Tài liệu KHẢO SÁT HÀM SỐ và bài toán liên quan pdf

Bài 1. Cho hàm số
2
x x 1
y
x 1
− +
=
−
(C)
a) Khảo sát hàm số.
b) Tìm những điểm M trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là
nhỏ nhất.
Bài 14. Cho hàm số :
2
x 4x 5
y
x 2
+ +
=
+
(C)
a) Khảo sát hàm số.
b) Tìm các điểm trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng
∆
: y + 3x + 6 = 0 là nhỏ nhất.
Bài 18. Cho hàm số
2
(x 2)
y
x 1
−

=
−
(C)
a) Khảo sát hàm số trên.
b) Gọi d là đường thẳng đi qua I(–1 ; 0) có hệ số góc k. Biện luận theo k số nghiệm của
đường thẳng d và đồ thị (C).
c) Gọi M
0
(x
0
; y
0
) là một điểm bất kỳ thuộc (C). Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M
đến hai tiệm cận của (C) luôn bằng hằng số.
Bài . Cho hàm số
2
x
y
x 1
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Viết phương trình parabol đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu và tiếp xúc với đường thẳng
y =
1
2
−
c) Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị để khoảng cách giữa chúng là
nhỏ nhất.
Bài 4. Cho hàm số

2
x 3x 3
y
x 1
+ +
=
+
(C)
a) Khảo sát hàm số.
b) Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài của đoạn
AB ngắn nhất.
1. Cho hàm số :
23
23
+−=
xxy
(C) .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn .
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với (d) :
3/xy
=

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua
);( 30A
,B(1;0) ; C(-1;2)
e) Tìm a để Phương trình
03
23
=−−

axx
có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm lớn
hơn 1
2. Cho hàm số :
11233
23
+−+−=
xmmxxy )(

)(
m
C
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 1 . (
133
23
++−=
xxxy
)
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định .
c) Tìm m để hàm số có cực trị. Tính toạ độ của điểm cực tiểu .
2’ Cho hàm số :
xxxy 44
23
+−=
(C) .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại gốc toạ độ cắt (C) tại A.
Tính toạ độ điểm A.
c) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và (d) :

kxy
=
3. Cho hàm số :
2
3 )( xxy
−=
(C) .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C),0x và
2
=
x
4
=
x

c) Đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ 0 có hệ số góc k.Tìm k để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân
biệt .Gọi 3 điểm phân biệt lần lượt là O,A,B. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB khi
m thay đổi.
4. Cho hàm số :
4333
23
+++−=
mmxxxy

)(
m
C
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0 .

b) Tìm m để hàm số có cực trị .
c) Tìm m để hàm số nhận I(1;2) làm điểm uốn.
d) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại
1
=
x
.
e) Tìm m để
)(
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
f) Tìm điểm cố đinh của
)(
m
C
khi m thay đổi.
5. . Cho hàm số :
23
23
−+++=
mmxxxy

)(
m
C

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
3
=

m
.
b) Gọi A là giao điểm của (C) và trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A.
c) Tìm m để
)(
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
d) Tìm điểm cố đinh của
)(
m
C
khi m thay đổi.
6. ho hàm số :
2121
23
−+−−+=
xmxmxy )()(

)(
m
C
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1
−=
m
.
b) Tìm m để hàm số có cực trị .
c) Tìm m để

)(
m
C
tiếp xúc với trục hoành .
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(8/5;-2).
6. ho hàm số :
mxmmxxy
+−++=
)( 133
223

)(
m
C
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1
=
m
.
b) Tìm m để hàm số có cực tiểu tại
2
=
x
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(0;6).Tìm toạ độ tiếp điểm.
7. ho hàm số :
35612
23
−−++−=

xmxmxy )()(

)(
m
C
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
b) Tìm m để
)(
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
c) Tìm điểm cố đinh của
)(
m
C
khi m thay đổi.
8. Cho hàm số :
mxxxy
+−−=
93
23

)(
m
C
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
b) Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực trị .Viết phương trình đường thẳng đi qua 2
điểm cực trị.

c) Tìm m để
)(
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau.
9. . Cho hàm số :
2
23
++=
bxaxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) khi
1
=
a
;
3
−=
b
.
b) Tìm a và b để đồ thị hàm số nhận I(1;0) là điểm uốn.
c) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) song song với (d) :
019
=−−
yx
.Tìm toạ độ
tiếpđiểm.
10. Cho hàm số :
1
23
−+−=

mxmxxy

)(
m
C
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1
−=
m
.
b) Tìm m để hàm số có cực trị .
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) , trục tung và tiếp tuyến tại điểm
A(1;0).
d) Chứng tỏ tiếp tuyến
)(
m
C
tại điểm uốn có hệ số góc
43 /
≤
k
.
11. Cho hàm số :
433
23
+++−=
xxmxy )(

)(

m
C
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi
3
−=
m
.
b) Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu. Khi đó viết phương trình
đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị .
C
.
Bài 12
a) Khảo sát hàm số y = –x
3
+ 3x + 1
b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số, biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x
3
– 3x + m – 2 = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với
đường thẳng y = –9x + 4.
Bài 13. Cho hàm số y =
mx
mx
+
−
2
1
, m là tham số.

a) Khảo sát hàm số khi m = 2
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng
xác định của nó.
c) Xác định m để đường tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1;
2
).
Bài 14. Cho hàm số y =
2
462
2
+
+−+
mx
x)m(x
có đồ thị là (C
m
), m là tham số.
a) Khảo sát hàm số khi m = 1
b) Với gi trị no của m thì (C
m
) đi qua điểm (-1; 1)?
Bài 15
a) Khảo sát hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ 1. Gọi (C) là đồ thị hàm số đ cho.
b) Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
3
+ 3x

2
+ m = 0.
c) Từ gốc tọa độ có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị (C). Viết phương
trình cc tiếp tuyến đó.
Bài 16
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 3).
Bài 17. Cho hàm số y = x
3
– 3(m + 1)x
2
+ 3 (2m + 1)x + 1, m là tham số.
a) Khảo sát hàm số khi m = 0.
b) Xác định m để hàm số luôn luôn đồng biến.
c) Xác định m để hàm số có một cực đại và một cực tiểu. Tìm tọa độ điểm cực tiểu.
Bài 18
a) Khảo sát hàm số y =
2
3
3
2
1
24
+−
xx

.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm uốn.
c) Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
A(0;
2
3
).
Bài 19. Cho hàm số y = – x
4
– 2mx
2
+ 2m + 1 có đồ thị là (C
m
), m là tham số.
a) Biện luận theo m số cực trị hàm số.
b) Khảo sát hàm số khi m = –5.
c) Xác định m sao cho (C
m
) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Bài 20
a) Khảo sát hàm số y =
2
23
+
+
x
x
có đồ thị là (C).
b) Tìm cc điểm trên đồ thị (C) có tọa độ là những số nguyên.
Bài 21

a) Khảo sát hàm số y =
1
3
+
+
x
x
có đồ thị là (C).
b) Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân
biệt M và N.
c) Xác định m để độ dài đoạn MN nhỏ nhất.
d) Tiếp tuyến tại một điểm I bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận của đồ thị (C)
tại hai điểm P và (Q). Chứng minh I là trung điểm của PQ.
Bài 22
a) Khảo sát hàm số y = x –
1
1
+
x
có đồ thị là (C).
b) Xác định tâm đối xứng của đồ thị (C).
Bài 23. Cho hàm số y =
1
12
2
+−
−−−
x
mmxx
có đồ thị là (C

m
), m là tham số.
a) Khảo sát hàm số khi m = –1 .
b) Xác định m sao cho hàm số có cực trị và tiệm xiên của (C
m
) đi qua gốc tọa độ.
Bài 24. Cho hàm số y =
212
3
1
23
+++−+
mx)m(mxx
có đồ thị là (C
m
), m là tham số.
a) Tìm cc điểm cố định của (C
m
) khi m thay đổi.
b) Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị với hoành độ dương.
c) Khảo sát hàm số khi m = –2.
d) Viết phương trình cc tiếp tuyến của (C
-2
) đi qua điểm A(
9
4
9
4
;
).

Bài 25.
a) Khảo sát hàm số y = x
4
– 4x
3
+ 4x
2
. Gọi (C) là đồ thị của nó.
b) Tìm giao điểm của (C) với đường thẳng y = 1.
c) Xác định m để phương trình: x
4
– 4x
3
+ 4x
2
= m
2
– 2m có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 26.
a) Khảo sát hàm số y =
1
1
2
−
−+
x
xx
. Gọi đồ thị của nó là (C).
b) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C), đường tiệm cận xiên của (C) và
hai đường thẳng x = 2, x = 3.

Bài 27. Cho hàm số y =
kx
kkxx
−
++−
12
22
(với tham số k)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k = 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vừa vẽ ở cu 1, biết rằng tiếp tuyến đó đi
qua A(3;0).
c) Chứng minh rằng với k bất kỳ, đồ thị hàm số luôn luôn có điểm cực đại, điểm
cực tiểu và tổng các tung độ của chúng bằng 0.
Bài 28. Cho hàm số y =
1
3
2
+
−−−
x
mx)m(x
có đồ thị là (C
m
), m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
2
) của hàm số khi m = 2.
2) Chứng minh rằng (C
m
) nhận giao điểm các đường tiệm cận làm tâm đối xứng.