Tổng hợp phương trình hệ phương trình bất phương trình trong các đề thi 2014

LỚP TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (2014)
11a Nguyễn Trường Tộ - Đn Chuyên đề : PT-HPT-BPT
www.nhomtoan.com
TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ 2014
A.HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. Giải hệ phương trình

8x
3
− y
3
= 63 (1)
y
2
+ 2x
2
+ 2y −x = 9 (2)
Hướng dẫn : Lấy (1) + 6.(2) ⇒ (2x − 1)
3
= (y + 2)
3
. Đs : (2; 1); (−1/2; 4).
Câu 2. Giải hệ phương trình

9y
3
(3x
3
− 1) = −125 (1)
45x

2
y + 75x = 6y
2
(2)
Hướng dẫn : Chia (1) cho y
3
, (2) cho y
2
, đặt u = 3x; v =
5
y
. Đs : (2/3; 5); (1/3; 5/2).
Câu 3. Giải hệ phương trình

y
3
+ 3y
2
+ y −22x + 21 = (2x + 1)
√
2x − 1 (1)
2x
2
− 11x + 9 = 2y (2)
Hướng dẫn : Lấy (1) − 2.(2) ⇒ (y + 1)
3
+ 2(y + 1) = (
√
2x − 1)
3

+ 2
√
2x − 1. Đs : (1; 0); (5; 2).
Câu 4. Giải hệ phương trình

x
4
− 4x
2
+ y
2
− 6y + 9 = 0 (1)
x
2
y + x
2
+ 2y −22 = 0 (2)
Hướng dẫn : Đặt a = x
2
−2; b = y−3, suy ra (a; b) = {(2; 0); (0; 2)}. Đs : (2; 3); (−2; 3); (
√
2; 5); (−
√
2; 5).
Câu 5. Giải hệ phương trình

x
3
− 6x
2

y + 9xy
2
− 4y
3
= 0 (1)
√
x − y +
√
x + y = 2 (2)
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − y)
2
(x − 4y) = 0. Đs : (2; 2); (32 −8
√
15; 8 − 2
√
15).
Câu 6. Giải hệ phương trình

2

x
2
+ 3y −

y
2
+ 8x − 1 = 0 (1)
x(x + 8) + y(y + 3) − 13 = 0 (2)
Hướng dẫn : Đặt a =


x
2
+ 3y; b =

y
2
+ 8x, ⇒ (a; b) = (2; 3). Đs : (1; 1); (−5; −7).
Câu 7. Giải hệ phương trình





9(x
2
+ y
2
) + 2xy +
4
(x − y)
2
= 13 (1)
2x +
1
x − y
= 3 (2)
Hướng dẫn : Đặt a = x + y; b = x −y +
1
x − y
⇒ (a; b) = {(1; 2); (5/3; 4/5)}. Đs : (1; 1).

Câu 8. Giải hệ phương trình

(x − y)(x
2
+ xy + y
2
+ 3) = 3(x
2
+ y
2
) + 2 (1)
4
√
x + 2 +
√
16 − 3y = x
2
+ 8 (2)
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − 1)
3
= (y + 1)
3
⇔ y = x − 2; (2) ⇔ 4
√
x + 2 +
√
22 − 3x = x
2
+ 8 ⇔
Liên hợp hai lần nhé !. Đs : (2; 0); (−1; −3).

Câu 9. Giải hệ phương trình




√
2x − 1 − 1

2
y−1
=
2 − 2
√
2 − x
x
(1)
log
2
x = −y + 2 (2)
Hướng dẫn : Rút (2) thay vào (1) :
√
2x − 1 − 1 = 1 −
√
2 − x ⇔ Bình phương !. Đs : (1; 2); 17/9; 2 −
log
2
17
9
.
Câu 10. Giải hệ phương trình


x + 3 = 2

(3y −x)(y + 1) (1)
x
√
2y −1 +
√
x + 12 = 12

√
6 − 2y +
√
4 − x

(2)
Hướng dẫn : (1) ⇔

√
y + 1 −
√
3y −x

(3
√
y + 1 +
√
3y −x) = 0. Thay vào (2), dùng tính đơn điệu,
suy ra duy nhất nghiệm. Đs : (4; 5/2).
Câu 11. Giải hệ phương trình


ln(x + 1) + ln(y + 1) = ln(x −2y + 1) (1)
x
2
− 12xy + 20y
2
= 0 (2)
Hướng dẫn : (2) là phương trình đẳng cấp thuần nhất, chia y
2
. Đs : (0; 0).
Câu 12. Giải hệ phương trình

xy
2
+ 4y
2
+ 8 = x(x + 2) (1)
x + y + 3 = 3
√
2y −1 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x + 4)(y
2
− x + 2) = 0. Khi x = y
2
+ 2, thay vào (2)
y
2
+ y + 5 = (y
2
− y + 1) + (2y − 1) + 5 > (2y − 1) + 5  2


