Toán tử khuyếch tán và ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên

LỜI MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây tính ổn định của hệ phương trình vi phân ngẫu
nhiên đã được nhiều nhà tốn học trong và ngồi nước quan tâm nghiên cưú.
Đáng chú ý là các cơng trình nghiên cứu của Xuerong Mao và những cộng
sự của ơng về tính ổn định mũ bình phương trung bình hay ổn định mũ hầu chắc
chắc. Đối với trạng thái cân bằng của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên có
chuyển đổi Máccốp hay khơng có chuyển đổi. Điều đó bắt nguồn từ tầm quan
trọng của tính ổn định của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên, bởi vì phương
trình vi phân ngẫu nhiên là mơ hình tốn học phản ánh hoạt động của mỗi hệ
thống.
Luận văn đề cập đến việc trình bày khái niệm tốn tử khuyếch tán và vai
trị của tốn tử đó trong việc nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi
phân ngẫu nhiên.
Trong luận văn phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ với chuyển đổi Markov
có dạng:
dx(t) = f(x(t), x(t-  ), t, r(t))dt + g(x(t), x(t-  ), t, r(t))dwt)
(1.1)
trong đó r(t) là Xích Markov lấy các giá trị trong tập S = {1,2,…,N}. Phương
trình này có thể được coi như là kết quả của N phương trình sau:
dx(t) = f(x(t), x(t-  ), t, i )dt + g(x(t), x(t-  ), t, i )dω(t), 1  i  N
(1.2)
Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt
tình của các thầy giáo, cô giáo, đồng nghiệp, bạn bè, người thân. Với những tình

1


cảm chân thành và trân trọng nhất, tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Phan
Đức Thành, người trực tiếp hướng dẫn tác giả thực hiên luận văn này.
Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng,
PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hòa, cùng các thầy cô giáo ở bộ

môn Xác suất thống kê và ứng dụng, Khoa Toán, Khoa sau đại học – Trường Đại
Học Vinh.
Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
đã tận tình giúp đỡ, động viên để tác giả hoàn thành luận văn này.
Vinh, ngày

tháng 01 năm 2011
Tác giả

Nguyễn Thị Duyên

2


3


MỤC LỤC
Trang
LỜI MỞ ĐẦU..................................................................................................................1
CHƯƠNG 1: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN....................................................3
1.1. Các khái niệm của lý thuyết ổn định..............................................................3
1.2. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính.........................................................4
1.3. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất........................................5
1.4. Ổn định của hệ tuyến tính dừng.....................................................................7
1.5. Ổn định của hệ tuyến tính khơng dừng..........................................................8
1.6. Ổn định của hệ phi tuyến...............................................................................12
1.7. Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phương trình vi phân
ngẫu nhiên.............................................................................................................14
CHƯƠNG 2: TỐN TỬ KHUYẾCH TÁN VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ

NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
NGẪU NHIÊN.................................................................................................................21
2.1. Tốn tử khuyếch tán......................................................................................21
2.2.Ứng dụng của tốn tử khuyếch tán để nghiên cứu tính ổn định của
phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ với chuyển đổi Markov.........................25
KẾT LUẬN......................................................................................................................33
TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................................................34

4


CHƯƠNG 1

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định
Liapunov đối với hệ phương trình vi phân.
Nội dung của chương này được trình bày theo các chuyên khảo của
Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu và Vũ Ngọc Phát. Xem [1] và [2].
1.1. Các khái niệm của lý thuyết ổn định
Xét hệ phương trình vi phân:


x (t )

= f(t,x), t 0

x(t 0 ) = x 0
trong đó x(t)

Rn

(1.1)

là trạng thái của hệ, f: R  R n  R  là hàm véc tơ cho trước

f(t,x) liên tục theo t, có đạo hàm riêng cấp 1 theo các biến x1,…,xn liên tục.
1.1.1. Định nghĩa. Nghiệm x(t) của hệ gọi là ổn định theo Lyapunov nếu
  0, t0 0,   ( , t0 )
y0  x0  

sao cho bất kỳ nghiệm y(t) của hệ thỏa mãn

thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức

y (t )  x (t )  , t t 0 .

1.1.2. Định nghĩa. Nghiệm x(t) của hệ gọi là không ổn định theo Lyapunov nếu
  0 và t0 0,   ( , t0 ) sao cho   0, tồn tại nghiệm y(t) của hệ và thời

điểm t1  t0 thỏa mãn

y0  x0  

nhưng

y (t1 )  x (t1 ) 

.

1.1.3. Định nghĩa . Nghiệm x(t) của hệ gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov

nếu nó ổn định và   0 sao cho với

y0  x0  

y (t )  x (t ) =0.
thì lim
t 

1.1.4. Định nghĩa . Dùng phép biến đổi z = x - y ta đưa hệ (1.1) về hệ mới


z  g (t , x )

5

(1.2)


trong đó g(t,x) = f( t, y + z) – f( t, y). Rõ ràng g(t,0) = 0 và hệ này cho hệ tầm
thường z 0 . Hệ này được gọi là hệ quy đổi.
1.1.5. Định nghĩa. Nghiệm tầm thường( trạng thái cân bằng) x 0 gọi là ổn
định nếu   0, t0 0,   ( , t0 ) sao cho bất kỳ nghiệm y(t) của hệ thỏa mãn
y (t 0 )  

thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức

x (t )   , t t0 .

1.1.6. Định nghĩa. Nghiệm tầm thường x 0 của hệ gọi là tiệm cận theo
Lyapunov nếu nó ổn định và   0 sao cho bất kỳ nghiệm y(t) thỏa mãn

y (t0 )  

y (t ) 0 .
thì lim
t 

1.1.7. Định nghĩa. Hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu

M  0,   0 sao

cho mọi

  (t  t )
, t t0 .
nghiệm x(t) của hệ với x(t0 )  x0 thỏa mãn x(t ) M .e
0

Khi đó nghiệm khơng của hệ khơng những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của
nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ của hàm số mũ.
1.2. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính
Xét hệ vi phân tuyến tính


x (t )  A(t ) x  f (t )

(1.3)

và hệ vi phân tuyến tính thuần nhất


(1.4)

x(t )  A(t ) x

trong đó ma trận A(t) và véc tơ f(t) liên tục trong khoảng (0,  ).
1.2.1. Định nghĩa. Hệ vi phân tuyến tính (1.3) gọi là ổn định nếu tất cả các
nghiệm của nó ổn định.
1.2.2. Nhận xét. Các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính hoặc đồng thời cùng ổn
định hoặc đồng thời không ổn định.
1.2.3. Định nghĩa. Hệ vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn định tiệm cận nếu
tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận.
6


1.2.4. Định lý. Hệ vi phân tuyến tính (1.3) ổn định với số hạng tự do bất kỳ f(t)
khi và chỉ khi nghiệm tầm thường của hệ thuần nhất tương ứng (1.4) ổn định.
1.2.5. Định lý. Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.3) ổn định tiệm
cận là nghiệm tầm thường của hệ thuần nhất tương ứng (1.4) ổn định tiệm cận.
1.2.6. Hệ quả. Hệ vi phân tuyến tính (1.3) với số hạng tự do f(t) bất kỳ ổn định
(ổn định tiệm cận) khi và chỉ khi hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn
định (ổn định tiệm cận).
1.3. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất
1.3.1. Định lý. Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn
định theo Lyapunov là mỗi nghiệm x(t) của hệ bị chặn trên  t0 ,  .
Chứng minh. Điều kiện cần : Giả sử hệ (5) ổn định nhưng có nghiệm z(t) khơng
bi chặn trên  t0 , , z (t0 ) 0 .Ta sẽ chỉ ra nghiệm tầm thường của hệ không ổn
z (t ) 

định. Thật vậy lấy   0 bất kỳ và xét nghiệm y(t) = z (t ) . 2 .
0

Rõ ràng y (t0 ) 2  0 và do z(t) không bị chặn nên y(t) không bi chặn trên

t

0

,  . Do đó với

 cố định,

t1  t0 sao cho y (t1 )   .

Từ đó suy ra nghiệm tầm thường

y 0 không

ổn định. Điều này mâu thuẫn với

giả thuyết hệ ổn định. Như vậy mỗi nghiệm y = y(t) của hệ bị chặn trên  t 0 ,  .
Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm bất kỳ của hệ bị chặn trên  t0 ,  . Khi đó ma trận
cơ bản chuẩn hóa  (t )  xik (t ) bao gồm các hàm giới nội nên giới nội.
Do đó tồn tại M > 0 để  (t )

M ,  t0 ,  .

Mặt khác với mỗi nghiệm x(t) của hệ ta có y (t )  (t ). y (t0 ) .
Suy ra:

y (t )   (t ). y (t0 )   (t ) . y (t0 ) M . y (t0 )  

Khi y (t 0 ) 



=  , chọn  = M .
M

7

.


Như vậy nghiệm tầm thường

y 0

ổn định. Do đó hệ (1.4) ổn định.

1.3.2. Hệ quả. Nếu hệ vi phân tuyến tính khơng thuần nhất ổn định thì các
nghiệm của nó hoặc đồng thời giới nội hoặc đồng thời không giới nội.
1.3.3. Chú ý. Đối với hệ vi phân phi tuyến, từ tính giới nội của các nghiệm nói
chung khơng suy ra tính ổn định của nó.
1.3.4. Định lý. Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn
x(t ) 0 .
định tiệm cận là tất cả các nghiệm của nó thỏa mãn lim
t 

Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.4) ổn định tiệm cận. Khi đó nghiệm
tầm thường z0 0 .ổn định tiệm cận. Từ đó suy ra mọi nghiệm z(t) mà có
z (t0 )  

z (t ) 0 .Giả sử y(t) là một nghiệm bất kỳ của hệ với điều kiện
thì lim
t 

ban đầu y (t0 ) = y 0 ,

y (t0 ) 0

y(t) 
. Đặt z (t )  y(t ) . 2 thì nghiệm z(t) cũng là
0

z (t ) lim
z (t ) 0 .Do đó lim
t 
t 
nghiệm của hệ và thỏa mãn lim
t 

y (t0 )
.z (t )

=0.
2

y (t ) 0 . Suy ra với
Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm y(t) bất kỳ của hệ thỏa mãn lim
t 

T đủ lớn (T> t 0 ) thì nghiệm y(t) bị chặn trên (T,

 ). Mặt khác hàm véc tơ y(t)

liên tục trên  t 0 , T  nên bị chặn trên đoạn đó. Như vậy nghiệm y(t) bị chặn trên

t

0

,  . Do đó hệ ổn định. Suy ra nghiệm tầm thường z 0 ổn định.

y (t ) 0 ta suy ra được nghiệm tầm thường z 0 ổn
Kết hợp với giả thiết lim
t 

định tiệm cận. Do đó hệ đã cho ổn định tiệm cận.
1.3.5. Chú ý. Đối với hệ vi phân phi tuyến điều kiện tất cả các nghiệm dần tới
khơng khi t   nói chung không phải là điều kiện đủ để các nghiệm ổn định
tiệm cận.
8


1.4. Ổn định của hệ tuyến tính dừng
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:


x (t )  A(t ) x , t 0

(1.5)

trong đó A  a jk  n là ma trận hằng.
1.4.1. Định lý. Hệ vi phân (1.5) ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc
trưng

j

của ma trận A đều có phần thực khơng dương và các nghiệm đặc

trưng có phần thực bằng khơng đều có ước cơ bản đơn.
1.4.2. Định lý. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.5) ổn định tiệm cận khi và
chỉ khi tất cả các nghiệm  của phương trình đặc trưng của ma trận A đều có
j

phần thực âm.
1.4.3. Định lý. Hệ (1.5) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các
giá trị riêng của ma trận A là âm.
1.4.4. Chú ý. Đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất dừng các mệnh đề sau là
tương đương:
i) Hệ ổn định mũ,
ii) Hệ ổn định tiệm cận,
iii) Mọi giá trị riêng của ma trận A đều có phần thực âm.
1.4.5. Ví dụ.
Xét tính ổn định của hệ

x
 1  x1


 x 2   2 x2

Ta thấy

 1
A 
0


0 

 2


Các giá trị riêng của ma trận A là  ( A) = -1,-2 đều có Re  ( A) <0.
Do đó hệ đã cho ổn định mũ.

9


1.4.6. Định lý. Giả sử đa thức đặc trưng mà hệ phương trình vi phân (1.5) đã
cho là đa thức chuẩn:

f (z ) = z n  a1 zn n 1  ....  an .

Khi đó nếu tất cả các định

thức chéo chính D k , k=1, 2, …, n của ma trận Hurwtizb của nó đều dương thì
phần thực của tất cả các nghiệm của đa thức f(z) là âm, tức hệ đã cho ổn định
tiệm cận, trong đó
D1 a1

 1
D2 
0


Dk

;

a

1

 1

0

 ...

0


0 

 2


a3
a2

...
...

a
1

a2 k  1
a2 k 
2

. ...

...
0

a2

. ...
.....

k



3

...
ak

k = 2, 3, …, n

Và ar 0 với r > n.
1.5. Ổn định của hệ tuyến tính khơng dừng
Xét hệ vi phân tuyến tính


x (t )  A(t ) x(t ) , t 0

.

(1.6)

1.5.1. Định lý. Xét hệ (1.6), trong đó A(t) = A + C(t). Giả sử A là ma trận hằng
ổn định, C(t) là khả tích trên R  và

Khi đó hệ ổn định mũ với

C (t ) a, a  0.

a>0 đủ nhỏ.
Chứng minh. Với A(t) = A + C(t) hệ phương trình (1.6) có dạng


x (t )  Ax (t )  C (t ) x (t ), t 0.

Do đó nghiệm của hệ với x(t0 ) = x0 cho bởi:
t

x(t ) e

t

Ads

t0

t

( x0  C ( s ) x( s )e

-Adt

t0

t0

x0 e

A ( t  t0 )

t

t

ds ) e A ( t  t ) ( x0  C ( s ) x( s )e
0

t0

t

 C ( s ) x( s )e A ( t  s ) ds.
t0

10

-A(s-t 0 )

t0

ds)













Vì ma trận A ổn định nên hệ
nghĩa

sao cho

  0,   0

x(t )  Ax(t ), t 0 là

ổn định mũ, do đó theo định

e At e  t , t 0.

Ta có
t

x(t )  x0 e A( t  t

0)

t

 e A( t  s ) C ( s ) x( s ) ds  x0 e   ( t  t )  e   ( t  s ) a x( s ) ds
0

t0

t0

t

 e

 ( t  t0 )

x(t )   x0 

a

x( s ) e ( s  t ) ds .
0

t0

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân
t

“Nếu

t

 a ( s )u ( s )ds thì u (t ) Ce
t

u (t ) C

a ( s ) ds ”

t0

0

Với
u (t )  e ( t  t ) x ( t ) , C  x0 , a ( s ) a .
0

Ta được
t

e ( t  t ) x(t )  x0 .a x( s ) e ( s t ) ds, t t0 .
0

0

t0

Hay
e ( t  t ) x (t )  x0 .e a ( t  t ) , t t0 .
0

0

Do đó
x(t )  x0 .e ( a   )(t  t ) , t t0 .
0

Chọn

a   , khi đó hệ ổn định mũ.
1.5.2. Định lý. Xét hệ (1.6), trong đó A(t) là ma trận liên tục theo t. Giả sử tồn
tại các số M>0, 

 0, K  0

i)

sao cho

e A ( s ) t Ke  t , t , s 0 ,

11


A(t ) M .
ii) sup
tR



Khi đó hệ ổn định mũ nếu M 
.
2K

Chứng minh. Ta viết lại hệ dưới dạng tương đương


x A(t0 ) x(t )  ( A(t )  A(t0 )) x(t ), t t0

.

Nghiệm x(t) với x(t0 )  x0 cho bởi
x(t ) x0e

A ( t 0)( t  t0 )

t

 ( A( s )  A(t0 )) x ( s )e A ( t )( t  t ) ds .
0

0

t0

Ta có
t

x(t ) Ke   ( t  t ) x0  2 MK x( s) e   ( t  s ) ds .
0

t0



 ( t  t0 )

e

t

x(t )  K x0  2 MKe ( s t ) x( s ) ds.
0

t0

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall với:

u (t )  e ( t  t ) x(t ) , C K x0 , a( s ) 2 KM
0

e

Ta được:

 (t  t0 )

t

x(t )  K x0  2 MK x( s ) e   ( t  s ) ds.
t0

 e ( t  t ) x(t )  K x0 .e 2 KM ( t  t )  x(t ) K x0 .e( 2 KM   )(t  t ) , t t0 .
0

0

0


  (t  t )
, t t
Nếu chọn M 
thì ta có: x(t ) K x0 .e
0

2K

trong đó   

2 KM  0 .

Do đó hệ ổn định mũ.
A(t ) A và
1.5.3. Định lý. Giả sử tồn tại giới hạn lim
t 

A là

ma trận ổn định,

khi đó hệ


x(t ) ( A  B (t )) x(t ) .

12

(1.7)


B (t ) 0 .
Là ổn định tiệm cận nếu lim
t 

Chứng minh. Nghiệm của hệ (1.7) với x(t0 )  x0 là:
t

A ( t0 )( t  t0 )
0

 ( A( s )  A(t0 )) x( s )e A ( t )( t  t ) ds .

x(t )  x

0

0

t0

Vì ma trận

A ổn

định nên hệ:

  0,   0

sao cho

eA

t



x (t )  A x (t ) cũng

ổn định, do đó theo định nghĩa

e  t , t 0.
t

  (t t )
x0   x( s ) B( s ) e   ( t  s ) ds .
Ta có đánh giá : x(t ) e
0

t0

t

 e ( t  t

0

)

  (t  s )
x( s ) ds .
x(t )  x0   B ( s ) e
t0

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall với
u (t )  e

 (t  t 0 ) x (t )

, C  x 0 , a ( s )   B ( s ) .

Ta được
e ( t  t

0

)

x(t )  x0 e ( t  t )  B ( s ) .
0

Do đó
t

0  x( x) e   ( t  t )  x0 e
0


t

t

B ( s ) ds

0

 0  x( x)  x0 e


t

B ( s ) ds

0

B (t ) 0 nên với    , T  0 sao cho B( s )   , s T .
Vì lim
t 
2M

2M


Do đó  B ( s )    , s T .
2

x(t ) 0 .
Do đó theo ngun lý kẹp thì lim
t 

Mặt khác hệ



x (t )  A x (t ) ổn

định nên hệ đã cho ổn định tiệm cận.

1.6. Ổn định của hệ phi tuyến
Xét hệ phương trình vi phân

13

.




(1.8)

x (t )  f (t , x(t )), t 0

trong đó f(t,x): R  R n  R  là hàm phi tuyến cho trước, f (t ,0) 0, t  R



Ta luôn giả thiết các điều kiện trên f(.) sao cho hệ (1.8) có nghiệm x(t) với điều
kiện ban đầu x(t0 ) x0 , t0 0.
1.6.1. Định lý. Xét hệ phương trình vi phân


x(t )  Ax  g ( x), t 0 .

Nếu A là ma trận ổn định và g(x) 0 (

(1.9)
) bị chặn theo t thì hệ là ổn định mũ.

x

Chứng minh. Nghiệm của hệ phương trình (1.9) với x(t0 ) x0 là
x(t )  x0e

A ( t  t0 )

t

 g ( x( s ))e A ( t  s ) ds .
t0

Vì A là ma trận ổn định nên tồn tại số K>0,   0 sao cho
e At Ke  t , t 0.

Ta có đánh giá:
t

x(t ) Ke   ( t  t ) x0  Ke   ( t  s ) g ( x( s )) ds .
0

t0

Vì g(x) 0 (

x

với

ta có:

x (t )   1

) , tức là

Lim
k 

g ( x)
0
x

nên với mọi   0 cho trước, 1 sao cho

g ( x (t ))  x (t ) , t 0.

Do đó
t

x (t ) Ke   ( t  t ) x0  Ke   ( t  s ) ( x ( s )) ds
0

t0

t



e ( t  t ) x(t ) K x0  Ke ( s  t ) ( x( s )) ds.
0

0

t0

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta nhận được
t

 ( t  t0 )

e x (t ) K x 0 e

Kds.

t0

.
14


Hay
x (t )  K x0 e ( K   )( t  t ) , t t 0.
0


Do đó với   thì

x (t )  0 khi

K

t   , như vậy hệ là ổn định mũ.

1.6.2. Định lý. Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến


x (t )  A(t ) x (t )  g (t , x (t )), t 0 .

(1.10)

Nếu hệ thỏa mãn các điều kiện:
i) K>0,   0 sao cho

 (t , s ) Ke   ( t  s ) , t s 0

trong đó

 (t , s )

là ma trận nghiệm cơ bản của hệ,.
ii)

g (t , x ) L(t ) x , t 0, x  R n ,

iii) sup L(t ) M 
t R 


.
K

thì hệ ổn định mũ.
1.6.3. Nhận xét. Ta cũng có thể thay điều kiện iii) bằng điều kiện


K ( s)ds   .
0

Khi đó hệ (1.10) cũng ổn định mũ.
1.7. Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên
1.7.1. Định nghĩa. Quá trình W = (Wt , t > 0) xác định trên không gian xác suất
(Ώ ,F, P) được gọi là quá trình Wiener nếu
i) W0 = 0,
ii) (Wt ) là q trình có gia số độc lập, tức với mọi t1 < t2 < t3 < t4 các biến
ngẫu nhiên Wt4 – Wt3 và Wt2 – Wt1 là độc lập,
iii) Biến ngẫu nhiên Wt – Ws (0 < s < t) có phân phối chuẩn với trung
bình 0 và phương sai t – s,
iv) Với hầu hết các quỹ đạo Wt () là hàm liên tục.
15


1.7.2. Định lý (Quy tắc vi phân Itô). Cho X = ( Xt ,t ≥ 0 ) là một quá trình ngẫu
nhiên có vi phân
dXt = A(t, Xt ) dt + B (t, Xt ) dWt.
Trong đó (Wt ) là quá trình Wiener một chiều. Giả sử y = g( t,x) là hàm một lần
khả vi liên tục theo biến t ≥ 0, hai lần khả vi liên tục theo x  R. Khi đó q trình
ngẫu nhiên Yt = g(t,Xt) có vi phân Itơ được tính theo cơng thức sau đây được gọi
là quy tắc vi phân Itô
dYt =

g
dt
t

+

g
dX
x

t

+

1 g
dt
2 x

B2dt.

1.7.3. Mệnh đề. Cho phương trình vi phân ngẫu nhiên
dx(t) = Ax(t)dt + Bx(t) dW(t) , 0 ≤ t0 < t < ∞.
Trong đó x(t0) = x0 , x  Rn , A,B  Rn  n là ma trận. Khi đó quy tắc vi

phân Itơ của hàm V = xT x là dxT x = xT dx + dxT x + (Bx)T Bxdt.
1.7.4. Mệnh đề. Cho x có vi phân ngẫu nhiên
dx = Axdt + BxdW.
Trong đó A, B  Rn x n là các ma trận hằng. Khi đó vi phân của hàm

V = xT H x có kỳ vọng EdV = xT( ATH + HA + BT HB) xdt.

Chứng minh. Theo công thức vi phân Itô ta có
dV = d(xT Hx) = dxT .Hx + xT d(Hx) + (Bx)T H(Bx)dt
= dxT .Hx + xT Hdx + xT BT H Bxdt
= ( xT AT dt + xT BT dW) Hx + xT H( Axdt + BxdW) + xT BT H Bxdt
= xT (AT H + HA + BT H B) xdt + xT( BT H + H B) xdW.
Từ đó suy ra: EdV = xT (AT H + HA + BT H B) xdt ( Vì EdW = 0).
1.7.5. Định nghĩa. Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên
dx(t) = Ax(t)dt = Bx(t)dW

(1.11)
16


Trong đó A, B là các ma trận hằng cỡ n  n, Wt là quá trình Wiener tiêu chuẩn.
Ta giả thiết ma trận A ổn định.
Nghiệm x(t)  0 của hệ được gọi là ổn định với xác suất 1 theo Liapunov nếu
x(t ) M thỏa mãn
M > 0,  > 0 sao cho xác suất có điều kiện của biến cố sup
t t
0

P
sup x (t ) 0 x(0)  x0 , x0   
lim
 1 .
T   t  T t


0

1.7.6. Mệnh đề (Ghiman). Nếu đối với hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ
(1.11) tồn tại hàm Liapunov xác định dương V(x(t)) sao cho V(0) = 0 và kỳ vọng
của đạo hàm toàn phần theo biến thời gian của V lấy theo nghiệm của hệ là âm
thì nghiệm khơng của hệ ổn định tiệm cận với xác suất 1.
1.7.7. Định lý. Giả sử ma trận A ổn định khi đó nghiệm khơng của hệ (1.11) ổn
định tiệm cận với xác suất 1 nếu ma trận A T H0 + H0 A + BT H0B (hoặc ma trận
BT H0B – G) xác định âm, trong đó H0 thỏa mãn phương trình Sylvester:
AT H0 + H0 A = – G.

(1.12)

Với G là ma trận xác định dương, đối xứng tùy ý ( có thể lấy G  I ).
Chứng minh. Ta xây dựng hàm Lyapunov V(xε) là dạng tồn phương:
V(xε) = (xε)T H0 . xε
trong đó H0 là nghiệm của phương trình (1.12).
Từ đó ta thấy V(xε) là hàm xác định dương (vì H0 xác dịnh dương). Mặt khác,
theo công thức của vi phân ngẫu nhiên Itô ta có:
dV(x) = d((x)T H0 x)= d(x)T H0 x + (xε)T H0 dx + (xε)T BT H0Bx dt
= ((xε)T AT dt +(xε)T BT dW). H0x + (xε)T H0 (Axdt + BxdW) + (xε)T BT H0Bx dt
= (xε)T ( AT H0 + H0 A + BT H0B) x dt +(xε)T (BT H0 + H0B) xdW
 E{

dV ( x )
dt

|xε = x } = (xε)T ( AT H0 + H0 A + BT H0B) xε (vì EdW = 0)

17

 E{

dV ( x )
dt

|xε = x } = xT ( AT H0 + H0 A + BT H0B) x.

Kỳ vọng này âm nếu ma trận AT H0 + H0 A + BT H0B xác định âm hay
BT H0B – G xác định âm.
1.7.8. Định lý. Giả sử ma trận A Hurwitz. Khi đó điều kiện đủ để nghiệm khơng
của hệ (1.11) ổn định tiệm cận với xác suất 1 là tồn tại ma trận xác định dương
H thỏa mãn phương trình Sylvester
AT H + H A + BT H B = –G.

(1.13)

Trong đó G là ma trận đối xứng, xác định dương, chọn tùy ý ( đặc biệt có thể lấy
G  I là ma trận đơn vị).
Chứng minh. Giả sử tồn tại nghiệm xác định dương H của phương trình
Sylvester (1.16). Khi đó ta lấy hàm Liapunov là dạng toàn phương:
V(x) = (xε)T H x.
Suy ra V xác định dương.
Tương tự như định lý trên ta có
E{

dV ( x)
dt

|xε = x } = (x)T (AT H + H A + BT H B )x = – xTGx < 0.

Do vậy theo mệnh đề Ghiman thì nghiệm khơng của hệ (1.14) ổn định tiệm cận
với xác suất 1.
1.7.9. Định lý. Giả sử ma trận A ổn định và ma trận B khơng suy biến. Khi đó
điều kiện cần và đủ để nghiệm không của hệ (1.11) ổn định tiệm cận với xác
suất 1 là ma trận H00 – E xác định âm, trong đó H 00 thỏa mãn phương trình
Sylvester
AT H00 + H00 A = – BTB.

(1.14)

18


Chứng minh. Theo giả thiết B là ma trận không suy biến nên B T B là ma trận
xác định dương. Vì H00 thỏa mãn phương trình Sylvester (1.14) nên H00 cũng là
ma trận xác định dương.
Do đó hàm Lyapunov dạng toàn phương
V( xε) = (xε)T . H00. xε.

(*)

xác định dương, áp dụng mệnh đề 1.7.4 ta có

EdV(xε) = (xε)T(AT H00 + H00 A + BT H00B) xε dt.
 E{

dV ( x)
dt

|xε = x } = xT(AT H00 + H00 A + BT H00B)x

= xT ( – BTB + BT H00B)x
= xT BT (H00 – E) Bx.
Vì H00 – E xác định âm nên BT( H00 – E) B xác định âm. Từ đó suy ra:
xT BT (H00 – E) Bx < 0, hay E

dV
dt

|< 0 .

(**)

Từ (*) và (**) suy ra ra nghiệm không của hệ ngẫu nhiên (1.11) ổn định tiệm cận
với xác suất 1.
1.7.10. Định lý. Giả sử ma trận A ổn định và ma trận B khơng suy biến. Khi đó
điều kiện cần và đủ để nghiệm không của hệ (1.14) ổn định tiệm cận với xác suất
1 là vết H00 <1, trong đó H00 thỏa mãn phương trình Sylvester
AT H00 + H00 A = – BTB.
Chứng minh. Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau:
Bổ đề. Giả sử H00 là ma trận xác định dương. Khi đó điều kiện cần và đủ để ma
trận H00 – E xác định âm là tất cả các giá trị riêng của ma trận H00 nhỏ hơn 1.
Chứng minh bổ đề. Giả sử 1, 2, 3… n là tất cả các giá trị riêng của ma trận
H00 và xj là các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng j ( j = 1,2,3…n). Khi
đó:
19


(H00 – jE) xj = 0,  j = 1,2,…,n

(H00 – E + (1 – j )E) xj = 0,  j = 1,2,…,n
(H00 – E) xj = (j – 1) Exj , j = 1,2,…,n
xT (H00 – E)x = xT diag (1 – 1, 2 – 1, …n – 1) x .
Do j – 1 < 0, j = 1,2…,n nên H00 – E xác định âm. Vậy bổ đề được chứng
minh xong.
Tiếp theo ta chứng minh. Vết (H00 ) < 1 là điều kiện đủ để tất cả các giá trị riêng

j của ma trận H00 nhỏ hơn 1. Thật vậy:
h
11
f

(



)



H

00









h
12

h2 1
E

h2 2

. ...
hn 2

 .. ..
hn1

= (–)n + C1 (–)n-1 + …+ Ck (–)n-k + … + Cn .
Trong đó Ck là tổng các định thức con của ma trận H00 – E mà chứa k phần tử
trên đường chéo chính, đó là những định thức con cấp k của ma trận H00 .
Do j ( j = 1,n ) là các giá trị riêng của ma trận H 00 , nên chúng là các nghiệm
của phương trình H00 –  E = 0 hay () = 0. Do đó theo định lý Viet ta có:
n

 =
j 1

n

j

Mà C1 =  hii nên suy ra
j 1

 (  1)n  1
C1
(  1)n
n

j =
j 1

= C1.

n

n

 h ii
j 1

hay



j

j 1

= vết (H00).

n

Theo giả thiết vết (H00 ) < 1, suy ra



j

j 1

< 1.

(*)

Hơn nữa tất cả các giá trị riêng j của ma trận H00 đều dương.
Thật vậy, từ giả thiết suy ra H00 là ma trận xác định dương. Giả sử xj là các
vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng j . Khi đó ta có:
(H00 - j E) xj = 0, j = 1, n
20

