tính chính quy của nghiệm của phương trình monge-ampere phức trong miền lồi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM




TRƢƠNG THÚY NGA




TÍNH CHÍNH QUI CỦA NGHIỆM
CỦA PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC
TRONG MIỀN LỒI

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng




THÁI NGUYÊN - 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4
1.1. Hàm đa điều hoà dưới 4
1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại 11
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức 16
Chƣơng 2. TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM CỦA PHƢƠNG
TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG MIỀN LỒI 27
2.1. Tính chính qui của nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền siêu lồi 29
2.2.
-
1
C
ước lượng trong miền lồi 32
2.3.
,
-
2
C
a
ước lượng và tính chính quy địa phương của toán tử
Monge- Ampère. 35
2.4. Tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère
phức trong miền lồi 41
2.5. Tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère
phức trong đa đĩa 44

KẾT LUẬN 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO 51


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán Dirichlet cho các toán tử Monge-Ampère phức thường được xét
trên những miền trơn, giả lồi chặt trong
n

. Đối với những toán tử này, sự tồn
tại của các nghiệm liên tục yếu đã được Bedford và Taylor chứng minh năm
1976, sự tồn tại của các nghiệm trơn đã được chứng minh bởi L. Caffarelli,
J. J. Kohn, L. Nirenberg, và J. Spruck năm 1985; và N. V Krylov năm 1994.
Tuy nhiên, ở đây không giả thiết gì về tính chính quy của biên.
Theo hướng nghiên cứu trên chúng tôi chọn đề tài: “Tính chính quy của
nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong miền lồi”. Cụ thể là đối
với các
2
C -
hàm đa điều hòa dưới trơn, xét phương trình Monge-Ampère
phức
det( )
ij
u y=
, ở đây
2

/ , , 1, ,
i j i j
u u z z i j n    
. (*)

Vấn đề đặt ra ở đây là chỉ ra sự tồn tại
C

-
nghiệm đa điều hòa dưới
u
của phương trình (*) trong
W
với
lim ( ) 0
z
uz
 
=
, trong đó
W
là một miền lồi,
bị chặn trong
n

,
y
là
C


-
hàm trong
W
sao cho
0y >
và
1/ n
Dy
bị chặn.

Trong trường hợp đa đĩa, chúng ta sẽ chỉ ra sự tồn tại của
C

-

nghiệm

đa điều hòa dưới trong
P
của phương trình (*) sao cho
lim ( ) ( )
z
u f z
z
z

=
với
zP
, trong đó

R
là một đa đĩa trong
n

,
y
là
C

-

hàm trong
P
sao cho
0y >
và
2 1/ n
D y
bị chặn và
f
là
1,1
C -
hàm trên biên
P
sao cho
f
là điều hòa dưới trên mỗi đĩa giải tích được nhúng trong
P
.

Đề tài có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và
ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc
nghiên cứu tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức
trong miền lồi.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm
đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực trị, toán tử Monge-Ampère.
- Trình bày một số kết quả về tính chính quy của nghiệm của phương
trình Monge-Ampère phức trong miền lồi.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương
pháp của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết thế vị phức.
- Kế thừa phương pháp và kết quả của Zbigniew Blocki.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính
chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử
Monge-Ampère.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả
nghiên cứu về tính chính quy của nghiệm của phương trình Monge-Ampère
trong miền lồi.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả
cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,
Sở Giáo dục và Đào tạo Lạng Sơn, Trường THPT Cao Lộc - Lạng Sơn cùng
các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập
và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn
học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2012
Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hoà dƣới

1.1.1. Định nghĩa. Cho
W
là một tập con mở của
n

và
)
:,u

   



là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với

trên bất kỳ thành phần
liên thông nào của
W
. Hàm
u
được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi
a 
và
n
b  
, hàm
()u a bll+a
là điều hoà dưới hoặc trùng

trên

mỗi thành phần của tập hợp
{ }
: abll   
. Trong trường hợp này, ta
viết
()u PSH
. ( ở đây
()WPSH
là lớp hàm đa điều hoà dưới trong
W
).
1.1.2. Định lý. Cho
)
:,u

   


là một hàm nửa liên tục trên và không
trùng

trên bất kỳ thành phần liên thông của
n
 
. Khi đó
()u PSH
khi và chỉ khi với mỗi
a 
và
n

b  
sao cho
{ }
: , 1abl l l    
,
ta có
( ) ( ; , )u a l u a b
,
trong đó
2
0
1
( ; , ) ( )
2
it
l u a b u a e bdt
p
p
=+

