tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi lipschitz địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN THỊ YẾN MAI
TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG
CỦA HÀM TỰA LỒI
LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN THỊ YẾN MAI
TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG
CỦA HÀM TỰA LỒI
LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐỖ VĂN LƯU
Thái Nguyên - Năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Mở đầu 1
Nội dung 4
1 ĐẶC TRƯNG CỦA ÁNH XẠ K- TỰA LỒI VÔ HƯỚNG 4
1.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Đặc trưng của ánh xạ tựa đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Các ánh xạ đơn điệu và tựa đơn điệu . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Đặc trưng của tính tựa lồi vô hướng và tính lồi của ánh xạ
Lipschitz địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH TỰA LỒI CHO HÀM LIPS-
CHITZ ĐỊA PHƯƠNG VÉC TƠ 35
2.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Tính chất hình học của hàm tựa lồi . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Đặc trưng của hàm tựa lồi dưới ngôn ngữ đạo hàm theo
phương suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Đặc trưng của hàm tựa lồi dưới ngôn ngữ Jacobian suy rộng
Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Kết luận 45
Tài liệu tham khảo 46
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mở đầu
Lý thuyết giải tích lồi có nhiều ứng dụng trong toán học ứng dụng
cũng như trong việc nghiên cứu các bài toán được mô hình hóa trong kinh
tế và kĩ thuật.
Ta biết rằng một hàm f giá trị thực lồi thì mọi tập mức của f lồi,
nhưng điều ngược lại không đúng. Từ nhận xét đó người ta đã ra lớp hàm
f : R
m
→ R tựa lồi nếu mọi tập mức của f là lồi. Như vậy f tựa lồi khi
và chỉ khi
f(λx
1
+ (1 −λ)x
2

) ≤ max{f(x
1
), f(x
2
)},
với mọi x
1
, x
2
∈ R
m
và λ ∈ [0, 1].
Lớp các hàm tựa lồi có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tối ưu hóa.
Nhiều nghiên cứu đã cho ta các tính chất phong phú của hàm tựa lồi, đặc
biệt là các tính chất đặc trưng qua tính tựa đơn điệu của đạo hàm, đạo
hàm suy rộng hoặc jacobian suy rộng.
P. H. Sach [10] đã nghiên cứu các tính chất đặc trưng để một hàm
véc tơ Lipschitz địa phương f : R
m
→ R
n
là K- tựa lồi vô hướng theo
nghĩa: ∀η ∈ K
+
(nón cực không âm của nón lồi đóng K), η
T
f là hàm
tựa lồi giá trị thực. Tác giả đã thiết lập các điều kiện cần và đủ để f
là K- tựa lồi vô hướng dưới ngôn ngữ các khái niệm tựa đơn điệu của
Jacobian suy rộng Clarke của f và các ánh xạ đa trị được xây dựng từ nón

tiếp tuyến Bouligand, Clarke và nón tiếp tuyến trung gian (intermediate
tangent cone) của đồ thị của f(.) + K. J. Benoist [3] đã thiết lập các tính
chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f : C → Y là K- tựa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
lồi theo nghĩa: với mọi y ∈ Y , tập mức dưới {x ∈ C : f(x) ≤
K
y} là
lồi trong không gian Banach, K là nón lồi đóng trong Y . Các tiêu chuẩn
được thiết lập dưới ngôn ngữ khái niệm K- tựa đơn điệu của đạo hàm theo
phương suy rộng và jacobian suy rộng Clarke.
Luận văn trình bày các tính chất đặc trưng để một hàm véc tơ Lipschitz
địa phương f là K- tựa lồi vô hướng của Sach [10] dưới ngôn ngữ các khái
niệm tựa đơn điệu của jacobian suy rộng Clarke của f và các ánh xạ đa
trị được xây dựng từ các nón tiếp tuyến Bouligand, trung gian, Clarke của
đồ thị hàm f(.) + K, và các tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz
địa phương f là K- tựa lồi của của Benoist [3] dưới ngôn ngữ K- tựa đơn
điệu của đạo hàm theo phương suy rộng và jacobian suy rộng Clarke của
f.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày các điều kiện đủ để hàm véc tơ Lipschitz địa
phương f : R
m
→ R
n
là K- tựa lồi vô hướng của Sach [10] dưới ngôn ngữ
các khái niệm tựa đơn điệu của jacobian suy rộng Clarke của f và các ánh
xạ đa trị được xây dựng từ các nón tiếp tuyến Bouligand, trung gian và
Clarke của đồ thị hàm f(.) + K. Tính K- lồi của f được đặc trưng qua

các khái niệm i- đơn điệu và s- đơn điệu thích hợp.
Chương 2 trình bày các tính chất đặc trưng để một hàm véc tơ Lipschitz
địa phương là K- tựa lồi của Benoist [3]. Các tiêu chuẩn được trình bày
dưới ngôn ngữ khái niệm K- tựa đơn điệu của đạo hàm theo phương suy
rộng và jacobian suy rộng. Chú ý rằng một hàm là K- tựa lồi vô hướng là
K- tựa lồi.
Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Đỗ
Văn Lưu đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình làm luận
văn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến thầy.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng
Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên
đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành
viên trong lớp cao học toán K3b đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản
thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được
sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.
Thái Nguyên, 20 tháng 10 năm 2011.
Tác giả
Trần Thị Yến Mai
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Chương 1
ĐẶC TRƯNG CỦA ÁNH XẠ K-
TỰA LỒI VÔ HƯỚNG

Chương 1 trình bày các điều kiện cần và đủ để một hàm véc tơ Lipschitz
địa phương f : R
m
→ R
n
là K- tựa lồi vô hướng. Các tiêu chuẩn được
trình bày dưới ngôn ngữ các khái niệm tựa đơn điệu của jacobian suy rộng
của f và các ánh xạ đa trị được xây dựng từ các nón tiếp tuyến Bouligand,
trung gian, Clarke của đồ thị hàm đa trị f(·) + K. Các kết quả trình bày
trong chương này là của P. H. Sach [10].
1.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ
Trong chương này, ta sẽ sử dụng những kí hiệu và kết quả sau.
Một phần tử trong không gian Euclide R
m
được đồng nhất với một
véc tơ cột (tức là m × 1- ma trận). Tích vô hướng của ξ ∈ R
m
và u ∈ R
m
được kí hiệu là ξ
T
u trong đó T là phép chuyển vị.
Cho một ánh xạ đa trị f : R
m
⇒ R
n
; domF và grF kí hiệu là miền
hữu hiệu và đồ thị của F:
domF = {x ∈ R
m

: F (x) = ∅},
grF = {(x, y) ∈ R
m
× R
m
: y ∈ F (x)}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Ta sử dụng kí hiệu intB; coB; clB để kí hiệu phần trong, bao lồi, bao
đóng của tập B ⊂ R
m
. Nếu K ⊂ R
n
là nón lồi đóng và y, y
,
là hai điểm
của R
n
, ta đặt [y, y
,
] = co{y, y

, } và viết S(y, y

, ) ≤ 0 nếu và chỉ nếu
min{η
T
y, η
T
y

,
} ≤ 0 với tất cả η ∈ K
+
. Theo [ 12, Hệ quả 11.4.2], ta có
S(y, y
,
) ≤ 0 ⇔ [y, y
,
] ∩(−K) = ∅. (1.1)
Cho A ⊂ R
m
, B ⊂ R
m
và α ∈ R := R
1
. Ta định nghĩa
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, nếu A = ∅ và B = ∅,
αA = {αa : a ∈ A}, nếu A = ∅,
Ta đặt A + ∅ = ∅ + A = ∅ và α∅ = ∅.
Khi A là một tập con không rỗng của R, kí hiệu supA và infA là cận
trên đúng và cận dưới đúng của A. Ta đặt
supA = −∞ và infA = +∞, nếu A = ∅.
Nếu F : R
m
⇒ R là một ánh xạ đa trị từ R
m
vào tập số thực R thì
infF là một hàm giá trị thực mở rộng định nghĩa bởi:
(infF )(x) = infF (x) (∀x ∈ R
m

).
Tương tự đối với supF .
Cho f : R
m
→ R là một hàm Lipschitz địa phương. Kí hiệu ∂
0
f
x
là
dưới vi phân Clarke của f tại x (xem [2]):
∂
0
f
x
= {ξ ∈ R
m
: ξ
T
u ≤ f
0
(x, u) ∀u ∈ R
m
}, (1.2)
trong đó
f
0
(x, u) = lim
x

→x

sup
t↓0
t
−1
[f(x

+ tu) − f(x

)]. (1.3)
Theo [2],
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
f
0
(x, u) = max{ξ
T
u : ξ ∈ ∂
0
f
x
}. (1.4)
Từ bây giờ ta giả sử rằng f : R
m
→ R
n
là một hàm Lipschitz địa phương.
Jacobian suy rộng Clarke của f tại x, kí hiệu bởi Jf
x
được định nghĩa
trong [2] là bao lồi của một tập:

{lim f
x
i
: x
i
→ x, f là khả vi Freschet tại x
i
},
trong đó f
x
i
kí hiệu Jacobian thông thường của f tại x
i
và giới hạn của
f
x
i
được lấy trong không gian các (m × n)- ma trận . Chú ý rằng mọi
phần tử A của Jf
x
là một m ×n- ma trận. Khi n = 1, Jf
x
là dưới vi phân
Clarke của f tại x ( xem [4, Mệnh đề 2.6.2]).
Với mọi η ∈ R
n
ta có [4, Định lý 2.6.6].
√
b
2

− 4ac
∂
0
(η
T
f)
x
= [Jf
x
]
T
η := {A
T
η : A ∈ Jf
x
}, (1.5)
trong đó A
T
η kí hiệu tích của m ×n- ma trận A
T
(chuyển vị của ma trận
A) và n × 1- ma trận η.
Cho K ⊂ R
n
là một nón lồi đóng. Đồ thị của ánh xạ f(.) + K được
gọi là K- trên đồ thị của f và được kí hiệu là epi
K
f. (Sau này ta bỏ kí
hiệu dưới K cho đơn giản). Khi n = 1, K = R
+

(nửa đường thẳng không
âm) epif quy về định nghĩa thông thường của trên đồ thị của một hàm số.
Ta sẽ cần kết quả dưới đây nó là hệ quả đơn giản của một định lý tách
[12, Hệ quả 11.4.2]:
y ∈ K ⇔ η
T
y ≥ 0(∀η ∈ K
+
) ⇔ η
T
y ≥ 0(∀η ∈ K
+
\ {0}). (1.6)
Kí hiệu T
0
(epif, (x, f(x))) (tương ứng T (epif, (x, f(x)) ) là nón tiếp tuyến
Clarke ( tương ứng nón Bouligand) của epif tại (x, f(x)). Ta cũng sử dụng
nón tiếp tuyến trung gian (intermediate tangent cone) T
b
(epif, (x, f(x))).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Nhắc lại: Cho một tập con M ⊂ X và điểm x ∈ M,
T
0
(M, x) =

u ∈ R
m
: lim

t↓0,x

M
→x
t
−1
(x

+ tu, M) = 0

,
T
b
(M, x) =

u ∈ R
m
: lim
t↓0
t
−1
(x + tu, M) = 0

,
T (M, x) =

u ∈ R
m
: lim
t↓0

inf t
−1
(x + tu, M) = 0

,
trong đó (x, M) kí hiệu khoảng cách từ x ∈ R
m
tới M và x

M
→ x
nghĩa là x ở trong M và hội tụ tới x. Kí hiệu bằng Cf
x
(tương ứng
D
b
f
x
, Df
x
, Df
x
) là ánh xạ đa trị từ R
m
vào R
n
mà đồ thị của nó trùng
với T
0
(epif, (x, f(x))) (tương ứng T

b
(epif, (x, f(x))), T (epif, (x, f(x))),
cl coT (epif, (x, f(x)))). Ta nhấn mạnh rằng tất cả các ánh xạ đa trị này
phụ thuộc vào K, bởi vì đồ thị của chúng được xây dựng từ K- trên đồ thị
của f mà định nghĩa của nó phụ thuộc vào K. Vì vậy có thể sử dụng các
kí hiệu như C
K
f
x
, D
b
K
f
x
thay thế cho Cf
x
, D
b
f
x
tương ứng. Ở đây và
sau này ta xóa chỉ số dưới K để kí hiệu được đơn giản. Chú ý rằng
Cf
x
⊂ D
b
f
x
⊂ Df
x

⊂ Df
x
. (1.7)
Khi f là K- lồi ta có
Cf
x
= D
b
f
x
= Df
x
= Df
x
. (1.7’)
Điều đó được suy ra từ tính lồi của epif và một sự kiện trong giải tích lồi:
các nón tiếp tuyến Clarke và Bouligand của một tập lồi là trùng nhau và
là các tập lồi đóng.
Bổ đề 1.1
Cf
x
(.) = {v ∈ R
n
: v − Jf
x
(.) ⊂ K}. (1.8)
Hơn nữa, dom Cf
x
= R
m

, nếu int K = ∅.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Chứng minh
Từ [9, Bổ đề 11], ta có
T
0
(epif, (x, f(x))) = {(u, v) : η
T
v ≥ (η
T
f)
0
(x, u), ∀η ∈ K
+
}.
Sử dụng (1.4), (1.5) và (1.6) ta có
T
0
(epif, (x, f(x))) = {(u, v) : η
T
v ≥ η
T
A(u), ∀η ∈ K
+
, ∀A ∈ Jf
x
}
= {(u, v) : v − A(u) ∈ K, ∀A ∈ Jf
x

}.
Để chứng minh phần hai của bổ đề, ta giả sử rằng intK = ∅. Lấy một
điểm u bất kì thuộc R
m
. Cho v ∈ intK và V là lân cận của 0 ∈ R
m
sao
cho v − V ⊂ K. Bởi vì tập Jf
x
(u) là bị chặn [4, hệ quả 2.6.2], tồn tại
γ > 0 sao cho γJf
x
(u) ⊂ V . Do đó, v − γJf
x
(u) ⊂ K. Do tính thuần
nhất dương của K, từ đó suy ra γ
−1
v − Jf
x
(u) ⊂ K. Nói cách khác,
v

:= γ
−1
v ∈ Cf
x
(u) và chứng minh của đẳng thức dom Cf
x
= R
m

là đầy
đủ. 
Cho g : R
m
→ R và kí hiệu dg(x, u) là đạo hàm tiếp liên theo phương
của g tại x theo phương u:
dg(x, u) = lim
t↓0
inf
u

→u
t
−1
[g(x + tu

) −g(x)].
Bổ đề 1.2 [6]
1. Với mọi η ∈ K
+
, x ∈ R
m
và u ∈ R
m
,
d(η
T
f)(x, u) = inf{η
T
v : v ∈ Df

x
(u)}.
2. Với tất cả x ∈ R
m
, dom Df
x
= R
m
.
Bổ đề 1.3
Giả sử rằng f khả vi theo phương, tức là với tất cả x ∈ R
m
và u ∈ R
m
,
tồn tại giới hạn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
f

(x, u) = lim
t↓0
t
−1
[f(x + tu) − f(x)].
Khi đó,
1. Với mọi η ∈ K
+
, x ∈ R
m

và u ∈ R
m
,
d(η
T
f)(x, u) = inf{η
T
v : v ∈ D
b
f
x
(u)}.
2. Với mọi x ∈ R
m
, dom D
b
f
x
= R
m
.
Chứng minh
Với tất cả x ∈ R
m
và u ∈ R
m
, ta có
f

(x, u) ⊂ D

b
f
x
(u). (1.9)
Vì vậy, dom D
b
f
x
= R
m
.
Ta cố định η ∈ K
+
, x ∈ R
m
và u ∈ R
m
. Do tính chất Lipschitz địa
phương của η
T
f,
d(η
T
f)(x, u) = lim
t↓0
inf t
−1
[η
T
f(x + tu) − η

T
f(x)]
= lim
t↓0
infη
T

f(x + tu) − f(x)
t

= η
T
f

(x, u)( do f là khả vi theo phương)
≥ inf{η
T
v : v ∈ D
b
f
x
(u)}.
(1.10)
Mặt khác, từ (1.7) và Bổ đề 1.2,
inf{η
T
v : v ∈ D
b
f
x

(u)} ≥ inf{η
T
v : v ∈ Df
x
(u)}
≥ d(η
T
f)(x, u).
(1.11)
Phát biểu thứ nhất của Bổ đề 1.3 là hệ quả trực tiếp của (1.10) và (1.11).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Nhắc lại: hàm f : R
m
→ R là tựa lồi (quasiconvex) nếu với mọi
x
1
, x
2
∈ R
m
và t ∈ [0, 1],
f(tx
1
+ (1 − t)x
2
) ≤ max{f(x
1
), f(x

2
)}
Định nghĩa 1.1
Cho ánh xạ f : R
m
→ R
n
là một ánh xạ đơn trị. Cho K ⊂ R
n
là một
nón lồi đóng và K
+
là nón cực không âm của nó
K
+
= {η ∈ R
n
: η
T
v ≥ 0, ∀v ∈ K}
Ánh xạ f được gọi là K- tựa lồi (K-quasiconvex) nếu với bất kì y ∈ R
n
thì tập mức {x ∈ R
m
: y ∈ f(x) + K} là lồi.
Định nghĩa 1.2
Ánh xạ f : R
m
→ R
n

là K- lồi (K- convex), nếu ∀x
j
∈ R
m
(j =
1, 2), ∀t ∈ [0, 1], thì
tf(x
1
) + (1 − t)f(x
2
) ∈ f(tx
1
+ (1 − t)x
2
) + K.
Định nghĩa 1.3
Một ánh xạ K-tựa lồi vô hướng (scalarly K- quasiconvex) f : R
m
→ R
n
là một ánh xạ sao cho với mọi η ∈ K
+
, η
T
f là một hàm tựa lồi.
Dễ thấy rằng f là K- lồi nếu và chỉ nếu f là K- lồi vô hướng theo
nghĩa: với ∀η ∈ K
+
, η
T

f là một hàm lồi.
Định nghĩa 1.4
Hàm giá trị thực mở rộng g : R
m
×R
m
→ R ∪{±∞} là tựa đơn điệu
(quasimonotone) nếu với tất cả x
1
∈ R
m
và x
2
∈ R
m
(x
1
= x
2
), ta có
min{g(x
1
, x
2
− x
1
) + g(x
2
, x
1

− x
2
)} ≤ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Nếu bất dẳng thức trên được thay thế bởi
g(x
1
, x
2
− x
1
) + g(x
2
, x
1
− x
2
) ≤ 0,
thì g được gọi là đơn điệu. ( Ở đây ta đặt −∞ + ∞ = ∞ −∞ = 0).
Bổ đề 1.4 [8]
Cho f : R
m
→ R là một hàm Lipschitz địa phương. Khi đó, các phát
biểu dưới đây là tương đương:
1. f là tựa lồi, tức là
f(tx
1
+ (1 − t)x
2

) ≤ max{f(x
1
), f(x
2
)},
với mọi x
j
∈ R
m
(j = 1, 2) và t ∈ [0, 1].
2. f
0
là tựa đơn điệu.
3. df là tựa đơn điệu.
Định nghĩa 1.5
Giả sử F : R
m
× R
n
⇒ R
n
là một ánh xạ đa trị. F là một i- tựa đơn
điệu (hoặc chính xác hơn, (i, K)- tựa đơn điệu) nếu với tất cả x
1
∈ R
m
và
x
2
∈ R

m
(x
1
= x
2
), ta có
0 ∈ cl co{F (x
1
, x
2
− x
1
) ∪F (x
2
, x
1
− x
2
) + K}. (1.12)
Rõ ràng là (1.12) có thể được viết lại là
0 ∈ co H(x
1
, x
2
) + K, (1.13)
nếu bao lồi của tập
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
H(x
1

, x
2
) = F (x
1
, x
2
− x
1
) ∪F (x
2
, x
1
− x
2
) (1.14)
là com pắc
(bởi vì co{H(x
1
, x
2
) + K} = co H(x
1
, x
2
) + K là tập đóng). Hơn nữa
nếu F(x
1
, x
2
− x

1
) và F(x
2
, x
1
− x
2
) lồi thì (1.13) trở thành
0 ∈

{tF (x
1
, x
2
− x
1
) + (1 − t)F(x
2
, x
1
− x
2
) : t ∈ [0, 1]} + K.
.
Từ đó ta suy ra rằng tính i- tựa đơn điệu của ánh xạ đa trị F có giá trị
không rỗng lồi, com pắc có nghĩa là: với ∀x
1
∈ R
m
và ∀x

2
∈ R
m
(x
1
= x
2
)
tồn tại t ∈ [0, 1] sao cho
0 ∈ tF (x
1
, x
2
− x
1
) + (1 − t)F(x
2
, x
1
− x
2
) + K.
Một cách tương đương, tính i- tựa đơn điệu của một ánh xạ đa trị
F như vậy có nghĩa là với ∀x
1
∈ R
m
và ∀x
2
∈ R

m
(x
1
= x
2
) tồn tại
y
1
∈ F(x
1
, x
2
− x
1
) và y
2
∈ F(x
2
, x
1
− x
2
) sao cho S(y
1
, y
2
) ≤ 0, tức là
ty
1
+ (1 − t)y

2
∈ −K
với t nào đó t ∈ [0, 1] (xem (1.1)).
Định nghĩa 1.6
F là s- tựa đơn điệu ( một cách chính xác hơn, (s, K)- tựa đơn điệu)
nếu với mọi x
1
∈ R
m
và x
2
∈ R
m
(x
1
= x
2
), y
1
∈ F (x
1
, x
2
− x
1
) và
y
2
∈ F(x
2

, x
1
− x
2
), ta có S(y
1
, y
2
) ≤ 0, tức là
ty
1
+ (1 − t)y
2
∈ −K (1.15)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
với t nào đó t ∈ [0, 1] (xem (1.1)).
Nhận xét 1.1
Nếu domF = R
m
× R
m
thì tính s- tựa đơn điệu của F kéo theo tính
i- tựa đơn điệu của F . Điều ngược lại đúng cho F là đơn trị.
1.2 Đặc trưng của ánh xạ tựa đơn điệu
Mệnh đề 1.1
Cho F
j
: R
m

×R
m
⇒ R
n
(j = 1, 2) là hai ánh xạ đa trị sao cho F
1
⊂ F
2
theo nghĩa F
1
(x, u) ⊂ F
2
(x, u) với tất cả x ∈ R
m
và u ∈ R
m
.
1. Nếu F
1
là i- tựa đơn điệu thì F
2
cũng i- tựa đơn điệu.
2. Nếu F
2
là s- tựa đơn điệu thì F
1
cũng s- tựa đơn điệu.
Chứng minh
Từ định nghĩa ta suy ra điều phải chứng minh. 
Nhận xét 1.2

Kí hiệu Df là ánh xạ đa trị: R
m
× R
m
⇒ R
n
trong đó gán (x, u) bất
kì thuộc R
m
×R
m
với tập Df
x
(u). Một cách tương tự cho Cf, D
b
f và Df.
Do Cf
x
⊂ D
b
f
x
⊂ Df
x
⊂ Df
x
ta suy ra
Cf ⊂ D
b
f ⊂ Df ⊂ Df.

Ta đặt F
1
= Cf; F
2
= D
b
f; F
3
= Df; F
4
= Df
Từ Mệnh đề 1.1 suy ra các kết quả dưới đây.
- Nếu F
j
là i- tựa đơn điệu thì F
k
cũng là i- tựa đơn điệu k ≥ j.
- Nếu F
j
là i- tựa đơn điệu thì F
k
cũng là s- tựa đơn điệu k ≤ j.
Nhận xét 1.3
Bây giờ ta hãy "vô hướng hóa" ánh xạ đa trị F : R
m
× R
m
⇒ R
n
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Điều này có nghĩa là với bất kì η ∈ K
+
, ta xây dựng ánh xạ đa trị
η
T
F : R
m
× R
m
⇒ R. Ta thiết lập hai hàm giá trị thực mở rộng từ
R
m
× R
m
→ R ∪ {±∞}: Hàm thứ nhất nhận được từ η
T
F bằng cách lấy
infimum, còn hàm thứ hai nhận được từ η
T
F bằng cách lấy supremum.
Tiền tố "i" (tương ứng "s") của cụm từ "i- tựa đơn điệu"(tương ứng "s- tựa
đơn điệu") là viết tắt của từ "infimum" (tương ứng " supremum"). Tiền tố
"i" hay "s" tương ứng với sự kiện sau đây: nếu ta muốn kiểm tra tính chất
i- tựa đơn điệu (hay s- tựa đơn điệu) của F qua cách tiếp cận vô hướng
trên, thì sau khi có η
T
F ta phải lấy infimum ( tương ứng supremum) của
η

T
F và kiểm tra tính tựa đơn điệu của hàm thu được bằng cách sử dụng
định nghĩa 1.4. Chú ý này được xử lí trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.2
1. F là i- tựa đơn điệu nếu và chỉ nếu
a. Với mọi x
1
∈ R
m
và x
2
∈ R
m
(x
1
= x
2
) thì ít nhất một trong các
tập F (x
1
, x
2
− x
1
) và F (x
2
, x
1
− x
2

) khác rỗng.
b. Với mọi η ∈ K
+
(η = 0) hàm giá trị thực mở rộng inf η
T
F là tựa
đơn điệu.
(nói riêng, khi domF = R
m
×R
m
, tính i- tựa đơn điệu của F là tương
đương với điều kiện (b)).
2. F là s- tựa đơn điệu nếu và chỉ nếu với mọi η ∈ K
+
, η = 0 hàm
sup η
T
F là tựa đơn điệu.
Chứng minh
Với η ∈ K
+
, ta đặt
F
η
= inf η
T
F, (1.16)
F
η

