chuyên đề lượng giác và các bài toán liên quan - đặng văn cường
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.71 MB, 63 trang )
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
Chuyên đề
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 10,11,12 VÀLUYỆN THI ĐẠI HỌC
TRÌNH BÀY THEO BỐ CỤC:
PHÂN CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN LƯNG GIÁC
TRÌNH BÀY PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
VÍ DỤ CHO TỪNG DẠNG BÀI TẬP.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ.
NĂM 2014
t
N
M
K
O
Q
P
A
B
y
x
z
cotx
sinx
cosx
tanx
Chuyên đề Lượng Giác Trang
2
2
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
N NH
th qu:
1/
22
sin cos 1
2/
sin
tg
cos
3/
cos
cot g
sin
4/
2
2
1
1 tg
cos
5/
2
2
1
1 cotg
sin
6/
tg .cotg 1
c cng - tr:
1/
sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa
2/
sin(a - b) = sina.cosb -sinb.cosa
3/
cos(a + b) = cosa.cosb -sina.sinb
4/
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
5/
tga + tgb
tg(a + b) =
1- tga.tgb
6/
tga - tgb
tg(a - b) =
1+ tga.tgb
7/
cotga.cotgb -1
cotg(a + b) =
cotga + cotgb
cotgacotgb +1
8 / cotg(a - b) =
cotga - cotgb
1/
22
sin2a 2 sin a.cosa sin a cosa 1 1 sin a cosa
2/
2 2 2 2
cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a
3/
2
2tga
tg2a
1 tg a
4/
2
cot g a 1
cot g2a
2 cot ga
c
1/
3
sin 3a 3sin a 4 sin a
2/
3
cos3a 4 cos a 3 cosa
3/
3
3
3tga tg a
tg3a
1 3tg a
4/
3
2
cot g a 3cotga
cot g3a
3 cotg a 1
c h bc hai:
1/
2
2
2
1 cos2a tg a
sin a
2
1 tg a
2/
2
2
2
1 cos2a cot g a
cos a
2
1 cotg a
3/
2
1 cos2a
tg a
1 cos2a
4/
1
sin a cos a sin2a
2
tusachvang.net
Chuyên đề Lượng Giác Trang
3
3
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
c h bc ba:
1/
3
1
sin a 3 sina s in3a
4
2/
3
1
cos a 3 cos a cos 3a
4
c biu din
sin x,cos x, tgx
qua
tgx
t
2
:
1/
2
2t
sin x
1t
2/
2
2
1t
cos x
1t
3/
2
2t
tgx
1t
4/
2
1t
cot gx
2t
c bing:
1/
1
cos .cos cos cos
2
a b a b a b
2/
1
sin .sin cos cos
2
a b a b a b
3/
1
sin .cos sin sin
2
a b a b a b
c bii t
1/
a b a b
cos a cos b 2 cos .cos
22
2/
a b a b
cos a cos b 2 sin .sin
22
3/
a b a b
sin a sin b 2 sin .cos
22
4/
a b a b
sin a sin b 2 cos .sin
22
5/
sin(a + b)
tga + tgb =
cosa.cosb
6/
sin(a - b)
tga - tgb =
cosa.cosb
7/
sin(a + b)
cotga + cotgb =
sina.sinb
8/
-sin(a - b)
cotga - cotgb =
sina.sinb
9/
cos(a - b)
tga + cotgb =
cosa.sinb
10/
2
tga cot ga
sin2a
tusachvang.net
Chuyên đề Lượng Giác Trang
4
4
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
11/
cos(a + b)
cotga - tgb =
sina.cosb
12/
cotga tga 2cotg2a
cc bit:
1/ Góc đối: 2/ Góc bù: 3/ Góc sai kém :
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
aa
aa
aa
aa
cotcot
tantan
coscos
sinsin
aa
aa
aa
aa
cotcot
tantan
coscos
sinsin
4/ Góc phụ:
aa
aa
aa
aa
tan
2
cot
cot
2
tan
sin
2
cos
cos
2
sin
5) Góc sai kém
2
:
aa
aa
aa
aa
tan
2
cot
cot
2
tan
sin
2
cos
cos
2
sin
XI. B c c bit:
Góc
Hàm số
0
0
0
6
0
30
4
0
45
3
0
60
2
0
90
sin
0
1/ 2
2 / 2
3 / 2
1
cos
1
3 / 2
2 / 2
1/ 2
0
Tan
0
3 / 3
1
3
||
cot
||
3
1
3 / 3
0
c nghim:
1.
2
sin sin ,
2
x a k
x a k
x a k
2.
2
cos cos ,
2
x a k
x a k
x a k
3.
tan tan ,x a x a k k
4.
cot cot ,x a x a k k
XVI: Mt s nghic bit :
sin 0x x k
kxx
2
0cos
2
2
1sin kxx
21cos kxx
2
2
1sin kxx
21cos kxx
XVII : Mt s c bit :
tusachvang.net
Chuyờn Lng Giỏc Trang
5
5
12 LUYN THI
0908.77 2324 0169.9249 686 Email:
1/ sin cos 2sin
4
2 / sin cos 2 sin
4
x x x
x x x
3/ cos sin 2 cos
4
4 / cos sin 2 cos
4
x x x
x x x
4 4 2
1
5/ sin cos 1 sin 2
2
x x x
6/
6 6 2
3
sin cos 1 sin 2
4
x x x
Vaỏn ủe 1 : BIEN ẹOI LệễẽNG GIAC
: Chng minh cỏc ng thc sau :
1)
2 2 2 2
tan sin tan .sinx x x x
2)
tan sin
cos
sin cot
xx
x
xx
3)
2
2
2
1 sin
1 2tan
1 sin
x
x
x
4)
2
2
2
1 cos
1 2cot
1 cos
x
x
x
5)
22
2
22
2(cos sin )
sin 2
cot tan
xx
x
xx
6)
2
2 2 2
1 tan 1
1 tan cos sin
x
x x x
7)
(sin cos 1)(sin cos 1) 2sin .cosx x x x x x
8)
2
1 2cos
tan cot
sin .cos
x
xx
xx
9)
2 2 2 2
sin (1 cot ) 3(1 tan )cos 2x x x x
10)
cos 1
tan
1 sin cos
x
x
xx
11)
2 2 2 4
cos (2sin cos ) 1 sinx x x x
12)
2
1 2sin 1 tan
1 2sin cos 1 tan
xx
x x x
13)
4 4 2
cos sin cos (1 tan )(1 tan )x x x x x
14)
2
2
1 (sin cos )
2cot
tan sin .cos
xx
x
x x x
15)
2
22
1 1 cos
tan .cot
cos 1 sin
x
xx
xx
16)
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
xx
x x x
17)
2 2 4 2
tan sin sin (1 tan )x x x x
18)
2
2
tan cot 1
.1
cot
1 tan
xx
x
x
19)
2
1 cos 1 cos
4cos (1 cot )
1 cos 1 cos
xx
xx
xx
20)
sin 1
cot
1 cos sin
x
x
xx
: Rỳt gn gn biu thc :
1) A = cos
2
x + cos
2
x.tg
2
x 2) B = sin
2
x.cotg
2
x + sin
2
x
tusachvang.net
Chuyên đề Lượng Giác Trang
6
6
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
3) C =
2
2cos 1
sin cos
x
xx
4) D =
2
2sin 1
sin cos
x
xx
5) E =
22
sin (1 cot ) cos (1 tan )x x x x
6) F =
2
2
2
1 sin
2tan
1 sin
x
x
x
7) G =
2 2 2 2
cos (1 tan ) sin (1 cot )x x x x
8) H =
11
cot cot
sin sin
xx
xx
9) K =
2 2 2 2 2
cos (1 sin .tan cos .tan )x x x x x
10) L =
2
22
2
4tan
1 cos 3sin
1 tan
x
xx
x
: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x:
1) A = 2(cos
6
x + sin
6
x) – 3(cos
4
x + sin
4
x) 2) B =
xcos.xsin
xtg
22
2
- (1 + tg
2
x)
2
3) C =
tgx
xcos
gxcot
xsin
11
22
+ sinx.cosx 4) D =
gxcot
xcos.xsin
xgcot
xcosxgcot
2
22
5) E = 3(sin
8
x – cos
8
x) + 4(cos
6
x - 2sin
6
x) + 6sin
4
x 6) F =
2
22
tan 1 cot
.
tan 1 cot
xx
xx
7) G = 2(sin
4
x + cos
4
x + sin
2
x.cos
2
x)
2
– sin
8
x – cos
8
x 8) H =
22
22
1 sin cos
sin .cos
xx
xx
9) K =
4 4 2 2
(sin cos 1)(tan cot 2)x x x x
10) L =
2 2 2 2
22
tan cos cot sin
sin cos
x x x x
xx
: Chứng minh các đẳng thức sau:
1)
00
00
1 tan(90 ) tan(180 ) 1
1 cot(360 ) cot(270 ) 1
xx
xx
2)
00
00
cot(270 ) cot(360 ) 1
.1
1 tan(180 ) cot(180 )
xx
xx
3)
0 0 0
6
sin15 tan30 cos15
3
4)
0
0
1 1 4
cos290
3sin250 3
5)
0 0 0 0 0
8
tan30 tan40 tan50 tan60 cos20
3
6)
2 4 6 1
cos cos cos
7 7 7 2
: Chứng minh trong tam giác ABC:
1)
sinA sin sin 4cos .cos .cos
2 2 2
A B C
BC
2)
sin2A sin2 sin2 4sinA.sin .sinB C B C
3)
cos2A cos2 cos2 1 4cos .cos .cosB C A B C
4)
cos cos cos 1 4sin .sin .sin
2 2 2
A B C
A B C
5)
2 2 2
sin A+sin sin 2 2cos .cos .cosB C A B C
tusachvang.net
Chun đề Lượng Giác Trang
7
7
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
: Chứng minh rằng tam giác ABC là vuông hoặc cân khi và chỉ khi:
BbAaAbBa sinsincoscos
: Chứng minh rằng trong tam giác ABC thoả mãn điều kiện sau:
Cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0 thì tam giác đó là tam giác vuông.
: Gọi A,B,C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác
ABC đều là có hệ thức:
3)cotcot(cot
sin
1
sin
1
sin
1
CBA
CBA
9: Các góc A, B,C của tam giác ABC thoả mãn:
2
sin2
2
sin
2
sin2sinsinsin
CBA
CBA
Chứng minh rằng C = 120
0
.
10: Tam giác ABC thoả mãn hệ thức:
2
1coscoscos
cba
CcBbAa
Chứng minh tam giác này là tam giác đều.
11: Cho tam giác ABC có hệ thức sau:
CB
a
C
c
B
b
sinsincoscos
. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
12: Chứng minh rằng tam giác ABC là vuông hoặc cân khi và chỉ khi:
BbAaAbBa sinsincoscos
Chứng minh rằng tam giác ABC là vuông hoặc cân.
Vấn đề 2 : ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
tusachvang.net
Chuyên đề Lượng Giác Trang
8
8
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
:
Đối với phương trình chỉ chứa sinx hoặc cosx thì không đặt điều kiện.
Đặt điều kiện đối với phương trình chứa
tan x
và
cot x
:
- Phương trình chứa
tan x
thì đặt điều kiện :
cos 0 ,
2
x x k k
.
- Phương trình chứa
cot x
thì đặt điều kiện :
sin 0 ,x x k k
.
Đặt điều kiện đối với phương trình chứa mẫu thức. Điều kiện mẫu khác 0.
Đặt điều kiện đối với phương trình chứa căn thức. Điều kiện biểu thức bên trong căn lớn hơn bằng 0.
Nếu căn dưới mẫu điều kiện lớn hơn 0.
Nếu phương trình chứa đồng thời các yếu tố trên thì đặt điều kiện cho tất cả các điều kiện đó.
GII
a)
sin tan 0xx
Điều kiện :
cos 0 ,
2
x x k k
b)
2cos2 3cot2 0xx
Điều kiện :
sin2 0 2 , .
2
k
x x k x k
GII
a)
1 sin
tan 0
cos tan 1
x
x
xx
Điều kiện :
cos 0
2
,
tan 1
4
xk
x
k
x
xk
b)
22
sin2 cos
0
tan 1 sin
xx
xx
1: Đặt điều kiện cho các phương trình lượng giác sau:
a)
sin tan 0xx
b)
2cos2 3cot2 0xx
2: Tìm điều kiện xác định các phương trình lượng giác sau:
a)
1 sin
tan 0
cos tan 1
x
x
xx
b)
22
sin2 cos
0
tan 1 sin
xx
xx
tusachvang.net
Chun đề Lượng Giác Trang
9
9
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
Điều kiện :
sin 0
,
cos 0
2
2
xk
x
k
xk
x
xk
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tìm tập xác định các phương trình lượng giác sau :
1)
1
tan2 cos 0
sin2 1
xx
x
2)
44
sin cos 1
tan cot
sin2 2
xx
xx
x
3)
3
2
1
tan 1 3cot 3
2
cos
xx
x
4)
1
sin2 0
cot 2
x
x
5)
1
tan sin2 cos2 2(2cos ) 0
cos
x x x x
x
6)
(tan cot )sin
0
2cos 3
x x x
x
7)
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
1 tan 2
x
x x x
x
8)
x
xx
xx
sin22
coscot
)cot(cos3
9) 3(cotgx – cosx) – 5(tgx –sinx) = 2. 10)
2
tan2 cot 8cosx x x
Vấn đề 3 : HÀM SỐ LƯNG GIÁC
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
tusachvang.net
Chuyên đề Lượng Giác Trang
10
10
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
I. :
1. Hàm số sinx :
sin:
sinx y x
Tập xác định của hàm số
sinyx
là
D
.
Hàm sin là hàm lẻ.
Hàm sin là hàm số tuần hoàn chu kỳ 2.
Tập giá trị của hàm số
sinyx
là đoạn [-1 ;1].
2. Hàm số cos :
cos:
cosx y x
Tập xác định của hàm số
cosyx
là
D
.
Hàm cos là hàm chẵn.
Hàm cos là hàm số tuần hoàn chu kỳ 2.
Tập giá trị của hàm số
cosyx
là đoạn [-1 ;1].
3. Hàm số tan :
Hàm số tan là hàm số được xác định bởi công thức :
sin
(cos 0)
cos
x
yx
x
.
Ký hiệu là :
tanyx
.
Tập xác định của hàm số
tanyx
là
\,
2
D k k
.
Hàm tan là hàm lẻ.
Hàm tan là hàm số tuần hoàn chu kỳ .
Tập giá trị của hàm số
tanyx
là R.
4. Hàm số cot :
Hàm số tan là hàm số được xác định bởi công thức :
cos
(sin 0)
sin
x
yx
x
.
Ký hiệu là :
cotyx
.
Tập xác định của hàm số
cotyx
là
\,D k k
.
Hàm cot là hàm lẻ.
Hàm cot là hàm số tuần hoàn chu kỳ .
Tập giá trị của hàm số
cotyx
là R.
II. LN NHT TR NH NHT C :
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác ta dựa vào miền
giá trị của hàm số đó :
- Hàm
sinyx
là đoạn [-1,1].
tusachvang.net
Chuyên đề Lượng Giác Trang
11
11
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
- Hàm
cosyx
là đoạn [-1,1].
Ngoài ra chúng ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hàm số và khảo sát sự biến
thiên hàm số đó trên miền xác định cụ thể và tìm GTLN, GTNN trên miền giá trị đề bài.
GII
a)
2 3sinyx
Ta có:
1 sin 1
3 3sin 3
1 2 3sin 5
15
x
x
x
y
Vậy
[ 1,1]
max 5y
tại
sin 1 2 , .
2
x x k k
[ 1,1]
min 1y
tại
sin 1 2 ,
2
x x k k
.
b)
2
cos 2yx
Ta có:
2
2
2
0 cos 1
2 cos 2 3
2 cos 2 3
23
x
x
x
y
Vậy
[ 1,1]
ax 3my
tại
cos 1 2 ,x x k k
[ 1,1]
min 2y
tại
cos 0 ,
2
x x k k
.
1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số lượng giác sau:
a)
2 3sinyx
b)
2
cos 2yx
2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số :
xxxf
44
cossin)(
tusachvang.net
Chuyên đề Lượng Giác Trang
12
12
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
GII
*
xxxxxxxxf 2sin
2
1
1cossin2cossincossin)(
222
2
2244
* Ta có:
2
1
2sin
2
1
11
2
1
2sin
2
1
012sin0
222
xxx
2
1
)(min xf
khi
24
12sin
2
kxx
1)(max xf
khi
2
02sin
2
kxx
GII
* Ta có:
xxy cos42sin2'
* Cho
0cos2cossin20cos42sin20' xxxxxy
0cossincos2 xxx
kx
kx
x
x
4
2
0)
4
sin(
0cos
* Vì
2
;0
x
nên nhận nghiệm:
2
,
4
xx
* Tính:
x
0
4
2
f(x)
1
22
3
* Vậy
3)(max
2
;0
xf
khi
2
x
,
1)(min
2
;0
xf
khi x = 0.
4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
1sin2sin2
2
xxy
Gii:
* Đặt t = sinx, ta có x R t [-1; 1]
3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số :
xxy sin42cos
trên đoạn
0;
2
tusachvang.net
Chuyên đề Lượng Giác Trang
13
13
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của hàm số:
122)(
2
tttg
với t [-1;1]
Hàm số
122)(
2
tttg
liên tục trên [-1;1].