5(2y −1)  3

2y −1 ⇔ Vô lý
. Đs : (−4; 10 + 3
√
10).
Câu 13. Giải hệ phương trình




2x + y
4x + 2y + 2
+

3x + 1
x − 1
= 2 (1)
12x + 4y = 5(x −1)(2x + y + 1) (2)
Hướng dẫn :(2) ⇔
1
2x + y + 1
+
1
x − 1
=
5
4
, đặt a =


2x + y
4x + 2y + 2
; b =

3x + 1
x − 1
. Đs : (5; −10).
Câu 14. Giải hệ phương trình

x
4
+ y
2
− 8x
2
− 6y = 1 (1)
x
2
y + 2x
2
+ y = 38 (2)
Hướng dẫn :Đặt a = x
2
− 4; b = y −3. Đs : (
√
3; 8); (−
√
3; 8); (3; 2); (−3; 2).
Câu 15. Giải hệ phương trình


x
3
− x
2
y = x
2
− x + y + 1 (1)
x
3
− 9y
2
+ 6(x − 3y) −15 = 3
3
√
6x
2
+ 2 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x − y)(x
2
+ 1) = x
2
+ 1, thay vào (2)
(x − 1)
3
+ 3(x − 1) = (6x
2
+ 2) + 3
3
√

6x
2
+ 2 ⇔ . . . ⇔ x
3
− 9x
2
+ 3x − 3 = 0 ⇔ (x + 1)
3
= 2(x − 1)
3
. Đs :

3
√
2 + 1
3
√
2 − 1
;
2
3
√
2 − 1

.
Câu 16. Giải hệ phương trình

(4x
2
+ 1)x + (y −1)

√
1 − 2y = 0 (1)
4x
2
+ y
2
+ 4y + 2
√
3 − 4x = 3 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (2x)
3
+ 2x = (
√
1 − 2y)
3
+
√
1 − 2y, thay vào (1) ⇔ (2x −1).f(x) = 0. Đs : (1/2; 0).
Câu 17. Giải hệ phương trình



1 + xy +
√
xy = x (1)
1
x
√
x
+ y

√
y =
1
√
x
+ 3
√
y (2)
Hướng dẫn :Chia (1) cho x, đặt a =
1
√
x
; b =
√
y. Đs : (1; 0).
Câu 18. Giải hệ phương trình

x
2
y
2
+ 4x
2
y −3xy
2
+ x
2
+ y
2
= 12xy + 3x −4y + 1 (1)

3x
2
− 2y
2
= 9x + 8y + 3 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x
2
−3x+1)(y
2
+4y +1) = 2; (2) ⇔ 3(x
2
−3x)−2(y
2
+4y) = 3. Đặt a = x
2
−3x; b =
y
2
+ 4y. Đs : (
3 −
√
13
2
; 0); (
3 +
√
13
2
; 0);
Câu 19. Giải hệ phương trình


10x − xy −y = 2 (1)
30x
2
− xy
2
− 2xy −x −y = 1 (2)
Hướng dẫn :(1) chia x; (2) chia x
2
. Đặt a =
1
x
; b = y + 1. Đs : (1; 4); (1/5; 0); (1/2; 2); (1/3; 1).
Câu 20. Giải hệ phương trình

x
4
+ x
2
y
2
− y
2
= y
3
+ x
2
y + x
2
(1)

2y
3
−
√
5 − 2x
2
− 1 = 0 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x
2
− y − 1)(x
2
+ y
2
). Thay x
2
= y + 1 vào (2), xét hàm, suy ra nghiệm duy nhất.
Đs : (
√
2; 1); (−
√
2; 1).
Câu 21. Giải hệ phương trình

(4y −1)(
√
x
2
+ 1) = 2x
2
+ 2y + 1 (1)

x
4
+ x
2
y + y
2
= 1 (2)
Hướng dẫn :Xem (1) là một phương trình bậc 2 theo
√
x
2
+ 1. Đs : (0; 1).
Câu 22. Giải hệ phương trình

√
x + 2 +
√
y −2 = 4 (1)
√
x + 7 +
√
y + 3 = 6 (2)
Hướng dẫn :(1) + (2); (1) − (2), đặt a =
√
x + 7 +
√
x + 2; b =
√
y + 3 +
√

y −2. Đs : (2; 6).
Câu 23. Giải hệ phương trình

2x
2
(4x + 1) + 2y
2
(2y + 1) = y + 32 (1)
x
2
+ y
2
− x + y =
1
2
(2)
Hướng dẫn :(2) ⇔

x −
1
2

2
+

y +
1
2

2

= 1, đặt a = x −
1
2
; b = y +
1
2
. Thay vào (1)
(1) ⇔ (4a
2
+ 11a + 15)(a − 1) + 2b
2
(b − 1) = 0 (3)
Dựa vào điều kiện suy ra V T(3)  0 ⇒ a = 1; b = 0. Đs : (3/2; 1/2).
Câu 24. Tìm m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất





x + 3 = 2

(3y −x)(y + 1) (1)

√
3y −2 −

x + 5
2

.m = xy −2y − 2 (2)

Hướng dẫn :(1) ⇔ 3(y + 1) − (3y − x) = 2
√
3y −x.
√
y + 1 ⇔ . . . ⇔
√
y + 1 −
√
3y −x = 0. Thay vào
(2)
(y −2)

2m
√
3y −2 +
√
y + 2
− (2y + 1)

= 0
Đs : (−∞; 7
√
6/9); 10.
Câu 25. Giải hệ phương trình

√
x
2
+ 21 =
√

y −1 + y
2
(1)

y
2
+ 21 =
√
x − 1 + x
2
(2)
Hướng dẫn :Lấy (1) −(2) ⇔
√
x
2
+ 21 +
√
x − 1 +x
2
=

y
2
+ 21 +
√
y −1+ y
2
, xét hàm, suy ra x = y.
Đs : x = 2.
Câu 26. Giải hệ phương trình


√
x + y +
√
x − y = 4 (1)
x
2
+ y
2
= 128 (2)
Hướng dẫn :Bình phương hai lần (1), rút được y
2
= 16x − 64, thay vào (2). Đs : (8; 8); (8; −8).
Câu 27. Giải hệ phương trình

xy + x −1 = 3y (1)
x
2
y −x = 2y
2
(2)
Hướng dẫn :(1) chia cho y, (2) chia cho y
2
. đặt a = x−
1
y
; b =
x
y
. Đs : (1±

√
2; 1±
√
2); (2; 1); (−1; −1/2).
Câu 28. Giải hệ phương trình

x
2
+ xy + x + 3 = 0 (1)
(x + 1)
2
+ 3(y + 1) + 2

xy −

x
2
y + 2y

= 0 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ xy = −x
2
− x − 3, thay vào (2) ⇔ 3.
y
x
2
+ 2
− 2

y

x
2
+ 2
− 1 = 0. Đs : (−1; 3).
Câu 29. Giải hệ phương trình

2y
3
− 2x
3
= 3 (1)
y = 4x
3
− x + 3 (2)
Hướng dẫn :Thay (1) vào (2), suy ra y+x = 2x
3
+2y
3
⇔ (x+y)(x
2
−xy+y
2
−
1
2
) = 0. Từ x
2
−xy+y
2
=

1
2
suy ra y
2

2
3
; x
2

2
3
. Đánh giá :|y
3
− x
3
|  |x
3
| + |y
3
|  2(

2/3)
3
< 3/2 ⇒ vô nghiệm. Đs :
(−
3

3/4;
3


3/4).
Câu 30. Giải hệ phương trình

x + y +

x
2
− y
2
= 12 (1)
y

x
2
− y
2
= 12 (2)
Hướng dẫn :Đặt a =

x
2
− y
2
; b = x + y ⇒ (a; b) = {(4; 8); (3; 9)}. Đs : (5; 3); (5; 4).
Câu 31. Giải hệ phương trình

√
xy +
√

x −
√
y = −x + 2y (1)
3 log
3
(x + 2y + 6) = 2 log
2
(x + y + 2) + 1 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔
√
x −
√
y = 0, thay vào (2) ⇔ 3 log
3
(x + 2) = 2 log
2
(x + 1). Đs : (7; 7).
Câu 32. Giải hệ phương trình

(x − y)(x
2
+ xy + y
2
+ 3) = 3(x
2
+ y
2
) + 2 (1)
√
x − 2 +

√
2 − y = x
2
− 6x + 11 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x − 1)
3
= (y + 1)
3
. Đs : (3; 1).
Câu 33. Giải hệ phương trình

x +
√
x
2
− 2x + 5 = 3y +

y
2
+ 4 (1)
x
2
− y
2
− 3x + 3y + 1 = 0 (2)
Hướng dẫn :Lấy (1) + (2) ⇔ (x − 1)
2
+

(x − 1)

2
+ 4 = y
2
+

y
2
+ 4. Đs : (3/2; 1/2); (3/4; 1/4).
Câu 34. Giải hệ phương trình

log
2
x = 2
y+2
(1)
4
√
x + 1 + xy

4 + y
2
= 0 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (xy
2
− 4)(4x + xy
2
+ 4) = 0 ⇔ x =
4
y
2

, thay vào (1), xét hàm, suy ra nghiệm duy
nhất. Đs : (4; −1).
Câu 35. Giải hệ phương trình

(53 − 5x)
√
10 − x + (5y −48)
√
9 − y (1)
√
2x − y + 6 + x
2
=
√
−2x + y + 11 + 2x + 66 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (5(10 −x) + 3)
√
10 − x = (5(9 −y) + 3)
√
9 − y, xét hàm, suy ra y = x − 1. Đs :
(9; 8).
Câu 36. Giải hệ phương trình

√
x − 2 −
√
y −1 = 27 −x
3
(1)
(x − 2)

4
+ 1 = y (2)
Hướng dẫn :(2) ⇔
√
y −1 = (x − 2)
2
,thay vào (1) ⇔
√
x − 2 + x
3
− x
2
+ 4x − 31 = 0, xét hàm VT,
chứng minh đồng biến, suy ra nghiệm duy nhất. Đs : (3; 2).
Câu 37. Giải hệ phương trình

27x
3
y
3
+ 7y
3
= 8 (1)
9x
2
y + y
2
= 6x (2)
Hướng dẫn :Nhân (2) với 7y, rồi trừ vế theo vế với (1). Đs : (−
3


7/19; −
3

19/7);
Câu 38. Giải hệ phương trình

7x
3
+ y
3
+ 3xy(x −y) − 12x
2
+ 6x = 1 (1)
3
√
4x + y + 1 +
√
3x + 2y = 4 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (2x − 1)
3
= (x − y)
3
, thay vào (2), đặt a =
3
√
3x + 2; b =
√
x + 2 ⇒ a = 2; b = 2.
Đs : (2; −1).

Câu 39. Giải hệ phương trình

(3x + y)(x + 3y)
√
xy = 14 (1)
(x + y)(x
2
+ y
2
+ 14xy) = 36 (2)
Hướng dẫn :Đặt a = x + y; b =
√
xy, suy ra hệ đẳng cấp theo a, b.
Đs : (
3 − 2
√
2
2
;
3 + 2
√
2
2
); (
3 + 2
√
2
2
;
3 − 2

√
2
2
).
Câu 40. Giải hệ phương trình

12x + 3y −4
√
xy = 16 (1)
√
4x + 5 +
√
y + 5 = 6 (2)
Hướng dẫn :Đặt a = 4x + y; b = 4xy,rút thế, suy ra a = 8; b = 16. Đs : (1; 4).
Câu 41. Giải hệ phương trình

5x
2
− 3y = x −3xy (1)
x
3
− x
2
= y
2
− 3y
3
(2)
Hướng dẫn :Hệ đẳng cấp !. Đs : (0; 0); (1/2; 1/2); (−1; 1).
Câu 42. Giải hệ phương trình






x
2
+ 3y

x
2
− 1
y
= 1 + 4y (1)
3
√
x + 6 +

x + y −x
2
= y (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔
x
2
− 1
y
+ 3

x
2

− 1
y
− 4 = 0 ⇔ . . . ⇔ y = x
2
− 1. Thay vào (2)
3
√
x + 6 +
√
x − 1 = x
2
− 1 ⇔ . . . ⇔ (x − 2).f(x) = 0
. Đs : (2; 3).
Câu 43. Giải hệ phương trình

4

1 + 2x
2
y −1 = 3x + 2

1 − 2x
2
y +
√
1 − x
2
(1)
2x
3

y −x
2
=
√
x
4
+ x
2
− 2x
3
y

4y
2
+ 1 (2)
Hướng dẫn :(2) ⇔ 2y + 2y

4y
2
+ 1 =
1
x
+
1
x

1
x
2
+ 1. Xét hàm, suy ra 2y =

1
x
, thay vào (1), đặt
a =
√
x + 1; b =
√
1 − x. Đs : (−3/5; −5/6); (0; t) t ∈ R .
Câu 44. Giải hệ phương trình

5x
3
+ 7y
3
+ 2xy = 38 (1)
4x
3
− 3y
3
− 7xy = −4 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ x
3
= xy + 2; (2) ⇔ y
3
= 4 − xy. Nhân vế theo vế, suy ra : xy = 2. Đs : (
3
√
4;
3
√

2).
Câu 45. Giải hệ phương trình

x
2
− y(x + y) + 1 = 0 (1)
(x
2
+ 1)(x + y −2) + y = 0 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ x
2
+ 1 = y(x + y). Thay vào (2) ⇔ (x + y − 1)
2
= 0. Đs : (0; 1); (−1; 2).
Câu 46. Giải hệ phương trình


x
2
+ 2y + 3 + 2y − 3 = 0 (1)
2(2y
3
+ x
3
) + 3y(x + 1)
2
+ 6x(x + 1) + 2 = 0 (2)
Hướng dẫn :(2) ⇔ 2

x + 1

y

3
+ 3

x + 1
y

2
+ 4 = 0 ⇔ . . . ⇔ x = −2y −1. Đs : (−14/9; 5/18).
Câu 47. Giải hệ phương trình

x
2
− 5y + 3 + 6

y
2
− 7x + 4 = 0 (1)
y(y − x + 2) = 3x + 3 (2)
Hướng dẫn :Xem (2) là phương trình bậc hai theo y, suy ra : y = −3; y = x + 1. Đs : (1; 2); (4; 5).
Câu 48. Giải hệ phương trình

x
2
+ 1 + y(x + y) = 4y (1)
(x + y −2)(x
2
+ 1) = y (2)
Hướng dẫn :Chia (1); (2) cho y, rồi đặt a =

x
2
+ 1
y
; b = x + y. Đs : (1; 2); (−2; 5).
Câu 49. Giải hệ phương trình



1
√
x
+
y
x
=
2
√
x
y
+ 2 (1)
y
√
x
2
+ 1 = 2x +
√
3x
2
+ 3 (2)

Hướng dẫn :(1) ⇔ y = 2x; y = −
√
x, thay vào (2), xét hàm. Đs : (
√
3; 2
√
3).
Câu 50. Giải hệ phương trình

x(3x − 7y + 1) = −2y(y − 1) (1)
√
x + 2y +
√
4x + y = 5 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ y = 3x + 1; y = x = 2y. Đs : (2; 1); (17/25; 76; 25).
Câu 51. Giải hệ phương trình

x
3
− 3x = y
3
− 3y
2
+ 2 (1)
√
x − 1 +
√
y −2 = 2 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ x
3

− 3x = (y −1)
3
− 3(y −1). Xét hàm, suy ra x = y − 1. Đs : (2; 3).
Câu 52. Giải hệ phương trình

1 +
√
2x + y + 1 = 4(2x + y)
2
+
√
6x + 3y (1)
(x + 1)
√
2x
2
− x + 4 + 8x
2
+ 4xy = 4 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (4x + 2y −1).f(x) = 0 ⇔ 4x + 2y = 1, thay vào (2). Xét hàm, suy ra đồng biến. Đs
: (1/2; −1/2).
Câu 53. Giải hệ phương trình

2y
3
+ 2x
√
1 − x = 3
√
1 − x − y (1)

2x
2
+ 2xy
√
1 + x = y + 1 (2)
Hướng dẫn :Xét hàm phương trình (1), suy ra y =
√
1 − x. Thay vào (2)
(2) ⇔
√
1 − x = 2x
2
− 1 + 2x
√
1 − x
2
; đặt x = cos t
Đs : cos(3π/10);
√
2. sin(3π/20).
Câu 54. Giải hệ phương trình

(
√
x + 1 − 1)3
y
(1)
y + log
3
x = 1 (2)

Hướng dẫn :(2) ⇔ 3
y
=
3
x
, thay vào (1) :
√
x + 1 = 1 +
√
4 − x. Đs : (3; 0).
Câu 55. Giải hệ phương trình

3
x+3y−2
+ 6.3
y
2
+4x−2
= 3
5y−3x
+ 2.3
(y+1)
2
(1)
1 + 2
√
x + y −1 = 3
3
√
3y −2x (2)

Hướng dẫn :(1) ⇔ (3
4x−2
−3
2y
)(27
y−x
+6.3
y
2
) = 0 ⇔ y = 2x−1, thay vào (2) : 1+2
√
3x − 2 = 3.
3
√
4x − 3,
đặt a =
√
3x − 2; b =
3
√
4x − 3. Đs : (1; 1); (11/4; 9/2).
Câu 56. Giải hệ phương trình

2x(x
2
+ 3) − y(y
2
+ 3) = 3xy(x −y) (1)
(x
2

− 2)
2
= 4(2 − y) (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ x
3
+3x = (y−x)
3
+3(y−x), xét hàm, suy ra y = 2x. Đs : (−1+
√
3; −2+2
√
3); (−1−
√
3; −2 − 2
√
3).
Câu 57. Giải hệ phương trình

y
3
+ 5y −2xy(y − 1) = 4x
2
+ 10x (1)
x
2
− 6
√
2x + 5 + 18 = y (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (2x − y)(2x + y
2

+ 5) = 0, suy ra y = 2x, thay vào (2)
x
2
+ 18 = 2x + 6
√
2x + 5 ⇔ (x − 2)
2
+ (
√
2x + 5 − 3)
2
= 0
. Đs : (2; 4).
Câu 58. Giải hệ phương trình


5x
2
+ 2xy + 2y
2
+

2x
2
+ 2xy + 5y
2
= 3(x + y) (1)
√
2x + y + 1 + 2
3

√
7x + 12y + 8 = 2xy + y + 5 (2)
Hướng dẫn :(Đề THPT Chu Văn An - Lần 2) . Đánh giá (1), suy ra x = y, thay vào (2) ⇔ (x
2
−x).f(x) =
0. Đs : (0; 0); (1; 1).
Câu 59. Giải hệ phương trình

(x + y)(x + 4y
2
+ y) + 3y
4
= 0 (1)

x + 2y
2
+ 1 − y
2
+ y + 1 = 0 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x+y+y
2
)(x+y+3y
2
) = 0. Đs : (−4+
√
13;
1 −
√
13
2

); (−2; −1); (−4−
√
13;
1 +
√
13
2
).
Câu 60. Giải hệ phương trình

√
x − 1(1 − 2y) −y + 2 = 0 (1)
y(y +
√
x − 1) + x − 4 = 0 (2)
Hướng dẫn :Đặt a =
√
x − 1, suy ra hệ theo a; y, suy ra 2(a −y)
2
+ 3(a − y) = 0.
Đs : (2; 1); (
19 − 3
√
13
8
;
3 +
√
13
4

).
Câu 61. Giải hệ phương trình





2x +
1
x + y
= y + 3 (1)
x
2
+ y
2
+
1
(x + y)
2
= xy + 2 (2)
Hướng dẫn :Đặt a = x − y; b = x +
1
x + y
, suy ra hệ theo a; b, suy ra (a; b) = (1; 2); (2; 1). Đs :
(1; 0); (3/2; 1/2).
Câu 62. Giải hệ phương trình






x +
3x − y
x
2
+ y
2
= 3 (1)
y −
x + 3y
x
2
+ y
2
= 0 (2)
Hướng dẫn :(1).y + (2).x ⇔ 2xy − 1 = 3y ⇔ x =
3y + 1
2y
, thay vào (2) ⇔ 4y
4
− 3y
2
− 1 = 0. Đs :
(2; 1); (1; −1).
Câu 63. Giải hệ phương trình

3x
2
− 2x − 5 + 2x
√

x
2
+ 1 = 2(y + 1)

y
2
+ 2y + 2 (1)
x
2
+ 2y
2
= 2x − 4y + 3 (2)
Hướng dẫn :(1) −(2) ⇔ x
2
+ x
√
x
2
+ 1 = (y + 1)
2
+ (y + 1)

(y + 1)
2
+ 1, xét hàm, suy ra x = y + 1.
Đs : (−1; −2); (5/3; 2/3).
Câu 64. Giải hệ phương trình

√
x − 1 +

√
y −1 = 1 (1)
2x
2
− 3xy + y
2
= y −2x (2)
Hướng dẫn :(2) ⇔ y
2
− (3x + 1)y + 2x
2
+ 2x = 0 ⇔ y = x + 1; y = 2x. Đs : (1; 2).
Câu 65. Giải hệ phương trình

y
2
− (x
2
+ 2)y + 2x
2
= 0 (1)
√
x + 4 +
√
x − 4 − 2
√
y −16 = 2x −12 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ y = 2; y = x
2
. Đs : (5; 25).

Câu 66. Giải hệ phương trình

4 + 9.3
x
2
−2y
= (4 + 9
x
2
−2y
).7
2y−x
2
+2
(1)
4
x
+ 4 = 4x + 4
√
2y −2x + 4 (2)
Hướng dẫn :Đặt t = x
2
− 2y, (1) ⇔
4 + 3
t+2
7
t+2
=
4 + 3
2t

7
2t
⇔ t + 2 = 2t. Đs : 1; −1/2.
Câu 67. Giải hệ phương trình

4x
2
+ 4xy + y
2
+ 2x + y −2 = 0 (1)
8
√
1 − 2x + y
2
− 9 = 0 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (2x + y −1)(2x + y + 2) = 0. Đs : (0; 1); (1/2; −3).
Câu 68. Giải hệ phương trình

x
2
+ 1 =
√
y −1 + 2x (1)
y
2
+ 1 =
√
x − 1 + 2y (2)
Hướng dẫn :(1) − (2) ⇔ x = y. Đs : (1; 1); (2; 2).
Câu 69. Giải hệ phương trình






x
√
x
2
− 1
+
y

y
2
+ 1
= 2014 (1)
x
√
x
2
+ 1
+
y

y
2
− 1
= 2014 (2)
Hướng dẫn : Lấy(1) − (2) ⇔ x = y. Đs : (∞; −1); (1; +∞).

Câu 70. Giải hệ phương trình


x
2
− 2y + 2 + y = 2x (1)
x
3
+ 2x
2
= (x
2
+ 3x − y)y (2)
Hướng dẫn : (2) ⇔ (x − y)(x
2
+ 2x − y) = 0. Đs : (1; 1).
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. Giải bất phương trình
√
x + 2 + x
2
− x − 2 
√
3x − 2 (1).
Hướng dẫn : Liên hợp hai căn, suy ra (x − 2).f(x)  0. Chứng minh f(x) > 0. Đs : 2/3  x  2.
Câu 2. Giải bất phương trình
x
3
+ (3x
2

− 4x − 4)
√
x + 1  0 (1).
Hướng dẫn : Đặt y =
√
x + 1, chia hai vế cho y
3
, suy ra x  y. Đs : −1  x  (1 +
√
5)/2.
Câu 3. Giải bất phương trình
√
x +
3 + x
3 − x
< 1 (1).
Hướng dẫn : Câu này cho điểm nhé !. Đs : (3; 9).
Câu 4. Giải bất phương trình
2

1 −
2
x
+

2x −
8
x
 x (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔ 4

√
x − 2 + 2
√
x 
√
2x
2
+ 4x ⇔ (
√
x
2
− 2x − 2)
2
 0. Đs : [−2; 0); 1 +
√
5.
Câu 5. Giải bất phương trình
1
2
log
2
(2 + x) + log
1/2
(4 −
4
√
18 − x)  0 (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔
√
2 + x  4 −

4
√
18 − x, đặt t =
4
√
18 − x, suy ra 2  t  4 . Đs : −2 < x  2.
Câu 6. Giải bất phương trình
3

2x
2
− x
√
x
2
+ 3

< 2(1 − x
4
) (1).
Hướng dẫn : Đặt t = x
√
x
2
+ 3. Đs : −

−3 +
√
10
2

< x < 1.
Câu 7. Giải bất phương trình
√
2x − 3 + 2
√
x + 2  3
4
√
2x
2
+ x − 6 (1).
Hướng dẫn : Chia hai vế cho
√
x + 2. Đs :
3
2
 x  5.
Câu 8. Giải bất phương trình
6x
2
(
√
2x + 1 + 1)
2
> 2x +
√
x − 1 + 1 (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔ x − 3
√
2x + 1 + 4 >

√
x − 1 ⇔

√
2x + 1 −
3
2

2
>

√
x − 1 +
1
2

2
. Đs : x >
10 + 4
√
5.
Câu 9. Giải bất phương trình
2x
√
x +
5 − 4x
√
x



x +
10
x
− 2 (1).
Hướng dẫn :Đặt t =
√
x
2
− 2x + 10 . Đs : x > 0.
Câu 10. Giải bất phương trình
2

x
2
+ x + 1
x + 4
+ x
2
− 4 
2
√
x
2
+ 1
(1).
Hướng dẫn :(1) ⇔ 2


x
2

+ x + 1
x + 4
− 1

+ x
2
− 3 
2 −
√
x
2
+ 1
√
x
2
+ 1
⇔ . . . ⇔ (x
2
− 3).f(x)  0 .
Đs : −
√
3  x 
√
3.
Câu 11. Giải bất phương trình
1 −
√
1 − 4x
2
x

< 3 (1).
Hướng dẫn :Liên hợp ! . Đs : [−1/2; 0); (0; 1/2].
Câu 12. Giải bất phương trình
3 − 2
√
x
2
+ 3x + 2
1 − 2
√
x
2
− x + 1
> 1 (1).
Hướng dẫn : 1 − 2
√
x
2
− x + 1 < 0; (1) ⇔ . . . ⇔
√
x
2
− x + 1 < 2x. Đs : x >
√
13 − 1
6
.
Câu 13. Giải bất phương trình
4(x + 1)
2

< (2x + 10)(1 −
√
3 + 2x)
2
(1).
Hướng dẫn : Liên hợp vế phải, (1) ⇔ 4(x + 1)
2
<
(2x + 10)4(x + 1)
2
(1 +
√
3 + 2x)
2
⇔ (1 +
√
3 + 2x)
2
< 2x + 10 .
Đs : [−3/2; 1); (1; 3).
Câu 14. Giải bất phương trình
√
x + 1 +
√
5 − x  2 − x (1).
Hướng dẫn : Tự làm nhé. Đs : [2 − 2
√
2; 5].
Câu 15. Giải bất phương trình
(

√
x + 3 +
√
x + 1)(
√
x
2
+ 4x + 3 − 1)  2 (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔ (
√
x + 1 − 1)(
√
x + 3 + 1)  0. Đs : x  0.
Câu 16. Giải bất phương trình
4
√
x + 1 + 2
√
2x + 3  (x − 1)(x
2
− 2) (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔ 4(
√
x + 1−2)+2(
√
2x + 3−3)  x
3
−x
2
−2x−12 ⇔ (x−3).f(x). Đs : x = −1; x  3.

Câu 17. Giải bất phương trình
√
x
2
− 3x + 2 −
√
2x
2
− 3x + 1  x − 1 (1).
Hướng dẫn : Tự làm nhé ! . Đs : (−∞; 1/2); 1.
C. PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. Giải phương trình
√
x − 2 +
√
4 − x = 2x
2
− 5x − 1 (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔ (
√
x − 2 − 1) + (
√
4 − x − 1) = 2x
2
− 5x − 3 ⇔ (x − 3).f(x) = 0, chứng minh
f(x) = 0 vô nghiệm . Đs : x = 3.
Câu 2. Giải phương trình
√
−12 + 8x − x
2

+ 1 =
2
√
x − 2 +
√
6 − x
.
Hướng dẫn : Đặt t =
√
x − 2 +
√
6 − x. Đs : (2; 6).
Câu 3. Giải phương trình
log
3
(x
2
+ x + 1) − log
3
x = 2x − x
2
.
Hướng dẫn : (1) ⇔ log
3
(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1) = log
3

(3x) + 3x. Đs : x = 1.
Câu 3. Giải phương trình
√
2x
2
+ 3x + 1 = −4x +
1
x
+ 3 (1).
Hướng dẫn : Chia (1) cho x, đặt t =

2 +
3
x
+
1
x
2
. Đs :
3 +
√
37
14
;
3 −
√
37
14
.
Câu 4. Giải phương trình

2
√
x
2
− 7x + 10 = x +
√
x
2
− 12x + 20 (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔ 2(
√
x
2
− 7x + 10 −(x + 1)) =
√
x
2
− 12x + 20 −(x + 2). Đs : x = 1; x =
15 + 5
√
5
2
.
Câu 5. Giải phương trình

x
3
+ 1
x + 3
+

√
x + 1 =
√
x
2
− x + 1 +
√
x + 3 (1).
Hướng dẫn : Bình phương !. Đs : V n.
Câu 6. Giải phương trình

x + 1 +
√
x
2
+ 2x =
27
√
2
8
x
2
√
x (1).
Hướng dẫn : Nhân hai vế (1) cho
√
2, suy ra 1 +

x + 2
x

=
27
4
x
2
. Xét tính đơn điệu hàm số, suy ra
nghiệm duy nhất . Đs : 2/3.
Câu 7. Giải phương trình
3
√
3x − 5 = 8x
3
− 36x
2
+ 53x − 25 (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔
3
√
3x − 5 = (2x −3)
3
−x + 2, đặt 2y −3 =
3
√
3x − 5 ⇒ (2y −3)
3
= 3x −5. Có được
hệ theo x, y, suy ra x = y . Đs : 2;
5 +
√
3

4
;
5 −
√
3
4
.
Câu 8. Giải phương trình
√
2x + 4 − 2
√
2 − x =
6x − 4
√
x
2
+ 4
(1).
Hướng dẫn : Đoán nghiệm - liên hợp ! . Đs : 2; 2/3.
Câu 9. Giải phương trình
4(2x
2
+ 1) + 3(x
2
− 2x)
√
2x − 1 = 2(x
3
+ 5x) (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − 2)(3x

√
2x − 1 − 2(x
2
− 2x + 1)) = (x − 2)

2(2x − 1) + 3x
√
2x − 1 − 2x
2

= 0
. Đs : 2; 4 + 2
√
3; 4 − 2
√
3.
Câu 10. Giải phương trình
√
3x
2
− 7x + 3 −
√
x
2
− 2 =
√
3x
2
− 5x − 1 −
√

x
2
− 3x + 4 (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔ (
√
3x
2
− 7x + 3 −
√
3x
2
− 5x − 1) + (
√
x
2
− 3x + 4 −
√
x
2
− 2) = 0 . Đs : x = 2.
Câu 11. Giải phương trình

x −
1
x
+
√
x
2
− x = 2 (1).

Hướng dẫn : (1) ⇔


x −
1
x
− 1

+(
√
x
2
− x−1) = 0, liên hợp, suy ra x
2
−x−1 = 0 . Đs : (1±
√
5)/2.
Câu 12. Giải phương trình
1
3
log
3
√
3
(x + 1) +
1
503
log
81
(x − 3)

2012
= 5 log
243
(4x − 8) (1).
Hướng dẫn : Tự làm nhé ! . Đs : 5; −1 + 2
√
3.
Câu 13. Giải phương trình
√
4 + 8x +
√
12 − 8x = (1 − 2x)
2
(1).
Hướng dẫn : Đặt t = 1 − 2x ⇒ t
2
 4, (1) ⇔ 2(
√
2 − t +
√
2 + t) = t
2
 4, mà (
√
2 − t +
√
2 + t)
2
=
4 + 2

√
4 − t
2
 4, suy ra t = ±2 . Đs : −1/2; 3/2.
Câu 14. Giải phương trình
√
4x
2
+ x + 6 = 4x − 2 + 7
√
x + 1 (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔


2x − 1
√
x + 1

2
+ 5 = 2.
2x − 1
√
x + 1
+ 7. Đs :
2 −
√
7
2
.
Câu 15. Giải phương trình

log
4

x +
3
x

+ 1 = log
8
(x
2
+ 7)
3
+ log
1/2
(x + 1) (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔

x +
3
x
=
x
2
+ 7
2(x + 1)
⇔ . . . ⇔ (x
2
− 4x + 3).f(x) = 0. Đs : 3; 1.
Câu 16. Giải phương trình

5

x
√
x
2
+ 6 + (x + 1)
√
x
2
+ 2x + 7

= 13(2x + 1) (1).
Hướng dẫn : Đặt a =
√
x
2
+ 6; b =
√
x
2
+ 2x + 7 ⇒ 2x + 1 = b
2
− a
2
; x =
b
2
− a
2

− 1
2
. Thay vào (1):
(a − b)

5(a + b)
2
− 26(a + b) + 5

= 0
Đs : x = −1/2.
Câu 17. Giải phương trình
x(4x
2
+ 1) + (x − 3)
√
5 − 2x = 0 (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔ 2x(4x
2
+ 1) = [(5 − 2x) + 1]
√
5 − 2x, xét hàm, suy ra 2x =
√
5 − 2x . Đs :
x =
−1 +
√
21
4
.

Câu 18. Giải phương trình
2x(x − 2) = 3
√
x
3
+ 1 (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔ −2(x+1)+2(x
2
−x+1) = 3

(x + 1)(x
2
− x + 1), đặt a =
√
x
2
− x + 1; b =
√
x + 1
. Đs : x =
5 +
√
37
2
;
5 −
√
37
2
.

Câu 19. Giải phương trình
3x
2
− 5
3
√
x
3
+ 1 + 8x + 5 = 0 (1).
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x + 1)
3
+ 5(x + 1) = x
3
+ 1 + 5
3
√
x
3
+ 1, đặt a = x + 1; b =
3
√
x
3
+ 1 . Đs : 0; −1.
Câu 20. Giải phương trình
√
2x + 1 +
4
√
2x − 1 =

√
x − 1 +
√
x
2
− 2x + 3 (1).
Hướng dẫn : Đặt a =
4
√
2x − 1, (1) ⇔ a +
√
a
4
+ 2 =
√
x − 1 +

(
√
x − 1)
4
+ 2, xét hàm, suy ra
4
√
2x − 1 =
√
x − 1. Đs : 2 +
√
2.
(Còn Nữa !)