.
Ngoài ra, tính đa điều hoà dưới là một tính chất địa phương.
Chứng minh. Phần thứ nhất suy ra trực tiếp từ định nghĩa của hàm đa điều hoà
dưới vì
( ; , ) ( ;0,1)l u a b L v=
, trong đó
( ) ( )v u a bll=+
.
Phần thứ hai là hiển nhiên, vì tính điều hoà dưới là tính chất địa phương.
Một số tính chất quan trọng của hàm đa điều hoà dưới có thể được suy

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
ra từ kết quả tiếp theo. Tương tự như trường hợp của hàm điều hoà dưới, ta
gọi nó là Định lý xấp xỉ chính cho hàm đa điều hoà dưới.
1.1.3. Định lý. Cho
W
là một tập con mở của
n

và
()u PSH
. Nếu
0e >
sao cho
e
  
, thì
()uC
ee
l

   PSH
 Hơn nữa,
u
e
l*
đơn
điệu giảm khi
e

giảm, và
0
lim ( ) ( )u z u z
e
e
l

*=
với mỗi
z 
.
Phép chứng minh giống như chứng minh của Định lý xấp xỉ chính cho các
hàm điều hoà dưới. Trước tiên ta cần Bổ đề sau:
1.1.4. Bổ đề. Cho
n
 

là một tập mở và
1
()
loc
uL
. Giả sử
a 
,
n
b  
, và
{ }
: , 1abl l l    

. Khi đó

( ( ;., ) )( ) ( ; , )l u b a l u a b
ee
cc* = *
. (1.1)
Chứng minh. Vế trái của (1.1) bằng
2
0
1
( ) ( ) ( )
2
n
it
u a e b dt d
p
e
w c w l w
p





+-










.
và do Định lý Fubini, nó bằng vế phải của (1.1).
Bây giờ chúng ta có thể chứng minh định lý.
Chứng minh. Do [9], Mệnh đề 2.5.2
()i
,
()uC
ee
l

  
. Định lý 1.1.2 kết
hợp với Bổ đề trên, suy ra
()u
ee
l  PSH
. Sử dụng lập luận đó như trong
[9], Bổ đề 2.5.3, đối với mỗi biến riêng, ta có thể chứng minh (bằng quy nạp
theo
j
) ước lượng sau :
1
1
1 1 1 1 1 1
( , , , , , ) ( , , , , , )
n

j j n j j n
C
u I d
e
l w w w w l w w w w
-
- + - +


,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
trong đó
1 1 1
( , , , , , )
j j n
I w w w w
-+
=


1 2 1 2 1 1 1 1
( , , , , , ) ( ) ( )
j j j j n n j
C
u z z z z de w e w e w e w c w l w
++
+ + + +


,
với
21
0 ee
và
1
1
( , , )
n
z z z
e
  

. Từ đó ta có

12
( )( ) ( )( ) ( )u z u z u z
ee
ll   
.
Phần còn lại của chứng minh cũng như trong [9], Định lý 2.5.5.
Bây giờ chúng ta sẽ nêu vài hệ quả của định lý xấp xỉ chính.
1.1.5. Hệ quả. Cho
W
và

W
là những tập mở trong
n


và
k

, tương ứng.
Nếu
()u PSH
và
:f

  
là một ánh xạ chỉnh hình, thì
ufo
là đa
điều hoà dưới trong

W
.
1.1.6. Hệ quả. Nếu
W
là một tập con mở trong
n

, thì

1
( ) ( ) ( ) ( ).
loc
L      PH PSH SH

1.1.7. Hệ quả. Cho

W
là một tập con mở trong
n

, và
:u  
là một
hàm số. Khi đó
()u PH
khi và chỉ khi
u
và
u-
là đa điều hoà dưới
trong
W

Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới nên ta có thể phát biểu vài tính
chất khác:
1.1.8. Hệ quả. Nếu
, ( )uvPSH
và
uv=
hầu khắp nơi trong
W
, thì
uv
.
1.1.9. Hệ quả. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
bị chặn, tức là nếu
W
là một tập con mở liên thông bị chặn của
n


và
()u PSH
, thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi
z 
,
( ) sup lim sup ( )
y
y
u z u y
w
w

  

<
.
1.1.10. Định nghĩa. Tập hợp
n
E  
được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm
aE
đều có một lân cận

V
của
a
và một hàm
()uV PSH
sao cho
{ }
: ( )E V z V u z     
.
1.1.11. Hệ quả. Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) không.
Tính đa điều hoà dưới có thể được đặc trưng dưới dạng đạo hàm suy rộng.
1.1.12. Định lý. Nếu
n
 

là mở và
()u PSH
 thì với mỗi
1
( , , )
n
n
b b b
,
2
,1
0
n
jk
jk

k
j
u
bb
zz
=




trong
W
, theo nghĩa của đạo hàm
suy rộng, tức là
( ) ( ) , ( ) 0u z L z b b d zjl
W
  

,
với hàm không âm
0
()Cj


tùy ý. Ngược lại, nếu
1
()
loc
vL
sao cho với

mọi
z 
, mọi
1
( , , )
n
n
b b b
,
2
,1
0
n
k
j
jk
k
j
v
bb
zz
=




trong
W
(1.2),
theo nghĩa phân bố, thì hàm

0
lim( )uv
e
e
c

=*
được xác định tốt, đa điều hoà
dưới trong
W
, và bằng
v
hầu khắp nơi trong
W
.
Chứng minh. Cho
()u PSH
và
uu
ee
c=*
với
0e >
. Lấy một hàm
không âm
0
()Cj


và một véc tơ

1
( , , )
n
n
b b b
. Định lý hội tụ trội
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
Lebesgue kết hợp với tích phân từng phần và Định lý xấp xỉ chính suy ra
()uz
W


( ) ,L z b bj

()dzl =

0
lim
e
()uz
e
W


( ) ,L z b bj

()dzl

0
lim
e
=
W


( ) ,Lu z b b
e

()zj
()dzl
 0.
Phần đầu tiên của định lý được chứng minh.
Giả sử
1
()
loc
vL
và (1.2) được thoả mãn. Đặt
vv
ee
c=*
với
0e >
.
Khi đó
0v
trong

W
, theo ý nghĩa suy rộng. Do [9], Định lý 2.5.8, tồn tại
duy nhất hàm điều hoà dưới
u
trên
W
trùng với
v
hầu khắp nơi và
0
limuv
e
e
=
. Định lý Fubini và (1.2) suy ra
W

( ) ,Lv z b b
e
()zj
()dzl
 0,
với mọi
n
b  
,
0
()C
e
j



,
0j 
. Bởi vậy
( ) , 0Lv z b b
e

, với mọi
z
e

,
n
b  
, và do đó
()v
ee
PSH
. Khi
12
vv
ee
<
nếu
12
ee<
, thì hàm
giới hạn
u

là đa điều hoà dưới.
1.1.13. Hệ quả. Cho
W
là một tập con mở trong
n

. Một hàm
2
()uC
là
đa điều hoà trong
W
nếu và chỉ nếu
uTo
là điều hoà trong
1
()T
-
W
với mỗi
đẳng cấu
-
tuyến tính
:
nn
T 
.
1.1.14. Định lý. Cho
W
là một tập con mở trong

n

. Khi đó
()i
Họ
()WPSH
là nón lồi, tức là nếu
,ab
là các số không âm và
, ( )uvPSH
, thì
()uvab  PSH
.
()ii
Nếu
W
là liên thông và
{ }
()
j
j
u

PSH

là dãy giảm, thì
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
lim ( )

j
j
uu

  PSH
hoặc
u   
.
()iii
Nếu
:u  
, và nếu
{ }
()
j
j
u

PSH

hội tụ đều tới
u
trên các
tập con compact của
W
, thì
()u PSH
.
()iv
Giả sử

{ }
()
A
u
a
a
PSH
sao cho bao trên của nó
sup
A
uu
a
a 
=
là bị
chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính quy nửa liên tục trên
*
u
là đa điều
hoà dưới trong
W
.
1.1.15. Hệ quả. Cho
W
là một tập mở trong
n

và
w
là một tập con mở thực

sự khác rỗng của
W
. Nếu
()u PSH
,
()v w PSH
, và
lim ( ) ( )
xy
v x u y



với mỗi
y w   
, thì công thức
{ }
max ,
\
u v trong
u trong
w
w
w




=



W




xác định một hàm đa điều hoà dưới trong
W
.
Cho
W
là một tập con mở trong
.
n


Ta nói rằng một ánh xạ chỉnh hình
:
m
f  

là không suy biến trong
W
nếu trong mỗi thành phần liên thông
của
W
có thể tìm được một điểm
z
sao cho hạng của
z

f
là
m
.
1.1.16. Mệnh đề. Cho
:
m
f  
là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến
trên một tập mở
m
 
và

W
là một lân cận mở của
()f W
trong
m

. Cho
{ }
()
A
u
a
a

PSH
sao cho bao trên của nó

sup
A
uu
a
a 
=
là bị chặn trên địa
phương. Khi đó
**
( ) ( ).u f u f=oo

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
Chứng minh. Đặt
{ }
: det 0
z
A z f    
.
Vì
det
z
zfa
là một hàm chỉnh hình, A là đa cực nên theo Hệ quả 1.1.11,
A có độ đo Lebesgue bằng không. Hạn chế của ánh xạ
f
trên
\ AW
là mở

