Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
YZ





HUỲNH KIM TUẤN





SỬ DỤNG CÁC BẤT BIẾN
TRONG TENXƠ TỔNG TRỞ
ĐỂ PHÂN TÍCH TÀI LIỆU TỪ TELLUA




Chuyên ngành: Vật lý Địa cầu


Mã số: 60 44 15





LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN THÀNH VẤN

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2010


Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua




LỜI CẢM ƠN
YZ

Sau hơn một năm tìm hiểu và nghiên cứu, luận văn cao học với đề tài “Sử dụng các
bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua” của học viên Huỳnh Kim
Tuấn, chuyên ngành Vật lý Địa cầu đã hoàn thành. Để có được kết quả này, tác giả đã
nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của các thầy cô và b
ạn bè
đồng nghiệp.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Bộ môn Vật lý Địa cầu, thuộc Khoa
Vật lý - Vật lý Kỹ thuật của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia
TP.Hồ Chí Minh, dưới sự hướng dẫn của Thầy PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn.
Lời cảm ơn chân thành tác giả xin gửi đến Thầy PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn,
Thầy đã hướng d
ẫn rất tận tình, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành
luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn Thầy PGS.TS. Lê Quang Toại
, Thầy TS. Nguyễn Ngọc

Thu đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian thực hiện luận văn.
Xin chân thành cảm ơn các Thầy cô trong Bộ môn Vật lý Địa cầu, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên đã tận tâm truyền đạt những kiến thức cơ bản và cần thiết làm nền
tảng cho quá trình nghiên cứu sau này.
Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đ
ã cổ vũ,
động viên và khích lệ tinh thần tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2010
Tác giả
Huỳnh Kim Tuấn

HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn




Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua




MỤC LỤC
Mục lục Trang

Lời mở đầu
CHƯƠNG 1. TEN XƠ TỔNG TRỞ TỪ TELLUA 3
1.1. QUAN HỆ TUYẾN TÍNH GIỮA CÁC THÀNH PHẦN CỦA TRƯỜNG TỪ
TELLUA 3
1.2. TEN XƠ TỔNG TRỞ 4
1.3. PHÉP QUAY TEN XƠ TỔNG TRỞ 10

1.4. TÍNH CHẤT CỦA TEN XƠ TỔNG TRỞ 12
1.5. GIẢN ĐỒ CỰC CỦA TEN XƠ TỔNG TRỞ 14
1.6. HƯỚNG CHÍNH VÀ GIÁ TRỊ CHÍNH CỦA TEN XƠ TỔNG TRỞ 17
1.7. CHUYỂN ĐỔI TENXƠ T
ỔNG TRỞ TỪ TELLUA 19
CHƯƠNG 2. CÔNG TÁC CHUẨN BỊ THỰC ĐỊA 24
2.1. ĐỘ SÂU KHẢO SÁT VÀ VIỆC LỰA CHỌN NHỮNG CẢM BIẾN THÍCH
HỢP 24
2.2. VÙNG MỤC TIÊU VÀ NHỮNG NHIỄU CHỒNG LẶP PHỔ KHÔNG GIAN
ALIASING 33
2.3. SẮP XẾP CÁC TUYẾN ĐO 34
2.4. PHÂN TÍCH NĂNG LƯỢNG VÀ KHOẢNG THỜI GIAN KHẢO SÁT 34
2.5. VÙNG NHIỄU BÊN NGOÀI ĐẾN TRÁI ĐẤT VÀ DỰ TÍNH CÁCH XỬ LÝ 37
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ BẤT BIẾN Z
S
, Z
P
39
3.1. PHÉP BIẾN ĐỔI CHUẨN 40
3.2. PHÉP BIẾN ĐỔI PHỨC 41
3.3.TỔNG TRỞ NỐI TIẾP 44
3.4. TỔNG TRỞ SONG SONG 45
3.5. PHÉP BIẾN ĐỔI NỐI TIẾP - SONG SONG 46
3.6. PHÉP BIẾN ĐỔI NGƯỢC 49
HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn




Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua

CHƯƠNG 4. SO SÁNH VÀ ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG PHÁP 52
4.1. VÍ DỤ 52
4.2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ Z
S
, Z
P
VÀO MÔ HÌNH VÀ
THỰC TẾ 53
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 62


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn




Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua



HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1: Mô hình phân lớp ngang có bất đồng nhất về tính chất điện
Hình 1.2: Hệ trục quay

Hình 1.3: Giản đồ phân cực tenxơ tổng trở 2D
Hình 1.4: Giản đồ cực của tenxơ tổng trở 3D
Hình 2.1: (a) Máy đo từ fluxgate
(b) Đặc trưng hưởng ứng của máy đo từ cuộn cảm và máy đo từ
fluxgate
Hình 2.2: Điện cực hình trụ (Ag-AgCl) đo chu kỳ dài
Hình 2.3: Nhiễu chồng lặp ph
ổ thời gian Aliasing
Hình 2.4: Giai đo của máy đổi A/D 16 bit và 24 bit trong datalogger
Hình 2.5: Biên độ từ tellua
Hình 2.6: Nhiễu chồng lặp phổ không gian aliasing
Hình 2.7: (a) Bố trí máy đo từ tellua theo phương không gian
(b) Biểu đồ trường điện và trường từ
(c) Biểu đồ điện trở suất biểu kiến theo chu kỳ
(d) Biểu đồ phổ pha theo chu kỳ
Hình 4.1: Phương pháp trực giao:
(a) Elip E
1
, H
1
. (b) Elip E
2
, H
2
. (c) Elip E
1
, E
2
Hình 4.2: (a) Mô hình ba lớp với bất đồng nhất 3D gần mặt về độ dẫn điện
(b) Sơ đồ điểm đo

Hình 4.3: Biểu diễn kết quả xử lý Z
S
, và Z
P
mô hình 1
Hình 4.4: Biểu diễn kết quả xử lý Z
S
, và Z
P
mô hình 2
Hình 4.5: (a) Khối eke 3D và tấm đệm 2D, (b) Sơ đồ điểm đo
Hình 4.6: Biểu diễn kết quả xử lý Z
S
(a) và Z
P
(b) mô hình 4




Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua



HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

Hình 4.7: Mô hình 4: (a) khối elip 3D và tấm đệm 2D, (b) Sơ đồ điểm đo
Hình 4.8: Biểu diễn kết quả xử lý Z
S
(a) và Z

P
mô hình 4 (b)
Hình 4.9: Vòng Mohr thực và ảo
Hình 4.10: Phân cực elip
E
ρ
cho hai trạng thái riêng.
Hình 4.11: Trị số hiệu theta - thể hiện tính 3D của môi trường




Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua




DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

∧
Z
:
Tenxơ trở kháng
σ : Độ dẫn điện
ρ : Điện trở suất biểu kiến
G : Hàm Green
T : Chu kỳ thời gian
E : Điện trường
H : Từ trường
Z

S
: Bất biến nối tiếp
Z
P
: Bất biến song song
R : Toán tử quay
v
RMS
: Vận tốc v
RMS
P : Hàm sóng
θ∆
: Góc pha thể hiện tính 1D, 2D, 3D
Viết tắt
TE : Điện ngang
TM : Từ ngang


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn


1

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

LỜI MỞ ĐẦU
1. L ý do chọn đề tài

Phương pháp từ tellua là một trong các phương pháp địa vật lý nghiên cứu bất đồng
nhất về tính chất điện của môi trường đất đá có độ sâu từ vài chục mét đến hàng trăm
kilômét. Nhưng để đạt được kết quả cao hơn cần phải cải tiến việc tính toán mối liên hệ
giữa các thành phần biến đổi của trường điện từ E
x
, H
y
và E
y
, H
x
thông

qua tenxơ tổng
trở
Z
ˆ
;
Z
ˆ
là một ma trận phức trong vùng tần số. Việc giải thích các dữ liệu từ tellua là
rút ra những tham số vô hướng có ích từ tenxơ tổng trở
Z
ˆ
- hàm truyền liên quan đến
trường điện và trường từ quan sát được. Do đó, đề tài nghiên cứu: “SỬ DỤNG CÁC
BẤT BIẾN TRONG TENXƠ TỔNG TRỞ ĐỂ PHÂN TÍCH TÀI LIỆU TỪ
TELLUA” được đặt ra nhằm tìm hiểu các bất biến trong phương pháp từ tellua.

2. Mục đích và nhiệm vụ của luận văn

Mục tiêu của đề tài là trình bày và xem xét lý thuyết của một phương pháp biểu
diễn tenxơ tổng trở từ tellua thông qua các bất biến mới: bất biến
PS
Z,Z để nghiên cứu
bất đồng nhất về tính chất điện trên mô hình hai chiều, ba chiều, sau đó đưa ra các nhận
xét và kết luận.
3. Ý nghĩa khoa học và tính thực tiễn của đề tài
Việc áp dụng phương pháp từ tellua có tính định hướng và tổng quát cao đã được
thực hiện từ lâu và đem lại những kết quả quan trọng trong công tác nghiên cứu cấu
trúc lớn sâu trên thế giới nói chung và ở Việ
t Nam nói riêng. Do đó, hiệu quả ứng dụng
của các bất biến trong phương pháp đã thể hiện được tính thực tiễn cao của đề tài.
4. Bố cục của luận văn
Luận văn được trình bày 62 trang bao gồm:
Mở đầu: phần giới thiệu chung về luận văn.
- Chương 1: Tenxơ tổng trở từ tellua.
- Chương 2: Công tác chuẩn bị thực địa.
2

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

- Chương 3: Cơ sở lý thuyết và cách xác định các bất biến Z
S
, Z
P
.
- Chương 4: Đánh giá phương pháp tham số Z

S
, Z
P
.
Kết luận: Trình bày những nội dung làm được và một số nhận xét.
Với điều kiện nghiên cứu trong nước, mặc dù chúng tôi đã cố gắng tận dụng mọi
khả năng và điều kiện để có thể giải quyết tốt nhất những nhiệm vụ đặt ra, nhưng do
yếu tố khách quan hay chủ quan, chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, chúng tôi mong
muốn nhận được s
ự quan tâm đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp.

3

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

CHƯƠNG 1

TENXƠ TỔNG TRỞ TỪ TELLUA

Thăm dò từ tellua được Louis Cagniard công bố năm 1953 (viết tắt MT), các
công trình song song tiến hành ở Liên Xô bởi A.N.Tikhonov (1950 và 1965). Ông xác
định rằng tại một điểm cho trước, các trường từ tellua (trường điện từ tự nhiên) có
những biến thiên tương quan theo thời gian. Từ quan hệ này, phương pháp MT cho biết
điện trở suất của tầng đất bên dưới cho tới những độ sâu có thể là lớp trên của manti.
Những biến thiên tr
ường điện từ này có nguồn gốc là sự nhiễu loạn của tầng ion hay
điện ly gây ra bởi hoạt động mặt trời và dòng điện do những cơn bão từ tạo ra.
Trong phương pháp từ tellua người ta quan tâm đến sự lan truyền sóng điện từ
phẳng trong Trái đất; sau đó đo đạc những thành phần của trường điện, trường từ và
mối quan hệ tuyến tính c
ủa chúng qua tenxơ tổng trở
Z
ˆ
;
Z
ˆ
là một ma trận phức trong
vùng tần số.

1.1. Quan hệ tuyến tính giữa các thành phần của trường từ tellua
Mô hình cơ bản của phương pháp từ tellua là mô hình của Tikhônov và
Cagniard. Trong mô hình này, sóng điện từ phẳng truyền vào môi trường phân lớp
ngang của đất đá và mối liên hệ giữa các thành phần của trường điện trên mặt đất là:

yx
ZHE = ;
xy
ZHE −= .
Z được gọi là tổng trở Tikhônov - Cagniard, phản ánh sự phân bố của độ dẫn điện theo
chiều sâu, trong đó:

[
]
z
1xHZE
ρ
ρ
ρ
ττ
= (1.1)
với
yyxx
lElEE
ρ
ρ
ρ
ρ
+=
τ

yyxx
1H1HH
ρ
ρ
ρ
+=
τ

4

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

zyx
1,1,1
ρ
ρ
ρ
: là các vectơ đơn vị trong hệ tọa độ vuông góc Descartes,
z
1
ρ
hướng
thẳng xuống dưới.
Tổng trở Z có thể được xem như mối liên hệ của hai thành phần
τ

H
ρ
và
τ
E
ρ
.
Vào những năm 50 của thế kỷ trước, Berdichevsky và Cagniard [7] đã xây dựng
tổng trở Z cho trường hợp môi trường khảo sát là phân lớp ngang về tính chất điện.

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
xy
yx
HE
HE
Z

Nhưng thực tế thì môi trường thường không phân lớp ngang về tính chất điện
nên để mở rộng phương pháp từ tellua người ta xem tổng trở như là tenxơ và được xây
dựng từ
τ
H
ρ
và

τ
E
ρ
.
Berdichevsky và Zdanov [7] cho rằng giữa các thành phần của trường từ tellua
tồn tại mối quan hệ tuyến tính bất biến, phản ánh sự phân bố tính chất dẫn điện của
Trái đất. Trong trường điện từ, quan hệ này được mang tên là trường dạng đại số.

A)r(h
ˆ
)r(H
A)r(e
ˆ
)r(E
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
=
=
(1.2)
Ở đây
A
ρ
là vectơ bất kỳ, mang tính chất của trường tác động và trường cảm
ứng,
e

ˆ
và h
ˆ
là ma trận toán tử tùy thuộc vào sự dẫn điện của môi trường đất đá và tần
số. Nếu
e
ˆ

và
h
ˆ
có tính thuận nghịch thì A
ρ
là ma trận hệ số xác định mối quan hệ
tuyến tính giữa các thành phần của trường.
1.2. Tenxơ tổng trở
Giả sử sóng phẳng phân cực elip tuyến tính, có các thành phần E
x
, E
y
và H
x
, H
y

truyền thẳng xuống mặt đất có z = 0 và độ từ thẩm của chân không là
0
µ .
Môi trường phân lớp ngang với độ dẫn điện
)z(

n
σ

và bất đồng nhất D với độ
chênh lệch độ dẫn điện
()
(
)
(
)
zz,y,xz,y,x
n
σ
−
σ
=
σ∆ được thể hiện trong hình vẽ 1.1:

5

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

Trong môi trường đất đá, trường
H,E
ρ
ρ
thỏa phương trình

HiErot
jEEHrot
0
n
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ωµ=
+σ=σ=
(1.3)
với
Ej

ρ
ρ
σ∆= mật độ dòng dư chạy trong D
Xem
H,E
ρ
ρ
như tổng trường bình thường
nn
H,E
ρ
ρ
và trường trong bất đồng nhất D
như là trường dị thường
aa
H,E
ρ
ρ
vậy trường tổng là:

an
an
HHH
EEE
ρρρ
ρ
ρ
ρ
+
=

+=

với trường bình thường ta có:

n
0
n
n
n
n
HiErot
EHrot
ρρ
ρ
ρ
ωµ=
σ=
(1.4)
Ex, Hx
Ey, Hy
z
x
y

σ
4
σ
2
σ
3

σ
5
σ
1
D
σ
n
+
∆σ

Hình 1.1: Mô hình phân lớp ngang có bất đồng nhất về tính chất điện.
6

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

Từ (1.3) và (1.4) ta có:

a
0
a
a
n
a
HiErot
jEHrot
ρρ
ρ

ρ
ρ
ωµ=
+σ=
(1.5)
dẫn đến

() ()
(
)
()
()()
'dV'rj'rrG
ˆ
rH
,'dV'rj'rrG
ˆ
rE
D
Ha
D
Ea
ρ
ρ
ρρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ

ρ
ρ
∫∫∫
∫∫∫
=
=
(1.6)
Trong đó các tenxơ Green

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

=
H
zz
H
zy
H
zx
H
yz
H
yy
H
yx
H
xz
H
xy
H
xx
H
E
zz
E
zy
E
zx
E
yz
E
yy

E
yx
E
xz
E
xy
E
xx
E
GGG
GGG
GGG
G
ˆ
GGG
GGG
GGG
G
ˆ
(1.7)
Suy ra phương trình:

(
)
)'r/r(Gi)'r/r(Grot
'rr
ˆ
)'r/r(G)'r/r(Grot
H
0

E
E
n
H
ρρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ωµ=
−δ+σ=
(1.8)
δ
ˆ
là ma trận chéo, được thành lập từ
δ


()
()
()
()
⎥
⎥

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−δ
−δ
−δ
=−δ
'rr00
0'rr0
00'rr
'rr
ρρ
ρρ
ρ
ρ
ρρ
)

như tenxơ Green
[
]
zyx
GGGG
ˆ
ρ

ρ
ρ
=
với
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
zx
yx
xx
x
G
G
G
G
ˆ

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
zy
yy
xy
y
G
G
G
G
ˆ

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
zz
yz
xz

Z
G
G
G
G
ˆ

và
[]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyx
GrotGrotGrot
GrotGrotGrot
GrotGrotGrot
GrotGrotGrotG
ˆ
rot

ρρρ
ρρρ
ρ
ρ
ρ
ρρρ

7

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn


⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂

−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
=
y
G
x
G
y
G
x
G
y
G
x

G
x
G
z
G
x
G
z
G
x
G
z
G
z
G
y
G
z
G
y
G
z
G
y
G
xz
yzxyyy
xx
yx
zzxz

zyxy
zxxx
yz
zz
yyzyyx
zx

Để xác định tenxơ tổng trở chúng ta phải xem thành phần ngang
τ
H
ρ
và
τ
E
ρ
như
dạng (1.2) và biểu diễn
τ
H
ρ
và
τ
E
ρ
thông qua vectơ A
ρ


z
n

1xHA
ρ
ρ
ρ
τ
= (1.9)
ở đây
n
H
τ
ρ
là trường từ bình thường
Từ (1.1)

AZE
n
n
ρ
ρ
=
τ
A
2
R
ˆ
H
n
ρ
ρ
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−=
τ
(1.10)
Z
n
là tổng trở mô hình bình thường )z(
n
σ
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
2
R
ˆ
: toán tử quay góc
2
π

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
01
10
2
R
ˆ

Với trường của dị thường, sóng phân cực
{
}
yxyx
H,H,E,E có thể chia làm hai
sóng phân cực tuyến tính: sóng
{
}
yx

H,E đi vào D với mật độ dòng 'j
ρ
; sóng
{
}
xy
H,E đi
vào D với mật độ dòng
''j
ρ

Đặt:
n
y
H'j'i
ρ
ρ
=
n
x
H"j"i
ρ
ρ
=
khi đó :
Ai
ˆ
H"iH'i"j'jj
n
x

n
y
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
=+=+= (1.11)
còn
i
ˆ
là ma trận toán tử

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
"
z

'
z
"
y
'
y
"
x
'
x
ii
ii
ii
i
ˆ

8

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

Các phần tử của ma trận là hàm số của độ dẫn điện môi trường và tần số ω.
Từ (1.6) và (1.11) ta có:

()
A)r(g
ˆ
rE

Ea
ρ
ρρ
ρ
ττ
=
(
)
A)r(g
ˆ
rH
Ha
ρ
ρ
ρ
ρ
ττ
= (1.12)
ở đây

()
(
)
(
)
() ( )()
'dV'ri
ˆ
'r/rG
ˆ

rg
ˆ
'dV'ri
ˆ
'r/rG
ˆ
rg
ˆ
D
HH
D
EE
ρρρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
∫∫∫
∫∫∫
ττ
ττ
=
=

và với

⎥
⎥
⎦
⎤

⎢
⎢
⎣
⎡
=
τ
E
yz
E
yy
E
yx
E
xz
E
xy
E
xx
E
GGG
GGG
G
ˆ


⎥
⎥
⎦
⎤
⎢

⎢
⎣
⎡
=
τ
H
yz
H
yy
H
yx
H
xz
H
xy
H
xx
H
GGG
GGG
G
ˆ

cộng (1.10) và (1.12) dẫn đến

() ()
Are
ˆ
rE
ρ

ρρ
ρ
ττ
=
(
)
(
)
Arh
ˆ
rH
ρ
ρ
ρ
ρ
ττ
= (1.13)
ở đây

() ()
rg
ˆ
ˆ
Zre
ˆ
E
n
ρρ
ττ
+⊥=

() ()
rg
ˆ
2
R
ˆ
rh
ˆ
H
ρρ
ττ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−=
và
⊥
ˆ
: toán tử

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
=⊥
10
01
ˆ

khử
ττ
H,E
ρ
ρ
từ
A
ρ
và sử dụng toán tử của
τ
h
ˆ
ta có :

(
)
rHh
ˆ
A
1
ρ
ρ
ρ
τ

−
τ
=
từ đó

() () ()
(
)
(
)
(
)
rHrZ
ˆ
rHrh
ˆ
re
ˆ
rE
1
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρρ
ρ
ττ
−
τττ

==
(1.14)
với
[
]
(
)
[
]
)r(g
ˆ
2/R
ˆ
)r(g
ˆ
ˆ
Zn)r(h
ˆ
)r(e
ˆ
)r(Z
ˆ
HE1
ρ
ρ
ρρρ
ττ
−
ττ
+π−+⊥==

9

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

Toán tử Z
ˆ
tùy thuộc vào tính chất dẫn điện của môi trường và tần số. Đó là một
tenxơ trong mặt phẳng xy. Tenxơ này được thành lập từ
ττ
H,E
ρ
ρ
được mang tên là tenxơ
tổng trở. Ma trận tenxơ tổng trở có 4 thành phần, đóng vai trò như hàm truyền.

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
yyyx
xyxx
ZZ
ZZ
Z

ˆ
(1.15)
trong đó
)g1)(g1(gg
)g1(g)gZ(g
Z
H
yx
H
xy
H
yy
H
xx
H
yx
E
xy
E
xxn
H
yy
xx
+−+
+−+
=
(1.16. 1)
)g1)(g1(gg
)g1)(gZ(gg
Z

H
yx
H
xy
H
yy
H
xx
H
xy
E
xxn
E
xy
H
xx
xy
+−+
−++
=
(1.16.2)
)g1)(g1(gg
)g1)(gZ(gg
Z
H
yx
H
xy
H
yy

H
xx
H
yx
E
yyn
E
yx
H
yy
yx
+−+
++−
=
(1.16.3)
)g1)(g1(gg
)g1(g)gZ(g
Z
H
yx
H
xy
H
yy
H
xx
H
yx
E
yx

E
yyn
H
xx
yy
+−+
−++
=
(1.16.4)
khai triển (1.14) ta được

yyyxyxy
yxyxxxx
HZHZE
HZHZE
+=
+
=
(1.17)
Đây là quan hệ tuyến tính tại một điểm bất kỳ trên mặt đất. Các thành phần
yyyxxyxx
Z,Z,Z,Z thay đổi từ điểm này sang điểm khác phản ánh sự thay đổi của độ dẫn
điện theo chiều sâu và chiều ngang và là sự mở rộng của mô hình Tikhonov - Cagniard
và
Z
ˆ
được xem là tenxơ tổng trở.
Tenxơ
Z
ˆ

được thành lập bởi Berdichevsky và Cantwell [7] vào năm 1959 -
1960. Theo Berdichevsky khi sóng phẳng đi vào bất đồng nhất địa phương, thì thành
phần bất kỳ của trường điện từ liên hệ tuyến tính với hai thành phần còn lại.


10

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

1.3. Phép quay tenxơ tổng trở
Điều kiện liên hệ của các thành phần của
Z
ˆ
với hướng được quan tâm. Để xác
định thành phần Z
xx
, Z
xy
hướng theo trục x, còn thành phần Z
yx
, Z
yy
theo trục y. Hướng
của các thành phần tenxơ tổng trở chính là hướng của thành phần trường điện.
Vậy thay đổi các thành phần của tenxơ tổng trở bằng cách quay trục tọa độ như
thế nào? Giả sử
α là góc giữa x và x’ (chiều quay kim đồng hồ). Chúng ta xét cơ sở

{
}
yx
1,1
ρ
ρ
trong
ττ
= HZ
ˆ
E
ρ
ρ
còn cơ sở
{
}
'y'x
1,1
ρ
ρ
trong
ττ
α= 'H)(Z
ˆ
'E
ρ
ρ
. Đây là quan hệ giữa Z
ˆ
và

)(Z
ˆ
α .







Toán tử quay

()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
αα−
αα
=α
cossin
sincos
R
ˆ
;
()
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣
⎡
αα
α−α
=α
cossin
sincos
R
ˆ
T

với
() ( )
α−=α R
ˆ
R
ˆ
T
và
(
)
α
T
R
ˆ
là ma trận chuyển vị của
(
)

αR
ˆ


() () ()()
⊥=αα=αα
ˆ
R
ˆ
R
ˆ
R
ˆ
R
ˆ
TT

⊥
ˆ
là ma trận đơn vị
Vậy
() ()
(
)
(
)
(
)
''T'
H'Z

ˆ
HRZ
ˆ
R
ˆ
HZ
ˆ
R
ˆ
ER
ˆ
E
τττττ
α=αα=α=α=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ

từ đó

() () ()
αα=α
T
R
ˆ
Z
ˆ
R

ˆ
'Z
ˆ
và
(
)
(
)
(
)
ααα= R
ˆ
'Z
ˆ
R
ˆ
Z
ˆ
T
(1.18)
tương tự
y
y’
x’
x
α
Hình 1.2: Hệ trục quay

11

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

αα++α+α=
π
+α=π+α=α cossin)ZZ(sinZcosZ)
2
(Z)(Z)(Z
yxxy
2
yy
2
xx
'
yy
'
xx
'
xx


α
+α+= 2cosZ2sinZZ
432
(1.19.1)
αα−−α−α=
π
+α−=π+α=α cossin)ZZ(sinZcosZ)

2
(Z)(Z)(Z
yyxx
2
yx
2
xy
'
yx
'
xy
'
xy


α
−α+= 2cosZ2cosZZ
431
(1.19.2)
αα−−α−α=
π
+α−=π+α=α cossin)ZZ(sinZcosZ)
2
(Z)(Z)(Z
yyxx
2
xy
2
yx
'

xy
'
yx
'
yx


α
−α+−= 2sinZ2cosZZ
431
(1.19.3)
αα+−α+α=
π
+α−=π+α=α cossin)ZZ(sinZcosZ)
2
(Z)(Z)(Z
yxxy
2
xx
2
yy
'
xx
'
yy
'
yy


α

−α−= 2cosZ2sinZZ
432
(1.19.4)
trong đó:

()
()
yxxy3
yxxy1
ZZ
2
1
Z
ZZ
2
1
Z
+=
−=

()
()
yyxx4
yyxx2
ZZ
2
1
Z
ZZ
2

1
Z
−=
+=

giá trị của Z
1
và Z
2
và Z
ˆ
det

yxxyyyxx
ZZZZZ
ˆ
det −= (1.20)
yxxyyyxxeff
ZZZZZ −= (1.20')
không phụ thuộc vào hướng của trục tọa độ. Đây là thành phần bất biến đối với phép
quay.
Các bất biến khác là:

2
yy
2
yx
2
xy
2

xx
2
ZZZZZ +++= (1.21.1)

2
yy
2
yx
2
xy
2
xx
2
ZZZZZ +++= (1.21.2)
Z
ˆ
chuẩn bình phương của ma trận
Z
ˆ



12

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

1.4. Tính chất của tenxơ tổng trở

Tính chất của tenxơ
Z
ˆ
tùy thuộc vào loại mô hình. Chúng ta lần lượt xem xét
các mô hình 1 chiều, 2 chiều, 3 chiều.
Mô hình 1D: Trong mô hình này độ dẫn điện chỉ thay đổi theo chiều sâu z. Mô
hình phân lớp ngang của Cagniard là loại này. Trong mô hình 1D thì theo hướng bất kỳ
của trục tọa độ Z
xx
= Z
yy
= 0 và Z
xy
= −Z
yx
= Z nên

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
0
0
ˆ
Z
Z

Z
(1.22)
So sánh giữa (1.15) và (1.22) có thể nói rằng các thành phần Z
xy
, Z
yx
của tenxơ
tổng trở liên quan đến sự thay đổi tính chất điện theo chiều sâu còn các thành phần Z
xx
,
Z
yy
liên quan đến sự thay đổi độ dẫn điện theo chiều ngang.
Mô hình 2D: Là mô hình mà độ dẫn điện thay đổi theo trục z thẳng đứng và một
trục ngang x hoặc y. Theo trục ngang thì
const
=
σ
được gọi là trục đồng nhất. Mô
hình như trên được gọi là mô hình 2D. Trong mô hình 2D trường phân cực điện từ
được chia làm hai: 1.) Song song hoặc E phân cực (trường điện phân cực dọc theo trục
đồng nhất, tức là dọc theo cấu trúc), 2.) Vuông góc hay H phân cực (trường từ phân
cực đo theo trục đồng nhất, tức là thẳng góc với cấu trúc). Trong đo sâu, trường phân
cực song song hay thẳng góc được gọi là song song (//) hay thẳng góc (
⊥ ).
Giả sử trục đồng nhất là x, khi đó từ điều kiện đối xứng, các thành phần
H
yy
H
xx

E
yx
E
xy
g,g,g,g trong (1.16) bằng không, từ đó

0Z
g1
gZ
ZZ
g1
gZ
ZZ
0Z
yy
H
xy
E
yyn
yx
H
yx
E
xxn
//
xy
xx
=
−
+

−=−=
+
+
==
=
⊥
(1.23)
13

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

⊥
Z,Z
//
là các thành phần song song và thẳng góc của tenxơ tổng trở. Vậy tenxơ tổng
trở
Z
ˆ
có đường chéo bằng không.

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−

=
⊥
0Z
Z0
Z
ˆ
//
(1.24)
quay trục tọa độ x,y một góc
α
ta thu được tenxơ )('Z
ˆ
α

với các thành phần

(
)
(
)
()
()
αα−−=αα+−=
α−α−=α−α=
α+α=α−α=
αα−=αα+=
⊥
⊥
⊥
⊥

cossinZZcossinZZZ
sinZcosZsinZcosZZ
sinZcosZsinZcosZZ
cossinZZcossinZZZ
//
yxxy
'
yy
2//22
xy
2
yx
'
yx
22//2
yx
2
xy
'
xy
//
yxxy
'
xx
(1.25)
ở đây

0ZZ
'
yy

'
xx
=+ , π=
+
−
,0
ZZ
ZZ
arg
yxxy
yyxx
(1.26)
và

α=
+
−
=
+
−
2tg
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
'
yx
'
xy
'

yy
'
xx
'
yx
'
xy
'
yy
'
xx
(1.27)
Mô hình 3D: Trong mô hình này độ dẫn điện thay đổi theo trục thẳng đứng z và
cả hai trục x, y.
Từ sự đa dạng của các mô hình ba chiều người ta có thể chia ra mô hình đối
xứng trục là mô hình mà tenxơ đơn giản nhất. Giả sử trục x thẳng góc với trục đối
xứng. Khi đó trên mọi điểm của trục x các thành phần
E
xy
g
bằng không và theo (1.16):

H
yx
E
xxn
rxy
xx
g1
gZ

ZZ
0Z
+
+
==
=

H
xy
E
yyn
tyx
yy
g1
gZ
ZZ
0Z
−
+
−=−=
=
(1.28)
Ở đây
tr
Z,Z là thành phần hướng tâm và tiếp tuyến của tenxơ tổng trở, nghĩa là
tenxơ tổng trở bây giờ có đường chéo bằng không.
14

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua

HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn


⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
0Z
Z0
Z
ˆ
t
r
(1.29)
Nghĩa là nếu quay trục tọa độ theo công thức (1.25), (1.26) thì mô hình 3D đối
xứng trục và mô hình 2D có cùng một dạng tenxơ tổng trở.
1.5. Giản đồ cực của tenxơ tổng trở
Sự phụ thuộc vào thành phần của
Z
ˆ
theo hướng có thể biểu diễn thành giản đồ.
Giả sử tenxơ
Z
ˆ
được xác định trong hệ trục x, y. Chuyển sang trục mới x’, y’ bằng

cách quay góc
α , ta có thể xác định được
'
xx
Z và
'
xy
Z theo trục x’. Theo trục x’, giá trị
'
xx
Z ,
'
xy
Z và
'
xy
Zarg
được tính dựa vào (1.19):
)(F)(Z
'
xx
α=α )(G)(Z
'
xy
α=α , )(arctgH)(Zarg
'
xy
α=α (1.30)
ở đây ta có
)2sinZ2cosZZRe(

)2sinZ2cosZZIm(
H
4sin)ZZRe(2sin)ZZRe(22cos)ZZRe(22sinZ2cosZZG
4sin)ZZRe(2cos)ZZRe(22sin)ZZRe(22cosZ2sinZZF
431
431
*
43
*
41
*
31
2
2
4
2
2
3
2
1
*
43
*
42
*
32
2
2
4
2

2
3
2
2
α−α+
α−α+
=
α−α−α+α+α+=
α+α+α+α+α+=

*: là dấu phức liên hợp, bằng cách thay đổi từ 0 đến
π
2
và vẽ đường cong kín được
gọi là giản đồ phân cực.
Giản đồ
'
xx
Z và
'
xy
Z là các giản đồ biên độ phân cực.
Giản đồ
'
xy
Zarg là giản đồ pha phân cực. Ý tưởng xây dựng giản đồ phân cực
pha được đề nghị bởi Vanhian [8 ].
Điều kiện cực trị
0Zarg
d

d
,0Z
d
d
,0Z
d
d
'
xy
'
xy
'
xx
=
α
=
α
=
α
. Khi α thay đổi từ 0 đến
π2 có 4 cực đại và 4 cực tiểu của
'
xx
Z ,
'
xy
Z và
'
xy
Zarg

nên giản đồ cực là một hình 4
cánh.
15

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

Đối với mô hình 1D giản đồ cực
'
xx
Z là một điểm, giản đồ
'
xy
Z và
'
xy
Zarg là
một vòng tròn bán kính
Z như giản đồ
'
arg
xy
Z

trong Z của tổng trở Tikhônov -
Cagniard. Hãy xét giản đồ cực của mô hình 2D, giả sử trục đối xứng trùng với trục x.
Từ (1.23), (1.30):

()
αα−−α+α=α
αα−=α
⊥⊥⊥
⊥
22////4
2
4
2
//'
xy
//'
xx
cossinArgZArgZcosZZ2sinZcosZ)(Z
cossinZZ)(Z
(1.31)
]2cos)ZZ(ZZRe[
]2cos)ZZ(ZZIm[
arctg)(Zarg
////
////
'
xy
α−++
α−++
=α
⊥⊥
⊥⊥

Trong đó

//
Z và
⊥
Z
là các thành phần song song và thẳng góc của tenxơ tổng
trở. Giản đồ cực
'
xx
Z
có dạng hoa 4 cánh đều nhau, đường chia các cánh hướng theo
phương song song và thẳng góc. Giản đồ cực
'
xy
Z và
'
arg
xy
Z và có dạng ô van hoặc
hình số tám, đường kính
//
Z2 ,
⊥
Z2 và
//
Zarg2 hướng theo phương song song và
thẳng góc. Ví dụ giản đồ cực ở hình 1.3a.

Hình 1.3: Giản đồ phân cực tenxơ tổng trở 2D
a)
⊥

Z,Z
||
khác pha; b)
⊥
Z,Z
||
cùng pha
16

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

Trong trường hợp các thành phần
//
Z và
⊥
Z
có cùng pha và giả sử

γ⊥⊥γ
==
ii////
eZZ,eZZ
lúc đó

(
)
γ=

α+α=
αα−=
⊥
⊥
'
xy
22//'
xy
//'
xx
Zarg
sinZcosZZ
cossinZZZ
(1.32)
Trong trường hợp này (đối với mô hình 2D), giản đồ cực biên độ có dạng đặc
biệt: giản đồ cực
'
xx
Z có dạng hoa thị, còn giản đồ
'
xy
Z có dạng ô van (hay số tám)
còn giản đồ pha là đường tròn giống như đối với môi trường 1D. Tương tự giản đồ cực
của mô hình 3D có trục đối xứng (thành phần
⊥
Z,Z
//
được thay thế bởi
rt
Z,Z ). Nếu

mô hình 3D bất đối xứng thì các dạng của giản đồ cực ở trên bị phá vỡ. Ví dụ như giản
đồ cực đối với mô hình bất đồng nhất 3D bất đối xứng trên hình 1.4.














Hình 1.4: Giản đồ cực của tenxơ tổng trở 3D
17

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

1.6. Hướng chính và giá trị chính của tenxơ tổng trở
Giản đồ cực xác định các giá trị của
'
xx
Z ,
'

xy
Z ,
'
yx
Z ,
'
yy
Z bằng cách quay trục tọa
độ từ
π→ 20
. Từ các giá trị đo hãy tìm giá trị chính của tenxơ tổng trở. Đây là bài toán
cổ điển trong phép tính tenxơ. Giả sử có tenxơ
T
ˆ
trong mặt phẳng xy, vectơ
B,A
ρ
ρ
thỏa

AT
ˆ
B
ρ
ρ
=
(1.33)
ở đây

yyxx

yyxx
1B1BB
1A1AA
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
+=
+=

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
yyyx
xyxx
TT
TT
T
ˆ

Nếu vectơ
A
ρ
được biểu diễn theo AB
ρ

ρ
λ=

thì nó được gọi là vectơ riêng của ma
trận
T
ˆ
, hệ số
λ
được gọi là giá trị riêng của T
ˆ
. Ma trận T
ˆ
đối xứng, trong đó T
xy
= T
yx

có hai vectơ riêng trực giao
21
A,A
ρ
ρ
và hai trị riêng
21
,
λ
λ
. Giá trị riêng được xem là giá
trị chính của tenxơ

T
ˆ
, còn hướng riêng của vectơ được gọi là phương chính của tenxơ
T
ˆ
. Trên cơ sở đó tìm hướng chính của tenxơ T
ˆ

thì tại hướng đó tenxơ có dạng đơn
giản đường chéo

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
λ
λ
=
2
1
0
0
T
ˆ
(1.34)
Theo (1.33) ta có

x1x

AB λ=
y2y
AB
λ
=
(1.35)
Chúng ta hãy đi đến việc tìm hiểu tenxơ tổng trở
Z
ˆ
và mối liên hệ với vectơ
cường độ từ trường
H
ρ

và điện trường
E
ρ
. Hãy xét môi trường một chiều phân lớp
ngang. Theo (1.22) thì đây là loại 1D, ma trận
Z
ˆ
phản đối xứng, điều này có nghĩa là
trường từ và trường điện phân cực thẳng và thẳng góc nhau.
Giả sử tồn tại trường điện từ phân cực, trong đó
[
]
z
1HE
ρ
ρ

ρ
×ζ=
ττ
,
ζ
được xác định
như trường riêng của ma trận
Z
ˆ
. Nếu ma trận thỏa điều kiện (1.26) thì chúng ta có hai
trường vectơ riêng
21
E,E
ρ
ρ
với các trục phân cực thẳng góc nhau và hai số phức riêng
18

Sử dụng các bất biến trong tenxơ tổng trở để phân tích tài liệu từ tellua


HV: Huỳnh Kim Tuấn GVHD: PGS.TS. Nguyễn Thành Vấn

21
,
ζ
ζ
thỏa các trường trên. Đây là các trị riêng và được gọi là các giá trị riêng của
tenxơ
Z

ˆ
, hướng của trục phân cực của thành phần trường phân cực điện riêng được gọi
là hướng chính.
Xét tenxơ
Z
ˆ
trong hệ
{
}
''
1,1
yx
ρ
ρ
xây dựng tenxơ theo các hướng này thì

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ζ−
ζ
=
0
0
Z
ˆ
2

1
(1.36)

'
'
x
1'y
y
1'x
HE
HE
ζ−=
ζ
=
(1.37)
Phương chính và giá trị chính của tenxơ Z
ˆ
nằm ở phương trình

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
αα−
αα
⎥
⎦
⎤

⎢
⎣
⎡
ζ−
ζ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
αα
α−α
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
cossin
sincos
0
0
cossin
sincos
ZZ
ZZ
2
1

yyyx
xyxx
(1.38.1)
trong đó

yxxy
yyxx
2,1
ZZ
ZZ
2tg
+
−
−=α
với
1
α và 2
12
π±α=α góc giữa trục x và hướng chính của tenxơ (tính theo chiều kim
đồng hồ)

(
)
11yyxx1
2
yx1
2
xy1xy1
cossinZZsinZcosZ)(Z αα−−α−α=α=ζ

14131
2sinZ2cosZZ
α
−α+= (1.38.2)

(
)
11yyxx1
2
yx1
2
xy1yx2
cossinZZcosZsinZ)(Z αα−+α−α=α−=ζ

14131
2sinZ2cosZZ
α
+α−= (1.38.3)
Điều kiện (1.26) là trường hợp mô hình hai chiều và ba chiều đối xứng trục. Ở
đây, tenxơ tổng trở tại mỗi điểm và mọi tần số đều có cùng giá trị chính theo hướng
chính.