1;1
2
1
0240)('24)(' tttgttg
Ta có: g(1) = 3; g(-1) = -1; g(- ) = - 3/2
Vậy:
2
3
)(minmin
1;1
tRx
tgy
khi
2
3
t
tức là:
2
6
7
2
6
kx
kx
(k Z)
3)(maxmax
1;1
tRx
tgy
khi t = 1 tức là
2
2
kx
(k Z)
5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
xxxf cos1sin1)(
Gii:
Do sinx [-1;1], x R, cosx [-1;1], x R.Nên hàm số đã cho xác định trên R.
Mặt khác ta dễ dàng nhận thấy
xxf ,0)(
R
Xét hàm số:
xxxxxxxfxg cossincossin12cossin2)()(
2
Ta sẽ tìm GTLN, GTNN của g(x) trên R.
Đặt t = sinx + cosx =
2,2,
4
sin2
tx
Bài toán tìm GTLN, GTNN của g(x) trên R trở thành tìm GTLN, GTNN của h(t) trên
2,2
Với
122)( ttth
trên
2,2
Ta có:
2,1),1(22
1,2),1(22
)(
ttt
ttt
th
Từ đó suy ra:
2,1,21
1,2,21
)('
t
t
th
Đạo hàm của h(t) tại t = -1 không tồn tại.
Hàm số y = h(t) liên tục trên
2,2
Ta có:
224)2(,1)1(,224)2( hhh
224)(1224)(1224)(1 xfxgth
(vì f(x) 0,xR)
Vậy
1)(min
Rx
xf
đạt được chẳn hạn
2
x
,
1)(max
Rx
xf
đạt được chẳn hạn
4
x
tusachvang.net
Chun đề Lượng Giác Trang
14
14
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
3cossin2
1cos3sin2
xx
xx
y
Gii:
3cossin2
1cos3sin2
xx
xx
y
trên R
13sin)22(cos)3(
1cos3sin23cossin2
yxyxy
xxyxyxy
Điều kiện có nghiệm x R
222222
)13()22()3( yyycba
1301284
2
yyy
Vậy maxy = 1 ; miny = - 3.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1)
xxy cossin
2)
xxy 2sin2cos
3)
xy 2cos2
2
4)
4 2sinyx
5)
2 cos 1 1yx
6)
3 5 sinyx
7)
2
sin 3yx
8)
22
sin .cosy x x
9)
2
sin2 1
y
x
10)
2
cos 4yx
2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1)
2sin cos
sin 2cos 4
xx
y
xx
2)
cos 2sin 3
2cos sin 4
xx
y
xx
3)
2
2
cos sin cos
1 sin
x x x
y
x
4)
3sincos2
3sin2cos
xx
xx
y
5)
3sinsin
2sin
2
xx
x
y
6)
xxxxy
22
cos5cossin3sin2
Vấn đề 4 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản
1: Giải các phương trình :
a)
1
sin
2
x
b)
2cos2 3 0x
c)
tan3 1x
d)
3cot 3x
tusachvang.net
Chuyên đề Lượng Giác Trang
15
15
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
GII
a)
1
sin sin sin
26
xx
2
6
,
5
22
66
xk
k
x k k
b)
3
2cos2 3 0 cos2
2
xx
12
cos2 cos ,
6
12
xk
xk
xk
c)
tan3 1x
(1)
Điều kiện :
cos3 0
63
k
xx
(*)
Với điều kiện trên phương trình (1) tương đương :
tan3 1 tan3 tan
4
,
12 3
xx
k
xk
So với điều kiện (*) phương trình đã cho có nghiệm :
,
12 3
k
xk
d)
3cot 3 (1)x
Điều kiện :
sin 0 ,x x k k
3
(1) cot cot cot ,
3 3 3
x x x k k
So với điều kiện phương trình có nghiệm :
,
3
x k k
GII
2: Giải phương trình lượng giác:
a)
sin cos 2 0
43
xx
b)
cos sin 0
3
xx
tusachvang.net
Chuyên đề Lượng Giác Trang
16
16
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
a)
sin cos 2 0
43
xx
sin cos 2
43
sin sin 2
4 2 3
xx
xx
5
sin sin 2
46
5
22
46
5
22
46
xx
x x k
x x k
13
2
12
,
52
36 3
xk
k
k
x
b)
cos sin 0
3
xx
cos sin
3
cos cos
23
xx
xx
cos cos
6
xx
2
6
2
6
,
12
x x k
x x k
x k k
GII
1
sin2
1
2
2 sin2 1 sin2
1
2
sin2
2
x
xx
x
22
6
12
5
22
6
12
, .
22
6 12
7
22
12
6
xk
xk
xk
xk
k
x k x k
xk
xk
3: Giải phương trình lượng giác:
4 sin2 1x
tusachvang.net
Chun đề Lượng Giác Trang
17
17
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau:
1)
3
sin2
2
x
2)
0
2
2
)
6
2cos(
x
3) tan(x+75
0
) =
3
4) cot(2x +15
0
) =
3
3
5)
12cos2 x
6)
1
cot
4
3
x
7)
cos 3sinxx
8)
3tan 1 0x
9)
1
cot 4 0
2
x
10)
2cos(2 1) 1x
: Giải các phương trình lượng giác sau:
1)
3
cos 2 sin
42
xx
2) sin(2x +50
0
) = cos(x + 120
0
)
3) cos(3x) – sin(4x) = 0 4)
cot 2 cot
4
xx
5)
tan cot 0
5
xx
6) cos(110
0
– 4x) + sin(x – 80
0
) = 0
7)
3
cos 2 sin
42
xx
8) tan(5x) = cotx
9)
sin3 cos2xx
10)
sin( ) cos(2 )
32
xx
: Giải các phương trình lượng giác sau:
1)
2
1
sin
2
x
2)
2
tan 2 3 0
3
x
3)
20
3
cos 30
4
x
4)
2
1
2
1
sin x
1
5) cos2 1
2
x
6) tan 2 2x
4 : Giải các phương trình lượng giác sau:
1)
sin 2.cos 2 .tan 0
4
x x x
2)
1 2.cos2 3 2sin 0xx
3) sin 1 4sin cos 1 0x x x
4)
cot2 . 2tan sin2 0x x x
tusachvang.net
Chun đề Lượng Giác Trang
18
18
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
Dạng 2: Phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác
Ph: Đưa phương trình lượng giác về phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác
0sinsin
2
cxbxa
(*)
Đặt t = sinx, điều kiện - 1
t
1
Phương trình (*) trở thành :
0
2
cbtat
GII
Phương trình đã cho tương đương :
2
2
2 1 sin 5sin 4 0
33
2sin 5sin 2 0
33
xx
xx
1
sin
32
sin 2
3
x
x
Vì
1 sin 1x
nên phương trình nhận nghiệm :
2
2
1
36
6
sin ,
32
2
2
36
2
xk
xk
xk
xk
xk
GII
Phương trình đã cho tương đương :
2
2
5
2cos 1 4cos 0
2
4cos 8cos 3 0
xx
xx
4: Giải phương trình lượng giác sau:
2
2cos 5sin 4 0
33
xx
5: Giải phương trình lượng giác:
5
cos2 4cos 0
2
xx
tusachvang.net
Chun đề Lượng Giác Trang
19
19
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
3
cos
2
1
cos
2
x
x
Vì
1 cos 1x
nên phương trình đã cho nhận nghiệm :
1
cos 2 , .
23
x x k k
BÀI TẬP ÁP DỤNG
: Giải phương trình lượng giác
1)
2
2sin 3sin 1 0xx
2)
2
2cos cos 1 0xx
3)
2
2sin 5cos 1 0xx
4)
05xsin5xcos6
2
5)
01xtan2xtan
2
6)
01x2cot)13(x2cot3
2
7)
22
sin x 3sinx cos x 1 0
8)
22
2cox x 4cosx 3sin x 2 0
9)
2
2sin x 5cosx 4 0
10)
2
cos 2x 3sin2x 3 0
: Giải phương trình lượng giác
1)
04
3
xsin4
3
xcos2
2
2)
2
5
x2sinxsinxcos
44
3)
1xsin2
2
x
sin
2
x
cos
44
4)
4xcotxtan3
5)
4
1
xsinxcos
24
6)
0x2
2
cosxcosxsin4
66
: Giải phương trình lượng giác
1)
cos2 3sin 2xx
2)
cos2 cos 1 0xx
3)
22
3
sin 2 2cos 0
4
xx
4)
2
1
cos2 sin sin
4
x x x
Dạng 3: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Ph: Phương trình có dạng:
sin cos 0a x b sx c
(*)
Chia phương trình (*) cho
22
ba
, phương trình (*) trở thàn
222222
cossin
ba
c
x
ba
b
x
ba
a
sinsin x
; với
222222
sin;sin;cos
ba
c
ba
b
ba
a
điều kiện phương trình có nghiệm:
11
22
ba
c
tusachvang.net
Chuyên đề Lượng Giác Trang
20
20
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
GII
a) Chia 2 vế phương trình (1) cho 2, ta được:
31
(1) sin2 cos2 1
22
cos sin2 sin cos2 1
66
sin 2 1 2 2
6 6 2 6
xx
xx
x x k x k
Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm:
,
6
x k k
b) Chia 2 vế phương trình (2) cho
2
11
(2) cos sin 1
33
22
xx
sin os os sin 1
4 3 4 3
c x c x
sin 1
43
x
7 7 13
sin 1 2 2 ,
12 12 2 12
x x k x k k
GII
cos3 sin2 3 cos2 sin3x x x x
3sin3 cos3 3cos2 sin2 (1)x x x x
Chia 2 vế phương trình (1) cho 2, ta được:
d 6: Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
3sin2 cos2 2xx
(1) b)
cos( ) sin( ) 2
33
xx
(2)
7: Giải phương trình lượng giác sau:
cos3 sin2 3 cos2 sin3x x x x
tusachvang.net
Chun đề Lượng Giác Trang
21
21
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
3 1 3 1
(1) sin3 cos3 cos2 sin2
2 2 2 2
cos sin3 sin cos3 sin cos2 os sin2
6 6 3 3
sin 3 sin 2
63
x x x x
x x x c x
xx
3 2 2
2
63
2
,
2
3 2 2
65
63
x x k
xk
k
k
x
x x k
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác
1) sinx + cosx = 1 2) 3cos2x – 4sin2x = 1.
3) sin6x +
3
cos6x = 2 4) Cosx – sinx = 0.
5)
3sin cos 2 0xx
6)
0x4sinx2sin2
2
7)
3sin cos 2xx
8)
2cos3 2sin3 1xx
Bài 2: Giải các phương trình lượng giác
1)
4cos3 3sin3 5 0xx
2)
2sin3 3cos7 sin7 0x x x
3)
2
(2sin cos )(1 cos ) sinx x x x
4)
cos5 sin3 3(cos3 sin5 )x x x x
5)
3
3sin 1 4sin 3cos3x x x
6)
44
3
2(cos sin ) sin4 2
2
x x x
Dạng 4: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx.
Ph: Phương trình có dạng:
0coscos.sinsin
22
xcxxbxa
(*)
* Xét trường hợp 1: cosx = 0
1sin
2
x
. Thay vào phương trình (*) kiểm tra cosx = 0 có là nghiệm
khơng .
Nếu cosx = 0 là nghiệm thì phương trình có nghiệm
kx
2
.
* Xét trường hợp 2:
0cos x
, chia 2 vế phương trình cho
x
2
cos
. Đưa phương trình về phương trình
bậc 2 đối với tanx.
8: Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
22
2sin sin cos cos 0x x x x
b)
2
2sin2 3cos 3sin cos 2 0x x x x
tusachvang.net
Chun đề Lượng Giác Trang
22
22
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
GII
a)
22
2sin sin cos cos 0x x x x
(1)
* Trường hợp 1: Kiểm tra
cos 0
2
x x k
có là nghiệm phương trình (1) khơng?
Với cosx = 0, ta có: VT = 2, VP = 0
VT VP
Vậy cosx = 0 khơng là nghiệm phương trình (1).
* Trường hợp 2: Với
cos 0
2
x x k
, chia 2 vế phương trình (1) cho
2
cos x
2
(1) 2tan tan 1 0
tan 1
4
,
1
1
tan
arctan
2
2
xx
xk
x
k
x
xk
b)
2
2sin2 3cos 3sin cos 2 0x x x x
2
2
4sin cos 3 os 3sin cos 2 0
7sin cos 3cos 2 0 (2)
x x c x x x
x x x
* Trường hợp 1: Kiểm tra
cos 0
2
x x k
có là nghiệm phương trình (2) khơng?
Với cosx = 0, ta có VT = -2, VP = 0
VT VP
Vậy cosx = 0 khơng là nghiệm phương trình (2).
* Trường hợp 2: Với
cos 0
2
x x k
, chia 2 vế phương trình (2) cho
2
cos x
2
2
(2) 7tan 3 2(tan 1) 0
2tan 7tan 5 0
xx
xx
tan 1
4
,
5
5
tan
arctan
2
2
xk
x
k
x
xk
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình sau:
tusachvang.net
Chuyờn Lng Giỏc Trang
23
23
12 LUYN THI
0908.77 2324 0169.9249 686 Email:
1) sin
2
x + 3sinxcosx + 2cos
2
x = 0 2) 12sin
2
x + 3sin2x 2cos
2
x = 2
3) 2sin
2
x 5sinxcosx 3cos
2
x = 2 4) 2sin
2
x + sinx.cosx 3cos
2
x = 0
5)
02xcosxsin3xcos3x2sin2
2
6)
1xcosx2sinxsin
22
7)
33
2cos 3cos 8sin 0x x x
8) sin
2
x(tanx 1) = cosx(5sinx cosx) 2
Daùng 5: Phửụng trỡnh ủoỏi xửựng ủoỏi vụựi sinx vaứ cosx
Phng phỏp: Phng trỡnh cú dng:
cxxbxxa cos.sin)cos(sin
(*)
t
2
1
cos.sincossin
2
t
xxxxt
, k:
2t
,
)
4
sin(2cossin
xxx
t
2
1
cos.sincossin
2
t
xxxxt
, k:
2t
,
)
4
sin(2cossin
xxx
GII
a)
(sin cos ) sin2 1 0x x x
(sin cos ) 2sin cos 1 0x x x x
(1)
t
2
1
cos.sincossin
2
t
xxxxt
, iu kin:
2t
,
)
4
sin(2cossin
xxx
2
(1) 1 1 0 ( 1) 0
0
1
t t t t
t
t
Vi
0 2sin 0 ,
4 4 4
t x x k x k k
Vi
0 2sin 1 2 2 ,
4 4 4 2
t x x k x k k
b)
3
sin cos 1 sin cosx x x x
(2)
t
2
1
cos.sincossin
2
t
xxxxt
, k:
2t
,
)
4
sin(2cossin
xxx
9: Gii cỏc phng trỡnh lng giỏc sau:
a)
(sin cos ) sin2 1 0x x x
b)
3
sin cos 1 sin cosx x x x
tusachvang.net
Chun đề Lượng Giác Trang
24
24
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
2
3 3 2
1
(2) 1 2 3 0
2
1
3
2
t
t t t
t
t
Với
1
1 2sin 1 sin
44
2
t x x
2
2
44
,
2
2
2
44
xk
xk
k
xk
xk
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình lượng giác sau:
1) 2(cosx + sinx) – 4sinxcosx = 2 2) 12(sinx – cosx) – 2sinxcosx –12 = 0
3) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 3 = 0 4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
5) sin
3
x + cos
3
x = 1 6) 3(sinx + cosx) = 2sin2x + 3
7)
01x2sinxcosxsin2
8)
1xcosxsin6xcosxsin
Vấn đề 5 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC.
Giải phương trình lượng giác trong các kỳ thì (trong đó có kỳ thi Đại Học) thường chúng ta tìm
cách đưa về dạng tích các phương trình lượng giác cơ bản và đi giải từng phương trình ở dạng tích đó
chúng ta đã biết cách giải ở trên. Sau đây chúng tơi sẽ trình bày một số cách để đưa về dạng tích đó.
Phương pháp 1: c tng th t:
(Nhận)
(Loại)
tusachvang.net
Chuyờn Lng Giỏc Trang
25
25
12 LUYN THI
0908.77 2324 0169.9249 686 Email:
1/
a b a b
cos a cos b 2 cos .cos
22
2/
a b a b
cos a cos b 2sin .sin
22
3/
a b a b
sin a sin b 2 sin .cos
22
4/
a b a b
sin a sin b 2 cos .sin
22
5/
sin a b
tga tgb
cos a.cos b
6/
sin a b
tga tgb
cos a.cos b
7/
sin a b
cot ga cot gb
sin a.sin b
8/
sin a b
cot ga cot gb
sin a.sin b
9/
cos a b
tga cotgb
cos a.sin b
10/
2
tga cot ga
sin2a
11/
cos a b
cot ga tgb
sin a.cos b
12/
cotga tga 2cotg2a
GII
Phng trỡnh ó cho tng ng:
sin sin5 sin3 cos cos5 cos3
2sin3 .cos2 sin3 2cos3 .cos2 cos3
sin3 2cos2 1 cos3 2cos2 1
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
2cos2 1 sin3 cos3 0
2cos2 1 0 (1)
sin3 cos3 0 (2)
x x x
x
xx
Gii (1):
1
2cos2 1 0 cos2 , .
23
x x x k k
Gii (2):
sin3 cos3 0 2sin 3 0 ,
4 12 3
k
x x x x k
* Kt lun: Vy phng trỡnh ó cho cú 3 h nghim:
,,
3 4 3
k
x k x k
.
BAỉI TAP AP DUẽNG
1: Gii phng trỡnh lng giỏc sau:
sin sin3 sin5 cos cos3 cos5x x x x x x
tusachvang.net
