ứng dụng nội suy rbf vào phương trình khuếch tán truyền tải

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN





VŨ THỊ SƠN





ỨNG DỤNG NỘI SUY RBF
VÀO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN TRUYỀN TẢI








LUẬN VĂN THẠC SĨ. CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Thái Nguyên - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

VŨ THỊ SƠN





ỨNG DỤNG NỘI SUY RBF
VÀO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN TRUYỀN TẢI

Chuyên ngành: Công nghệ thông tin
Mã số: 60 48 01






LUẬN VĂN THẠC SĨ. CÔNG NGHỆ THÔNG TIN




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS ĐẶNG QUANG Á

Thái Nguyên - 2010




S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn

1
MC LC
M U 2
CHNG 1 : NI SUY HM NHIU BIN BI HM RBF 4
1.1 XP X HM BNG NI SUY 4
1.1 .1Bi toỏn ni suy. 4
1.1.2 a thc ni suy Lagrange 5
1.1.2.1 Xõy dng a thc ni suy
5
1.1.2.2 Sai s ni suy
6
1.1.3 a thc ni suy vi mc cỏch u. 7
1.3.1 Cụng thc tng quỏt
8
1.1.3.2 Sai phõn hu hn 8
1.1.3.3 Cụng thc ni suy Newton 9
1.2. XP X BèNH PHNG TI THIU 9
1.2.1 Xp x thc nghim. 9

1.2.2 Xp x bng a thc 10
1.2.3 Xp x hm kh tớch 11
1.3 Tớnh gn ỳng o hm bng a thc ni suy 12
1.4. HM C S BN KNH V CC TNH CHT 15
1.4.1 Hm hm c s bỏn kớnh (Radial Basis Function networks) 15
1.4.2 Tớnh cht hm bỏn kớnh (radial function): Hm bỏn kớnh l hm ch ph
thuc vo khong cỏch t i s x n mt im c (gi l tõm) cho trc. 15
1.4.3 hm c s bỏn kớnh (RBF): 16
1.4.4 Quỏ trỡnh hc ca hm: 21
CHNG 2: PHNG TRèNH KHUCH TN TRUYN TI 23
2.1 Gii thiu bi toỏn 23
2.2 Mụ hỡnh toỏn hc 24
2.3. M rng hm RBF Hm RBF nhiu lp cho phng trỡnh khuch tỏn
truyn ti: 26
Ch-ơng 3: Giải ph-ơng trình khuếch tán - truyền tải
bằng ph-ơng pháp không l-ới 29
3.1. Bài toán khuếch tán truyền tải trong phng phỏp li 29
3.2. Ph-ơng pháp không l-ới giải bài toán 30
3.2.1. Bài toán tổng quát 30
3.2.2. Bài toán khuyếch tán một chiều 33
MT S KT QU TNH TON 37
KT LUN 40
PH LC 41
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

2
MỞ ĐẦU
Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, con ngƣời đã
ứng dụng những thành tựu của nó trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau. Máy tính
đã trở thành một công cụ hỗ trợ đắc lực cho con ngƣời trong việc xử lý dữ liệu

một cách nhanh chóng và chính xác.
Từ khoảng hai chục năm nay ngƣời ta đã và đang phát triển một kỹ thuật
nội suy mới có độ chính xác cao. Đó là nội suy bởi hàm cơ sở bán kính (Radial
Basis Functions) viết tắt là RBF. Phƣơng pháp nội suy này đã đƣợc sử dụng
trong nhiều lĩnh vực của CNTT nhƣ xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, đồ họa máy tính
và lý thuyết điều khiển. Một số phần mềm về hàm RBF và các ứng dụng cũng
đã đƣợc phát triển. Ngoài ra, một lĩnh vực ứng dụng khác rất hiệu quả của nội
suy RBF là tính toán khoa học. Các kỹ thuật RBF đƣợc sử dụng ngày càng nhiều
trong việc giải số phƣơng trình đạo hàm riêng, đặc biệt là các bài toán phi tuyến
và/hoặc các bài toán trong các miền hình học phức tạp. Lĩnh vực này đƣợc phát
triển dựa trên nền tảng của hình học họa hình, hình học tính toán, hình học vi
phân cùng nhiều kiến thức toán học của đại số và giải tích, cũng nhƣ các thành
tựu của phần cứng máy tính.
Luận văn gồm có ba chƣơng:
Chƣơng 1. Nội suy hàm nhiều biến bởi hàm RBF
Khái niệm cơ bản về nội suy và xấp xỉ hàm số
Một số phƣơng pháp nội suy hàm một biến
Nội suy hàm nhiều biến
Hàm cơ sở bán kính và các tính chất
Nội suy bởi hàm RBF
Chƣơng 2. Phƣơng trình khuyếch tán - truyền tải
Giới thiệu bài toán
Phƣơng pháp sai phân giải phƣơng trình khuyếch tán - truyền tải
Một số thí dụ tính toán
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

3
Chƣơng 3. Giải phƣơng trình khuếch tán - truyền tải bằng phƣơng
pháp không lƣới
Chƣơng trình MATLAB giải bài toán bằng phƣơng pháp sai phân và

phƣơng pháp RBF
Em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo PGS.TS. Đặng Quang Á đã
tận tình hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn này. Em cũng xin chân thành cảm
ơn các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp, Khoa Công nghệ Thông tin – Đại học
Thái Nguyên đã động viên, giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

4
CHƢƠNG 1 : NỘI SUY HÀM NHIỀU BIẾN BỞI HÀM RBF
1.1 XẤP XỈ HÀM BẰNG NỘI SUY
1.1 .1Bài toán nội suy.
Giả sử chúng ta có hàm số y=f(x), và biết giá trị của nó tại các điểm x
0
=a < x
1
<x
2
< <x
n
=b; y
i
= f(x
i
) với i=0, ,n. Hãy tìm biểu thức g(x) đủ
đơn giản xácđịnh trên [a,b] sao cho: y= f(x)  g(x) và g(x
i
) =y
i

Hàm f(x) thƣờng là hàm thực nghiệm hoặc hàm khó tính giá trị nên chỉ
xác định giá trị tại một số điểm nhất định. Các điểm x
i
(i=0, ,n) gọi là các mốc
nội suy.
Về mặt hình học bài toán nội suy đƣợc diễn đạt nhƣ sau: Tìm hàm g(x) có
đồ thị đi qua các điểm (x
i
, f(x
i
))


f(xi)




Lƣợc đồ giải bài toán nội suy.
Ngƣời ta cố gắng tìm hàm G(c
0
, , c
n
, x) khá đơn giản, thỏa mãn một số
điều kiện nhất định và phụ thuộc n+1 tham số c
i
. Các tham số c
i
này sẽ đƣợc
xác định nhờ hệ phƣơng trình sau:

G(c
0
, ,c
n
,x
k
) = y
k
với k=0, ,n (1.2)
Thƣờng ngƣời ta chọn hàm G có dạng:
G

c
0

, c
1

, , c
n

, x




c
k

k



x
       

k


0
y = g(x)

(1.1)
y = f(x)

x
n
= a x
i


x
n
= b

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

5
Trong đó các hàm {
k

(x)} (k=0;n) là họ hàm độc lập tuyến tính cho trƣớc
và thỏa mãn điều kiện
| 
k
(x
i
) |  0 (1.4)
Khi đó hệ (2.2) là luôn giải đƣợc và có duy nhất nghiệm đối với c
i
.
Các hàm {
k
(x)} (k=0;n) đƣợc chọn theo kinh nghiệm hoặc bằng hàm
x
k
để dễ
tính toán
Với các c
i
(i=0;n) tìm đƣợc, hàm g(x) = G(c
0
, , c
n
, x) gọi là hàm
nội suy và dùng làm công thức để tính giá trị của hàm f(x) với các x trong
đoạn[a,b].
1.1.2 Đa thức nội suy Lagrange

Lagrange đã xét trƣờng hợp 
k

(x) = x
k
, (k=0;n), khi đó hàm nội suy là đa
thức bậc
n. Còn định thức | 
k
(x
i
) | là định thức Vandermon nên khác không.
Tuy vậy giải
hệ (1.2) với n lớn vẫn rất khó khăn nên Lagrange đã xây dựng đa
thức nội suy đơn giản sau.
1.1.2.1 Xây dựng đa thức nội suy
Ký hiệu L
(n)
(x) là đa thức nội suy cần tìm. Lagrange chọn đa thức này dƣới
dạng L
(n)
=
0
( ) ( )
n
k
n
k
y k L x


(1.5)
Trong đó

()
k
n
Lx
(k=0;n) là (n+1) đa thức bậc n có nghiệm x= x
i
(với i  k)
và
()
k
n
Lx
=1. Thấy
()
k
n
Lx
=
()
()
i i k
k i i k
xx
xx




(1.6)
Khi đó L

n
(x) là đa thức nội suy cần tìm.
Ví dụ: Giả sử với hàm y = f(x) ta đo đƣợc tại các điểm x
0
, và x
1
tƣơng ứng
là y
0
= f(
x0
) và y1 = f(x1) thì:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

6
0
1
()Lx
=
0
01
()
()
xx
xx



1
1

()Lx
=
0
01
()
()
xx
xx



Từ 2.5 ta đƣợc
L
1
(x) =
0)
10
1
00
2 1 0 1 0
1(
0( )
()
()
y x x
yy
yxx
y x x
xo x x x x x




   
  

Đây chính là đƣờng thẳng đi qua 2 điểm (x
0
,y
0
) và (x
1
,y
1
).
Ví dụ: hàm y = f(x) đo đƣợc tại 4 điểm nhƣ sau:
x
0
1
2
3
x
i

0
0.1
0.3
0.5
y
i

-0.5
0
0.2
1
Khi đó ta có:
32
0
3
( 0.1)( 0.3)( 0.5) 0.9 0.23 0.015
()
( 0.1)( 0.3)( 0.5) 0.015
x x x x x x
Lx
     
  
  

32
2
3
( 0.1)( 0.5) 0.6 0.25
()
(0.3)(0.2)( 0.2) 0.012
x x x x x x
Lx
   
  


32

3
3
( 0.1)( 0.3) 0.4 0.03
()
(0.5)(0.4)( 0.2) 0.04
x x x x x x
Lx
   
  


32
3
3
( 0.1)( 0.3) 0.4 0.03
()
(0.5)(0.4)(0.2) 0.04
x x x x x x
Lx
   
  

Vì y1= 0 nên không cần tính
1
3
()Lx

L(
3
) = y0

0 2 3 3 2
3 2 3 2 3
125 73
( ) ( ) ( ) 30 0.5
3 12
L x y L x y L x x x x     
là đa thức nội suy
cần tìm.
1.1.2.2 Sai số nội suy
Với x[a,b] ta ƣớc lựong sai số f(x) – L
n
(x), trong đó x cho trƣớc.

Đặt 
n
(t) = (t-x
0
) (t-x
1
) (t-x
n
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

7
Rõ ràng nếu x không bằng mốc nội suy thì 
n
(x) 0, nên tìm đƣợc hằng
số k để:

f(x) – L
n
(x) = k.
n
(x) (1.7)

Xét hàm số:
F(t) = f(t) - L
n
(t)-k.
n
(t) (1.8)

Hàm này có n+2 nghiệm phân biệt t=x
i
(i=0;n) và t=x; Bằng phƣơng
pháp quy nạp có thể chứng minh đƣợc rằng tồn tại điểm c [a,b] sao cho
F
(n+1)
(c)=0. Vì L
n
là đa thức bậc n nên có thể tính đạo hàm cấp (n+1) biểu
thức (2.2). Ta có:
F
(n+1)
(c) = f
(n+1)
(c) – 0 – k (n+1)! =0
( 1)
()

( 1)!
n
fc
k
n



(2.5)
Thay giá trị của k vào biểu thức (2.1) ta đƣợc

( 1)
()
( ) ( ) ( )
( 1)!
n
c
f x Ln x f c
n




(1.9)
Điểm c thay đổi khi x thay đổi. Nếu đạo hàm cấp (n+1) của f bị chặn:
|f
(n+1)
(x)| M (2.7)
với x [a,b] thì ta có ƣớc lƣợng sai số nội suy là:

│f(x)- Ln(x)│
( 1)!
M
n


│ω
n
(x)│(1.10)
1.1.3 Đa thức nội suy với mốc cách đều.
Ta xét trƣờng hợp đặc biệt khi các mốc nội suy cách nhau một đoạn bằng
nhau:
x
i
= x
i+1
– x
i
= h = (b-a) /n (với i=0; n –1)(2.9)
Dùng phép đổi biến (x – x
0
)/h = t , các đa thức
()
k
n
Lx
sẽ là đa thức theo t
chỉ phụ thuộc vào số mốc n và có nhiều cách biểu diễn đơn giản, dễ sử dụng
hơn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

8
1.3.1 Công thức tổng quát

Đặt
x – x
0

= h.t
(1.11)
Ta có:
x – x
k

= (t – k) h; k=1 ; n ; x
j

– x
k

= (j – k) h
(1.12)
Thay vào (1.6) ta đƣợc:
()
( 1) ( 1)( 1) ( )
( ) ( )
( ) ( 1) !( )!
i
kk
ik

xn
nk
ki
ik
xx
t t t k t k t n
L x P t
x x k n k




     
  
  



Hay
( ) ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( )
!
k
k n k
n
n
C
P t t t t k t k t n
n

       

không phụ thuộc vào mốc nội suy. Tùy theo từng trƣờng hợp ngƣời ta có
các công thức hàm nội suy thích ứng.
1.1.3.2 Sai phân hữu hạn
Trong trƣờng hợp các mốc nội suy cách đều x
i+1
– x
i
=x
i
= h =const
với i=0, ,n-1. Các sai phân hữu hạn đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
Sai phân cấp 1: y
i
= y
i+1
– y
i

Sai phân cấp 2: 
2
y
i
=y
i+1
–y
i

. . . . . . . .
Sai phân cấp k: 

k
y
i
=
k-1
y
i+1
–
k-1
y
i

Để tính sai phân hữu hạn bằng tay ngƣời ta thƣờng dùng bảng nhƣ sau:
x
x
y
y
y
y

2
y

3
y

4
y

5

y

x
0

x
1

x
2

x
3

x
4
x
5

y
0

y
1

y
2

y
3

y
4
y
5

y
0

y
1

y
2

y
3

y
4


2
y
0


2
y
1


2
y
2


2
y
3


3
y
0


3
y
1


3
y
2


4
y
0


4
y
1


5
y
0

Ví dụ với hàm y=e
x
ta có bảng sai phân với 4 mốc nhƣ sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

9

x
x
y
y
y
y

2
y

3

y
x
0

x
1

x
2

x
3

3.60
3.65
3,70
3,75
36,598
38,475
40,447
42,521
1,877
1,972
2,074
0,095
0,102
0,007

1.1.3.3 Công thức nội suy Newton
Với các sai phân định nghĩa nhƣ trên ta có công thức nội suy Newton hay

còn gọi là công thức Newton .
Với phép biến đổi x-x
0
= ht nhƣ trên ta có
2
0 0 0
( 1) ( 1) ( 1)
( ) ( ) 0
2! !
n
nn
t t t t t n
L x P t y t y y y
n
   
        

Với phép biểu diễn sai số:
1
( 1) ( )
()
!
n
n
t t t n
R x h
n




Với y = e
x
có hàm nội suy là:
0.095 0.077
( ) 36.598 1.877 ( 1) ( 1)( 2)
26
g x t t t t t t      

trong đó x = 3,60 + 0,05 t.
1.2. XẤP XỈ BÌNH PHƢƠNG TỐI THIỂU
Trên đây chúng ta đã xét bài toán xấp xỉ hàm với đòi hỏi hàm gần đúng
phải có giá trị trùng với giá trị đã biết tại các mốc nội suy. Khi số mốc nội suy
lớn thì số tham số cần tìm để xác định hàm g(x) càng nhiều. Nếu nội suy
bằng đa thức thì bậc đa thức sẽ lớn khi có nhiều mốc nội suy, kết quả không ổn
định. Để khắc phục nhƣợc điểm trên ngƣời ta chấp nhận giá trị gần đúng ở các
mốc đo đƣợc và chọn hàm dạng đơn giản có sai số bình phƣơng nhỏ nhất. Đó
chính là phƣơng pháp bình phƣơng tối thiểu.
1.2.1 Xấp xỉ thực nghiệm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

10
Bài toán: Giả sử có thể đo dƣợc giá trị của hàm y=f(x) tại n điểm thuộc
đoạn [a,b]:
x
1
< x
2
< . . .<x
n

; y
i
= f(x
i
) (i=1;n)
Với k  n – 1 ta tìm đƣợc hàm
(x) = ( c
1
, c
k
, x) (2.1)
trong đó,  là hàm cho trƣớc, c
j
là các tham số cần tìm sao cho sai số
trung bình bình phƣơng
nhỏ nhất.

2
1
1
( ( ) )
n
ii
i
xy
n





(2.2)
Khi đó ta nói hàm (x) là xấp xỉ tốt nhất của y(x) trong lớp các hàm
có dạng (2.1) theo nghĩa bình phƣơng tối thiểu.
Về mặt hình học, đồ thị hàm y=(x) không đòi hỏi đi qua các điểm (x
i
,
f(x
i
)) nhƣ trong phép nội suy.
Bài toán tìm cực tiểu hàm trong trƣờng hợp tổng quát là rất khó.
Trong trƣờng hợp hàm ( c
1
, c
k
, x) có dạng:
1
1
( , , ) ( )
k
k j j
j
c c x c x




(2.3)
trong đó 
k
(x) là các hàm độc lập tuyến tính và có dạng đơn giản thì cực

trị toàn
cục của hàm  có thể xác định đƣợc nhờ giải hệ phƣơng trình đại số
tuyến tính
của điều kiện các đạo hàm cấp 1 bằng không.
1.2.2 Xấp xỉ bằng đa thức
Với k  n – 2 ta tìm xấp xỉ tốt nhất của y(x) dƣới dạng đa thức bậc k:

j
0
( ) a
j
k
k
j
P x x




Khi đó sai số trung bình bình phƣơng là:

2
jj
10
1
( a x y )
nk
j
i
ij

n


  
(2.4)
Để tìm cực tiểu của (2.4) ta giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính :

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

11
0; 0,
p
pk
a




(2.5)
Hay

j
1 0 1
( a ) ; 0,
n k n
j p p
i i i j
i j i
x x y x p k
  


  

Hệ
0 1 1
aj ; 0,
k n n
p j p
i i i
j i i
x y x p k

  

  
(2.6)
có duy nhất nghiệm a
0
, ,a
k
cho ta
xấp xí tốt nhất

Để làm ví dụ ta xét xấp xỉ bậc nhất (k=1). Khi đó y(x) đƣợc xấp xỉ bằng:
P(x) = a.x +b và hệ (2.6) trở thành:
2
1 1 1
11
n n n
i i i i

i i i
nn
ii
ii
a x b x x y
a x nb y
  



  

(2.7)
Để giải ra a và b ta phải tính các hệ số với các giá trị x
i
, y
i
cho trƣớc. Ví
dụ nếu ta có:
x
i
= -1;
0;
1;
2;
4
y
i
= 4;
1;

2;
0;
-3
thì hệ (2.7) có dạng:
22a+6b=-14
6a+5b=4
Hệ này có nghiệm a = – 42/37, b= 86/37 và xấp xỉ tốt nhất
42 86
()
37 37
P x x  

1.2.3 Xấp xỉ hàm khả tích
Gọi L
2
(a,b) là tập các hàm bình phƣơng khả tích trên đoạn [a,b] và y
= f(x) 
L
2
(a,b). Ta muốn xấp xỉ y(x) bởi hàm (x) có dạng:

(x) = ( c
1
, c
k
, x) (2.8)
trong đó c
1
, c
k

là các hệ số đƣợc xác định sao cho sai số bình phƣơng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

12
trung bình:
2
1
( ( ) ( )) ( )
b
a
x f x d x
ba





(2.9)
đạt cực tiểu. Khi đó ta nói hàm (x) là xấp xỉ tốt nhất của hàm f(x) trên
đoạn [a,b] theo bình phƣơng tối thiểu.
1.3 Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy
- Giả sử ngƣời ta phải tính xấp xỉ đạo hàm của hàm số f(x) trên đoạn (a,b).
Trƣớc hết ngƣời ta thay hàm f(x) bằng đa thức nội suy p(x), sau đó lấy đạo hàm
p'(x) và coi là xấp xỉ của đạo hàm f'(x).
Ta có thể dùng công thức nội suy Lagrange để tính đạo hàm:

Vì điểm c phụ thuộc x nên ƣớc lƣợng (3.3) chỉ đánh giá đƣợc khi x là các
mốc nội suy x=xi;
Thông thƣờng ngƣời ta xét đa thức nội suy với mốc cách đều với h=x
i+1

– x
i
.
Ví dụ.
Giả sử ta xác định đƣợc đa thức nội suy là:
p3(x) =8x
3
-29x +5
Khi đó đạo hàm:
p3'(x) = 24x
2
-29 đƣợc xem là xấp xỉ của f'(x).
Tính đạo hàm cấp 1.
Đạo hàm tại các điểm biên.
Khi x là điểm biên x
0
hoặc x
n
ta dùng công thức nội suy bậc nhất với hai
mốc nội suy để tính gần đúng đạo hàm:
y’(x
0
) = (y
1
-y
0
)/h
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

13

y’(x
n
) = (y
n
-y
n-1
)/h
Vì y
n
= y
n-1
+ y’(x
n
) h + 0(h
2
) nên sai số của ƣớc lƣợng O(h
2
).
Đạo hàm tại các điểm trong.
Khi x=xi là các điểm trong (i=1,2, ,n-1) ta dùng công thức nội suy bậc 2 có xi là
điểm giữa

với x = x
i-1
+ht
Đạo hàm theo x ta đƣợc:

thay x=xi hay t=1 vào công thức trên ta đƣợc:

hay

với i=1,2,…,n-1.
Để tính ƣớc lƣợng sai số ta có các công thức:

hay công thức có sai số là O(h
2
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

14
Đạo hàm cấp 2.
Để tính đạo hàm cấp 2 ta dùng công thức nội suy cấp 2 để tính y’’(x
i
). Đạo
hàm hai lần liên tiếp biểu thức ta có:

ta có các công thức sau:

Vậy sai số có bậc O(h
2
).
Chúng ta đã có công thức tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại các mốc nội suy.
Để tính đạo hàm tại các điểm không là mốc ta lại áp dụng phƣơng pháp nội suy
Lagrange.
Sai số khi tính đạo hàm ngoài sai số của công thức còn phải tính đến sai số
làm tròn, và các bƣớc nội suy h phải đủ nhỏ.
Ví dụ: Hàm y=f(x) đƣợc cho tại các mốc sẽ có đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại
các mốc này đƣợc tính và cho trong bảng sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

15
1.4. HÀM CƠ SỞ BÁN KÍNH VÀ CÁC TÍNH CHẤT
1.4.1 Hàm hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function networks)
Hàm phân lớp tuyến tính đơn thuần (Perceptron) không thể phân lớp trong
một số trƣờng hợp. Ví dụ nhƣ hàm XOR: {(0,0),{1,1)} Є ω
1.
{(1,0),(0,1)} Є ω
2

Khả năng nhớ các mẫu học: nếu đầu vào của hàm phân lớp “gần giống”
với một mẫu học đã biết trƣớc đó thì kết quả phân lớp cũng phải “gần giống” kết
quả phân lớp đã đƣợc học.
Ý tƣởng phân lớp trên không gian có nhiều chiều hơn: có nhiều ví dụ cho
thấy, khi đƣợc ánh xạ lên không gian nhiều chiều hơn lúc đầu, bài toán phân lớp
trở nên dễ dàng hơn.
1.4.2 Tính chất hàm bán kính (radial function): Hàm bán kính là hàm chỉ
phụ thuộc vào khoảng cách từ đối số x đến một điểm c (gọi là tâm) cho trƣớc.
 
 
 
  W x W x A W r
với
r x A
(1)
Hàm Gaussian:
 
 
2

2
exp exp
2


  


x
W r r


(2)
Hàm đa thức:
 
21

k
W x r
(3)
Hàm spline:
 
2
lnW x x x
(4)
Khoảng cách:
 
22
W r r


(5)
Trong đó:
A – Véc tơ chứa các tâm RBF.
W – Hàm cơ sở hoặc hàm kích hoạt của hàm.
r – Bán kính.
σ, β – Các thông số tỷ lệ.
|| . || - Chuẩn euclidean, tức là nếu x chứa n phần tử thì:
2
1
n
i
i
xx



(6)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

16
1.4.3 hàm cơ sở bán kính (RBF):
Giả sử ta có D tâm c
1
…c
D
, khi đó hàm hàm cơ sở bán kính là tổ hợp tuyến
tính của các hàm bán kính tại các tâm này

Nhƣ vậy
1. Hàm hàm cơ sở bán kính đã tạo ra ánh xạ

với .
2. Kết quả của hàm là

vì vậy, đây là hàm tuyến tính phân lớp dữ liệu trên không gian .
3. Hàm RBF còn có thể dùng để xấp xỉ hàm số nếu ta trực tiếp dùng đầu ra
.
Hàm RBF: Với tập mẫu học D= {(xi, yi)}
N
với i = 1 N
ta phải tìm các tham số của hàm bao gồm: trọng số W = ( ω
1
……., ω
D
)
T

tâm của các hàm bán kính C= C
1
. ….C
D
, tham số của các hàm bán kính
B= {β
1
… β
D
} .
Hàm sai số (error function): Để xác định các tham số của hàm, ta phải đƣa
ra một tiêu chí đánh giá các tham số này khi áp dụng hàm RBF trên tập mẫu học
. Một tiêu chí đánh giá hay dùng là hàm tổng bình phƣơng sai số

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

17
Hàm tổng bình phƣơng sai số hay đƣợc sử dụng vì thuận tiện trong tính
toán đạo hàm. Gần đây, ngƣời ta nhận ra một số nhƣợc điểm của loại hàm sai số
này và có xu hƣớng chuyển sang các hàm sai số khác. Ví dụ, hàm tổng sai số
tuyệt đối

hoặc hàm sai số tuyệt đối lớn nhất

Trƣờng hợp B, C cố định: giải bài toán tối ƣu

Nếu ta đặt thì bài toán trên tƣơng đƣơng với

Đây là bài toán tối thiểu bình phƣơng sai số kinh điển. Trƣờng hợp có
hạng đầy đủ (full rank), giá trị tối ƣu của là

trong đó gọi là ma trận giả nghịch đảo.Trong thực hành,
ngƣời ta không dùng ma trận giả nghịch đảo mà sử dụng biến đổi Gauss để giải
(giống nhƣ giải hệ phƣơng trình tuyến tính). Một đặc điểm nữa của theo công
thức trên là

nghĩa là là vectơ có độ dài nhỏ nhất trong các véctơ tối thiểu hóa
. Đặc điểm này có ý nghĩa lớn vì nó làm tăng tính ổn định của hệ thống
(không làm f(x) quá lớn).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

18
Trƣờng hợp C= {x

1
……x
N
}: Nghĩa là tâm của các hàm bán kính chính là
các mẫu học. Khi đó, ma trận là ma trận vuông, ta có giá trị tối ƣu của trọng số

Tất nhiên, trong thực hành, ngƣời ta không tính nghịch đảo của mà dùng
biến đổi Gauss để giải phƣơng trình .
Trƣờng hợp B, C cũng là tham số cần tìm: Ta cần giải bài toán tối ƣu

Do hàm sai số này không còn là hàm lồi, cách giải quyết thƣờng dùng là sử
dụng phƣơng pháp xuống đồi theo véctơ đạo hàm. Khi đó, ngƣời ta lấy đạo hàm
của e
2
(W, B, C) theo các biến W, B, C rồi chỉnh lại các tham số này. Một cách
tối ƣu hóa khác là:
1. Cố định B, C, tính theo phƣơng pháp trên.
2. Cố định , chỉnh sửa B,C theo phƣơng pháp đạo hàm.
3. Lặp bƣớc 1,2.
Trong thực hành, ngƣời ta thấy việc tìm B,C rất mất thời gian. Do đó, các tâm
C thƣờng đƣợc chọn là chính các mẫu học. Còn đặt giá trị
sau đó chọn thử một vài giá trị β đến khi đạt đƣợc kết quả nhƣ ý.
Ví dụ 1: Hàm XOR
Giả sử ta chọn , các tâm chính là các mẫu học, khi đó ma
trận là

Thế W mới tìm đƣợc vào hàm f(x):

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

19
ta có thể tính đƣợc f(x) nhƣ trong hình sau

Xấp xỉ hàm XOR bằng hàm RBF
Để ý rằng tại các mẫu học, hàm RBF cho kết quả chính xác:
f(x
i
)= y
i
, i= 1,2, 3, 4
Ví dụ 2: Vẫn xấp xỉ hàm XOR nhƣng ta dùng ít tâm hơn
c
1
= (0,0)

c
1
= (1,0)
c
1
= (0.5,0)
Với trọng số này, đồ thị của hàm f(x) = {W, Φ (x)} nhƣ sau
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

20

Xấp xỉ hàm XOR bằng hàm RBF với 3 tâm
Nhƣ vậy, nếu số tâm ít hơn số mẫu học, hàm có thể không học đƣợc toàn bộ
tập mẫu học. Tuy nhiên, ở những vị trí mẫu học gần tâm, kết quả phân lớp vẫn
chính xác.

Xác định số tâm của hàm: Ta thấy ở ví dụ trên, số tâm của hàm ảnh hƣởng
đến chất lƣợng xấp xỉ hàm số. Để xác định số tâm ngƣời ta thƣờng làm nhƣ sau:
1. Bắt đầu với số tâm bằng D= 0 hay f(x)= 0 x
2. Tính sai số và chọn i
max
= arg max e(x
i
)
3. Thêm một tâm
4. Tính trọng số của hàm mới và giá trị hàm sai số

5. Dừng nếu cho trƣớc, ngƣợc lại, quay về bƣớc 2.
Nhƣ vậy mỗi lần thêm 1 tâm tức là ta thêm 1 cột mới vào ma trận .
Dùng biến đổi QR (Gram-Schmidt QR decomposition) để trực giao hóa cột
mới thêm vào
Lợi dụng tính trực giao của các cột để tính sai số e (x
i
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

21
1.4.4 Quá trình học của hàm:
Việc luyện hàm RBF phụ thuộc vào việc chọn tâm nhƣ thế nào. Có 2 kỹ
thuật luyện hàm RBF:
- Chọn các giá trị của tâm cố định. Sau đó sử dụng kỹ thuật thích nghi để
luyện hàm tìm ra các trọng số B
i
tối ƣu.
- Giá trị của tâm không đƣợc chọn cố định mà đƣợc chọn trong quá trình
luyện. Nhƣ vậy cả A

i
và B
i
đƣợc tìm trên cơ sở sử dụng các phƣơng trình giảm
gradient.
Kỹ thuật sau chậm hơn kỹ thuật trƣớc, nhƣng nếu tập dữ liệu bị giới hạn
thì kỹ thuật sau sẽ cho kết quả tốt hơn.
Với tập mẫu học
 
N
ii
i1
D x ,y


ta phải tìm các tham số của hàm bao gồm:
trọng số
 
T
1M
B B , ,B
, tâm của các hàm bán kính
 
1M
A A , ,A
, tham số của
các hàm bán kính
 
1M
, ,   

.
Ví dụ với kỹ thuật thứ nhất:
Sau khi có đƣợc hàm kích hoạt ở trên ta xác định đƣợc ma trận trọng số B
từ công thức:
Y = W.B  B = W
-1
Y (7)
(Vậy ta cần phải xác định đƣợc ma trận nghịch đảo của W).
Nếu ma trận W không vuông nhƣng có hạng đầy đủ ta có thể tính W-1 theo
công thức sau:
B = (W
T
W)
-1
W
T
Y (8)
Đối với mỗi hàm, việc xấp xỉ đƣợc lƣu giữ trong các trọng số và tâm của
RBF. Tuy nhiên các trọng số này không phải là duy nhất. Giả sử ta có M tâm
A
1
…A
M
, khi đó hàm hàm cơ sở bán kính RBF là tổ hợp tuyến tính của các hàm
bán kính tại các tâm này và có biểu diễn toán học nhƣ sau:
 
 
0



M
ij j i
j
f x B Wj x A
(9)
Trong đó:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

22
f(x) – Hàm nhận đƣợc từ đầu ra của hàm.
B – Véc tơ chứa các trọng số RBF.
Mỗi tâm A
i
có cùng số chiều với vécto đầu vào x. Các tâm cũng là các
điểm bên trong không gian dữ liệu đầu vào và đƣợc chọn sao cho chúng thể hiện
dữ liệu đầu vào. Khi RBF tính toán quá trình xấp xỉ đối với một số điểm dữ liệu
đầu vào thì khoảng cách giữa các điểm đầu vào và mỗi tâm đƣợc tính theo
khoảng cách euclidean. Những khoảng cách này đƣợc chuyển qua W sau đó
đƣợc trọng số hóa bằng B
i
và đƣợc tổng hợp lại để sinh ra toàn bộ RBF.
Hàm Gaussian thể hiện hình ảnh mỗi đầu ra của hàm cơ sở sẽ xa hơn
hoặc gần hơn so với các điểm dữ liệu x = A
i
– tâm hàm cơ sở. Mặt khác dạng
Gauss của RBF cung cấp các ghép nối qua logic mờ và mỗi vị trí tâm hàm cơ sở
có ý nghĩa vật lý nhất định. Xa hơn nữa mỗi tâm có thể đƣợc xem nhƣ một dạng
hành vi hoặc phản ứng không chỉ của RBF mà còn là của hệ thống mà RBF thực
hiện nhận dạng. Ngoài ra có thể có các lựa chọn khác đối với hàm cơ sở nhƣ
hàm spline làm việc rất hiệu quả trong bài toán nhận dạng mô hình.

Nhận xét:
 Hàm hàm cơ sở bán kính có hàm kích hoạt dạng:

 
   
T
1M
W x W x A W x A

  


 Kết quả của hàm là:
   
 
f x B,W x

vì vậy, đây là hàm tuyến tính phân lớp dữ liệu trên không gian R
M
.
 Hàm RBF còn có thể dùng để xấp xỉ hàm số nếu ta trực tiếp dùng đầu ra
 
yx
.
Khi sử dụng hàm RBF trong bài toán nhận dạng cần chú ý một vài điểm
sau:
- Dạng W nào cần chọn? (Thƣờng chọn Hàm Gaussian)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

23

- Bao nhiêu tâm sẽ cho kết quả tốt nhất và tâm cần đặt ở đâu?
- Bao nhiêu dữ liệu cần thiết đủ để luyện hàm?
Nhƣng chƣa có thuật nào chọn trọng số ban đầu mà thƣờng chỉ là cho trƣớc
ngẫu nhiên. Muốn tìm mô hình tốt nhất cho đối tƣợng điều khiển thì cần thiết
phải tìm số lƣợng tâm tối ƣu. Có quá nhiều tâm hoặc quá ít tâm sẽ cho kết quả
không tốt. Nhiều tâm quá sẽ không đủ dữ liệu luyện hàm, nhƣng ít tâm quá sẽ
cho mô hình sai lệch. Thuật bình phƣơng tối thiểu trong trƣờng hợp có nhiều
tâm sẽ tạo ra trọng số liên kết w
i
lớn.
CHƢƠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN TRUYỀN TẢI
2.1 Giới thiệu bài toán
Hiện nay có rất nhiều thuật toán với các sơ đồ sai phân khác nhau để giải
bài toán truyền tải khuếch tán vật chất một, hai và ba chiều
22
22
w ( )
c c c c c c c
u v v f
t x y z x y z z

       
      
       
(1)
C
Cf
t

  


(2)
(1+ )C
k+1
= f
k+1
+ [1-  (1- )]C
k
(3)
(1+ 
1
)(1+ 
2
)(1+ 
3
) + O(
2
) (4)
 f
k+1
+ [1-  (1- )]C
k
+ O(
2
) (5)
(1 + 
1
) C
k+1/3
=  f

k+1
+ [1-  (1- )]C
k
(6)
(1 + 
2
) C
k+2/3
= C
k + 1/3
(7)
(1 + 
3
) C
k+2
= C
k + 2/3
(8)
Về mặt lý thuyết ngƣời ta thƣờng cố gắng xây dựng các thuật toán ổn định
với bậc xấp xỉ càng cao càng tốt. Tuy nhiên trong thực tiễn tính toán không phải
bao giờ bậc xấp xỉ cao cũng tốt hơn bậc xấp xỉ thấp. Điều đó cụ thể do Δt và h
= max{Δx, Δy, Δz} không thể lấy quá nhỏ, hoặc thuật toán có bậc xấp xỉ cao
phức tạp hơn nên sai số tính toán, làm tròn của máy tính lớn hơn, hoặc do điều
kiện ràng buộc của Δt và h, hoặc do điều kiện địa hình quá phức tạp