Bài tập theo chuyên đề. Hàm số và các bài toán liên quan - hocmai
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (864.78 KB, 16 trang )
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BÀI TẬP VỀ NHÀ
(Chuyên đề khảo sát hàm số)
Câu I: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
(C)
I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)
I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận.
I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
M C
, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác
có diện tích bằng 1.
I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
M C
, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác
cân.
Câu II: Cho hàm số
1
m x m
y
x m
m
C
II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định.
II.2. Tiếp tuyến tại
m
M C
cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB
II.3. Cho điểm
0 0
M x , y
3
C
. Tiếp tuyến của
3
C
tại M
cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và
B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận.
Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất.
Câu III:
Cho hàm số
2 2
2 1 3
x mx m
y
x m
. Tìm tham số m để hàm số có:
1. Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
2. Hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông tại O
3. Hai điểm cực trị cùng với điểm M(0; 2) thẳng hàng.
4. Khoảng cách hai điểm cực trị bằng
10
m
.
5. Cực trị và tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX.
6. Cực trị và thỏa mãn:
2 3
CD CT
y y
.
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Page 2 of 16
Câu IV: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
(C)
Tìm m để (C) cắt đường thẳng
: 2 1
m
d y mx m
tại 2 điểm phân biệt A, B:
a. Thuộc 2 nhánh của đồ thị (C)
b. Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau
c. Thỏa mãn điều kiện
4 . 5
OAOB
Câu V: Cho hàm số
2
3 3
2 1
x x
y
x
(1)
a. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2
b. Tìm m để đường thẳng d:
2 3
y m x
và đường cong (1) cắt nhau tại A, B
phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB.
Câu VI:
Cho hàm số
1
m x m
y
x m
m
C
Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình:
a.
2
2 3
1 log
3
x
m
x
b.
2 3
2 1 0
3
x
m
x
Câu
VII: Cho hàm số
2
3 3
2 1
x x
y
x
(1)
a. Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min.
b. Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ.
Câu VIII: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
(C)
a. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục
tọa độ đạt GTNN
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Page 3 of 16
b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm
cận đạt GTNN
c. Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min.
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Page 4 of 16
HDG CÁC BTVN
Câu I: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
(C)
I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)
I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận.
I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
M C
, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác
có diện tích bằng 1.
I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
M C
, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác
cân.
HDG
Tập xác định:
1
\
2
D R
. Ta có:
2
3
' 0,
2 1
y x D
x
Bài 1:
Vì đường thẳng x = 2 không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua M (2; 3) có hệ
số góc k có dạng:
2 3
y k x
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:
2
1
2 3
2 1
3
2 1
x
k x
x
k
x
có nghiệm
Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:
2
2
1 3
2 3 7 4 4 0
2 1
2 1
x
x x x
x
x
: Vô nghiệm
Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua M đến (C)
Bài 2:
Hàm số có: TCĐ:
1
2
x
; TCN:
1
2
y
1 1
;
2 2
I
Vì đường thẳng
1
2
x
không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua
1 1
;
2 2
I
có hệ số góc k có dạng:
1 1
2 2
y k x
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Page 5 of 16
2
1 1 1
2 1 2 2
3
2 1
x
k x
x
k
x
có nghiệm
Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:
2
1 3 1 1 3 3
2 1 2 2 2 1 2 2 1
2 1
x
x
x x x
x
:Vô nghiệm
Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I đến (C)
Bài 3:
Gọi
0
0
1 3 1
;
2 4 2
M x C
x
. Tiếp tuyến tại M có dạng:
0
2 2
0 0 0 0
3 3 1 3 3 1
:
4 4 2 4 2 2
d y x x x
x x x x
Giả sử
Ox;
A d B d Oy
suy ra:
0 0
0
0
2 3
3
;0 ; 0;
3
x x
x
A B
x
OAB
vuông tạo O
2
0
1 2
. 3 1
2 3
OAB
S OAOB x
0 0
6 6 6
3
2 2
x x
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là:
3 4 6
20
40 12 6
y x
hay
3 4 6
20
40 12 6
y x
Bài 4:
Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là
1
k
. Gọi
0 0
;
M x y C
là tiếp điểm
- Nếu
0 0
2
0
3 1 3
1 1 2 1 3
2
2 1
k x x
x
Với
0 0
1 3 1 3
2 2
x y
tiếp tuyến là:
1 3
y x
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Page 6 of 16
Với
0 0
1 3 1 3
2 2
x y
tiếp tuyến là:
1 3
y x
- Nếu
2
0
2
0
3
1 1 2 1 3
2 1
k x
x
: Vô nghiệm
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là:
1 3
y x
và
1 3
y x
Câu II: Cho hàm số
1
m x m
y
x m
m
C
II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định.
II.2. Tiếp tuyến tại
m
M C
cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB
II.3. Cho điểm
0 0
M x , y
3
C
. Tiếp tuyến của
3
C
tại M
cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và
B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận.
Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất.
HDG
Bài 1:
Gọi
0 0
;
M x y
là điểm cố định của hàm số
0
0
0
1
;
m x m
y m
x m
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
1 0;
1 0 0
0 1
m x y x x y m
x y x
x x y y
Với
0; 1
M
, tiếp tuyến tại M là:
' 0 1 1
y y x x
Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định
1
y x
tại
0; 1
M
.
Bài 2:
Ta có:
2
1
m
y m
x m
TCĐ:
x m
và TCN:
1
y m
Gọi
2
; 1 , 0
m
m
M a m m C a
a
. Tiếp tuyến tại M có dạng:
2 2 2
2
: ' 1 1
m m m
d y y a m x a m m x a m m
a a a
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Page 7 of 16
Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:
2
2
2 ; 1 ; ; 1
m
A a m m B m m
a
Nhận thấy
2
2
A B M
A B M
x x x
y y y
M là trung điểm của AB (đpcm)
Bài 3:
Điểm
3
9 9
: 2 3 ;2
3
M C y M
x
Phương trình tiếp tuyến của M có dạng:
2 2
9 18 27
: 2y x
Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:
18
2 3;2 ; 3;2A B
a
Vì I là giao điểm của 2 tiệm cận nên
3;2
I
+
IAB
vuông tại I nên:
1 1 18
. . . 2 . 18
2 2
IAB
S IA IB
(đvdt)
+ Chu vi tam giác IAB là:
2
2
18 18
2 4p IA IB AB
2
2
18 18
2 2 2 4 12 2.2.18 12 6 2
Dấu = xảy ra
18
2 3
6;5
M hoặc
0; 1
M
Câu III:
HDG:
Tập xác định:
\
D R m
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Page 8 of 16
Ta có:
2 2
2 2
1 1 2 1
3 ' 1
x xm m
y x m y
x m
x m x m
1:
Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung
y’ = 0 có 2 nghiệm trái dấu
2 2
( ) 2 1
g x x xm m
có 2 nghiệm trái dấu cùng khác m
2
1 0
1 1
( ) 0
m
m
g m
Vậy
1;1
m
2:
Có:
1
2
1
' 0
1
x x m
y
x x m
Do đó hàm số luôn đạt cực trị tại
1 2
;
x x
. Ta có:
1 1 2 2
4 2; 4 2
y y x m y y x m
Gọi 2 điểm cực trị là
1;4 2 ; 1;4 2
A m m B m m
OAB
vuông tại O
. 0
OA OB OAOB
2
1 1 4 2 4 2 0
85
17 5 0
17
m m m m
m m
Vậy
85
17
m
là giá trị cần tìm.
3:.
Ta có:
1;4 2 ; 1;4
MA m m MB m m
A, M, B thẳng hàng
|| 4 1 1 4 2
MA MB m m m m
1
6 2
3
m m
Đáp số:
1
3
m
4:
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Page 9 of 16
Ta có:
2
10 4 4 10 2
AB m m m
5:
Mọi giá trị m thì hàm số luôn có cực trị.
Vì
1
lim 3 lim 0 3
x x
y x m y x m
x m
là TCX của hàm số.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = m – 1. Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX là:
1 4 2 3
1
2 2
m m m
h
6:
Ta có:
3
4
2 3 8 2 3
3
4
CD CT
m
y my
m
Đáp số:
3 3
; ;
4 4
m
Câu IV: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
(C)
Tìm m để (C) cắt đường thẳng
: 2 1
m
d y mx m
tại 2 điểm phân biệt A, B:
a. Thuộc 2 nhánh của đồ thị (C)
b. Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau
c. Thỏa mãn điều kiện
4 . 5
OAOB
HDG:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Page 10 of 16
2
1
2 1 5 1 2 2 0
2 1
x
mx m f x mx m x m
x
với
1
2
x
C
cắt
m
d
tại 2 điểm phân biệt A, B
0
f x
có 2 nghiệm phân biệt khác
1
2
2
0
0
17 2 9 0
6
1 1 3
0
2 4 2
m
m
m m
m
f m
(*)
a. Hai điểm A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị
0
f x
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;
x x
mà
1 2
1
2
x x
0
1 1 3
0
6
2 4 2
m
mf m m
m
b. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A. B lần lượt là:
2 2
3 3
' ; '
2 1 2 1
A A B B
A B
k y x k y x
x x
2 2
3 3
. . 0
2 1 2 1
A B
A B
k k
x x
nên hai tiếp tuyên tại A, B không thể vuông góc với nhau.
Vậy không tồn tại m thảo mãn bài toán.
c. Gọi
1 2
;
x x
là 2 nghiệm của f(x). Giả sử
1 1 2 2
; 2 1 ; ; 2 1
A x mx m B x mx m
Theo viet ta có:
1 2
1 2
5 1
2 2
m
x x
m
m
x x
m
Có:
5
4 . 5 . 0
4
OAOB OAOB
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Page 11 of 16
1 2 1 2
2
2
1 2 1 2
2
2
3 2
2
5
2 1 2 1 0
4
5
1 2 1 2 1 0
4
5
1 2 2 2 1 5 1 2 1 0
4
3
4 2 0
4
3
2 1 0
4
1 3
2 4
x x mx m mx m
m x x m m x x m
m m m m m m m
m m m
m m
m m
Đáp số:
1 3
;
2 4
m
Câu V: Cho hàm số
2
3 3
2 1
x x
y
x
(1)
c. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2
d. Tìm m để đường thẳng d:
2 3
y m x
và đường cong (1) cắt nhau tại A, B
phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB. HDG
a. Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
2
3 3
2 3 3 2 0
2 1
x x
m f x x m x m
x
; với
1
x
Để hàm số (1) cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt
0
f x
có 2
nghiệm phân biệt khác 1
2
3
2 3 4 3 2 0
2
1
1 0
2
m
m m
f
m
(*)
Với điều kiện (*), gọi
1 2
;
x x
là nghiệm của
0
f x
. Theo viet có:
1 2
1 2
3 2
3 2
x x m
x x m
Tọa độ A, B là:
1 2
; ; ;
A x m B x m
. Ta có:
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Page 12 of 16
2 2
2
1 2 1 2 1 2
2 2 4 2
AB x x x x x x
2
2
1 6
3 2 4 3 2 2 4 4 5 0
2
m m m m m
Đáp số:
1 6
2
m
b. Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
2
3 3
2 3 2 1 3 1 2 4 3 0
2 1
x x
m x f x m x m x m
x
; với
1
x
Để hàm số (1) cắt đường thẳng
2 3
y m x
tại 2 điểm phân biệt
0
f x
có 2
nghiệm phân biệt khác 1
2
7 2 7
2
2 1 0
7 2 7
9 1 2 4 2 1 4 3 0
2
1 0
1
2
m
m
m m m
m
f
m
Với điều kiện trên, gọi
1 2
;
x x
là nghiệm của
0
f x
1 2
3 1 2
2 1
m
x x
m
Gọi 2 giao điểm là
1 1 2 2
; 2 3 ; ; 2 3
A x m x B x m x
.
Điểm
2;3
M d
là trung điểm của AB
1 2
3 1 2
7
4 4
2 1 2
m
x x m
m
Vậy
7
2
m
Câu VI:
Cho hàm số
1
m x m
y
x m
m
C
Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình:
a.
2
2 3
1 log
3
x
m
x
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Page 13 of 16
b.
2 3
2 1 0
3
x
m
x
HDG
Số nghiệm của phương trình
f x g m
là số giao điểm của đường cong
y f x
và đường thẳng
y g m
song song với trục hoành Ox khi vẽ lên hệ trục
tọa độ Oxy.
a. Vẽ đồ thị hàm số
2 3
:
3
x
C y
x
như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành Ox của
3
C
- kí hiệu là
t
C
- Lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục hoành Ox qua Ox – kí hiệu
'
t
C
'
t t
C C C
(Các bạn tự vẽ hình)
Kết luận:
1
2
m
phương trình vô nghiệm
1
;2
2
m
phương trình có nghiệm duy nhất
1
;2 2;
2
m
phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b. Vẽ đồ thị hàm số
2 3
' :
3
x
C y
x
như sau:
- Giữ nguyên nhánh phải của
3
C
- kí hiệu là
p
C
- Lấy
'
p
C
đối xứng nhánh trái của
3
C
qua trục hoành Ox
'
p p
C C C
(Các bạn tự vẽ hình)
Kết luận:
1
2
m
phương trình vô nghiệm
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Page 14 of 16
1 3
2 2
m
phương trình có nghiệm duy nhất
3
2
m
phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Câu VII: Cho hàm số
2
3 3
2 1
x x
y
x
(1)
a. Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min.
b. Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ.
HDG
a. Ta có:
2
3 3 1 1
1
2 1 2 2 1
x x
y x
x x
Gọi
1 1
1;
2 2 2
A
thuộc nhánh trái,
1 1
1;
2 2 2
B
thuộc
nhánh phải của đồ thị hàm số với
0
.
Ta có:
2
2
2
1 1 1
4
AB
2
2
2
1 1 1 1
1 1 4 1 1
4 4
1
5 2 2 2 5
Dấu = xảy ra
4
1
1
5
5
Vậy
4 4
4 4 4 4
1 1 5 1 1 1 5 1
1; ; 1;
2 2 2 2
5 2 5 5 2 5
A B
thì
min
2 2 5
AB
b. Hàm số có TCX:
1
: 1
2
y x
.
Gọi
Ox 2;0
A A
;
Oy B 0;1
B
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Page 15 of 16
Nên
1
. 1
2
OAB
S OAOB
(đvdt)
Câu VIII: Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
(C)
a. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục
tọa độ đạt GTNN
b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm
cận đạt GTNN
c. Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min.
HDG
a. . Gọi
0 0
0
1 3 1
; ; 0
2 4 2
M x C x
x
. Tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ
là:
0
0
1 3 1
2 4 2
d x
x
Với
0
1 1
0 1
2 2
x d
Với
0 0 0
0 0
1 3 1 3
0 1 3 1
2 4 2 4
x d x x
x x
Dấu = xảy ra khi
0 0
0
3 3 3 1 3 1
;
4 2 2 2
x x M
x
Vậy
3 1 3 1
;
2 2
M
thì
min
3 1
d
b. . Khoảng cách tứ M đến TCN, TCĐ làn lượt là:
1 0
d x
;
2
0
3
4
d
x
1 2 0 0
0 0
3 3
2 . 3
4 4
d d d x x
x x
, dấu = xảy ra khi
0
3
2
x
Kết luận:
3 1 3 1
;
2 2
M
hoặc
3 1 3 1
;
2 2
M
là các điểm cần tìm
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Page 16 of 16
c . Gọi
1 3 1
;
2 4 2
A a
a
thuộc nhánh trái,
1 3 1
;
2 4 2
B b
b
thuộc nhánh phải
của đồ thị hàm số (C), với
0
a b
. Ta có:
2
2
2
2
3 3 3 3 3
2
4 4 4 4 2
b a
AB b a b a
b a b a ab
3 4
. 6
2
ab
ab
Dấu bằng xảy ra
2
2
3
2
3 3
3
4 4
2
b a
a
b a
b
b a
Vậy hai điểm cần tìm là:
3 1 3 1
;
2 2
A
;
3 1 3 1
;
2 2
B
thì
min
6
AB
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
