45 bài hình không gian ôn thi đại học

45 bài hình không gian ôn thi đại học
Bài 1. Cho lăng trụ
. ' ' ' '
ABCD A B C D
với đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a
và tam giác
ABD
đều. Biết
' ' '
A A A B A D
 
và góc tạo bởi
'
A A
và mặt đáy
( )
ABCD
là
0
60
. Tính thể tích khối lăng trụ
. ' ' ' '
ABCB A B C D
và khoảng cách giữa
'
B
và mặt phẳng
( ' )

A BD
.
Bài 2. Cho chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
và
góc tạo bởi
( )
SBC
và
( )
ABC
là
0
30
.
H
là hình chiếu của
A
lên
SC
. Tính thể tích tứ diện

.
S ABH
.
Bài 3. Cho chóp
.
S ABC
với
ABC
là tam giác đều cạnh
a
. Các mặt
( ),( )
SAB SAC
cùng vuông góc với mặt
( )
ABC
. Góc giữa
( )
SBC
và
( )
ABC
là
0
60
.
M
là trung điểm
AC
. Tính thể tích khối tứ diện .

S ABC
và
khoảng cách giữa
AB
và
SN
theo
a
.
Bài 4. Cho chóp
.
S ABC
, tam giác
ABC
vuông cân tại
A
có
3
BC a

. Hình chiếu vuông góc của
S
lên
mặt
( )
ABC
là điểm
H
thuộc đoạn
AB

sao cho
3
HA HB

và
SC
tạo với mặt đáy
ABC
góc
0
60
. Tính
thể tích khối tứ diện
.
S ABC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
,
SA BC
.
Bài 5. Cho chóp
.
S ABC
với tam giác
ABC
cân tại , 2 , 3 ,
A AB AC a BC a SA SB SC
    
và
SA
tạo với

mặt đáy
( )
ABC
góc
0
60
.
a) Tính thể tích chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp theo
a
.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
SA
và
BC
.
Bài 6. Cho chóp tứ giác đều
.
S ABCD
,
4 , 2
SA a AB a
 
. Gọi
,
H K
lần lượt là hình chiếu của
,
A D
lên
,

SB SC
. Tính thể tích chóp
.
S AHKD
theo
a
.
Bài 7. Cho tam giác hình hộp đứng
. ' ' ' '
ABCD A B C D
đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
2
AB AD

,
' 2
A C a

và tạo với mặt phẳng
( )
ABCD
góc
0
60
. Tính thể tích tứ diện
' '
ABB C
và khoảng cách từ

A
tới
mặt phẳng
( ' ')
CA D
.
Bài 8. Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
, 2
B AB BC a
 
. Hai mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SAC
cùng vuông
góc với mặt phẳng
( )
ABC
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của
,
AB AC
. Biết góc tạo bởi hai mặt phẳng
( )

SBC
và
( )
ABC
là
0
60
. Tính thế tích khối chóp .
S BCMN
và khoảng cách giữa
SM
và
AC
.
Bài 9. Cho chóp .
S ABC
có đáy là tam giác
ABC
vuông tại
, 3 , 4
B BA a BC a
 
. Mặt phẳng
( )
SBC

vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
. Biết

3
SB a
 và

0
30
SBC  . Tính thể tích khối chóp .
S ABC
và
khoảng cách giữa
SB
và
AC
.
Bài 10. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Gọi
M
và
N
lần lượt là trung
điểm của các cạnh
AB
và
AD
;

H
là giao điểm của
CN
với
DM
. Biết
SH
vuông góc với mặt
phẳng
( )
ABCD
và
3
SH a
 . Tính thể tích khối chóp
.
S CDNM
và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN
và
SC
theo
a
.
Bài 11. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh , mặt phẳng
( )

SAB
vuông góc với mặt
phẳng đáy, góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng đáy bằng
0
45
,
SA SB

. Tính theo
a
thể tích của khối
chóp .
S ABCD
và khoảng cách giữa
AB
và
SC
.
Bài 12. Cho hình lăng trụ tam giác đều
. ' ' '
ABC A B C
có
AB a

, góc giữa hai mặt phẳng
( ' )
A BC
và

( )
ABC
là
0
60
. Gọi
G
là trọng tâm tam giác
'
A BC
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
GABC
và
khoảng cách giữa
'
A C
và
AB
theo
a
.
Bài 13. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA a


; hình chiếu vuông
góc của đỉnh
S
trên mặt phẳng
( )
ABCD
là điểm
H
thuộc đoạn
AC
,
4
AC AH

. Gọi
CM
là đường cao
của tam giác
SAC
. Tính thể tích khối tứ diện
SMBC
và khoảng cách giữa
MB
và
CD
theo
a
.
Bài 14. Cho chóp tứ giác đều .
S ABCD

có cạnh đáy bằng
a
và cạnh bên bằng
5
2
a
. Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp chóp và khoảng cách giữa
SM
và
AC
trong đó
M
là trung điểm
BC
.
Bài 15. Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có độ dài cạnh bằng
a
.
M
thuộc cạnh
'
CC
sao cho
3
4
a

CM  . Mặt phẳng
( )

qua
A
và
M
song song với
BD
chia khối lập phương thành hai khối đa diện.
Hãy tính thể tích hai khối đa diện đó.
Bài 16. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
, 2
AB a AD a
 
, cạnh
SA
vuông
góc với đáy và cạnh
SB
hợp với đáy góc
0
60
. Lấy
M
trên

SA
sao cho
3
2
a
AM  . Mặt phẳng
( )
BMC

cắt
SD
tại
N
. Tính khoảng cách giữa
,
AB SC
và thể tích khối chóp
.
S BCNM
.
Bài 17. Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có độ dài cạnh là
a
.
,
I K
lần lượt là trung
điểm

' ', '
A D BB
. Tính khoảng cách giữa
,
IK AD
và thể tích khối tứ diện
IKAD
.
Bài 18. Cho hình chóp .
S ABC
có hình chiếu
S
lên mặt phẳng
( )
ABC
nằm trong tam giác
ABC
và các
mặt bên tạo với mặt đáy
( )
ABC
góc
0
60
. Cho

0
4 , 2 7 , 60
AB a AC a ABC  
. Tính thể tích chóp

.
S ABC
và khoảng cách giữa
,
SA BC
.
Bài 19. Cho lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có mặt bên là các hình vuông cạnh
a
. Gọi
, ,
D E F
là trung điểm các
cạnh
, ' ', ' '
BC A C B C
.
a) Tính khoảng cách giữa
DE
và
'
A F
theo
a
.
b) Tính khoảng cách giữa
'
A D

và
BE
theo
a
.
Bài 20. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh và
SA b

.
,
M N
là trung
điểm
,
SB SD
. Tính khoảng cách giữa
,
AN CM
.
Bài 21. Cho chóp tam giác đều
.
S ABC
có góc tạo bởi
SA
và mặt đáy
ABC

là

và khoảng cách giữa
SA

và
BC
là
h
. Tính thể tích chóp .
S ABC
theo
h
và

.
Bài 22. Cho lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có độ dài cạnh bên bằng
2
a
, đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
có
, 3
AB a AC a
 

và hình chiếu vuông góc của
'
A
lên
( )
ABC
là trung điểm của
BC
. Tính thể tích
chóp
. ' '
A BCC B
và khoảng cách giữa
AB
và
'
A C
theo
a
.
Bài 23. Cho lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
. Khoảng cách từ
'
AA

đến mặt
phẳng
( ' ')
BCB C
bằng
a
, khoảng cách từ
C
đến mặt
( ')
ABC
bằng
b
và góc tạo bởi
( ')
ABC
và
( )
ABC
là

. Tính thể tích lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
theo
, ,
a b

.
Bài 24. Cho hình chóp .

S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành có
, 2 ,
AB a BC a
 


0
120 , ,
ABC SA SC SB SD
  
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của
,
AD BC
. Tính khoảng cách giữa
,
SM ND
biết
( ,( )) 3
d S ABCD a

.
Bài 25. Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D

cạnh
a
. Gọi
G
là trọng tâm tam giác
BCD
,
N
là trung
điểm
AB
. Tình khoảng cách giữa
'
GC
và
AN
theo
a
.
Bài 26. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành,
2 2 , 3 ,
AB BC a SA a
  


0

( ), 60
SA ABCD ABC 
. Tính khoảng cách giữa
D
và
( )
SBC
theo
a
.
Bài 27. Cho hình chóp
SABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
A
. Các mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SAC

vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
ABC
là

0
60
.
P
thuộc đoạn
AB
sao cho
1
4
AP AB
 ,
Q
thuộc đoạn
AC
sao cho
5
7
AQ AC
 . Tính khoảng cách giữa
,
PQ SC
theo
a
.
Bài 28. Cho chóp tam giác đều
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh

a
,
2 3
3
a
SA 
. Gọi
D
là điểm
đối xứng
B
qua
C
. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
S ABD
.
Bài 29. Cho chóp tứ giác đều
.
S ABCD
với
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, chiều cao của hình chóp bằng
a
.
Gọi
,
E F
là trung điểm

,
BC AD
. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S EBF
.
Bài 30. Cho chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
D
,
, 2 ,
AB AD a CD a
  

2 , ( )
SD a SD ABCD
 
.
E
là trung điểm của
CD
. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp
.
S BCE

.
Bài 31. Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, chiều cao hình chóp bằng
a

. Gọi
,
E F
lần lượt là trung điểm
,
BC AD
. Xác định tâm và tính bán kính cầu ngoại tiếp chóp
.
S EBF
.
Bài 32. Cho hình chóp
.
S ABCD
, đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
.
SAD
là tam giác đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
,
M N
là trung điểm của
,
BC CD
. Xác định tâm và tìm bán kính mặt cầu
ngoại tiếp chóp .
S MCN
.
Bài 33. Cho hình chóp
.
S ABCD
, đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
SA SB a
 
,
( )
SAB
vuông góc với
đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp
.
S ABCD
.
Bài 34. Cho hình chóp
.

S ABCD
đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
cạnh
a
,
SA a

, hình chiếu của
S
lên
mặt phẳng
ABCD
là điểm
H
thuộc cạnh
AC
và
1
4
AH AC
 . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện
OSCD
.
Bài 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, hình
chiếuvuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho
3 .

HA HD

Gọi M là trung điểm
của AB. Biết rằng
2 3
SA a
 và đường thẳng SC tạo với đáy một góc
0
30 .
Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).

Bài 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

0
120 ,
BCD  cạnh bên SD vuông góc với
mặt phẳng đáy, mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng (SBC) một góc
0
60 .
Gọi K là trung điểm của SC. Tính
theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, BK.


Bài 37. Cho hình lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có

0

10
' , 2, , 135 .
4
a
AA AC a BC a ACB   
Hình chiếu vuông
góc của
'
C
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
và góc tạo bởi đường thẳng
'
C M
với mặt phẳng
( ' ').
ACC A


Bài 38. Cho hình hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình thoi cạnh
3,
a
3 ,
BD a

hình chiếu vuông

góc của B lên mặt phẳng
( ' ' ' ')
A B C D
là trung điểm của
' '.
A C
Biết rằng côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
( )
ABCD
và
( ' ')
CDD C
bằng
21
.
7
Tính theo a thể tích khối hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
và bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện
' ' '.
A BC D


Bài 39. Cho hình chóp
ABCD
S
.
có đáy

ABCD
là hình vuông cạnh ,3a tam giác
SBC
vuông tại
S
và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng )(SBC một góc bằng .60
0
Tính thể
tích khối chóp
ABCD
S
.
theo a và tính góc giữa hai mặt phẳng )(SBD và ).(ABCD

Bài 40. Cho hình chóp
ABCDS.
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
D
, ,DCAD

,2ADAB

mặt bên
SBC
là tam giác đều cạnh

a2
và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ).(ABCD Tính thể tích khối chóp
ABCDS.
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
BC
và
SA
theo
a
.

Bài 41. Cho hình lăng trụ
1 1 1
.
ABC AB C
có M là trung điểm cạnh AB,
0
90,2  ACBaBC và ,60
0
ABC
cạnh bên
1
CC
tạo với mặt phẳng )(ABC một góc
,45
0
hình chiếu vuông góc của
1
C
lên mặt phẳng )(ABC là

trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và góc tạo bởi hai mặt phẳng )(ABC và ).(
11
AACC

Bài 42. Cho hình chóp
.
S ABCD
có
SA
vuông góc với mặt phẳng


ABCD
và đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
, 2
AB a AD a
 
. Gọi
M
là trung điểm của
BC
,
N
là giao điểm của
AC
và
DM
,

H
là hình chiếu vuông
góc của
A
lên
SB
.Biết góc giữa
SC
và mặt phẳng


ABCD
là

, với
2
tan
5

 .Tính thể tích khối chóp
.
S ABMN
và khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng


SMD
.
Bài 43. Cho hình chóp .

S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a
.Tam giác
SAC
cân tại
S
,

0
60
SBC  .
Mặt phẳng


SAC
vuông góc với mặt phẳng


ABC
. Tính thể tích khối chóp .
S ABC
và khoảng cách từ
điểm
C
đến mặt phẳng


SAB
.

Bài 44. Cho lăng trụ
1 1 1
ABC.A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
,
2 4
AB , BC
 
.Hình chiếu vuông
góc của điểm
1
A
trên mặt phẳng


ABC
trùng với trung điểm của
AC
. Góc giữa hai mặt phẳng


1 1
BCC B

và



ABC
bằng
0
60
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng
1
AA
và
BC
.

Bài 45. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật;


SA ABCD
 ;
3 3 2 0
AB SA a; AD a ,( a )
   
. Gọi
M ,N
lần lượt là trung điểm của
AD,SC
;
I

là giao điểm
của
BM ,AC
.Chứng minh rằng mặt phẳng


SBM
vuông góc với mặt phẳng


SAC
và tính thể tích khối tứ
diện
ABIN



Hết