Hàm số và các bài toán liên quan

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2015
CHUYỀN ĐỀ 2: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN
BÀI 1. KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Định lý: Hàm số y = f(x) xác định trên miền D
+ Nếu y’
≥
0 trên D thì hàm số đồng biến trên K ( Dấu “=” xảy ra tại 1 số điểm hữu hạn)
+ Nếu y’
≤
0 trên D thì hàm số đồng biến trên K ( Dấu “=” xảy ra tại 1 số điểm hữu hạn)
Dạng 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số dạng : y = f(x)
- Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số
+ Tính y’ và giải pt y’ = 0
+ Lập BBT ( hoặc chỉ cần xét dấu y’ ) kết luận trên cơ sở các điểm tới hạn
• Chú ý cách xét dấu của hàm đa thức và phân thức
Bài tập điển hình :
Bài 1. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
a)
3 2
2 3 1y x x
= − + +
b)
3 2
3 3 1y x x x= − + +
c)
4 2
2 1y x x
= − −
d)
2

5 4 3
1 1
2 1
5 4 2
x
y x x x x
= − − + + −
Bài 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
a)
1
2 2
x
y
x
+
=
−
b)
2
3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+
c)
2
1

1
y x
x
= − +
+
d)
2
2 2y x x
= − +
e)
2
2y x x
= −
f)
2 1
3 2
x
y
x
+
=
−
BT tự luyện cho dạng 1:
a)
2 5y x
= − +
b)
3
3 2y x x= − +
c)

3 2
2 3 2y x x
= − + +
d)
4 2
4 1y x x
= − + −
e)
2
2 3 1y x x
= + +
f)
2 1
1
x
y
x
−
=
+
g)
2
3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+

h)
1
2 3
1
y x
x
= − −
+
Dạng 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số m.
Phạm Nguyên Bằng - />Phương pháp 1: Sử dụng với tam thức bậc 2.
Phương pháp 2: Sử dụng hàm số
Bài tập điển hình :
Bài 1. Tìm m để hàm số:
a)
3
2
( 1)
3
x
y x m x m
= − + − +
đồng biến trên R.
b)
3
2
(3 2) 1
3
x
y mx m x
= − + + − +

nghịch biến trên R.
c)
( )
3
2
1
(3 2) 2
3
m x
y mx m x
−
= + + − +
đồng biến trên R.
Bài 2. Cho hàm số
3 2
3 3 1y x x mx
= − + + −
(1) (ĐHA,A1 _2013)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
(0; )+∞
.
Bài 3. Cho hàm số
y x m x m m x
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
= − + + + +
có đồ thị (C
m
).
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

(2; )
+∞
Bài 4. Tìm m để
( ) ( )
3 2
1
1 3 4
3
y x m x m x
−
= + − + + −
đồng biến trên (0, 3)
Phạm Nguyên Bằng - />Bài 5 Cho hàm số
( ) ( ) ( )
3 2
1
1 2 1 3 2
3
y m x m x m x m
= + + − − + +
.
Tìm m để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4
Bài tập luyện tập:
1. Cho hàm số
y x m x m x m
3 2
(1 2 ) (2 ) 2
= + − + − + +
.Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng
K (0; )= +∞

.
2. Cho hàm số
y m x m x x
2 3 2
1
( 1) ( 1) 2 1
3
= − + − − +
.Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng
K ( ;2)= −∞
.
3. Cho hàm số
y m x m x x
2 3 2
1
( 1) ( 1) 2 1
3
= − + − − +

m( 1)≠ ±
.
Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng
K (2; )= +∞
.
4. Cho hàm số
y x x mx m
3 2
3
= + + +
(m là tham số).

Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
5. Cho hàm số
y x mx
3 2
2 3 1
= − + −
.
Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trong khoảng
x x
1 2
( ; )
với
x x
2 1
1− =
.
6. Cho hàm số
y x mx m
4 2
2 3 1
= − − +
, (m là tham số).
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2).
7. Cho hàm số
mx
y
x m
4+
=
+

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng
( ;1)−∞
.
8. Cho hàm số
2
2 3
.
1
x x m
y
x
− +
=
−

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
( ; 1)−∞ −
.
9. Cho hàm số
2
2 3
1
x x m
y
x
− +
=
−

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(2; )+∞
.
10. Cho hàm số
2
2 3
1
x x m
y
x
− +
=
−

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(1;2)
.
11. Cho hàm số
2 2
2 3
2
x mx m
y
m x
− +
=
−

Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng
( ;1)−∞

.
12. Cho hàm số
2 2
2 3
2
x mx m
y
m x
− +
=
−

Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng
(1; )+∞
.

Dạng 3. Ứng dụng của tính đơn điệu hàm số trong việc giải pt, bpt, hpt,bđt
* Ứng dụng của tính đơn điệu hàm số trong việc giải pt, bpt, hpt
Bài 1.Giải phương trình:
5 3
1 3 4 0x x x
+ − − + =
.
Phạm Nguyên Bằng - />Bài 2.Giải phương trình:
2 2
15 3 2 8x x x
+ = − + +

Bài 3.Giải bất phương trình:
3 5

4
1 5 7 7 5 13 7 8x x x x
+ + − + − + − <
(*)
Bài 4.Giải PT:
3 2
1 1 1
5 4 3 2 2 5 7 17
2 3 6
x x x x
x x x
x x x
+ + + = + + − + − +
(*)
Bài 5.Giải các hệ phương trình:
( )
( )
3 3
4 4
3 3 1
1)
1 2

− = −



+ =

x x y y

x y
( )
( ) ( )
3
4
1 8 1
2)
1 2

− − = −



− =

x y x
x y
( )
( )
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9 1
3)
1
2
2

− − + = + −




+ − + =

x x x y y y
x y x y
Đề thi đại học A,A1 năm 2012
( )
( )
5 4 10 6
2
1
4)
4 5 8 6 2

+ = +



+ + + =

x xy y y
x y
Đề thi thử chuyên Hạ Long năm 2013
Bài 6.Giải phương trình
2 2
sin cos
2014 2014 cos2
− =
x x
x

Bài 7. Tìm
( )
, 0,x y ∈ π
thỏa mãn hệ
cotg cotg
3 5 2
x y x y
x y
− = −


+ = π

Bài 8. Giải hệ phương trình
3 2
3 2
3 2
2 1
2 1
2 1
x y y y
y z z z
z x x x

+ = + +

+ = + +


+ = + +


(*).
Bài 9. (Đề TSĐH khối D, 2007):
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y

+ + + =



+ + + = −



* ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BĐT
Bài 1. Chứng minh rằng:
3 3 5
sin
3! 3! 5!
x x x
x x x− < < − +

∀x > 0
Bài 2. Chứng minh rằng:
2
sin 0,
2
x
x x
π
 
> ∀ ∈
 ÷
π
 
Phạm Nguyên Bằng - />Bài 3. Chứng minh rằng:
2 ln ln
x y x y
x y
+ −
>
−
∀x > y > 0
Bài 4. Chứng minh rằng:
1
ln ln 4
1 1
y x
y x y x
 
− >
 ÷

− − −
 

( )
, 0,1x y
x y

∀ ∈


≠


(1)
Bài 5. Chứng minh rằng:
b a
a b<
∀a > b ≥ e
Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau:
a, Sinx < x Với
0
2
x
π
< <

b,
3
sin
6

x
x x− <
Với x > 0
Bài 7. (Đề TSĐH khối D, 2007)
Chứng minh rằng
( ) ( )
1 1
2 2 , 0
2 2
b a
a b
a b
a b+ ≤ + ∀ ≥ >
Bài 8. (Bất đẳng thức Nesbitt)
Chứng minh rằng:
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
∀a, b, c > 0 (1)
Bình luận: Bất đẳng thức Nesbitt ra đời năm 1905 và là một bất đẳng thức rất nổi tiếng trong suốt thế kỷ 20.
Trên đây là một cách chứng minh bất đẳng thức này trong 45 cách chứng minh.
Bài tập rèn luyện
Bµi 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh
2
4 1 4 1 1x x− + − =
.
Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh

2 2
3 2 1x x x x− + − + − =
.
Phạm Nguyên Bằng - />Bài 3: Tìm các giá trị của tham số để phơng trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt:
4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m+ + + =
(ĐH- Khối A 2008).
Bài 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệp thực:
2
4
3 1 1 2 1x m x x + + =
(ĐH- Khối A 2007).
Bài 5: Xác địng m để phơng trình sau có nghiệm:
2 2 4 2 2
( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ + = + +

(ĐH- Khối B 2004)
Câu 6: Chứng minh rằng phơng trình sau có đúng 1 nghiệm: x
5
-x
2
-2x-1 =0 (ĐH- Khối D 2004)
Bài 7: Tìm m để bất phơng trình
2
( 2 2 1) (2 ) 0m x x x x + + +
có nghiệm
0;1 3x

+

Bài 8: Tìm m để phơng trình
2
4
1x x m+ =
có nghiệm.
Bài 9: Tìm m để phơng trình
4
4
13 1 0x x m x + + =
có đúng 1 nghiệm.
Bài 10: Xác địng m để ph.trìmh 2(Sin
4
x+cos
4
x) +cos4x+2sin2x+m=0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn
0;
2




Phm Nguyờn Bng - />