sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH



Tống Văn Thành




S
Ự HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC TẬP HỢP
IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT




Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 05



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
T.S TRẦN TUẤN NAM






Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2011

Lời Cảm Ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
Tiến sĩ Trần Tuấn Nam. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người
đã từng bước hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những
kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những
kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Chân thành cảm ơn quý Thầy - Cô trong tổ Đại Số, khoa Toán - Tin trường
Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi nâng cao trình độ
chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học.
Chân thành cảm ơn quý Thầy - Cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại
học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này.
Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT
CưMgar đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học.
Sau cùng chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi góp ý
và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tp. Hồ Chí Minh, năm 2011
Tống Văn Thành
i
Mục lục
Lời Cảm Ơn i

Bảng kí hiệu iv
Mở Đầu 1
1 Kiến thức cơ bản 3
1.1 Địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Iđêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ . . . . . . . . . 6
1.4 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Biến đổi iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Số chiều, chiều cao và hạng số học . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Vành Rees và gr
I
(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Sự hội tụ của dãy các tập hợ p iđêan nguyên tố liên kết 22
2.1 Sự ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết . 22
ii
iiiiiiiii
2.2 Sự hội tụ của dãy các môđun phân bậc trên vành phân bậc
tiêu chuẩn dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Áp dụng đối với dãy (Ass(N/I
n
N))
n
và (Ass(I
n
N/I
n+1
N))
n
46

Kết luận 52
Tài liệu tham khảo 54
Bảng kí hiệu
N : Tập hợp các số nguyên dương
N
0
: Tập hợp các số nguyên không âm
Z : Tập hợp các số nguyên
Spec(R) : Tập hợp các iđêan nguyên tố của vành R
Ass(M) : Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M
Supp(M) : Giá của môđun M
E(M) : Bao nội xạ của môđun M
H
i
I
(M) : Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo I
D
I
(M) : Biến đổi iđêan của môđun M tương ứng với iđêan I
ht(P ) : Chiều cao của iđêan nguyên tố P
ara(I) : Hạng số học của iđêan I
∗
Spec(R) : Tập hợp các iđêan ng uyên tố phân bậc của R
gr(R) : Vành phân bậc liên kết của R
R(I) : Vành Rees của I
P roj(R) : Tập hợp các iđêan nguyên tố phân bậc của R mà không chứa
iđêan irrelevant
reg(M) : Chỉ số chính quy Castelnuovo của M
iv
Mở Đầu

Sự ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass là một kết
quả khá nổi tiếng được nhà toá n học M.Brodmann đưa ra lần đầu tiên
trong [4] vào năm 1979. Nếu I là một iđêan của một vành Noether giao
hoán A, thì tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết Ass(A/I
n
) của lũy thừa
thứ n của I là không đổi với mọi n đủ lớn. Giả sử dãy (Ass(A/I
n
))
n∈N
có
các giá trị cuối không đổi, kí hiệu là Ass
∗
(I), nhà toán học S.McAdam và
P.Eakin đã đưa ra một số trường hợp mà bảo đảm rằng một iđêan nguyên
tố P của A là nằm trong Ass
∗
(I). Một câu hỏi được đặt ra: "Cho một iđêan
nguyên tố P của A, P ∈ Ass
∗
(I), có thể xác định được một số nguyên n
P
thỏa mãn tính chất rằng P ∈ Ass(A/I
n
) với mọi n > n
P
hay không?".
Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự
hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần
phân bậc của các môđun phân bậc hữu hạn sinh trên một vành Noether

giao hoán phân bậc tiêu chuẩn dương, những kết quả này sau đó được áp
dụng để trả lời cho câu hỏi ở trên.
1
222
Cụ thể luận văn chia làm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức cơ bản.
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất
về địa phương hóa, iđêan nguyên tố liên kết và giá, iđêan nguyên sơ và sự
phân tích nguyên sơ, môđun đối đồng điều địa phương, biến đổi iđêan, số
chiều, chiều cao và hạng số học, vành và môđun phân bậc, vành Rees và
gr
I
(R) mà chúng tôi sẽ sử dụng trong chương 2.
Chương 2. Sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết.
Trong chương này, chúng tôi đi chỉ ra rằng với n lớn thì Ass(A/I
n
) là
không đổi, đưa ra một số trường hợp để một iđêan nguyên tố P của A
là nằm trong Ass
∗
(I) và đưa ra một kết quả khá thú vị liên quan đến
Ass
∗
(I) − Bss
∗
(I) đó là một iđêan nguyên tố trong Ass
∗
(I) − Bss
∗
(I)

phải là ước nguyên tố của không. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một s ố kết
quả về sự hội tụ của dãy các môđun phân bậc trên một vành Noether phân
bậc tiêu chuẩn dương. Sau đó áp dụng các kết quả trên để đưa ra một số kết
quả về sự hội tụ của các dãy (Ass(N/I
n
N))
n∈N
và (Ass(I
n
N/I
n+1
N))
n∈N
0
,
trong đó N là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether giao hoán A và I là
một iđêan của A.
Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng do năng lực có hạn nên luận văn này chắc
chắn không tránh khỏi những thiếu xót, tôi rất mong được sự thông cảm
và góp ý sâu sắc của quý Thầy Cô để luận văn này hoàn chỉnh hơn.
Chương 1
Kiến thức cơ bản
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và mệnh đề mà
chúng tôi sẽ sử dụng trong chương 2. Các kết quả trong phần này hầu hết
không chứng minh, độc giả có thể tham khảo ở một số tài liệu [1], [2], [5],
[6], [7], [9], [10].
1.1 Địa phương hóa
Cho tập con nhân S của một vành R. Trên tập R × S ta định nghĩa một
quan hệ hai ngôi ∼ như sau:
Với mọi (a, s), (a


, s

) ∈ R × S
(a, s) ∼ (a

, s

) ⇔ ∃t ∈ S : (as

− a

s)t = 0
Dễ thấy rằng ∼ là một quan hệ tương đương trên R ×S.
Ta kí hiệu tập thương (R ×S)/ ∼ là S
−1
R và lớp tương đương của phần
tử (a, s) là a/s.
3
444
Định nghĩa 1.1.1. Tập S
−1
R cùng với hai qui tắc sau:
Với mọi
a
s
,
b
t
∈ S

−1
R
a
s
+
b
t
=
at + bs
st
a
s
.
b
t
=
ab
st
là một vành. Vành S
−1
R được gọi là vành các thương của vành R theo tập
con nhân S
Cho P là một iđêan nguyên tố của vành R. Tập S = R\P là tập con
nhân của R. Trong trường hợp này vành các thương S
−1
R kí hiệu là R
P
.
Mệnh đề 1.1.2. Vành R
P

là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất
là S
−1
P . Vành địa phương R
P
được gọi là địa phương hóa của vành R theo
iđêan nguyên tố P .
1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá
Định nghĩa 1.2.1. Cho R là một vành và M là một R - môđun, iđêan
nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại
x ∈ M, (x = 0) : P = ann(x).
Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là: Ass(M) hoặc
Ass
R
(M). Cho I là một iđêan của R, iđêan nguyên tố liên kết của R−môđun
R/I được gọi là ước nguyên tố của I. Ta nói a ∈ R là một ước của không
đối với M nếu tồn tại x ∈ M, (x = 0) sao cho ax = 0.
Tập hợp các iđêan nguyên tố P của R sao cho M
P
= 0 được gọi là giá
của môđun M, kí hiệu là Supp(M)
555
Supp(M) = {P ∈ Spec(R)|M
P
= 0}.
M
P
= S
−1
M là môđun các thương của R - môđun M theo S = R \ P

Mệnh đề 1.2.2. Cho R là một vành, M là một R - môđun, P là iđêan
nguyên tố của R. Khi đó, P là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu và chỉ
nếu tồn tại một đồng cấu R - môđun nội xạ từ R/P vào M. Do đó, nếu
N là môđun con của M thì Ass(N) ⊆ Ass(M).
Mệnh đề 1.2.3. Cho I là một iđêan bất kì của R. Đặt
V (I) = {P ∈ Spec(R)|I ⊂ P }
(i) Nếu M là R - môđun hữu hạn sinh thì Supp(M) = V (ann(M)).
(ii) Nếu R là vành Noether và I là iđêan của R thì Supp(R/I) = V (I).
Mệnh đề 1.2.4. Cho R là vành Noether, M là R - môđun khác 0.
(i) Phần tử tối đại của F = {ann(x)|0 = x ∈ M} là một iđêan nguyên
tố liên kết của M, đặc biệt Ass(M) = ∅
(ii) Tập các ước của không đối với M là hợp tất cả các iđêan nguyên
tố liên kết của M.
Mệnh đề 1.2.5. Cho R là vành và M, N, P là các R - môđun. Nếu dãy
sau đây là khớp 0 → M → N → P → 0 thì ta có các kết quả sau:
(i) Ass(N) ⊂ Ass(M) ∪Ass(P).
(ii) Supp(N) = Supp(M) ∪Supp(P ).
666
Mệnh đề 1.2.6. Cho R là một vành Noether, M là một R - môđun hữu
hạn sinh. Khi đó

P ∈Ass(M)
P =
√
ann(M)
Mệnh đề 1.2.7. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether
R và P là một iđêan của R. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(i) P ∈ Supp(M).
(ii) P ⊇ P


với P

∈ Ass(M).
(iii) P ⊇ ann(M).
Mệnh đề 1.2.8. Cho R là vành Noether, M là một R - môđun hữu hạn
sinh. Khi đó ta có các kết quả sau:
(i) Ass(M) là tập hữu hạn.
(ii) Ass(M) ⊂ Supp(M).
(iii) Tập hợp các phần tử tối tiểu của Ass(M) và Supp(M) giống
nhau.
1.3 Iđêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ
Định nghĩa 1.3.1. Một iđêan thực sự Q của vành R được gọi là iđêan
nguyên sơ nếu với mọi x, y ∈ R sao cho xy ∈ Q thì hoặc x ∈ Q hoặc
y
n
∈ Q với n ≥ 1. Một cách tương đương ta có thể nói iđêan Q của một
vành R là nguyên sơ khi và chỉ khi R/Q = 0 và mọi ước của không trong
vành thương R/Q đều là lũy linh.
Nếu Q là iđêan nguyên sơ và P =
√
Q thì ta gọi Q là P - nguyên sơ
777
Mệnh đề 1.3.2. Cho Q và I là hai iđêan của vành R, I ⊂ Q. Khi đó Q
nguyên sơ khi và chỉ khi Q/I nguyên sơ trong vành thương R/I.
Mệnh đề 1.3.3. Nếu Q là một iđêan nguyên sơ của vành R thì P =
√
Q
là một iđêan nguyên tố, đó là iđêan nguyên tố nhỏ nhất trong số tất cả các
iđêan nguyên tố của R mà chứa Q.
Mệnh đề 1.3.4. Cho R là vành Noether, M và Q là hai iđêan của R,

trong đó M tối đại. Khi đó các khẳng định sau là tương đương
(i) Q là M - nguyên sơ.
(ii)
√
Q = M.
(iii) Tồn tại n ≥ 1 sao cho M
n
⊂ Q ⊂ M.
Mệnh đề 1.3.5. Nếu Q
1
, , Q
n
là các iđêan P - nguyên sơ thì iđêan
Q = Q
1
∩ ∩Q
n
cũng là P - nguyên sơ.
Mệnh đề 1.3.6. Giả sử Q là iđêan P - nguyên sơ của vành R, với x ∈ R.
Khi đó ta có:
(i) Nếu x /∈ Q thì (Q : x) cũng là iđêan P - nguyên sơ.
(ii) Nếu x ∈ Q thì (Q : x) = R.
Định nghĩa 1.3.7. Một iđêan I của vành R được gọi là có sự phân tích
nguyên sơ nếu có hữu hạn iđêan Q
1
, , Q
n
của R sao cho:
(i) Q
1

, , Q
n
là các iđêan nguyên sơ.
(ii) I = Q
1
∩ ∩Q
n
.
888
Mệnh đề 1.3.8. (Lasker - Noether). Trong một vành Noether mọi iđêan
đều có sự phân tích nguyên sơ.
1.4 Môđun đối đồng điều địa phương
Trong phần này, vành R được xem là vành Noether giao hoán và I là một
iđêan của R. Chúng tôi chỉ nêu một số tính chất và kết quả của môđun
đối đồng điều địa phương, các chứng minh độc giả có thể tham khảo trong
[5], [18].
Định nghĩa 1.4.1. Với mỗi R - môđun M, tập
Γ
I
(M) =

n∈N
(0 :
M
I
n
)
là tập các phần tử của M bị linh hóa bởi một lũy thừa nào đó của iđêan I
của R. Chú ý rằng Γ
I

(M) là môđun con của M.
Với mỗi đồng cấu R - môđun f : M → N ta có f(Γ
I
M) ⊆ Γ
I
N do đó
tồn tại đồng cấu
Γ
I
(f) : Γ
I
(M) → Γ
I
(N)
là thu hẹp của f trên Γ
I
(M).
Nếu g : M → N và h : N → L là các đồng cấu R - môđun và r ∈ R.
Khi đó
Γ
I
(h ◦ f) = Γ
I
(h) ◦ Γ
I
(f), Γ
I
(f + g) = Γ
I
(f) + Γ

I
(g)
Γ
I
(rf) = rΓ
I
(f) và Γ
I
(Id
M
) = Id
Γ
I
(M)
999
Do đó Γ
I
trở thành hàm tử hiệp biến, R - tuyến tính từ phạm trù các R -
môđun vào chính nó. Γ
I
còn được gọi là hàm tử I - xoắn.
Mệnh đề 1.4.2. Hàm tử I - xoắn Γ
I
: M(R) → M(R) là hàm tử khớp
trái. Ta có:
Γ
I
(M)
∼
=

lim
−→
n
Hom
R
(R/I
n
, M)
Ta nói M là I - không xoắn nếu Γ
I
(M) = 0, M là I - xoắn nếu Γ
I
(M) = M.
Định nghĩa 1.4.3. Với mỗi i ∈ N
0
, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Γ
I
được kí hiệu là H
i
I
và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i
tương ứng với I.
Cho M là một R - môđun, lấy phép giải nội xạ của M:
I
∗
: 0
I
0
I
1

I
i
I
i+1

✲
d
−1
✲
d
0
✲ ✲ ✲
d
i
✲
sao cho có một đồng cấu R - môđun α : M → I
0
sao cho dãy sau khớp:
0
M
I
0
I
1

I
i
I
i+1

✲ ✲
α
✲
d
0
✲ ✲ ✲
d
i
✲
Tác động hàm tử Γ
I
lên phức I
∗
ta được:
0
Γ
I
(I
0
) Γ
I
(I
1
)

Γ
I
(I
i

) Γ
I
(I
i+1
)

✲
Γ
I
(d
−1
)
✲
Γ
I
(d
0
)
✲ ✲ ✲
Γ
I
(d
i
)
✲
Môđun đối đồng điều thứ i của phức trên:
H
i
I
(M) = ker(Γ

I
(d
i
))/Im(Γ
I
(d
i−1
))
Vì Γ
I
là hiệp biến và R - tuyến tính, nên mỗi hàm tử đối đồng điều địa
phương H
i
I
(i ∈ N
0
) cũng hiệp biến và R - tuyến tính. Γ
I
là hàm tử khớp
trái nên tương đương tự nhiên với H
0
I
và ta đồng nhất hai hàm tử này.
101010
Mệnh đề 1.4.4. Dãy khớp ngắn các R - môđun và R - đồng cấu
0
M

M
M


0
✲ ✲
f
✲
g
✲
cảm sinh dãy khớp dài
0 → H
0
I
(M

) H
0
I
(M) H
0
I
(M

) H
1
I
(M

) H
1
I
(M) →

→ H
i
I
(M

) H
i
I
(M) H
i
I
(M

) →
✲
H
0
I
(f)
✲
H
0
I
(g)
✲ ✲
H
1
I
(f)
✲

H
i
I
(f)
✲
H
i
I
(g)
Định nghĩa 1.4.5. Với mỗi R - môđun M và với mỗi i ∈ N
0
ta có:
H
i
I
(M)
∼
=
lim
−→
n
Ext
i
R
(R/I
n
, M)
và được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M theo
iđêan I.
Mệnh đề 1.4.6. Cho I, J là hai iđêan của R sao cho

√
I =
√
J. Khi đó
H
i
I
= H
i
J
, với mọi i ∈ N
0
, do đó H
i
I
(M) = H
i
J
(M) với mỗi R - môđun M
và với mọi i ∈ N
0
.
Mệnh đề 1.4.7. Cho M là một R - môđun
(i) Nếu I chứa một phần tử không là ước của không đối với M, khi đó
M là I - không xoắn, tức là Γ
I
(M) = 0.
(ii) Giả sử M là hữu hạn sinh, khi đó M là I - không xoắn khi và chỉ
khi I chứa một phần tử không là ước của không đối với M.
Hệ quả 1.4.8. .

(i) Cho M là R - môđun I - xoắn, khi đó H
i
I
(M) = 0 với mọi i > 0.
(ii) Với mỗi R - môđun N, ta có H
i
I
(Γ
I
(N)) = 0 với mọi i > 0.
111111
(iii) Với mỗi R - môđun N, toàn cấu tự nhiên π : N → N/Γ
I
(N) cảm
sinh đẳng cấu
H
i
I
(π) : H
i
I
(N)
H
i
I
(N/Γ
I
(N)) với i > 0
✲
∼

=
Mệnh đề 1.4.9. Cho M là một R - môđun. Khi đó Ass(Γ
I
(M)) và Ass(M/Γ
I
(M))
là rời nhau và
Ass(M) = Ass(Γ
I
(M)) ∪ Ass(M/Γ
I
(M)).
Mệnh đề 1.4.10. Với mỗi R - môđun M, môđun M = M/Γ
I
(M) là
I−không xoắn. Nếu M là R - môđun hữu hạn sinh thì I chứa một phần
tử không là ước của không đối với M. Hơn nữa, với i > 0 môđun đối đồng
điều địa phương H
i
I
(M) và H
i
I
(M) là đẳng cấu.
1.5 Biến đổi iđêan
Định nghĩa 1.5.1. Cho hàm tử hiệp biến, R - tuyến tính
D
I
:= lim
−−→

n∈N
Hom
R
(I
n
, •)
từ phạm trù các R - môđun M(R) vào chính nó. Gọi D
I
là hàm tử I - biến
đổi, hay biến đổi iđêan theo iđêan I. Với mỗi R - môđun M, ta gọi
D
I
(M) = lim
−−→
n∈N
Hom
R
(I
n
, M)
là biến đổi iđêan của M tương ứng với I, hay còn gọi là I - biến đổi của M.
Với mỗi i ∈ N
0
, R
i
D
I
kí hiệu là hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử
D
I

, khi đó ta có sự tương đương tự nhiên của các hàm tử
ψ
I
= (ψ
i
I
)
i∈N
0
: (R
i
D
I
)
i∈N
0

lim
−−→
n∈N
Ext
i
R
(I
n
, •)

i∈N
0
✲

∼
=
121212
Mệnh đề 1.5.2. .
(i) Có các biến đổi tự nhiên của các hàm tử (từ phạm trù các R - môđun
M(R) vào chính nó).
ξ(= ξ
I
) : Γ
I
→ Id, η(= η
I
) : Id → D
I
, ς
0
(= ς
0
I
) : D
I
→ H
1
I
sao cho với mỗi R - môđun M thì dãy sau đây là khớp:
0
Γ
I
(M)
M

D
I
(M)
H
1
I
(M)
0
✲ ✲
ξ
M
✲
η
M
✲
ς
0
M
✲
(ii) Với i ∈ N và M là R - môđun. Với mỗi n ∈ N đồng cấu nối
β
i
n,M
: Ext
i
R
(I
n
, M)
Ext

i+1
R
(R/I
n
, M)
✲
là đẳng cấu và chuyển qua giới hạn thuận ta có R - đẳng cấu
β
i
M
: lim
−−→
n∈N
Ext
i
R
(I
n
, M) lim
−−→
n∈N
Ext
i+1
R
(R/I
n
, M)
✲
∼
=

Xác định
γ
i
M
: R
i
D
I
(M)
H
i+1
I
(M)
✲
∼
=
.
Khi đó ta có sự tương đương tự nhiên các hàm tử
γ
i
: R
i
D
I
H
i+1
I
✲
∼
=

(iii) Với mỗi R - môđun M có một đơn cấu
θ
M
: M/Γ
I
(M) D
I
(M)
✲
cảm sinh bởi η
M
làm cho dãy
0
M/Γ
I
(M) D
I
(M)
H
1
I
(M)
0
✲ ✲
θ
M
✲
ς
0
M

✲
là khớp.Từ dãy khớp
0
Γ
I
(M)
M
D
I
(M)
H
1
I
(M)
0
✲ ✲
ξ
M
✲
η
M
✲
ς
0
M
✲
131313
ta có các kết quả sau:
Hệ quả 1.5.3. Cho M là một R - môđun, cho π : M → M/Γ
I

(M) là toàn
cấu chính tắc. Khi đó, ta có các kết quả sau:
(i) D
I
(Γ
I
(M)) = 0.
(ii) D
I
(π) : D
I
(M) → D
I
(M/Γ
I
(M)) là đẳng cấu.
(iii) D
I
(η
M
) = η
D
I
(M)
: D
I
(M) → D
I
(D
I

(M)) là đẳng cấu.
(iv) Γ
I
(D
I
(M)) = 0 = H
1
I
(D
I
(M)).
(v) H
i
I
(η
M
) : H
i
I
(M) → H
i
I
(D
I
(M)) là đẳng cấu với mọi i > 1.
1.6 Số chiều, chiều cao và hạng số học
Một dãy các môđun con c ủa môđun M là dãy (M
i
)
0≤i≤n

các môđun con
của M thỏa M = M
0
⊃ M
1
⊃ ⊃ M
n
= 0, chiều dài của dãy là n.
Định nghĩa 1.6.1. Số chiều của một vành R, là chiều dài lớn nhất n của
dãy P
0
⊂ P
1
⊂ ⊂ P
n
các iđêan nguyên tố của R, kí hiệu là dimR.
Nếu có một dãy các iđêan nguyên tố như trên có độ dài vô hạn thì ta kí
hiệu dimR = ∞.
Định nghĩa 1.6.2. Cho R là một vành khác không và P là một iđêan
nguyên tố của R. Chiều cao của một iđêan nguyên tố P là chiều dài lớn
nhất n của dãy các iđêan nguyên tố P
0
⊂ P
1
⊂ ⊂ P
n
= P, kí hiệu: htP
Ta thấy, nếu htP = 0 thì P là iđêan nguyên tố tối tiểu của vành R.
Nếu I là iđêan của R, ta định nghĩa chiều cao của I là chiều cao nhỏ nhất
141414

của các iđêan nguyên tố chứa I.
htI = inf{htP |P ∈ V (I)}
Số chiều của vành R cũng có thể được định nghĩa là supremum của chiều
cao của tất cả các iđêan nguyên tố của R
dimR = sup{htP |P ∈ Spec(R)}
Số chiều của R - môđun M, kí hiệu dimM = dim(R/annM) nếu M = 0
và dimM = −1 nếu M = 0.
Định nghĩa 1.6.3. Hạng số học của I được kí hiệu là ara(I)
ara(I) = min{n ∈ N
0
: ∃b
1
, b
2
, , b
n
∈ R với
√
(Rb
1
+ + Rb
n
) =
√
I}
Đặc biệt ara(0R) = 0
Mệnh đề 1.6.4. Giả sử I được sinh bởi t phần tử. Khi đó, với mỗi
R−môđun M, ta có
H
i

I
(M) = 0, với mọi i > t
Hệ quả 1.6.5. Với mỗi R - môđun M, ta có:
H
i
I
(M) = 0 với mọi i > ara(I).
1.7 Vành và môđun phân bậc
Định nghĩa 1.7.1. Vành phân bậc là một vành R với sự phân tích thành
tổng trực tiếp R =

i∈Z
R
i
, trong đó R
i
là các nhóm con cộng sao cho
R
i
R
j
⊂ R
i+j
với mọi i, j ∈ Z, do đó R
0
là một vành con của R và mỗi R
i
151515
là một R
0

- môđun. Cho R là một vành phân bậc, đặt R
+
=

i>0
R
i
thì
R
+
là một iđêan của R.
Cho R là vành phân bậc, một R - môđun phân bậc là một R - môđun M
với sự phân tích M =

i∈Z
M
i
, sao cho R
i
M
j
⊂ M
i+j
với mọi i, j ∈ Z.
Do đó mỗi M
i
là một R
0
- môđun, M
i

được gọi là thành phần thuần nhất
(hay phân bậc) thứ i của M.
Phần tử x ∈ M
i
được gọi là phần tử thuần nhất bậc i, bậc của x kí hiệu
là degx. Một phần tử bất kì x ∈ M được biểu diễn duy nhất x =

i
x
i
,
với x
i
∈ M
i
. Phần tử x
i
được gọi là thành phần thuần nhất của x có bậc
là i.
Định nghĩa 1.7.2. Cho M, N là các R - môđun phân bậc, một đồng cấu
của R - môđun phân bậc là một đồng cấu R - môđun ϕ : M → N sao cho
ϕ(M
i
) ⊂ N
i
, với mọi i ∈ Z và được gọi là đồng cấu thuần nhất.
Cho M là một R - môđun phân bậc, một môđun con N của M được
gọi là môđun con phân bậc (hay thuần nhất) nếu N được sinh bởi các
phần tử thuần nhất của M thuộc vào N. Nói cách khác, N là môđun con
phân bậc nếu N là môđun phân bậc và N

i
= N ∩ M
i
, ∀i ∈ Z. Hơn nữa,
M/N =

i∈Z
M
i
/N
i
cũng là một R - môđun phân bậc. Một R - đại số A
là phân bậc nếu thỏa điều kiện A
i
A
j
⊂ A
i+j
.
Cho I là một iđêan tùy ý của R, thì iđêan phân bậc I
∗
là kí hiệu của
iđêan sinh bởi tất cả các phần tử thuần nhất a ∈ I. Rõ ràng, I
∗
là iđêan
phân bậc lớn nhất chứa trong I. Hơn nữa R/I
∗
cũng là vành phân bậc.
161616
Vành phân bậc R mà là R

0
- đại số được sinh bởi R
1
được gọi là R
0
−đại
số tiêu chuẩn. Nói chung, nếu R là một R
0
- đại số phân bậc sinh bởi các
phần tử có bậc dương thì ta nói R là một R
0
- đại số phân bậc dương.
Mệnh đề 1.7.3. Cho R là một R
0
- đại số phân bậc dương và x
1
, , x
n
là
các phần tử thuần nhất có bậc dương. Khi đó, các khẳng định sau là tương
đương:
(i) x
1
, , x
n
sinh iđêan m =

∞
i=1
R

i
.
(ii) x
1
, , , .x
n
sinh R là một R
0
- đại số.
Đặc biệt, R là vành Noether nếu và chỉ nếu R
0
là vành Noether và R là
một R
0
- đại số hữu hạn sinh.
Định lí 1.7.4. Cho R là vành phân bậc. Khi đó, các khẳng định sau là
tương đương:
(i) Mỗi iđêan phân bậc của R là hữu hạn sinh.
(ii) R là vành Noether.
(iii) R
0
là vành Noether và R là R
0
- đại số hữu hạn sinh.
(iv) R
0
là vành Noether và S
1
=


∞
i=0
R
i
, S
2
=

∞
i=0
R
−i
là R
0
- đại
số hữu hạn sinh.
Bổ đề 1.7.5. Cho R là vành phân bậc.
1. Với mỗi iđêan nguyên tố P , thì iđêan P
∗
cũng là iđêan nguyên tố.
2. Cho M là R - môđun phân bậc.
(i) Nếu P ∈ SuppM thì P
∗
∈ SuppM
(ii) Nếu P ∈ AssM thì P là phân bậc. Hơn nữa, P là linh hóa tử của
171717
một phần tử thuần nhất.
Cho P là một iđêan nguyên tố của R và cho S là tập hợp cá c phần
tử thuần nhất của R không thuộc vào P , thì S là tập đóng nhân, ta đặt
M

(P )
= M
S
với bất kì R - môđun phân bậc M. Với x/a ∈ M
(P )
, x thuần
nhất, đặt
degx/a = degx −dega
Trên M
(P )
ta định nghĩa:
(M
(P )
)
i
= {x/a ∈ M
(P )
: x thuần nhất , degx/a = i}
Dễ thấy rằng, R
(P )
là vành phân bậc và M
(P )
là một R
(P )
- môđun phân
bậc, với iđêan nguyên tố phân bậc P của R thì R
(P )
và M
(P )
được gọi

là địa phương hóa thuần nhất của R và M tương ứng theo P . Hơn nữa,
iđêan P
∗
R
(P )
là một iđêan nguyên tố phân bậc trong R
(P )
và vành thương
R
(P )
/P
∗
R
(P )
có tính chất là mỗi phần tử thuần nhất khác không là khả
nghịch.
Bổ đề 1.7.6. Cho R là một vành phân bậc và I là một iđêan sinh bởi các
phần tử có bậc dương. Cho P
1
, , P
n
là các iđêan nguyên tố sao cho
I  P
i
, i = 1, 2, , n.
Khi đó, tồn tại một phần tử thuần nhất
x ∈ I, x /∈ P
1
∪ ∪P
n

.
Định nghĩa 1.7.7. Giả sử rằng {R
n
} là một lọc của vành R, nói cách
181818
khác, R
n
là các nhóm con cộng sao cho
R = R
0
⊇ R
1
⊇ ⊇ R
n
⊇
với R
m
R
n
⊆ R
m+n
, ta gọi R là một vành có lọc. Một môđun có lọc
M = M
0
⊇ M
1
⊇ ⊇ M
n
⊇
trên vành có lọc R được định nghĩa tương tự. Trong trường hợp này, mỗi

M
n
là một môđun con và chúng thỏa điều kiện R
m
M
n
⊆ M
m+n
Nếu I là một iđêan của vành R và M là một R - môđun, đặt tương ứng
I - lọc adic của R và của M bởi R
n
= I
n
và M
n
= I
n
M, (lấy I
0
= R sao
cho M
0
= M).
Định nghĩa 1.7.8. Nếu {R
n
} là một lọc của R, vành phân bậc liên kết
của R được định nghĩa:
gr(R) =

n≥0

gr
n
(R)
trong đó gr
n
(R) = R
n
/R
n+1
.
Nếu a ∈ R
m
và b ∈ R
n
, thì a+R
m+1
∈ R
m
/R
m+1
và b+R
n+1
∈ R
n
/R
n+1
.
Ta có:
(a + R
m+1

)(b + R
n+1
) = ab + R
m+n+1
.
Vì thế tích của mỗi phần tử của gr
m
(R) và mỗi phần tử của gr
n
(R) sẽ
thuộc vào gr
m+n
(R). Nếu a ∈ R
m+1
và b ∈ R
n
, thì ab ∈ R
m+n+1
. Vậy phép
nhân được định nghĩa tốt.
Nếu M là một môđun có lọc trên một vành có lọc R, ta đĩnh nghĩa
191919
môđun phân bậc liên kết của M là:
gr(M) =

n≥0
gr
n
(M)
trong đó gr

n
(M) = M
n
/M
n+1
.
Nếu a ∈ R
m
và x ∈ M
n
, ta định nghĩa phép nhân vô hướng như sau:
(a + R
m+1
)(x + M
n+1
) = ax + M
m+n+1
khi đó
(R
m
/R
m+1
)(M
n
/M
n+1
) ⊆ M
m+n
/M
m+n+1

.
Vì vậy gr(M) là một môđun phân bậc trên một vành phân bậc gr(M).
Định nghĩa 1.7.9. Cho M là một R - môđun có lọc với lọc {M
n
} và I là
một iđêan của R. Ta nói rằng {M
n
} là một I - lọc nếu IM
n
⊆ M
n+1
với
mọi n. Một I - lọc với IM
n
= M
n+1
với mọi n đủ lớn được gọi là I - ổn
định. Chú ý rằng I - lọc adic là I - ổn định.
Mệnh đề 1.7.10. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành
Noether R, giả sử {M
n
} là một I - lọc của M. Khi đó các điều kiện sau là
tương đương:
(i). {M
n
} là I - ổn định.
(ii). Định nghĩa vành phân bậc R

và R


- môđun phân bậc M

bởi
R

=

n≥0
I
n
, M

=

n≥0
M
n
thì M

là hữu hạn sinh.
Mệnh đề 1.7.11. Nếu {M
n
} là một lọc của R - môđun M và N là một
môđun con của M. Khi đó ta có lọc cảm sinh trên N và M/N, xác định
202020
tương ứng bởi
N
n
= N ∩ M
n

và (M/N)
n
= (M
n
+ N)/N.
Bổ đề 1.7.12. (Bổ đề Artin - Rees) Cho M là một môđun hữu hạn sinh
trên vành Noether R, giả sử M có một I - lọc ổn định {M
n
}, trong đó I là
iđêan của R. Cho N là một môđun con của M. Khi đó lọc {N
n
= N ∩M
n
}
cảm sinh bởi M trên N cũng là I - ổn định.
1.8 Vành Rees và gr
I
(R)
Cho R là một vành, I là một iđêan của R và t là một biến trên R. Xét R[t]
là một vành phân bậc, ta đặt
R
+
(R, I) = {

c
n
t
n
|c
n

∈ I
n
} =

n
I
n
t
n
Khi đó ta có R
+
(R, I) là vành phân bậc và R
+
(R, I) ⊂ R[t].
Nếu I = (a
1
, , a
r
) thì R
+
(R, I) có thể được viết R
+
(R, I) = R[a
1
t, , a
r
t],
do đó R
+
(R, I) là vành Noether nếu R là vành Noether.

R
+
(R, I) có quan hệ với gr
I
(R) := R/I ⊕ I/I
2
⊕ , vành phân bậc liên
kết của R đối với I như sau:
gr
I
(R) =

n
I
n
/I
n+1
 R
+
(R, I)/IR
+
(R, I).
Đặt u = t
−1
và xét R[t, u] = R[t, t
−1
] là một vành phân bậc. Vành Rees
của I kí hiệu R(I) là vành phân bậc con được định nghĩa như sau:
R(I) = R
+

(R, I)[u] =






c
n
t
n
|
c
n
∈ I
n
với n ≥ 0
c
n
∈ R với n ≤ 0





⊂ R[t, t
−1
]