về các điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương của a. d. ioffe

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC




TRẦN THANH LOAN



VỀ CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO CỰC TIỂU
ĐỊA PHƯƠNG CỦA A. D. IOFFE



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





Thái Nguyên, năm 2011

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2011
dimY < ∞
F
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f
0
(x),
F (x) = 0,
f
i
(x) ≤ 0, i = 1, , n,
x ∈ S,
f
0
, , f
n
S ⊂ X
f
i
F
z ∈ S f
i
F

6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
z ∈ S S
f z
h −→ f
0
(z; h) = lim sup
u→z
t↓0
f(u + th) − f(u)
t
∂f(z) = {x
∗
∈ X
∗
: f
0
(z; h) ≥ x
∗
, h, ∀h ∈ X} = ∂f
0
(z; 0)
f
z d
S
(x) x S z ∈ S
T
S
(z) = {h ∈ X|d
0
S

(z, h) = 0}
S z
N
S
(z) = {x
∗
∈ X
∗
|x
∗
, h ≤ 0, ∀h ∈ T
S
(z)}
S z
∂d
S
(z) ⊆ N
S
(z) ∂d
S
(z) = N
S
(z),
∂d
S
(z) ∂d
S
(z)
z F S
U z x ∈ U ∩ S

d
Q
(x) ≤ F (x) − F (z),
Q = {x ∈ S|F(x) = F (z)}.
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
z
F (z) = 0
I = {i ∈ {1, 2, , n}|f
i
(z) = 0}.
M
r
(x) = max{f
0
(x) − f
0
(z), max
i∈I
f
i
(x)} + r(F (x) + d
S
(x))
M
r
(x)
z
z
f(x),
F (x) = 0,

x ∈ S,
f(x) = max{f
0
(x) − f
0
(z), max
i∈I
f
i
(x)}.
q > 0 V z x ∈ V ∩ S
u ∈ S
f(u) ≥ f(z),
F (u) = 0, x − u ≤ qF (x).
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
c > 0 F f V r
1
≥ qc
x ∈ V ∩ S u ∈ S
f(x) ≥ f(x) − f(u) + f(z) ≥ −cx − u + f(z)
≥ −cqF (x) + f(z) ≥ −r
1
F (x) + f(z).
z
{f(x) + r
1
F (x) : x ∈ S}.
z
r
1

z
x ∈ S d
S
(x) = 0 z
d
S
(.) X f(x) + r
1
F (x)
r
2
> 0
z
{f(x) + r
1
F (x) + r
2
d
S
(x)}.
r = max{r
1
, r
2
}
f(x)
z φ(x) f z
φ(tx) = tφ(x), ∀t ≥ 0, ∀x ∈ X,
lim sup
t↓0

f(z + th) − f(z) − tφ(h)
t
≤ 0, ∀h ∈ X.
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f z φ(x) =
f
0
(z, x) f z
φ z
∂
c
φ(z) = {x
∗
∈ X
∗
|x
∗
, x − z ≤ f(x) − f(z), ∀x ∈ X}.
φ z
∂
c
φ(z) = ∂φ(z).
φ f z f
z φ
φ
0 ∈ ∂
c
φ(0).
h ∈ X
f(z + th) − f(z) = tφ(h) + r(t),

lim sup
t→0
r(t)
t
≤ 0.
φ(h) < 0 tφ(h) + r(t) < 0 t
f(z + th) − f(z) < 0
t z f
φ(h) ≥ 0 φ
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
φ, φ
1
, , φ
n
f, f
1
, , f
n
z
k ≥ 0 kφ kf z
φ + φ
1
+ + φ
n
f + f
1
+ + f
n
z
max

i∈I
φ
i
(x) max
1≤i≤n
f
i
(x) z
I = {i ∈ {1, 2, , n}| f
i
(z) = max
1≤j≤n
f
j
(z)}.
φ
0
, φ
1
, , φ
n
, ψ, ρ
f
0
, f
1
, , f
n
, F(.), d
S