= sup η
T
F. (1.17)
1. Giả sử F là i- tựa đơn điệu tức là (1.12) đúng với ∀x
1
∈ R
m
và ∀x
2
∈
R
m
(x
1
= x
2
)
Khi đó, điều kiện (a) đúng bởi vì nếu không 1.12 sẽ không thể thỏa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
mãn. Bây giờ ta sử dụng (1.14) và chú ý rằng
η ∈ K
+
⇒ inf{η
T
y : y ∈ K} = 0, (1.18)
Từ (1.12) ta nhận được: ∀η = 0, η ∈ K
+
,
0 = η

T
0 ≥ inf{η
T
y : y ∈ coH(x
1
, x
2
) + K}
≥ inf{η
T
y : y ∈ coH(x
1
, x
2
)} + inf{η
T
y : y ∈ K}
≥ inf{η
T
y : y ∈ coH(x
1
, x
2
)}
≥ min{inf η
T
F (x
1
, x
2

− x
1
), inf η
T
F (x
2
, x
1
− x
2
)}.
Điều này chỉ ra rằng F
η
là tựa đơn điệu, tức là điều kiện (b) đúng.
Giả sử F không là i- tựa đơn điệu. Trong trường hợp này điều kiện (b)
bị vi phạm tức là tồn tại véc tơ η = 0, η ∈ K
+
sao cho F
η
không là tựa
đơn điệu. Thật vậy, lấy x
1
∈ R
m
và x
2
∈ R
m
(x
1

= x
2
) sao cho
0 ∈ cl co{H(x
1
, x
2
) + K}, (1.19)
trong đó theo giả thiết (a) tập H(x
1
, x
2
) định nghĩa bởi (1.14) là không
rỗng.
Theo định lý tách, tồn tại số  dương và véc tơ khác không η ∈ R
n
sao
cho
0 <  ≤ η
T
(h + k), (1.20)
với mọi h ∈ coH(x
1
, x
2
) và k ∈ H. Do tính chất thuần nhất dương của K,
ta suy ra từ (1.20) rằng η ∈ K
+
. Bây giờ cho k = 0 trong (1.20) ta nhận
được  < η

T
h với mọi h ∈ coH(x
1
, x
2
). Từ đó suy ra
F
η
(x
1
, x
2
− x
1
) > ,
F
η
(x
2
, x
1
− x
2
) > .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Điều đó chỉ ra rằng F
η
không tựa đơn điệu.
2. Giả sử F là s- tựa đơn điệu. Với mọi η = 0, η ∈ K

+
, ta có F
η
là
tựa đơn điệu. Thật vậy giả sử ngược lại rằng tồn tại η = 0 thuộc K
+
, F
η
không là tựa đơn điệu, tức là
F
η
(x
1
, x
2
− x
1
) > 0,
F
η
(x
2
, x
1
− x
2
) > 0,
các điểm thích hợp x
1
∈ R

m
, x
2
∈ R
m
, (x
1
= x
2
). Hai bất đẳng thức này
chỉ ra tồn tại các điểm y
1
∈ F(x
1
, x
2
−x
1
) và y
2
∈ F(x
2
, x
1
−x
2
) sao cho
η
T
y

1
> 0 và η
T
y
2
> 0. Từ đó suy ra (1.15) không đúng với bất kì t ∈ [0, 1].
Điều này mâu thuẫn với tính s- tựa đơn điệu của F.
Bây giờ giả sử F không là s- tựa đơn điệu. ta khẳng định rằng rằng
tồn tại véc tơ η = 0, η ∈ K
+
sao cho F
η
không là tựa đơn điệu. Thật vậy,
lấy x
1
∈ R
m
, x
2
∈ R
m
(x
1
= x
2
) và y
1
∈ F(x
1
, x

2
− x
1
);
y
2
∈ F(x
2
, x
1
−x
2
) sao cho (1.15) không đúng với bất kì t ∈ [0, 1], tức
là
[y
1
, y
2
] ∩(−K) = ∅.
Khi đó, S(y
1
, y
2
) ≤ 0, tức là
min{η
T
y
1
, η
T

y
2
} > 0
với η thuộc K
+
. Điều này kéo theo rằng
min{F
η
(x
1
, x
2
− x
1
; F
η
(x
2
, x
2
− x
1
))} > 0,
Chứng tỏ F
η
không là tựa đơn điệu. 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
1.3 Các ánh xạ đơn điệu và tựa đơn điệu
Định nghĩa 1.7

Ánh xạ đa trị F : R
m
×R
m
⇒ R
n
là i- đơn điệu (hoặc chính xác hơn,
(i, K)- đơn điệu ) nếu với mọi x
1
∈ R
m
và x
2
∈ R
m
, (x
1
= x
2
), ta có
0 ∈ cl co{F (x
1
, x
2
− x
1
) + F (x
2
, x
1

− x
2
) + K}. (1.21)
Rõ ràng (1.21) có thể được viết lại là
0 ∈ co{F (x
1
, x
2
− x
1
) + F (x
2
, x
1
− x
2
) + K}, (1.22)
nếu tập co{F (x
1
, x
2
− x
1
) + F (x
2
, x
1
− x
2
)} là com pắc.

