chuyên đề hình học giải tích trong không gian - đặng văn cường

ĐẶNG VĂN CƯỜNG



Chuyên đề


TRONG KHÔNG GIAN OXYZ










TRÌNH BÀY THEO BỐ CỤC:

 PHÂN CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ
 TRÌNH BÀY PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 VÍ DỤ CHO TỪNG DẠNG BÀI TẬP.
 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ.

TOÁN


12
NĂM 2014
Q
n

P

Q

n

n

u


M

ĐẶNG VĂN CƯỜNG
MỤC LỤC.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 1

MỤC LỤC


Trang

Chƣơng 1: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 3.
Dạng 1: Tọa độ của điểm và của vectơ 4.
Dạng 2: Ba vectơ đồng phẳng – khơng đồng phẳng 12.
BÀI TẬP ƠN TẬP CHƢƠNG I 16.
Chƣơng 2: PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU 17.
Dạng 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu 18.
Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt cầu theo các điều kiện cho trƣớc 20.
Dạng 3: Vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu – Tiếp diện của mặt cầu 24.
Dạng 4: Tìm tâm và bán kính đƣờng tròn là giao tuyến của mặt cầu và MP 25.
BÀI TẬP ƠN TẬP CHƢƠNG II 27.
Chƣơng 3: PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 28.
Dạng 1: Bài tốn lập phƣơng trình mặt phẳng 29.
Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng đi qua 3 điểm khơng thẳng hàng 31.
Dạng 3: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua 1 điểm và song song mặt phẳng 32.
Dạng 4: Chứng minh 1 điểm thuộc (khơng thuộc) mặt phẳng 33.
Dạng 5: Chứng minh 4 điểm đồng phẳng 33.
BÀI TẬP ƠN TẬP CHƢƠNG III 34.
Chƣơng 4: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG 36.
Chủ đề 1: CHUYỂN ĐỔI CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG 37.
Chủ đề 2: BÀI TỐN VÊ VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI 38.
Dạng 1: Vị trí tƣơng đối của 1 điểm đối với 1 đƣờng thẳng 38.
Dạng 2: Vị trí tƣơng đối của 2 đƣờng thẳng 39.
Dạng 3: Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và mặt phẳng 41.
Chủ đề 3: LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG 44.
Dạng 1: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng khi biết vectơ chỉ phƣơng 44.
Dạng 2: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua hai điểm 44.
Dạng 3: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua 1 điểm và song song đƣờng thẳng . 45.
Dạng 4: Lập phƣơng trình ĐT qua 1 điểm và vng góc với mặt phẳng 46.
Dạng 5: Lập phƣơng trình ĐT qua 1 điểm và vng góc 2 đƣờng thẳng 47.

Dạng 6: Lập phƣơng trình ĐT qua 1 điểm và cắt 2 đƣờng thẳng 49.
Dạng 7: Lập phƣơng trình ĐT qua 1 điểm vng góc
1
d
và cắt
2
d
51.
Dạng 8: Lập phƣơng trình đƣờng vng góc chung của 2 ĐT chéo nhau 52.
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP VIẾT PT ĐƢỜNG THẲNG KHÁC 54.
Chủ đề 4: LẬP PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG LIÊN QUAN ĐẾN ĐT 59.
Dạng 1: Viết phƣơng trình MT đi qua ĐT
d
và 1 điểm khơng thuộc
d
59.
Dạng 2: Viết phƣơng trình MT xác định bởi 2 ĐT cắt nhau 60.
Dạng 3: Viết phƣơng trình MT xác định bởi 2 ĐT song song 61.
Dạng 4: Viết phƣơng trình MT đi qua 1 điểm và vng góc đƣờng thẳng 62.
Dạng 5: Viết phƣơng trình MP qua 1 ĐT và song song đƣờng thẳng 63.
Dạng 6: Phƣơng trình MT qua 1 đƣờng thẳng và vng góc 1 mặt phẳng 65.
tusachvang.net
ẹAậNG VAấN CệễỉNG
MC LC.

HèNH HC GII TCH TRONG KHễNG GIAN Trang 2

Ch 5: BI TON V HèNH CHIU IM I XNG 66.
Dng 1: Tỡm hỡnh chiu im i xng ca 1 im trờn ng thng 66.
Dng 2: Tỡm hỡnh chiu im i xng ca 1 im qua mt phng 69.

Dng 3: Phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng trờn mt phng 71.
Ch 6: BI TON V KHONG CCH 72.
Dng 1: Khong cỏch t 1 im n 1 mt phng 72.
Dng 2: Khong cỏch t 1 im n 1 ng thng 73.
Dng 3: Khong cỏch gia 2 ng thng chộo nhau 74.
Dng 4: Khong cỏch gia hai ng thng song song 75.
Dng 5: Khong cỏch gia ng thng v mt phng 76.
Ch 7: BI TON V GểC 78.
Dng 1: Gúc gia hai ng thng 78.
Dng 2: Gúc gia hai mt phng 78.
Ch 8: BI TON V CC TR HèNH HC 81.
BI TP TNG HP 87.
HèNH HC GII TCH QUA THI I HC CC NM 92.
P N 101.
Chng 1: PHNG PHP TA TRONG KHễNG GIAN 102.
Chng 2: PHNG TRèNH MT CU 107.
Chng 3: PHNG TRèNH MT PHNG 115.
Chng 4: PHNG TRèNH NG THNG 119.
BI TP TNG HP 135.
HNG DN GII P N THI I HC 146.

tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 3




I. TỌA ĐỘ VECTƠ:
1) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho vectơ:
a xi y j zk  

( , , )x y z
gọi là tọa độ của vectơ
a
, kí hiệu
( ; ; )a x y z

2) Cho các vectơ

1 1 1 1
( ; ; )u x y z
,
2 2 2 2
( ; ; )u x y z
và số
k
tùy ý, ta có:
a)
12
1 2 1 2
12
xx
u u y y
zz



  





b)
 
1 2 1 2 1 2 1 2
;;u u x x y y z z    

c)

 
1 2 1 2 1 2 1 2
;;u u x x y y z z    

d)
 
;;ku kx ky kz
với
k 
.
e)
1 2 1 2 1 2 1 2
.u u x x y y z z  

f)
2 2 2
u x y z  

g)
 
1 2 1 2 1 2
12
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
os ,
.
x x y y z z
c u u
x y z x y z



   

h)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 0u u u u x x y y z z      

3. Liên hệ tọa độ vectơ và tọa độ hai điểm mút:
Trong không gian Oxyz cho các điểm
( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )
A A A B B B C C C D D D
A x y z B x y z C x y z D x y z

a)
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z   

b)
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z     

c) Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB
2
2
2
AB
M

AB
M
AB
M
xx
x
yy
y
zz
z
















d) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
3
3
3

A B C
G
A B C
G
A B C
G
xxx
x
yyy
y
zzz
z
















Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 4

e) Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD
4
4
4
A B C D
G
A B C D
G
A B C D
G
x x x x
x
y y y y
y
z z z z
z
  





  




  





4. Tích có hướng của các vectơ:
a) Tích có hướng của hai vectơ
);;( cbau 
và
)';';'( cbav 
là một vectơ, kí hiệu
,uv



, ; ; ( ' ' ; ' ' ; ' ' )
' ' ' ' ' '
b c c a a b
u v bc b c ca c a ab a b
b c c a a b



    




b) Tính chất:
i)
 
0, vu

u
và
v
cùng phương.
* Hệ quả:
);;( cbau 
và
)';';'(' cbau 
cùng phương 
)0''.'.(
'''
 cba
c
c
b
b
a
a

ii) Vectơ

,uv


vuông góc với cả hai vectơ
u
và
v
.
iii)
 
),sin( , vuvuvu 

iv)
u
,
v
,
w
đồng phẳng 
 
0., wvu

c) p dụng để tính diện tích và thể tích:
* Diện tích hình bình hành ABCD :
 
ADABS .

* Diện tích tam giác ABC :
 
ACABS .

2
1



:
 
ACABS .
2
1


* Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ :
 
'., AAADABV 

* Thể tích hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’:
 
'.,
2
1
AAACABV 

* Thể tích hình tứ diện ABCD :
 
ADACABV .,
6
1


tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 5




I. PHƢƠNG PHÁP.
Sử dụng các định nghĩa và tính chất liên quan đến tọa độ của điểm và vectơ.

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC :
1.1)
1
.
2
ABC
S AH BC




Trong đó:
AH
là đƣờng cao hạ từ đỉnh
A
;
BC
cạnh huyền.
1.2)
11
.,
22
ABC
S AB AC AB AC





Trong đó:
,AB AC
là hai cạnh góc của tam
giác
ABC
vng tại
A
.
1.3)
BacAbcCabS sin

2
1
sin
2
1
sin
2
1


Trong đó:
;;a BC b AC c AB  

1.4)
R
abc
S
4


Trong đó:
R
là bán kính đƣờng tròn ngoại
tiếp tam giác
ABC
.
1.5)
prS 

Trong đó: nửa chu vi tam giác

)(
2
1
cbap 

r
: bán kính đƣờng tròn nội tiếp tam giác
ABC

1.6)
))()(( cpbpappS 

Cơng thức trên gọi là cơng thức Hê – rơng.
2. ĐỘ DÀI ĐƢỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
2 2 2 2 2 2
2
2( )
2 4 4
a
b c a b c a
m
  
  

Hay
2 2 2
2
2( )
4
AC AB BC

AM



3. TỌA ĐỘ CHÂN ĐƢỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
3.1) Gọi
( ; ; )
E E E
E x y z
là tọa độ chân đƣờng
phân giác trong góc
A
của tam giác
ABC
:

EB AB
AC
EC


3.2) Gọi
( ; ; )
F F F
F x y z
là tọa độ chân đƣờng
phân giác ngồi góc
A
của tam giác
ABC

:

FB AB
AC
FC






Dạng 1: TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ .
PHẲNG.
tusachvang.net
ÑAËNG VAÊN CÖÔØNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Trang 6

II. CÁC VÍ DỤ.
Ví dụ 1: Trong không gian
Oxyz
, cho ba vectơ
( 2;1;0), (1;3; 2), (2;3;4)a b c    
. Tìm:
a)
23u a b c  
, b)
13
24

v a b c  


GIẢI.
a)
2 3 2.( 2;1;0) (1;3; 2) 3(2;3;4) (1;8;14)u a b c        

b)
1 3 1 3 15 19 5
( 2;1;0) (1;3; 2) (2;3;4) ( ; ; )
2 4 2 4 4 4 2
v a b c           

Ví dụ 2:Trong không gian
Oxyz
,cho vectơ
(2; 3; 1)a   
điểm cuối
(1; 1;2)B 
. Tìm tọa độ
điểm A.
GIẢI.
Gọi tọa độ điểm
( ; ; )A x y z
, ta có:
(1 ; 1 ;2 ) (2; 3; 1)AB a x y z        

1 2 1
1 3 2 ( 1;2;3)
2 1 3

xx
y y A
zz
   


        


   


Ví dụ 3: Trong không gian
Oxyz
,cho ba điểm
(1;2;3), (2; 1;3), (0;2;4)A B C
.
a) Tìm tọa độ điểm
D
sao cho
20AB CD
.
b) Tìm tọa điểm điểm
E
sao cho
AE EB
.

GIẢI.
a) Gọi tọa độ điểm

( ; ; )
D D D
D x y z
, theo giả thiết:
2 0 2 2( 0; 2; 4) (1; 3;0)
D D D
AB CD CD AB x y z         

1
2
21
1 1 1
2( 2) 3 ; ;4
2 2 2
2( 4) 0
4
D
D
DD
D
D
x
x
y y D
z
z









      











tusachvang.net
ÑAËNG VAÊN CÖÔØNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Trang 7

b) Gọi tọa độ điểm
( ; ; )
E E E
E x y z
, theo giả thiết:
( 1; 2; 3) (2 ; 1 ;3 )
E E E E E E
AE EB x y z x y z         

3
2
12
1 3 1
2 1 ; ;3
2 2 2
33
3
E
EE
E E E
EE
E
x
xx
y y y E
zz
z



  




       












Ví dụ 4: Cho
2 , 3 5( ),w 2 3u i j v i j k i j k       

a) Tìm tọa độ của các vectơ.
b) Tìm cosin của góc
 
,uv
.
c) Tính
,wu



d) Tính độ dài của
2 3 4wd u v  


GIẢI.
a) Ta có:
(1; 2;0), (3;5; 5),w (2;3; 1)uv     

b)
 
2 2 2 2 2 2
. 1.3 ( 2).5 0.( 5) 7
cos ,
295
.
1 ( 2) 0 . 3 5 ( 5)
uv
uv
uv
    
  
     

c)
2 0 0 1 1 2
,w ; ; (2;1;7)
3 1 1 2 2 3
u
   






2 2 2
,w 2 1 7 26u


    


d) Ta có:
2 3 4w 2(1; 2;0) 3(3;5; 5) 4(2;3; 1) (2 9 8; 4 15 12;0 15 4) (1; 7;11)d u v                  

2 2 2
1 ( 7) 11 171d     





tusachvang.net
ÑAËNG VAÊN CÖÔØNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Trang 8

Ví dụ 5: Trong không gian
Oxyz
,cho ba điểm
(1;2;1), (5;3;4), (8; 3;2)A B C 
.
a) Chứng minh tam giác
ABC
là tam giác vuông.
b) Tính diện tích tam giác
ABC
.

c) Tính bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
d) Tính bán kính đƣờng tròn nội tiếp tam giác
ABC
.

GIẢI.
a) Ta có:
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 4 1 3 26
B A B A B A
AB x x y y z z         


2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 7 ( 5) 1 75
C A C A C A
AC x x y y z z          


2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3 ( 6) ( 2) 49
C B C B C B
BC x x y y z z           

Vì
2 2 2
AC AB BC
, nên theo định lý đảo Pitago tam giác

ABC
vuông tại B.
b) Diện tích tam giác vuông
ABC
:
1 1 7
. . 26. 49 26 ( )
2 2 2
ABC
S AB BC

   ñvdt

c) Bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
:
Ta có:
. . . . 26. 75. 49
10 3
7
26
2
ABC
ABC
AB AC BC AB AC BC
SR
RS


    

d) Bán kính đƣờng tròn nội tiếp tam giác
ABC
:
Ta có:
 
7
2. 26
2
. 1,72
1
( 26 75 49)
2
ABC ABC
ABC
SS
S p r r
p
AB AC BC


     


.

Ví dụ 6: Trong không gian
Oxyz
,cho tam giác
ABC

với
(1;2; 1), (2; 1;3), ( 4;7;5)A B C  
.
a) Tính độ dài đƣờng phân giác trong kẻ từ đỉnh
.B

b) Tìm tọa độ trong tam
G
tam giác
ABC
.
c) Tìm tọa độ tâm
I
của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.

GIẢI.
a) Gọi tọa độ
( ; ; )E x y z
là chân đƣờng phân giác trong kẻ từ đỉnh
B
của tam giác
ABC
:
Ta có:
(1 ;2 ; 1 ); ( 4 ;7 ;5 )EA x y z EC x y z         
;
26; 104A B B C

tusachvang.net
ÑAËNG VAÊN CÖÔØNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Trang 9

Vì
E
là chân đƣờng phân giác trong của đỉnh
B
nên:
26 1
2
2
104
EA
EA EC
EC
      

2
3
2(1 ) 4
11 2 11
2(2 ) 7 ; ;1
3 3 3
2( 1 ) 5
1
x
xx

y y y E
zz
z



  




         




    






b) Gọi
( ; ; )
G G G
G x y z
là tọa độ trọng tâm tam giác
ABC
:

1
33
8 1 8 7
;;
3 3 3 3 3
7
33
A B C
GG
A B C
GG
A B C
GG
xxx
xx
yyy
y y G
zzz
zz


  





    











c) Gọi
( ; ; )
I I I
I x y z
là tọa độ tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
:
Ta có:
(1; 3;4), ( 5;5;6) , ( 38; 26; 10)AB AC AB AC

        

;
26; 104; 86AB BC AC  

11
, .2 555 555
22
ABC
S AB AC



  


Mặt khác:
. . . . 26. 86. 104 52 86
555 555
ABC
ABC
AB AC BC AB AC BC
SR
RS


    








tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 10

BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài 1: Trong khơng gian

Oxyz
, cho ba vectơ
(5;7;2), (3;0;4), ( 6;1; 1)a b c    
. Tìm vectơ:
a)
32u a b c  
b)
5 6 4v a b c  

Bài 2: Cho
(3;0;6), (2; 4;0)ab  
.
a) Tính
.ab

b) Tìm góc giữa hai vectơ
và ab
.
c) Xác định
,ab


từ đó suy ra
,ab



Bài 3: Cho 3 vectơ
, (2; 2;1), ( 1; 1;3)a i j k b c       
và điểm

(3;1;4)M
. Tìm
,,m n k
để:

2ma nb kc OM  
.
Bài 4: Cho ba điểm
(0; 4;1), ( 1;1; 3), (1; 2;3)A B C   
.
a) Tìm tọa độ điểm
D
sao cho tứ giác
ABCD
là hình bình hành.
b) Tính độ dài của đƣờng trung tuyến, đƣờng cao, phân giác trong xuất phát từ đỉnh
C
của
tam giác
ABC
.
Bài 5: Trong khơng gian
Oxyz
, cho 3 điểm
(1;2;4), (2; 1;0), ( 2;3; 1)A B C  
.
a)
( ; ; )M x y z
nằm trong mặt phẳng
()ABC

. Tìm sự liên hệ giữa
,,x y z
.
b) Tìm tọa độ điểm
D
để
ABCD
là hình bình hành.
c) Tính diện tích hình bình hành
ABCD
.
Bài 6: Trong khơng gian
Oxyz
, cho tam giác
ABC
vng ở
A
biết
(4;2; 1), (3;0;2), ( ; 2;1)A B C x
.
a) Tìm
x
.
b) Định tâm và bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
c) Tìm độ dài đƣờng cao của tam giác
ABC
vẽ từ
A

.
Bài 7: Trong khơng gian
Oxyz
, tìm điểm
()M Oxz
sao cho
M
cách đều ba điểm
(1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1)A B C
.
Bài 8: Cho hình hộp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
, biết
(1;0;1), '(2;1;2), '(1; 1;1), (4;5; 5)A B D C
. Tìm tọa độ
các đỉnh còn lại của hình hộp.
tusachvang.net
ÑAËNG VAÊN CÖÔØNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Trang 11

Bài 9: Cho hình hộp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
, biết
(4;1; 2), ( 3; 2;17), '(4;5;10), '( 7; 2;11)A C B D    
.
a) Tìm tọa độ các đỉnh
, ', ',B C A D
.

b) Tính thể tích hình hộp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
.
Bài 10: Trong không gian
Oxyz
, cho 4 điểm
( 2;2;2), (0;1;0), (1; 1;2), (2;3;1)A B C D
.
a) Chứng tỏ
ABCD
là một tứ diện.
b) Gọi
G
là trọng tâm của tam giác
ACD
. Chứng tỏ
()BG ACD

tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 12




I. PHƯƠNG PHÁP:
1. Chứng minh ba vectơ đồng phẳng:
 Cách 1:
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ
,,abc
đồng phẳng là
, . 0a b c



.
 Cách 2:
Cho ba vectơ
,,abc

trong đó
,bc
khơng cùng phƣơng. Muốn chứng minh ba vectơ
,,abc

đồng phẳng ta chứng minh có một cặp số thực
,mn
duy nhất sao cho
a mb nc
.
2.  Chứng minh ba vectơ khơng đồng phẳng:
 Cách 1:
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ
,,abc
khơng đồng phẳng là
, . 0a b c



.
 Cách 2:
Cho ba vectơ
,,abc
khơng đồng phẳng. Với mọi vectơ
u
trong khơng gian ta ln tìm
đƣợc bộ ba số thực
,,m n p
duy nhất sao cho
. . .u ma nb pc  

. Sử dụng định lí này để
phân tích một vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng cho trƣớc.
3.  Chứng minh ba điểm thẳng hàng, khơng thẳng hàng:

,,A B C
khơng thẳng hàng
ABC AB  
khơng cùng phƣơng
AC
.

,,A B C
thẳng hàng
AB
cùng phƣơng
AC
.
4.  Chứng minh bốn đồng phẳng, khơng đồng phẳng:

, , ,A B C D
khơng đồng phẳng
ABCD
là tứ diện
Cách 1:
, . 0AB AC AD




Cách 2: Lập phƣơng trình mặt phẳng

()ABC
và chứng minh điểm
()D ABC
.

, , ,A B C D
đồng phẳng
Cách 1:
, . 0AB AC AD




Cách 2: Lập phƣơng trình mặt phẳng
()ABC
và chứng minh điểm
()D ABC
.



Dạng 2
:
BA VECTƠ ĐỒNG PHẲNG – KHÔNG ĐỒNG PHẲNG.
tusachvang.net
ÑAËNG VAÊN CÖÔØNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Trang 13

II. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Trong không gian
Oxyz
, cho các vectơ :
(1,1,3), (3, 1,2), (2,3,1)a b c   
và
(9; 3,7), (1,8,8), (5, 5,1)p q r    
.
a) Chứng minh rằng ba vectơ
,,abc
không đồng phẳng.
b) Chứng minh rằng ba vectơ
,,pqr
đồng phẳng.
GIẢI.
a) Chứng minh ba vectơ
,,abc
không đồng phẳng:
Ta có:
 
1 3 3 1 1 1
, ; ; 2.1 ( 1).3;3.3 2.1;1.( 1) 3.1 (5;7; 4)
1 2 2 3 3 1
ab


        






, . 5.2 3.7 1.( 4) 10 21 4 27 0a b c

         


,,abc
không đồng phẳng.
b) Chứng minh ba vectơ
,,pqr
đồng phẳng:
Ta có:
, ( 80; 65;75) / /(16;13; 15)pq

   


, . 5.16 5.16 1.15 0p q r

    


,,pqr
đồng phẳng.
Ví dụ 2: Trong không gian
Oxyz
, cho các vectơ
( 1,2,3), (2, 3,4), (3,4, 5)a b c     
.

a) Chứng tỏ ba vectơ
,,abc
không đồng phẳng.
b) Phân tích vectơ
( 9,15,5)d 
theo ba vectơ
,,abc
.
GIẢI.
a) Chứng tỏ ba vectơ
,,abc
không đồng phẳng:
Ta có:
, (7;5; 1)ab




, . 7.3 5.( 1) ( 1).4 7 0a b c

       


Vậy ba vectơ
,,abc

không đồng phẳng.
b) Phân tích vectơ
( 9,15,5)d 
theo ba vectơ

,,abc
.
Giả sử ta phân tích đƣợc:
d xa yb zc  

tusachvang.net
ÑAËNG VAÊN CÖÔØNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Trang 14

2 5 3 9 1
3 7 2 15 2
4 5 5
x y z x
x y z y
x z z
     


      


  


Vậy
2d a b c  

Ví dụ 3: Trong không gian

Oxyz
, cho các vectơ
(1, ,2), ( 1,2,1), (0, 2,2)a m b m c m    
.
Định
m
để ba vectơ
,,abc
đồng phẳng.


GIẢI.
Ta có:
 
2
, 4;2 1; 2a b m m m m

     


Để ba vectơ
,,abc
đồng phẳng thì :
2
2
, . 0 ( 4).0 (2 1)( 2) ( 2).2 0 5 2 0
5
a b c m m m m m m m

                



Ví dụ 4: Cho ba điểm
(1;2;3), ( 1;3;4), (0;4;1)A B C
. Chứng minh rằng:
ABC
là một tam giác.


GIẢI.
Ta có:
( 2;1;1), ( 1;2; 2)AB AC    

Vì
2 1 1
1 2 2




Hai vectơ này không cùng phƣơng nên 3 điểm
,,A B C
không thẳng hàng, suy ra
,,A B C
là tam
giác.
Ví dụ 5: Cho
( 2;6;3), (1;0;6), (0;2; 1), (1;4;0)A B C D
. Chứng minh
, , ,A B C D

là một tứ diện.

GIẢI.
Ta có:
(3; 6;3), (2; 4; 4), (3; 2; 3)AB AC AD       

, (36;18;0) , . 36.3 18.( 2) 0.( 3) 72 0AB AC AB AC AD
   
        
   

, , ,A B C D
không đồng phẳng

tứ diện
A B CD
.
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 15

BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài 1: Cho hai bộ ba vectơ
( , , ),( , ,w)a b c u v
với:
( 3;2;5), ( 1; 1;4), ( 2;3;1)a b c      

( 2; 6;1), (4; 3; 2),w ( 2; 1;1)uv        

.
Hỏi bộ ba vectơ nào đồng phẳng?
Bài 2: Trong khơng gian
Oxyz
, cho bốn vectơ:
( 1;2;3), (2; 3;4), (3;4; 5), ( 4;5; 1).a b c d        
Phân tích vectơ
d
theo ba vectơ
,,abc
.
Bài 3: Cho
   
35
2; 3;5 , 1; 2;1 , 1; ;
22
a b c

     



a)
,ab
có cùng phƣơng khơng ?
,ac
có cùng phƣơng khơng ?
b) Phân tích vectơ
d
theo ba vectơ

,,abc
.
Bài 4: Trong khơng gian
Oxyz
, cho 2 vectơ
(2; 2;1), (8;4;1)ab  
. Tìm vectơ
c
thỏa:

, ,
cb
ca
abc









đồng phẳng

Bài 5: Trong khơng gian
Oxyz
, cho
 
( 1;2;3), (1;1;1), 2;2;2A B C

. Chứng minh rằng:
a)
,,A B C
lập thành tam giác.
b)
,,O B C
thẳng hàng.
Bài 6: Trong khơng gian
Oxyz
, cho
 
(2;1;2), (4;5; 5), 0;2; 1A B C
và gốc tọa độ
O
. Chứng
minh rằng
OABC
là một tứ diện.




tusachvang.net
ÑAËNG VAÊN CÖÔØNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Trang 16

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1: Cho tam giác

ABC
có
(1;2;3), ( 1;3;4), (0;4;2)A B C
.
a) Tìm tọa độ trọng tâm
G
của tam giác
ABC
.
b) Tính góc
A
của tam giác
ABC
.
c) Tính chu vi và diện tích tam giác
ABC
.
Bài 2: Cho các điểm
( 3; 2;0), (3; 3;1), (5;0;2)A B C  
. Tìm tọa độ điểm
D
để
ABCD
là hình
bình hành.
Bài 3: Trong mặt phẳng
Oxyz
, tìm điểm
M
sao cho

M
cách đều
(1;2;3), ( 3; 3;2)AB
và
//OM AB
.
Bài 4: Trong mặt phẳng
Oxyz
, cho
( 2;6;3), (1;0;6), (0;2; 1), (1;4;0)A B C D
.
a) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện
A B CD
.
b) Tính thể tích tứ diện
A B CD
.
Bài 5: Trong mặt phẳng
Oxyz
, cho
(1; 1;1), (2;3;2), (4;2;2), (3;0;1), (1;2;3)A B C D E
.
a) Tính các góc của tam giác
ABC
.
b) Tìm trên
Oy
điểm cách đều hai điểm
,AB

Bài 6: Trong mặt phẳng
Oxyz
, cho hình hộp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có:
(2;0;2), (4;2;4), (2; 2;2)A B D 
,
'(8;10; 10)C 
.
a) Tính tọa độ các đỉnh còn lại.
b) Tình thể tích hình hộp
. ' ' ' 'ABCD A B C D

Bài 7: Trong mặt phẳng
Oxyz
,cho ba điểm
( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) ( 0, 0, 0)A a B b C c a b c  
.
a) Chứng tỏ tam giác
ABC
không thể là tam giác vuông.
b) Tính thể tích hình chóp
.O ABC
và diện tích tam giác
ABC
theo
,,abc
.
(Trích ĐTTS vào Trƣờng Đại học Mỹ thuật Công nghiệp, 1999)
Bài 8: Trong mặt phẳng

Oxyz
,cho tứ diện
ABCD
với
(2; 1;6), ( 3; 1; 4), (4; 1;0), (1;2;1)A B C D    
.
a) Chứng minh rằng tam giác
ABC
là tam giác vuông. Tính bán kính đƣờng tròn nội tiếp
tam giác
ABC
.
b) Tính thể tích của tứ diện
A B CD
.
(Trích ĐTTS vào Trƣờng Đại học Thủy sản Nha Trang, 2000).
tusachvang.net
ÑAËNG VAÊN CÖÔØNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Trang 17

Bài 9: Trong không gian
Oxyz
,cho các điểm
( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) ( 0, 0, 0)A a B b C c a b c  
.
Gọi
G
là trọng tâm tam giác

ABC
và
I
là điểm chia đoạn
OG
theo tỉ số
2k 
.
a) Tính theo
,,abc
diện tích tam giác
ABC
và thể tích tứ diện
.I A BC
.
b) Cho
6abc  
. Tìm
,,abc
để tứ diện
.O ABC
có thể tích lớn nhất.
Bài 10: Cho hình hộp xiên
. ' ' ' 'ABCD A B C D
. Gọi
G
là trọng tâm tam giác
'AB C
.
a) Chứng minh

'3BD BG
.
b) Gọi
,,P Q R
là ảnh đối xứng của điểm
'D
qua các điểm
, ',A B C
. Chứng tỏ rằng
B
là
trọng tâm của tứ diện
'P QR D
.

tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 18




I. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:
* Mặt cầu
()S
tâm
( ; ; )I a b c
, bán kính R có phương trình:
     
2 2 2
2
x a y b z c R     

* Phƣơng trình:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d      
(
2 2 2
0a b c d   
)
là phương trình mặt cầu tâm
( ; ; )I a b c

, bán kính
2 2 2
R a b c d   

II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG:
Cho mặt cầu
( , )S I R
:
     
2 2 2
2
x a y b z c R     

Và mặt phẳng ():
0Ax By Cz D   

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng ().
Ta có:
( ,( ))
2 2 2
I
aA bB cC D
IH d
A B C

  



 IH > R  (S)  () = 

 IH = R (S)  () = {H}, khi đó () gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm
H. (()  IH)
 IH < R  (S)  () là một đường tròn tâm (C) có tâm H, bán kính
22
r R IH

(C) có phương trình
     
2 2 2
2
0
x a y b z c R
Ax By Cz D

     


   



Đƣờng tròn
()C
có tâm
H
là hình chiếu vng góc của
I
trên mặt phẳng
()


và bán kính
22
r R IH
, với
( ,( ))I H d I


.
* Chú ý:
- Nếu
0IH 
thì mặt phẳng
()

cắt mặt cầu
()S
theo một đường tròn tâm
I
bán kính bằng
bán kính
R
của mặt cầu đường tròn đó được gọi là đường tròn tâm của mặt cầu.
- Nếu mặt phẳng
()

tiếp xúc với mặt cầu
()S
tại điểm
M
thì

M
gọi là tiếp diện của mặt cầu.
Mặt phẳng
()

vng góc với bán kính
R
tại tiếp điểm
M
.
- Nếu mặt phẳng
()

đi qua tâm
I
của mặt cầu
()S
thì sẽ cắt mặt cầu
()S
theo đƣờng tròn
()C
,
gọi là đƣờng tròn lớn, có tâm và bán kính chính là tâm và bán kính của mặt cầu
()S
.

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 19

Dạng 1: TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU.

PHƢƠNG PHÁP:
* Phƣơng trình mặt cầu có dạng:
     
2 2 2
2
x a y b z c R     

Dễ nhận thấy tâm
( ; ; )I a b c
và bán kính
R
.
* Phƣơng trình mặt cầu có dạng:
2 2 2
0x y z mx ny pz d      

- Cách tìm tâm: giải phƣơng trình :
2

2
2
a m a
b n b
c p c
  


   


  


- Cách tìm bán kính:
2 2 2
R a b c d   


Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
2 2 2
( ): 8 2 6 1 0S x y z x y z      

b)
2 2 2
9
( ):3 3 3 6 3 15 0
2
S x y z x y z      

GIẢI.
a) Tâm của mặt cầu:
 
8
4
2
2
: 1 4; 1; 3
2
6
3
2
a
I b I
c







     




  





Bán kính mặt cầu:
2 2 2 2 2 2
4 ( 1) ( 3) 1 5R a b c d          

b) Ta có:
2 2 2 2 2 2
93
( ):3 3 3 6 3 15 0 2 5 0
22
S x y z x y z x y z x y z              

Tâm của mặt cầu:
2
1
2
1 1 1 5
: 1; ;
2 2 2 2
55
22
a
I b I
c

  







    






  




Bán kính mặt cầu:
22
2 2 2 2
1 5 3
16
2 2 2
R a b c d
   
         
   
   

tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 20

BÀI TẬP ÁP DỤNG.

Bài 1: Tìm tọa độ tâm và bán kính mỗi mặt cầu sau đây:
a)
     
2 2 2
2 3 1 8x y z     
b)
 
2
22
3 16x y z   

c)
2 2 2
2 4 6 2 0x y z x y z      
d)
2 2 2
8 2 1 0x y z x y     

e)
2 2 2

2 4 8 12 0x y z x y z      
f)
2 2 2
6 2 6 0x y z y z     

g)
2 2 2
2 2 2 8 4 6 4 0x y z x y z      
h)
2 2 2
3
3 3 3 6 3 15 0
4
x y z x y z      

Bài 2: Cho mặt cầu
()
m
S
có phƣơng trình:
2 2 2 2
( ): 4 4 2 4 0
m
S x y z mx y mz m m       

Tìm
m
để
()
m

S
là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
Bài 3: Cho
()
m
S
có phƣơng trình:
2 2 2 2
( ): 2 2 4 5 2 3 0
m
S x y z mx my mz m m        

Xác định tham số
m
để
()
m
S
là một mặt cầu. Tìm tập hợp tâm
I
của mặt cầu
()
m
S
khi
m
thay
đổi.
Dạng 2 : VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THEO CÁC
ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.

PHƢƠNG PHÁP :
* Để viết đƣợc phƣơng trình mặt cầu cần xác định tâm
( ; ; )I a b c
và bán kính
R
. Sau khi có 2
thơng số trên viết phƣơng trình mặt cầu dạng:
     
2 2 2
2
x a y b z c R     

* Dƣới đây là một số kiến thức cần nhớ khi viết phƣơng trình mặt cầu:
1) Biết đƣờng kính AB: Tâm là trung điểm AB; bán kính
2
AB
R 

Gọi
( ; ; )
I I I
I x y z
là tâm của mặt cầu:
2
2
2
AB
I
AB
I

AB
I
xx
x
yy
y
zz
z















;
Bán kính
     
2 2 2
22
B A B A B A
x x y y z z

AB
R
    



tusachvang.net
ÑAËNG VAÊN CÖÔØNG
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Trang 21

2) Phƣơng trình mặt cầu qua 4 điểm:
Gọi phƣơng trình mặt cầu có dạng:
2 2 2
2 2 2 0 ( )x y z ax by cz d S      

Lần lƣợt thế tọa độ của 4 điểm vào phƣơng trình mặt cầu
()S
ta đƣợc hệ phƣơng trình bốn ẩn.

3) Biết tâm I và phƣơng trình mặt cầu đi qua điểm A:
Tính bán kính mặt cầu:
R IA
.

4) Biết tâm I(a;b;c) và tiếp xúc với một mặt phẳng:
 
:0Ax By Cz D


   

Tính bán mặt cầu:
2 2 2
( ;( ))
aA bB cC D
R d I
A B C

  



5) Đi qua 2 điểm A và B và có tâm nằm trên một đƣờng thẳng (d):
0
0
0
( ):
x x at
d y y bt
z z ct








;

- Vì
0 0 0
( ) ( ; ; )I d I x at y bt z ct    

- Tính
22
IA IB
, từ đó suy ra giá trị
t
, thay vào tọa độ
I
ta đƣợc tọa độ tâm
I
; bán kính
R IA
.
* Chú ý : Tâm
I
nằm trên
( ;0;0)Ox I a
, tƣơng tự cho các trục còn lại.
6) Đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P):
Gọi
( ; ; )I a b c
là tâm mặt cầu.
Giải hệ phƣơng trình :
22
22
( ; ; )
()

IA IB
a
I a b c
IA IC b
R IA
I P c







   
  








Ví dụ 2: Cho
(6;2; 5), ( 4;0;7)AB
.Viết phƣơng trình mặt cầu nhận
AB
làm đƣờng kính.

GIẢI.
Gọi
I
là tâm mặt cầu là trung điểm của
AB

64
1
22
20
: 1 (1;1;1)
22
57
1
22
AB
I
AB
I
AB
I
xx
x
yy
I y I
zz
z


  





    


  

  



Bán kính mặt cầu:
2 2 2
( 4 6) (0 2) (7 5)
62
22
AB
R
     
  

Vậy phƣơng trình mặt cầu cần tìm là:
2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) 62x y z     



tusachvang.net

ẹAậNG VAấN CệễỉNG
PHNG TRèNH MT CU.

HèNH HC GII TCH TRONG KHễNG GIAN Trang 22

Vớ d 3: Vit phng trỡnh mt cu qua bn im
(2;0;0), (0;4;0), (0;0;4), (0;0;0)A B C O
.


GII.
Gi phng trỡnh mt cu qua bn im trờn cú dng:
2 2 2
( ) 2 2 2 0S x y z ax by cz d

Ln lt thay ta cỏc im
, , ,A B C O
vo
()S
ta c h phng trỡnh:
4 4 0 1
16 8 0 2
16 8 0 2
00
a d a
a d b
c d c
dd

Vy phng trỡnh mt cu cn tỡm l:
2 2 2
2 4 4 0x y z x y z


Vớ d 4: Vit phng trỡnh mt cu cú tõm
( 1;2;3)I
v qua im
( 2;1;1)M
.


GII.
Gi
()S
l phng trỡnh mt cu cn tỡm cú:
2 2 2
( 1;2;3)
( 2 1) (1 2) (1 3) 6

I
R IM







taõm
baựn kớnh

Vy phng trỡnh mt cu
()S
cn tỡm l:
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 6x y z


Vớ d 5: Vit phng trỡnh mt phng cú tõm
(1;1;2)I
v tip xỳc vi mt phng
( ): 2 2 2 0x y z


.

GII.

Gi

()S
l phng trỡnh mt cu cn tỡm cú:
222
(1;1;2)
1 2.1 2.2 2
( ,( )) 3
1 2 2
I
R d I









taõm
baựn kớnh

Vy phng trỡnh mt cu
()S
cn tỡm l:
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 9x y z


Vớ d 6: Vit phng trỡnh mt cu
()S

qua ba im
(0;0;4), (2;1;3), (0;2;6)A B C
v cú tõm nm
trờn mt phng
yOz
.

GII.
Gi
( ; ; )I a b c
l tõm mt cu
()S
cn tỡm.
Vỡ
()S
qua ba im
,,A B C
v
( ): 0I yOz x
nờn ta cú h phng trỡnh:
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 23

2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
0
(4 ) (2 ) (1 ) (3 )

5
(4 ) (2 ) (6 )
2
( ) 0
7
2
a
IA IB a b c a b c
IA IC a b c a b c b
I P a
c




         



           
  
  







5 7 13

0; ; ;
2 2 2
I R IA

   



Vậy phƣơng trình mặt cầu cần tìm là :
22
2
5 7 13
2 2 2
x y z
   
    
   
   


BÀI TẬP ÁP DỤNG.

Bài 4: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a) Có tâm I (1;2;3) và bán kính bằng 3.
b) Có đƣờng kính là AB với A(1; -2;0) và B (3;2;2)
c) Có đƣờng kính là MN với M(2; -3;3) và N(4; -1; 1).
d) Có tâm I(2;2;3) và đƣờng kính d = 8.
e) Đi qua bốn điểm: A(1; 3; 9), B(3; 6; 8), C(8;3;2) và D(4;9;4)
f) Tâm I(2 ;-1 ; 3) và đi qua A(7 ; 2 ; 1).
g) Tâm I(-2 ; 1 ; – 3) và tiếp xúc mp(Oxy).

h) Đi qua A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( 2 ; 2 ; 3) và có tâm nằm trên mp(Oxy).
i) Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thuộc trục Oz.
j) Đi qua bốn điểm A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1)

Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a) Tâm I  Ox và đi qua 2 điểm A(3;1;0) B (5;5;0).
b) Có tâm là trọng tâm tam giác ABC với A(1;2;3), B(2;2;1), C(0;2;-1) và tiếp xúc với mặt
phẳng (P):3x +4y + 5 = 0
Bài 6: Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt cầu:
a) Đi qua ba điểm A(0;8;0), B(4;6;2), C(0;12;4) và có tâm nằm trên mp
()Oyz
.
b) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng
()Oyz
và có tâm nằm trên tia Ox.
c) Có tâm
(1;2;3)I
và tiếp xúc với mp
()Oyz

Bài 7: Lập phƣơng trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(-1;2;3), B(-4;1;-1), C(0;2;2) và có tâm nằm
trên mặt phẳng
Oxz

Bài 8: Lập phƣơng trình mặt cầu có tâm
(2; 1;2)I 
tiếp xúc với
( ): 2 2 5 0x y z

   

Bài 9*: Chứng tỏ rằng phƣơng trình
2 2 2 2
2 os . 2sin . 4 4 4sin 0x y z c x y z
  
       
ln
là phƣơng trình của một mặt cầu. Tìm

để bán kính mặt cầu là lớn nhất.
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 24

Bài 10*: Qua đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tâm I  mp (P):
18 35 17 2 0x y z   
.Biết ba cạnh của tam giác ABC là:
5 2 0
( ):
0
xy
AB
z
  





;
( ): 2
0
xt
BC y t
z








;
8
( ):
1 1 0
x y z
AC






Dạng 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT
CẦU – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CẦU.

PHƢƠNG PHÁP:

a) Vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu : đã nêu ở phần đầu.
b) Viết phƣơng trình tiếp diện:
* Viết phƣơng trình tiếp diện của mặt cầu tại M:
- Mặt phẳng
()P
qua M và vng góc với IM 



 IMn_VTPT
M_qua
P

* Viết phƣơng trình tiếp diện biết mp tiếp diện (P) song song với một mặt phẳng (Q):
Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R, mặt phẳng (Q) có dạng:
0Ax By Cz D   

Gọi mặt phẳng cần tìm (P) // (Q) có dạng:
0Ax By Cz m   

Để tìm
m
ta dựa vào điều kiện tiếp xúc:
( ,( ))d I P R


BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài 11: Cho mặt cầu (S) có phƣơng trình:
2 2 2

2 4 6 10 0x y z x y z      

Xét vị trí tƣơng đối của (S) với các mặt phẳng:
a) (P): 3x + 2y – 2z + 22 = 0 b) (Q): x – 2y + 2z – 7 = 0.
c) (R): 5x – y + z + 1 = 0 d) (

): 3x – y – z - 3 = 0.
Bài 12: Cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 8 14 55 0x y z x y z      
và mặt phẳng
( ):6 6 7 0P x y z m   
.
Xác định m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt phẳng (S).
Bài 13: Cho mặt cầu (S) có phƣơng trình:
2 2 2
4 2 10 19 0x y z x y z      

Viết phƣơng trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu tại điểm M(4;4;-3).
Bài 14: Cho mặt cầu (S):
     
2 2 2
1 3 2 49x y z     
. Viết phương trình mặt phẳng tiếp
xúc với mặt cầu (S) tại trung điểm AB biết A(9; 4; -1) và B(7;2;5).
Bài 15: Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng:
4 3 12 1 0x y z   
và tiếp
xúc với mặt cầu có phương trình:
2 2 2

2 4 6 2 0x y z x y z      

Bài 16: Lâp phƣơng trình tiếp diện với mặt cầu tại điểm M :
tusachvang.net