xấp xỉ cấp hai của tập chấp nhận được và điều kiện cần tối ưu cấp hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
–––––––––––––––––––––




ĐỒNG THÁI LÂM





XẤ P XỈ CẤ P HAI CỦA TP CHẤP NHN ĐƯC
V ĐIU KIN CẦN TI ƯU CẤP HAI

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01







LUN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN - 2012

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1
3. Phương pháp nghiên cứu 2
4. Bố cục của luận văn 2
Chương 1: ĐIU KIN CẦN TI ƯU CẤP HAI CỦA H. KAWASAKI 3
1.1. Xấp xỉ cấp 2 của tập chấp nhận được 3
1.1.1. Các ràng buộc tích cực 3
1.1.2. Xấp xỉ cấp hai của miền chấp nhận được 4
1.2. Điều kiện cần tối ưu cấp hai dạng gốc 11
1.3. Điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng đối ngẫu 14
1.4. Áp dụng cho bài toán cực tiểu hàm sup 25
Chương 2: TÍNH CHÍNH QUY MÊTRIC V ĐIU KIN CẦN TI ƯU
CẤP HAI CỦA R. COMINETTI 32
2.1. Tính chính quy metric 32
2.2. Các xấp xỉ tip tuyn cấp một, cấ p hai của tập chấp nhận được 39
2.3. Điều kiện cần tối ưu cấp hai 44
KẾT LUN 58
TI LIU THAM KHẢO 59
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyt các điều kiện tối ưu là một bộ phận quan trọng của lý thuyt
các bài toán cực trị. Cho đn nay người ta đã nhận được nhiều kt quả phong
phú và đẹp đẽ về các điều kiện tối ưu cấp 1, cấp 2 và các cấp cao cho các bài
toán tối ưu trơn và không trơn (xem chẳng hạn [2] - [8], [10]).
Theo hướng nghiên cứu trên chúng tôi chọn đề tài: "Xấp xỉ cấp hai
của tập chấp nhận được và điều kiện cần tối ưu cấp hai". Cụ thể là các
điều kiện tối ưu cấp 2 thường được biểu diễn dưới ngôn ngữ các đạo hàm
cấp 1, cấp 2 hoặc các đạo hàm suy rộng và các tập tip tuyn cấp 1, cấp 2.
Khác với các điều kiện cần cấp 2 thông thường, các điều kiện cần tối ưu cấp
hai của Kawasaki[7] và Cominetti[5] có thêm một số hạng được xem như
đạo hàm cấp 2 của một tập hợp. Các điều kiện cần tối ưu cấp 2 được nghiên
cứu dưới hai dạng: gốc và đối ngẫu dưới ngôn ngữ các xâp xỉ cấp 2 của tập
chấp nhận được. Trong điều kiện cần cấp 2 đối ngẫu có thêm một số hạng
ngoài đạo hàm cấp hai của hàm Lagrange.
Đề tài này có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong
và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn này là trình bày các điều kiện cần
tối ưu cấp 2 của Kawasaki[7] và Cominetti[5] cho bài toán tối ưu khả vi có
ràng buộc bao hàm thức và ràng buộc tập. Các điều kiện cần tối ưu cấp 2
được trình bày dưới hai đạng gốc và đối ngẫu. Khác với các điều kiện cần
cấp 2 thông thường, các điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng đối ngẫu ở đây có
thêm một số hạng ngoài đạo hàm cấp 2 của hàm Lagrange.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau:

- Đọc, dịch tài liệu từ hai bài báo ting anh của Kawasaki và Cominetti.
- Sử dụng các kt quả của hai bài báo để xây dựng nội dung luận văn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi và các kin thức của lý
thuyt tối ưu.
4. Bố cục của luận văn
Luận văn này bao gồm 60 trang, trong đó có phần mở đầu, hai
chương, kt luận và danh mục các tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp 2 của Kawasaki[7]
cho bài toán khả vi có ràng buộc đẳng thức và ràng buộc nón có phần trong
khác rỗng dưới ngôn ngữ các đạo hàm cấp 1, cấp 2 và các tập tip tuyn cấp
2 dạng gốc và dạng đối ngẫu. Các áp dụng cho bài toán cực tiểu hàm sup
cũng được trình bày trong chương này.
Chương 2 trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp 2 của Cominetti[5]
bằng phương pháp chính quy mêtric cho bài toán khả vi có ràng buộc bao
hàm thức và ràng buộc tập. Kt quả về tính chính quy mêtric được sử dụng
để tính tập tip tuyn cấp 2 của tập chấp nhận được.
Bản luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình
của PGS.TS Đỗ Văn Lưu - Viện toán học Việt Nam. Nhân dịp này tôi xin
bày tỏ lòng bit ơn Thầy về sự hướng dẫn tận tình đó cùng với những kinh
nghiệm truyền đạt cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
bản luận văn.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn Sở GD&ĐT Thái Nguyên, Trung tâm
GDTX tỉnh Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi được đi học, cảm ơn
trường Đại học sư phạm Thái Nguyên đã tạo điều kiện để các thầy giáo, cô
giáo giảng dạy, cung cấp kin thức cho khóa học của chúng tôi.
Do thời gian và kin thức có hạn nên bản luận văn của tôi chắc chắn

không tránh khỏi những thiu sót. Do đó, tôi rất mong có được sự đóng góp
của thầy cô và các bạn để bản luận văn của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3
Chương 1
ĐIU KIN CẦN TI ƯU CẤP HAI CỦA H. KAWASAKI
Chương 1 trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp hai của Kawasaki [7]
cho bài toán có ràng buộc đẳng thức và ràng buộc nón có phần trong khác
rỗng với các hàm thuộc lớp
2
C
. Các điều kiện cấp hai được trình bày dưới
ngôn ngữ các đạo hàm cấp 1, cấp 2 và các tập tip tuyn cấp hai dưới hai
dạng gốc và đối ngẫu. Trong các điều kiện cấp hai dạng đối ngẫu có thêm
một số hạng ngoài đạo hàm cấp hai của hàm Lagrange. Các kt quả được áp
dụng cho bài toán cực tiểu hàm sup.
1.1. Xấp xỉ cấp 2 của tập chấp nhận được
Xét bài toán tối ưu

( ),
( ) ( ) ,
( ) 0,
Min f x
P g x K
hx



trong đó: X, V và W là các không gian Banach,

:fX 
,
: à :g X V v h X W
thuộc lớp
2
C
,
K là nón lồi đóng trong V với phần trong khác rỗng.
1.1.1. Các ràng buộc tích cực
Cho hữu hạn bất đẳng thức ràng buộc

12
( ) 0, ( ) 0, , ( ) 0.
m
g x g x g x  
(1.1.1)
Ta chỉ cần xét các ràng buộc tích cực tại nghiệm tối ưu
x
, tức là

( ) 0 ( ): { {1,2, , }, ( ) 0}
ij
g x i I x j m g x     
. (1.1.2)
Với ràng buộc bất đẳng thức tổng quát :

( ) ,g x K

(1.1.3)
trong đó K là nón lồi đóng với phần trong khác rỗng, khái niệm "tích cực" là
không hiện rõ. Ta chú ý‎ rằng có sự khác biệt giữa ràng buộc đẳng thức và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
ràng buộc bất đẳng thức tổng quát. Gọi I là khoảng đóng, bị chặn trong

;
()CI
là tập các hàm liên tục trên I và
( ) { ( ): ( ) 0, }C I u C I u t t I

    
.
Ta hãy xét trường hợp
( ).K C I


Khi đó (1.1.3) có dạng:

( )( ) 0,g x t t I  
(1.1.4)
Ta định nghĩa tập tham số của các ràng buộc tích cực:

( ): { ; ( )( ) 0}I x t I g x t  
(1.1.5)
Trong trường hợp này, khó khăn khác lại nảy sinh. Giả sử
x
được nhiễu

thành
.xy
Khi đó bao hàm thức

( ) ( )I x y I x
(1.1.6)
đúng cho (1.1.2), nu y đủ nhỏ. Nhưng (1.1.6) không đúng cho (1.1.5), thậm
trí nu y đủ nhỏ. Điều này cho thấy rằng không thể xử lí vô hạn ràng buộc
bất đẳng thức theo từng điểm. Trong phần sau ta sẽ đưa vào khái niệm "tích
cực" phù hợp với ràng buộc bất đẳng thức tổng quát.
1.1.2. Xấp xỉ cấp hai của miền chấp nhận được
Cho X và V là các không gian Banach. Cặp chính tắc giữa V và không
gian tô pô đối ngẫu
*
V
của nó được ký hiệu là
,
.
Cho ánh xạ
:g X V
. Khi đó,
'( ) à ''( )g x v g x
ký hiệu là đạo hàm
Fréchet cấp một và cấp hai tương ứng của g tại x. Hơn nữa,
''( )( , )g x y z
là
ánh xạ song tuyn tính từ
2
X
vào V. Toán tử liên hợp của

'( )gx
được ký
hiệu là
*
'( )gx
được xác định bởi:
**
'( ) *, , '( )g x v y v g x y
với mọi
**
à.v V v y X

Với mỗi tập A của một không gian Banach, bao nón của A được ký hiệu bởi
coneA
, bao đóng của nó được ký hiệu là
cone A
. Ta quy ước
A  
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
Định nghĩa 1.1.1
Cho M là tập chấp chận được, nghĩa là

{ ; ( ) , ( ) 0}.M x X g x K h x   
(1.1.7)
Cho
x
là điểm bất kỳ của M. Khi đó các tập tiếp tuyến cấp một và cấp

hai của M tại điểm
x
được định nghĩa như sau:

1
: { : ( ) , ( ) ( ), 0},T y X x s M x s x sy o s s        
(1.1.8)

2 2 2
2
: {( , ) : ( ) , ( ) / 2 ( ), 0},T y z X x s M x s x sy s z o s s         
(1.1.9)
trong đó o(s) và o(s
2
) thỏa mãn
2
()
()
0 à 0
os
os
v
ss

khi
0s


.
Lát cắt y của

2
T
được xác định như sau:
22
( ): { :( , ) }T y z X y z T  
.
Bổ đề 1.1.1 sau đây trả lời cho câu hỏi ta có thể xét tính "tích cực" của ràng
buộc bất đẳng thức tổng quát ra sao.
Bổ đê 1.1.1
(i) Nếu
1
yT
thì

'( ) cone( ( )),g x y K g x
(1.1.10)

'( ) 0h x y 
. (1.1.11)
(ii) Nếu
2
( , )y z T
, thì
2
( ) 0
'( ) ''( )( , ) { ( ) / '( ) / ( ) },
s
g x z g x y y K g x s g x y s s B

    




(1.1.12)

'( ) ''( )( , ) 0,h x z h x y y
(1.1.13)
trong đó B là hình cầu đơn vị trong V và phép hợp trong vế phải của
(1.1.12) lấy theo tất cả các giá trị
()


sao cho:

( ) 0 0 à ( ) 0 0 .s s v s khis

    

(1.1.14)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
Chứng minh
Lấy
2
( , )y z T
. Khi đó, tồn tại
()x s M
sao cho

22
( ) / 2 ( ).x s x sy s z o s   

Bằng khai triển Taylor ta có

22
( ( )) ( ) '( ) { '( ) ''( )( , )}/ 2 ( )g x s g x sg x y s g x z g x y y o s    
.
Gọi
2
2
()
()
os
s
s


ta có (1.1.12).
Các kt quả khác được chứng minh tương tự.


Định nghĩa 1.1.2
Với mỗi
,u v V
, ta xác định tập
( , )K u v
như sau:

2

( ) 0
( , ): 2 { / / ( ) }
s
K u v K u s v s s B

   



, (1.1.15)
trong đó phép hợp được lấy trên tất cả các giá trị
()


thỏa mãn (1.1.14).
Để đơn giản ta ký hiệu
( ( ), '( ) )K g x g x y
là K(y).
Nhận xét 1.1.1
Kurcyusz [6] đã thit lập điều kiện cần cấp một mà không sử dụng quan hệ

'( ) cone( ( ))g x y K g x
, (1.1.16)
nhưng sử dụng

'( ) cone( ( ))g x y K g x
. (1.1.17)
Trong trường hợp đặc biệt

12

à : { ( , , , ); 0 },
mm
mi
V v K u u u u u i

     

ta có

1
cone( ( )) cone( ( ))
{ ( , , ); 0 ( )},
mi
K g x K g x
v v v v i I x
  
    

trong đó
( ) { ; ( ) 0}
i
I x i g x
. Vì vậy, (1.1.16) và (1.1.17) trùng với
điều kiện:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7

'
( ) 0 ( ).

i
g x y i I x  
(1.1.18)
Mặt khác, trong trường hợp
()K C I


,
cone( ( ))K g x
không đóng (xem
bổ đề 1.4.1). Do đó, nói chung (1.1.16) và (1.1.17) khác nhau.
Nhận xét 1.1.2
Điều kiện (1.1.16) được đưa ra lần đầu tiên bởi Ben-Tal và Zowe [4].
Nhận xét 1.1.3
Trong trường hợp
()K C I


, điều kiện (1.1.10) trở thành

( '( ) )( ) 0g x y t t
thỏa mãn
( )( ) 0g x t 
.
Sử dụng kt quả của bổ đề 1.1.1 ta đi đn định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.3.
1
: { : '( ) cone( ( )), '( ) 0L y X g x y K g x h x y    
, (1.1.19)
2

2
22
: {( , ) : '( ) ''( )( , ) 2 ( ), '( ) ''( )( , ) 0},
( ): { :( , ) }.
L y z X g x z g x y y K y h x z h x y y
L y z X y z L
     
  

(1.1.20)
Khi đó, bổ đề 1.1.1 được phát biểu lại như sau:

1 1 2 2
àT L v T L
. (1.1.21)
Định nghĩa 1.1.4 (Robinson ).
Hệ
( ) , ( ) 0g x K h x
(1.1.22)
được gọi là ổn định tại điểm
xM
nếu

0 int{( ( ) '( ) , '( ) ): , }.g x g x x k h x x x X k K    
(1.1.23)
Bổ đề 1.1.2
Nếu (1.1.23) đúng thì
1 1 2 2
àT L v T L
.

Chứng minh
Lấy
2
( , )y z L
. Khi đó tồn tại
( ) à ( ) 0u s B v s


sao cho
2
2
( '( ) ''( )( , ))
( ) '( ) ( ) ( )
2
s g x z g x y y
g x sg x y s s u s K


   
với mọi s > 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
Từ kt quả định lý trong [9] suy ra tồn tại một lân cận N của
x
và R > 0
sao cho

( , ) max{ ( ( )), ), ( ) };d x M R d g x K h x

xN
,
trong đó d(a , A) là khoảng cách từ a đn A.
Với mọi s > 0 đủ nhỏ,
2
/2x sy s z N  
. Hơn nữa,

2
22
2 2 2
( ( / 2), )
'( ) ''( )( , )
( ) '( ) ( ),
2
( ( ) ( ) ( ), ) ( ).
d g x sy s z K
g x z g x y y
d g x sg x y s o s K
d o s s s u s K o s




   


  

Tương tự, ta có

22
( / 2) ( )h x sy s z o s  
. Như vậy,
22
( / 2, ) ( )d x sy s z M Ro s  
.
Điều này kéo theo
2
( , )y z T
Vì vậy
22
LT
.
Đặc biệt,
1 2 2 1
(0) (0)T T L L  
. 
Không dễ dàng kiểm tra điều kiện ổn định của Robinson. Do đó ta đưa vào
một dạng tương đương của (1.1.23) để có thể kiểm tra dễ hơn.
Định nghĩa 1.1.5
Hệ (1.1.22) được gọi là thỏa mãn điều kiện Mangasarian-Fromovitz
tại
x
nếu
(i)
'( )hx
là ánh xạ lên, (1.1.24)
(ii)
00
: ( ) '( ) int ,x X g x g x x K   

(1.1.25)

0
'( ) 0.h x x 
(1.1.26)
Nhận xét 1.1.4
Trong [8] các điều kiện trên được gọi là điều kiện Slater, nhưng ta gọi là
điều kiện Mangasarian-Fromovitz, bởi vì trong trường hợp đặc biệt

;à
n m l
X K v W    
, các điều kiện (1.1.24)-(1.1.26) có dạng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
(i)
'( )hx
là ánh xạ lên,
(ii)
'
0 0 0
, '( ) 0, ( ) 0 ( ).
n
i
x h x x g x x i I x     

Đó là điều kiện Mangasarian-Fromovitz trong trường hợp hữu hạn chiều.
Bây giờ ta chứng minh sự tương đương của hai điều kiện trên. Cách
chứng minh tương tự Zowe [10, định lý 2.2]. Dễ thấy điều kiện

Mangasarian-Fromovitz mạnh hơn điều kiện ổn định Robinson. Ngược lại,
giả sử ta có (1.1.23). Đặt

int{( ( ) '( ) , '( ) ): , },
' {( ( ) '( ) , '( ) ): , int }.
A g x g x x k h x x x X k K
A g x g x x k h x x x X k K
    
    

Hiển nhiên
'( )hx
là ánh xạ lên. Như vậy
'A
là mở. Do đó ta có
'AA
.
Theo đó ta chỉ ra A' là trù mật trong A . Lấy
0
intkK
cố định.
Lấy
: ( ( ) '( ) , '( ) )z g x g x x k h x x  
là phần tử bất kỳ của A. Đặt
0
( ( ) '( ) (1 ) , '( ) )
t
z g x g x x t k tk h x x    
với
01t

. Khi đó
'
t
zA
và
0
t
z z khi t


. Như vậy
'A
trù mật trong A . Lại lấy z bất kỳ trong A .
Khi đó tồn tại
0


thỏa mãn
z U A


, trong đó U là hình cầu đơn vị
trong
VW
. Từ tính chất trù mật ta có
'z z U


với z' nào đó thuộc A' .
Lấy

1
2'z z z
, ta có
1
.z z U A

  
Vì
''zA
, tồn tại
0


sao cho
''z U A


. Vì
1
zA
nên theo tính chất trù mật ta có
1
'z u A


với u
nào đó thuộc U.
Do đó
1
' ' '

'
22
z u z u A A
zA

   
  
. Như vậy
'AA

Bổ đề 1.1.3
Bài toán

min ,
( ) ( )
r
re f x C I



luôn thỏa mãn điều kiện Mangasarian-Fromovitz (1.1.24) - (1.1.26).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
Chứng minh
Với bài toán

min ,
( ) ( ),
r

re f x C I



điều kiện Mangasarian-Fromovitz tương đương với tồn tại
00
( , )x r X

sao cho
00
( ) '( ) intre f x r f x x K   
.
Điều này đạt được bằng cách lấy
00
0 à ( )x v r re f x

  
. 
Ta kt thúc phần này bằng việc chỉ ra
( , )K u v
là tập lồi đóng.
Bổ đề 1.1.4
Với mỗi
,,u v V

( , )K u v
là tập lồi đóng.
Chứng minh:
* Tính lồi:
Lấy

12
, ( , )w w K u v
và
01


. Khi đó tồn tại
( ) 0
i
s


và
()
i
u s B

sao cho
22
( ) ( ) 0 à 1,2.
i i i
u sv s s u s s w K s v i

       

Vậy,
22
1 1 2 2 1 2
{ ( ) ( ) (1 ) ( ) ( )} { .u sv s s u s s u s s w w K       
    

Đặt

12
( ) ( ) (1 ) ( )s s s
   
  
.
Khi đó
()s

thỏa mãn

( ) 0 0 à ( ) 0 0s s v s khis

    

.
Như vậy ta có
12
(1 ) ( , )w w K u v

  
.
Vậy
( , )K u v
là tập lồi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11

* Tính đóng:
Lấy
( , ) à
nn
w K u v v w w
. Khi đó với mỗi n tồn tại
( ) , ( )
nn
k s K u s B
và
()
n
sB


thỏa mãn
( ) 0 0 à ( ) 0 0s v s khis


   
tức là

2
( ) / / ( ) ( ) 0
n n n n
w k s u s v s s u s s

     
.
Với mỗi n, tồn tại

0
n
s 
thỏa mãn

( ) 1/ :0 .
nn
s n s s s   


Đặt
11
ss
và
1
min{ , ,1/ }
n n n
s s s n


với mọi
2n 
. . Khi đó dãy
{}
n
s
đơn
điệu giảm đn 0.
+ Với mỗi
1

ss
đặt

( ) ( ) ,
( ) ( ),
nn
n
s s w w
k s k s
  



trong đó n là số nhỏ nhất thỏa mãn
1
( , )
nn
s s s


.
Khi đó
( ) 0 0s khi s



.
Hơn nữa,
2
2

1
( ) / / ( ( ) )
( ) / / ( ) , .
n n n n n
w w w w B k s u s v s s w w B
k s u s v s s B s s
        
     



Với bất kỳ
1
ss
, đặt
2
( ) / / à ( ) 0s w u s v s v k s

   
.
Khi đó,

2
1
( ) / / ( )w k s u s v s s B s s

     

Như vậy ta có
( , )w K u v

. 
1.2. Điều kiện cần tối ưu cấp hai dạng gốc
Định lý 1.2.1

Cho
x
là cực tiểu địa phương của bài toán (P) và giả sử rằng điều kiện
Mangasarian-Fromovitz thỏa mãn tại
x
. Khi đó hệ sau không có nghiệm

(y , z):
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12

ex
( '( ) , '( ) ''( )( , )) (0,0)
l
f x y f x z f x y y
, (1.2.1)

'( ) ''( )( , ) 2 ( )g x z g x y y K y
, (1.2.2)

'( ) ''( )( , ) 0h x z h x y y
, (1.2.3)
trong đó
1 2 ex
( , ) (0,0)

l
aa 
có nghĩa là
1
0a 
hoặc
1
0a 
và
2
0a 
. Chỉ số
dưới "lex" là viết tắt của thứ tự từ điển (lexicographic order).
Chứng minh
Lấy (y , z) thỏa mãn (1.2.2) và (1.2.3). Khi đó theo bổ đề 1.1.2 tồn tại
()x s M
sao cho

22
( ) / 2 ( ), 0x s x sy s z o s s     
.
Do
()xs
hội tụ đn
x
khi
0s


, ta có

22
( ) ( ( ))
( ) '( ) { '( ) ''( )( , )}/ 2 ( )
f x f x s
f x sf x y s f x z f x y y o s

    

Với mọi
0s 
đủ nhỏ. Điều này mâu thuẫn với (1.2.1). Định lý được
chứng minh. 
Trong trường hợp đặc biệt, hệ (1.2.1)-(1.2.3) không có nghiệm dạng
(0, )z
.
Từ định lý trên ta nhận được dạng gốc của điều kiện cần cấp một đã cho
trong [4].
Hệ quả 1.2.1
Với giả thiết của định lý 1.2.1, hệ sau không có nghiệm y:

'( ) 0,
'( ) cone( ( )),
'( ) 0.
f x y
g x y K g x
hx










Hệ quả 1.2.1 không nói gì đn phương y thỏa mãn

'( ) 0,
'( ) cone( ( )),
'( ) 0.
f x y
g x y K g x
h x y








(1.2.4)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
Ta xét y thỏa mãn

'( ) 0,
'( ) cone( ( )),

'( ) 0.
f x y
g x y K g x
h x y








(1.2.5)
Khi đó với mỗi véc tơ
()sX


thỏa mãn

0
()
0
s
s
s




,

ta có

( ( )) ( )f x sy s f x

  

với mọi
0s 
đủ nhỏ. Vì vậy sự tồn tại y thỏa mãn (1.2.5) không mâu thuẫn
với
x
là nghiệm tối ưu.
Định nghĩa 1.2.1
Một véc tơ
yX
được gọi là phương tới hạn nếu

'( ) 0,
'( ) cone( ( )),
'( ) 0.
f x y
g x y K g x
h x y









(1.2.6)
Định lý 1.2.2
Với giả thiết của định lý 1.2.1, với mỗi phương tới hạn y , hệ sau
không có nghiệm z:
'( ) ''( )( , ) 0, (1.2.7)
'( ) ''( )( , ) 2 ( ), (1.2.8)
'( ) ''( )( , ) 0. (1.2.9)
f x z f x y y
g x z g x y y K y
h x z h x y y









Ký hiệu P(y) là tập tất cả các véc tơ z thỏa mãn (1.2.7). Khi đó P(y) là
tập lồi mở. Theo bổ đề 1.1.4,
2
()Ly
là tập lồi đóng. Do đó, khẳng định của
định lý 1.2.2 có thể diễn đạt như tách các tập lồi, nghĩa là

2
( ) ( )P y L y  
với mọi phương tới hạn y. (1.2.10)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
1.3. Điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng đối ngẫu
Định nghĩa 1.3.1
Với tập con S bất kỳ của X, hàm tựa được định nghĩa bởi

* * *
( | ) sup{ , : }x S x x x S


. (1.3.1)
Miền hữu hiệu của
*
( | )S


, ký hiệu bởi
()S
, được định nghĩa như sau:

* * * *
( ) { : ( | ) }.S x X x S    

(1.3.2)
Cực nón của K được định nghĩa bởi

0 * * *
{ : , 0 }.K v V v v v K    
(1.3.3)

Bổ đề 1.3.1
Cho P và Q là các tập các tập lồi khác rỗng. Giả sử Q là mở.
Khi đó
PQ  
khi và khỉ khi tồn tại
*
0x 
sao cho

*
( ),xP
(1.3.4)

*
()xQ 
, (1.3.5)

* * * *
( | ) ( | ) 0x P x Q

  
. (1.3.6)
Bây giờ ta tính
**
( | ( )) à ( ( )).x P y v P y


Bổ đề 1.3.2
(1) Nếu
'( ) 0f x y 

thì

( ( )) { '( ); 0}P y f x

  
,

*
( '( )| ( )) ''( )( , ),f x P y f x y y
  
với bất kỳ
0


.
(2) Nếu
'( ) 0 à ''( )( , ) 0f x y v f x y y
thì

* * *
( ( )) ( ) , ( | ( )) .P y X x P y

      

(3) Nếu
'( ) 0 à ''( )( , ) 0f x y v f x y y
thì

*
( ( )) ( ) {0},

(0| ( )) 0.
P y X
Py

   


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
Chứng minh
(1) Hiển nhiên là với bất kỳ
0,



*
( '( )| ( )) ''( )( , )f x P y f x y y
  


Bởi vì
'( )fx

với
0


là một phần tử của
( ( ))Py

. Tồn tại
zX
sao cho
'( ) 0f x z 
, bởi vì
'( ) 0fx
. Như vậy, tồn tại
0


sao cho
0
0
'( )( ) ''( )( , ) 0 ,
'( )( ) ''( )( , ) 0.
f x z f x y y
f x z f x y y
  

   


Điều này kéo theo
*
( '( )| ( )) ''( )( , )f x P y f x y y
  


Giải sử
*

{ '( ); 0}x f x


. Theo định lý tách chặt tồn tại
1
0z 
sao cho
*
11
'( ), 0 , , 0.f x z x z

   

Vì vậy
1
'( ) 0f x z 
. Lấy
2
()z P y
ta có
2 1 2
'( ), '( ), ''( )( , ), 0.f x z z f x z f x y y

     

Do đó
21
( ), 0z z P y

   

. Mặt khác,
*
21
,x z z khi

    
.
Như vậy ta có
*
( ( ))x P y
và phần (1) được chứng minh. Các phần còn lại
dễ dàng chứng minh. 
Bổ đề 1.3.3
(1) Với mỗi
,u v V
thỏa mãn

( , ) cone(cone( ) ).K u v K u v  
(1.3.7)
(2) Cho
uK
. Khi đó ta có

( , ) cone(cone( ) ) ( , ).K u v K u v K u v   
(1.3.8)
Chứng minh
Khẳng định đầu được suy ra từ định nghĩa của
( , )K u v
.
Vì

( , )K u v
là đóng , ta chỉ cần chỉ ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
cone(cone( ) ) ( , )w K u v K u v   
với mọi
( , )w K u v
.
Với
( , ), 0, 0w K u v

  
và
kK
, tồn tại
( ) , ( )k s K u s B
và
( ) 0s



sao cho
2
( ) / / ( ) ( ), 0w k s u s v s s u s s

     
.
Do đó,

2
( ) (1/ ) (1/ ) ( ) ( ).w k u v k s k s u s v s u s
    
         

Đặt
/ (1 )t s s


ta có
22
( ) (2 / ) / / ( ) ( ).w k u v k s k s u u t v t s u s
     
          

Hơn nữa t lấy giá trị từ 0 đn
1/

khi s từ 0 đn

. Chọn
0
0s 
sao cho
2
0
2 / 0 : 0s s s s
  
     
.

Với bất kỳ
0 0 0
: / (1 ),t t s s

  
ta đặt

2
1
11
2
( ) ,
1
( ) , ( ) .
11
t
k t k k u
tt
tt
t u t u
tt






    







Khi đó
0
11
( ) , ( ) 0
t
k t K t



 
và

10
2
( ) ( ) ( ), .
uv
w k u v k t t u t t t
tt
  
        
(1.3.9)
Với bất kỳ
0
tt
, đặt
11

2
2
1
1
( ) 0, ( ) ,
( ) .
()
uv
k t t w k u v
tt
uv
w k u v
tt
ut
t
  


      
    


Khi đó (1.3.9) đúng với mọi
0
tt
.
Do đó
w k u v

  

là một phần tử của
( , )K u v

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
Bổ đề 1.3.4
Cho
uK
và
cone( )v K u
, giả sử
( , ) .K u v 
Khi đó,

* 0 * *
( ( , )) { : , 0, , 0}.K u v v K v u v v    
(1.3.10)
Chứng minh
Từ bổ đề 1.3.3 ta suy ra

( ( , )) (cone(cone( ) )).K u v K u v    
(1.3.11)
Điều kiện cần và đủ để
*
v
thuộc v phải của (1.3.11) là

*
, 0, à 0v k u v k K v


     
.
Điều này tương đương với

* 0 * *
, , 0 à , 0v K v u v v v  
.
Vì
*0
àu K v v K
ta có
*
,0vu
.
Do đó
*
,0vu
.
Do
cone( )v K u
nên tồn tại
à0
nn
k K v


thỏa mãn
lim ( )
n n n

v k u


.
Vậy
* * *
, lim , lim , 0
n n n
nn
v v v k u v k

   
. Do đó
*
,0vv

Bổ đề 1.3.5
Giả sử điều kiện Mangasarian-Fromovitz thỏa mãn. Khi đó,
2
( ) ( )K y L y    
.
Chứng minh
Theo giả thit, tồn tại
0
àx X v z X
thỏa mãn

0
'( ) int ( ),g x x K g x
(1.3.12)

0
'( ) 0,h x x 
(1.3.13)

