ĐỀ TÀI: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
Mã số:
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC
TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC
Người thực hiện: Phạm Hữu Danh
Lĩnh vực nghiên cứu: Toán Học.
Năm học: 2011-2012
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: PHẠM HỮU DANH
2. Ngày tháng năm sinh: 01/02/1986
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 177/2 Nguyễn Ái Quốc, phường Tân Biên, Biên Hòa, Đồng Nai
5. Điện thoại: 0904470753
6. E-mail:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân.
- Năm nhận bằng: 2008
- Chuyên ngành đào tạo: Toán học.
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học.
Số năm có kinh nghiệm: 4.
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1
“Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết chia hết, đồng dư”.
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
2

Tên SKKN
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC
TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lượng Giác là một trong những lĩnh vực cơ bản nhất của toán học, đã tồn tại và
tiếp tục phát triển trong hàng ngàn năm qua. Lượng giác không chỉ là một nhánh của
đại số mà còn là một ngành toán học độc lập, có nhiều ứng dụng trong khoa học và
thực tiễn.
Trong khuôn khổ toán phổ thông, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm lớp
10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: Công thức lượng giác, Phương
trình lượng giác và Hệ thức lượng trong tam giác. Tuy nhiên lượng giác xuất hiện trong
nhiều lĩnh vực khác của toán học như: Hình học, Tích phân.
Chuyên đề Một Số Ứng Dụng Của Lượng Giác Trong Đại Số Và Hình Học
nhằm giúp các em học sinh có một cái nhìn khác về chuyên ngành lượng giác. Đó là
việc sử dụng các công thức, tính chất lượng giác để giải quyết các bài toán về đại số và
hình học. Bản thân các bài toán này có thể không liên quan gì tới lượng giác.
Hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho thầy cô và các em học sinh có điều kiện
nghiên cứu sâu hơn những điều thú vị trong các phép thế lượng giác.
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
Những vấn đề cơ bản về lượng giác như công thức lượng giác, phương trình
lượng giác… đều đã được đề cập tới trong chương trình Trung học phổ thông. Tuy
nhiên trong khuôn khổ sách giáo khoa thì những ứng dụng của lượng giác hầu như
không được nhắc đến.
Chuyên đề này được viết nhằm giúp độc giả có thể thấy được những ứng dụng
của lượng giác trong việc giải quyết các bài toán khác. Qua đó rèn luyên kĩ năng tư
duy, phát triển bài toán ở nhiều góc độ khác nhau.
Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác cơ bản. Độc giả muốn tìm hiểu
tất nhiên phải nắm các tính chất trong chương trình phổ thông.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

Trong $1, tác giả trình bày những kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc giải các
bài tập về sau. Trong phần này, các Phép thế lượng giác phổ biến sẽ được đề cập đến.
$2 nói về Một số ứng dụng của lượng giác trong đại số. Các dạng toán cơ bản
như Giải phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức sẽ được nhắc tới.
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
3
$3 đề cập đến Ứng dụng của lượng giác trong hình học. Bản thân lượng giác
xuất phát từ hình học. Tiêu biểu là Hệ thức lượng trong tam giác. Tài liệu còn đưa ra
một số bài toán hình học phẳng mà có thể giải được bằng công cụ lượng giác.
Do chuyên đề không nhắc lại những kiến thức về lượng giác cơ bản nên tác giả
chủ yếu sẽ đưa ra những bài tập để bạn đọc tham khảo. Các em học sinh cần có những
kiến thức cơ sở về lượng giác để theo dõi những bài tập dưới đây.
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Chuyên đề này đã được áp dụng trong việc giảng dạy cho học sinh khối 10. Hiện
nay tài liệu về phép thế lượng giác không nhiều nên đây có thể là cẩm nang để các em
tra cứu khi cần thiết, qua đó phát triển thêm tư duy toán học của mình.
Nội dung này được truyền đạt tới học sinh trong khoảng 16 tiết. Các bài tập
được trình bày chi tiết trong tiến trình lên lớp và một số bài luyện tập để học sinh
nghiên cứu ở nhà.
Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, học sinh đã có một cái nhìn vững
chắc hơn về những những ứng dụng của lượng giác. Các em đã thay đổi cách nhìn
lượng giác như một ngành độc lập nhưng đã thấy được sự hữu ích của phép thế lượng
giác. Qua đó thêm tinh thần say mê toán học thông qua những vẻ đẹp vốn có của nó.
IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Đề tài này có thể áp dụng cho khuôn khổ các trường Trung học phổ thông, đặc
biệt dành cho những học sinh khá giỏi về toán có hứng thú về lượng giác.
Để học sinh thấy được ý nghĩa của các phép thế lượng giác, giáo viên có thể giải
một số bài tập bằng phương pháp thông thường và đối chiếu với cách giải bằng phương
pháp lượng giác.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Tài liệu chuyên toán Đại Số Và Giải Tích – Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng,
Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng - NXB Giáo Dục Việt Nam – 2010.
2. Chuyên đề lượng giác – Huỳnh Công Thái - NXB Đại Học Quốc Gia TP.HCM
- 2005.
3. Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán: Lượng Giác – Vũ Dương Thụy, Nguyễn
Văn Nho - NXB Giáo Dục – 2005.
NGƯỜI THỰC HIỆN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
4
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
, ngày tháng năm
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học:
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm:

Họ và tên tác giả: Chức vụ:
Đơn vị:
Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)
- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: 
- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: 
Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 
1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)
- Có giải pháp hoàn toàn mới 
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 

2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong
toàn ngành có hiệu quả cao 
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn
vị có hiệu quả 
3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Tốt  Khá  Đạt 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi
vào cuộc sống: Tốt  Khá  Đạt 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả
trong phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt 
Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của người có
thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
5
$1. PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC
I. Hàm Số Lượng Giác Ngược
a) Hàm số
[ ]
sin : ; 1;1
2 2
sinx y x
π π

 
− → −
 
 
=a
là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược
[ ]
arcsin : 1;1 ;
2 2
arcsinx y x
π π
 
− → −
 
 
=a
b) Hàm số
[ ] [ ]
cos: 0; 1;1
cosx y x
π
→ −
=a
là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược
[ ] [ ]
arccos : 1;1 0;
arccosx y x
π
− →
=a

c) Hàm số
tan : ;
2 2
tanx y x
π π
 
− →
 ÷
 
=
¡
a
là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược
arctan : ;
2 2
arctanx y x
π π
 
→ −
 ÷
 
=
¡
a
d) Hàm số
( )
cot : 0;
cotx y x
π
→

=
¡
a
là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược
( )
arccot : 0;
arccotx y x
π
→
=
¡
a
II. Các Phép Thế Lượng Giác Thường Sử Dụng
1. Một số phép thế lượng giác chung
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
6
a) Nếu
( )
0x a a≤ >
thì có thể đặt:
[ ]
sin ; ;
2 2
cos ; 0;
x a
x a
π π
α α
α α π


 
= ∈ −

 
 


= ∈

Biểu thức áp dụng:
2 2
a x−
.
b) Nếu
2 2 2
x y a+ =
thì có thể đặt:
[ ]
sin
; 0;2
cos
x a
y a
α
α π
α
=

∈


=

c) Nếu
x a≥
thì có thể đặt:
,
cos sin
a a
x x
α α
= =
Biểu thức áp dụng:
2 2
x a−
.
d) Với mọi x đều có thể đặt:
tan ; ;
2 2
x
π π
α α
 
= ∈ −
 ÷
 
Biểu thức áp dụng:
2 2
,
1
x y

x a
xy
+
+
−
.
2. Một số phép thế lượng giác trong tam giác
a) Nếu
1xy yz zx+ + =
thì tồn tại các góc
, ,
α β γ
sao cho:
tan , tan , tan
2 2 2
x y z
α β γ
α β γ π

= = =



+ + =

b) Nếu
x y z xyz+ + =
thì tồn tại các góc
, ,
α β γ

sao cho:
tan , tan , tanx y z
α β γ
α β γ π
= = =


+ + =

Đặc biệt:
Nếu ba số dương x, y, z thỏa
1xy yz zx+ + =
thì tồn tại tam giác ABC sao cho:
tan , tan , tan
2 2 2
A B C
x y z= = =
Nếu ba số dương x, y, z thỏa
x y z xyz+ + =
thì tồn tại tam giác nhọn ABC thỏa:
tan , tan , tanx A y B z C= = =
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
7
$2. ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ
I. Chứng Minh Đẳng Thức, Bất Đẳng Thức
Bài 1:
Cho
x y≥
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2

x y x y x x y x x y+ + − = + − + − −
.
Giải
Nếu x=0 thì y=0: đẳng thức hiển nhiên đúng.
Nếu
0x ≠
: chia hai vế cho |x|
2 2
1 1 1 1 1 1
y y y y
x x x x
   
+ + − = + − + − −
 ÷  ÷
   
(1)
Vì
1
y
x
≤
nên có thể đặt
( )
cos 0
y
x
α α π
= ≤ ≤
.
( )

1 1 cos 1 cos 1 sin 1 sin
1 cos 1 cos 1 sin 1 sin
α α α α
α α α α
⇔ + + − = + + −
⇔ + + − = + + −
Đẳng thức cuối đúng, ta có điều phải chứng minh.
Bài 2:
Cho a, b, c là các số thuộc khoảng (0;1). Chứng minh:
( ) ( ) ( )
1 1 1 1abc a b c+ − − − <
.
Giải
Vì
0 , , 1a b c< <
nên tồn tại các góc
, , 0;
2
x y z
π
 
∈
 ÷
 
thỏa:
2 2 2
cos , cos , cosa x b y c z= = =
.
Bất đẳng thức trở thành:
cos cos cos sin sin sin 1x y z x y z+ <

.
Thật vậy:
( )
cos cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos 1x y z x y z x y x y x y+ < + = − ≤
.
Bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
Bài 3:
Cho hai số thực x, y thỏa
2 2
1x y+ =
. Chứng minh rằng:
( ) ( )
( )
5 5 3 3
16 20 5 2x y x y x y+ − + + + ≤
.
Giải
Đặt
( )
cos , sin ; 0;2x a y a a
π
= = ∈
.
Áp dụng các công thức lượng giác:
5 3 5 3
5 3 5 3
cos5 16cos 20cos 5cos 16 20 5
sin5 16sin 20sin 5sin 16 20 5
a a a a x x x
a a a a y y y

= − + = − +
= − + = − +
Do đó:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
8
( ) ( )
( )
5 5 3 3
16 20 5 sin5 cos5 2sin 5 2
4
x y x y x y a a a
π
 
+ − + + + = + = + ≤
 ÷
 
.
Bài 4:
Cho biểu thức
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
1
1 1
x y x y
P
x y
− −

=
+ +
. Chứng minh
1
4
P ≤
.
Giải
Ta có:
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1 1
x y
P
x y
= −
+ +
.
Đặt
tan , tanx y
α β
= =
thì
2 2
2 2
sin 2 ,sin 2
1 1
x y

x y
α β
= =
+ +
.
Do đó:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1
sin 2 sin 2 sin sin 2 sin 2 sin 2
4 4
cos sin sin cos
1
sin 2 2 sin 2 2
4
P
α β α β α β
α β α β α β α β
α β α β
= − = 2 − +
= + − + −
= + −
Vậy
1
4
P ≤
.

Bài 5:
Cho ba số dương x, y, z thỏa xy+yz+zx=1. Chứng minh:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 1 1 1
1 1 1
1 1 1
x y z
x y z
x y z
+ + ≤ + +
+ + +
+ + +
.
Giải
Tồn tại tam giác ABC thỏa:
tan , tan , tan
2 2 2
A B C
x y z= = =
.
Bất đẳng thức được viết lại:
sin sin sin cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C+ + ≤ + +
.
Ta có:
sin sin 2sin cos 2cos
2 2 2

A B A B C
A B
+ −
+ = ≤
.
Tương tự
sin sin 2cos
2
sin sin 2cos
2
A
B C
B
C A
+ ≤
+ ≤
Cộng ba bất đẳng thức lại ta được điều phải chứng minh.
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
9
Đẳng thức xảy ra khi:
1
3
3
A B C x y z
π
= = = ⇔ = = =
.
Bài 6:
Cho ba số dương a, b, c thỏa abc+a+c=b. Chứng minh:
2 2 2

2 2 3 10
1 1 1 3a b c
− + ≤
+ + +
.
Giải
Từ điều kiện của a, b, c suy ra
1
a c
b
ac
+
=
−
.
Đặt
tan , tana A c C= =
thì
( )
tanb A C= +
.
Bất đẳng thức được viết lại:
( )
2 2 2
2 2 3 10
tan 1 tan 1 tan 1 3A A C C
− + ≤
+ + + +
Ta có:
( )

( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
2 2 3
tan 1 tan 1 tan 1
2cos 2cos 3cos
cos2 cos2 3cos
2sin 2 sin 3cos
2 sin 3 1 sin
10 1 10
3 sin
3 3 3
A A C C
A A C C
A A C C
A C C C
C C
C
− +
+ + + +
= − + +
= − + +
= + +

≤ + −
 
= − − ≤
 ÷
 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi:
( )
( )
sin 2 sin 0
sin 2 1
1
sin
3
A C C
A C
C


+ ≥


+ =



=


Bài 7:

Cho ba số dương a, b, c thỏa điều kiện:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 2
1
1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
+ + + =
+ + +
+ + +
Chứng minh:
1abc ≥
.
Giải
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
10
Từ giả thiết, tồn tại các góc nhọn A, B, C thỏa:
1 1 1
cos ,cos ,cos
1 1 1
A B C
a b c
= = =
+ + +
.
Ta có:
( )

( ) ( )
( )
2 2 2
2
2 2
cos cos cos 2cos cos cos 1
cos cos cos 1 cos 1 cos
cos cos cos sin sin
cos cos
A B C A B C
A B C B C
A B C B C
A B C
A B C
π
+ + + =
⇔ + = − −
⇔ + =
⇔ = − +
⇔ + + =
Vậy A, B, C là ba góc của một tam giác.
Theo cách đặt thì:
1 cos 1 cos 1 cos
, ,
cos cos cos
A B C
a b c
A B C
− − −
= = =

.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
( ) ( ) ( )
1 cos 1 cos 1 cos cos cos cos
1 cos 1 cos 1 cos
. . cot cot cot
sin sin sin
tan tan tan cot cot cot
2 2 2
tan tan tan cot cot cot
2 2 2
tan tan tan cot cot cot
2 2 2
A B C A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
− − − ≥
− − −
⇔ ≥
⇔ ≥
⇔ ≥
⇔ + + ≥ + +
Để ý rằng:

( )
( ) ( )
sin
2sin 2sin
tan tan 2cot
cos cos cos cos 1 cos 2
A B
C C C
A B
A B A B A B C
+
+ = = ≥ =
− + + −
Tương tự:
tan tan 2cot
2
tan tan 2cot
2
A
B C
B
C A
+ ≥
+ ≥
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, ta được điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều, tức là a=b=c=1.
LUYỆN TẬP
Bài 8:
Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh:
( ) ( )

ab cd a d b c
+ ≤ + +
.
Bài 9:
Cho x, y là hai số thỏa
2 2
4 9 25x y+ =
. Chứng minh:
6 12 25x y+ ≤
.
Bài 10:
Cho ba số dương x, y, z thỏa x+y+z=xyz. Chứng minh rằng:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
11
2 2 2
1 1 1 3
2
1 1 1x y z
+ + ≤
+ + +
.
Bài 11:
Cho ba số dương thỏa xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 9
4
1 1 1
x y z
x y z
+ + ≤

+ + +
.
II. Giải Phương Trình
Bài 12:
Giải phương trình:
2 3
1 4 3x x x− = −
.
Giải
Điều kiện:
1 1x− ≤ ≤
.
Đặt
( )
cos 0x
α α π
= ≤ ≤
, ta được phương trình:
( )
3 2
2
sin cos3 cos3 cos
2
3 2
2
k
k
k
π
α α π

π
α α α α
π
α α π

= − +

 
= ⇔ = − ⇔ ∈

 ÷
 

= − + +


¢
Đối chiếu điều kiện
0
α π
≤ ≤
, ta tính được:
5 3
; ;
8 8 4
π π π
α
 
∈
 

 
.
Nghiệm của phương trình ban đầu là:
1 cos
2 2
4
cos
8 2 2
5
1 cos
5 2 2
4
cos
8 2 2
3 2
cos
4 2
x
x
x
π
π
π
π
π
+
+
= = =
+
−

= = − = −
= = −
Bài 13:
Giải phương trình:
2 2 2x x= + − +
.
Giải
Nếu
2 0
2
2
2 2 0
x
x
x
x
+ <

< −

⇒


>
− + <


thì Vế phải không xác định.
Do đó
[ ]

2;2x∈ −
. Đặt
( )
2cos 0x t t
π
= ≤ ≤
. Khi đó:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
12
2 2cos
2
2 2 2sin 2cos
4 2 4
2 2 2 2cos
4 8
t
x
t t
x
t
x
π
π
+ =
 
− + = = −
 ÷
 
 
+ − + = −

 ÷
 
Phương trình được rút gọn thành:
2
cos cos
4 8 9
t
t t
π π
 
= − ⇔ =
 ÷
 
Vậy nghiệm của phương trình là
2
2cos
9
x
π
=
.
Bài 14:
Giải phương trình:
2
35
12
1
x
x
x

+ =
−
.
Giải
Điều kiện x>1.
Đặt
1
0
sin 2
x
π
α
α
 
= < <
 ÷
 
. Phương trình trở thành:
1 1 35
sin cos 12
α α
+ =
Đặt
( )
sin cos 0 2t t
α α
= + < ≤
thì:
2
7

