ĐỀ TÀI: Giá trị tuyết đối trong chương trình toán THCS (HAY)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (254.75 KB, 41 trang )
Phần I: Phần mở đầu
I- Lý do chọn đề tài :
Đất nước đã và đang bước vào kỷ nguyên của khoa học và thông tin, đòi
hỏi chúng ta đều phải đầu tư và suy nghĩ để tìm ra những giải pháp tốt nhất giúp
các tài năng tương lai của đất nước mang lại ánh sáng trí tuệ để xây dựng đất
nước phồn vinh theo sự phát triển của toàn nhân loại.
Toán học là môn khoa học tự nhiên, có từ lâu đời, nó nghiên cứu nhiều
thể loại đa dạng và phong phú. Hiện nay với những yêu cầu chung của sự phát
triển của nhân loại, của nước nhà, đặc biệt sự phát triển của môn toán học đòi
hỏi học sinh phải nắm được kiến thức một cách thật sự. Đặc biệt người thầy
chúng ta phải thực hiện mục tiêu đào tạo học sinh thành người lao động tự chủ,
năng động trong cuộc sống.
Việc bồi dưỡng năng lực sáng tạo, tư duy trừu tượng cho học sinh là một
nhiệm vụ trọng tâm của nhà trường đặc biệt là môn toán.
Qua thực hiện giảng dạy môn toán tôi nhận thấy phần:"Giá trị tuyệt đối"
Trong chương trình toán THCS là đa số học sinh chức nắm được kiến thức này.
- Các em chưa đồng nhất được hai định nghĩa về giá trị tuyệt đối.
- Có nhiều tính chất không được hệ thống, chứng minh. Do đó học sinh
vẫn chưa linh hoạt để giải quyết bài tập. Để tháo gỡ những khúc mắc trên tôi
mạnh dạn đưa ra một chuyên đề nhỏ về giá trị tuyệt đối mà tôi đã tìm hiểu tập
hợp được qua thực tế giảng dạy. Đó là " Giá trị tuyết đối trong chương trình
toán THCS ". Để hoàn thành đề tài này tôi đã cố gắng tập hợp lại những kinh
nghiệm qua thực tế giảng dạy của bản thân và quá trình tìm tòi nghiên cứu các
tài liệu liên quan. Tuy nhiên do thời gian có hạn nên đề tài không tránh khỏi
những hạn chế, rất mong những ý kiến đóng góp, xây dựng của thầy cô giáo và
các bạn để đề tài này hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
1
II- Nhiệm vụ nghiên cứu :
- Các khái niệm, tính chất về giá trị tuyệt đối mà học sinh Trung học cơ sở
được học và sử dụng.
- Tìm cách giải quyết một số loại bài tập về Giá trị tuyệt đối.
III- Đối tượng nghiên cứu :
- Học sinh đại trà các lớp 6, 7, 8,9.
- Giá trị tuyệt đối trong chương trình toán Trung học cơ sở.
IV- Phương pháp nghiên cứu :
- Tham khảo, thu thập tài liệu, đúc rút tổng kết kinh nghiệm.
- Trao đổi, kiểm tra kết quả chất lượng của học sinh ( dự giờ, kiểm tra trực
tiếp thông qua các giờ học, thể hiện trên nhiều đối tượng: Giỏi, khá, Trung bình,
yếu về môn toán).
V- Phương pháp nghiên cưú :
Phần Giá trị tuyệt đối trong chương trình toán THCS
Phần II- Nội dung.
A- Những kiến thức cơ bản về Giá trị tuyệt đối.
I- các định nghĩa:
1 Định nghĩa 1: Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu là a là:
<
≥
=
0anÕua-
0a nÕua
a
2- Nhận xét : Gía trị tuyệt đối thực chất là một ánh xạ
f: R R
+
<−
≥
=
0 a nÕu
0a nÕu
a
a
aa
Ví dụ : | 1 | =1
|0| = 0
|-1| = -( -1) =1
2
13)31(|31| −=−−=−
12|12| −=−
Mở rộng : Với biểu thức A(x) ta cũng có:
Ví dụ:
3- Định nghĩa 2:
Khoảng cách từ điểm a đến điểm O trên trục số là giá trị tuyệt đối của a
| - a | | a|
Ví dụ 1: | - 3 | | 3 |
* Với a = 3 thì | a| = |3| =3
Với a= -3 thì |a| = |-3|
* Ngược lại:
−
==>=
3
3
3 aa
Tổng quát:
−
==>
>
=
b
b
a
b
ba
0
Rba
b
b
aba ∈∀
−
=><== ,
VÝ dô 2: | 5 |
3
<
≥
=
0A(x) A(x)nÕu -
0 A(x) nÕu
|
)(
|)(
xA
xA
<−
≥
=
<
≥−
=
3
5
x nÕu
3
5
x nÕu5-3x
05- 3x nÕu3x-5
05-3xÕu
5-3x
x
nx
35
53
→←
Nhận xét: * Giá trị tuyệt đối của O là số O.
* Giá trị tuyệt đối của số nguyên dương là chính nó.
* Giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó (và là một số dương).
* Trong hai số âm, số nào có Giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn.
* Hai số đối nhau có Giá trị tuyệt đối bằng nhau.
Ví dụ 3:
Do đó bất đẳng thức đã cho nghiệm đúng bởi tập các số của đoạn [- 3, 3]
và trên trục số thì được nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn [-3 ; 3]
-3 0 3
Tổng quát:
Ví dụ 4:
Do bất đẳng thức đã cho nghiệm đúng tập hợp các số của hai khoảng [- ∞; 3]
và [3; +∞] và trên trục số thì được nghiệm đúng bởi hai khoảng tương ứng với
các khoảng số đó.
Tổng quát:
II- Các tính chất về gí trị tuyệt đối:
4
0,,
0
||
>∈∀≤≤−⇔
>
≤
bRbabab
b
ba
03
03
303
3
≤≤−⇔
<≤−
≤≤
⇒
<≤
≥≤
⇒≤
a
a
aa
0anÕu3a -
0anÕu
a
−≤
≥
⇔
<≤
≥≥
⇔
<≥
≥≥
⇒≥
3
333
3
a
aaa
a
0a nÕu3 a -
0 a nÕu
0a nÕu3a-
0 a nÕu
Rba
ba
ba
b
ba
∈∀
−≤
≥
⇔
>
≥
,
0
||
1) | a | ≥ 0 ∀ a (Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối)
2) |a| = 0 < => a = 0
3) | a | = | -a | ; | a |
2
= a
2
Thật vậy:
* | a | = | -a | (do a và -a là hai số đối nhau nên theo định nghĩa | a | = | -a |)
* | a |
2
= | a | . | a |
- Nếu a> 0 thì |a |
2
= a. a = a
2
- nếu a < 0 thì |a |a
2
|
= (-a). (-a )= a
2
Vậy : | a |
2
= a
2
4) - |a | ≤ a ≤ |a|
Thật vậy : theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối ta có:
<
≥
=
0 a a nÕu-
0a nÕua
a
=> | a | ≥ a => -| a | ≤ -a
5) | a + b | ≤ | a | + | b |
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0
Thật vậy: theo (4) -|a| ≤ a ≤ |a|
- |b|≤ b ≤ |b|
=> -( |a| + |b| ≤ a+ b ≤ |a| + |b | (đccm)
6) |a|- | b | ≤ |a| + | b |
Dấu "= " (|a| -|b| = |a – b|) xảy ra khi và chỉ khi
≥
≥
ba
ab 0
Thật vậy: |a| =| a-b+b| ≤ |a- b | + | b| => |a| - | b| ≤ |a-b| (1)
|a – b | =| a + ( -b)| ≤ |a| + |- b | => |a| + | b|
=> |a – b| ≤ | a| + | b| (2)
Từ (1) và (2) => |a| - | b| ≤ | a-b | ≤ |a | + |b | (đccm)
7) ||a| - | b| |≤ | a ∓ b|
Đẳng thức | | a| -| b| | = |a – b | khi ab ≥ 0
Thật vậy :
5
Theo (6) |a| – |b |≤ | a - b| (1)
| b | - | a | ≤ | b- a | = | -(b – a ) | = | a – b |
=> -( |a – b |) ≤ | a - b| (2)
)3(
)(
−−
−
=−
ba
ba
ba
Từ ( 1) ; (2) ;(3) => | |a| – |b | | ≤ | a - b| (4)
Mặt khác: | |a| – |b | | = | |a| – |b | | ≤ | a + b| => | |a| – |b | | ≤ | a + b| (5)
Từ (4) và (5) => | |a| – |b | | ≤ | a ∓ b| (đccm).
8) | a. b| = | a | |b|
Thật vậy xét các khả năng sau:
=
≠
≠
=
=
=
0b
0a
hoÆchoÆc
0
0
0
0
b
a
b
a
0≠= b
b
a
b
a
Đều suy ra | ab| = | a | |b| = 0 (1)
Từ (1);(2);(3);(4) và (5) => đ/c c/m.
