giáo trình phương pháp phần tử hữu hạn

FEM.
ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN
TS. Phan Minh Đức
Khoa Cơ khí Giao thông –Trường ĐH Bách Khoa
Đại học Đà Nẵng
 Introduction
 Plane Stress – Constant Strain Triangle (P1)
 Plane Strain – Rectangular Element (P2)
 Plane Quadrilateral Element (P3)
 Axisymmetric Stress Analysis (P4)
 General 3-D Stress Elements (P5)
 Strain-Stress Computation (P
6
)
 Summary
Giới thiệu
 Phần tử THANH và DẦM, đã xét, là các p.tử “thẳng” – chỉ cần
dùng 1 trục tọa độ tham chiếu để mô tả.
 Các p.tử đó rất tiện lợi để mô hình hóa các kết cấu trong không
gian 2 và 3 chiều. Tuy nhiên trong rất nhiều bài toán vật rắn, có
nhiều kết cấu phức tạp với nhiều loại tải trọng và các điều kiện
ràng buộc;
 Trong phần này, ta xét các p.trình PTHH 2 và 3 chiều dùng phân
tích ứng suất các kết cấu rắn đàn hồi tuyến tính.
 Cơ sở xây dựng các PTr ở đây là thuyết thế năng cực tiểu, đơn
giản hơn p.pháp Galerkin tuy p.pháp Galerkin là cơ bản, áp dụng
được cho rất nhiều bài toán;
PLANE STRESS
“Plane Strees”:
 Vật thể có k.thước z (bề dày) rất
nhỏ (<10%) so với 2 kích thước kia;

 Vật thể chỉ chịu tải trong (x,y);
 Vật liệu đàn hồi, đồng nhất, đẳng
hướng;
 Tồn tại các ứng suất : 
x
, 
y
, 
xy
P.trình cân bằng:

xy
=
yx
và:
 Theo định nghĩa của “Plane Stress”, ta có:

z
= O; 
xz
= O; 
yz
= O
 Từ quan hệ stress-strain (phụ lục B), ta được các thành phần:
 Các thuộc tính vật liệu:
E: module đàn hồi
: hệ số Poisson của vật liệu
G: Module đàn hồi trượt
 Viết ở dạng ma trận:
Hay: {} = [D] {}

 N.lượng b.dạng tích lũy trong 1 đ.v. thể tích:
 Năng lượng tích lũy trong vật:
V: thể tích vật. dV = t. dx. Dy
P.trình trên áp dụng chung cho tất cả các
trường hợp, không nhất thiết làTẤM.
FE Formulation Constant Strain Triangle
 3-node triangular element
mô tả miền con trong tấm
chịu lực.
 Chuyển vị u, v của các
điểm trong phần tử được
xác định bởi:
 Các hàm dạng được xác
định bởi 6.37 (chương 6)
} ]{[ vy)(x,N vy)(x,N vy)(x,Ny)(x,v
}
]{[u y)(x,Nu y)(x,Nu y)(x,Ny)(x,u
332211
332211
vN
uN





 Biến dạng tương đối trong ph.tử:
 [B] là ma trận 3x6 của các đạo hàm riêng của hàm dạng
 Các đạo hàm riêng trong [B] là các hằng số, do hàm dạng
tuyến tính. Do đó, các thành phần sức căng là hằng số trong

toàn thể tích phần tử;
 Năng lượng biến dạng trong phần tử:
 Giả sử tính chất vật liệu không thay đổi, Ptr trở thành:
 Công thực hiện bởi các lực nút:
 Với:
 Như vậy, thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong ph.tử:
 Khi vật (tấm) ở tr.thái cân bằng, phần tử cũng ở TT cân bằng.
Thế năng của nó cực tiểu. Do đó:
 Do vậy, ta được:
có dạng của p.trình: với:
Thiết lập Ma trận độ cứng
 Các hàm dạng theo 6.37 (chương 6):
 Do đó, các đạo hàm riêng:
 Và ma trận [B]:
 Thể tích của p.tử: t.A
 Do đó:
C = (1-)/2
Trường hợp Tải trọng phân bố
 Ở các BT kết cấu, ta thường gặp lực phân bố, như là áp
suất hoặc lực cắt, trên một phần của biên kết cấu.
 Đối với tấm, các lực phân bố này tác dụng trên cạnh
phần tử và cũng là biên của kết cấu.
 Ta tìm lực nút tương đương với lực (tác dụng trên 1 đv.
diện tích) trên mặt cạnh 2-3 của p.tử.
 Cơ sở: Có cùng thế năng biến dạng đàn hồi cực tiểu.
 Các lực phân bố được phân tích trong hệ tọa độ chung:
n
x
và n
y

là các vectow đơn vị theo các trục
 Công thực hiện bởi lực phân bố, với t.phân dọc theo 2-3:
 Tuy nhiên: N
1
(x,y) = 0 dọc theo 2-3
 và
 Nên
 Và có dạng
 Do đó:
 Do N1(x,y) = 0 dọc theo 23 nên PT trên có thể viết:
 Với và
Ví dụ:
Tấm tam giác chịu lực phân bố như hình vẽ. Xác định lực
nút tương đương bằng pp. năng lượng.
Tấm có chiều dày 0,2 inch.
 Dọc theo 1-2: p
x
= 0; p
y
=-100 psi. Do đó:
 Dọc theo 2-3: x = 1; p
x
= 150y; p
y
= 0. Do đó:
 Do đó:
Trường hợp Lực khối
 Tương tự, thông thường tác dụng vào vật cũng có thể có
các lực phân bố trong toàn bộ thể tích vật, như: trọng
lượng, lực quán tính, lực điện từ;

 Ta xét lực khối trong bài toán 2 chiều. Lực khối được biểu
diễn bởi vector:
F
BX
và F
BY
là các lực t.phần tác dụng vào 1 đơn vị thể tích
 Ta cần tìm lực nút tương đương với lực khối tác dụng lên
phần tử.
 Xét 1 phần tử .t.dx.dy thực hiện chuyển vị (u,v). Công
thực hiện bởi lực khối
 Chuyển vị của các điểm trong PT được xác định bởi:
 Công thực hiện bởi lực khối:
 Có dạng:
 Và:
 Biểu diễn dưới dạng:
 Do đó:
 Viết gọn ở dạng ma trận: