Gián án ung dung cua luong giac

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP
LƯỢNG GIÁC
I. Nội dung phương pháp:
1. Phương pháp:
_ Nội dung của phương pháp này là trong hàm số hay trong biểu thức đại số cần tìm
cực trị, bằng cách đặt ẩn phụ là các hàm số lượng giác thích hợp ta đưa về tìm cực trị các
hàm số lượng giác cơ bản.
_ Các dạng đặt ẩn phụ thường gặp:
Nếu biến x:
x

≤
1 đặt




ππ
−∈ϕϕ=
π∈ϕϕ=
]
2
;
2
[sinx
];0[cosx
Nếu biến x:
x

≥
1 đặt







π
∪
π
−∈ϕ
ϕ
=
π
π
∪
π
∈ϕ
ϕ
=
]
2
;0()0;
2
[
sin
1
x
];
2
()

2
;0[
cos
1
x
Nếu
2
x
+
2
y
=
2
a
thì đặt



α=
α=
cosay
sinax

α

∈
[0; 2
π
]
Nếu a

2
x
+ b
2
y
= 1; a, b
≥
0 thì đặt





α=
α=
siny.b
cosx.a

α

∈
[0; 2
π
]
Nếu các biến trong hàm số thỏa mãn xy + yz + zx = 1 đặt






γ=
β=
α=
tgz
tgy
tgx
với
2
π
=γ+β+α
Nếu biến x
∈
R đặt x =
α
tg
hoặc x =
α
gcot
.
2. Những điểm cần chú ý:
Khi đặt ẩn phụ, chú ý điều kiện giới hạn cung, góc.
Đối với phương trình dạng asinx + bcosx = c thì điều kiện có nghiệm là
2
a
+
2
b

≥

2
c
.
Để tính cosna ngoài việc tính dần cos2a, cos3a, ... ta có thể dùng đa thức Trêbưsep như
sau:





≥−=
=
=
++
0n)x(P)x(xP2)x(P
x)x(P
1)x(P
n1n2n
1
0
trong đó
)a(cosP
n
= cosnx
(cos(n+2)x = 2x.cos(n+1)x – cosnx)
II. Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn






≥+
=+
=+
20bdac
16dc
25ba
22
22
Tìm GTLN của T = a + d; S = a + c.
Giải.
Đặt



α=
α=
sin5b
cos5a



β=
β=
sin4d
cos4c
0
≤

α
,
β

≤
2
π
Từ ac + bd
≥
20
⇔
20
α
cos
β
cos
+ 20
α
sin
β
sin

≥
20
⇔
20
)cos(
β−α

≥

20
Vậy
)cos(
β−α
= 1
⇔

α
–
β
= k2
π
(k
∈
Z)
⇒

α
=
β
+ k2
π
⇒




β=α
β=α

sinsin
coscos
T = a + d = 5
α
cos
+ 4
β
sin
= 5
α
cos
+ 4
α
sin

≤

22
45
+
.
α+α
22
sincos
=
41
.
Dấu “=” xảy ra khi






=α+α
α
=
α
41sin4cos5
4
sin
5
cos

⇔

Vậy maxT =
41
khi a = 5
α
cos
=
41
25
.
d = 4
β
sin
=
41
16

.
S = a + c = 4
β
cos
+ 5
α
cos
= 9
α
cos

≤
9.
Vậy maxS = 9 khi a = 5, c = 4.
Ví dụ 2. Cho x, y, z
∈
(0; 1) thỏa mãn zy + yz + zx = 1. Tìm GTNN của:
T =
2
x1
x
−
+
2
y1
y
−
+
2
z1

z
−
.
Giải.
Đặt





γ=
β=
α=
tgz
tgy
tgx
. Vì x, y, z
∈
(0; 1) nên
α
,
β
,
γ

∈
(0;
4
π
)

Từ đó T =
α−
α
2
tg1
tg
+
β−
β
2
tg1
tg
+
γ−
γ
2
tg1
tg
=
2
1
(
α
2tg
+
β
2tg
+
γ
2tg

) với
α
,
β
,
γ

∈
(0;
4
π
)
Từ giả thiết: xy + yz + zx = 1
⇔

α
tg
β
tg
+
β
tg
γ
tg
+
γ
tg
α
tg
= 1.

Kết hợp với
α
,
β
,
γ

∈
(0;
4
π
)
⇒
2
α
, 2
β
, 2
γ
là số đo 3 góc của 1 tam giác
⇒
2
α
+ 2
β
+ 2
γ
=
π

⇒

α
2tg
+
β
2tg
+
γ
2tg
=
α
2tg
β
2tg
γ
2tg
.
Do 2
α
, 2
β
, 2
γ

∈
(0;
2
π
) nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta

có:
α
2tg
+
β
2tg
+
γ
2tg

≥
3
3
2tg.2tg.2tg
γβα
= 3
3
2tg2tg2tg
γ+β+α
⇒

α
2tg
+
β
2tg
+
γ
2tg

≥
3
3
Dấu “=” xảy ra khi



π=γ+β+α
=γ=β=α
222
32tg2tg2tg
mà
α
,
β
,
γ

∈
(0;
4
π
)
⇒

α
=
β
=
γ

=
6
π

⇔
x = y = z =
3
3
.
Vậy minT =
2
33
đạt được khi x = y = z =
3
3
.
Ví dụ 3. Tìm GTLN, GTNN của y =
6
x
+
32
)x1(
−
+
2
x
(1 –
2
x
) với x

∈
[– 1; 1].
Giải.
Đặt x = cost, t
∈
[0;
π
]
y =
tcos
6
+
32
)tcos1(
−
+
tcos
2
(1 –
tcos
2
)
=
32
)t(cos
+
32
)t(sin
+
tcos

2
tsin
2
= (
tcos
2
+
tsin
2
)(
tcos
4
–
tcos
2
tsin
2
+
tsin
4
) +
tcos
2
tsin
2
y =
tcos
4
+
tsin

4
=
4
3
+
4
1
tcos
4
maxy = 1
⇔
cos4t = 1
⇔
t = 0 hoặc t =
2
π
; t =
π

⇔
x = 0 hoặc x =
±
1
miny =
2
1

⇔
cos4t = – 1
⇔

t =
4
π
hoặc t =
4
3
π

⇔
x =
±
2
2
.
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số a, b ta đều có:
2
1
)b1)(a1(
)ab1)(ba(
2
1
22
≤
++
−+
≤−
Giải:
Đặt: a = tgα , b = tgβ với α, β ∈







ππ
−
2
;
2
.
Khi đó: A =
)tg1)(tg1(
)tgtg1)(tgtg(
)b1)(a1(
)ab1)(ba(
2222
β+α+
βα−β+α
=
++
−+
= cos
2
α cos
2
β .









βα
βα
−
βα
β+α
coscos
sinsin
1.
coscos
)sin(
= sin (α + β) . cos (α + β) =
2
1
sin (2α + 2β)
Suy ra: A =
2
1
sin (2α + 2β) ≤
2
1
Vậy: -
2
1
≤
)b1)(a1(
)ab1)(ba(

22
++
−+
≤
2
1
(đpcm).
Bài 2 Cho x, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh:
2
17
y
1
y
x
1
x
2
2
2
2
≥








++







+
Giải:
Ta có: x + y =
( ) ( )
22
yx +
= 1, theo mệnh đề IV thì có một số a với 0 ≤ a ≤
2π để
x
= cosa và
y
= sina.
Bất đẳng thức đã cho được viết thành:






+
acos
1
acos
4

4
+






+
asin
1
asin
4
4
≥
2
17
Ta có: cos
4
a +
acos
1
4
+ sin
4
a +
asin
1
4
= (cos

4
a + sin
4
a)






+
acosasin
1
1
44
= (1 – 2sin
2
acos
2
a)






+
acosasin
1
1

44
=






+






−
a2sin
16
1
2
a2sin
1
4
2
Vì 0 < sin
2
2a ≤ 1 nên 1 -
2
a2sin
2

≥
2
1
và 1 +
a2sin
16
4
≥ 17. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.