(do Định lý ánh xạ ngược) và liên tục nên ta có:
{ }
*
0
( ) lim sup ( ( )) : ( , )u f u f z z B a
e
e

o


{ }
0
lim sup ( ) : ( ( , ))u f B a
e
w w e




( )( )u f a
*
= o
,
với bất kỳ
\aA
. Bởi vậy
( ) ( )u f u f
**
=oo

hầu khắp nơi trong
W
.
Cũng vậy
( ) ,( ) ( )u f u f
**
PSHoo
. Do đó theo Hệ quả 1.1.8,
( ) ( )u f u f
**
=oo
trong
W
.
1.1.17. Định lý. Cho
W
là một tập con mở của
n

.
()i
Cho
,uv
là các hàm đa điều hoà trong
W
và
0v >
. Nếu
:f 
là

lồi, thì
( / )v u vf
là đa điều hoà dưới trong
W
.
()ii
Cho
()u PSH
,
()v PSH
, và
0v >
trong
W
. Nếu
:f 
là
lồi và tăng dần, thì
( / )v u vf
là đa điều hoà dưới trong
W
.
()iii
Cho
, ( )uv  PSH
,
0u 
trong
W
, và

0v >
trong
W
. Nếu
) )
: 0, 0,f

  


là lồi và
(0) 0f =
, thì
( / ) ( )v u vf PSH
.
1.1.18. Định lý. Cho
W
là một tập con mở của
n

và

{ }
: ( )F z v z     

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
là một tập con đóng của
W

 ở đây
()v PSH
. Nếu
( \ )uFPSH
là bị
chặn trên, thì hàm
u
xác định bởi
( ) ( \ )
()
lim sup ( ) ( )
yz
yF
u z z F
uz
u y z F








=









là đa điều hoà dưới trong
W
. Nếu
u
là đa điều hoà và bị chặn trong
\ FW
,
thì
u
là đa điều hoà trong
W
. Nếu
W
là liên thông, thì
\ FW
cũng liên thông.
1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại
1.2.1. Định nghĩa. Cho
W
là một tập con mở của
n

và
:u  
là hàm
đa điều hoà dưới. Ta nói rằng
u

là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact
tương đối G của
W
, và với mỗi hàm nửa liên tục trên
v
trên
G
sao cho
()vG PSH
và
vu
trên
G
, đều có
vu
trong G.
Ký hiệu
()WM PSH
là họ tất cả các hàm đa điều hoà dưới cực đại trên
W
.
Sau đây ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại.
1.2.2. Mệnh đề. Cho
n
 
là mở và
:u  
là hàm đa điều hoà dưới.
Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
()i

Với mỗi tập con mở compact tương đối
G
của
W
và mỗi
()v PSH
,
nếu
lim sup( ( ) ( )) 0
z
u z v z
x

, với mọi
Gx 
, thì
uv
trong
G
;
()ii
Nếu
()v PSH
và với mỗi
0e >
tồn tại một tập compact
K 
sao
cho
uv e  

trong
\ KW
, thì
uv
trong
W
;
()iii
Nếu
()v PSH
, G là một tập con mở compact tương đối của
W
, và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
uv
trên
G
thì
uv
trong G;
()iv
Nếu
()v PSH
, G là một tập con mở compact tương đối của
W
, và
lim inf( ( ) ( )) 0,
z

u z v z
x

với mỗi
Gx 
, thì
uv
trong G;
()v

u
là hàm cực đại.
Chứng minh.
( ) ( )i ii
: Cho
v
là một hàm đa điều hoà dưới có tính chất:
với mỗi
0e >
tồn tại một tập compact
K 
sao cho
uv e  
trong
\ KW
. Giả sử rằng
( ) ( ) 0u a v a h- = <
tại một điểm
a 
. Bao đóng của

tập hợp

: ( ) ( )
2
E z u z v z
h



    





là tập con compact của
W
. Bởi vậy có thể tìm được tập mở
G
chứa
E
và
compact tương đối trong
G
. Theo
()i
ta có
2
uv
h


trong
G
, điều đó mâu
thuẫn với
.aE
Phần còn lại được suy ra từ khẳng định: hàm
{ }
max ( ), ( ) ( )
()
( ) ( \ )
u z v z z G
z
u z z G
w




=






là đa điều hoà dưới trong
W
(xem Hệ quả 1.1.16) theo các giả thiết
()iii

,
()iv
,
()v
và
()i
.
Tiếp theo chúng ta sẽ xét một lớp quan trọng các hàm cực đại liên tục.
Trước hết, chúng ta cần một số định nghĩa. Cho
W
là một miền bị chặn
trong
n

và
()fC 
. Bài toán Dirichlet suy rộng là tìm một hàm nửa liên
tục trên
:u  
sao cho
()u
W
M PSH
và
uf


.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
Cho
W
là miền bị chặn trong
n

và
()fC 
. Ta sẽ ký hiệu
( , )fWU

là họ của tất cả các hàm
()u PSH
sao cho
uf
*

trên

, trong đó

*( ) lim sup ( )
z
u z u
w
w
w


=

, với mọi
z 
.
Đặt
{ }
,
( ) sup ( ) : ( , ) ,
f
z u z u f zy
W
    U
. Hàm
,
()
f
zy
W
được gọi
là hàm Perron - Bremermann đối với
W
và
f
.
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng
,
()
f
zy
W
là nghiệm của bài toán Dirichlet

suy rộng khi
W
là một hình cầu Euclid.
1.2.3. Định lý. Cho
()f C B
, trong đó
( , )B B a r=
là một hình cầu mở
trong
n

. Khi đó hàm
y
xác định bởi
,
( ) ( )
()
( ) ( )
Bf
z z B
z
f z z B
y
y




=







là một nghiệm của bài toán Dirichlet suy rộng đối với tập
B
và hàm
f
. Hơn
nữa,
y
là liên tục.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng
0a =
. Giả
sử
h
là nghiệm của bài toán Dirichlet cổ điển đối với
B
và
f
. Vì hàm đa
điều hoà dưới là điều hoà dưới, nên suy ra
,Bf
hy 
trong
B
theo nguyên
lý cực đại đối với hàm điều hoà dưới. Do

h
liên tục trong
B
, nên ta có
,
()
Bf
hy
*

trong
B
. Đặc biệt, điều đó có nghĩa là
,
( ) ( , )
Bf
Bfy
*
 U
và như
vậy
,
()
Bf
yy
*

trong
B


()By  PSH
. Để hoàn thành chứng minh kết
luận thứ nhất của định lý, ta chỉ cần chứng minh
,
()
Bf
fy
*

trên
B
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
Ta sẽ chứng minh một tính chất mạnh hơn: với
0
zB
bất kỳ, thì

0
,0
lim inf ( ) ( )
Bf
zz
zB
z f zy




.
Thật vậy, lấy
0
zB
và
0e >
. Chứng minh sẽ được hoàn thành nếu ta có
thể tìm được một hàm liên tục
:vB 
sao cho
( , )
B
v U B f
và
00
( ) ( )v z f z e=-
. Điều đó có thể đạt được bằng cách định nghĩa
2
00
( ) Re , ( )v z c z z r f z e

= - + -


,
trong đó
0c >
là hằng số, được chọn để
vf

trên
B
. (Chú ý rằng biểu
thức trong dấu móc vuông là âm trên
{ }
0
\Bz
).
Từ đó với mỗi
0
zB
, ta có

0
0
lim ( ) ( )
zz
zB
zzyy


=
, (1.3)
tức là
y
liên tục tại mỗi điểm biên.
Tính cực đại của
y
là hiển nhiên. Thực vậy, nếu
G

là một tập con mở
compact tương đối của
B
,
)
:,vG

   


là nửa liên tục trên,
()
G
v PSH
và
v y
trên
G
, thì hàm
{ }
max ,
\
v z G
V
z B G
y
y






=







thuộc
( , )BfU


V y
. Đặc biệt,
v y
trong
G
. (điều phải chứng minh)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
Để chứng minh rằng
y
là liên tục, chỉ cần chứng tỏ nó nửa liên tục dưới.
Thật vậy, lấy
0e >
. Khi
B

là compact,
B
fy =
là liên tục đều. Điều đó
kết hợp với (1.3) suy ra tồn tại
(0, )
2
r
d =
sao cho nếu
zB
,
Bw 
, và
3z wd-<
, thì

( ) ( )
2
z
e
y y w-<
. (1.4)
Với bất kỳ
(0, )yBd
, đặt
{ }
max ( ), ( ) ( ( )
()
( ) ( \ ( )

y
z z y z B y B
Hz
z z B y B
y y e
y


     

=


  


.
Ta sẽ chứng minh rằng
( , )
y
B
H U B f
. Thật vậy vì
(0, ) ( ) (0, ) ( , )B r B y B B r B y rd       

nên
( (0, ))
y
H B r dPSH
là lớn nhất trong hai hàm đa điều hoà dưới. Mặt

khác,
y
H y=
trong
\ (0, 2 )B B r d-
. Thực vậy, theo định nghĩa
()
y
Hz
ta có

( ) ( ), \ ( )
y
H z z z B y By   
.
Nếu
( ( )) \ (0, 2 )z B y B B r d    
, thì ta chọn
0
zB
sao cho
0
2zz d-<
. Ta có
0
3z y z d+ - <
và do đó theo (1.4)
0
( ) ( )
2

zz
e
yy-<
và
0
( ) ( )
2
z y z
e
yy+ - <
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
Như vậy
( ) ( )z z yy y e  


( ) ( )
y
H z zy=


()
y
HB PSH
và
y
Hf=
trên

B



( , )
y
H U B f


.
y
H y
Từ đó nếu
,zBw 
và
z wd-<
, thì
( ) ( ) ( ) ( )
z
z H z z z
w
y y w e y w e
-
      
.
Vậy
y
là nửa liên tục dưới. (điều phải chứng minh).
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức
Cho

u
là đa điều hoà dưới trên miền
n
 
. Nếu
( )
2
uC
thì toán tử:
( ) ( ) ( )
1,
: 4 !det
n
c c c n
jk
j k n
n
u
dd u dd u dd u n dV
zz




   




1444444442 444444443

,
với
dV
là yếu có thể tích trong
C
n
gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán tử
này có thể xem như độ đo Radon trên
W
, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên không gian các hàm liên tục với giá compact
0
()C W
trên
W

( )
( )
0
n
c
C dd ujj
W
W'

a
.
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu
u
là đa điều hoà dưới bị

chặn địa phương trên
W
thì tồn tại dãy
{ } ( )
1
n
n
uC

>
  PSHh
sao cho
n
uu]
và
( )
n
c
n
dd u







hội tụ yếu tới độ đo Radon
m
trên

W
tức là:
( )
( )
0
lim ,
n
c
n
n
dd u d Cj j m j
WW
   

.
Hơn nữa
m
không phụ thuộc vào việc chọn dãy
{ }
n
u
như trên, ta ký hiệu:

()
cn
dd u m=

và gọi là toán tử Monge-Ampère của
u
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
Sau đây chúng ta sẽ xem xét một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử
Monge-Ampère, phần cuối của mục này là nguyên lý so sánh được dùng
trong chương 2.
1.3.1. Mệnh đề. Nếu
( )
,pp
Cy


là
( )
,pp -
dạng lớp
C

trên tập mở
n
 

và
T
là
( )
,qq -
dòng với
1p q n+ = -
thì

( ) ( )
n
c c c c
dd T dd T d d T d Ty y y y      
.
Chứng minh. Ta có:

( )
c c c c c c
d d T d T d d T dd T dd T d dTy y y y y y          
.
Nhưng
1p q n+ + =
nên

( ) ( )
( )
( )
c
c
d d T i T T
i T T T T
i T T d dT
y y y
y y y y
y y y
        
           
        

.
Do đó
( )
c c c c
d d T d T dd T dd Ty y y y      
.
Từ mệnh đề trên và dùng công thức Stokes đối với dòng ta có: nếu
T
là
( )
,qq -
dòng trên tập mở
n
 
và
( )
( )
0, 1, 1n q n q
Cy

- - - -

là
( )
1, 1n q n q- - - - -
dạng lớp
C

với hệ số trong
()WD

thì

( )
c c c c
dd T dd T d d T d Ty y y y
W W W
      
  


0
cc
d T d Tyy

    

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18
Vậy
,,
c c c c
dd T dd T dd T T ddy y y y
WW
    

. (1.5)
Giả sử
T

là dòng dương có bậc
( )
,qq
trên tập mở
n
 
và
( )
()
loc
uL

   PSH
. Khi đó
,
2
q
JK J K
JK
i
T T dz dz













với
JK
T
là
các độ đo phức trên
W
. Vậy từ
( )
()
loc
uL

   PSH
nên
u
là hàm khả tích
đối với các
JK
T
. Do đó
,
2
q
JK J K
JK
i
uT uT dz dz













là
( )
,qq -
dòng
với hệ số độ đo. Ta đưa ra định nghĩa sau:

( )
cc
dd u T dd uT
.
Từ (1.5) ta có

( )
, , ,
c c c c
dd u T dd u T dd uT uT ddy y y y
W
     




c
uT dd y
W


,
đúng cho mọi
( )
( )
0, 1, 1n q n q
Cy

- - - -

.
1.3.2. Mệnh đề. Giả sử
{ }
j
m
là dãy các độ đo Radon trên tập mở
n
 

hội tụ yếu tới độ đo Radon
m
. Khi đó
a) Nếu

G 
là tập mở thì
( ) ( )
lim inf
j
j
GGmm


.
b) Nếu
K 
là tập compact thì
( ) ( )
lim sup
j
j
KKmm


.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19
c) Nếu
E
compact tương đối trong
W
sao cho
( )

0Em 
thì

( ) ( )
lim
j
j
EEmm

=
.
Chứng minh.
a) Ta có
( ) ( )
{ }
sup :G K K Gmm= 
. Giả sử
KG
là tập compact. Lấy
( )
0
CGj 
,
01j
và
1j =
trên
K
. Khi đó

( ) ( ) ( ) ( )
lim lim inf
jj
jj
KGm m j m j m
   
  
.
Từ đó
( ) ( )
lim inf
j
j
GGmm


.
b) Ta có
( )
{ }
0
( ) inf : , ,V= VK V V K Vmm   
. Giả sử
V
là một lân
cận mở của
K
và
( )
0

CVj 
,
01j
và
1j =
trên
K
. Khi đó

( ) ( ) ( ) ( )
lim lim sup
jj
jj
VKm m j m j m
   
  
.
Từ đó
( ) ( )
lim sup
j
j
KKmm


.
c) Viết
E IntE E  
. Khi đó

( ) ( ) ( ) ( )
int lim inf int lim inf
jj
jj
E E E Em m m m
   
  
.
Mặt khác

( ) ( ) ( )
lim sup lim sup
jj
jj
EEEm m m
   

.
Từ đó
( ) ( )
lim sup
j
j
EEmm


.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20

Vậy
( ) ( )
lim
j
j
EEmm

=
.
1.3.3. Mệnh đề. Giả sử
n
 
là miền bị chặn và
( )
, ( )
loc
u v L

   PSH

sao cho
,0uv
trên
W
và
( )
lim 0
z
uz
  

=
. Giả sử
T
là
( )
1, 1nn- - -
dòng
dương, đóng trên
W
. Khi đó

cc
vdd u T udd v T
WW
  

.
Đặc biệt, nếu
( )
lim 0
z
vz
  
=
thì
cc
vdd u T udd v T
WW
  


.
Chứng minh. Chú ý rằng
c
dd u T
và
c
dd v T
là các độ đo Borel dương
trên
W
. Với
0e >
, đặt
{ }
,u max u
e
e=-
. Khi đó
0u
e
<
và là hàm đa điều
hòa dưới trên
W
và
u
e
tăng tới 0 khi
e
giảm về 0. Từ định lí hội tụ đơn điệu

Lebesgue ta có

( )
0
lim
cc
udd v T u u dd v T
e
e
WW
   


và

( ) ( )
1
0
lim
cc
j
u u dd v T u u dd v T
ee
e
c

WW
     

.

Do
( )
lim 0
z
uz
e
  
=
nên
{ }
0uu
e

là tập compact tương đối trong
W
. Lấy
miền

WW
sao cho
{ }
0uu
e


WW
. Khi đó với
j
đủ lớn,
( ) ( )

10
j
u u C
e
c

   
và do giả thiết
T
là
( )
1, 1nn- - -
dòng dương,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21
đóng trên
W
nên
c
dd u T
là
( , )nn -
dòng dương, đóng với mọi
( ) ( )
loc
uL

   PSH
, suy ra

( ) ( )
11
cc
jj
u u dd v T vdd u u T
ee
cc
WW





      











( ) ( )
11
\
cc

jj
vdd u u T vdd u u T
ee
cc

W W W
   




       







