ứng dụng mô hình hóa bề mặt offset khi gia công bề mặt trên máy công cụ cnc bằng dao phay đầu cầu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
==========






NGUYỄN THỊ QUỲNH NGA



ỨNG DỤNG TOÁN HỌC MÔ HÌNH HÓA
BỀ MẶT OFFSET KHI GIA CÔNG BỀ MẶT
TRÊN MÁY CÔNG CỤ CNC BẰNG DAO
PHAY ĐẦU CẦU





Chuyên ngành: Công nghệ chế tạo máy
Mã số: 60.52.04





LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY

Thái Nguyên - 2010


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-1-

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Kỹ thuật Công
nghiệp, Khoa đào tạo sau đại học và các thầy giáo đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện bản luận văn này.
Với sự kính trọng sâu sắc, Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS.
Hoàng Vị- người Thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu
và hoàn thành luận văn.
Sau hết Tôi xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và người thân đã động viên
giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Xin trân trọng cảm ơn!

Tác giả












Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-2-




LỜI CAM ĐOAN


Tôi xin cam đoan toàn bộ luận văn này do chính bản thân tôi thực hiện dƣới
sự hƣớng dẫn khoa học của TS. Hoàng Vị.
Nếu sai tôi xin chịu mọi hình thức kỷ luật theo quy định.
Ngƣời thực hiện

Nguyễn Thị Quỳnh Nga

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-3-


MỤC LỤC

Nội dung
Trang
Lời cảm ơn
1
Lời cam đoan
2
Mục lục
3
Danh mục kí hiệu và chữ viết tắt
5
Danh mục các hình vẽ, đồ thị, ảnh chụp

5
Phần mở đầu
9
1.
Tính cấp thiết của đề tài
9
2.
Mục đích nghiên cứu
10
3.
Phƣơng pháp nghiên cứu
10
4.
Nội dung nghiên cứu
10
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ GIA CÔNG PHAY
BẰNG DAO PHAY ĐẦU CẦU
1.1. Giới thiệu


11

1.1.1. Các thông số kỹ thuật cần thiết
11

1.1.1.1. Các thông số hình học của bề mặt chi tiết gia công
13

1.1.1.2. Các thông số hình học của dao phay đầu cầu
22

1.2.
Mô hình lực cắt
26

1.2.1. Xác định tƣơng tác của dụng cụ cắt
26

1.2.2. Hiện tƣợng đảo dao
29
1.3.
Một số đặc điểm bề mặt chi tiết sau khi gia công
32
1.4.
Kết luận
36


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-4-
CHƢƠNG 2: TẠO HÌNH BỀ MẶT CHI TIẾT GIA CÔNG
38
2.1.
Mô hình hình học bề mặt chi tiết gia công
38
2.2.
Quan hệ hình học giữa profin của dao và phôi
39
2.3.

Mô hình lực cắt khi phay
46
2.4.
Kết luận
53
CHƢƠNG 3: MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA CÁC BỀ MẶT OFFSET
3.1.
Giới thiệu
55
3.2.
Thực thể của các bề mặt
55
3.3.
Biểu diễn các bề mặt
60
3.4.
Phân tích bề mặt
64

3.4.1. Vecto tiếp xúc ( tiếp tuyến )
64

3.4.2. Vecto xoắn (Twist vector)
65

3.4.3. Các véc tơ thông thƣờng
66

3.4.4. Phép tính khoảng cách
67

3.4.5. Các đƣờng cong
69

3.4.6. Các mặt phẳng tiếp xúc
70
3.5.
Phân tích các bề mặt
72
3.6.
Mặt phẳng
72
3.7.
Mặt phẳng xiên
76
3.8.
Mặt trụ kẻ
78
3.9
Tổng hợp các bề mặt
78
3.10.
Bề mặt song lập phƣơng Hermite
79
3.11.
Bề mặt Bezier
82


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

-5-
3.12.
Bề mặt B- spline
85
3.13.
Bề mặt Coon
88
3.14.
Bề mặt đa hợp
94
3.15.
Các phần tử tam giác
95
3.16.
Các thao tác với bề mặt
96

3.16.1. Biểu diễn bề mặt
96

3.16.2. Đánh giá các điểm và các đƣờng cong trên bề mặt
98

3.16.3. Sự phân mảnh
98

3.16.4. Cắt
99

3.16.5. Giao tuyến
100

3.16.6. Phép chiếu
101
3.17.
Bề mặt offset
103
3.18.
Kết luận
104
CHƢƠNG 4: KẾT LUẬN CHUNG 105

DANH MỤC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
CNC
Computer Numerical Control
Điều khiển số máy tính
CAD
Computer Aided Design
Thiết kế bằng máy tính
CAM
Computer Aided Manufacturing
Sản xuất bằng máy tính
NURBS
Non-uniform rational B-splines
Bề mặt NURBS
MCS
Machine Coordinate system
Hệ toạ độ máy

WCS
Workpiece Coordinate system
Hệ toạ độ phôi





Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-6-
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ - ĐỒ THỊ - ẢNH CHỤP
TT
Hình
Nội dung
Trang
1.
Hình 1.1
Hệ tọa độ của máy phay CNC
12
2.
Hình 1.2
Phay mặt cong bằng dao phay cầu
13
3.
Hình 1.3
Tọa độ cong trên mặt cong
14
4.

Hình 1.4
Góc giữa hai mặt cong
17
5.
Hình 1.5
Độ cong của mặt cong
17
6.
Hình 1.6

18
7.
Hình 1.7
Độ cong trung bình của mặt cong
20
8.
Hình 1.8
Các điểm đặc biệt
21
9.
Hình 1.9
Hình học của dao phay đầu cầu
23
10.
Hình 1.10
Thông số hình học của lƣỡi cắt
26
11.
Hình 1.11
Vị trí tƣơng đối của điểm P với vị trí trƣớc đó của dụng

cụ cắt trong mặt phẳng thẳng đứng, với Z=Z
P
27
12.
Hình 1.12
Các thông số tại điểm P trong mặt phẳng (x, z), trƣờng
hợp cắt lên dốc
29
13.
Hình 1.13
các thông số đảo hƣớng tâm: (a) mô tả hiện tƣởng đảo
hƣớng tâm; (b) bán kính tƣơng đƣơng R
e
(zp) của dao
phay tại điểm P
30
14.
Hình 1.14
Khi bán kính dao lớn hơn bán kính cong chi tiết
32
15.
Hình 1.15
Tiếp xúc ngoài
33
16.
Hình 1.16
Tiếp xúc trong
33
17.
Hình 1.17

Điểm lùi của đƣờng cong lồi
33
18.
Hình 1.18
Điểm lùi của đƣờng cong lõm
33
19.
Hình 1.19
Thay đổi kích thƣớc và thông số kết cấu của dụng cụ
34
20.
Hình 1.20
Độ nhấp nhô bề mặt chi tiết
34
21.
Hình 1.21
Sự hình thành bề mặt khi gia công bằng dao phay cầu
35
22.
Hình 2.1
Các thông số hình học của quá trình phay
40


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-7-
23.
Hình 2.2

Mô hình hình học phần cầu của dao
41
24.
Hình 2.3
Mối quan hệ giữa các thông số hình học của dao
43
25.
Hình 2.4
Đồ thị của hàm F
1

44
26.
Hình 2.5
Mô hình bề mặt chi tiết gia công tại một vị trí cắt
45
27.
Hình 2.6
Các thành phần của vận tốc cắt tại một điểm cắt
46
28.
Hình 2.7
Kiểu chạy dao theo biên dạng chi tiết
47
29.
Hình 2.8
Kiểu chạy dao theo phƣơng ngang
47
30.
Hình 2.9

3 thành phần của vecto tốc độ chạy dao răng và các góc
tƣơng ứng
48
31.
Hình 2.10
Quá trình tạo phoi
49
32.
Hình 3.1
Các bề mặt trụ tròn
56
33.
Hình 3.2
Các mặt phẳng
57
34.
Hình 3.3
Mặt cơ sở
57
35.
Hình 3.4
Mặt cong
58
36.
Hình 3.5
Mặt trụ kẻ
58
37.
Hình 3.6
Mặt phẳng Bezier

59
38.
Hình 3.7
Mặt phẳng B – spline.
59
39.
Hình 3.8
Bề mặt coons
59
40.
Hình 3.9.
Bề mặt fillet
60
41.
Hình 3.10.
Bề mặt offset
60
42.
Hình 3.11.
Vị trí của điểm P
61
43.
Hình 3.12.
Biểu diễn tham số của mặt phẳng
62
44.
Hình 3.13.
Hai mảnh (2 patch) của bề mặt
62
45.

Hình 3.14.
Những mặt nối các mảnh hình tam giác và chữ nhật
63
46.
Hình 3.15.
Điều kiện biên của bề mặt
63
47.
Hình 3.16.
Hình học của vec tơ xoắn
66


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-8-
48.
Hình 3.17.
Khoảng cách giữa 2 điểm
68
49.
Hình 3.18.
Góc của mặt phẳng tiếp xúc
71
50.
Hình 3.19.
Xác định bề mặt mặt phẳng đi qua 3 điểm
73
51.

Hình 3.20.
Xác định bề mặt mặt phẳng qua một điểm tới hai hƣớng
74
52.
Hình 3.21.
Một điểm và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
74
53.
Hình 3.22.
Khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm và một mặt phẳng
75
54.
Hình 3.23.
Mặt phẳng xiên
77
55.
Hình 3.24.
Mặt trụ kẻ
78
56.
Hình 3.25.
4 × 5 bề mặt bezier
83
57.
Hình 3.26.

84
58.
Hình 3.27.
4 × 5 mảnh của bề mặt B- spline

87
59.
Hình 3.28.
Đƣờng biên của bề mặt coon
89
60.
Hình 3.29.
Các dạng diểu diễn hình học của P(u,v)
90
61.
Hình 3.30
Chuyển tiếp qua đƣờng biên
90
62.
Hình 3.31.
Mặt coon phức hợp
91
63.
Hình 3.32.

93
64.
Hình 3.33
Bề mặt đa hợp
94
65.
Hình 3.34.
Biểu diễn mảnh hình tam giác.
95
66.

Hình 3.35.
Những mặt Bezier hình tam giác.
97
67.
Hình 3.36.
Các phần tử bề mặt phân mảnh
99
68.
Hình 3.37.
Cắt bề mặt
100
69.
Hình 3.38.
Giao tuyến giữa bề mặt với bề mặt
101
70.
Hình 3.39
Phép chiếu một điểm trên một mặt phẳng
102
71.
Hình 3.40
Phép chiếu một đƣờng cong trên một mặt phẳng
103






Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

-9-







PHẦN MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
a. Cơ sở khoa học
Tạo hình bề mặt bằng dao phay đầu cầu trên máy công cụ CNC có thể chế
tạo đƣợc các chi tiết có hình dáng hình học phức tạp, khó mài (chi tiết khuôn, mẫu
…), đƣợc làm bằng các vật liệu khó gia công nhƣ thép hợp kim có độ bền cao, thép
chịu nhiệt, thép không gỉ… đòi hỏi ngày càng cao về nâng cao chất lƣợng bề mặt.
Công việc nghiên cứu sâu, rộng đã thu hút đƣợc sự chú ý của các nhà nghiên cứu
khác nhau. Các nhà nghiên cứu [1] [6] đã phát triển các mô hình cho các dự đoán
của tạo hình bề mặt nhằm nâng cao chất lƣợng bề mặt của chi tiết gia công. Tuy
nhiên việc nghiên cứu bù bán kính dụng cụ cắt trong không gian theo mặt offset
cho đến nay là chƣa thấy đƣợc công bố. Mặt offset của bề mặt chi tiết gia công
đƣợc hiểu nhƣ là quĩ tích của gốc hệ tọa độ tƣơng đối (Incremental Coordinate
system).
Vì vậy nghiên cứu mô hình hoá bề mặt offset khi gia công bề mặt trên máy
công cụ CNC bằng dao phay đầu cầu nhằm đƣa ra thuật toán bù bán kính tránh hiện
tƣợng cắt lẹm biên dạng của bề mặt, nâng cao chất lƣợng chi tiết gia công, tăng
hiệu quả kinh tế của quá trình máy.
b. Cơ sở thực tiễn của đề tài
Ở Việt Nam hiện nay, các trung tâm phay CNC đƣợc sử dụng phổ biến trong

sản xuất chế tạo máy, việc lập trình điều khiển chúng thƣờng đƣợc thực hiện


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-10-
bởi các phần mềm CAD/CAM, tiến trình lập trình tự động thƣờng bắt đầu bằng
chọn toolpath, bù bán kính theo biên dạng và postprocessor để xuất chƣơng trình
điều khiển. Các ảnh hƣởng gây sai số gia công do phƣơng pháp gây ra chƣa đƣợc
nghiên cứu và phân tích một cách đầy đủ. Vì vậy đề tài nghiên cứu: "Ứng dụng
toán học mô hình hóa bề mặt offset khi gia công bề mặt trên máy công cụ CNC
bằng dao phay đầu cầu", làm cơ sở cho việc đƣa ra thuật toán bù bán kính khi
phay bề mặt bằng dao phay đầu cầu là cấp thiết, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
2. Mục đích của đề tài
* Nghiên cứu lý thuyết tạo hình bề mặt bằng dao phay đầu cầu trên máy.
* Nghiên cứu mô hình hóa bề mặt offset.
* Đánh giá kết quả.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
* Nghiên cứu phát triển lý thuyết kết hợp với kiểm nghiệm.
4. Nội dung nghiên cứu
* Chƣơng 1: Tổng quan các nghiên cứu về gia công phay bằng dao phay đầu cầu.
* Chƣơng 2: Tạo hình bề mặt chi tiết gia công.
* Chƣơng 3: Mô hình toán học của các bề mặt offset.
* KẾT LUẬN.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-11-








CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ GIA CÔNG PHAY
BẰNG DAO PHAY ĐẦU CẦU

1.1. Giới thiệu
Trong ngành chế tạo máy, việc chế tạo các chi tiết có hình dáng hình học
phức tạp (chi tiết khuôn, mẫu, các chi tiết trong ngành hàng không, giao thông vận
tải ), đƣợc làm bằng vật liệu khó gia công nhƣ thép hợp kim có độ bền cao, thép
chịu nhiệt, thép không gỉ, thép đã tôi đã và đang phát triển mạnh mẽ. Để gia công
các chi tiết đó đạt độ chính xác về hình dáng hình học, cơ lý tính bề mặt và độ bóng
bề mặt có nhiều phƣơng pháp gia công để lựa chọn vì hiện nay ngành cơ khí chế
tạo máy có rất nhiều loại máy công cụ, nhiều kiểu dụng cụ cắt, nhiều loại vật liệu

phù hợp và kết hợp với công nghệ hiện đại nhƣ công nghệ CAD/CAM. Việc gia
công những bề mặt chi tiết phức tạp này có một số phƣơng pháp nhƣ: Gia công
bằng điện hoá, gia công bằng siêu âm, gia công bằng tia lửa điện Những phƣơng
pháp gia công này cần nguồn đầu tƣ lớn, năng suất gia công thấp dẫn đến giá thành
của chi tiết gia công cao. Bên cạnh đó, sự xuất hiện và khả năng ứng dụng của các
máy công cụ CNC ngày càng đƣợc khẳng định, đó là khả năng gia công với độ
chính xác yêu cầu, năng suất cao và giá thành hạ, cụ thể gia công các chi tiết đó
trên máy phay CNC khi mô phỏng bề mặt offset khi gia công bề mặt trên máy công
cụ CNC bằng dao phay đầu cầu nhằm đƣa ra thuật toán bù bán kính trong


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-12-
không gian, tránh hiện tƣợng cắt lẹm biên dạng bề mặt, nâng cao chất lƣợng chi tiết
gia công, tăng hiệu quả kinh tế của quá trình máy.
1.1.1. Các thông số kỹ thuật
Khi gia công chi tiết trên máy phay CNC cần cung cấp các chuyển động cần
thiết để tạo hình bề mặt đó là: Chuyển động quay của dao tạo tốc độ cắt chính và
chuyển động tịnh tiến của phôi. Do đó, các điểm tham gia cắt gọt của dao là các
điểm tiếp xúc giữa lƣỡi cắt và bề tạo hình và các điểm tiếp xúc này thay đổi phức
tạp phụ thuộc vào mối quan hệ hình học của lƣỡi cắt và bề mặt chi tiết. Điều này
quyết định lớn đến chất lƣợng bề mặt chi tiết gia công.
Hệ trục tọa độ và vị trí của dao, chi tiết gia công khi cắt gọt trên các máy
phay CNC nhƣ hình vẽ:
Hình1.1: Hệ toạ độ của máy phay CNC
Ngày nay, các dạng bề mặt tự do đƣợc sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành
công nghiệp nhƣ giao thông, hàng không vũ trụ, y sinh, khuôn mẫu và các sản xuất
đồ gia dụng. Chúng rất đa dạng nhƣ các khuôn cho sản xuất các vỏ phƣơng tiện

giao thông, cánh tuốc bin, bộ cánh gạt cho các bơm nhân tạo, … Có nhiều lý do về
tính hiệu quả, tính thẩm mỹ, … cho việc thiết kế và chế tạo các dạng bề mặt tự do.
Các phát triển gần đây trong các hệ thống CAM cho phép gia công các chi tiết có
dạng hình học phức tạp. Một trong những vấn đề nhận đƣợc nhiều sự quan tâm nhất


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-13-
trong lĩnh vực lập kế hoạch gia công với hệ thống CAM là lựa chọn đƣợc một
đƣờng chạy dao thích hợp để gia công các dạng bề mặt tự do. Việc xác định đƣờng
chạy dao trong kỹ thuật CAM hiện nay vẫn chủ yếu dựa trên các tính toán hình học,
vì thế, hầu hết các đƣờng chạy dao này đều chƣa phải là tối ƣu trên quan điểm công
nghệ chế tạo. Hiện nay, các kỹ sƣ công nghệ chỉ có thể lựa chọn các đƣờng chạy
dao theo bộ các đƣờng chạy dao cơ bản (zigzag, đƣờng đồng tâm, đƣờng hƣớng
kính, …) trong các hệ CAM phổ thông. Tuy nhiên, các đƣờng chạy dao sẵn có này
không thể tối ƣu cho tất cả các dạng bề mặt tự do đƣợc, dù gia công dạng bề mặt
nào thì các kỹ sƣ cũng chỉ lựa chọn đƣợc trong bộ các đƣờng chạy dao sẵn có. Các
nghiên cứu đã chỉ ra rằng, các đƣờng chạy dao khác nhau sẽ ảnh hƣởng đến sự thay
đổi lực cắt trong trong quá trình gia công. Vì các đƣờng chạy dao sẵn có trong hệ
thống CAM đƣợc thiết lập chỉ dựa trên các tính toán hình học mà hoàn toàn không
tính đến ảnh hƣởng của các tính chất cơ học của quá trình, giá trị của lực cắt thực tế
lớn hơn tính toán, nguy cơ hỏng dao cao hơn, ảnh hƣởng của các lỗi về dao cụ và
dạng bề mặt ở các đƣờng chạy dao sẵn có sẽ cao hơn so với các đƣờng chạy dao tối
ƣu. Vấn đề giảm thiểu lực cắt luôn là mong muốn cho mỗi ngƣời kỹ sƣ công nghệ
vì giảm lực cắt có nghĩa là sẽ tăng đƣợc tuổi bền của dao, giảm nguy cơ gẫy và vỡ
dao, giảm nguy cơ lệch đƣờng chạy dao.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-14-

Hình 1.2 Phay mặt cong bằng dao phay đầu cầu
1.1.1.1. Các thông số hình học của bề mặt chi tiết gia công
Bề mặt hình học phức tạp của chi tiết gia công trong thực tế đƣợc mô tả
bằng toán học với các dạng chủ yếu sau [4]:
Phương trình mặt cong có thể cho bởi một trong các dạng sau:
-Dạng ẩn: F(x,y,z) = 0 (1.1)
- Dạng tƣờng minh : z = f(x,y) (1.2)
- Dạng tham số: x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v) (1.3)
- Dạng véc tơ: r = r(u,v) hay r = x(u,v).i + y(u,v).j + z(u,v).k (1.4)
Độ cong trên mặt cong: Nếu mặt cong cho dƣới dạng tham số hay véc tơ, thì khi
cố định giá trị của một tham số v = v
0
và cho tham số kia (u) biến thiên thì điểm
r(x,y,z) vạch lên một đƣờng cong nằm trên mặt cong: r = r(u,v
0
). Nếu cho v những
giá trị không đổi khác nhau: v = v
1
; v = v
2
; thì chúng ta nhận đƣợc một họ đƣờng
cong trên mặt cong; bởi vì v = const nên đi dọc theo đƣờng cong ấy mỗi u thay đổi,
do đó những đƣờng cong ấy đƣợc gọi những đƣờng u.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-15-
v
2
v
1
v
0
u
0
u
1
u
2
F(u,v)=0
M

Hình 1.3
Tƣơng tự điểm r(u
0
,v) vạch nên một đƣờng cong khác; khi cho u những giá trị
không đổi khác nhau: u = u
1
, u = u
2
, ta nhận đƣợc một họ đƣờng v (u = const).
Do đó có một lƣới đƣờng cong đƣợc lập trên mặt cong, đó là các đƣờng tọa độ, còn

hai số u = u
i
và v = v
k
là các tọa độ cong hay tọa độ Gauxơ của điểm M trên mặt
cong.
Mặt phẳng pháp tuyến:
Nếu qua một điểm cho trƣớc M(r,x, y, z) của mặt cong, vạch tất cả các đƣờng cong
có thể đƣợc trên mặt cong, thì các tiếp tuyến của chúng tại điểm M sẽ nằm trên
cùng mặt phẳng, đó là mặt phẳng tiếp với mặt cong tại điểm M ( trừ những điểm
cônic của mặt cong). Đƣờng thẳng đi qua M và thẳng góc với mặt phẳng tiếp gọi là
pháp tuyến với mặt cong tại điểm M. Mặt phẳng tiếp đi qua các véctơ
v
r
r
u
r
r






21
;
là các véctơ tiếp với đƣờng u và đƣờng v tại điểm M; tích có hƣớng
của chúng
21
.rr


là một véc tơ song song với pháp tuyến và véctơ đơn vị của nó
21
21
0
.
.
rr
rr
N 
gọi là véctơ đơn vị pháp tuyến. N
0
hƣớng về phía này hay phía kia của
mặt cong tùy thuộc vào độ cong, u hay v đƣợc xem là tọa độ thứ nhất hay tọa độ
thứ hai.
Phương trình của mặt phẳng tiếp và pháp tuyến với mặt cong:


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-16-
Bảng 1.1: Phƣơng trình pháp tuyến của các mặt cong
Phƣơng trình mặt
cong
Mặt phẳng tiếp
Pháp tuyến
F(x,y,z) = 0
0)()()( 









zZ
z
F
yY
y
F
xX
x
F

z
F
zZ
x
F
yY
x
F
xX













z = f(x,y)
Z – z = p(X –x) + q(Y – y)
l
zZ
q
yY
p
xX







x = x(u,v), y =
y(u,v), z = z(u,v)

v
z
v
y

v
x
u
z
u
y
u
x
zZyYxX













__________
__________
____
=0
v
y
v
x

u
y
u
x
zZ
v
x
v
z
u
x
u
z
yY
v
z
v
y
u
z
u
y
xX






























.
.
.
.
.
.

r = r(u,v) hay r =

x(u,v).i + y(u,v).j +
z(u,v).k
(R-r). r
1
.r
2
= 0 hay (R-r). N = 0
R = r +

.(r
1
.r
2
) hay
R = r +

.N
Trong bảng này x, y, z, r là các tọa độ và bán kính véctơ của điểm M của đƣờng
cong; X, Y, Z, R là các tọa độ và bán kính véctơ của các điểm trên mặt phẳng tiếp
và pháp tuyến; các đạo hàm đƣợc tính tại điểm M;
y
z
q
x
z
p






 ;
.
Yếu tố bậc nhất của mặt cong:
Nếu mặt cong đƣợc cho dƣới dạng (1.3) hay (1.4), M(u,v) là một điểm cho trƣớc
của mặt cong và N(u + du, v + dv) là một điểm trên mặt cong gần M, thì độ dài
cung MN trên mặt cong đƣợc biểu thị một cách gần đúng bởi vi phân cung hay yếu
tố bậc nhất của mặt cong theo công thức:

222
2. dvGdvEduduEds 
(1.5)
Trong đó:
222
2
1




























u
z
u
y
u
x
rE



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-17-

v
z

u
z
v
y
u
y
v
x
u
x
rrF















21
(1.6)
222
2

2



























v
z

v
y
v
x
rG

Các hệ số E, F, G phụ thuộc vào các điểm của mặt.
Đối với mặt cong cho dƣới dạng 1.1: E = 1 + p
2
; F = p.q; G = 1 + q
2
, trong đó
y
z
q
x
z
p





 ;
.
Các phép đo trên mặt cong:
Độ dài cung của đƣờng cong u = u(t), v = v(t) trên mặt cong với
10
ttt 
đƣợc tính

theo công thức:

dt
dt
dv
G
dt
dv
dt
du
F
dt
du
EdsL
t
t
t
t


1
0
1
0
22
).( 2).(
(1.7)
Góc giữa hai đƣờng cong: (tức là giữa các tiếp tuyến của nó) cắt nhau tại điểm M
và có phƣơng trùng với phƣơng của các véctơ dr (du, dv) và
),( vur


tại điểm đó
đƣợc tính theo công thức:
222222
2 2.
) (
).()(
.
cos
vGvuFuEdvGdvFduduE
vdvGudvvduFuduE
rdr
rdr








(1.8)
Đặc biệt, hai đƣờng sẽ vuông góc với nhau nếu tử số của (1.8) bằng không; F = 0 là
điều kiện vuông góc của các đƣờng tọa độ v = const (dv = 0) và u = const (
0u

).
Diện tích mặt cong S giới hạn bởi đƣờng cong nào đó trên mặt, đƣợc tính bởi tích
phân hai lớp:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-18-

Hình 1.4. Góc giữa hai mặt cong



)(S
dsS
(1.9)
Trong đó:
dvduFEGdS .
2


Độ cong của mặt cong:
Độ cong của một đƣờng trên mặt cong: nếu trên mặt cong vẽ những đƣờng cong
khác nhau đi qua điểm M, thì tại điểm M, các bán kính cong

của các đƣờng cong
 ấy liên hệ với nhau nhƣ sau:
- Bán kính cong của đƣờng cong  bằng bán kính cong của đƣờng cong C là giao
tuyến của mặt cong và mặt phẳng mật tiếp với đƣờng cong  tại điểm M.
M
Q
P

C
r
n
M
Q
P
C
n
N
C
ph.d.g
M
Q
P
C
1
N
C
ph.d.g
C
2
b)a) c)

Hình 1.5
u
v
M

dr
dr

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-19-
- Đối với mỗi giao tuyến phẳng C, bán kính cong của nó bằng:

),cos(. NnR

(M)
Trong đó R là bán kính cong của giao tuyến pháp dạng (C
phdg
), nó cũng đi qua tiếp
tuyến PQ nhƣ C và qua véc tơ N, còn (n,N) là góc giữa véc tơ pháp tuyến chính
đơn vị n của đƣờng cong C và véc tơ pháp tuyến đơn vị N của mặt cong.
Ta có thể xác định bán kính cong r ở tiết diện bất kỳ (I-I) hợp với tiết diện pháp
tuyến N-N tại điểm khảo sát một góc  qua bán kính cong r
N
ở tiết diện pháp tuyến
N-N (hình 1.6).
r = r
N
.cos (1.10)
: góc giữa mặt nghiêng và mặt pháp tuyến.

1
N
M
1

N

rN

Hình 1.6.
Trong công thức (M), R đƣợc lấy dấu cộng nếu N hƣớng về bề lõm của đƣờng cong
C
phdg
, và dấu trừ nếu hƣớng về bề lồi.
- Đối với mỗi giao tuyến pháp C
phdg
, độ cong của nó là:

2
2
1
2
sincos1
R
R
R


(E)
(Công thức Ơle), R
1
và R
2
là các bán kính cong chính, tức là các giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của R; ta có những giá trị ấy tại các giao tuyến pháp chính C

1
và C
2
của


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-20-
mặt cong và  là góc giữa các mặt của các giao tuyến C
1
và C
2
.
Bán kính cong chính: Nếu mặt cong đƣợc cho bởi phƣơng trình z = f(x,y) thì R
1
và
R
2
đƣợc tính nhƣ nghiệm của phƣơng trình bậc hai:
(rt – s
2
). R
2
+ h[2p.q.s – ( 1 + p
2
) – (1 + q
2
).r]. R + h

4
= 0 (A)
Trong đó:
22
2
22
2
2
1,,
.
;;; qph
y
z
t
yx
z
s
x
z
r
y
z
q
x
z
p 

















Các mặt phẳng của các giao tuyến pháp chính C
1
và C
2
thẳng góc với nhau; chiều
của nó đƣợc xác định bởi giá trị
x
y


thu đƣợc từ phƣơng trình bậc hai:
0])1([)]1()1.([))].(1([
22222







 rpqps
x
y
qrpt
x
y
qstpq
(B)
Nếu mặt cong đƣợc cho dƣới dạng tham số r = r(u,v) thì các phƣơng trình tƣơng
ứng với (A) và (B) sẽ có dạng:
(D.D‖ – D’
2
).R
2
– (E.D‖ – 2F.D’ + G.D).R + (E.G – F
2
) = 0 (A’)
(G.D’ – F.D‖).(
du
dv
)
2
+ (G.D – ED‖).
du
dv
+ (F.D – E.D’) = 0 (B’)
Trong đó: D, D’, D‖ là các hệ số của dạng thức toàn phƣơng thứ hai của mặt cong,
xác định bởi các công thức:
2

22
2
12
2
11
"
.",
'
.',.
FEG
d
NrD
FEG
d
NrD
FEG
d
NrD







Ở đây các véc tơ r
11,
r
12
, r

22
là các đạo hàm riêng cấp hai của bán kính véc tơ r theo
các tham số u và v; các tử số d, d’, d‖ là:


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-21-

v
z
v
y
v
x
u
z
u
y
u
x
v
z
v
y
v
x
d
v

z
v
y
v
x
u
z
u
y
u
x
vu
z
vu
y
vu
x
d
v
z
v
y
v
x
u
z
u
y
u
x

u
z
u
y
u
x
d



























































2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
",

',
(1.11)
Những đƣờng cong trên mặt cong, mà tại mỗi điểm có chiều của các giao tuyến
pháp chính, đƣợc gọi là những đƣờng chính khúc; phƣơng trình của chúng thu đƣợc
bằng cách tích phân phƣơng trình vi phân (B) và (B’).
Phân loại các điểm của mặt cong: Nếu tại điểm M của mặt cong cả hai đại lƣợng
R
1
và R
2

có cùng một dấu thì các giao tuyến pháp chính hƣớng bề lõm về cùng một
phía. Trong trƣờng hợp ấy trong miền của điểm M, mặt cong đƣợc phân bố về cùng
một phía của mặt phẳng tiếp xúc; điểm nhƣ thế của mặt cong đƣợc gọi là điểm
êliptic, điều kiện giải tích của nó là: D.D‖ – D’
2
>0. Trƣờng hợp riêng R
1
= R
2
,
điểm M đƣợc gọi là điểm tròn hay điểm rốn; mọi giao tuyến pháp tại điểm đó đều
có R = const.
Nếu R
1
và R
2
khác dấu, thì các giao tuyến pháp chính hƣớng bề lõm theo những
phía ngƣợc nhau. Trong trƣờng hợp ấy mặt cong cắt mặt phẳng tiếp xúc và có đặc
trƣng hình yên ngựa, gọi là điểm hypebôlic, điều kiện giải tích: D.D‖ – D’
2
< 0.
Nếu R
1
và R
2
bằng

, thì một giao tuyến pháp chính có điểm uốn hay là một
đƣờng thẳng; điểm nhƣ thế của mặt cong đƣợc gọi là điểm parabolic, điều kiện giải
tích: D.D‖ – D’

2
= 0.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-22-
C
1
C
2
M
C
1
C
2
M
C
1
C
2
M
b)a)
c)
Hình 1.7.
- Độ cong trung bình của mặt cong tại điểm M là biểu thức:

)
11

.(
2
1
21
RR
H 
(1.12)
Độ cong Gauxơ là biểu thức:

21
.
1
RR
K 
(1.13)
Nếu mặt cong nào có độ cong trung bình bằng không tại mọi điểm R
1
= -R
2
thì
đƣợc gọi là mặt cong tối thiểu. Mặt cong nào có độ cong Gauxơ K tại mọi điểm
không đổi thì đƣợc gọi là mặt cong với độ cong không đổi; những thí dụ về những
mặt mà K > 0 là mặt cầu, K < 0 là mặt cầu giả ( mặt tròn xoay do quay đƣờng
tơrăctơric quanh trục của nó).
Các điểm đặc biệt trên bề mặt chi tiết gia công:
Trong nhiều trƣờng hợp cần tìm các điểm đặc biệt (điểm nhọn, điểm giới hạn,
điểm đổi hƣớng) trên prôfin chi tiết. Tại đó prôfin chi tiết đƣợc đổi hƣớng và theo
toán học nhƣ đã biết phƣơng pháp để xác định các điểm đó (hình 1.8) nhƣ sau:
N N
N

N
Hình 1.8. Các điểm đặc biệt.
 Nếu mặt cong cho theo phƣơng trình F(x,y,z) = 0, thì toạ độ các điểm đặc
biệt phải thoả mãn hệ phƣơng trình sau:


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-23-

















0
),,(
0

),,(
0),,(
y
zyxF
x
zyxF
zyxF
(1.14)
 Nếu mặt cong cho theo phƣơng trình tham số thì các điểm đặc biệt phải thoả
mãn hệ phƣơng trình sau:



























0
0
0
)(
)(
)(
1
1
1
t
z
t
y
t
x
tfz
tfy
tfx
(1.15)
* Điểm kì dị của mặt cong (cônic): Nếu những điểm của một mặt cong cho dƣới
dạng 1.1, đồng thời có ( khi x = x
1
, y = y
1

; z = z
1
)

0),,( 








zyxF
z
F
y
F
x
F
(1.16)
thì điểm M(x
1
, y
1
, z
1
) là điểm kì dị (cônic); các tiếp tuyến đi qua điểm M không
cùng nằm trong một mặt phẳng, mà lập nên một mặt nón bậc hai có phƣơng trình:
0).(

).(
.
2)).((
.
2)).((
.
2)()(
222
2
2
2
2
















xX
zZ

xz
F
zZyY
zy
F
yYxX
yx
F
yY
y
F
xX
x
F
(1.17)
(Ở đây các đạo hàm tính đối với điểm M); nếu sáu đạo hàm riêng cấp hai đồng thời
bằng không thì điểm kì dị sẽ là điểm thuộc loại phức tạp hơn ( hình nón bậc ba hay
bậc cao hơn).
Mặt kẻ và mặt khả triển:
Mặt cong đƣợc gọi là mặt kẻ, nếu nó nhận đƣợc từ những vết của một đƣờng thẳng


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


-24-
chuyển động; nếu thêm vào đó, mặt cong có thể triển khai thành mặt phẳng thì nó
đƣợc gọi là mặt khả triển. Không phải mọi mặt kẻ là mặt khả triển (chẳng hạn, mặt
hypeboloide một tầng và paraboloide hypeboloic) là những mặt kẻ mà không phải
là mặt khả triển. Tại mọi điểm của mặt khả triển, độ cong Gauxơ đều bằng không.

Nếu mặt cong đƣợc cho bởi phƣơng trình z = f(x,y) thì điều kiện để cho nó khả
triển là:
r.t – s
2
= 0
1.1.1.2. Các thông số hình học của dao phay đầu cầu
Trong thực tế có nhiều loại dao phay đầu cầu (với kết cấu, hình dáng và quy
cách khác nhau) nhƣng về mặt hình học của dao cơ bản là giống nhau đƣợc mô tả
trong hình 1.7.(a). Hệ toạ độ của dao là O
T
X
T
Y
T
Z
T
, với E là điểm đỉnh dao.
Trên dao có thể có nhiều lƣỡi cắt tùy thuộc và đƣờng kính của dao, nhƣng mỗi một
lƣỡi cắt đều có các thông số cơ bản sau: Hình bao của lƣỡi cắt nằm trên mặt cầu với
bán kính R
0
và mặt trụ có bán kính R
0
với tổng chiều cao tham gia cắt là L
e
. Góc
xoắn của lƣỡi cắt trên phần trụ của dao có giá trị không đổi i
0
( góc i
0

đo từ trục oy
tới đƣờng xoắn ốc). Tại vị trí P thuộc lƣỡi cắt của dao với độ cao z ( đo theo chiều
dƣơng của trục z từ điểm E), bán kính cắt trên mặt phẳng (x,y) là R(z) xác định
theo công thức sau:
Nếu z < R
0
: R(z) =
22
00
()R R z
(1.19)
Nếu z > R
0
: R(z) = R
0

Góc 
j
(z) là góc đo từ trục oy đến OP (P thuộc lƣỡi cắt thứ j), xác định theo công
thức:

2
( ) ( 1).
j
t
zj
N

  
    


rong đó: N
t
là số lƣỡi cắt.
là góc quay của dao từ trục O
T
Y
T
quay quanh trục Z
T
.



là góc trễ từ đỉnh dao Z
T
= 0 đến điểm P với độ cao z (nhƣ hình 1.9a).