(.) z
z F S
z
λ
0
≥ 0, , λ
n
≥ 0, r > 0 λ
0
+, , +λ
n
= 1, λ
i
f
i
(z) = 0
i = 1, , n λ
i
= 0 i = 0 i ∈ I
0 ∈
n

i=0
λ
i
∂
c
φ
i
(0) + r∂

c
ψ(0) + r∂
c
ρ(0).
dimY < ∞
Y R
m
F (x) = (f
n+1
(x), , f
n+m
(x)),
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f
n+j
z z
F S
µ
1
x
∗
1
+ + µ
m
x
∗
m
∈ N
S
(z), x

∗
j
∈ ∂f
n+j
(z), j = 1, , m,
µ
1
= · · · = µ
m
= 0
λ
n+1
, , λ
n+m
0 ∈ λ
n+1
∂f
n+1
(z) + · · · + λ
n+m
∂f
n+m
(z) + N
S
(z).
F f
n+j
z φ
0
, φ

1
, , φ
n
f
0
, f
1
, , f
n
z
λ
0
, , λ
n+m
λ
i
≥ 0, i = 0, , n λ
i
f
i
(z) = 0, i = 1, , n;
0 ∈
n

i=0
λ
i
∂φ
i
(0) +

n+m

i=n+1
λ
i
∂f
i
(z) + N
S
(z).
F
F z F z
F (x + h) − F (x) − F

(z)h = r(x, h)h,
r(x, h) → 0 x → z, h → 0
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
T
S
(z) = ∅ x −→ T
S
(z)
φ
0
, φ
1
, , φ
n
f
0

, f
1
, , f
n
λ
i
≥ 0, i = 1, , n y
∗
∈ Y
∗
−F

∗
(z)y
∗
∈
n

i=0
λ
i
∂
c
φ
i
(0) + N
S
(z),
R(F


(z)) F

(z)
R(F

(z)) = Y y
∗
= 0
R(F

(z)) F

∗
(z)y
∗
= 0
λ
0
= = λ
n
= 0
R(F

(z)) = Y F

(z) ∩ T
S
(z) = ∅
x
∗

∈ X
∗
x
∗
= 0 F

(z) T
S
(z) x
∗
, x ≥ 0
∀x ∈ T
S
(z) x
∗
, x = 0 ∀x ∈ F

(z) R(F

(z)) = Y
x
∗
= F

(z)y
∗
= 0 y
∗
Y
∗

y
∗
= 0
F

(z)y
∗
, x ≥ 0 x ∈ T
S
(z) λ
0
= = λ
n
= 0
R(F

(z)) = Y F

(z) ∩ T
S
(z) = ∅
h ∈ F

(z), h ≤ 1 α > 0 ∀u ∈ X
u − h < α T
S
(x) x ∈ S z T
S
(x)
x z x

C(F

(z), T
S
(x)) = sup
y≤1
inf{u


F

(z)u = y, u ∈ T
S
(x)}
≤ α
−1
C(F

(z), X),
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
C(F

(z), X) = sup
y≤1
inf{u : F

(z)u = y}
F

(z) X Y z F

S
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f
0
, , f
n
F z ∈ X f
i
: X →
R, i = 0, , n, F : X → Y X Y
A ⊂ X
∗
s(x, A) = sup{x
∗
, x|x
∗
∈ A}.
f(x)
U z φ(x, h) U × X
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f
z
φ(x, 0) = f(x)
x z h −→ φ(x, h)
lim inf
x→z,h→0
φ(x,h)−f(x+h)
||h||
≥ 0
f z

φ(x, h) = f(x) + f

(z), h
f z
f(x) = g(G(x)) G : X −→ Y
z g G(z)
φ(x, h) = g(G(x) + G

(z)h)
f z
f z k > 0
φ(x, h) = f(x) + kh.
φ f z
A ⊂ X
∗
f z  > 0
δ = δ() > 0 ∂f(x) ⊆ A

x − z ≤ δ() A

 A X
∗
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f A ⊂ X
∗
f z
φ(x, h) = f(x) + s(h, A)
f z
η > 0 δ > 0 ∂f(x) ⊆ A
η

x − z ≤ δ
x − z ≤ δ/2, h ≤ δ/2 x + th − z ≤ δ ∀t ∈ (0, 1)
t
0
∈ (0, 1) x
∗
∈ ∂f(x + t
0
h)
x
∗
, h = f(x + h) − f(x)
x
∗
∈ A
η
s(h, A
η
) = s(h, A) + ηh ≥ f(x + h) − f(x).
f  > 0
∂

f(x) = {x
∗
∈ X
∗
|f(x) + f(x
∗
) ≤ x
∗

, x + }
x ∈ domf  f x
f
∗
f
f x
∂f(u) ⊂ ∂

f(x)
u x ∂

f(x) f x
sup{x
∗
, u − f
∗
(x
∗
)|x
∗
∈ ∂

f(x)} = f(u),
u x
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
φ(x, h) f z
φ

(x, h) = sup{h
∗

, h − φ
∗
(x, h
∗
)|h
∗
∈ ∂

φ(x, 0)}.
f z  > 0 φ

(x, h)
f z
k f k > η > 0 δ
0 < δ ≤ /2k
φ(x, h) + ηh ≥ f(x + h)
x − z ≤ δ, h ≤ δ
φ(x, h) φ

(x, h)
x h x − z ≤ δ, h ≤ δ
φ

(x, h) ≤ φ(x, h) x h
φ

(x, h) < φ(x, h) h = 0
t
0
= inf{t > 0|φ


(x, th) < φ(x, th)}.
t
0
> 0 t
0
< 1
h
∗
∈ ∂φ(x, t
0
h)
φ(x, 0) + φ
∗
(x, h
∗
) = .
φ(x, t
0
h) = φ

(x, t
0
h) φ

≤ φ
∂φ

(x, t
0

h) ⊂ ∂φ(x, t
0
h) φ(x, .)
∂φ

(x, t
0
h) = ∅ ∂φ

(x, t
0
h) ⊂ ∂

φ(x, 0)
h
∗
1
∈ ∂φ(x, t
0
h) h
∗
1
∈ ∂

φ(x, 0) φ(x, 0) + φ
∗
(x, h
∗
1
) ≤ 

18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
t > t
0
, φ(x, th) > φ

(x, th) h
∗
∈ ∂φ(x, th) h
∗
∈
∂

φ(x, 0) φ(x, th) = φ

(x, th)
φ(x, 0) + φ
∗
(x, h
∗
) ≥ 
h
∗
2
∈ ∂

φ(x, t
0
h) φ(x, 0) + φ
∗
(x, h

∗
2
) ≤ 
h
∗
1
h
∗
2
 − h
∗
, t
0
h = φ(x, 0) − φ(x, t
0
h).
h
∗
, t
0
h ≥ f(x + t
0
h) − f(x) +  − ηt
0
h ≥  − (k + η)t
0
h.
0 < t
0
< 1 h ≤ δ ≤ /2k

h
∗
, h
h
≥

t
0
h
− (k + η) ≥

h
− (k + η) ≥ (k − η)
h
∗
∈ ∂φ

(x, t
0
h) h
∗
∈ ∂φ(x, t
0
h) h
∗
∈ ∂

φ(x, 0)
φ


(x, h) + ηh ≥ φ

(x, t
0
h) + ηh + (1 − t
0
)h
∗
, h
≥ φ(x, t
0
h) + ηh + (1 − t
0
)(k − η)h
≥ φ(x, t
0
h) + ηh ≥ f(x + t
0
h).
φ(x, h) f z
ψ(h) = φ

(z, 0; h) = lim
t↓0
φ(z, th) − φ(z, 0)
t
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f
1
, , f

n
, f
φ
1
, , φ
n
, φ
k ≥ 0 kφ
φ
1
+ · · · + φ
n
f
1
+ · · · + f
n
max
i∈I
φ
i
(x) max
1≤i≤n
f
i
(x)
I = {i ∈ {1, , n}|f
i
(z) = max
1≤j≤n
f

j
(z)}.
z ∈ S ⊆ X x −→ W (x) ⊆ X
z
W S z
lim inf
x→z,h→0
h∈W (x)
d
S
(x) − d
S
(x + h)
h
≥ 0.
W (x) = {h ∈ X|φ(x, h) ≤ φ(x, 0)} φ
d
S
(.) h −→ φ(x, h) − φ(x, 0)
⇒
φ(x, h) = d
S
(x) + 2d
W (x)
(h).
η > 0 δ > 0
d
S
(x + u) ≤ d
S

(x) + ηu,
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x − z < δ, u ∈ W (x) u < δ
h ∈ X, x ∈ X x − z < δ, h < δ/2
u ∈ W (x) u ≤ 2h < δ, h − u ≤ 2d
W (x)
(h)
d
S
(x + h) ≤ d
S
(x + u) + h − u
≤ d
S
(x) + 2d
W (x)
(h) + ηh ≤ φ(x, h) + ηh.
φ(x, h) f z η > 0
ϕ(x) = − min{φ
∗
(x, h
∗
)|h
∗
 ≤ η}.
p
η
(x, h) = φ(x, h) + ηh.
ϕ
η

(x) = inf
h∈X
p
η
(x, h).
f φ(x, h)
f
f
0 ∈ ∂φ(z, 0) η > 0 ϕ
η
0 ∈ ∂φ(z, 0) ϕ
η
η > 0
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
φ
∗
(x, h
∗
) + φ(x, 0) ≥ 0
f(x) = φ(x, 0) ≥ ϕ
η
(x).
⇒ 0 ∈ ∂φ(z, 0)
ϕ
η
(z) ≥ −φ
∗
(z, 0) = φ(z, 0) = f(z).
⇒
⇒ 0 ∈ ∂φ(z, 0)

η > 0 δ
0
> 0
φ(x, h) +
η
2
h ≥ f(x + h) ≥ f(z)
x − z ≤ δ
0
, h ≤ δ
0
x h
p
η
(x, h) ≥ f(z) +
η
2
h ≥ f(z).
0 < δ ≤ δ
0
x − z ≤ δ
f(x) ≤ f(z) +
η
2
δ
0
.
x
p
η

(x, 0) = f(x) ≤ f(z) +
η
2
δ
0
.
h = δ
0
p
η
(x, h) ≥ f(z) +
η
2
h = f(z) +
η
2
δ
0
.
p(x, .)
inf
h∈X
p
η
(x, h) = inf
h≤δ
0
p
η
(x, h),

22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x − z ≤ δ x
ϕ
η
(x) ≥ f(z) ≥ ϕ
η
(z).
φ(x, h)
h φ(x, .)
z
M
r
(x) = max{f
0
(x) − f
0
(z), max
1≤i≤n
f
i
(x)} + r(F (x) + d
S
(x))
M
r
z r > 0
z
f
0
(z) = 0,

M
r
(x) = max
0≤i≤n
f
i
(x) + r(F (x) + d
S
(x)).
φ
0
, , φ
n
, ψ, ρ f
0
, , f
n
, F(.), d
S
(.)
z
g
r
(x, h) = max
0≤i≤n
φ
i
(x, h) + r(ψ(x, h) + ρ(x, h))
M
r

z
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
η > 0 Γ
η
(λ
0
, , λ
n
, h
∗
0
, , h
∗
n
, h
∗
, u
∗
)
λ
i
≥ 0(i = 0, , n), λ
i
f
i
(z) = 0(i = 0, , n), λ
0
+ + λ
n
= 1

h
∗
0
, , h
∗
n
, h
∗
, u
∗
∈ X
∗
; 
n

0
λ
i
h
∗
i
+ h
∗
+ u
∗
 ≤ η.
z
λ
0
, , λ

n
r > 0
0 ∈
n

0
λ
i
∂φ
i
(z, 0) + r(∂ψ(z, 0) + ∂ρ(z, 0)).
M
∗
ηr
(x) = −
Γ
η

n

0
λ
i
φ
∗
i
(x, h
∗
i
) + r(ψ

∗
(x, h
∗
/r) + ρ
∗
(x, u
∗
/r))

.
Γ
η
φ
0
, , φ
n
, ψ, ρ M
∗
ηr
φ
0
, , φ
n
, ψ, ρ, x
φ
0
, , φ
n
, ψ, ρ f
0

, , f
n
F (.), d
S
(.) z
η > 0 r > 0
M
∗
ηr
η > 0, r > 0 λ
0
, , λ
n
M
∗
ηr
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên