả thế.
1.1.5. Phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng [4, 126

129]
Theo cơ học lượng tử, mọi thông tin về tính chất của các hệ vật lí được bao
gồm trong phương trình Schrodinger. Đối với electron trong tinh thể, hàm sóng của
nó là nghiệm của phương trình Schrodinger có dạng:

7
     
2
2
V r r E r
2m


     


(1.1)
với
 
Vr
là thế năng của electron trong trường tuần hoàn của tinh thể,
 
r
là hàm
sóng của electron, E là năng lượng của electron. Giải phương trình này rất khó vì ta
không thể biết chính xác biểu thức thế năng
 
Vr
.
Bằng cách đưa vào khái niệm khối lượng hiệu dụng m
*
, ta thấy rằng khi xác
định năng lượng của electron trong tinh thể thì ở gần điểm cực trị, ta có thể thay
phương trình Schrodinger trong trường tuần hoàn bằng phương trình Schrodinger
cho hạt tự do với khối lượng thực m của electron được thay bằng khối lượng hiệu
dụng m
*
. Khi đó phương trình Schrodinger có dạng đơn giản:
   
2
2
*

r E r
2m
    
(1.2)
Khi có một trường lực ngoài biến đổi chậm trong không gian tác dụng lên tinh
thể thì electron trong tinh thể chịu tác dụng của thế
 
Vr
và thế U của lực ngoài.
Bằng cách dùng khối lượng hiệu dụng thay cho tác động của trường tinh thể
 
Vr
,
phương trình Schrodinger hoàn toàn giải được khi ta luôn biết được biểu thức
trường ngoài U.
Phương pháp nghiên cứu như vậy gọi là phương pháp gần đúng khối lượng
hiệu dụng. Đây là phương pháp gần đúng có rất nhiều ưu điểm đã được áp dụng
thành công trong vật lý chất rắn. Đặc biệt, phương pháp này được sử dụng rộng rãi
khi nghiên cứu các vật liệu bán dẫn. Khái niệm khối lượng hiệu dụng sẽ được trình
bày kĩ ở phần sau.
1.2. Electron trong tinh thể và khái niệm khối lượng hiệu dụng
1.2.1. Hạt trong giếng thế [8, 1

4]
Xét một hạt có khối lượng m, chuyển động trong một giếng thế vuông góc với
bờ thế cao vô hạn:
 
a
0 , x
2

U x (1.3)
a
,x
2










8
Phương trình Schrodinger độc lập với thời gian có thể viết:
       
22
2
x U x x E x
2m x

     

(1.4)
Theo cơ học lượng tử, phương trình (1.4) có hai loại nghiệm chẵn và lẻ được
cho bởi biểu thức:
 
21
cos 2mE n 1, 3, 5,

a

  
(1.5)
và
 
21
sin 2mE n 2,4,6,
a

  
(1.6)
Kết quả quan trọng nhất của bài toán là một tập hợp các giá trị năng lượng:
 
2 2 2
n
2
n
E 1.7
2ma



Hình (1.1a) minh họa 3 hàm sóng đầu tiên ứng với n = 1, 2, 3 và vị trí các mức
năng lượng tương ứng.
Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp:
22
n n 1 n
2
(2n 1)

E E E (1.8)
2ma


   

tăng đơn điệu theo n. Hàm sóng với mọi trạng thái bị triệt tiêu tại
a
x
2

. Biên độ
của tất cả các hàm số sóng đều như nhau và tổng xác suất tìm thấy một hạt bên
trong giếng đúng bằng một đơn vị cho tất cả các trạng thái.

9
(a) (b) (c)
Hình 1.1: Giếng thế một chiều có hàng rào vô hạn (a) và hữu hạn (b) ứng với
ba trạng thái đầu tiên và quy luật tán sắc của giếng thế có hàng rào hữu hạn (c).
Chú ý rằng năng lượng trong phương trình (1.7) ứng với giá trị động năng. Sử
dụng mối quan hệ giữa năng lượng E, xung lượng
p
và vectơ sóng
k

 
2
p
E p k 1.9
2m



Ta được giá trị của xung lượng
p
và vectơ sóng
k
:
nn
nn
p , k (1.10)
aa



cũng là các giá trị rời rạc.


10
Nếu một hạt tồn tại trong giếng, giá trị
*

tại một vị trí nào đó phải khác
không. Các nghiệm thỏa mãn (1.3) và (1.4) với n = 0 là không được phép vì sẽ phủ
nhận sự tồn tại của hạt. Năng lượng nhỏ nhất của hạt:
22
1
2
E (1.11)
2m a




Năng lượng này được gọi là năng lượng điểm không của hạt. Kết quả này còn
có thể suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg:
px
2
  
(1.12)
Hạt bị giới hạn trong miền không gian
xa
. Do đó, theo (1.12), độ bất định
của động lượng
p
2a

. Kết quả này cho phép tìm được năng lượng nhỏ nhất:

 
 
2
2
2
p
E 1.11'
2m 8ma

  

Kết quả này tương tự
1

E
trong (1.11) với độ chính xác là
2
4


Tính chẵn lẻ của hàm sóng hạt có thể được dự đoán từ tính đối xứng của bài
toán. Tính đối xứng của giếng thế :
   
U x U x

xác định tính đối xứng của mật độ hạt:
   
22
xx   

Từ đó :
   
xx  
(1.13)
là hai nghiệm độc lập. Nói chung, tính đối xứng của các hàm sóng thường thuận lợi
trong việc giải quyết các phương trình sóng cho một hệ phức tạp.
Trong trường hợp hàng rào thế có chiều cao hữu hạn, hàm sóng không triệt
tiêu ở bờ giếng nhưng giảm theo quy luật hàm mũ trong khu vực cấm cổ điển
a
x
2

[hình.1.1 (b)]. Xác suất tìm một hạt bên ngoài giếng là khác không, xác suất
này tăng khi n tăng. Số lượng các trạng thái bên trong giếng tuân theo điều kiện:

11
 
0
a 2mU n 1 (1.14) 

Trong đó,
0
U
là chiều cao của giếng. Điều kiện này luôn thỏa mãn với n = 1.
Do đó, luôn có ít nhất một trạng thái trong giếng thế với một tổ hợp bất kỳ của
0
U

và a. Số lượng các trạng thái trong giếng có thể có ứng với giá trị lớn nhất của n mà
(1.14) vẫn được thỏa mãn. Với các trạng thái sâu, phương trình (1.7) có thể được
coi như là một phép gần đúng tốt. Tất cả các trạng thái với
n0
EU
ứng với chuyển
động không giới nội và tạo nên tính liên tục của các trạng thái.
1.2.2. Hạt trong thế đối xứng cầu [8, 5

7]
Trong trường hợp này, toán tử Hamilton của hạt có dạng :
   
2
2
H U r 1.15
2m

  

trong đó
2 2 2
r x y z  
. Từ tính đối xứng của bài toán, xét trong hệ tọa độ cầu, r,
,
:

Hình 1.2: Hệ tọa độ cầu
x rsin cos , y rsin sin , z rcos (1.16)       

Khi đó, phương trình Hamiltomain có dạng:
   
22
2
22
A
H r U r 1.17
2mr r r 2mr


  




trong đó, toán tử
A
:

 
2
2
11
A sin 1.18
sin sin

  

  


    




12
Hàm sóng bị tách thành các hàm của r,
,
:
     
R r (1.19)     

và có thể được viết dưới dạng:
 
 
   
n,
n, ,m m

ur
r, , Y , 1.20
r
     
l
l l,

trong đó
m
Y
l,
là hàm cầu và
 
n,
ur
l
thỏa mãn phương trình:

 
2 2 2
22
du
U r ( 1) u Eu (1.21)
2m dr 2mr

    


ll

Khảo sát biểu thức (1.21) thay cho phương trình với toán tử Hamiltonian
(1.17) thu được các giá trị năng lượng. Trạng thái của hệ được đặc trưng bởi ba
lượng tử số, cụ thể là, số lượng tử chính n, số lượng tử quỹ đạo l, và số lượng tử từ
m. Số lượng tử quỹ đạo xác định giá trị mô men xung lượng
L
:
   
