Bài thảo luận môn xác suất thống kê chương lý thuyết mẫu và ước lượng

Nhóm: 02
1
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
VÀ TRUYỀN THÔNG



BÀI THẢO LUẬN

CHỦ ĐỀ: BÀI TẬP CHƯƠNG LÝ THUYẾT
MẪU VÀ ƯỚC LƯỢNG


Giảng viên hướng dẫn: Trương Hà Hải
Nhóm:
02
Thành viên:
Lê Hà Thu (Nhóm trưởng)
Ma Nguyễn Lệnh
Hà Thị Ngọc Linh
Nguyễn Ngọc Tùng
Đỗ Thị Hồng
Cao Văn Tú

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2014


Nhóm: 02
2
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu


MỤC LỤC
A. LÝ THUYẾT CĂN BẢN CHƯƠNG LÝ THUYẾT MẪU VÀ ƯỚC LƯỢNG 3
1. Tổng thể 3
2. Tần số của x
i
: 3
3. Trung bình của tổng thể: 3
4. Phương sai của tổng thể: 3
5. Mẫu ngẫu nhiên. 3
6. Hàm phân phối mẫu. 3
7. Kỳ vọng của mẫu ngẫu nhiên (trung bình mẫu ngẫu nhiên). 3
8. Phương sai của mẫu ngẫu nhiên 3
9. Tần suất của mẫu ngẫu nhiên: 3
10. Quy luật phân phối xác suất của
X
. 3
11. Ước lượng không chệch. 4
12. Các trường hợp của ước lượng khoảng. 4
12.1 Trường hợp 1 4
12.2 Trường hợp 2. 4
12.3 Trường hợp 3. 4

B. BÀI TẬP 5
3.1 Ước lượng cho kỳ vọng (giá trị trung bình) 5
3.1.1 Trường hợp phương sai đã biết. 5
3.1.2 Trường hợp phương sai chưa biết, cỡ mẫu lớn. 6
3.1.3 Trường hợp phương sai chưa biết, cỡ mẫu nhỏ 8
3.2 Ước lượng cho tỷ lệ (xác suất) 8

Nội dung và nhiệm vụ các thành viên:
Thành viên
Nội dung phụ trách
Ghi chú
Lê Hà Thu (Nhóm trưởng)
Phân nội dung, làm các ý 3; 3.1.1

Bài làm theo
khung:
Chương,
Mục và câu
Đỗ Thị Hồng
Làm các ý 3; 3.1.2; 1/2
Ma Nguyễn Lệnh
Làm các ý 3; 3.1.2; 1/2
HàThị Ngọc Linh
Làm các ý 3; 3.1.3; 1/2
Nguyễn Ngọc Tùng
Làm các ý 3; 3.2; 1/2
Cao Văn Tú
Tổng hợp lý thuyết, Làm câu số:3; 3.1.3; 1/2

Nhóm: 02
3
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu


A. LÝ THUYẾT CĂN BẢN CHƯƠNG LÝ THUYẾT MẪU VÀ ƯỚC LƯỢNG
1. Tổng thể.
Toàn bộ tập hợp các phần tử đồng nhất theo một dấu hiệu nghiên cứu định tính hay định
lượng nào đó được gọi là tổng thể. Việc chọn ra từ tổng thể một tập hợp con nào đó gọi là
phép lấy mẫu. Tập hợp con này được gọi là một mẫu.
2. Tần số của x
i
:
i
i
N
p
N


3. Trung bình của tổng thể:
1
k
ii
i
xp





4. Phương sai của tổng thể:
 
2
2
1
k
ii
i
xp





5. Mẫu ngẫu nhiên.
Nếu trong phép lấy mẫu đó mỗi cá thể của tổng thể được chọn một cách độc lập và có xác
suất được chọn như nhau ta được một mẫu ngẫu nhiên.
6. Hàm phân phối mẫu.
Giả sử (X
1
,X
2
,…,X
n
) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối F(x,

).
Định nghĩa 1.1. Hàm phân phối mẫu được định nghĩa bởi:
 

,
m
F x x
n


trong đó n là
kích thước mẫu, m là số các giá trị mẫu X
i
< x.
Tính chất của hàm phân phối mẫu:
 0

F
n
(x)

1 vì 0

m

n.
 F
n
(x) là hàm đơn điệu tăng.
 F
n
(x) = 0 với x

min (X

1
,…, X
n
) và F
n
(x) = 1 với x > max (X
1
, X
2
,…, X
n
)
 F
n
(x) hội tụ hầu chắc chắn về hàm phân phối lí thuyết F(x) khi
n
.
7. Kỳ vọng của mẫu ngẫu nhiên (trung bình mẫu ngẫu nhiên).
Kỳ vọng của mẫu ngẫu nhiên
 
12
, , .
n
W X X X
là một thống kê ký hiệu và xác định bởi:
 
12
1
11
, ,

n
ni
n
X X X X X
nn




8. Phương sai của mẫu ngẫu nhiên.
Phương sai của mẫu ngẫu nhiên
 
12
, , .
n
W X X X
là một thống kê, ký hiệu S
2
và được xác
định bởi:
 
2
2
1
1
n
i
i
S X X
n





9. Tần suất của mẫu ngẫu nhiên:
m
f
n


10. Quy luật phân phối xác suất của
X
.
Nếu
12
, ,
n
X X X
được lấy từ địa lượng ngẫu nhiên X có quy luật phân phối
 
2
,N

thì:

Nhóm: 02
4
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu

a)
X
có phân phối chuẩn
2
,N
n






b)
X
Un




có phân phối chuẩn N(0; 1).
11. Ước lượng không chệch.
Thống kê G gọi là ước lượng không chệnh của tham số

của đại lượng ngẫu nhiên X nếu
E(G) =

. Ngược lại nếu
 
EG



thì G là ước lượng chệch của

.
12. Các trường hợp của ước lượng khoảng.
12.1 Trường hợp 1: Biết
 
2
D X =σ
và cỡ mẫu
n 30
(hoặc n < 30 nhưng X có phân phối
chuẩn)
- Xác định
12
,

từ mẫu tin cậy
1


cho trước:
 Với khoảng đối xứng thì:
12
;1
22

  
   

 Với khoảnh tin cậy bên trái:
12
; 0; 1
    
   
.
 Với khoảnh tin cậy bên phải:
12
0; ; 1
    
   

- Xác định phân vị chuẩn (Phụ lục 3 trang 308)
- Xác định sai số
.,Ux
n




.
- Tính khoảng tin cậy:
 Đối xứng:
 
;xx



 Bên trái:
 

; x

 

 Bên phải:
 
;x

 

12.2 Trường hợp 2: Chưa biết
2
σ
và cỡ mẫu
n 30
.
Dùng S hoặc S’ thay cho

. Khi đó:
'
. , .
SS
UU
nn







12.3 Trường hợp 3:Chưa biết phương sai
 
2
D X =σ
và n < 30 và X có phân phối chuẩn.
Dùng S
2
hoặc S’
2
thay cho

. Khi đó:
1
.
n
S
t
n




,
1n
t


tra trong bảng Phụ lục 5.

Nhóm: 02
5
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu


B. BÀI TẬP
3.1 Ước lượng cho kỳ vọng (giá trị trung bình)
3.1.1 Trường hợp phương sai đã biết.
Bài 1:
Bài 2:
365
1 0,95
n




X năng suất, X~N (μ,
2

)

12
0.975
2

  
   

Phân vị chuẩn
0,975
1.96U 

2
1.96. 0.21
365



 
.
11
25.6 30.13 33.38 34.74 35.106 36.85 37.30.32.10 10.3
365
ni xi
x
n
        

=34
Khoảng tin cậy
(34 0,21;34 0,21); (33,79;34,21)

Năng suất lúa trng bình từ 33,79 đến 34,21(=) 1 ha với độ tin cậy là 0,95

Bài 3:
n=100
0,1




1 0,95 0,95 1 0.05
  
      

X: doanh số trung bình,
 
2
~ , XN


12
0; 0,05; 1 0,05 0,95
   
     

=>phân vị chuẩn
0,05
1,645U 

 

.
0,1
1,645. 0,0106
100
11
10,1.1 10,2.3 10,4.8 10,5.13 10,7.25 10,8.20 10,9.12 11.10 11,3 11,4.2
100
10,753
ni xi
x
n


          


Khoảng tin cậy
   
10,7424; ; 10,7636; 

Doanh số trung bình tối thiểu là 10,424 của một hộ gia đình có độ tin cậy là 0,95.
Bài 4:
n=100

Nhóm: 02
6
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu


1 2 0,975

1 0,05 0,05; 10; 0,975 1,96
2
10
1,96 1,96
100
U

     

          


 
1
1
1.67,5 0.72,5 2.77,5 5.82,5 8.87,5 16.92,5 18.97,5 17.162,5 127,5.1 16.107,5 9.112,5 5.117,5 2.112,5
100
108,37
ii
x n x
n

            



Khoảng tin cậy (108,3-1,96 ; 108,37+1,96) ; (106,41 ; 110,33)
Vậy lượng glucozo trung bình từ 106,41 đến 110,33 trong một người có độ tin cậy 0,95
Bài 5:
n=50

 
12
10 ; 1 0,95 0,05;
2
1 0,975 1,96
2
10
1,96. 2,77
50
11
2.500 2.550 2.600 4.650 5.700 7.750 4.800 7.850 9.900 8.950
50
790
ii
U
x n x
n


    



      
     

          



Vậy khoảng tin cậy (787,23; 792,77)
Vậy thu nhập trung bình từ 787,23 đến 792,77 của công nhân trong tổ có độ tin cậy là 0,95.

3.1.2 Trường hợp phương sai chưa biết, cỡ mẫu lớn.
Bài 6:
 
12
36;1 0,95 0,05 0,05; 0
1 0,95 1,645
11
5.19,5 15.20,5 10.21,5 6.22,5 20,97
36
ii
n
U
x n x
n

   

       
    
     


 
 
 
2
22

2
2 2 2 2
1
1
5.19,5 15.20,5 10.21,5 6.22,5 20,97 0,95
36
ii
S n x X
n

     

và S = 0,976.
0,976
. 1,645. 0,267
36
S
U
n


  
.
Khoảng tin cậy
 
 
; ; 21,237x

   
.

Vậy mức hao phí nguyên liệu trung bình tối đa trên một sản phẩm là 21,237 với độ tin cậy 0,95.

Nhóm: 02
7
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu



Bài 7:
 
12
100;1 0,95 0,05 0; 0,05
1 0,95 1,645
11
7.32,5 12.37,5 18.42,5 27.47,5 20.52,5 8.57,5 5.62,5 3.67,5 47,5
100
ii
n
U
x n x
n

   

       
    
         


 
 
 
2
22
2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
1
7.32,5 12.37,5 18.42,5 27.47,5 20.52,5 8.57,5 5.62,5 3.67,5 47,5 68,5
100
ii
S n x X
n

         

và S = 8,28
8,28
. 1,645. 1,36
100
S
U
n


  

Khoảng tin cậy
 

 
; 46,14;x

   
.
Vậy năng suất trung bình tối thiểu của loại ngô mới của vùng đó là 46,14 với độ tin cây là 0,45.
Bài 8:
 
 
 
12
2
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
100;1 0,95 0,05
2
1 0,975 1,96
2
11
1.2 2.3 3.4 4.12 5.18 6.25 7.20 8.10 9.5 10.1 5,83
100
1
1
1.2 3.2 4.3 12.4 18.5 25.6 20.7 10.8 9.5 1.10 5,83 3,18
100
ii
ii
n
U
x n x

n
S n x X
n


   


       
    
           

           



Và S

3,18.
1,78
. 1,96. 0,35
100
S
U
n


  

Khoảng tin cậy (5,48; 6,18).

Vậy điểm trung bình của học sinh trường đó là từ 5,48 đến 6,18 với độ tin cậy là 0,95.

Bài 9:

Nhóm: 02
8
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu


 
 
 
 
12
2
22
2
2 2 2 2 2 2
100;1 0,95 0,05
2
1 0,975 1,96
2
11
5.6,5 10.7.5 20.8.5 35.9.5 25.10.5 5.11.5 9.3
100
1
1
5.6,5 10.7,5 20.8,5 35.9,5 25.10,5 5.11,5 9,3 4,1
100
ii

ii
n
U
x n x
n
S n x X
n


   


       
    
       

       



Và S = 2,02
2,02
. 1,96. 0,395
100
S
U
n


  

Khoảng tin cậy đối xứng là: (8,905; 9,695).
Vậy hàm lượng vitamin C trung bình trong loại quả đó là từ 8,905 đến 9,695 với độ tin cậy là
95%.

3.1.3 Trường hợp phương sai chưa biết, cỡ mẫu nhỏ. (Tham khảo GT_XSTT_ICTU_2014)

3.2 Ước lượng cho tỷ lệ (xác suất)
Bài 1:
Ta có:
0,975
1 95% 0,975
1,96; 100Un

   

Vì trứng có khối lượng nhỏ hơn 165 gam.
Khi đó ta có:
Tần số mẫu là:
   
4 16
0,2
100
1 0,2 1 0,2
1,96. 0,000784
100
x
m
f
n

ff
U
n



  

   

Vậy khoảng tin cậy là: (0,2; 0,4)
Bài 2:
Ta có:
1 2 0,505
0,99
0,495; 1 1 0,495 0,505 0,025
22
UU


  
          

Vì ước lượng cho tỷ lệ thửa ruộng có năng suất trên 50 tạ/ha.
Khi đó ta có:
Tần số mẫu là:
   
20 8 5 3
0,36
100

1 0,36 1 0,36
0,505. 0,025
100
x
m
f
n
ff
U
n


  
  

   

Vậy khoảng tin cậy là: (0,335; 0,385)

Nhóm: 02
9
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu


Bài 3:
Gọi N là số cá thể trong hồ, p là tỷ lệ cá có đánh dấu ở trong hồ.
Khi đó ta có:
4000
p
N


. Vậy ta ước lượng p để ước lượng N.
Tần số mẫu là:
   
75
0,375
200
1 0,375 1 0,375
2,576. 0,000624
200
x
m
f
n
ff
U
n


  

   

Vậy khoảng tin cậy là: (0,369; 0,381)
Bài 4:
Ta có:
1 2 0,475
0,95
0,475 1,96
2

UU


     

Khi đó ta có:
Tần suất mẫu là:
   
65
0,65
100
1 0,65 1 0,65
1,96. 0,000935
100
x
m
f
n
ff
U
n


  

   

Vậy khoảng tin cật là: (0,64; 0,659)
Bài 5:
Ta có:

0,99 2,326U


  

Khi đó ta có:
Tần số mẫu là:
 
1180 95
1800 90
95 95
1
1
90 90
2,326. 0,0000129
1800
x
m
f
n
ff
U
n


  






   

Vậy khoảng tin cậy là: (0,626; 0,684)
Vậy tối thiểu cá thể là 62,6%; tối đa là 68,4%.
Bài 6:
Ta có:
1 2 0,475
0,95
0,475 1,96
2
UU


     
.
Khi đó ta có:
Tần số mẫu là:
   
64 30 14
0,54
200
1 0,54 1 0,54
1,96. ?
200
x
m
f
n
ff

U
n



  

   

Vậy khoảng tin cậy là: ( 0,54 - ? ; 0,54 + ? )
Bài 7:
Ta có:
1 0,05; 0,95 1,645U


    


Nhóm: 02
10
Trưởng nhóm: Lê Hà Thu


Khi đó ta có:
Tần số mẫu là:
   
368
0,92
400
1 0,92 1 0,92

1,645. 0,0000896
400
x
m
f
n
ff
U
n


  

   

Vậy khoảng tin cậy là: (0,949; 0,950)
Bài 8:
Ta có:
0,95 1,645U


  

Khi đó ta có:
Tần số mẫu là:
   
1220
0,678
1800
1 0,678 1 0,678

1,645. 0,0000427
1800
x
m
f
n
ff
U
n


  

   

Vậy khoảng tin cậy là: (0,677; 0,678)
Bài 9:
Ta có:
0,9 1,282U


  

Khi đó ta có:
Tần số mẫu là:
   
280
0,7
400
1 0,7 1 0,7

1,282. 0,000147
400
x
m
f
n
ff
U
n


  

   

Vậy khoảng tin cậy là: (0,701; 0,798)
Bài 10, 11, 12, 13 cách giải tương tự các bài trên.

Hết