Mô phỏng số các quá trình ngẫu nhiên, trường ngẫu nhiên và ứng dụng

ii



MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN i
MỤC LỤC ii
DANH MỤC CÁC HÌNH v
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG I CƠ SỞ TOÁN HỌC 3
1.1 Phép biến đổi Fourier 3
1.1.1 Định lý về đạo hàm 4
1.1.2 Định lý về chuyển dịch ngang 4
1.1.3 Định lý Parseval 4
1.1.4 Sự đối xứng, đối ngẫu và thay đổi thang đo 4
1.2 Tích chập và tương quan 5
1.2.1 Tích chập 5
1.2.2 Tích phân tương quan 5
1.3 Quá trình ngẫu nhiên 5
1.3.1 Mở đầu 5
1.3.2 Đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên 6
1.3.2.1 Hàm mật độ xác suất 6
1.3.2.2 Hàm đặc trưng 8
1.3.2.3 Các hàm Moment 9
1.3.2.4 Hàm cumulant 9
1.3.2.5 Phiếm hàm đặc trưng 10
iii



1.4 Đạo hàm và tích phân ngẫu nhiên 11

1.4.1 Đạo hàm 11
1.4.1.1 Hội tụ 11
1.4.1.2 Liên tục 12
1.4.1.3 Đạo hàm 12
1.4.2 Tích phân ngẫu nhiên 14
1.5 Quá trình ngẫu nhiên dừng 15
1.5.1 Tính chất của hàm tự tương quan 16
1.5.1.1 Đối xứng 17
1.5.1.2 Bất đẳng thức 17
1.5.2 Trung bình theo thời gian 18
1.5.3 Tính chất (giả thiết) Ergodic 18
1.5.4 Biến đổi Fourier 20
1.5.5 Mật độ phổ năng lượng 21
1.5.6 Biểu diễn Fourier – Stieltjes đối với quá trình dừng 23
CHƯƠNG II MÔ PHỎNG SỐ CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ
TRƯỜNG NGẪU NHIÊN 25
2.1 Mở đầu 25
2.2 Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên 26
2.2.1 Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên dừng khi biết hàm tương quan 28
2.2.2 Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên dừng khi biết hàm phổ 30
2.2.3 Mô phỏng quá trình ồn trắng Gauss 32
iv



2.3 Mô phỏng số trường ngẫu nhiên 34
CHƯƠNG III ỨNG DỤNG MÔ PHỎNG SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
CHO CÁC BÀI TOÁN KỸ THUẬT 38
3.1 Hệ một tham số (hay hệ một bậc tự do) 38
3.2 Hệ nhiều tham số (hay hệ nhiều bậc tự do) 50

3.2.1 Dao động ngẫu nhiên của các công trình biển 54
3.2.1.1 Sóng biển và tác động của sóng biển 54
3.2.1.2 Tính toán dao động của dàn khoan cố định dưới dạng mô hình đơn
giản 56
3.2.1.3 Dao động ngẫu nhiên của công trình biển dạng nhiều bậc tự do 61
3.2.2 Tác động của động đất lên kết cấu công trình 68
KẾT LUẬN 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO 81

v




DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 3. 1: Thể hiện thứ 490 và 491 trong trường hợp dao động tuyến tính 40
Hình 3. 2: Phương sai của các thể hiện trong trường hợp dao động tuyến tính 40
Hình 3. 3: Kỳ vọng của các thể hiện trong trường hợp dao động tuyến tính 41
Hình 3. 4: Thể hiện thứ 490 và 491 trong trường hợp dao động phi tuyến 42
Hình 3. 5: Kỳ vọng của các thể hiện trong trường hợp dao động phi tuyến 42
Hình 3. 6: Phương sai của các thể hiện trong trường hợp dao động phi tuyến 42
Hình 3. 7: Các thể nghiệm của nghiệm chính xác X(t) và nghiệm Euler Y(t) với
Delta=0.25 45
Hình 3. 8: Luồng ngẫu nhiên phát sinh bởi máy tạo dao động Duffing Van der
Pol 46
Hình 3. 9: Luồng ngẫu nhiên phát sinh bởi máy tạo dao động Duffing Van der
Pol (Taylor mạnh) 47
Hình 3. 10: Luồng ngẫu nhiên phát sinh bởi lược đồ Milstein 48
Hình 3. 11: Nội suy tuyến tính (log
2

ε, log
2
∆) – Đồ thị tại t=0.1 (Taylor mạnh) 49
Hình 3. 12: Nội suy tuyến tính (log
2
ε, log
2
∆) – Đồ thị tại t=0.1 (Taylor mạnh) 49
Hình 3. 13: Nội suy tuyến tính (log
2
ε, log
2
(time)) – Đồ thị tại t=0.1 (Taylor
mạnh) 50
Hình 3. 14: Nội suy tuyến tính (log
2
(time), log
2
∆) – Đồ thị tại t=0.1 (Taylor
mạnh) 50
Hình 3. 15: Dàn Khoan Bạch Hổ 65
Hình 3. 16: Một thể hiện của mặt sóng ngẫu nhiên 66
vi



Hình 3. 17: Một thể hiện của chuyển động (khuyếch đại chuyển vị 1000 lần) 66
Hình 3. 18: Chiều cao sóng – Thể hiện 1 67
Hình 3. 19: Chiều cao sóng – Thể hiện 45 67
Hình 3. 20: Chiều cao sóng – Thể hiện 63 67

Hình 3. 21: Biểu đồ gia tốc và hàm bao thực sự của nó (đường cong liền nét)
và hàm bao xấp xỉ (đường cong đứt khúc) 71
Hình 3. 22: Phản ứng không dừng của hệ một bậc tự do với hệ số cản 0.05 và
tần số tự nhiên 10.0 rad/s được kích động bởi gia tốc nền không dừng, xác định
bằng cách nhân hàm mật phổ dừng băng hẹp, băng rộng và ồn trắng (white
noise) với hai hàm bao xác định như trong hình 3.21. Các đường cong liên tục
và đứt khúc ứng với các hàm bao liên tục và đứt khúc trong hình 3.21. 72
Hình 3. 23: Phản ứng không dừng của hệ một bậc tự do với hệ số cản 0.05 và
tần số tự nhiên 20.0 rad/s được kích động bởi gia tốc nền không dừng, xác định
bằng cách nhân hàm mật độ phổ dừng băng hẹp, băng rộng và ồn trắng (white
noise) với hai hàm bao xác định như trong hình 3.21. Các đường cong liên tục
và gạch ứng với các hàm bao liên tục và đứt khúc trong hình 3.21. 73
Hình 3. 24: Phản ứng không dừng của hệ một bậc tự do với hệ số cản 0.05 và
tần số tự nhiên 40.0 rad/s được kích động bởi gia tốc nền không dừng, xác định
bằng cách nhân hàm mật độ phổ dừng băng hẹp, băng rộng và ồn trắng (white
naise) với hai hàm bao xác định như trong hình 3.21. Các đường cong liên tục
và đứt khúc ứng với các hàm bao liên tục và đứt khúc trong hình 3.21. 74
Hình 3. 25: Hàm mật độ phổ năng lượng của gia tốc được ghi tại Điện Biên Phủ và
các thể hiện 11, 51, 91 phát sinh từ hàm mật độ phổ năng lượng của gia tốc tại Hoà
Bình 77
Hình 3. 26: Ứng lực theo thời gian 78
vii



Hình 3. 27: Sự phân bổ hệ số an toàn 79
1


MỞ ĐẦU

Rất nhiều bài toán thực tế mang tính ngẫu nhiên, nói chung do ba nguyên
nhân độc lập và khác nhau gây ra: nguyên nhân thứ nhất, thường do sự phân
tán khá lớn của các số liệu quan sát ghi nhận từ các yếu tố bên ngoài hay dữ
liệu đầu vào; nguyên nhân thứ hai, là do bản chất hiện tượng ngẫu nhiên cố hữu
của hiện tượng; nguyên nhân thứ ba, là do sự bất định về các tính chất hay
tham số vật lý đặc trưng của đối tượng nghiên cứu (ví dụ chuyển động của sóng
biển, gió, động đất, thị trường chứng khoán, tài chính, hệ sinh thái…). Các bài
toán này, hầu hết không giải được dưới dạng giải tích mà chỉ có thể dùng các
phương pháp số. Trong nước, các nghiên cứu lý thuyết về các hệ động lực
ngẫu nhiên chủ yếu tập trung ở Viện Toán học, và các nghiên cứu mô phỏng,
ứng dụng ở Viện Cơ học, Viện Cơ học ứng dụng (Viện Khoa học và Công nghệ
Việt Nam) tập trung vào các tính toán công trình biển (sóng ngẫu nhiên), động
đất, tương tác khí động của vật thể bay, và độ tin cậy của công trình (Nguyen
D., Nguyen X Hung, Nguyen D Tien : [15],[16],[17],[18],[19]). Ngoài nước,
các nghiên cứu về lý thuyết phát triển rất mạnh với rất nhiều trường phái khác
nhau: Luwig Arnold ([14]), Christian Soize([3]), Yu.A.Rozanov ([24]), N.
Bouleau ([20]) …, nhưng các mô phỏng số cũng chỉ phát triển trong khoảng 20
năm trở lại (đồng hành với sự phát triển của kỹ thuật máy tính): N. Bouleau
([20]), F. Hermann, Claus Lange([15]), M. Shinozuka([21]), Gupta I.D
([7],[8],[9],[10]) …
Luận văn chỉ tập trung ở phần mô phỏng số quá trình ngẫu nhiên và ứng
dụng giải số các phương trình vi phân ngẫu nhiên ở hầu hết các dạng thường
gặp nhất trong các bài toán thực tế. Đó chính là việc xử lý số, làm đầu vào
(input) cho các hệ thống có đặc trưng ngẫu nhiên. (Tuy nhiên, luận văn cũng
có trình bày các vấn đề toán học và kỹ thuật liên quan nhằm làm sáng tỏ - từ
lúc nào các quá trình ngẫu nhiên phải được mô phỏng số). Từ đó ứng dụng
trong một số bài toán thực tế: tính toán và phân tích dữ liệu động đất, các tương
tác biển-công trình biển. Phương pháp mô phỏng số quá trình ngẫu nhiên và
2

trường ngẫu nhiên đã được một số tác giả ([15] - [17]) sử dụng khi tính toán độ
tin cậy của các cơ cấu máy và hệ cơ học. Ý tưởng chính của phương pháp này
là mô phỏng lại các thể hiện của quá trình ngẫu nhiên khi biết hàm phổ (hoặc
hàm tương quan) của nó, mà đặc trưng xác suất của các thể hiện này thoả mãn
các đặc trưng của quá trình. Phương pháp này sử dụng khai triển chuỗi Fourier,
với hệ số là các số ngẫu nhiên, thuận tiện cho các tính toán số trên máy tính.
Tuy số phép tính lớn, song có thể chọn số thể hiện là lũy thừa của 2 để áp dụng
phép biến đổi Fourier nhanh (FFT), nhằm làm giảm rất lớn số phép tính.
Phương pháp tỏ ra rất hiệu quả khi giải quyết các vấn đề về mặt tính toán số
của một số bài toán dao động ngẫu nhiên của hệ cơ học, tuyến tính và phi tuyến
trên máy. Ở đây, chúng tôi sử dụng phương pháp mô phỏng số quá trình ngẫu
nhiên thông qua hàm phổ (hoặc hàm tương quan). Tuy nhiên, đây cũng chỉ là
một cách mô phỏng. Một số tác giả khác như Yu.A.Rozanov[24], Paul Kreé và
Christian Soize [3] … cũng có cách mô phỏng khác, nặng về lý thuyết, không
tiện cho việc áp dụng cho các tính toán trên máy tính.
3



CHƯƠNG I
CƠ SỞ TOÁN HỌC
Chương này nhắc lại các cơ sở toán học cho việc nghiên cứu một quá
trình ngẫu nhiên và trường ngẫu nhiên, làm cơ sở cho các tính toán giải tích và
các mô phỏng số (có thể xem chi tiết trong Yu.A.Rozanov[24], L. Arnold [14])
1.1 Phép biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier của hàm h(t) được định nghĩa:
( ) ( )
j t
H h t e dt

w
w
¥
-
-¥
=
ò
(1.1)
nếu như tích phân này tồn tại với mọi
w
,
( )
H
w
là một hàm giá trị phức của
biến thực
w
. Một điều kiện đủ để
( )
H
w
tồn tại là hàm h(t) khả tích tuyệt đối,
i.e.:
( )h t dt
¥
-¥
< ¥
ò

(1.2)

Phép biến đổi ngược, mỗi khi h(t) là hàm liên tục, được cho bởi:
1
( ) ( )
2
j t
H e d h t
w
w w
p
¥
-¥
=
ò
(1.3)
Tại điểm mất liên tục, tích phân trên tiến tới giá trị trung bình:

( ) ( )
2
h t h t
- +
+
(1.4)
Tuy vậy, điều kiện (1.2) là rất hạn chế đối với nhiều hàm được quan tâm
trong thực tế. Sử dụng lý thuyết phân bố (hoặc xét tích phân theo nghĩa giá trị
4


chính) thì có thể mở rộng sự tồn tại của phép biến đổi Fourier trên cho các hàm
dạng
sin

at
at
chẳng hạn, hoặc các hàm tuần hoàn, hằng, các hàm xung Dirac, …
1.1.1 Định lý về đạo hàm
Nếu h(t) và
( )
H
w
là cặp biến đổi Fourier thì
( )
( ) ( )
n
n
n
d h t
j H
dt
w w
«
cũng là cặp biến đổi Fourier (1.5)
1.1.2 Định lý về chuyển dịch ngang
Nếu h(t) và
( )
H
w
là một cặp biến đổi Fourier thì:
0
0
( ) ( )
j t

h t t H e
w
w
-
- ¬¾®
(1.6)
0
0
( ) ( )
j t
h t e H
w
w w
¬¾® -
cũng là cặp biến đổi Fourier
1.1.3 Định lý Parseval
Định lý Parseval phát biểu sự đồng nhất trong phân bố năng lượng giữa
miền tần số và miền thời gian:

2
2
1
( ) ( )
2
E h t dt H d
w w
p
¥ ¥
-¥ -¥
= =

ò ò
(1.7)
Hàm
2
( )
2
H
w
p
được gọi là phổ năng lượng, nó mô tả mật độ năng lượng
trong lân cận của tần số
w
.
1.1.4 Sự đối xứng, đối ngẫu và thay đổi thang đo
Nếu h(t) và
( )
H
w
là một cặp biến đổi Fourier, thì:
( ) 2 ( )
H t h
p w
¬¾® -
(1.8)
1
( ) ( )
h at H
a a
w
¬¾®

cũng là cặp biến đổi Fourier. (1.9)
5



1.2 Tích chập và tương quan
1.2.1 Tích chập
( ) ( )* ( ) ( ) ( )
y t x t h t x h t d
t t t
¥
-¥
= = -
ò
(1.10)

( ) ( )
h x t d
t t t
¥
-¥
= -
ò

Nếu
( )
X
w
và
( )

H
w
là các biến đổi Fourier của
( )
x t
và
( )
h t
thì biến đổi
Fourier của y(t) là:
( ) ( ) ( )
Y X H
w w w
=

nghĩa là: “Tích chập trong miền thời gian tương ứng với tích trong miền tần
số”, ngược lại cũng chứng minh được rằng: “Tích chập trong miền tần số cũng
tương ứng với tích trong miền thời gian”

1
( ) ( ) ( ) ( )
2
x t y t X Y d
n w n n
p
¥
-¥
« -
ò
(1.11)

1.2.2 Tích phân tương quan
( ) ( ) ( )
z t x h t d
t t t
¥
-¥
= +
ò
(1.12)
*
( ) ( ) ( )
Z X H
w w w
=
(1.13)
1.3 Quá trình ngẫu nhiên
1.3.1 Mở đầu
Xét một thí nghiệm ngẫu nhiên mà kết quả là một hàm của thời gian t:
( , )
X t
w
hay là hàm của các tham số khác, khi đó ta có một quá trình ngẫu
nhiên. Nói cách khác, một quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên
6


được tham số hóa. Khi có nhiều tham số (chẳng hạn các tọa độ không gian), ta
nói đó là một trường ngẫu nhiên.
Quá trình ngẫu nhiên
( , )

X t
w
có thể biểu diễn theo 4 dạng khác nhau:
+ Một họ các hàm theo thời gian (t và
w
là biến)
+ Một hàm của thời gian (t biến đổi,
w
cố định)
+ Một biến ngẫu nhiên (t cố định,
w
biến đổi)
+ Một con số (t và
w
đều cố định)
v Nếu tham số là không liên tục, một quá trình ngẫu nhiên còn được gọi là
một dãy ngẫu nhiên (random sequence).
v Một quá trình ngẫu nhiên gọi là rời rạc nếu nó chỉ nhận các giá trị rời rạc.
v Quá trình liên tục nếu t và X là liên tục.
v Quá trình rời rạc nếu t liên tục và X rời rạc.
v Dãy liên tục nếu X là liên tục, t là rời rạc.
v Dãy rời rạc của t và X đều là rời rạc.
1.3.2 Đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên
1.3.2.1 Hàm mật độ xác suất
Để đặc trưng cho một quá trình ngẫu nhiên ta dùng các hàm mật độ xác
suất với các cấp tăng dần.
Hàm mật độ cấp một
( , )
X
p x t

cho ta cấu trúc xác suất của biến ngẫu
nhiên X(t) với mỗi giá trị cố định t.
Lưu ý: Nó không phản ánh sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các giá trị của
hàm ngẫu nhiên tại các giá trị t khác.
Để đặc trưng được điều này, ta cần mật độ xác suất các cấp cao hơn:
1 1 2 2
( , ; , )
X
p x t x t

7


………
1 1
( , ; ; , )
X n n
p x t x t

Chúng đều là các hàm không âm, đối xứng với các biến của chúng và
thỏa điều kiện chuẩn hóa:

1 1 1
( , ; ; , ) 1
X n n n
p x t x t dx dx
¥ ¥
-¥ -¥
=
ò ò

(1.14)
Ý nghĩa của hàm mật độ cấp hai được mô tả như sau:
1 1 2 2 1 2
( , ; , )
X
p x t x t dx dx

biểu diễn xác suất để giá trị của quá trình thuộc khoảng
1 1 1
( , ]
x x dx
+
tại t
1
và
2 2 2
( , ]
x x dx
+
tại t
2
.
Lưu ý rằng: Các mật độ xác suất cấp thấp hơn bao giờ cũng tính được từ
cấp cao hơn bằng cách tích phân riêng phần:

1 1 1 1 1
( , ; ; , ) ( , ; ; , )
X n n X n k n k n n k
p x t x t p x t x t dx dx
¥ ¥

+ + + +
-¥ -¥
=
ò ò
(1.15)
Để đơn giản cách viết đôi khi người ta thường ký hiệu một quá trình ngẫu
nhiên là X(t) thay cho
( , )
X t
w
(giản ước
w
).
Khi có hai quá trình ngẫu nhiên X(t) và Y(t), sự phụ thuộc lẫn nhau giữa
chúng được đặc trưng bởi các hàm mật độ đồng thời theo các cấp tăng dần:
( , ; , )
XY
p x t y s dxdy

biểu diễn xác suất để X(t) thuộc
( , ]
x x dx
+
tại thời điểm t và Y(t) thuộc
( , ]
y y dy
+
tại thời điểm s. Các cấp cao hơn được định nghĩa tương tự. Như
vậy: Nói chung, các hàm mật độ xác suất mọi cấp là cần thiết để đặc trưng
trọn vẹn cho một quá trình ngẫu nhiên.

Có hai trường hợp riêng quan trọng:
8


* Một quá trình ngẫu nhiên thuần túy: Là quá trình mà các giá trị của nó
ứng với các thời điểm khác nhau là độc lập về mặt thống kê. Quá trình như vậy
được đặc trưng hoàn toàn bởi hàm mật độ bậc nhất. Các mật độ bậc cao hơn
đều tính được qua bậc nhất:

1 1 2 2 1 1 2 2
( , ; , ) ( , ) ( , )
X X X
p x t x t p x t p x t
=
(1.16)
* Một quá trình Markov: Được xác định hoàn toàn bởi hàm mật độ xác
suất bậc hai. Nó còn được gọi là quá trình với bộ nhớ một bước (process with
one step memory), quá trình Markov có các tính chất rất đẹp và ứng dụng nhiều
trong thực tế.
1.3.2.2 Hàm đặc trưng
Hàm đặc trưng là biến đổi Fourier của hàm mật độ xác suất, nó chứa các
thông tin tương tự như hàm mật độ và có thể đặc trưng cho một quá trình ngẫu
nhiên.
1 1
( )
1 1
( , ) [ ]
j X t
X
M t E e

q
q
=
(1.17)
1 1
( ) ( )
1 1
( , ; ; , ) [ ]
n n
j X t j X t
X n n
M t t E e
q q
q q
+ +
=
(1.18)
Tương tự hàm mật độ xác suất, hàm đặc trưng cấp n lặp lại tất cả các
thông tin chứa đựng trong các hàm đặc trưng ở cấp thấp hơn, thực vậy, từ định
nghĩa ta có

1 1 1 1 1
( , ; ; , ) ( , ; ; , ;0, ; ;0, )
X n n X n n n n k
M t t M t t t t
q q q q
+ +
=
(1.19)
9

1.3.2.3 Các hàm Moment
Các hàm moment có thể dùng để đặc trưng cho một quá trình ngẫu nhiên
(cũng lưu ý rằng: các hàm đặc trưng cũng có thể khai triển theo các moment)
đồng thời:
[ ( )] ( , )
X
E X t xp x t dx
=
ò
(1.20)

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
[ ( ) ( )] ( , ; , )
X
E X t X t x x p x t x t dx dx
=
òò
(1.21)

Các hàm moment cấp một và hai đặc biệt quan trọng, lần lượt được gọi là
hàm trung bình (mean function) và hàm tự tương quan (autocorrelation
function), được ký hiệu riêng:
1 2 1 2
( ) [ ( )]
( , ) [ ( ) ( )]
X
XX

t E X t
t t E X t X t
m
=
F =
(1.22)
Hàm
2
( , ) [ ( )]
XX
t t E X t
F =
là giá trị bình phương trung bình tại t.
Nói chung, ta cần tương quan mọi cấp để đặc trưng cho 1 quá trình ngẫu
nhiên. Riêng quá trình ngẫu nhiên Gauss, các hàm trung bình và tự tương quan
là đủ để đặc trưng nó.
Với hai quá trình ngẫu nhiên, ta định nghĩa hàm tương quan chéo (cross
correlation):
1 2 1 2
( , ) [ ( ) ( )]
XY
t t E X t Y t
F =
(1.23)
1.3.2.4 Hàm cumulant
Khai triển chuỗi logarit của hàm đặc trưng đưa đến các hàm cumulant,
chúng cũng đóng vai trò đặc trưng được cho một quá trình ngẫu nhiên.
10

Lưu ý: Hàm cumulant cấp n có thể khai triển theo các moment đến cấp n
(và ngược lại), nhưng khác với các moment, các hàm cumulant cấp n không
chứa đựng các thông tin đã có trong các cumulant cấp thấp hơn.
Cumulant cấp hai được gọi là hàm tự hiệp phương sai (autocovariance
function)

1 2
1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )
( , ) [ ( ) ( )] ( , )
XX XX X t X t
t t X t X t t t
k k m m
= =F -
(1.24)
nếu cho
1 2
t t t
= =
ta nhận được hàm phương sai:
2
( , ) ( )
XX X
t t t
k s
=
(1.25)
Với hai quá trình ngẫu nhiên, ta định nghĩa hàm hiệp phương sai chéo
(cross – covariance function):
1 2
1 2 1 2 1 ( ) 2 ( )

( , ) [ ( ) ( )] {[ ( ) ][ ( ) ]}
XY X t Y t
t t X t Y t E X t Y t
k k m m
= = - -


1 2
1 2 ( ) ( )
( , )
XY X t Y t
t t
m m
= F -
(1.26)
Ta có hàm hệ số tương quan:
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
( , )
( , )
( ) ( )
( , )
( , )
( ) ( )
XX
XX

X X
XY
XY
X Y
t t
t t
t t
t t
t t
t t
k
r
s s
k
r
s s
=
=
(1.27)
Từ định nghĩa trên:
( , ) 1
XX
t t
r
=
, theo bất đẳng thức Schwarz ta có:
1 2
1 ( , ) 1
XY
t t

r
- £ £

1.3.2.5 Phiếm hàm đặc trưng
Với một quá trình liên tục, phiếm hàm đặc trưng:
[ ( )] {exp ( ( ) ( ) )}
X
T
M t E j t X t dt
q q
=
ò
(1.28)
Phiếm hàm này có thể xem như là giới hạn của hàm đặc trưng khi t
1,
…, t
n

gần nhau vô hạn.
11


Phiếm hàm đặc trưng có thể đặc trưng hoàn toàn cho quá trình ngẫu nhiên
là do một hàm đặc trưng cấp n bất kỳ có thể suy dẫn từ nó bằng cách chọn:
1
( ) ( )
n
i i
i
t t t

q q d
=
= -
å
(1.29)
phiếm hàm đặc trưng có thể khai triển (Yu.A.Rozanov [1]):

1 1 1
1
( ( )) 1 [ ( ) ( )] ( ) ( )
!
n
X n n n
n
j
M t E X t X t t t dt dt
n
q q q
¥
=
= +
å
ò ò
(1.30)
hay
1 1 1
1
( ( )) exp{1 [ ( ) ( )] ( ) ( ) }
!
n

X n n n n
n
j
M t X t X t t t dt dt
n
q k q q
¥
=
= +
å
ò ò
(1.31)
1.4 Đạo hàm và tích phân ngẫu nhiên
1.4.1 Đạo hàm
1.4.1.1 Hội tụ
v Trong trường hợp tiền định (xác định): Dãy
{ }
n
x
hội tụ về x được định
nghĩa là nếu
0 , :
n n n
e e
e
" > $ " >
ta có
n
x x
e

- <

Xét một dãy ngẫu nhiên. Với mỗi thí nghiệm ngẫu nhiên
w
ÎW
, ta xét
dãy các kết quả
( )
n
X
w
.
Ta định nghĩa hội tụ theo nghĩa trung bình bình phương (mean square):
v
n
X
hội tụ về X nếu:
2
0
n
E X X
é ù
- ®
ë û
khi
n
®¥
(1.32)
v Bất đẳng thức Chebyshev
Xác suất để sự sai lệch

n
X X
-
vượt quá
e
có thể làm bé tùy ý khi n
tăng.

2
1
( )
X X
P X h
h
m s
- ³ £
(1.33)
12


Bất đẳng thức Chebyshev có thể áp dụng cho mọi phân bố xác suất.
1.4.1.2 Liên tục
v Quá trình X(t) là liên tục theo nghĩa trung bình bình phương tại t nếu:
[
]
2
( ( ) ( ) ) 0
E X t X t
e
+ - ®

khi
0
e
®
(1.34)
Do
[
]
2
( ( ) ( ) ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
XX XX XX XX
E X t X t t t t t t t t t
e e e e e
+ - =F + + -F + -F + +F

nên X(t) liên tục theo nghĩa trung bình bình phương nếu
1 2
( , )
XX
t t
F
liên tục theo
cả hai biến
1
t
và
2
t
tại t.
v Nếu quá trình là dừng

[
]
2
( ( ) ( ) ) 2[ (0) ( )]
XX XX
E X t X t R R
e e
+ - = -
, khi
đó X(t) liên tục theo nghĩa trung bình bình phương nếu hàm tự tương quan liên
tục tại gốc.
Với biến ngẫu nhiên Z bất kỳ, ta có:

2 2 2 2
[ ] [ ] [ ]
Z
E Z E Z E Z
s
= + ³

(1.35)
nên

2 2
([ ( ) ( )] ) ([ ( ) ( )])
E X t X t E X t X t
e e
+ - ³ + -
(1.36)
Như vậy liên tục theo nghĩa trung bình bình phương suy ra:

([ ( ) ( )]) 0
E X t X t
e
+ - ®
khi
0
e
®

hay
0
lim [ ( )] [ ( )]
E X t E X t
e
e
®
+ =
. Ta có thể thay vị trí toán tử lim và toán tử kỳ
vọng E nếu quá trình ngẫu nhiên là liên tục.
1.4.1.3 Đạo hàm
v Đạo hàm của X(t) được định nghĩa:
.
0
( ) ( )
( ) lim
X t X t
X t
e
e

e
®
+ -
=
(1.37)
13


- Nếu định nghĩa này tồn tại với mọi thể hiện (mẫu) của quá trình: ta có ý
nghĩa quen dùng của đạo hàm (của các hàm tất định).
- Nếu tồn tại theo nghĩa trung bình bình phương, ta nói quá trình ngẫu
nhiên có đạo hàm theo nghĩa này:
Một quá trình ngẫu nhiên có đạo hàm theo nghĩa trung bình bình phương
nếu ta tìm được một quá trình, ký hiệu là
.
( )
X t
sao cho:
.
2
0
( ) ( )
lim ([ ( ) ] ) 0
X t X t
E X t
e
e
e
®
+ -

- =
(1.38)
Người ta chỉ ra sự tồn tại của
.
( )
X t
nếu
2
1 2
1 2
( , )
XX
t t
t t
¶ F
¶ ¶
tồn tại tại
1 2
t t
=
, như
vậy:
Một quá trình dừng là khả vi theo nghĩa trung bình bình phương nếu hàm
tự tương quan
( )
XX
R
t
có đạo hàm cấp 2 tại
0

t
=

Dưới điều kiện tồn tại đạo hàm, ta có:

.
0
0
( ) ( ) [ ( )] [ ( )]
[ ( )] [lim ] lim
X t X t E X t E X t
E X t E
e
e
e e
e e
®
®
+ - + -
= =
(1.39)
hay
.
[ ( )] [ ( )]
d
E X t E X t
dt
=
(1.40)
Như vậy: Ta có thể thay đổi vị trí toán tử đạo hàm và toán tử kỳ vọng nếu hàm

khả vi theo nghĩa trung bình bình phương. Ngoài ra, dễ dàng nhận được kết quả
sau:

.
.
( , ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( , )
XX
X X
t s E X t X s E X t X s t s
t t
¶ ¶
F = = = F
¶ ¶
(1.41)

. .
2
. . .
( , ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( , )
XX
X X
t s E X t X s E X t X s t s
t s s
¶ ¶
F = = = F
¶ ¶ ¶
(1.42)
14

Đối với quá trình dừng (sẽ được giới thiệu ở phần tiếp theo) các hệ thức
trên trở thành:
.
. .
( ) ' ( )
( ) '' ( )
XX
X X
XX
X X
R R
R R
t t
t t
=
= -
(1.43)
Vì
( )
XX
R
t
là một hàm chẵn của
t
, nên nếu quá trình là khả vi thì:
(0) 0
t
X
X
R

=
&
(1.44)
(Ta nói: quá trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng, khả vi thì trực giao với đạo
hàm cấp một của nó tại cùng một t).
Nếu quá trình không khả vi,
' ( )
XX
R
t
có thể mất liên tục tại
0
t
=
, còn
'' ( )
XX
R
t
không tồn tại tại điểm này.
1.4.2 Tích phân ngẫu nhiên
Xét tích phân ngẫu nhiên:
( )
b
a
Y X t dt
=
ò
(1.45)
- Nếu tích phân này tồn tại theo mọi thể hiện mẫu

( , )
X t
w
thì nó xác định
một biến ngẫu nhiên biểu diễn diện tích ngẫu nhiên giới hạn bởi đường cong
( , )
X t
w
trong khoảng [a, b].
- Tích phân trên tồn tại theo nghĩa trung bình bình phương nếu:
2
1
lim {[ ( ) ] } 0
n
i i
n
i
E Y X t t
®¥
=
- D =
å
(1.46)
Có thể chứng minh được rằng:
Một điều cần và đủ để X(t) là khả tích theo nghĩa trung bình bình phương
là hàm tự tương quan
1 2
( , )
XX
t t

F
hai lần khả tích trên [a,b].
15


Khi đó, ta có thể thay đổi vị trí toán tử tích phân
ò
và toán tử kỳ vọng E,
và giá trị trung bình bình phương của tích phân:
2
1 2 1 2
[ ] [ ( ) ( )]
b b
a a
E Y E X t X t dt dt
=
òò
(1.47)
hay
2
1 2 1 2
[ ] ( , )
b b
XX
a a
E Y t t dt dt
= F
òò
(1.48)
Một tổng quát quan trọng là:

( ) ( ) ( , )
b
a
Y X t h t
n n
=
ò
(1.49)
trong đó
( , )
h t
n
là một hàm phức xác định của hai biến t và
n
. Tích phân này
bao hàm cả tích Fourier và tích chập:
- Với biến đổi Fourier:
( , )
j t
h t e
n
n
-
=

- Với tích chập:
( , ) ( )
h t h t
n n

= -
còn mang ý nghĩa là phản ứng của hệ.
- Ở đây
( )
Y
n
bây giờ là một quá trình ngẫu nhiên với tham số
n
. Hàm
trung bình và tự tương quan của
( )
Y
n
là:

( ) ( ) ( , )
b
Y X
a
t h t dt
m n m n
=
ò
(1.50)

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
( , ) [ ( ) ( )] ( , ) ( , ) ( , )
b b
XX XX
a a

E Y Y t t h t h t dt dt
n n n n n n
F = = F
òò
(1.51)
Tích phân tồn tại theo nghĩa trung bình bình phương nếu và chỉ nếu tích
phân (1.51) bị chặn với mọi
1 2
,
n n
.
1.5 Quá trình ngẫu nhiên dừng
Một quá trình ngẫu nhiên là dừng theo nghĩa hạn chế nếu cấu trúc xác
suất của nó là độc lập với việc dịch chuyển gốc thời gian:
16


1 1 2 2 1 1 2 2
( , ; , ) ( , ; , )
X X
p x t x t p x t x t
a a
= + +

………
1 1 1 1
( , ; ; , ) ( , ; ; , )
X n n X n n
p x t x t p x t x t
a a

= + +

Như vậy, ta thấy quá trình như vậy có trung bình là hằng số và hàm tự
tương quan chỉ phụ thuộc vào sự sai biệt thời gian:
( , )
X X
xp x t dx const
m
¥
-¥
= =
ò


1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
( , ) ( , , )
XX X
t t x x p x x t t dx dx
¥ ¥
-¥ -¥
F = -
ò ò


2 1
( ) ( )
XX XX
R t t R
t
= - =

(1.52)

1 2 1 2 1 2
( , ) ( , ) ( ) ( )
XX XX X X
t t t t t t
k m m
= F -


2
2 1
( ) ( ) ( )
XX X XX XX
R t t
t m t
= - = G - = G

Trong đó:

2 1 1 2
( ) ( ) ( , ) [ ( ) ( )]
XX XX XX
R R t t R t t E x t x t
t t
= - = = +

được gọi là hàm tự tương quan hay hàm hiệp phương sai.
Tương tự cho hàm tương quan chéo của hai quá trình ngẫu nhiên khác
nhau x(t) và y(t) được định nghĩa:

1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2
( , ) [ ( ) ( )] ( , ; , )
XY
R t t E x t y t x y p x y t t dx dy
¥ ¥
-¥ -¥
= =
ò ò
(1.53)

1 2 1 2
( ) ( ) ( , ) [ ( ) ( )]
XY XY XY
R R t t R t t E x t y t
t t
= - = = +
(1.54)
với
2 1
t t
t
= -

1.5.1 Tính chất của hàm tự tương quan
17


Cho đến nay, ta chỉ xét quá trình ngẫu nhiên thực, với quá trình phức,
hàm tự tương quan được định nghĩa:

1 2 1 2
( , ) [ ( ) ( )]
X X
t t E X t X t
F =
(1.55)
1 2 1 2
( , ) [ ( ) ( )]
XY
t t E X t Y t
F =
(1.56)
(định nghĩa này trùng với quá trình thực)
1.5.1.1 Đối xứng
Từ định nghĩa, ta có:
1 2 2 1
( , ) ( , )
XX XX
t t t t
F =F
(1.57)
1 2 2 1
( , ) ( , )
XY YX
t t t t
F =F
(1.58)
Với quá trình dừng thực:
( ) ( )
( ) ( )

XX XX
XY YX
R R
R R
t t
t t
= -
= -
(1.59)
Như vậy, hàm tự tương quan của một quá trình ngẫu nhiên thực dừng
theo nghĩa rộng là một số chẵn của
t
(độ sai biệt thời gian).
1.5.1.2 Bất đẳng thức
Với quá trình thực dừng:
(0) (0) 2 ( )
XX YY XY
R R R
t
+ ³
(1.60)
từ bất đẳng thức Schwarz, ta có:

(0) (0) ( )
XX YY XY
R R R
t
³
(1.61)

(0) ( )
XX XX
R R
t
³
(1.62)
Như vậy ta thấy rằng hàm tự tương quan của một quá trình dừng có cực
đại tại
0
t
=
.
18


1.5.2 Trung bình theo thời gian
Xét một quá trình ngẫu nhiên dừng X(t). Trung bình theo thời gian của nó
được định nghĩa bởi tích phân:
1
( )
2
T
T
S X t dt
T
-
=
ò
(1.63)
S là một biến ngẫu nhiên với trung bình và phương sai:

2
1 2 1 2
2
[ ]
1
( )
4
X
T T
S XX
T T
E X
t t dt dt
T
m
s
- -
=
= G -
ò ò
(1.64)
Sau một số tính toán, ta có:
2
2 2
0
1
(1 )( ( ) )
2
T
S XX X

R d
T T
t
s t m t
= - -
ò
(1.65)
Lưu ý: Từ (1.65) ta thấy nếu tích phân bị chặn thì
0
S
s
®
khi
T
®¥
.
Điều này liên quan đến khái niệm ergodic.
1.5.3 Tính chất (giả thiết) Ergodic
Xét một quá trình ngẫu nhiên dừng thực X(t). Tính chất Ergodic liên quan
đến việc xác định các đặc trưng thống kê của X(t) từ một thể hiện riêng lẻ của
quá trình. Tính chất (hay giả thiết) ergodic cho phép ta thay trung bình của cả
một tập hợp bằng trung bình theo thời gian trên một thể hiện mẫu.
Dạng tổng quát của giả thiết ergodic liên quan đến tất cả cấu trúc thống kê
của quá trình, tuy nhiên ở đây chỉ hạn chế các liên quan đến hàm trung bình và hàm
tương quan.
Xét
( )
x t
%
là một thể hiện mẫu của quá trình dừng X(t) (như vậy

( )
x t
%
là một
hàm xác định của t). Xét giới hạn:
19


ˆ
lim ( )
T
T
T
x t dt
m
®¥
-
=
ò
%

1
ˆ
( ) lim ( ) ( )
2
T
T
T
R x t x t dt
T

t t
-
®¥
= +
ò
% %
(chính là tích tương
quan)
Giả thiết ergodic sẽ cho ta:
ˆ
[ ( )]
X
E X t
m m
= =
và

ˆ
( ) [ ( ) ( )]
XX
R R E X t X t
t t
= = +
(1.66)
Dĩ nhiên
ˆ
m
và
ˆ
( )

R
t
là các thể hiện của biến ngẫu nhiên
m
,
( )
R
t
.
Theo bất đẳng thức Chebyshev, nếu một biến ngẫu nhiên có phương sai
bằng 0, nó sẽ bằng với giá trị trung bình theo xác suất 1. Vì vậy quan hệ trên sẽ
đúng nếu:

[ ]
X
E
m m
=
và
2
0
m
s
=

và
[ ( )] ( )
XX
E R R
t t

=
và
2
0
m
s
=

Như vậy, một quá trình ngẫu nhiên dừng là ergodic đối với trung bình
nếu phương sai của trung bình theo thời gian triệt tiêu khi
T
®¥
.
Liên hệ với phương trình (1.65) ta thấy tính chất ergodic theo trung bình
được bảo đảm nếu tích phân đó bị chặn.
Tương tự ta có:

1
[ ( )] [ ( ) ( )] ( )
2
T
XX
T
E R E X t X t dt R
T
t t t
-
= + =
ò

dưới điều kiện
2
0
R
s
=
.
Ta cũng có thể phát triển tương tự như giá trị trung bình liên quan đến các
moment cấp cao hơn của X(t).