2 35
5
5
1 12
7
t
t
t
t

=

= ⇔

−

= −


Loại nghiệm âm, với
7
5
t =
, ta được
7
sin cos
5
12
sin cos
25

α α
α α

+ =




=


.
Do đó
3
sin
5
4
sin
5
α
α

=



=


. Nghiệm của phương trình là

3
5
4
5
x
x

=



=


.
Bài 15:
Giải phương trình:
5 3
15 45 27 0x x x− + − =
.
Giải
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
13
Trước hết ta chứng minh công thức:
5 3
cos5 16cos 20cos 5cosa a a a= − +
.
Thật vậy:
( )
( ) ( ) ( )

3 2 3
cos5 cos 3 2 cos3 cos2 sin3 sin 2
4cos 3cos 2cos 1 3sin 4sin 2sin cos
a a a a a a a
a a a a a a a
= + = −
= − − − −
Khai triển và thu gọn, đưa tất cả về cosa ta được điều phải chứng minh.
Ta tìm nghiệm của phương trình ban đầu thỏa:
2 3x ≤
.
Đặt
( )
2 3cos 0x t t
π
= ≤ ≤
. Phương trình trở thành:
( )
( )
5 3
5 3
288 3cos 360 3 cos 90 3cos 27 0
2 16cos 20cos 5cos 3 0
2
cos5 cos
6 30 5
t t t
t t t
k
t t k

π π π
− + − =
⇔ − + − =
⇔ = ⇔ = ± + ∈¢
Vậy ta tìm được 5 nghiệm trên đoạn
2 3;2 3
 
−
 
là:
2
2 3cos ; 0,1,2,3,4
30 5
k
k
π π
 
+ =
 ÷
 
.
Phương trình bậc năm có tối đa 5 nghiệm nên đó cũng chính là tất cả các nghiệm.
Bài 16:
Cho a<b<c là ba nghiệm của phương trình
3
3 1 0x x− + =
. Chứng minh rằng:
2 2 2
2a c b a c b− = − = − =
.

Giải
Ta tìm nghiệm của phương trình trên đoạn [-2;2].
Đặt
2cos ;0x t t
π
= ≤ ≤
. Phương trình trở thành:
( )
3
1 2 2
8cos 6cos 1 0 cos3
2 9 3
k
t t t t k
π π
− + = ⇔ = − ⇔ = ± + ∈¢
.
Từ đó ta tìm được ba nghiệm
8 4 2
2cos , 2cos , 2cos
9 9 9
a b c
π π π
= = =
.
Phương trình bậc ba chỉ có tối đa ba nghiệm nên đó cũng chính là tất cả các nghiệm.
Ta có:
2 2
8 2 16 2
4cos 2cos 2 1 cos 2cos 2

9 9 9 9
a c
π π π π
 
− = − = + − =
 ÷
 
.
Tương tự:
2 2
2b a c b− = − =
.
LUYỆN TẬP
Bài 17:
Giải các phương trình sau:
a)
( )
2 2
1 1
1 0 1
2 2
x x
a a
a
a a
+ −
   
− = < <
 ÷  ÷
   

.
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
14
b)
( ) ( )
3 2 2 2 1 3
x x
+ = − +
.
c)
2 2
1 2 1 2 1x x x x− = − + −
.
d)
( ) ( )
3
3 2 2
1 2 1x x x x+ − = −
.
Bài 18:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
4 3 3 3 4 1 1 0m x m x m− + + − − + − =
.
III. Giải Hệ Phương Trình
Bài 19:
Giải hệ phương trình:
3
3
3

4 3
4 3
4 3
x y y
y z z
z x x
= −


= −


= −

.
Giải
Ta chứng minh
, , 1x y z ≤
.
Giả sử x là số lớn nhất và x>1. Khi đó
3
4 3 1z x x= − >
(vô lý).
Giả sử x là số nhỏ nhất và x<-1. Khi đó
3
4 3z x x x= − <
(vô lý).
Do đó
1x ≤
. Tương tự

, 1y z ≤
.
Đặt
( )
cos 0x
α α π
= ≤ ≤
. Sử dụng công thức nhân ba ta được:
cos3 , cos9 , cos27z y x
α α α
= = =
.
Ta có:
{ }
{ }
; 0;1; ;13
13
cos cos27
; 1;2; ;13
14
k
k
k
k
π
α
α α
π
α


= ∈

= ⇔


= ∈


Vậy tập nghiệm của hệ phương trình:
( )
{ }
cos ;cos3 ;cos9S
α α α
=
với
{ } { }
; 0;1; ;13 , ; 1;2; ;13
13 14
k k
k k
π π
α α
= ∈ = ∈
.
Bài 20:
Giải hệ phương trình sau:
1 1 1
3 4 5
1
x y z

x y z
xy yz zx

 
   