22
L 1 0,1, 2, 3, 1.22  l l l

Số lượng tử từ xác định thành phần của vectơ mô men xung lượng
L
trên trục oz:
 
z
L m m 0, 1, 2, , 1.23    l

Mỗi trạng thái ứng với giá trị l nào đó thì bị suy biến bậc (2l +1) theo (2l + 1)
giá trị của m. Các trạng thái tương ứng với các giá trị l khác nhau thường được ký
hiệu là s, p, d, f, g… theo thứ tự bảng chữ cái. Ví dụ, trạng thái có mô men động
lượng bằng không (l = 0) gọi là trạng thái s, trạng thái với l = 1 được kí hiệu là
trạng thái p…Tính chẵn lẻ của trạng thái tương ứng với tính chẵn lẻ của giá trị l, vì
hàm bán kính không bị ảnh hưởng bởi phép nghịch đảo (
r
vẫn không thay đổi sau
phép nghịch đảo), còn hàm cầu sau phép nghịch đảo trở thành:
     
mm
Y , 1 Y ,     
l

l, l,
(1.24)
Các giá trị cụ thể của năng lượng được xác định bởi hàm U (r). Xét trường
hợp đơn giản tương ứng với giếng thế đối xứng hình cầu với hàng rào vô hạn:
 
0 , x a
U x (1.25)
, x a









trong trường hợp này, giá trị năng lượng được biểu diễn như sau:

13

 
22
n
n
2
E 1.26
2ma



l
l

trong đó
nl

là nghiệm của hàm cầu Bessel với n là số thứ tự nghiệm và l là bậc
của hàm. Các giá trị của
nl

với một vài giá trị n, l được liệt kê trong bảng 1.1.
Bảng 1.1: Nghiệm của hàm cầu Bessel
nl


l
n = 1
n = 2
n =3
0
3,142
 


6,283
 
2

9,425
 

3

1
4,493
7,725
10,904
2
5,764
9,095
12,323
Chú ý rằng với l = 0, những giá trị này bằng
n (n 1, 2, 3, )
và phương trình
(1.26) quy về biểu thức (1.7) trong trường hợp một chiều. Đó là khi l = 0, phương
trình (1.21) với hàm bán kính u(r) chính là phương trình (1.4) với thế năng (1.3).
Tóm lại, hạt trong giếng thế hình cầu nhận tập hơp các mức năng lượng 1s, 2s,
3s, … trùng với năng lượng của hạt trong một giếng hình chữ nhật một chiều và các
mức bổ sung 1p, 1d, 1f,…, 2p, 2d, 2f, …phát sinh do tính đối xứng cầu của giếng
thế (hình 1.3).

14

Hình 1.3: Các mức năng lượng của một hạt trong giếng thế hình cầu với hàng
rào vô hạn.
Trong trường hợp của giếng hình cầu với thế năng hữu hạn
0
U
. Phương trình
(1.26) có thể được áp dụng khi
0

U
là đủ lớn, nghĩa là
2
0
2
U
8ma
. Vế phải của bất
đẳng thức này là một hệ quả của hệ thức bất định (xem phương trình (1.11’)). Khi:
22
0 0min
2
UU
8ma


(1.27)
thì chỉ có một trạng thái tồn tại bên trong giếng thế,
10
EU
. Khi
0 0min
UU
,
không có trạng thái nào tồn tại bên trong giếng. Đây là sự khác biệt quan trọng của
trường hợp ba chiều khi so sánh với bài toán một chiều.
1.2.3. Electron trong thế Coulomb [8, 8

11]
Với thế Coulomb :

 
2
e
U r (1.28)
r


Phương trình ứng với thành phần xuyên tâm của hàm sóng có thể được viết:

15
 
   
2
2
1
d2
U 0 1.29
d
  
   

  

ll

Với các biến số không thứ nguyên
và
:
00
rE

,
aE
  

Trong đó
0
a
là đơn vị độ dài nguyên tử và
0
E
là đơn vị năng lượng nguyên tử
được cho bởi:
2
02
2
0
a 5,292.10 nm
m l


(1.30)
và :
2
0
2
e
E 13,60 eV
2a

(1.31)

với
0
m
là khối lượng của electron. Giải phương trình (1.29) dẫn đến các kết quả
sau:
Các mức năng lượng tuân theo dãy:
 
 
2
r
11
1.32
n 1 n
 
l

Các mức này được minh họa trong hình 1.4. Số
r
n n 1l  
được gọi là “số
lượng tử chính”. Nó lấy các giá trị nguyên dương bắt đầu từ 1. Năng lượng được
xác định hoàn toàn bởi giá trị đã cho của n,
r
n
xác định số lượng tử các nút của
hàm sóng tương ứng. Nó được gọi là “số lượng tử quỹ đạo”. Ứng với mỗi giá trị
của n có n giá trị của l (l chạy từ
 
0 n 1
). Thêm vào đó, ứng với mỗi giá trị l đã

cho, có (2l +1 ) suy biến xảy xa đối với
m 0, 1, 2,   
. Do đó, tổng bậc suy biến
là:
 
n1
2
0
2 1 n
l
l




(1.33)
Cho n = 1, l = 0 (trạng thái 1s), hàm sóng tuân theo đối xứng cầu với
0
a
là
khoảng cách ngắn nhất có thể tìm thấy electron với xác suất lớn nhất. Do vậy, giá

16
trị này trong kiểu cấu trúc nguyên tử được gọi là “bán kính Bohr”. Khi E > 0, hạt
chuyển động không giới nội với phổ liên tục.

Hình 1.4: Mức năng lượng của một hạt trong thế Coulomb
 
2
U r e r
. Với
E > 0, hạt có phổ năng lượng liên tục. Với E < 0, phổ năng lượng bao gồm một tập
hợp rời rạc của các mức tuân theo các mối quan hệ
02
n
E E n
, mỗi mức có bậc
suy biến
2
n
.
Sau đây, xét bài toán nguyên tử hiđrô bao gồm một proton có khối lượng
0
M
và một electron khối lượng
0
m
. Phương trình Schrodinger có liên quan là
phương trình hai hạt với toán tử Hamilton:
 
2 2 2
22
pe

pe
00
e
H 1.34
2m 2m
rr
     


Trong đó
pe
r ,r
lần lượt là bán kính vectơ của proton và electron, còn chỉ số p
và e trong toán tử
2

biểu thị phép lấy vi phân theo tọa độ proton và electron.
Xét bán kính vectơ tương đối
r
và bán kính vectơ xác định vị trí khối tâm
R

như sau :
 
ep
00
pe
00
m r m r
r r r , R 1.35

mM

  


và sử dụng khối lượng tổng cộng M và khối lượng rút gọn

của hệ:
 
00
00
00
mM
M m M , 1.36
mM
  



17
Toán tử Hamilton (1.34) trở thành:
 
2 2 2
22
Rr
00
e
H 1.37
2m 2m r
     

có thể thấy rằng (1.37) được phân tích thành toán tử Hamilton của hạt tự do với
khối lượng M và toán tử Hamilton của hạt với khối lượng rút gọn

chuyển động
trong thế Coulomb
 
2
e
Ur
r

. Toán tử Hamilton thứ nhất mô tả chuyển động tự do
của khối tâm nguyên tử, toán tử Hamilton thứ hai làm xuất hiện các trạng thái bên
trong. Theo (1.32), năng lượng của các trạng thái này có thể được viết:
 
y
n
2
R
E 1.38
n


với :

 
22
yB
2

B
e
R , a 1.39
2a e



ở đây,
y
R
được gọi là “ hằng số Rydberg” và là năng lượng ion hóa của trạng thái
thấp nhất, còn
B
a
là bán kính Bohr của nguyên tử hiđrô.
Khoảng cách giữa các mức năng lượng kế tiếp giảm theo n và khi E > 0,
electron và proton chuyển động không giới nội.
Ta thấy năng lượng và bán kính Bohr thể hiện qua (1.39) khác với các giá trị
tương ứng của bài toán một hạt đơn giản bởi hệ số
e
m

. Do đó, biểu thức (1.30 ) và
(1.31) được sử dụng rộng rãi thay cho (1.39).
Các bài toán hạt trong giếng cầu và của nguyên tử hiđrô là rất quan trọng cho
các nghiên cứu tiếp theo. Bài toán về hạt trong giếng thế cầu được sử dụng cho mô
hình electron và lỗ trống trong tinh thể nano còn bài toán nguyên tử hiđrô là bài
toán cơ bản cho exciton trong tinh thể khối cũng như trong các tinh thể nano. Hơn
nữa, ví dụ về bài toán hai hạt là cơ sở cho bài toán nhiều vật. Nó bao gồm sự
chuyển tiếp từ bài toán nhiều hạt (proton và electron) thành bài toán một hạt bằng

cách tái chuẩn hóa khối lượng (khối lượng rút gọn

thay bằng
00
M và m
) và tách
chuyển động tập thể thành chuyển động tịnh tiến của khối tâm và chuyển động của

18
hạt đơn lẻ trong một trường hiệu dụng nào đó. Cách tiếp cận này dẫn đến các khái
niệm khối lượng hiệu dụng và các giả hạt được giới thiệu trong phần sau.
1.2.4. Hạt trong thế tuần hoàn [8,11

15]
Xét hạt trong trường thế thỏa mãn :
     