Hơn nữa F (x
1
, x
2
− x
1
) và F (x
2
, x
1
− x
2
) là các tập lồi thì (1.22) trở
thành
0 ∈ F (x
1
, x
2
− x
1
) + F (x
2
, x
1
− x
2
) + K. (1.23)
Vì vậy tính i- tựa đơn điệu của ánh xạ đa trị F có giá trị không rỗng
lồi, com pắc có nghĩa là với ∀x
1

∈ R
m
và ∀x
2
∈ R
m
(x
1
= x
2
) tồn tại
y
1
∈ F(x
1
, x
2
− x
1
) và y
2
∈ F(x
2
, x
1
− x
2
) sao cho y
1
+ y

2
∈ −K.
Định nghĩa 1.8
Ánh xạ đa trị F : R
m
× R
m
⇒ R
n
là s- đơn điệu (một cách chính
xác hơn (s, K)- đơn điệu) nếu với mọi x
1
∈ R
m
, x
2
∈ R
m
(x
1
= x
2
) và
y
1
∈ F(x
1
, x
2
− x

1
), y
2
∈ F(x
2
, x
1
− x
2
), ta có
y
1
+ y
2
∈ −K. (1.24)
Nhận xét 1.4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Đặt R
m
0
= R
m
\ {0} và lấy x ∈ R
m
, u ∈ R
m
0
. Khi đó, bằng cách
đặt x

1
= x, x
2
= u + x trong (1.21) ta đạt được 0 ∈ cl co{F (x, u) +
F (x + u, −u) + K}. Điều đó kéo theo F(x, u) = ∅ tức là (x, u) ∈ domF .
Vì vậy, với F là i- đơn điệu, ta có R
m
× R
m
0
⊂ domF . Bao hàm thức
này không đòi hỏi phải thỏa mãn với F là s- đơn điệu. Do đó, nói chung
tính s- đơn điệu của F không kéo theo tính i- đơn điệu của F ngoại trừ
trường hợp domF ⊃ R
m
×R
M
0
. Cũng như vậy khi F là ánh xạ đơn trị và
domF ⊃ R
m
× R
m
0
thì hai khái niệm về tính đơn điệu trong định nghĩa
1.7 và 1.8 là tương đương.
Mệnh đề 1.3
Giả sử F
j
: R

m
× R
m
⇒ R
n
(j = 1, 2) sao cho F
1
⊂ F
2
.
1. Nếu F
1
là i- đơn điệu thì F
2
cũng i- đơn điệu.
2. Nếu F
2
là s- đơn điệu thì F
1
cũng s- đơn điệu.
Chứng minh
Từ định nghĩa, ta suy ra điều phải chứng minh. 
Ta sẽ chỉ ra rằng hai khái niệm đơn điệu đưa ra ở trên có thể đặc trưng
dưới ngôn ngữ các khái niệm tựa đơn điệu. Kí hiệu L(R
m
, R
n
) là họ các
ánh xạ tuyến tính từ R
m

→ R
n
và với mọi E ∈ L(R
m
, R
n
) ta định nghĩa
(F + E)(x, u) = F (x, u) + E(u)
với mọi x ∈ R
m
và u ∈ R
n
.
Bổ đề 1.5
F : R
m
× R
m
⇒ R
n
là i- đơn điệu nếu và chỉ nếu R
m
× R
m
0
⊂ dom F
và với mọi E ∈ L(R
m
, R
n

), F + E là i- tựa đơn điệu.
Chứng minh
Nếu F là i- đơn điệu thì từ nhận xét (1.4) R
m
× R
m
0
⊂ domF . Hơn
nữa với bất kì E ∈ L(R
m
, R
n
), F + E là i- đơn điệu và do đó là i- tựa đơn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
điệu. Bây giờ nếu F không là i- đơn điệu, thì tồn tại 2 điểm phân biệt
x
1
∈ R
m
và x
2
∈ R
m
sao cho (1.21) không đúng. Ta có vế phải của (1.21)
là một tập không rỗng, bởi vì domF ⊃ R
m
× R
m
0

(điều đó kéo theo tập
F (x
1
, x
2
− x
1
) + F (x
2
, x
1
− x
2
) là không rỗng). Một định lý tách có thể
áp dụng để nhận được véc tơ η = ∅, η ∈ R
n
sao cho
0 < inf {η
T
v : v ∈ F (x
1
, x
2
− x
1
) + F (x
2
, x
1
− x

2
) + K}. (1.25)
Từ bất đẳng thức này và tính thuần dương của K ta suy ra η ∈ K
+
. Từ
(1.25) ta suy ra −α
1
< α
2
, trong đó
α
1
= inf η
T
F (x
1
, x
2
− x
1
),
α
2
= inf η
T
F (x
2
, x
1
− x

2
).
Do x
1
= x
2
, theo định lý Haln- Banach, tồn tại véc tơ ξ ∈ R
m
sao cho
−α
1
< ξ
T
(x
2
− x
1
) < α
2
. (1.26)
Đặt

ξ = ξ/η
T
e và
E(u) = (

ξ
T
u)e (u ∈ R

m
),
trong đó e ∈ R
m
là điểm thỏa mãn η
T
e = 0 (một điểm như vậy tồn tại
bởi vì η = 0). Hiển nhiên là E ∈ L(R
m
, R
n
). Theo giả thiết

F := F + E
là i- tựa đơn điệu, tức là (1.12) đúng, với

F thay cho F. Từ đó và (1.18)
ta suy ra
η
T
0 = 0 ≥ inf{η
T

v :

v ∈

F (x
1
, x

2
− x
1
) ∪

F (x
2
, x
1
− x
2
) + K}
≥ inf{η
T

v :

v ∈

F (x
1
, x
2
− x
1
) ∪

F (x
2
, x

1
− x
2
)}.
(1.27)
Bây giờ ta chú ý rằng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20

v ∈

F (x
1
, x
2
− x
1
) ⇒

v = v + (

ξ
T
(x
2
− x
1
))e, với v nào đó v ∈ F (x
1
, x

2
− x
1
)
⇒ η
T

v = η
T
v + ξ
T
(x
2
− x
1
)
⇒ η
T

v ≥ α
1
+ ξ
T
(x
2
− x
1
).
Vì vậy từ (1.26) ta suy ra
inf η

T

F (x
1
, x
2
− x
1
) > 0. (1.28)
Tương tự,
inf η
T

F (x
2
, x
1
− x
2
) > 0. (1.29)
Từ (1.27)- (1.29) ta suy ra rằng
0 ≥ inf{η
T

v :

v ∈ F (x
1
, x
2

− x
1
) ∪

F (x
2
, x
1
− x
2
)} > 0,
điều này là vô lý. 
Từ các Bổ đề 1.5, 1.2, 1.3 và 1.1 ta nhận được hệ quả sau.
Hệ quả 1.5.1
1. Df là i- đơn điệu nếu và chỉ nếu với mọi E ∈ L(R
m
, R
n
), Df + E
là i- tựa đơn điệu.
2. Với ánh xạ khả vi theo phương f, D
b
f là i- đơn điệu nếu và chỉ nếu
với mọi E ∈ L(R
m
, R
n
), D
b
f + E là i- tựa đơn điệu.

3. Với giả thiết inf K = ∅, Cf là i- đơn điệu nếu và chỉ nếu với mọi
E ∈ L(R
m
, R
n
), Cf + E là i- tựa đơn điệu.
Bổ đề 1.6
Ánh xạ đa trị F : R
m
× R
n
⇒ R
n
là s- đơn điệu nếu và chỉ nếu với
mọi E ∈ L(R
m
, R
n
), F + E là s- tựa đơn điệu.
Chứng minh
Nếu F là s- đơn điệu, thì với mọi E ∈ L(R
m
, R
n
), F + E là s- đơn
điệu, và do đó là s- tựa đơn điệu. Để chứng minh tính đủ của bổ đề, ta chú
ý rằng, đối với bất kì η = 0, η ∈ K
+
, hàm giá trị thực mở rộng sup η
T

F
là đơn điệu. Thật vậy, lấy ξ ∈ R
m
bất kì.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Bởi vì η = 0 ta có thể xây dựng từ ξ và η một ánh xạ E ∈ L(R
m
, R
n
)
như là trong chứng minh của Bổ đề 1.5. Theo giả thiết F + E là s- tựa
đơn điệu. Điều đó được suy ra từ mệnh đề 1.2 rằng sup η
T
(F + E) là tựa
đơn điệu.
Định nghĩa hàm giá trị thực mở rộng g : R
m
×R
m
→ R ∪{±∞} bằng
cách đặt
g(x, u) = sup η
T
F (x, u) + ξ
T
u (x ∈ R
m
, u ∈ R
m

) và chú ý rằng
g(x, u) = sup η
T
(F + E)(x, u),
ta có g là tựa đơn điệu. Do ξ là bất kì, từ [7, Bổ đề 1.4] ta suy ra η
T
F là
đơn điệu .
Bây giờ ta chứng minh F là s- đơn điệu. Thật vậy, nếu ngược lại sẽ
tồn tại các điểm x
1
∈ R
m
, x
2
∈ R
m
(x
1
= x
2
); y
1
∈ F (x
1
, x
2
− x
1
) và

y
2
∈ F (x
2
, x
1
− x
2
) sao cho y
1
+ y
2
∈ −K. Từ (1.6) ta suy ra tồn tại
η = 0, η ∈ K
+
sao cho η
T
(y
1
+ y
2
) > 0. Bất đẳng thức này chỉ ra rằng
sup η
T
F không là đơn điệu. Điều đó là không thể được. 
Mệnh đề 1.4
1. F : R
m
×R
m

⇒ R
n
là i- đơn điệu nếu và chỉ nếu R
m
×R
m
0
⊂ dom F
và với mọi η = 0, η ∈ K
+
, hàm giá trị thực mở rộng inf η
T
F là đơn điệu.
2. F : R
m
×R
m
⇒ R
n
là s- đơn điệu nếu và chỉ nếu với mọi η = 0, η ∈
K
+
, hàm giá trị thực mở rộng sup η
T
F là đơn điệu.
Chứng minh
Giả sử F là i- đơn điệu. Khi đó theo Bổ đề 1.5, R
m
× R
m

0
⊂ dom F.
Ta còn phải chỉ ra rằng với mọi η = 0, η ∈ K
+
, inf η
T
F là đơn điệu. Lấy
ξ ∈ R
m
và η ∈ K
+
\ {0}, E ∈ L(R
m
, R
n
) được xây dựng từ η và ξ như
trong chứng minh bổ đề 1.5.
Theo Bổ đề 1.5 F + E là i- tựa đơn điệu. Áp dụng Mệnh đề 1.2 cho
F + E ta được inf(F + E) là tựa đơn điệu. Định nghĩ hàm giá trị thực mở
rộng

g : R
m
× R
m
→ R ∪ {±∞} bằng cách đặt:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên