hệ phương trình nâng cao

THPT Hồng Ngự 2
Lê Trung Tín
HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Bài 1. Giải hệ phương trình





x
2
+ xy + y
2
+ x +
y
3
x + 1
= 2
2x + y +
y
2
x + 1
= 2
Hướng dẫn
Ta biến đổi hệ trở thành hệ :








(x + y + 1)

x +
y
2
x + 1

= 2
(x + y + 1) +

x +
y
2
x + 1

= 3
Bài 2. Giải hệ phương trình




x
2
+ y
2

(x + y + 1) = 25 (y + 1)
x
2

+ xy + 2y
2
+ x − 8y = 9
Hướng dẫn
Ta biến đổi hệ trở thành hệ:








x
2
+ y
2
y + 1

(x + y + 1) = 25

x
2
+ y
2
y + 1

+ (x + y + 1) = 10
Bài 3. Giải hệ phương trình


x

y
2
+ 6 + y
√
x
2
+ 3 = 7xy
x
√
x
2
+ 3 + y

y
2
+ 6 = 2 + x
2
+ y
2
Hướng dẫn
Ta biến đổi hệ trở thành hệ:








√
x
2
+ 3 + x
x
+

y
2
+ 6 + y
y
= 9
3x
√
x
2
+ 3 + x
+
6y

y
2
+ 6 + y
= 2
Bài 4. Giải hệ phương trình



x
3

+ y
3
+ 6xy = 8
x
2
+ y
2
= 2x + y + 14
Hướng dẫn
Ta biến đổi phương trình thứ nhất của hệ:
x
3
+ y
3
+ 6xy = 8 ⇔ (x + y)
3
− 8 − 3xy(x + y − 2) = 0 ⇔ (x + y − 2)

(x + y + 4)
2
+ 3(x − y)
2
4

= 0
Bài 5. Giải hệ phương trình



8y

3
+ 6y + 1 +

3x
2
+ 16y
2
= 19
x
2
+ 4y
2
= 4
Hướng dẫn
Xét hàm f (y) = 8y
3
+ 6y + 1, g(x) =
√
16 − x
2
với x ∈ [−2; 2], y ∈ [−1; 1]. Khi đó
f(y) + g(x) ≤ f(1) + g(0) = 19
1
THPT Hồng Ngự 2
Lê Trung Tín
Bài 6. Giải hệ phương trình



4x

3
+ 4y
3
= 3x
2
y + 2
√
3xy + 2x
x
2
= y
2
+ 1
Hướng dẫn
Đặt y = tan a, x =
1
cos a
Bài 7. Giải hệ phương trình



y
3
+ 3xy − 17x + 18 = x
3
− 3x
2
+ 13y − 9
x
2

+ y
2
+ xy − 6y − 5x + 10 = 0
Hướng dẫn
Từ phương trình (2) ta tìm được :
5
3
≤ y ≤ 3,
2
3
≤ x ≤ 2
Nhân phương trình (2) với −3 và cộng với phương trình (1) ta có : (y − 1)
3
+ 2(y − 1) = x
3
+ 2x
Bài 8. Giải hệ phương trình



1 + x
3
y
3
= 19x
3
x + xy
2
= −6x
2

Hướng dẫn
Ta đưa về hệ sau:








1
x
+ y

3
−
3y
x

1
x
+ y

= 19
y
x

1
x
+ y


= −6
Bài 9. Giải hệ phương trình



xy
2
+ y
3
+ 3x − 6y = 0
x
2
+ xy − 3 = 0
Hướng dẫn
Thế từ pt thứ hai vào pt thứ nhất, ta được: x
3
+ y
3
− x
2
y − xy
2
= 0
Bài 10. Giải hệ phương trình








x(y
2
+ 1)
x
2
+ y
2
=
3
5
y(x
2
− 1)
x
2
+ y
2
=
4
5
Hướng dẫn
Lần lượt lấy phương trình (1) nhân cả 2 vế với x, phương trình (2) nhân cả 2 vế với y, rồi cộng 2 vế của 2
phương trình trên ta được
3x
5
−
4y
5

= 1 ⇔ 3x −4y = 5
Bài 11. Giải hệ phương trình



xy
2
+ 3x
2
= 2y
y
2
+ x
2
y = −2x
Hướng dẫn
Hệ viết lại



3x
3
= 2xy − x
2
y
2
y
3
= −2xy − x
2

y
2
2
THPT Hồng Ngự 2
Lê Trung Tín
Bài 12. Giải hệ phương trình

(
√
x
2
+ 1 + x)(

y
2
+ 1 + y) = 1
4
√
x + 2 +
√
22 − 3x = y
2
+ 8
Hướng dẫn
Từ PT (1), suy ra:
√
x
2
+ 1 + x =


y
2
+ 1 − y. Đến đây xét hàm số: f (t) =
√
t
2
+ 1 + t
Bài 13. Giải hệ phương trình





1
x
+
1
2y
= (x
2
+ 3y
2
)(3x
2
+ y
2
)
1
x
−

1
2y
= 2(y
4
− x
4
)
Hướng dẫn
Biến đổi thành hệ sau:





2
x
= x
4
+ 5y
4
+ 10x
2
y
2
1
y
= 5x
4
+ y
4

+ 10x
2
y
2
⇔



2 = x
5
+ 5xy
4
+ 10x
3
y
2
1 = 5x
4
y + y
5
+ 10x
2
y
3
Bài 14. Giải hệ phương trình



x
3

+ 3xy
2
= −49
x
2
− 8xy + y
2
= 8y − 17x
Hướng dẫn
Nhân phương trình thứ hai của hệ đã cho với 3 rồi cộng vào phương trình thứ nhất, ta được
(x + 1)

(x + 1)
2
+ 3(y − 4)
2

= 0
Bài 15. Giải hệ phương trình



x
4
− y
4
= 240
x
3
− 2y

3
= 3(x
2
− 4y
2
) − 4(x − 8y)
Hướng dẫn
Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng vào với phương trình thứ nhất, ta được (x − 2)
4
= (y − 4)
4
Bài 16. Giải hệ phương trình







√
3x

1 +
1
x + y

= 2
√
7x


1 −
1
x + y

= 4
√
2
Hướng dẫn
Biến đổi về hệ sau







1 +
1
x + y
=
2
√
3x
1 −
1
x + y
=
4
√
2

√
7x
⇔







1
x + y
=
1
√
3x
−
2
√
2
√
7x
1 =
1
√
3x
+
2
√
2

√
7x
Bài 17. Giải hệ phương trình



2x
3
− 9y
3
= (x − y)(2xy + 3)
x
2
− xy + y
2
= 3
Hướng dẫn
Thế 3 = x
2
− xy + y
2
vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được 2x
3
− 9y
3
= (x − y)(2xy + x
2
− xy + y
2
)

3
THPT Hồng Ngự 2
Lê Trung Tín
Bài 18. Giải hệ phương trình



9y
3
(3x
2
− 1) = −125
45x
2
y + 75x = 6y
2
Hướng dẫn
Biến đổi về hệ sau:





27x
3
+
125
y
3
= 9

45x
2
y
+
75x
2
y
2
= 6
⇔







(3x)
3
+

5
y

3
= 9
3x.
5
y


3x +
5
y

= 6
Bài 19. Giải hệ phương trình





8(x
2
+ y
2
) + 4xy +
5
(x + y)
2
= 13
2x +
1
x + y
= 1
Hướng dẫn
Biến đổi về hệ sau






5(x + y)
2
+
5
(x + y)
2
+ 3(x − y)
2
= 13
2x +
1
x + y
= 1
⇔







5

x + y +
1
x + y

2
+ 3(x − y)

2
= 23

x + y +
1
x + y

+ (x − y) = 1
Bài 20. Giải hệ phương trình



(17 − 3x)
√
5 − x + (3y − 14)
√
4 − y = 0
2
√
2x + y + 5 + 3
√
3x + 2y + 11 = x
2
+ 6x + 13
Hướng dẫn
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương (3 (5 − x) + 2)
√
5 − x = (3 (4 − y) + 2)
√
4 − y.

Xét hàm số f (t) =

3t
2
+ 2

t với t ∈ R
+
.
Bài 21. Giải hệ phương trình









2x
3
+ 3x
2
− 18 = y
3
+ y
2y
3
+ 3y
2

− 18 = z
3
+ z
2z
3
+ 3z
2
− 18 = x
3
+ x
Hướng dẫn
Xét hàm số f (t) = 2t
3
+ 3t
2
− 18 và g(t) = t
3
+ t.
Ta có g

(t) = 3t
2
+ 1, ∀t ∈ R.
Suy ra g(t) đồng biến trên R.
Khi đó, hệ phương trình được viết lại dưới dạng:










f(x) = g(y)
f(y) = g(z)
f(z) = g(x)
Không mất tính tổng quát giả sử x = max{x, y, z}. Khi đó



x ≥ y
x ≥ z
⇔



g(x) ≥ g(y)
g(x) ≥ g(z)
⇔



x ≥ y
x ≥ z
⇔



(x − 2)(x

2
+ 5x + 9) ≤ 0
(z − 2)(z
2
+ 5z + 9) ≥ 0
⇔



x ≤ 2
x ≥ 2
Từ đây, suy ra 2 ≤ z ≤ x ≤ 2 ⇒ x = z = 2, thế vào hệ phương trình, ta được y = 2.
Vậy hệ có nghiệm là (x; y; z) = (2; 2; 2).
4
THPT Hồng Ngự 2
Lê Trung Tín
Bài 22. Giải hệ phương trình



2
x
− 2
y
= (y − x)(xy + 2)
x
2
+ y
2
= 2

Hướng dẫn
Thế 2 = x
2
+ y
2
vào phương trình thứ nhất, ta được 2
x
+ x
3
= 2
y
+ y
3
. Xét hàm số f(t) = 2
t
+ t
3
với t ∈ R.
Bài 23. Giải hệ phương trình









x
3

+ 3x
2
+ 2x − 5 = y
y
3
+ 3y
2
+ 2y − 5 = z
z
3
+ 3z
2
+ 2z − 5 = x
Hướng dẫn
Biến đổi thành hệ sau:









(x − 1)(x
2
+ 4x + 6) = y − 1
(y − 1)(y
2
+ 4y + 6) = z − 1

(z − 1)(z
2
+ 4z + 6) = x − 1
Bài 24. Giải hệ phương trình









x
3
+ y = 3x + 4
2y
3
+ z = 6y + 6
3z
3
+ x = 9z + 8
Hướng dẫn
Biến đổi thành hệ sau:










(x − 2)(x + 1)
2
= 2 − y
2(y − 2)(y + 1)
2
= 2 − z
3(z − 2)(z + 1)
2
= 2 − x
Bài 25. Giải hệ phương trình



√
2(x − y)(1 + 4xy) =
√
3
x
2
+ y
2
= 1
;



x


1 − y
2
+ y
√
1 − x
2
(1 − x)(1 + y) = 2
Hướng dẫn
Đặt x = cos α, y = cos β
Bài 26. Giải hệ phương trình









2x + x
2
y = y
2y + y
2
z = z
2z + z
2
x = x
Hướng dẫn

Biến đổi thành hệ:











y =
2x
1 − x
2
z =
2y
1 − y
2
x =
2z
1 − z
2
. Đặt t = tan α
Bài 27. Giải hệ phương trình






3

x +
1
x

= 4

y +
1
x

= 5

z +
1
z

xy + yz + zx = 1
Hướng dẫn
Đặt x = tan α, y = tan β, z = tan γ.
5
THPT Hồng Ngự 2
Lê Trung Tín
Bài 28. Giải hệ phương trình



xy + x − 2 = 0

2x
3
− x
2
y + x
2
+ y
2
− 2xy − y = 0
Hướng dẫn
Đưa phương trình thứ hai về tích (x
2
− y)(2x − y + 1) = 0
Bài 29. Giải hệ phương trình



5x
2
y − 4xy
2
+ 3y
3
− 2(x + y) = 0
xy(x + y)
2
+ 2 = (x + y)
2
Hướng dẫn
Đưa phương trình thứ hai về tích (xy − 1)(x

2
+ y
2
− 2) = 0
Bài 30. Giải hệ phương trình



(x + y − 3)
3
= 4y
3

x
2
y
2
+ xy +
45
4

x + 4y − 3 = 2xy
2
Hướng dẫn
Từ pt thứ hai ta có y
3
(2xy−3)
3
= (x+y−3)
3

. Kết hợp với pt đầu ta được: y
3
(2xy−3)
3
= 4y
3

x
2
y
2
+ xy +
45
4

Bài 31. Giải hệ phương trình



x
4
+ 2xy + 6y − (7 + 2y)x
2
= −9
2x
2
y − x
3
= 10
Hướng dẫn

Đưa phương trình thứ hai về dạng (x
2
− y)
2
− 6(x
2
− y) + 9 = (x − y)
2
⇔ (x
2
− y − 3)
2
= (x − y)
2
Bài 32. Giải hệ phương trình



2x +

2 − x + y − x
2
− y
2
= 1
2x
3
= 2y
3
+ 1

Hướng dẫn
Biến đổi về hệ sau:



5x
2
− 3x − 1 = y − y
2
2x
3
− 2y
3
= 1
⇔



5x
2
− 3x + y
2
− y = 1
2x
3
− 2y
3
= 1
Do đó:
2x

3
− 2y
3
= 5x
2
− 3x + y
2
− y ⇔ (x − y − 1)

2x
2
− 3x + 2xy + 2y
2
− y

= 0
6