   



( )
11
cc
jj
vdd u T vdd u T
e
cc


WW
   




     







   



1
c
j
vdd u Tc

W






  









.
Nhưng
11
cc
jj
dd u T dd u Tcc
   




   







   

hội tụ yếu tới
c
dd u T
. Khi đó
1
c
j
vdd u Tc














hội tụ yếu tới
c
vdd u T
. Vậy

( )
1
lim

c c c
j
j
vdd u T inf vdd u T u u dd v T
e
c

  
W W W





      








  
.
Từ đó cho
0e ]
ta được

cc

vdd u T vdd u T

WW
  

.
Cho

WWZ
ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22
1.3.4. Định lý. Giả sử
n
 
là miền bị chặn và
, ( ) ( )u v L

   PSH

sao cho
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z v z
 

. Khi đó

{ } { }

( ) ( )
c n c n
u v u v
dd v d d u
<<


. (1.6)
Chứng minh. Trước hết ta giải thích điều kiện

lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z v z
 

.
Điều này có nghĩa là với mọi
0e >
tồn tại
K W
sao cho
\zK  
thì
( ) ( )u z v z e  
. Hơn nữa khi thay
u
bởi
, > 0u dd+
, thì
{ } { }

u v u vd   
khi
0d 
. Nếu bất đẳng thức (1.6) đúng trên
uvd+<
thì cho
0d 
suy ra (1.6) đúng trên
{ }
uv<
. Vì vậy có thể giả sử
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z v z d
 
  
. Vậy
{ }
uv<W
.
)a
Giả sử
,uv
là các hàm liên tục. Khi đó
{ }
uv

W = <
là tập mở,
,uv

liên
tục trên

W
và
uv=
trên


. Với
0e >
, đặt
{ }
max ,u u v
e
e=+
.
Từ giả thiết
lim inf( ( ) ( ))
z
u z v z d
 

nên
( ) ( )u z v z de- > -
hay
( ) ( ) ( )u z v z v zed   
với
z
gần biên


. Vậy
()u u z
e
e=+
gần biên

và
uv
e

trên

W
. Theo công thức Stokes

( ) ( )
c n c n
dd u dd u
e

WW
=

,
hay

{ } { }
( ) ( )
c n c n

u v u v
dd u dd u
e
<<
=

. (1.7)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

23
Do
uv
e

nên
( ) ( )
c n c n
dd u dd v
e

. Vậy

{ } { } { }
0
( ) lim inf ( ) ( )
c n c n c n
u v u v u v
dd v dd u dd u
e
e

< < <

  
.
)b
Giả sử
,uv
tùy ý và
w
là miền sao cho
{ }
/2uvdw  
. Tồn tại
hai dãy
j
u
và
k
v
các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của
w
giảm tới
u

và
v
sao cho
jk
uv
trên

w
với mọi
,ik
. Có thể coi
1 , 0
jk
uv  
. Lấy
0e >
và giả sử
G 
là tập mở sao cho
( )
,
n
CG eW<
,
,uv
là các hàm liên
tục trên
\ GW
. Bởi định lí Tietze tồn tại hàm
j
liên tục trên
W
sao cho
v j=
trên
\FG=W
. Ta có

{ }
{ }
( ) lim ( )
j
c n c n
j
uv
uv
dd v dd v

<
<
=

.
Nhưng
{ } { }
jj
u v u Gj   
và vì
{ }
j
u j<
là tập mở nên

{ } { } { }
( ) ( ) ( ) lim inf ( )
j j j
c n c n c n c n

k
k
G
u v u u v
dd v d d v dd v dd v
j
e

< < <
   
   
,
bởi
( )
,
n
CG eW<
và
()
cn
k
dd v
hội tụ yếu tới
()
cn
dd v
.
Từ
{ } { }
jj

u u v Gj   
và
{ } { }
j j k
u v u v  
suy ra

{ } { } { }
( ) ( ) ( ) ( )
j j j k
c n c n c n c n
k k k k
G
u u v u v
dd v d d v dd v dd v
j
e
< < <
   
   
.
Áp dụng
)a
vào các hàm liên tục
j
u
và
k
v
ta thu được

{ } { }
( ) ( )
j k j k
c n c n
kj
u v u v
dd v dd u
<<
=

.
Do đó
{ }
{ }{ }
( ) lim inf lim inf ( ) 2 lim sup ( ) 2
j j j
c n c n c n
jj
j k j
uv
u v u v
dd v dd u dd uee
     
<

   
  