Luận văn các dạng hội tụ của dãy hàm đo được

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 1 -

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 2 -

LỜI NÓI ĐẦU
Các dạng hội tụ của dãy hàm đo được là một phần
nhỏ trong lĩnh vực Độ đo và tích phân Lebesgue. Đây là
một trong các mảng giải tích được ứng dụng nhiều trong
thực tế, và đặc biệt là nền tảng cho giải tích hiện đại. Do
đó, việc nghiên cứu về nó là rất cần thiết.
Vì thời gian để hoàn thành luận văn này tương đối
ngắn nên không thể nghiên cứu sâu hơn, và chắc còn
nhiều sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy
cô và quý bạn đọc.
Em xin chân thành cám ơn Bộ môn Toán đã tạo
điều kiện cho em nghiên cứu. Xin cám ơn cô Trần Thị
Thanh Thúy đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp em sửa chữa
kịp thời các sai sót trong luận văn này.

Sinh viên thực hiện
Huỳnh Việt Khánh
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 3 -
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

Cần Thơ, ngày…… tháng……năm 2008


Trần Thị Thanh Thúy

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 4 -
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN

Cần Thơ, ngày… tháng… năm 2008



LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 5 -
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 7
1. Lý do chọn đề tài 7
2. Giới hạn của đề tài 7
3. Mục tiêu đề tài 7
NỘI DUNG 9
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9
1.1 ĐỘ ĐO 9
1.1.1 Đại số tập hợp 9
1.1.2. σ- Đại số 9
1.1.3. σ- Đại số Borel 10
1.1.4. Độ đo trên một đại số tập hợp 11
1.1.5 Mở rộng độ đo 13

1.1.6 Độ đo trên
r
15
1.2- HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC 17
1.2.1 Định nghĩa 17
1.2.2 Một số tính chất của hàm số đo được 18
1.2.3 Các phép toán trên các hàm số đo được 20
1.3- TÍCH PHÂN LEBESGUE 23
1.3.1. Tích phân của hàm đơn giản không âm 23
1.3.2 Tích phân của hàm đo được không âm 24
1.3.3 Tích phân của hàm đo được bất kỳ 26
1.3.4 Tính chất 26
1.3.5 Giới hạn qua dấu tích phân 27
Chương 2: SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 30
2.1 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 30
2.1.1 Hội tụ hầu khắp nơi (converges almost everywhere) 30
2.1.2 Hội tụ đều (converges uniformly) 31
2.1.3 Hội tụ đều hầu khắp nơi (converges uniformly almost everywhere) 32
2.1.4 Hội tụ theo độ đo (converges in measure) 32
2.1.5 Hội tụ trung bình (converges in the mean) 34
2.1.6 Hội tụ hầu như đều (converges almost uniformly) 35
2.2 CÁC DẠNG DÃY CƠ BẢN 36
2.2.1 Dãy cơ bản hầu khắp nơi (Cauchy almost everywhere, hoặc fundamental
almost everywhere) 36
2.2.2 Dãy cơ bản đều ( uniformly Cauchy) 37
2.2.3 Dãy cơ bản hầu như đều (almost uniformly Cauchy) 37
2.2.4 Dãy hàm cơ bản trung bình (Cauchy in the mean hoặc mean fundamental)
37
2.2.5 Dãy cơ bản trong độ đo (Cauchy in measure, hoặc fundamental in
measure) 37

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 6 -
2.3 SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 38
2.3.1 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ theo độ đo 38
2.3.2 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ hầu khắp nơi 39
2.3.3 Liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp nơi 40
2.3.4 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ đều 43
2.3.5 Liên hệ giữa hội tụ hầu như đều và hội tụ hầu khắp nơi 43
2.3.6 Liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu như đều 45
2.3.8 Liên hệ giữa hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ đều 48
2.3.9 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và cơ bản trung bình 49
2.3.10 Liên hệ giữa cơ bản trung bình và cơ bản theo độ đo 50
2.3.11 Liên hệ giữa cơ bản trung bình và hội tụ hầu như đều 50
2.3.12 Liên hệ giữa cơ bản hầu như đều và hội tụ hầu như đều 50
2.3.13 Liên hệ giữa cơ bản theo độ đo và cơ bản hầu như đều 52
2.3.14 Liên hệ giữa cơ bản theo độ đo và hội tụ theo độ đo 53
2.3.15 Lược đồ thể hiện mối liên hệ giữa các dạng hội tụ 54
Chương 4: BÀI TẬP 56
KẾT LUẬN 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO 73






LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 7 -

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Độ đo và tích phân Lebesgue là nền tảng của giải tích hiện đại. Việc nghiên
cứu nó là cần thiết, giúp cho em nắm vững hơn kiến thức về phần này. Ngoài ra, em
còn có điều kiện nghiên cứu sâu hơn các mảng giải tích có liên quan. Đây là lý do
chính để em chọn đề tài này.
2. Giới hạn của đề tài
Độ đo và tích phân Lebesgue là mảng giải tích hiện đại khá rộng. Trong
khuông khổ một luận văn tốt nghiệp, đề tài không thể khai thác mọi vấn đề. Do vậy,
luận văn tập trung khai thác về một số dạng hội tụ của dãy hàm đo được. Bên cạnh
đó, còn xét về mối liên hệ giữa các dạng hội tụ này.
3. Mục tiêu đề tài
Trong phạm vi giới hạn của đề tài, mục tiêu hướng tới của luận văn là nghiên
cứu một số dạng hội tụ của dãy hàm đo được. Cụ thể hơn, bên cạnh các dạng hội tụ
quen thuộc như hội tụ theo độ đo, hội tụ hầu khắp nơi, đề tài còn nghiên cứu một số
dạng hội tụ khác như hội tụ hầu như đều, hội tụ đều hầu khắp nơi, hội tụ trung
bình,…
Tuy nhiên, để hiểu sâu hơn về các dạng hội tụ, đề tài còn tập trung nghiên
cứu về mối liên hệ giữa các dạng hội tụ này. Ví dụ, như ta đã biết, trong không gian
độ đo hữu hạn và độ đo được xét là độ đo đủ thì mọi dãy hàm đo được hội tụ hầu
khắp nơi thì hội tụ theo độ đo. Vấn đề đặt ra là đối với các dạng hội tụ khác thì có
mối liên hệ với nhau như thế nào? Và các mối liên hệ này có thay đổi hay không khi
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 8 -
ta xét chúng trong không gian độ đo hữu hạn? Đề tài sẽ tập trung làm rõ các vấn đề
này.
Để thuận tiện trong quá trình nghiên cứu, luận văn còn đề cập đến một số
khái niệm mới như dãy cơ bản theo độ đo, dãy cơ bản trung bình,…Và không ngoại

lệ, luận văn cũng đề cập đến mối liên hệ giữa các khái niệm này.












LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 9 -
NỘI DUNG

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
1.1 ĐỘ ĐO
1.1.1 Đại số tập hợp
§ Định nghĩa
Một đại số (hay trường) là một lớp những tập chứa
X
,
∅
và kín đối với mọi
phép toán hữu hạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn các tập hợp, phép hiệu
và hiệu đối xứng hai tập hợp).
§ Định lý 1

Một lớp tập hợp là một đại số khi và chỉ khi
C
thỏa mãn các điều kiện sau:
a.
C
≠
Ø
;
b.
∈
A
C

⇒
∈
C
A
C
;
c.
∈
BA,
C
∈
∪
⇒
BA
C
.
1.1.2. σ- Đại số

§ Định nghĩa
Một σ- đại số (hay σ- trường) là một lớp tập hợp chứa ,A
Ø
và kín đối với mọi
phép toán đếm được hay hữu hạn về tập hợp.
§ Định lý 2
Một lớp tập hợp
F
là một
σ
-đại số khi và chỉ khi
F
thỏa mãn các điều kiện sau:
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 10 -
a.
F

≠
∅
;
b.
∈
A
F

⇒
∈
C

A
F
;
c. ∈
n
A
F

1
n
n
A
∞
=
⇒∈
U
F
.
§ Nhận xét
Một σ- đại số hiển nhiên là một đại số.
§ Định lý 3
Cho
M
là một họ không rỗng các tập con của
X
.
a. Luôn tồn tại duy nhất một đại số
(
)
CM

bao hàm
M
và chứa trong tất cả
các đại số khác bao hàm
M
Đại số
(
)
CM
gọi là đại số sinh bởi
M
.
b. Luôn tồn tại duy nhất một σ- đại số
(
)
FM
bao hàm
M
và chứa trong tất
cả các σ- đại số khác bao hàm
M
σ- đại số
(
)
FM
được gọi là σ- đại số
sinh bởi
M
.
1.1.3. σ- Đại số Borel

§ Định nghĩa
Cho không gian tôpô ,(X τ) . σ- đại số sinh bởi họ tất cả các tập mở trong
X

được gọi là σ- đại số borel.
Ký hiệu:
(
)
X
B .
§ Nhận xét
Ÿ Các tập mở, tập đóng là các tập Borel.
Ÿ Nếu
,1,2,
n
An= là các tập Borel thì
1
n
n
A
∞
=
U
và
1
n
n
A
∞
=

I
, theo thứ tự là
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 11 -
các tập kiểu
F,
G
σ
∂
cũng là những tập Borel.
Ÿ σ- đại số Borel trong một không gian tôpô
X
cũng là σ- đại số nhỏ
nhất bao hàm lớp các tập đóng.
1.1.4. Độ đo trên một đại số tập hợp
§ Định nghĩa
Cho
C
là một đại số trên
X
.
Hàm tập hơp
µ
:
C
→
R
là một độ đo trên
C

nếu:
a.
(
)
0≥Aµ ,
∈
∀
A
C
.
b.
(
)
Ø0;
µ
=

c.
=








∞
=
U

1n
n
Aµ
( )
1
n
n
A
µ
∞
=
∑
, với
(
)
,,.
nmn
AAmnAn
∩=∅≠∈∀
C
Độ đo
µ
được gọi là hữu hạn nếu
(
)
+∞<Xµ .
Độ đo
µ
được gọi là σ- hữu hạn nếu tồn tại
{

}
Ni
i
A
∈
, ∈
i
A
C
, thỏa:
U
∞
=
=
1i
i
AX , và
(
)
+∞<
i
Aµ ,
.
i
∀

Điều kiện
(
)
0Ø =µ

∈
∃
⇔
A
C
:
(
)
+∞<Aµ .
§ Các ví dụ
⊕
Cho
X
≠∅
. Xét
(
)
X
=CP Khi đó,
Ÿ
(
)
0,AAµ
=∀∈
C
là độ đo.
Ÿ
(
)
0

Aµ
=
nếu
A
=∅
, và
(
)
Aµ
=+∞
nếu
A
≠∅
là độ đo.
Các độ đo ngày được gọi là độ đo tầm thường.

⊕
Hàm
(
)
: Xµ →P
R
được xác định bởi:

(
)
An
µ
=
khi

A
có
n
phần tử, và
(
)
Aµ
=+∞
khi
A
có vô hạn phần
tử là một độ đo và được gọi là độ đo đếm.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 12 -
§ Các tính chất của độ đo
⊕
Định lý 4
Cho
µ
là độ đo trên đại số
C
.
a.
∈
BA,
C
,
(
)

(
)
BABA
µµ⊂⇒≤;
b.
∈
BA,
C
,
(
)
+∞<⊂ BAB µ,
⇒
(
)
(
)
(
)
BAA µµµ −=B\ ;
c.
{
}
i
iN
A
∈
⊂
C
,

A
∈
C
, và
U
∞
=
⊂
1i
i
AA
⇒
() ( )
∑
∞
=
≤
1i
i
AA µµ ;
Đặc biệt:
{
}
i
iN
A
∈
⊂
C
,

1
i
i
A
∞
=
∈
U
C
⇒

( )
∑
∞
=
∞
=
≤








1
1
i
i

i
i
AA µµ
U
;
d.
{
}
i
iN
A
∈
⊂
C
,
(
)
jiØ ≠=∩
ji
AA ,
A
∈
C
, AA
i
i
⊂
∞
=
U

1
thì
( ) ()
.
1
AA
i
i
µµ ≤
∑
∞
=

Hệ quả
a. Nếu độ đo
µ
là hữu hạn thì:
A
∀∈
C
,
{
}
i
iN
A
∈
∃⊂
C
:

1
i
i
AA
∞
=
=
U
, và
fghfdhfdhf
(
)
i
Aµ
<+∞
.
b. Nếu độ đo
µ
là σ- hữu hạn, khi đó:
Ÿ ,
1
U
∞
=
=
i
i
XX ∈
i
X

C
,
(
)
ij
XXij
∩=∅≠
, và
(
)
+∞<
i
Xµ .
Ÿ Nếu
A
∈
C
thì ,
1
U
∞
=
=
i
i
AA ∈
i
A
C
,

(
)
ij
AAij
∩=∅≠
, và
(
)
+∞<
i
Aµ .
Chú ý:
Tập con đo được của một tập có độ đo không hiển nhiên là một tập có độ đo
không. Tuy nhiên, tập con của một tập có độ đo không chưa hẳn là tập đo được.
⊕
Định nghĩa
Độ đo
µ
được gọi là độ đo đủ nếu mọi tập con của một tập có độ đo không đều
là tập đo được.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 13 -
⊕
Định lý 5
Cho
µ
là độ đo trên đại số
C
.

a. Nếu
(
)
,0=
i
Aµ
1
i
i
A
∞
=
∈
U
C
thì
.0
1
=








∞
=
U

i
i
Aµ

b. Nếu
A
∈
C
,
(
)
0=Bµ thì
(
)
(
)
(
)
\B
ABAA
µµµ∪==.
⊕
Định lý 6
Cho
µ
là độ đo trên đại số
C
.
a. Nếu
n

A
∈
C
(
)
,n∀ ,
21
⊂⊂ AA
1
n
n
A
∞
=
∈
U
C
thì
( )
1
lim.
nn
n
n
AA
µµ
∞
→∞
=


=


U

b. Nếu
n
A
∈
C

(
)
,n∀ ,
21
⊃⊃ AA
(
)
,
1
+∞<Aµ
1
i
n
A
∞
=
∈
I
C

thì:

( )
1
lim.
in
n
n
AA
µµ
∞
→∞
=

=


I

⊕
Định lý 7 (đảo của định lý 6)
Cho
µ
là hàm tập hợp không âm, cộng tính trên một đại số
C
sao cho
(
)
0
µ

∅=
. Khi đó,
µ
sẽ là độ đo nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
a. Nếu
n
A
∈
C
(
)
,
n
∀
12
,
AA⊂⊂
1
n
n
A
∞
=
∈
U
C
thì
( )
1
lim.

in
n
n
AA
µµ
∞
→∞
=

=


U

b. Nếu
n
A
∈
C
(
)
,
n
∀
12
,
AA⊃⊃
1
n
n

A
∞
=
=∅
I
thì
(
)
lim0.
n
n
Aµ
→∞
=

1.1.5 Mở rộng độ đo
⊕
Độ đo ngoài
Hàm tập hợp
*
:
µ
(
)
X
P
→
¡
được gọi là một độ đo ngoài nếu:
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 14 -
a.
(
)
*
0,;
AAX
µ ≥∀⊂
b.
(
)
*
0;
µ
∅=

c.
1
n
n
AA
∞
=
⊂
U
⇒
( ) ( )
**
1

n
n
AA
µµ
∞
=
≤
∑
(tính chất σ- bán cộng tính).
⊕
Định lý 8 (định lý Carathéodory)
Cho
*
µ
là một độ đo ngoài trên
,
X

L
là lớp các tập con
A
của
X
sao cho:

(
)
(
)
(

)
**
*\,
EEAEAEX
µµµ
=∩+∀⊂

(
)
1

Khi đó:
a.
L
là một σ- đại số.
b.
*
µµ
=
|
L
là một độ đo trên
L
.
Độ đo này được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài
*
µ
.
Tập
A

thỏa
(
)
1
được gọi là
*
µ
-đo được.
⊕
Định lý 9
Cho
m
là một độ đo trên một đại số
C
những tập con của
X
.
Nếu với mỗi
AX
⊂
đặt:

(
)
*
inf
Aµ =
( )
1
1

,,
iii
i
i
mPPAP
∞
∞
=
=

⊃∈


∑ U
C

(
)
2

Khi đó:
a.
*
µ
là độ đo ngoài;
b.
*
µ
|
L

m
=
;
c.
C

⊂
(
)
FC
⊂
.
L

⊕
Định lý 10
Nếu
µ
là cảm sinh bởi độ đo ngoài
*
µ
thì:
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 15 -
a. Họ các tập có độ đo
µ
bằng 0 trùng với họ tập có độ đo ngoài
*

µ

bằng 0.
b.
µ
là độ đo đủ.
⊕
Định lý 11 (mở rộng độ đo)
Cho
m
là độ đo trên một đại số
L
Khi đó, tồn tại một độ đo
µ
trên σ- đại số
L
⊃
(
)
FC
⊃
C
, sao cho:
a.
(
)
(
)
;
AmA

µ =
b.
µ
là hữu hạn (σ- hữu hạn) nếu
m
là hữu hạn (σ- hữu hạn);
c.
µ
là độ đo đủ;
d.
A
∈
L
khi và chỉ khi
A
biểu diễn được dưới dạng:

\
ABN
=
hoặc
ABN
=∪

Trong đó
B
∈
(
)
FC

,
NE
⊂∈
(
)
FC
,
(
)
(
)
*0
EEµµ
==
và
*
µ
là độ đo ngoài xác
định từ
m
bởi công thức
(
)
2
.
Nhận xét
L
sai khác
(
)

FC
một bộ phận các tập có độ đo không, tức là σ- đại số
L
các tập
đo được có thể thu được từ
(
)
FC
bằng cách thêm hay bớt một bộ phận của một tập
có độ đo không.
1.1.6 Độ đo trên
r

Ta gọi gian trên đường thẳng
¡
là một tập hợp có một trong các dạng
sau:
[
]
(
)
(
]
[
)
(
)
(
)
(

)
(
]
[
)
,,,,,,,,,,,,,,,,ababababaaaa
−∞+∞−∞+∞−∞+∞
.
⊕
Xây dựng đại số
Gọi
C
là lớp tất cả các tập con của
¡
có thể biểu diễn thành hợp của một số hữu
hạn các gian đôi một rời nhau, tức là:
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 16 -

( )
1
:,,
n
iii
i
PPijn
=

⊂=∩=∅≠∈



¥
U
C r= rrr
.
Khi đó,
C
là một đại số.
Nếu
P
∈
C
và
( )
1
,,
n
iij
i
Pij
=
=∩=∅≠
U
rrr đặt
( )
1
n
i
i

mP
=
=
∑
r
.
Khi đó,
m
là độ đo trên
C
và
m
là độ đo σ- hữu hạn.
⊕
Mở rộng độ đo
Với
,
A
⊂
R
độ đo ngoài được xác định bởi:

( ) ( )
*
1
1
inf,,
iii
i
i

AmPPAPµ
∞
∞
=
=

=⊃∈


∑ U
C

Điều này có thể thay bằng:

( )
*
1
1
inf,,
kkk
k
i
AAµ
∞
∞
=
=

=⊃



∑ U
rrr

Gọi
L
là tập tất cả các tập con
A
của
¡
sao cho:

(
)
(
)
(
)
***
,EEAEAEµµµ
=∩+∀⊂
¡
\ .
Độ đo mở rộng
µ
trên σ- đại số
L
được gọi là độ đo Lebesgue.
Các tập
A

∈
L
được gọi là những tập đo được theo nghĩa Lebesgue (hay
A
đo
được
(
)
L
.
⊕
Nhận xét
Ÿ Độ đo Lebesgue trên
¡
là σ- hữu hạn vì
[ ]
1
,
n
nn
∞
=
−¡
U
= và hiển nhiên

. là độ đo đủ.
Ÿ Mọi tập Borel trên
¡
đều đo được Lebesgue.

Ÿ Tập đo được Lebesgue chính là tập Borel thêm hay bớt một tập có
.
. độ đo không.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 17 -
1.2- HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC
1.2.1 Định nghĩa
Cho tập
,
X

F
là một
σ
−
đại số những tập con của
X
, và
A
∈
F
.
Không gian
(
)
,
X
F
dược gọi là không gian đo được.

Một hàm số :fA
→
¡
được gọi là đo được trên tập
A
đối với
σ
−
đại số
F
nếu:

(
)
{
}
,:.
axAfxa
∀∈∈<∈
¡
F

Hay viết gọn là:

{
}
,
A
afa
∀∈<∈

F
R .
Nếu trên
F
có độ đo
µ
thì
f
được gọi là đo được đối với độ đo
µ
hay
µ
−
đo
được.
Nếu
,
k
=
FL
và
k
X
=
¡
thì ta nói
f
đo được theo nghĩa Lebesgue hay
(
)

L
- đo
được.
Nếu
k
=
FB
, và
k
X
=
¡
thì ta nói
f
đo được theo nghĩa Borel hay
f
là hàm số
Borel.
Nhận xét.
Hàm số
f
đo được trên
A

⇔
(
)
∈+∞
−
,

1
af
F
,
∈
∀
a
¡
.
⊕
Định lý 1
Cho
(
)
,
X
F
là không gian đo được và hàm :fX→
¡
. Khi đó, các điều kiện sau
là tương đương.

(
)
i
Hàm
f
đo được trên
A

(
)
ii

{
}
,
A
afa
∀∈<∈
¡
F


(
)
iii
{
}
,
A
afa
∀∈≤∈
¡
F


(
)

iv
{
}
,
A
afa
∀∈>∈
¡
F

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 18 -

(
)
v
{
}
,
A
afa
∀∈≥∈
¡
F

Chứng minh
(
)
(

)
iii
⇒ : Do định nghĩa.

(
)
(
)
iiiii
⇒ :
() ()
1
,,afxafxan
n
∀∈≤⇒<+∀∈
¡¥


{ }
1
1
.
A
n
A
fafa
n
∞
=


⇒≤=<+∈


I
F


(
)
(
)
iiiiv
⇒ :
,
a
∀∈
¡
đặt:

{
}
A
Mfa
=≤

{
}
A
Nfa
=<

Ta có:

MNA
∪=
, và
MN
∩=∅


NAM
=
\


N
⇒∈
F
.

(
)
(
)
ivv
⇒ : Ta có:

,
a
∀∈
¡

() ()
1
:fxanfxa
n
≥⇒∃∈>−
¥

{ }
1
1
.
A
n
A
fafa
n
∞
=

⇒≥=≤−∈


I
F


(
)
(

)
vi
⇒ :
,
a
∀∈
¡
đặt:

{
}
A
Dfa
=≥

{
}
A
Efa
=<

EAD
=
\
AD
=∩∈
F

Vậy f đo được.

1.2.2 Một số tính chất của hàm số đo được
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 19 -

(
)
i
Giả sử
f
đo được trên
A
. Nếu
BA
⊂
,
B
∈
F
thì
f
cũng đo được trên
B
.
Thật vậy, vì
BA
⊂
, và
B
∈

F
nên:
,
a
∀∈
¡


{
}
{
}
.
BA
faBfa
<=∩<∈
F

Vậy,
f
đo được trên
.
B


(
)
ii
Nêu
f

đo được trên
A
thì
{
}
,.
A
afa
∀∈=∈
¡
F

Thật vậy,
,
a
∀∈
R
{
}
{
}
{
}
AAA
fafafa
==≥∩≤
Do đó:
{
}
A

fa
=∈
F
.

(
)
iii
Nếu
(
)
,
fxcxA
=∀∈
thì
f
đo được trên
.
A

Thật vậy,
,
a
∀∈
¡
ta thấy:

{ }
,;
,.

A
ca
fa
Aca
∅≥

<=

<



{
}
.
A
fa
⇒<∈
F

Vậy,
f
đo được trên
A
.
(
)
iv
Nếu hàm
f

đo được trên
A
thì với
,
k
∈
¡
hàm
kf
cũng đo được trên
A
.
Thật vậy,
,
a
∀∈
¡
ta có:

⊕
Nếu
0
k
<
thì
{ }
.
A
a
kfaf

k

<=>∈


F


⊕
Nếu
0
k
>
thì
{ }
.
A
a
kfaf
k

<=<∈


F

Do đó, với
0
k
≠

ta có
kf
đo được trên
A
.

⊕
Nếu
0
k
=
thì
(
)
(
)
0,.
kfxxA
=∀∈

Do đó, theo
(
)
iii
, ta có
kf
đo được trên
A
.
Như vậy, hàm

kf
đo được trên
A
.

(
)
v
Nếu
f
đo được trên
{
}
n
n
A
(hữu hạn hoặc đếm được) thì
f
đo được trên
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 20 -
j
n
n
A
U
.
Thật vậy,
,

a
∀∈
¡
ta có:

{
}
{
}
nn
n
AA
n
fafa
<=<∈
U
U
F

Vậy,
f
đo được trên
.
n
n
A
U

(
)

vi
Nếu
f
xác định trên
A
,
(
)
0
Aµ
=
và
µ
đủ thì
f
đo được trên
A
.
Thật vậy,
,
a
∀∈
¡
ta có:

{
}
A
faA
<⊂

Do
(
)
0,
Aµ
=
và
µ
đủ nên
{
}
A
fa
<∈
F

Vậy, f đo được trên
A
.
1.2.3 Các phép toán trên các hàm số đo được
Cho
(
)
,
X
F
là không gian đo được,
A
∈

F
.

(
)
i
Nếu
f
đo được trên
A
thì với
0
α
>
, hàm
f
α
đo được trên
A
.
Thật vậy, với
0
α
>
, ta có:

{ }
{ } { }
Ø,a0;
,0.

A
AA
fa
fafaa
α
αα
≤


<=

>−∩<−>




{
}
A
fa
α
⇒<∈
F

Vậy,
α
f đo được trên
.
A

∗
Tuy nhiên, mệnh đề đảo của mệnh đề trên nói chung không đúng. Nghĩa .
là, có thể xãy ra trường hợp
f
α
nhưng
f
không đo được.
Ví dụ: Xét hàm số:

()
1,;
1,.
xA
fx
xA
∈

=

−∉


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 21 -
Trong đó,
A
⊂
¡

,
A
là một tập không đo được Lebesgue.
Ta có
1
1
,.
2
fA
−

+∞=



Do đó, f không đo được trên
.
¡

Nhưng,
(
)
1,fxx
=∀∈
R
nên f đo được trên
¡
.

(

)
ii
Nếu
f
và
g
đo được, hữu hạn trên
A
thì
fg
+
đo được trên
A
.
Gọi
{
}
n
n
r
là dãy các số hữu tỷ.

,
a
∀∈
¡
fga
+<
fag
⇔<−

:.
n
nfrag
⇔∃∈<<−
¥


{
}
{
}
{
}
(
)
1
.
nn
AAA
n
fgafrgar
≥
⇒+<<∩<−∈
U
F


fg

⇒+
đo được trên
.
A


∗
Tuy nhiên, mệnh đề đảo của mệnh đề trên nói chung không đúng. Nghĩa
là, nếu ta có
fg
+
đo được thì chưa suy ra được
f
và
g
đo được.
Ví dụ: Xét các hàm số

()



∉
∈
=
Ax
Ax
xf
,0
,1

và
()
1,;
0,.
xA
gx
xA
−∈

=

∉


Với
,
AA
⊂
¡
là tập không đo được Lebesgue.
Ta có:

(
)
1
,0
fA
−
−∞=

và
(
)
Ag =+∞
−
,0
1
.
nên gf , là những hàm số không đo được trên
.
¡

Nhưng,
(
)
(
)
0,fgxx
+=∀∈
R
nên gf
+
đo được trên
.
¡

(
)
iii
Nếu

f
và
g
đo được và hữu hạn trên
A
thì
fg
−
cũng đo được trên
A
.
Thật vậy, vì
g
đo được nên
g
−
đo được. Do đó,
(
)
fgfg
−=+−
đo
được trên
A
.
(
)
iv
Nếu
f

và
g
đo được, hữu hạn trên
A
thì
.
fg
đo được trên
A
.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 22 -
Thật vậy,
( ) ( )
22
1
.
4
fgfgfg

=+−−

nên
.
fg
đo được trên
.
A

∗
Tuy nhiên, mệnh đề đảo của mệnh đề
(
)
iv không đúng.
Ví dụ: Xét các hàm số

()
1,;
0,.
xA
fx
xA
∈

=

∉

và
()
0,;
1,.
xA
gx
xA
∈

=


∉


Với
,
AA
⊂
¡
là tập không đo được Lebesgue.
Rõ ràng,
,
fg
không đo được trên
¡
.
Nhưng,
(
)
(
)
.0,fgxx
=∀∈
¡
nên gf . là hàm đo được trên
.
¡

Nhận xét:
Hàm
f

đo được
A

⇔
hàm
f
+
và
f
−
đo được trên
.
A

Trong đó:

{
}
max,0;
ff
+
=
{
}
max,0
ff
−
=−

(

)
v
Nếu
f
và
g
đo được, hữu hạn trên
A
thì
{
}
{
}
max,,min,
fgfg
đo được
trên
.
A

Thật vậy, ta có:

{ } ( )
1
max,
2
fgfgfg

=++−


;

{ } ( )
1
min,
2
fgfgfg

=+−−

là những hàm đo được trên
.
A

Do đó
{
}
min,
fg
,
{
}
max,
fg
đo được trên
A
.

(
)

vi
Nếu
f
và
g
đo được và hữu hạn trên
A
,
(
)
0,,
gxxA
≠∀∈
thì
f
g
đo
. được trên
.
A

Thật vậy, do
(
)
0,
gxxA
≠∀∈
nên:

,

a
∀∈
¡
2
2
,0;
1
1
,0
A
A
a
a
ga
g
a
∅≤



<=


>>






LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 23 -

⇒
2
1
.
A
a
g

<∈


F

Như vậy,
2
1
g
đo được trên
.A

Do
2
1
.
f
fg

gg
=
nên suy ra
g
f
đo được trên
.
A


(
)
vii
Nếu dãy
(
)
{
}
n
n
fx
∈
N
là một dãy những hàm số đo được và hữu hạn trên

A
thì các hàm số
(
)
{

}
sup
n
n
n
fx
∈
N
,
(
)
{
}
inf
n
n
n
fx
∈
N
,
(
)
{
}
lim
n
n
fx
∈

N
,

(
)
{
}
lim
n
n
fx
∈
N
là những hàm đo được, và nêu tồn tại lim
n
x
ff
→∞
=
, thì
f

cũng đo được trên
A
.
Thật vậy,

,
a
∀∈

R
()
{ }
{
}
{ }
1
sup
nn
A
n
A
n
fxafa
≥
≤=≤∈
I
F


,
a
∀∈
R
()
{ }
{
}
{ }
1

inf
nn
A
n
A
n
fxafa
≥
<=<∈
U
F

Do đó,
(
)
{
}
sup
n
n
n
fx
∈
N
,
(
)
{
}
inf

n
n
n
fx
∈
N
là những hàm đo được trên
.
A

Vì
1
liminfsup;
nm
n
mn
ff
≥
≥
=
1
limsupinf
nm
mn
n
ff
≥
≥
=
Nên suy ra

nn
ff lim,lim cũng là những hàm đo được trên
.
A

Do đó, nếu ff
n
n
=
∞→
lim thì
lim
n
ff
=
Vậy,
f
đo được trên
A
.
1.3- TÍCH PHÂN LEBESGUE
1.3.1. Tích phân của hàm đơn giản không âm
⊕
Định nghĩa
Xét một không gian có độ đo
(
)
,,
X
µ

F ,
A
∈
F
.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 24 -
Hàm số
f
xác định trên
A
được gọi là hàm đơn giản nếu
f
đo được và nhận
một số hữu hạn những giá trị hữu hạn.
Như vậy, nếu
f
là hàm đơn giản không âm xác định trên tập
.
A
∈
F
Khi đó,
f

có dạng:

()
∑

=
=
n
i
A
xaf
i
1
χ
(
)
*

Trong đó,
i
A
đo được, rời nhau và
U
n
i
i
AA
1=
= .
Người ta gọi
( )
∑
=
n
i

ii
Aa
1
µ là tích phân của hàm đơn giản
f
đối với độ đo
µ
trên
.
A

Ký hiệu:
A
fd
µ
∫
.
Tích phân của hàm đơn giản không âm
f
được xác định bởi
(
)
*
là duy nhất với
mọi cách biểu diễn của hàm
f
.
1.3.2 Tích phân của hàm đo được không âm
Trước khi trình bày định nghĩa tích phân hàm đo được không âm, luận văn đề
cập lại định lý về cấu trúc của hàm đo được:

⊕
Định lý
Mỗi một hàm số đo được trên
A
đều là giới hạn của một dãy
{
}
n
n
f
những hàm
đơn giản trên
A
:
lim,.
n
n
ffxA
→∞
=∀∈

Hơn nữa, nếu
0,
f
≥
thì tồn tại
{
}
n
n

f
sao cho:

n
f
đơn giản,
0
n
f
≥
,
1
nn
ff
+
≥
, và
lim,.
n
n
ffa
→∞
=∀∈
¡

Chứng minh
• Ta chứng minh cho trường hợp 0
≥
f trên
.A

Với mỗi số tự nhiên
n
, ta đặt:
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 25 -

(
)
{
}
nxfAxC
n
≥∈= :
0


()
( )
1
:,1,2, ,2
22
in
n
nn
ii
CxAfxi
−


=∈≤<=



Đặt:

()
0
,
1
,
2
n
n
i
n
n
nxC
fx
i
xC

∈

=

−
∈



Khi đó,
n
f là hàm đơn giản trên
A
, 0≥
n
f , và
1
nn
ff
+
≥

Ta chứng minh
lim
n
n
ff
→∞
=
+ Nếu
(
)
∞<xf thì
n
∃
đủ lớn: nf
n
<

Do đó,
:
i
∃
()
nn
i
xf
i
2
2
1
<≤
−


()
n
n
i
xf
2
1
−
=⇒

() ()
0
2
1

→<−⇒
n
n
xfxf khi
n
→∞

Như vậy, .lim
n
n
ff
∞→
=
+ Nếu
(
)
+∞=xf thì
(
)
,
fxnn
>∀

Do đó
(
)
nxf
n
= và
(

)
(
)
.lim xfxf
n
n
=+∞=
∞→

• Xét trường hợp f là hàm đo được bất kỳ trên
A
.
Khi đó,
fff
+−
=−

Vì
−+
ff , là các hàm không âm nên theo chứng minh trên tồn tại hai dãy
hàm đơn giản
{
}
{
}
−+
nn
ff , :
lim
n

n
ff
++
→∞
= ; lim
n
n
ff
−−
→∞
=
Đặt:
nnn
fff
+−
=−

Ta được
{
}
n
n
f là dãy hàm đơn giản và .lim ffff
n
n
=−=
−+
∞→

⊕
Định nghĩa