+ = + = +

 ÷  ÷
 ÷
   

 

+ + =

.
Giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 1 4 1 5 1
x y z
x y z
= =
+ + +
. Do đó x, y, z cùng dấu.
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
15
Nếu (x,y,z) là nghiệm thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm. Ta tìm nghiệm dương của hệ.
Tồn tại tam giác ABC sao cho:

tan , tan , tan
2 2 2
A B C
x y z= = =
.
Áp dụng công thức
2
2tan
2
sin
1 tan
2
a
a
a
=
+
ta có:
sin sin sin
3 4 5
A B C
= =
.
Kết hợp định lý sin ta được ABC là tam giác vuông tại C và
3 4
,sin ,sin
2 5 5
C A B
π
= = =

.
Ta tính được:
1 1
tan ,tan ,tan 1
2 3 2 2 2
A B C
= = =
.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
1 1 1 1
; ;1 , ; ; 1
3 2 3 2
   
− − −
 ÷  ÷
   
.
Bài 21:
Giả sử x, y, z là nghiệm của hệ phương trình:
( )
( )
( )
4
4
4
x y y
y z z
z x x
= −



= −


= −

.
Tìm tất cả các giá trị mà S=x+y+z có thể nhận.
Giải
Cộng ba phương trình lại ta được:
( )
( )
2 2 2 2 2 2
4 3x y z x y z x y z S x y z+ + = + + − + + ⇔ = + +
Suy ra
0S ≥
nên trong ba số x, y , z phải có ít nhất một số không âm.
Giả sử
2
0 4 0 0 4x y y y≥ ⇒ − ≤ ⇔ ≤ ≤
.
Tương tự ta cũng chứng minh được:
0 , 4x z≤ ≤
.
Đặt
2
4sin ;0
2
x a a
π

= ≤ ≤
.
Thay vào phương trình thứ ba:
( )
2 2 2 2 2
4sin 4 4sin 16sin cos 4sin 2z a a a a a= − = =
.
Thay vào phương trình thứ hai:
( )
2 2 2
4sin 2 4 4sin 2 4sin 4y a a a= − =
.
Thay vào phương trình thứ nhất:
( )
2 2 2
4sin 4 4 4sin 4 4sin 8z a a a= − =
.
Ta có:
2 2
sin sin 8 cos2 cos16 16 2 2a a a a a a k
π
= ⇔ = ⇔ = ± −
.
TH1:
16 2 2 ; 0;1;2;3
7
k
a a k a k
π
π

= − ⇔ = =
.
Nếu k=0 thì a=0: S=0.
Nếu k=1;2;3 thì:
2 2 2
2 3 3 1 2 6
4 sin sin sin 4 cos cos cos 7
7 7 7 2 2 7 7 7
S
π π π π π π
4
 
   
= + + = − + + =
 ÷  ÷
 
   
 
.
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
16
TH2:
16 2 2 ; 0;1;2;3;4
9
k
a a k a k
π
π
= − − ⇔ = =
Nếu k=0 thì a=0: S=0.

Nếu k=1;2;4 thì:
2 2 2
2 4 3 2 4 8
4 sin sin sin 4 cos cos cos 6
9 9 9 2 9 9 9
S
π π π π π π
 
   
= + + = − + + =
 ÷  ÷
 
   
 
.
Nếu k=3 thì:
2 2 2
2 4 3 2 4 8
4 sin sin sin 4 cos cos cos 9
3 3 3 2 3 3 3
S
π π π π π π
 
   
= + + = − + + =
 ÷  ÷
 
   
 
.

Bài 22:
Trong các nghiệm (x;y;z;t) của hệ phương trình:
2 2
2 2
1
2
2
x y
z t
xt yz

+ =

+ =


+ ≥

.
Hãy tìm nghiệm sao cho tổng y+t nhỏ nhất.
Giải
Giả sử hệ có nghiệm. Khi đó tồn tại các góc
,
α β
sao cho:
cos , sin , 2 cos , 2sinx y z t
α α β β
= = = =
.
Từ bất phương trình thứ ba ta có:

( ) ( )
sin cos cos sin 1 sin 1 sin 1 2
2
k
π
α β α β α β α β α β π
+ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + = ⇔ + = +
.
Suy ra:
sin cos ,cos sin
α β α β
= =
.
Do đó:
sin 2sin sin 2cos 3y t
α β α α
+ = + = + ≥ −
(Bất đẳng thức B.C.S).
Dấu “=” xảy ra khi:
sin cos sin 2cos sin 2cos 3
1 1 2 3 3
2
α α α α α α
+
= ⇒ = = = −
Ta tính được:
3 6
sin ,cos
3 3
α α

= − = −
.
Từ đó:
6 3 6 2 3
, , ,
3 3 3 3
x y z t= − = − = − = −
.
Thử lại ta thấy các giá trị này thỏa hệ.
Vậy nghiệm của hệ thỏa điều kiện là
6 3 6 2 3
, , ,
3 3 3 3
x y z t
 
= − = − = − = −
 ÷
 
.
LUYỆN TẬP
Bài 23:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
17
Giải các hệ phương trình sau:
a)
( )
2 2
2
1
4 2 1 1

x y
xy y
+ =



− =


.
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 0
x y z xyz
x y z y x z z x y
+ + =



− − + − − + − − =


.
c)
2 3
2 3
2 3
3 3 0
3 3 0

3 3 0
x z z x z
y x x y x
z y y z y
− − + =


− − + =


− − + =

.
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
18
$3. ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG HÌNH HỌC
I. Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác
Bài 1:
Cho tam giác ABC. Chứng minh:
( ) ( ) ( )
cot cot cot 0
2 2 2
C A B
a b b c c a− + − + − =
.
Giải
Áp dụng định lý sin, ta có:
( ) ( )
( )
cos

2
cot 2 sin sin
2
sin
2
cos
2
4 cos sin
2 2
sin
2
4 sin sin
2 2
2 cos cos
C
C
a b R A B
C
C
A B A B
R
C
A B A B
R
R B A
− = −
+ −
=
− +
=

= −
Tương tự :
( ) ( )
( ) ( )
cot 2 cos cos
2
cot 2 cos cos
2
A
b c R C B
B
c a R A C
− = −
− = −
Cộng ba vế lại ta được điều phải chứng minh.
Bài 2:
Nhận dạng tam giác ABC thỏa:
( )
( )
2
1 1
1
cos cos 2
4
a b c
b a ab
A B

+ − =





=


.
Giải
Áp dụng định lý côsin, ta có:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
19
( )
2 2 2
1
1 2 cos cos
2 3
a b c ab ab C ab C C
π
⇔ + − = ⇔ = ⇔ = ⇒ =
.
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 cos cos cos cos
2 4 2
A B A B C A B A B⇔ + + − = ⇔ − + − = ⇔ =
 
 
.
Tam giác ABC cân có góc

3
π
là tam giác đều.
Bài 3:
Cho tam giác ABC thỏa:
cos
2 2
B a c
c
+
=
.
Chứng minh ABC là tam giác vuông.
Giải
Sử dụng định lý sin:
( )
( ) ( )
( )
2
sin sin
cos 1 cos sin sin sin
2 2sin
cos sin sin sin sin 2sin
sin sin
2
B A C
B C A C
C
B C A B C C B A
C B A C B A C

π
+
= ⇔ + = +
⇔ = ⇔ + + − =
⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
Vậy tam giác vuông tại C.
Bài 4:
Cho tam giác ABC nhọn. Gọi m
a
là trung tuyến ứng với đỉnh A.
a) Chứng minh:
( )
1 cos
a
m R A≤ +
.
b) Chứng minh:
2 3
a b c
a b c
m m m
+ + ≥
.
Giải
a) Sử dụng công thức trung tuyến:
( )
( )
( )
( )
( )

( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
1
2 2
4
2sin 2sin sin
1 cos2 1 cos2 cos 1
1 2cos cos cos
1 2cos cos 1 cos
a
m b c a
R B C A
R B C A
R A B C A
R A A R A
= + −
= + −
= − + − + −
= + − +
 
 
≤ + + = +
Suy ra
( )
1 cos

a
m R A≤ +
.
Dấu “=” xảy ra khi B=C, tức là tam giác ABC cân tại A.
b) Theo câu a) ta có:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
20
2
2 2
sin
2 cos 2tan
2 2
2 cos cos
2 2
a
a
A a a A A
m R
A A
m
R
≤ ⇒ ≥ = =
Tương tự:
2tan
2
2tan
2
b
c
b B

m
c C
m
≥
≥
Cộng các bất đẳng thức lại, kết hợp với bất đẳng thức cơ bản trong tam giác:
tan tan tan 3
2 2 2
A B C
+ + ≥
ta có điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều.
LUYỆN TẬP
Bài 5:
Chứng minh các hệ thức sau trong tam giác ABC:
a)
4 sin sin sin
2 2 2
A B C
r R=
.
b)
2
1 1 1 3
cot cot cot 4
2 2 2
A B C
bc ca ab Rp
a b c p
 

+ + = + + −
 ÷
 
.
c)
1 1 1 1 1 1
cos cos cos
sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
+ + ≥ + +
.
d)
1 1 1 26 3
1 1 1 5
sin sin sin 9A B C
   
+ + + ≥ +
 ÷ ÷ ÷
   
.
Bài 6:
Nhận dạng tam giác ABC thỏa điều kiện:
a)
sin sin sin cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C+ + = + +
.

b)
sin sin
2 2 4
A B ab
c
=
.
c)
2
1
sin 2
4
S a B=
.
II. Một Số Bài Toán Hình Học
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
21
Bài 7:
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh BC lấy K sao cho BK=4KC, trên cạnh CD lấy M
sao cho CM=4MD. Với tỉ số AB/BC bằng bao nhiêu thì góc KAM lớn nhất?
Giải
A
B
C
D
K
M
Giả sử
1AB
BC x

=
. Gọi
,
α β
lần lượt là số đo góc BAK, MAD.
Ta cần tìm x để
α β
+
nhỏ nhất.
Ta có:
4 1
tan ,tan
5 5
x
x
α β
= =
( )
4 1
4 1
2 .
tan tan 20
5 5
5 5
tan
4 21
1 tan tan 21
1
25 25
x

x
x
x
α β
α β
α β
+
+
+ = = ≥ =
−
−
Dấu “=” xảy ra khi
1
2
x =
.
Vậy với tỉ số AB/BC=2 thì góc KAM đạt giá trị lớn nhất.
Bài 8:
Cho tam giác cân ABC với AB=AC. Giả sử đường phân giác góc B cắt AC tại D và
BC=BD+AD. Tính góc A.
Giải
A
B
C
D
K
M
A
B
C

D
Không mất tính tổng quát có thể giả sử AB=AC=1.
Gọi b là góc ABD. Ta có:
4A b
π
+ =
, góc
3ADB b=
.
Áp dụng định lý sin:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
22
sin sin sin
, ,
sin 2 sin3 sin3
A A b
BC BD AD
b b b
= = =
Giả thiết BC=BD+AD tương đương với:
( )
( ) ( )
sin sin3 sin sin sin 2
sin 4 sin3 sin 4 sin sin 2
sin 4 sin3 sin 4 sin 2 sin sin 2
cos cos7 cos2 cos6 cos cos3
cos3 cos7 cos2 cos6
sin 2 sin5 sin 2 sin 4
sin5 sin 4
5 4

9
A b A b b
b b b b b
b b b b b b
b b b b b b
b b b b
b b b b
b b
b b
b
π π
π
π
= +
⇔ − = − +
 
 
⇔ = +
⇔ − = − + −
⇔ − = −
⇔ =
⇔ =
⇔ = −
⇔ =
Vậy
5
9
A
π
=

.
Bài 9:
Cho tam giác ABC có tính chất: tồn tại điểm P nằm trong tam giác sao cho
·
·
·
·
0 0 0 0
10 , 20 , 30 , 40PAB PBA PCA PAC= = = =
.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
Giải
A
B
C
D
K
M
A
B
C
D
B
A
C
P
Tất cả các góc đều dùng đơn vị độ.
Đặt
·
·

80PCB x PBC x= ⇒ = −
Áp dụng định lý sin:
·
·
·
·
·
·
( ) ( )
sin sin sin
1 . . . .
sin sin sin
sin 20sin sin 40 4sin sin 40cos10
sin10sin 80 sin30 sin 80
PA PB PC PBA PCB PAC
PB PC PA
PAB PBC PCA
x x
x x
= =
= =
− −
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
23
( )
( )
( )
( )
2sin sin30 sin50 sin 1 2cos40
sin 80 sin 80

x x
x x
+ +
= =
− −
Suy ra:
( ) ( )
2sin cos40 sin 80 sin 2sin 40 cos40x x x x= − − = −
.
Ta được
40 20x x x= − ⇔ =
.
Do đó
·
·
50ACB BAC= =
.
Vậy tam giác ABC cân tại B.
LUYỆN TẬP
Bài 10:
Gọi I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC không đều.
Chứng minh rằng góc
0
90AIO ≤
khi và chỉ khi
2BC AB AC≤ +
.
Bài 11:
Giả sử M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu
của M lên BC, CA, AB. Chứng minh:

a.
' '
2sin
2
MB MC A
MA
+
≤
.
b.
2 2 2
3
' ' ' ' ' '
MA MB MC
MB MC MC MA MA MB
     
+ + ≥
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
.
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
24