6
)5())(()(;
0
0
)4()(;
0
0
)3()(;
0
0
)2(;
0
0
baabbababaabbbaa
b
a
baabbabaabbbaa
b
a
baabbabaabbbaa
b
a
baabbaabbbaa
b
a
==>=−−=−−===>>−=−==>
<
<
==>=−−=−==><=−==>
>
<
=⇒=−−=−==><−===>
<
>
==>===>>===>
>
>
ab 0 ab vµ
ab 0 ab vµ
ab 0 ab vµ
ab 0ab vµ
9) Thật vậy: xét các khả năng sau:
Từ (1);(2); (3) ;(4) và (5) suy ra điều cần chứng minh.
III- Bài tập áp dụng :
1- Bài tập áp dụng khái niệm :
a- Bài tập trắc nghiệm :
Hãy khoanh tròn vào các chữ a), b), c), d)
nếu đó là câu đúng (Các câu 1,2,3)
Câu 1: Giá trị tuyệt đối của a ký hiệu là | a|
a) | a | = a b) | a | = - a
c) | a | = 0 d) | a | ≥ 0
Câu 2 :
Cho a ∈ Z tìm kết luận đúng
a) | a | ∉ N b) | a | = a
c) | a | ∈ N d) | a | = - a
7
)5(
||
||
||
||
;
0
0
)4(
||
||
||
||
;
0
0
)3(
||
||
||
||
;
;
0
0
)2(
||
||
||||
||
;
||
||
;
;
0
0
)1(
||
||
0
||
0
||
||
;000,0
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
bbaa
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
bbaa
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
bbaa
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
bbaa
b
a
b
a
b
a
bb
a
b
a
Taba
==>=
−
−
==
>−=−==>
<
<
==>−=
−
=−=⇒
<=−=
>
<
==>−=
−
=−=
<−==
<
>
==>===
>−==
>
>
==>====>=≠=
vµ
b
a
dã Khi
0ab vµ
vµ
b
a
0abvµ thi
b
a
dã Khi
0abvµ thi
b
a
dã Khi
0abvµ thi
b
a
cã
Câu 3 : Cho số nguyên a hãy điền vào chỗ trống các dấu ≤ ;≥ ; >; < = để các
khẳng định sau là đúng :
a) | a |… a với mọi a
b) | a | …0 với mọi a
c) Nếu a> 0 thì a… | a |
d) Nếu a = 0 thì a… | a |
e) Nếu a < 0 thì a… | a |
Câu 4 : Biết | a | = |b|
a) a= b b) a = -b
c) a = b = 0 d) a = b ; a = - b.
Câu 5: hãy nối một dòng ở cột bên phải với một dòng ở cột bên trái để được :
a) | x | < 2 1) x< -3; x >3
b) | 2x | = - 3 2) x∈ [-5 ; 5]
c) 5 ≥ |x| 3) – 2 < x < 2
d) | x | >3 4)
-2 2
Cho số nguyên a 5) x ∈ {- 5 ; - 3; -1 ; 1 ; 3; 5 }
b – Các bài toán
Bài 1: Các khẳng định sau có đúng với mọi số nguyên a và b không? Cho ví dụ:
Bổ xung thêm điều kiện để các khẳng định đó đúng .
a) | a | = | b | => a = b
b) a > b =>| a | >| b |
Bài 2: Tìm a biết a ∈ Z và a thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) | a – 1 | = 0
b) | a – 1 | = 1
c) | a – 1 | = - 1
d) | a | ≤ 1
e) | a | ≥ - 2
8
g) 0 < | a | ≤ 4
Biểu diễn các số a thoả mãn điều kiện trên trên trục số.
Bài 3: a) Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn | x | < 30
b) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho | x | + | y |
( Các cặp số nguyên (1, 2 ) và (2, 1) khác nhau)
c) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho | x | + | y | < 5
Bài 4 : Cho | x | = 7 ; | y | = 20 với x, y ∈ Z
Tính x – y
Bài 5: Cho | x | ≤ 3; | y | ≤ 5 với x, y ∈ Z
Biết x- y = 2 Tìm x và y.
Bài 6: Cho x < y < 0 và | x | - | y | = 100
Tính x – y.
2 – Bài tập áp dụng tính chất :
a- Bài tập trắc nghiệm :
Câu 1: Điền dấu ≥, ≤, = cho thích hợp
a) | a + b | ………….| a | +|b|
b) | a - b | ………….| a | - |b| Với | a | ≥ |b|
c) | a b | ………….| a| |b|
d)
b
a
b
a
Câu 2 Đánh dấu chéo vào câu (trong câu 2 và câu 3)
Ta có a + b = | a | - |b| với
a) a, b trái dấu
b) a, b cùng dấu
c) a>0, b < 0
d) a>0, b < 0 và | a | > |b|
Câu 3: Ta có a + b = - |( a | - |b|)
a) a, b trái dấu
b) a, b cùng dấu
9
c ) a, b cùng âm
d) a, b cùng dương
b – Các bài toán :
Bài 1: Chứng minh
| a – b | < 5 Biết | a – c | < 3 ; | b – c | < 2
Bài 2: Có số nguyên x nào để
a) | 2x + 7 | + | x + 5 | = - 12
b) | x | + | x – 5 | = 0
c) | - x – 3 | + | - 49 | = 27
Bài 3: Một điểm x (điểm biểu diễn bởi số nguyên x ) di chuyển từ điểm – 2 đến
điểm 1 rồi từ điểm 1 đến các điểm về bên phải trục số. Dựa vào giá trị của x hãy
rút gọn biểu thức sau:
a) | x - 1 | + | x + 2 |
b) | x - 1 | - | x + 2 |
c) | x + 2 | - | x - 1 |
d) - | x - 1 | - | x + 2 |
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) | a | + a
b) | a | - a
c) | a | a
d)
[ [
a
a
e) | x – 3 | + 5
f) | x + 2 | + | x – 5 |
g) 4x + 5 - | x + 3 | với x ≥ 3
Hướng dẫn - Đáp số
1- Bài tập áp dụng khái niệm
Câu 1: (d)
Câu 2: (c)
Câu 3: (d)
10
Câu 4: a) | a | ≥ a
b) | a | ≥ 0
c) Nếu a > 0 thì a = |a|
d) Nếu a = 0 thì a = |a|
e) Nếu a < 0 thì a < |a|
Câu 5: Nối a) với 3 c) với 2
d) với 1 a) với 4
Bài 1: a) sai VD: a = 5 ; b = 5
Thì | a| = 5 = | b | nhưng a ≠ b
điều kiện để khẳng định đúng là a.b >0 ; a = b = 0
b) sai VD: a = 3; b = - 5
điều kiện bổ xung để khẳng định đúng là: a > 0 ; b > 0.
Bài 2:
a) a = 1
b) a = 2 ; a= 0
c) Không có giá trị nào của a
d) – 1 ≤ a ≤ 1
e) a ≤ - 2 ; a ≥ 2
g) a ∈ {∓1; ∓2 ; ∓3; ∓4}
Bài 3: a ) x ∈ {∓1; ∓2 ;………………. ∓29})
=> Có 58 số
b) Do | x | ≥ 0 ; | y | ≥ 0
Mà | x | + | y | = 3 => | x | ; | y | ∈ {0 ; 1; 2; 3}
11
- Nếu | x | = 0 thì | y | = 3 khi đó có hai cặp
- Nếu | x | = 1 thì | y | = 2 = > có bốn cặp.
| x | = 2 thì | y | = 1 = > có bốn cặp.
| x | = 3 thì | y | = 0 = > có hai cặp.
Tất cả có 2 + 4 + 4 = 2 = 12 cặp
c) Giải: Tương tự câu b) có 20 cặp
Bài 4:
| x | = 7 => x = ∓ 7 ; | y | = 20 => y = ∓ 20
Xét bốn trường hợp
Đáp số ∓ 13; ∓ 27
Bài 5: |x | ≤ 3 < = > - 3 ≤ x ≤ 3
| y | ≤ 5 < => - 5 ≤ y ≤ 5
Vì x – y = 2 ta có bảng sau:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -5 -4 -3 -2 -1 0 1
Bài 6: Vì x < y < 0 nên |x - y| = |x| - |y| = 100
=> x – y = ∓ 100
Nhưng do x < y => x – y < 0 => x – y = - 100
2- Bài tập áp dụng tính chất :
Câu 1: a) ≤ b) ≥ c) = d) =
Câu 2: d)
Câu 3: c)
Bài 1: | a – b | = | (a – c ) + (c - b)| ≤ | a – c | + | c – b | = | a – c | + | b – c |
< 3 + 2 = 5 => | a – b | < 5
Bài 2: a) Không vì theo định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số là không âm,
tổng của hai số không âm không thể là số âm.
b) Không vì | x | ≥ 0 ; | x – 5 | ≥ 0
và | x | ≠ | x – 5 |
=> Tổng | x | + | x – 5 | không thể bằng 0.
12
c) Không vì 27 < | - 49|
Bài 3: a) Nếu – 2 < x < 1 thì x – 1 < 0 và x + 2 > 0
Nên | x – 1 | + | x + 2 | = - (x – 1 ) + (x + 2 ) = 3
Nếu x > 1 thì | x – 1 | > 0 và x + 2 > 0
Nên | x – 1 | + | x + 2 | = x – 1 + x +2 = 2x + 1
b) Đáp số – 2x + 3 ; -3
c) 2x + 1; 3
d) - 3; - 2x – 1
Bài 4:
a) = 2a với a ≥ 0
= 0 với a< 0
b) = 0 với a ≥ 0
= - 2a với a< 0
c) = a
2
với a ≥ 0
= - a
2
với a<0
d) = 1 với a ≥ 0
= -1 với a< 0
e) = x + 2 với x ≥ 3
= 8 – x với x < 3
f) = - 2x + 3 với x < - 2
= 7 với x – 2 ≤ x ≤ 5
= 2x –3 với x > 5
g) 3x + 2 (với x ≥ - 3)
B – Các dạng toán về giá trị tuyệt đối trong chương trình toán trung học cơ sở
I – Một số dạng phường trình thường gặp
1- Dạng 1:
Ví dụ: Giải các phương trình sau.
a) | 2x – 1 | = 5 (1)
13
=
−=
⇔
≥
=
bxA
bxA
b
bxA
)(
)(
0
)(|
=
−=
⇔
=−
−=−
⇔
3
2
512
512
)1(
x
x
x
x
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = {- 2; 3}
b) | 2x – 1| = m – 1 với m là tham số
+) Nếu m – 1 < 0 = > m < 1 thì phương trình vô nghiệm
+) Nếu m - 1 = 0 thì | 2x- 1 | = 0 => x = 1/2
+) Nếu m –1 > 0 thì
=
−
=
⇔
−=−
−−=−
2
2
2
112
)1(12
m
x
m
x
mx
mx
2- Dạng 2:
( )
=
−=
⇔
≥
=
)()(
)()(
0
)()(
xBxA
xBxA
xB
xBxA
Ví dụ: Giải phương trình
| x – 3 | = 2x – 1 (2)
Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là S= {4/3}
Dạng 3: A
<
=−
≥
=
<=>=
0
)(
0
)(
)(
x
bxA
x
bxA
bx
Ví dụ : Giải phương trình | x| - 1 =5 (3)
+) Nếu x ≥ 0 (3) x – 1= 5<= > x = 6
+) Nếu x < 0 (3) - x- 1= 5<= > x =-6
Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là S = {- 6 ; 6}
Dạng 4: A
<
=−
≥
=
<=>=
0
)()(
0
)()(
)()(
x
xBxA
x
xBxA
xBx
14
=
≥−=
⇔
<=
≥−=−
⇔
3
4
x
lo¹i) nµy(nghiÖm3)xvíi
3xvíi1)-2x (-3-x
3)xvíi
(2
(123
)2(
x
xx
Ví dụ: Giải phương trình | x | - 1 = 2x + 5 (4)
+) Nếu x ≥ 0 (4) <= > x – 1 = 2x + 5 <= > x = - 6 (loại) vì - 6 < 0
+) Nếu x < 0 (4) – x- 1 = 2x+ 5 <= > x = - 2
Vậy tập nghiệm của phương trình (4) là S= {-2}
15
Dạng 5:
=
−=
<=>=
)()(
)()(
)()(
xBxA
xBxA
xBxA
Ví dụ: Giải phương trình | x + 3 | = | 2x – 1 | (5)
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình (5) là
Dạng 6: Phương trình có chứa một số biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối
|A
1
(x) | + | A
2
(x) | +……+ | A
n
(x)| = B(x)
+) Cách giải : Lập bảng chia khoảng xét dấu ta phải bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ: Giải phương trình.
a) | x + 1 | + | x – 2 | + | x – 3| = 5 (6)
+) Lập bảng xét dấu
x -∞ -1 2 3 +∞
x+ 1 - + + +
x+ 2 - - 0 + +
x+ 3 - - - 0 +
+) Bảng tính giá trị tuyết đối
x -1 2 3
|x + 1| - x- 1 0 x + 1 x + 1 x + 1
|x – 2| 2 – x 2 – x 0 x - 2 x- 2
| x – 3) 3 –x 3 –x 3 –x 0 x – 3
Vế trái (6) - 3x – 4 6 – x x + 2 3x - 4
Nếu x < -1
(6) <= > - 3x + 4 = 5 < => x = 1/3 (loại)
Nêú –1 ≤ x ≤ 2
(6) <= > 6 – x = 5 <= > x = 1
+) Nếu 2 < x ≤ 3
(6) <= > x + 2 = 5 < => x = 3
+) Nếu x > 3
(6) < => 3x – 4 = 5 <= > x = 3 (loại)
16
=
−=
⇔
+=+
+−=+
⇔
4
3
2
123
)12(3
)5(
x
x
xx
xx
}
−= 4;
3
2
S
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình (6) là S = { 1; 3 }
b) | 2x + 1 | + 2x – 5 | = 4 (6
'
)
Cách 1: Lập bảng xét dấu giải như ví dụ a
Cách 2: Ta nhận thấy
VT = | 2x – 1 | + | 2x – 5 | = | 2x – 1 | + | 5 – 2x |
≥ | ( 2x – 1) + ( 5 –2x ) | = 4 = VP
Như vậy | 2x – 1 | + | 5 – 2x = | ( 2x – 1) + ( 5 –2x ) |
Điều này chỉ xảy ra khi ( 2x – 1) ( 5 –2x ) ≥ 0
Giải bất phương trình này (xét dấu ) ta được
2
5
2
1
≤≤
x
Đây chính là tập hợp các nghiệm của phương trình (6')
Bài tập đề nghị
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) | x – 3 | + x = 7
b) | x + 3 | = | 5 – x |
e) | x – 3 | = x – 3
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) x - | x + 1 | + 2| x – 1| = 0
b) | x| + | 1 – x | = x + | x – 3 |
c) | | x| - 3 | = x +1
Bài 3 : Giải các phương trình
a) | x – 4 | - x = 2a ( a là hằng số)
b) | x – 3 | + | 5 – x | = 2a ( a là hằng số)
Đáp số :
Bài 1: a) 5 b) 1 c) Vô nghiệm d) Vô nghiệm e) x ≥ 3
17
123)
1212)
−=+
−=+
xd
xxc
Bài 2:
Bài 3: a) Nếu a > -2 thì x = 2 –a
Nếu a = - 2 thì Vô số nghiệm x ≥ 4
Nếu a < - 2 thì Vô nghiệm
b) Nếu a = 1 thì 3 ≤ x ≤ 5
Nếu a > 1 thì x
1
= 4 – a ; x
2
= 4 + a
Nếu a < 1 thì phương trình vô nghiệm.
II- Một số dạng bất phương trình thường gặp:
Dạng 1:
bxAbI
b
bxA
≤≤−<=>
>
≤
)()(
0
)(
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) | x – 1 | ≤ 5 (1)
Cách 1: (1) <= > - 5 ≤ x – 1 ≤ 5 < => - 4 ≤ x ≤ 6
Vậy nghiệm của bất phương trình là : - 4 ≤ x ≤ 6
Cách 2: +) Nếu x ≥ 1 (1) <= > x – 1 ≤ 5 = x ≤ 6
+) Nếu x< 1 (1) < => 1- x ≤ 5 <=> x ≥ 4
Kết hợp lại ta được – 4 ≤ x ≤ 6
b) | x – 1 | ≤ 5 m + 5 (1' )
+) Nếu m + 5 ≤ 0 (1' ) Vô nghiệm
+) Nếu m + 5 > 0 < => m > - 5
(1') < => | x – 1 | ≤ m + 5 < => - m – 5 ≤ x – 1 ≤ m + 5
< => - 4 - m ≤ x ≤ m + 6
Kết luận : m ≤ - 5 bất phương trình vô nghiệm
m > - 5 bất phương trình có nghiệm – m – 5 ≤ x – 1 ≤ m + 5
Dạng 2: | A (x) | ≥ b (II)
Cách giải :
+) Nếu b < 0 => bất phương trình (II) có nghiệm với ∀ x ∈ R
18
1)1)
2
3
;
2
1
) cba
−
Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:
a) | x – 3 | ≥ 9 (2)
Vậy (2) có nghiệm là x ≤ 6 ; x ≥ 12
-6 12
b) | x – 3 | ≥ 1 – m (2')
+) Nếu 1 – m < 0 < => (2') có nghiệm với ∀ x ∈ R
Kết luận : * m > 1 (2' ) có nghiệm với ∀ x ∈ R
* m ≤ 1 (2' ) có nghiệm x ≥ m + 2 ; x ≥ 4 - m
Dạng 3:
Ví dụ: Giải bất phương trình
| 1 – 2x | ≤ x + 5 (3)
19
≥
≤
⇔⇒≥+
bA(x)
b -A(x)
(II) 0bÕuN)
≥
≤
⇔
≥−
−≤−
⇔
12
6
93
93
)2(
x
x
x
x
−≥
+≤
⇔
≥
≤
⇔⇔≥+
mx
mx
4
2
)
m -13- x
1 -m3-x
)(2' 0 m - 1 NÕu
≥
≤
−⇔
≥
≤
0)(
)()(
)(
0)(
)()(
xB
xBxA
xB
xB
xBxA
−≥
≤≤−⇔−≥
≤
⇔
≥+
−≥+
−−≥−
⇔
≥+
+≤−≤−−
⇔
5
6
3
4
3
4
6
05
215
521
05
5215
)3(
x
xx
x
x
xx
xx
x
xxx
Vậy bất phương trình có nghiệm là x
−∈ 6;
3
4
Dạng 4:
≥
≥
−≤
=><
≥
≥
0)(
)()(
)()(
0)(
)()(
xB
xBxA
xBxA
xB
xBxA
Ví dụ: Giải bất phương trình : | x + 1 | ≥ 2x - 1 (4)
Vậy nghiệm của bất phương trình (4) là
∈≤≤ 2;
2
1
2
2
1
xhayx
Dạng 5:
[ ] [ ]
22
)()()()( xBxAxBxA
≥<=>≥
Ví dụ : Giải bất phương trình
| x + 1 | > | x - 2 | (5)
< => ( x + 1 )
2
> ( x - 2 )
2
<= > x
2
+ 2x + 1 > x
2
- 4x + 4
<= > 2x > - 4x + 3
< => 6x > 3 < => x > 3 / 6 < => x > 1/2
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 1/2
Dạng 6: Bất phương trình chứa nhiều biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
| A
1
(x)| + | A
2
(x)| + + | A
n
(x)| = B(x)
20
≤≤
⇔
≥
≤
≥
≤
⇔
≥
≤
≤
⇔
≥−
−≥+
−≤+
⇔
2
2
1
2
1
2
2
1
0
2
1
2
0
012
121
211
)4(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xcña trÞ gi¸ cã Kh«ng
Cách giải : Lập bảng chia khoảng xét dấu phá bỏ dấu giải trị tuyệt đối (Đặc biệt
có thể dùng tính chất | a | + | b | ≥ | a + b |)
Ví dụ: Giải bất phương trình
| x - 1 | + | x - 2 | > x + 3
+) Lập bảng xét dấu
x 1 2
x-1 - 0 + +
x-2 - - +
+ Nếu x < 1
(6) <= > 1 - x + 2 - x > x + 3
< => 3x < 0 => x < 0
Trong khoảng này x< 0 (*)
+ Nếu 1 ≤ x ≤ 2
(6) <= > x - 1 + 2 - x > x + 3
< => x < - 2 (loại )
+ Nếu x > 2
(6) < => x - 1 + x - 2 > x + 3
< => x > 6 (**)
Kết hợp (*) và (**) nghiệm cuả bất phương trình là x < 0 ; x > 6.
Bài tập đề nghị :
Bài 4: Giải các bất phương trình sau:
a) | 2x + 3 | < 7
b) | 3 - 2x | < x + 1
c) | 3x - 1 | ≥ 5
d)
2
1
3
+
>−
x
x
Bài 5: Giải các bất phương trình sau:
a) | x
3
+ 1 | ≥ x + 1
b) | x - 3 | < | x + 1 |
c) | x - 1| > | x + 2 | - 3
d) | x - 1 | + | x - 5 | > 8
21
e) | x - 3 | + | x + 1 | < 8
Bµi 6:
Hướng dẫn đáp số :
* Trước hết ta quan tâm đến khái niệm điểm đối xứng với một điểm qua một
đường thẳng.
Điểm A' được gọi là đối xứng với điểm A qua đường thẳng a là đờng trung trực
của đoạn thẳng AA'
- Cách vẽ điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng a
+ Vẽ đường thẳng AM ⊥ a (M ∈ a)
22
xxxd
xxxc
x
x
b
x
x
a
+<−−
<++−+−
≥
−
−
<
+
−
5|573|)
5331)
1
1
23
)
2
3
1
)
2
2
2
3
264
2
0
2
26
)
2
53
2
53
)
81.;
3;
3
1
)
2;
3
4
)
4
+
<<
<<
+
≤≤
−
+><
<<
><
<
>
≥≤
><
≥−≤
<<
<<
x
x
c
xb
x
xxd
xxc
x
-4
d)
nghiÖmV«
8-1xa):6 Bµi
5 x-e)
7x ;1-xd)
1xc)
1 x b)
1x;0x a) :5 Bµi
3
2
b)
2 x 5 - a) :4 Bµi
3
+ Trên tia đôí của tia MA xác định điểm A' sao
cho A'M = MA
Điểm A' là điểm cần tìm
1- Đồ thị hàm số y = f (|x|)
a) Nhận xét :
Như vậy đồ thị của hàm số có trục đối xứng là trục oy
b) Cách vẽ :
+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (Chỉ lấy phần bên phải trục oy bỏ phàn bên trái )
+) Lấy đối xứng với phần bên phải trục oy qua trục oy.
c) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = | x | - 2 y
Vẽ đồ thị hàm số y = x -2
(Lấy phần nằm bên phải trục oy )
x 0 2
y -2 0
+) Lấy đối xứng với phần đường thẳng trên ta được đồ thị hàm số y = | x | - 2 là
hai tia chung gốc có hình chữ V như hình vẽ.
2- Đồ thị hàm số y = | f (x) |
a) Nhận xét.
b ) Cách vẽ :
+) Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) ( C )
Lấy phần đồ thị (C) trên trục ox)
23
≤−
≥
==
0x nÕu
0x nÕu
xf( y thÊyTa
)(
)(
)
xf
xf
<−−
≥
==
0x nÕu
x nÕu2-x
2 - | x | y thÊyTa
2
0
x
<
≥
==
0 (x)f nÕuf(x)-
0(x)f nÕu)(
)(
xf
xfy
<
≥
==
1x nÕux-1
1x nÕu1-x
| 1 - x | y thÊyTa
+) Lấy đối xứng qua ox phần đồ thị (C) phia dưới trục ox,sau đó bỏ phần phía
dưới trục ox.
c) Ví dụ: Vẽ đồ thi hàm số y = | x - 1 |
+) Vẽ đồ thị y = x - 1
(Lấy phần nằm phía trên ox )
x 0 1
y -1 0
+) Lấy đôi xứng qua ox phần nằm dưới ox ta
được đồ thị y = | x - 1 | như hình vẽ
3- Đồ thị hàm số y = | | f ( x)| |
a) Nhận xét :
b) Cách vẽ
+) Vẽ đồ thị (C) phía trên ox (C
1
)
+) Lấy đối xứng với (C
1
) qua oy (C
2
)
+)Lấy đối xứng qua ox phần bên dưới trục hoành của (C
1
) và (C
2
) là (C
3
)
+) Đồ thị cần vẽ là (C
1
) ∪ (C
2
) ∪ (C
3
) y
c) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = | 3 - 2|x| |
- 3
0 x
24
<−
<−−
≥≥
==
0))(
0)(
0))(
)(
x( f nÕu
x nÕu
x(f,0x nÕu
xf
xf
xf
xfy
+) Vẽ đồ thị y = 3 -2 x
x 0 3/2
y 3 0
+) Lấy phần bên trên trục ox, bên phải trục oy (C
1
)
+) Lấy đối xứng với (C
1
) qua oy ta được (C
2
)
+) Lấy đối xứng với phần dưới ox của (C
1
) và (C
2
) qua ox ta được (C
3
)
Đồ thị hàm số cần vẽ là (C
1
) ∪ (C
2
) ∪ (C
3
)như hình vẽ.
4- Đồ thị hàm số | y| = f (x)
a) Khái niệm : Tập hợp các điểm M(x, y) trên mặt phẳng Oxy có toạ độ thoả
mãn |y| =f(x) là đồ thị hàm số |y| = f(x).
Đồ thị hàm số có trục đối xứng là ox
c) Cách vẽ :
+) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
+) Lấy phía trên trục ox (C
1
)
+) Lấy đối xứng với (C
1
) qua ox ta được (C
2
) y
Đồ thị hàm số cần vẽ là (C) =(C
1
) ∪ (C
2
)như hình vẽ.
d) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số |y| = x -1
+) Vẽ y = x -1
+) Lấy phía trên trục ox (C
1
) 1
+) Lấy đối xứng với (C
1
) qua ox ta được (C
2
)
25
><−−
<<+
≤≤−
==
2
3
;23
023
23
xx
xx
x
2
3
x nÕu
2
3
- nÕu
2
3
x0 nÕu
x2-3 y thÊyTa
<−=
≥=
⇒=
0y nÕu
0y nÕu
)(
)(
)()
xfy
xfy
xfyb