U x U x a 1.40

Tìm hàm sóng thỏa mãn các phương trình Schrodinger với thế năng (1.40).
Nếu đối số x được thay thế bằng x +a :
x x a

Ta được phương trình :
         
2
2
x a U x x a E x a 1.41
2m
         

So sánh (1.41) và (1.4) thì hàm sóng
 
xa
và
 
x
đều thỏa mãn phương
trình Schrodinger với cùng một trị riêng E. Nếu trị riêng này không suy biến (tức là
chỉ có l hàm riêng), thì hàm
 
x
và
 
xa
khác nhau một hằng số c nào đó:
     
x a c x 1.42   

Cả hai hàm riêng phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa, giá trị tuyệt đối của c là :
c1

Do đó :

     
22
x a x 1.43   

Phương trình này cho thấy, hạt có thể tìm thấy trong khoảng
x
quanh điểm x

có cùng xác suất như quanh điểm
xa
. Do đó, sự phân bố trung bình trong không
gian của các hạt có tính chất tuần hoàn của thế năng. Khảo sát các tính chất của giá
trị
0
c
. Sau khi thực hiện hai lần phép tịnh tiến, ta được :
     
n1 n2 n1 n2
x a a c c x 1.42'    

Trong đó:
n
a na, n 1, 2, 3, 

Hiển nhiên, ta có:
n1 n2 n1 n2
a a a




19
Ta thấy :
 
 
 
n1 n2 n1 n2 n1 n2
x a a x a c x (1.42'')


       

Do đó:

 
n1 n2 n1 n2
c c c 1.44



Phương trình này có nghiệm :
 
n
ika
n
c e 1.45

trong đó k có thể lấy nhiều giá trị.
Tóm lại, các hàm sóng thỏa mãn phương trình Schrodinger với thế tuần
hoàn chỉ khác hàm tuần hoàn với chu kỳ a một hệ số có dạng
 
if x
e
, trong đó f(x ) là
hàm tuyến tính của x. Như vậy, hàm sóng có thể viết:
       
ikx
k k k n
x e u x , u x u x a (1.46)   

Phương trình (1.46) cho thấy các hàm riêng của Hamilton với thế năng tuần
hoàn là một sóng phẳng biến đổi tuần hoàn cùng chu kì với thế năng. Phát biểu này
là định lí Bloch.
Vectơ sóng
12
k , k
khác nhau bởi giá trị:
 
12
2
k k n, n 1, 2, 3, 1.47
a

    

trở nên tương đương. Đây là hệ quả trực tiếp của tính đối xứng tịnh tiến của không
gian. Do đó, tập hợp vô số các giá trị k bao gồm các khoảng tương đương :
 
3 3 5
k ; k ; k ; 1.48
a a a a a a
     
      

với độ rộng của mỗi vùng là
2
a


. Mỗi khoảng này có chứa một tập hợp đầy đủ các
giá trị không tương đương của
k
và được gọi là “vùng Brillouin”. Phổ năng lượng
và đường cong tán sắc khác với trường hợp hạt tự do (hình 1.5).



20








Hình 1.5: Sơ đồ vùng năng lượng suy rộng (a) , rút gọn (b) minh họa quy luật
tán sắc của hạt trong thế năng tuần hoàn một chiều, và các vùng năng lượng trong
không gian (c).
Đường cong tán sắc gián đoạn tại điểm :
 
n
k n, n 1, 2, 3, 1.49
a

   

Tại các giá trị này của
k

, hàm sóng là một “sóng đứng”, là kết quả của nhiều
lần phản xạ từ cấu trúc tuần hoàn. Với mọi
n
k
thỏa mãn (1.49), hai sóng đứng cùng
tồn tại với thế năng khác nhau. Điều này dẫn đến sự xuất hiện của vùng năng lượng
bị cấm, nghĩa là không tồn tại sóng truyền trong vùng đó. Do đó, đường cong tán
sắc mở rộng (hình 1.5 (a)) có thể được điều chỉnh thành sơ đồ vùng rút gọn.
1.2.5. Xây dựng khái niệm khối lượng hiệu dụng [7, 129

134]
Như đã biết vận tốc chuyển động tịnh tiến của electron:
 
pk
v 1.50
mm


Mặt khác, từ
2
k
E
2m

, lấy đạo hàm theo
k
, nhận được
2
m dE
k

dk

thì:
 
1 dE m dE
v ; p k 1.51
dk dk
  

Hệ thức giữa vận tốc, xung lượng trong sự phụ thuộc vào
dE dk
không chỉ