'( ) ''( )( , ) 0h x z h x y y
. (1.3.14)
Lấy w là một phần tử của
()Ky
. Từ (1.3.12) suy ra tồn tại số
0



thỏa mãn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18

0
'( ) [ '( ) ''( )( , ) 2 ] ( ).g x x g x z g x y y w K g x

    

Vậy ta có

0
'( )( / ) ''( )( , ) 2 ( ( )) /
2 ( ) ( ( ))
2 ( ),

g x z x g x y y w K g x
K y cone K g x
Ky

    
  


trong đó bao hàm thức sau suy ra từ bổ đề 1.3.3.
Hơn nữa, theo (1.3.13) và (1.3.14) ta có
0
'( )( ) ''( )( , ) 0
x
h x z h x y y

  

Do đó
02
/ ( )z x L y



Bây giờ ta tính
 
*
22
( ( )) à | ( )L y v L y



.
Bổ đề 1.3.6.
Giả sử điều kiện Mangasarian-Fromovitz thỏa mãn và
()Ky
khác
rỗng. Lấy
*
2
( ( )).x L y
Khi đó tồn tại
* * * *
àv V v w W
thỏa mãn

* * * * *
'( ) '( ) ,x g x v h x w
(1.3.15)

* * * * * *
2
( | ( )) 2 ( | ( )) , ''( )( , ) , ''( )( , )x L y v K y v g x y y w h x y y

  
,
(1.3.16)

* 0 * *
, , ( ) 0, , '( ) 0v K v g x v g x y  
. (1.3.17)
Chứng minh

Từ bổ đề (1.3.5) ta suy ra
2
()Ly
khác rỗng. Lấy
*
( ( ))x P y
, đặt
**
2
( | ( ))x L y


.
Khi đó

là hữu hạn và hệ sau không có nghiệm z:
*
2
, à ( )x z v z L y


.
Vì vậy,
(0,0,0) VW   
không thuộc tập lồi sau
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19

*

'( ) ''( )( , ) 2
: '( ) ''( )( , ) : ( ), , 0 .
,
g x z g x y y k
A h x z h x y y k K y z X
xz








    










Từ giả thit và bao hàm thức
( , ) cone(cone( ) ) ( , )K u v K u v K u v   

ta suy ra
()Ky

có phần trong khác rỗng. Do đó A có phần trong khác
rỗng. Như vậy tồn tại
* * *
,àv V w W v  


không đồng thời bằng
không thỏa mãn

* * *
*
( , ) , '( ) ''( )( , ) 2
, '( ) ''( )( , ) 0, , ( ) à 0
x z v g x z g x y y k
w h x z h x y y z X k K y v
  

    
      
(1.3.18)
Như vậy ta có

*
0


, (1.3.19)

* * * * * *
'( ) '( ) 0x g x v h x w


  
, (1.3.20)

* * * * *
, ''( )( , ) , ''( )( , ) 2 ( | ( ))v g x y y w h x y y v K y
  
   
. (1.3.21)
Do đó
*
( ( ))v K y
. Như vậy theo bổ đề 1.3.4 thì
*
v
thỏa mãn (1.3.17)
Giả sử
*
0


. Khi đó

* * * *
'( ) '( ) 0g x v h x w
. (1.3.22)
Lấy
0
xX
thoả mãn

0
( ) '( ) intg x g x x K
và
0
'( ) 0h x x 
.
khi đó theo (4.22) ta có

* * * * *
00
0 '( ) '( ) , , '( )g x v h x w x v g x x  
. (1.3.23)
Do điểm
0
x
thỏa mãn điều kiện trên nên tồn tại
0


thỏa mãn

0
'( ) ( )g x x B K g x

  
. (1.3.24)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20

Lấy
0
v
là một phần tử của K(y) sao cho thỏa mãn

00
'( ) ( ) ( ( )) ( ), 0,v g x x B K y K g x K y
   
       

Trong đó bao hàm thức thứ 2 suy ra từ bổ đề 1.3.3. Do đó,

* * * * * *
00
* * *
0
( | ( )) , , '( ) ( | )
, ( | ) 0, 0,
v K y v v v g x x v B
v v v B
  
 
  
    

(trong đó đẳng thức cuối cùng suy ra từ (1.3.23)).
Khi đó, ta có
**
( | ) 0vB



, và do đó,
*
0v 
.
Kt hợp (1.3.22) và
*
0v 
ta có

**
'( ) 0h x w 
. (1.3.25)
Từ (1.3.25) cho ta
*
0w 
bởi vì
'( )hx
là ánh xạ lên. Điều này mâu thuẫn
với
***
( , , ) (0,0,0)vw


. Vậy
*
0


.

Chia hai v của (1.3.20) và (1.3.21) cho
*


ta được

* * * * *
'( ) '( ) ,x g x v h x w
(1.3.26)

* * * * * *
2
( | ( )) ( | ( )) , ''( )( , ) , ''( )( , ) ,x L y v K y v g x y y w h x y y

   
(1.3.27)
trong đó
**
**
**
;
vw
vw




Từ (1.3.26), (1.3.27) và định nghĩa của
()Ky
ta có

* * *
* * *
2
, , '( ) , '( )
( | 2 ( ) ''( )( , )) , ''( )( , ) , ( ).
x z v g x z w h x z
v K y g x y y w h x y y z L y


    

Từ đó suy ra

* * * * *
2
( | ( )) ( |2 ( ) ''( )( , ) , ''( )( , )x L y v K y g x y y w h x y y

  
.
Kt hợp (1.3.27) và bất đẳng thức trên ta có (1.3.16) 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21
Định lý 1.3.1
Cho
x
là cực tiểu địa phương của bài toán (P). Giả sử điều kiện
Mangasarian-Fromovitz thỏa mãn. Khí đó, với mỗi phương tới hạn y
thỏa mãn

()Ky
, (1.3.28)
tồn tại
* * * *
àv V v w W
thỏa mãn

* * * *
'( ) '( ) '( ) 0f x g x v h x w  
, (1.3.29)

* * * *
''( )( , ) , ''( )( , ) , ''( )( , ) 2 ( | ( )) 0f x y y v g x y y w h x y y v K y    
,
(1.3.30)

* * *
, , ( ) 0, , '( ) 0.v K v g x v g x y  

(1.3.31)
Chứng minh
Nu
'( ) 0fx
thì
()Py
khác rỗng. Theo bổ đề 1.3.5 và (1.3.28) thì
2
()Ly
cũng khác rỗng. Hơn nữa, theo định lý 1.2.2 thì

2
( ) ( )P y L y  
(1.3.32)
Kt hợp bổ đề 1.3.1, bổ đề 1.3.2 và (1.3.32) ta có

2
'( ) ( ( )),f x L y 
(1.3.33)

*
2
''( )( , ) ( '( )| ( )) 0f x y y f x L y   
(1.3.34)
Từ (1.3.33) và bổ đề 1.3.6 suy ra tồn tại
* * * *
àv V v w W
thỏa mãn

* * * *
'( ) '( ) '( ) 0f x g x v h x w  
, (1.3.35)

* * * * *
2
( ( )| ( )) 2 ( | ( )) , ''( )( , ) , ''( )( , )f x L y v K y v g x y y w h x y y     
,
(1.3.36)

* * *

, , ( ) 0, , '( ) 0v K v g x v g x y  

. (1.3.37)
Kt hợp (1.3.34) và (1.3.36) ta có (1.3.30).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22
Giả sử

'( ) 0 à ''( )( , ) 0f x v f x y y
.
Khi đó
()P y X
.
Bởi vì
2
( ) ( )P y L y  
,
2
()Ly
cũng rỗng. Từ bổ đề 1.3.5 ta suy ra K(y)
cũng rỗng. Điều đó trái với (1.3.28). Do đó
''( )( , )f x y y
không âm. Vì vậy
(1.3.29), (1.3.30) và (1.3.31) được thỏa mãn bởi
**
( , ) (0,0)vw

Nhắc lại định nghĩa các phương tới hạn:
'( ) 0, '( ) cone( ( )), '( ) 0f x y g x y K g x h x y   

.
Khi hạn ch định lý 1.3.1 đối với các phương tới hạn thỏa mãn
'( ) cone( ( ))g x y K g x
,
ta nhận được dạng khả vi của các kt quả của Ben-Tal và Zowe [4].
Để chứng minh khẳng định này ta cần bổ đề 1.3.7 sau:
Bổ đề 1.3.7
Cho
à cone( ).u K v v K u  
Khi đó,
( , ) cone(cone( ) )K u v K u v  
.
Chứng minh
Bao hàm thức
( , ) cone(cone( ) )K u v K u v  
đã được chứng minh
trong bổ đề 1.3.3
Do đó ta chỉ cần chỉ ra rằng

cone(cone( ) ) ( , )K u v K u v  
,
bởi vì
( , )K u v
đóng.
Lấy
cone(cone( ) )w K u v  
.
Khi đó, tồn tại
0, 0



và
kK
thỏa mãn
w k u v

  
.
Theo giả thit, tồn tại
0 à 'v k K


thỏa mãn
'v k u


.
Vì vậy , với mỗi



ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

23

22
22
( ) ( )
( ) ( ) ' .

w k u v u v
k u k u v
     
       
      
        

Chọn
1
0


sao cho

2
0 à 0v
     
     
,
với mọi
1


. Đặt
( ) 0s


và

2

11
( ) ( ) ( ) 'k s k u k
s s s

  
      

với bất kỳ
1
1
0 s


. Đặt
( ) 0ks
và
2
11
( ) ( ) ( ) 's k u k
s s s

   
      
,
với bất kỳ
1
1
s



. Khi đó,

2
( ) ( )
uv
w k s s B
ss

   
, với mọi
0s 
.
Do đó
( , )w K u v

Hệ quả 1.3.1
Lấy
x
là cực tiểu địa phương của bài toán (P). Giả sử điều kiện
Mangasarian-Fromovitz thỏa mãn. Khi đó, với phương tới hạn bất kỳ y
thỏa mãn:

'( ) ( ( ))g x y cone K g x
, (1.3.38)
tồn tại
* * *
*àv V v w W
sao cho

* * * *

'( ) '( ) '( ) 0f x g x v h x w  
, (1.3.39)

**
''( )( , ) , ''( )( , ) , ''( )( , ) 0f x y y v g x y y w h x y y  
, (1.3.40)

* * *
, , ( ) 0, , '( ) 0v K v g x v g x y  

. (1.3.41)
Chứng minh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên