thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho ánh xạ đơn điệu h-liên tục và ngược đơn điệu mạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ QUỲNH GIANG
THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU
CHỈNH CHO ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU H-LIÊN TỤC
VÀ NGƯỢC ĐƠN ĐIỆU MẠNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ QUỲNH GIANG
THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU
CHỈNH CHO ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU H-LIÊN TỤC
VÀ NGƯỢC ĐƠN ĐIỆU MẠNH
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cảm ơn 1
Mở đầu 2
Một số ký hiệu và chữ viết tắt 4
1 Một số khái niệm cơ bản 5
1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Ánh xạ đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Ánh xạ ngược đơn điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . 8
1.4.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . 9
2 Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 15
2.1 Giới thiệu thuật toán điểm gần kề quán tính . . . . . . . . 15
2.2 Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh . . . . . . . . 20
Kết luận 29
Tài liệu tham khảo 30
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng, tác
giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng góp quý
báu của các giáo sư Viện Toán học, Viện Công Nghệ Thông Tin thuộc
Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các thầy cô giáo trong Đại học
Thái Nguyên. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến các Thầy Cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Đào tạo Khoa
học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán Tin trường Đại học Khoa học, Đại
học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học
ở Trường.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Giáo sư Nguyễn
Bường, thầy đã tận tình hướng đẫn, chỉ bảo tác giả trong suốt thời gian
tác giả thực hiện luận văn và trực tiếp hướng đẫn tác giả hoàn thành luận
văn này.
Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn theo
sát động viên, chia sẻ những khó khăn trong cuộc sống, giúp tác giả có
điều kiện tốt nhất trong quá trình học tập và làm luận văn .
Hải Phòng, tháng 07 năm 2012.

Tác giả
Nguyễn Thị Quỳnh Giang
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
MỞ ĐẦU
Rất nhiều bài toán của thực tiễn khoa học, công nghệ dẫn đến bài toán
đặt không chỉnh (ill- posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán (
khi dữ kiện thay đổi nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không
duy nhất, hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiên ban đầu.
Do tính không ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số
của nó gặp khó khăn. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán
có thể dẫn đến một sai số bất kì trong lời giải
Mục đích của bài báo này là giới thiệu một phương án hiệu chỉnh của
thuật toán điểm gần kề quán tính tìm một phần tử chung của các tập
nghiệm của bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu và h-liên tục
và một họ hữu hạn các ánh xạ ngược đơn điệu mạnh {A
i
}
N
i=1
từ một tập
đóng lồi K vào không gian Hilbert H.
Thuật toán điểm gần kề quán tính được đề xuất bởi Alvarez [1] cho
bài toán cực trị lồi. Sau đó Attouch và Alvarez xét mở rộng thuật toán
đó cho toán tử đơn điệu cực đại [2]. Mới đây Moudafi sử dụng thuật toán
này để giải bất đẳng thức biến phân [9], Moudafi và Elisabeth [8] nghiên
cứu thuật toán này với việc sử dụng, mở rộng toán tử đơn điệu cực đại và
Moudafi cùng Oliny xét kết hợp thuật toán này với quá trình tách [7]. Kết
quả của nghiên cứu này vẫn là sự hội tụ yếu trong không gian Hillbert.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3
Trong luận văn này bằng cách đưa ra quá trình hiệu chỉnh Browder
– Tikhonow chúng tôi chỉ ra rằng việc công thêm thành phần hiệu chỉnh
vào thuật toán điểm gần kề quán tính, ta thu được sự hội tụ mạnh của
thuật toán cho trường hợp tổng quát hơn khi Ai, i = 1,. . ., N, N > 1, là
các ánh xạ ngược đơn điệu mạnh từ K vào H, và A là đơn điệu và h- liên
tục tại u thuộc K.
Luận văn này gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản. Các vấn đề liên quan
đến đề tài và bài toán đặt không chỉnh được trình bày trong chương này.
Chương 2 trình bày thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho
ánh xạ đơn điệu h-liên tục và ngược đơn điệu mạnh.
Thái Nguyên, tháng năm 2012.
Tác giả
Nguyễn Thị Quỳnh Giang
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Không gian Hilbert thực ký hiệu là H
Không gian Banach thực ký hiệu là X
Không gian liên hợp của X ký hiệu là X
∗
Tập rỗng ký hiệu là φ
Với mọi x ký hiệu là ∀x
Infimum của tập {F (x) : x ∈ X} ký hiệu là inf
x∈X
F (x)
Ánh xạ đơn vị ký hiệu là I
Miền giá trị của toán tử Aký hiệu là R(A)

Miền xác định của toán tử Aký hiệu là D(A)
Ma trận chuyển vị của ma trận Aký hiệu là A
T
Toán tử liên hợp của A ký hiệu là A
∗
Dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x ký hiệu là x
n
→ x
Kí hiệu tập nghiệm của A (u
∗
) , x − u
∗
 ≥ 0 là VI(K,A)
Ngược đơn điệu mạnh là λ
i
Một họ hữu hạn các ánh xạ λ
i
ngược đơn điệu mạnh từ K vào H là
{A
i
}
N
i=1
Tập điểm bất động của ánh xạ T là F(T )
Kí hiệu tập không ánh xạ B là S
B
{C
n

} và {γ
n
} :Là 2 dãy số thực
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Chương 1
Một số khái niệm cơ bản
Chương này gồm hai vấn đề chính nhằm mục đích nhắc lại không gian
Hillbert, ánh xạ đơn điệu ánh xạ ngược đơn điệu mạnh và khái niệm về
bài toán đặt không chỉnh.
1.1 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1. Không gian định chuẩn thực là một không gian
tuyến tính thực X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số x
gọi chuẩn của x, thỏa mãn các điều kiện sau:
1) x > 0, ∀x = 0, x = 0 ⇔ x = 0;
2) x + y  x + y , ∀x, y ∈ X;
3) αx = |α| . x , ∀x ∈ X, α ∈ R.
Định nghĩa 1.2. Cặp (H, , ) trong đó H là một không gian tuyến tính
và
,  : H × H → R
(x, y) → x, y
thỏa mãn các điều kiện :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
1. x, x ≥ 0, ∀x ∈ H, x, x = 0 ⇔ x = 0
2. x, y = y, x , ∀x, y ∈ H
3. λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H
4. x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H
được gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được
gọi là không gian Hilbert.

Ví dụ 1.1. L
2
[a,b]
là không gian các hàm bình phương khả tích trên [a,b]
f :
b

a
f
2
(x) dx < +∞ với f ∈ L
2
[a,b]
là một không gian Hilbert với tích vô
hướng
f, g =
b

a
f (x) g (x) dx
và chuẩn
f
L
2
[a,b]
=


b


a
f
2
(x)dx


1
2
1.2 Ánh xạ đơn điệu
Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng và chuẩn
được kí hiệu tương ứng bởi ., . và .. Cho K là một tập con lồi và đóng
trong H. Một ánh xạ A từ K vào H được gọi là đơn điệu ,nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0
với mọi x, y ∈ K. Bài toán bất đẳng thức biến phân là tìm một phần tử
u
∗
∈ K sao cho
A(u
∗
), x − u
∗
 ≥ 0, (1.1)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
với mọi x ∈ K. Kí hiệu tập nghiệm của (1,1) là V I(K, A).
1.3 Ánh xạ ngược đơn điệu mạnh
Một ánh xạ A
i
từ K vào H được gọi là λ
i

ngược đơn điệu mạnh nếu
tồn tại một số dương λ
i
sao cho
A
i
(x) − A
i
(y), x − y ≥ λ
i
A
i
(x) − A
i
(y)
2
, (1.2)
với mọi x, y ∈ K. Dễ dàng nhận thấy mọi ánh xạ λ
i
ngược đơn điệu mạnh
A
i
là đơn điệu và Lipschitz liên tục với hằng số 1/λ
i
. Do đó ,ta chỉ xét
trường hợp 0 < λ
i
< 1. Cho {A
i
}

N
i=1
là một họ hữu hạn các ánh xạ λ
i
ngược đơn điệu mạnh từ K vào H với các tập nghiệm S
i
= {x ∈ K :
A
i
(x) = 0}. Đặt S = ∩
N
i=1
S
i
. Giả thiết là V I(K, A) ∩ S = ∅. Bài toán
được xét trong luận văn này là tìm một phần tử
u
∗
∈ V I(K, A) ∩ S. (1.3)
Như ta đã biết [13] đối với một ánh xạ không gian bất kỳ T từ K vào H,
tức là , T thoả mãn điều kiện
T x − Ty ≤ x − y
với mọi x, y ∈ K, thì ánh xạ B := I − T là 1/2 ngược đơn điệu mạnh. Vì
vậy, bài toán tìm một phần tử thuộc V I(K, A) ∩ F (T ), ở đây F(T ) tập
điểm bất động của ánh xạ T, là tương đương với việc tìm một phần tử
thuộc V I(K, A) ∩ S
B
, ở đây S
B
kí hiệu tập không ánh xạ B, và nó được

chứa trong lớp bài toán (1.3).
Trường hợp , khi A là λ ngược đơn điệu mạnh A
1
= I − T ở đây T là
không giãn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
1.4 Bài toán đặt không chỉnh
1.4.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh
Định nghĩa 1.3. Cho A là một toán tử từ không gian X vào không
gian Y. Bài toán ở dạng phương trình toán tử
A (x) = f, (1.4)
được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu
1. Phương trình A (x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;
2. Nghiệm này duy nhất;
3. Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán
(1.4) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed).
Định nghĩa 1.4. Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian
Y. Bài toán (1.4) được gọi là bài toán đặt không chỉnh nếu nghiệm của
nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Chú ý 1.1. Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện ban đầu f,
có nghiệm là x = R(f), được gọi là ổn định trên cặp không gian (X,
Y) nếu với mỗi ε > 0, ∃δ (ε) > 0 sao cho từ ρ
Y
(f
1
, f
2
)  δ (ε) cho ta

ρ
X
(x
1
, x
2
)  ε, ở đây
x
i
= R (f
i
) , x
i
∈ X, f
i
∈ Y, i = 1, 2
Chú ý 1.2. Một bài toán có thể đặt chỉnh trên không gian này nhưng
lại đặt không chỉnh trên không gian khác.
Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.4) dữ kiện
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
ban đầu ở đây chính là toán tử A và vế phải f. Giả sử toán tử A được
cho chính xác, còn vế phải f ( có được do đo đạc ) cho bởi f
δ
thỏa mãn
ρ
Y
(f, f
δ
)  δ. Như vậy, với (f

δ
, δ) ta cần phải tìm một phần tử x
δ
∈ X
hội tụ đến nghiệm chính xác x
0
của (1.4) khi δ → 0. Phần tử x
δ
có tính
chất như vậy gọi là nghiệm xấp xỉ bài toán đặt không chỉnh (1.4).
Chú ý 1.3. Gọi x (δ)là nghiệm của (1.1) với f thay bởi f
δ
( giả thiết rằng
nghiệm tồn tại ). Khi δ → 0 thì f
δ
→ f nhưng với bài toán đặt không
chỉnh thì x
δ
nói chung không hội tụ đến x.
Ví dụ 1.2. Nếu A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.4) (vô hạn
chiều) nói chung là bài toán đặt không chỉnh. Thật vậy, giả sử dãy {x
n
}
chỉ hội tụ yếu, không hội tụ mạnh đến x và y
n
= A(x
n
), A(x). khi đó,
do tính liên tục mạnh của A suy ra y
n

→ y và nghiệm của phương trình
A(x) = f không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Tuy nhiên,
cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán tử với liên
tục mạnh. Chẳng hạn, nếu miền xác định D(A) của toán tử A là hữu
hạn chiều thì mọi dãy hộitụ yếu đều hội tụ mạnh, do đó chứng minh trên
không áp dụng được. Và nếu ta xét một toán tử tuyến tính compact với
miền ảnh R(A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược A
−1
nói chung là liên
tục và khi đó bài toán giải phương trình A(x) = f là bài toán đặt chỉnh.
1.4.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh
Ví dụ 1.3. Xét phương trình tích phân Fredholm loại I
b

a
K (x, s) ϕ (s) ds = f
0
(x) , x ∈ [a, b] , (1.5)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
ở đây nghiệm là một hàm ϕ (x), vế phải f
0
(x) là một hàm cho trước,
K(x,s) là hạch của tích phân. Giả thiết hạch K(x,s) cùng với
∂K (x, s)
∂x
liên tục trên hình vuông [a, b]x[a, b]. Ta xét hai trường hợp sau:
• Trường hợp 1
A : C [a, b] → L
2

[a, b]
ϕ (x) → f
0
(x) =
b

a
K (x, s) ϕ (s) ds
Sự thay đổi của vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian
L
2
[a, b], tức là khoảng cách giữa hai hàm f
0
(x),f
1
(x) trong L
2
[a, b]
được cho bởi
ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) =



b

a
|f
0
(x) − f
1
(x)|
2
dx


1
2
Giả sử phương trình (1.5) có nghiệm là ϕ
0
(x). Khi đó với vế phải
f
1
(x) = f
0
(x) + N
b

a
K (x, s) sin (ωs) ds
thì phương trình này có nghiệm
ϕ
1
(x) = ϕ

0
(x) + N sin (ωx)
Với N bất kì và ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f
0
và f
1
trong
không gian L
2
[a, b] là
ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) = |N|



b

a


b

a

K (x, s) sin (ωs) ds


2
dx



1
2
có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt
K
max
= max
x∈[a,b],s∈[a,b]
|K (x, s)| ,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
ta tính được
ρ
L
2
[a, b] (f
0
, f
1
) ≤ |N|




K
max
1
ω
cos (ωs)


b
a

2
dx

1
2
≤
|N|K
max
c
0
ω
ở đâyc
0
là một hằng số dương. Ta chọn N và ω đủ lớn tùy ý nhưng
N/ω lại nhỏ. Trong khi đó
ρ
C[a,b]
(ϕ
0
, ϕ

1
) = max
x∈[a,b]
|ϕ
0
(x) − ϕ
1
(x)| = |N|
có thể lớn bất kì.
• Trường hợp 2
A : L
2
[a, b] → L
2
[a, b]
ϕ (x) → f
0
(x) =
b

a
K (x, s)ϕ (s) ds
Tương tự , ta cũng chỉ ra khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ
0
, ϕ
1
trong
không gian L
2
[a, b] có thể lớn bất kì. Thật vậy ,

ρ
L
2
[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
) =


b

a
|ϕ
0
(x) − ϕ
1
(x)|
2
dx


1
2
= |N|


b


a
sin
2
(ωx) dx


1
2
= |N|

b − a
2
−
1
2ω
sin (ω (b − a)) cos (ω (b + a))
Dễ dàng nhận thấy rằng hai số N và ω có thể chọn sao cho ρ
L
2
[a,b]
(f
0
f
1
)
rất nhỏ nhưng ρ
L
2
[a,b]
(ϕ

0
, ϕ
1
) lại rất lớn.
Ví dụ 1.4. Xét bài toán cực tiểu hàm ϕ (y) = y trên đoạn thẳng y =
λ
0
x + y
0
nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng 0xy. Ở đây λ
0
và y
0
là những số cho trước và y
0
> 0. Giả sử λ
0
= 0 và thay cho λ
0
ta
có λ
δ
: |λ
δ
− λ
0
| < δ. Ta xét các trường hợp:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
• Trường hợp 1: λ

δ
> 0. Ta có λ
δ
= λ
1
= λ
0
+
δ
2
. Trong trường hợp
này, thay cho đường thẳng y = y
0
ta có đường thẳng d
1
: y = λ
1
x+y
0
.
Giá trị cực tiểu của phiếm hàm ϕ (y) trên một phần của d
1
nằm trong
vùng {x  0, y  0} đạt được tại điểm (0, y
0
). Điều đó có nghĩa là
khi x = 0 thìϕ (0) = y
0
.
• Trường hợp 2: λ

δ
< 0. Ta có λ
δ
= λ
2
= λ
0
−
δ
2
. Trong trường hợp
này, thay cho đường thẳng y = y
0
ta có đường thẳng d
2
: y = λ
2
x+y
0
.
Do λ
δ
< 0 cho nên đường thẳng d
2
cắt trục 0x tại một điểm x
2
(δ)
nào đó. Giá trị cực tiểu của phiếm hàm ϕ (y) trên một phần của d
2
nằm trong vùng {x  0, y  0} đạt được tại điểm x

2
(δ), 0 tức là tại
x = x
2
(δ) ta có ϕ (x
2
(δ)) = 0.
Như vậy với |λ
1
− λ
2
| < δ ta có




min
λ
1
ϕ (y) − min
λ
2
ϕ (y)




= |y
0
− 0| = y

0
> 0,
ở đây y
0
có thể lớn tùy ý, bài toán này không ổn định.
Ví dụ 1.5. Xét phương trình toán tử A(x) = f với A là một ma trận
vuông cấp M = 5 được xác định bởi








1 1 1 1 1
1 1.0001 1 1 1
1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1.0001








và vế phải
f =


5 5.0001 5.0001 5.0001 5.0001

T
∈ R
5
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Khi đó phương trình có duy nhất nghiệm
x =

1 1 1 1 1

T
∈ R
5
.
Nếu
A = A
h
1
=









1 1 1 1 1
1 1.0001 1 1 1
1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1








và
f =

5 5.0001 5.0001 5.0001 5

T
∈ R
5
.
thì phương trình có vô số nghiệm.
Nếu
A = A
h
2
=









1 1 1 1 1
1 1.0001 1 1 1
1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1








và
f =

5.0001 5.0001 5.0001 5.0001 5.0001

T
∈ R
5
.
thì phương trình vô nghiệm.

Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số trong phương trình ban đầu đã kéo
theo những thay đổi đáng kể của nghiệm.
Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán A(x) = f, nên người
ta thường có một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm. Ta sẽ sử dụng
nghiệm x
0
có x
∗
− chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm x
0
∈ X thỏa
mãn
A(x
0
) = f,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
và
x
0
− x
∗
 = min {x − x
∗
 : A (x) = f} .
Bằng cách chọn x
∗
, ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp xỉ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15

Chương 2
Thuật toán điểm gần kề quán tính
hiệu chỉnh
Chương này giới thiệu thuật toán điểm gần kề quán tính, tìm nghiệm
cho phương trình với toán tử đơn điệu, sau đó xét kết hợp thuật toán này
với phương pháp hiệu chỉnh để tìm nghiệm chung cho một họ các phương
trình với toán tử đơn điệu.
2.1 Giới thiệu thuật toán điểm gần kề quán tính
2.1 Giới thiệu thuật toán điểm gần kề quán tính. Chúng ta sẽ sử dụng
kết quả đơn giản của hội tụ yếu trong không gian Hilbert.
Bổ đề 2.1: Gọi H là một tập trong không gian Hilbert và

x
k

là một
dãy sao cho tồn tại một tập không rỗng S ⊂ H thoả mãn:
a) Với mọi z ∈ S , tồn tại lim
k→∞


x
k
− z


b) Nếu x
kj
 x trong H khi cho dãy k
j

→ ∞ thì x ∈ S .Khi đó tồn tại
ˆx ∈ S sao cho x
k
 ˆx trong H khi cho k → ∞.
Chứng minh: Theo lập luận của Z. Opial [14]. Lấy ˆx
1
, ˆx
2
∈ S là hai
điểm tụ yếu của dãy

x
k

trong H. Đặt l
i
= lim
k→∞


x
k
− ˆx
i


2
khi cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16

i = 1; 2 . Lấy một dãy k
j
→ ∞ sao cho x
kj
 ˆx
1
trong H. Từ đẳng thức
này suy ra:


x
k
− ˆx
1


2
x
k
−


x
k
− ˆx
2


2
= |ˆx

1
− ˆx
2
|
2
+ 2ˆx
1
− ˆx
2
, ˆx
2
− x
k

Ta suy ra l
1
− l
2
= − |ˆx
1
− ˆx
2
|
2
.Tương tự lấy k
m
→ ∞ sao cho x
km
→ ˆx
2

dẫn đến l
1
− l
2
= |ˆx
1
− ˆx
2
|
2
. Suy ra |ˆx
1
− ˆx
2
| = 0.
Điều này thiết lập tính duy nhất của điểm tụ yếu x
k
 ˆx trong H khi
k → ∞ với ˆx ∈ S (đpcm).
Dựa trên bổ đề của Opial ta chứng minh định lí sau:
Định lí 2.1: Cho

x
k

⊂ H là một dãy được xác định bởi
x
k+1
= J
A

λ
k

x
k
+ α
k

x
k
− x
k−1

, k = 1, 2,
Với A : H → P (H) là một toán tử đơn điệu cực đại với S := A
−1
(0) = ∅
và các tham số λ
k
và α
k
thoả mãn:
i)tồn tại λ > 0 sao cho ∀k ∈ N ,λ
k
≥ λ
ii) tồn tại α ∈ [0, 1] sao cho ∀k ∈ N ,0  α
k
 α
Nếu điều kiện sau được thoả mãn thì
∞


k=1
α
k


x
k
− x
k−1


2
< ∞. (2.1)
Khi đó tồn tại ˆx ∈ S sao cho x
k
 ˆx trong H khi cho k → ∞.
Chứng minh:
Đầu tiên ta xét trường hợp α
k
= 0 tương ứng với thuật toán điểm gần kề
cổ điển. Cố định z ∈ S = A
−1
(0) và xét dãy thực
ϕ
k
:= 1/2


x

k
− z


2
.
Khi đó dễ dàng kiểm tra được ∀k ∈ N
ϕ
k+1
= ϕ
k
+ x
k+1
− x
k
, x
k+1
− z − 1/2


x
k+1
− x
k


2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17

Nếu α
k
= 0 thì 0 ∈ x
k+1
− x
k
+ λ
k
A(x
k+1
) và từ tính đơn điệu của A ta
có
x
k+1
− x
k
, x
k+1
− z  0
Vì vậy :
ϕ
k+1
− ϕ
k
 −1/2


x
k+1
− x

k


2
(2.2)
Do đó {ϕ
k
} không tăng, vì vậy hội tụ.
Vì z là một phần tử bất kì của S nên điều kiện a) của bổ đề 2.1 được thoả
mãn. Mặt khác, từ (2.2) ta có:
∞

k=1


x
k+1
− x
k


2
 2ϕ =


x
1
− z



2
,
và dãy


x
k+1
− x
k


→ 0 khi k → ∞.
Vì λ
k
bị chặn dưới bởi một hằng số lớn hơn 0, ta suy ra khoảng cách
(0, A(x
k
)) → 0 khi k → ∞. Cho x là một điểm tụ yếu của dãy

x
k

. Vì
đồ thị của một ánh xạ đơn điệu cực đại A là đóng trong H × H và yếu H
× mạnh H , ta có định lí được chứng minh khi α
k
≡ 0.
Bây giờ chúng ta xét trường hợp α
k
> 0 khi k ∈ N. .Ta có :

x
k+1
− x
k
− α
k
(x
k
− x
k−1
), x
k+1
− z + λA(x
k+1
), x
k+1
− z = 0
Và tính đơn điệu cực đại của A cho ta :
x
k+1
− x
k
− α
k
(x
k
− x
k−1
), x
k+1

− z  0
Bây giờ, ta viết lại bất đẳng thức dựa vào ϕ
k−1
,ϕ
k
và ϕ
k+1
.
Ta thấy :
x
k+1
− x
k
− α
k
(x
k
− x
k−1
), x
k+1
− z
= ϕ
k+1
− ϕ
k
+
1
2



x
k+1
− x
k


2
− α
k
x
k
− x
k−1
, x
k+1
− z
Và vì
x
k
− x
k−1
, x
k+1
− z = x
k
− x
k−1
, x
k

− z + x
k
− x
k−1
, x
k+1
− x
k

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
= ϕ
k
− ϕ
k−1
+
1
2


x
k
− x
k−1


2
+ x
k
− x

k−1
, x
k+1
− x
k

suy ra :
ϕ
k+1
− ϕ
k
− α
k
(ϕ
k
− ϕ
k−1
) 
−
1
2


x
k+1
− x
k


2

+ α
k
x
k
− x
k−1
, x
k+1
− x
k
 +
α
k
2


x
k
− x
k−1


2
= −
1
2


x
k+1

− x
k
− α
k

x
k
− x
k−1



2
+
1
2

α
k
+ α
2
k



x
k
− x
k−1



2
.
Vì vậy :
ϕ
k+1
− ϕ
k
− α
k
(ϕ
k
− ϕ
k−1
)  −
1
2


v
k+1


2
+ α
k


x
k

− x
k−1


2
(2.3)
Trong đó: v
k+1
:= x
k+1
− x
k
− α
k

x
k
− x
k−1

Đặt θ
k
:= ϕ
k
− ϕ
k−1
; δ
k
:= α
k



x
k
− x
k−1


2
chúng ta thu được :
θ
k+1
 α
k
θ
k
+ δ
k
 α
k
[θ
k
]
+
+ δ
k
,
ở đây [t]
+
:= max {t, 0} và dẫn đến

[θ
k+1
]
+
 α [θ
k
]
+
+ δ
k
,
với α ∈ [0, 1] cho bởi :
[θ
k+1
]
+
 α
k
[θ
1
]
+
+
k−1

j=0
α
j
δ
k−j

.
Vì vậy
∞

k=0
[θ
k+1
]
+

1
1 − α

[θ
1
]
+
+
∞

k=1
δ
k

,
Xét một dãy được xác định bởi
ω
k
:= ϕ
k

−
k

j=1
[θ
j
]
+
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Từ ϕ
k
≥ 0 và

∞
j=1
[θ
j
]
+
< ∞ suy ra ω
k
giới nội dưới. Nhưng
ω
k+1
= ϕ
k+1
− [θ
k+1

]
+
−
k

j=1
[θ
j
]
+
 ϕ
k+1
− ϕ
k+1
+ ϕ
k
−
k

j=1
[θ
j
]
+
= ω
k
,
Do đó {ω
k
} không tăng. Chúng ta suy ra dãy {ω

k
} hội tụ và
lim
k→∞
ϕ
k
=
∞

j=1
[θ
j
]
+
+ lim
k→∞
ω
k
,
dẫn đến, ∀z ∈ S ,lim
k→∞


x
k
− z


tồn tại. từ (2.3) ta nhận được đánh
giá sau:

1
2


v
k+1


2
 ϕ
k
− ϕ
k+1
+ α [θ
k
]
+
+ δ
k
,
suy ra
1
2
∞

k=1


v
k+1



2
 ϕ
1
+
∞

k=1

α [θ
k
]
+
+ δ
k

< ∞.
Như vậy, v
k+1
→ 0 khi k → ∞ và vì v
k+1
+ λ
k
A

x
k+1

,theo (i) của

định lí ta có khoảng cách (0, A(x
k
)) → 0 khi k → ∞.
Phần còn lại của chứng minh giống như trường hợp α
k
≡ 0 đã chứng
minh ở trên.
Chúng ta có kết quả tiếp như sau:
Mệnh đề 2.1:
Với các điều kiện trong định lí 2.1, trong đó (ii) được thay thế bởi ∃α ∈

0,
1
3

khi ∀k ∈ N ,0  α
k
 α và {α
k
} không giảm, ta có :
∞

k=1


x
k+1
− x
k



2
< ∞,
và như vậy tồn tại ˆx ∈ S khi x
k
 ˆx trong H khi k → ∞
Chứng minh: Từ chứng minh của định lí 2.1 ta có :
ϕ
k+1
− ϕ
k
− α
k
(ϕ
k
− ϕ
k−1
) 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
−
1
2


x
k+1
− x
k



2
+ α
k
x
k
− x
k−1
, x
k+1
− x
k
 +
α
k
2


x
k
− x
k−1


2
,
dẫn đến:
ϕ
k+1
− ϕ

k
− α
k
(ϕ
k
− ϕ
k−1
) 
(α
k
− 1)
2


x
k+1
− x
k


2
+ α
k


x
k
− x
k−1



2
.
Đặt :
µ
k
:= ϕ
k
− α
k
ϕ
k−1
+ α
k


x
k
− x
k−1


2
,
và từ α
k+1
≥ α
k
, ta có:
µ

k+1
− µ
k
 −
(1 − 3α)
2


x
k+1
− x
k


2
(2.4).
Từ (ii), 1 − 3α > 0 và ta có dãy [µ
k
] không tăng, trong đó:
ϕ
k
− αϕ
k−1
 µ
k
 µ
1
.
Điều này dẫn đến :
ϕ

k
 α
k
ϕ
0
+ µ
1
k−1

j=0
α
j
 α
k
ϕ
0
+
µ
1
1 − α
.
Theo trên ta có
1 − 3α
2
k

j=1


x

j+1
− x
j


2
 µ
1
− µ
k+1
 µ
1
+ αϕ
k
 α
k+1
ϕ
0
+
µ
1
1 − α
.
Điều này dẫn đến:
∞

k=1


x

k+1
− x
k


2

2µ
1
(1 − α) (1 − 3α)
< ∞.
2.2 Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh
Định lý 2.2. Cho K là một tập con lồi và đóng của H và cho λ > 0.
Cho A là một ánh xạ λ ngược đơn điệu mạnh từ K vào H, và cho T là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
một ánh xạ không giãn từ K vào trong nó sao cho V I(K, A) ∩ F(T ) = ∅.
Cho dãy {x
n
} được xây dựng theo quy tắc
x
0
∈ K,
x
n+1
= α
n
x
n
+ (1 − α

n
)T P
K
(x
n
− α
n
A(x
n
)),
với mọi n = 0, 1, , ở đây {λ
n
} ⊂ [a, b] với a, b ∈ (0, 2λ) và {α
n
} ⊂ (c, d)
với c, d ∈ (0, 1). Khi đó , {x
n
} hội tụ yếu đến z ∈ V I(K, A) ∩ F (T ), ở
đây
z = lim
n→∞
P
V I(K,A)∩F (T )
(x
n
),
và P
Q
ký hiệu phép chiếu metric lên tập Q.
Để tìm một phần tử thuộc V I(K, A) ∩ F (T ) ta có thể sử dụng phương

pháp Gradient suy rộng [6] trong không gian hữu hạn chiều.Trong không
gian Hilbert vô hạn chiều ,kết quả hội tụ yếu trong [10] đã được mở rộng
thành hội tụ mạnh trong [15].
Mặt khác, khi K ≡ H, (1.1) tương đương với việc giải phương trình
A(u) = 0 (2.5)
với một toán tử đơn điệu cực đại A, vì miền xác định của A là toàn bộ
không gian H và A là h-liên tục [3], [5]. Phần tử không của (2.5) có thể
được xấp xỉ bởi thuật toán điểm gần kề quán tính
c
n
A(z
n+1
) + z
n+1
− z
n
= γ
n
(z
n
− z
n−1
), z
0
, z
1
∈ H,
ở đây {c
n
} và {γ

n
} là hai dãy số thực. Lưu ý rằng thuật toán điểm gần
kề quán tính được đề xuất đầu tiên bởi Alvarez [1] cho bài toán cực trị
lồi. Sau đó ,Attouch và Alvarez xét mở rộng thuật toán đó cho toán tử
đơn điệu cực đại [2]. Mới đây,Moudafi sử dụng thuật toán này để giải bất
đẳng thức biến phân [9], Moudafi và Elisabeth [8] nghiên cứu thuật toán
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
này với việc sử dụng mở rộng toán tử đơn điệu cực đại ,và Moudafi cùng
Oliny xét kết hợp thuật toán này với quá trình tách [7].Kết quả cơ bản
của các nghiên cứu trên vẫn là sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert.
Trong mục này, bằng cách đưa vào quá trình hiệu chỉnh Browder-
Tikhonov chúng tôi trình bày rằng với việc cộng thêm thành phần hiệu
chỉnh vào thuật toán điểm gần kề quán tính, ta thu được sự hội tụ mạnh
của thuật toán cho trường hợp tổng quát hơn khi A
i
, i = 1, , N, N > 1,
là các ánh xạ λ
i
ngược đơn điệu mạnh từ K vào H, λ
i
có thể bằng 1/2,
và A là đơn điệu và h-liên tục tại u ∈ K.
Cho F là một song hàm từ K × K vào R, sao cho F (u, u) = 0 với mọi
u ∈ K. Giả thiết thêm F (u, .) lồi và nửa liên tục dưới với mỗi u ∈ K.
Bài toán cân bằng đối với F là tìm u
∗
∈ K sao cho
F (u
∗

, v) ≥ 0 ∀v ∈ K. (2.6)
Đầu tiên ,ta nhắc lại một số vấn đề cơ bản [4], [12] cần thiết để chứng
minh các kết quả sau.
Một song hàm cân bằng F được gọi là
(i) đơn điệu , nếu với mọi u, v ∈ K, ta có
F (u, v) + F(v, u) ≤ 0;
(ii) đơn điệu manh với hằng số τ, nếu, ∀u, v ∈ K, ta có
F (u, v) + F(v, u) ≤ −τ u − v
2
.
Mệnh đề 2.2 (i) Nếu F(., v) là h-liên tục với mọi v ∈ K và F là đơn
điệu, thì U
∗
= V
∗
, ở đây U
∗
là tập nghiệm của (2.6), V
∗
là tập nghiệm
của bài toán F(u, v
∗
) ≤ 0 ∀u ∈ K,
và nó là một tập đóng và lồi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên