Xử lý các quá trình ngẫu nhiên

Chương 6
XỬ LÝ CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

§6.1. MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT
6.1.1. Vấn đề nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên trong miền tần số
(☼)

Trong trường hợp tất định, biến đổi Fourier của tín hiệu cho ta biết tần số
có mặt trong tín hiệu. Ví dụ, với các tín hiệu

( )
( )
10
st cos t
ω
= ,

() ()
2
1
s t rect t
0
⎧
==
⎨
⎩


86
các biến đổi Fourier tương ứng là:

( )
( ) ( )
100
S
⎡ ⎤
ω=πδω−ω +δω−ω
⎣ ⎦
,
()
( )
2
sin / 2
SSa
/2
2
1
ω
⎧
ω
⎪
⎛⎞
ω= =
ω
⎨
⎜⎟
⎝⎠
⎪
⎩

Các hàm
( )
1
S , ω
( )
2
S ω chẵn, đồ thị của chúng ứng với thể hiện ở
Hình 6.1.
0ω>



Hình 6.1.
Tần số của hai tín hiệu
Với trường hợp thứ nhất, tín hiệu có một tần số
0
ω , với trường hợp thứ hai,
tín hiệu có vô hạn tần số.
Bên cạnh việc nghiên cứu tín hiệu trong miền thời gian (theo biến t), việc
nghiên cứu tín hiệu trong miền tần số - tức là nghiên cứu phổ của tín hiệu - là
mảng nghiên cứu hết sức hiệu quả để xử lý tín hiệu tất định. Về vấn đề phổ (biến
đổi Fuorier của tín hiệu tất định), chúng ta có thể tham kh
ảo ở [5], [9], [7]. Khi
tín hiệu là ngẫu nhiên, từ chỗ mỗi quỹ đạo
( )
Xt, ( Sζζ∈ cố định) của một
QTNN là một tín hiệu tất định, một nghiên cứu hứa hẹn là biểu diễn các quỹ đạo
này trên miền tần số. Như vậy, một cách tự nhiên, chúng ta xét biến đổi Fourier

của quỹ đạo X(t, )ζ

S
1
(ω)

2
S( )ω
ω
1
π

0

ω
0

ω
với
t1/2,≤


t1/2>

0ω ≠
với
với
0,ω =


() ()
jt

X, Xt,e dt
∞
−ω
−∞
ωζ = ζ
∫
. (6.1.1)
Hàm phổ tính theo (6.1.1) xác định với từng quỹ đạo của quá trình, nó được
gọi là phổ biên độ. Thường thì X(t) là điện áp của một đoạn mạch nào đó với
kháng 1
Ω
nên nó cũng được gọi là phổ điện áp.
Tuy nhiên, hai nguyên nhân sau là những cản trở nặng nề mà hầu như
chúng ta không thể vượt qua:
Thứ nhất, đối với hầu hết các QTNN, với xác suất dương hoặc thậm chí
bằng 1, điều kiện hội tụ tuyệt đối của tích phân
()
Xt, dt
∞
−∞
ζ
∫

không thoả mãn. Từ đó, về mặt lý thuyết, dường như tích phân (6.1.1) không bao
giờ tồn tại.
Thứ hai, về mặt thực tiễn, gần như không bao giờ chúng ta biết hết các quỹ
đạo của QTNN đã cho, thậm chí là một quỹ đạo của QT Poisson hay QT Wiener.
Hơn nữa, dù quỹ đạo có thể biết được, nhiều khó khăn khác cũng không khắc
phục nổi.
Một trong những hướng xử lý v

ấn đề là nghiên cứu tích phân (6.1.1) như là
giới hạn theo bình phương trung bình giá trị chính của tích phân, đó là
, trong đó tích phân trên đoạn [-T;T] hiểu theo nghĩa bình
phương trung bình.
()
T
jt
T
T
lim X t e dt
−ω
→∞
−
∫
Biểu diễn phổ như thế của một QTNN cũng có nhiều kết quả quan trọng
(xem [3] phần II, [6],[8]). Tuy nhiên ở cuốn sách này chúng ta chưa có điều kiện
đề cập tới.
Từ bỏ ý định sử dụng phép biến đổi Fourier (6.1.1), bằng cách nghiên cứu
năng lượng của QTNN, người ta đi đến khái niệm hàm mật độ phổ công suấ
t.
Sau đây chúng ta dẫn ra một cách tiệm cận khái niệm này. Để đơn giản, trước hết
hãy xét vấn đề trên cho quá trình dừng.
Đối với một quỹ đạo bất kỳ
( )
{ }
Xt, ,tζ∈¡ , xét quỹ đạo chặt cụt

()
( )
[ ]

[]
T
Xt, khit T;T,
Xt,
0tT
⎧
ζ∈−
⎪
ζ=
⎨
∈−
⎪
⎩
;T.

Nói chung, chúng ta có thể giả thiết
()
T
i
T
Xt, dt
−
ζ <∞
∫
, i = 1,2 (ví dụ, với
QT có quỹ đạo liên tục hay bước nhảy).

87

Với Sζ∈ , năng lượng của quỹ đạo tất định

( )
{ }
Xt,ζ trên đoạn thời gian
là
[]
T;T−
()
T
2
T
Xt, dt
−
ζ
∫
. Từ đó, công suất trung bình của tín hiệu
( )
{ }
Xt,ζ trên
đoạn này là
() ()
T
22
TT
T
11
PXt,dtXt,
2T 2T
dt
∞
−−∞

=ζ= ζ
∫∫
.
Mặt khác, do
()
T
Xt, dt
+∞
−∞
ζ <∞
∫
nên có thể xác định được biến đổi Fourier
của
( )
{ }
T
Xt,ζ :
ℱ
T
[X (t, )]=ζ

() ()
T
jt jt
T
T
Xt,e dt Xt,e dt
∞
−ω −ω
−∞ −

ζ=ζ
∫∫
.
Sử dụng định lý Parseval chúng ta nhận được
()
() ()
2
TT
TT
jt js
TT
1
PXt,dt
2T
11
X t, e dt X s, e ds d .
22T
∞
−∞
∞
−ω ω
−∞ − −
=ζ
⎡⎤⎡
=
⎤
ζζω
⎢⎥⎢
π
⎣⎦⎣

∫
∫∫ ∫
⎥
⎦

Như vậy có thể coi

() () ()
TT
jt js
T
TT
1
X , X t, e dt X s, e ds
2T
−ω ω
−−
⎡⎤⎡
ωζ = ζ ζ
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
∫∫
⎤
⎥
⎦
(6.1.2)
là công suất trung bình của tín hiệu
( )
{ }
Xt,ζ trên đoạn

[ ]
T;T− trong dải tần
; nói cách khác, đó là hàm mật độ phổ vì khi lấy tích phân trên
[
;dωω+ ω
]
¡
rồi
nhân với
1/
chúng ta nhận được P
(2 )π
T
.
( )
T
X,ω ζ là BNN vì phụ thuộc vào ζ ∈Ω . Khi , nói chung BNN T →∞
( )
T
X ω không dần đến giới hạn xác định. Tuy nhiên chứng minh được, đối với
mọi tần số ω, phương sai của các BNN này bị chặn (xem, ví dụ, Левин Б.Р., Cơ
sở lý thuyết vô tuyến thống kê, M.Coв. Paдиo, 1975, mục 3.5.5). Từ đó, người ta
lấy giới hạn (nếu có) của mô men bậc một của mật độ (6.1.2)
( ) ( )
( )
T
X
T
SlimEX
→∞

ω= ω (6.1.3)
làm hàm mật độ phổ công suất (trung bình) của QT
( )
{ }
Xt .
Lấy kì vọng hai vế (6.1.2), bằng tính toán giống như ở Định lý 5.8 ta đi đến
() ()
2T
j
T
X
2T
EX , 1 R e d.
2T
−ωτ
−
⎛⎞τ
⎡⎤
ω
ζ =− τ
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
∫
τ

88

Khi , với những điều kiện nhất định, ví dụ
T →∞

( )
X
R τ
khả tích tuyệt đối trên
¡
:
()
X
Rd
∞
−∞
ττ<∞
∫
,

vế phải của (6.1.3) sẽ dần đến giới hạn

()
j
X
Red
∞
−ωτ
−∞
τ τ
∫

là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan
( )
X

R τ .
Đó là nội dung của định lý Khinchine - Wiener đưa ra vào năm 1930 (trước
đó - vào năm 1990 - định lý được chứng minh bởi Al. Einstein). Chúng ta có thể
tham khảo chứng minh trong [15], tr101.
Từ những phân tích trên, đối với những người quan tâm đến ứng dụng,
người ta đưa ra định nghĩa về hàm mật độ phổ công suất trình bày ở mục 6.1.2
dưới đây, gọi là định nghĩa theo phương pháp tương quan.
(☼)

6.1.2. Mật độ phổ công suất
Định nghĩa
. Ta gọi biến đổi Fourie của hàm tự tương quan
( )
X
R τ của QT
dừng
( )
{ }
Xt

() ()
j
XX
SRed
∞
− ωτ
−∞
ω =τ
∫
τ (6.1.4)

là hàm mật độ phổ công suất của QT này.
Theo tính chất của phép biến đổi Fourier,
( )
X
R τ là biến đổi Fourier ngược
của
( )
X
S ω
() ()
j
XX
1
RSe
2
d.
∞
ωτ
−∞
τ =ω
π
∫
ω (6.1.5)
Như vậy,
( )
X
R τ và
( )
X
S ω là cặp biến đổi Fourier:

( )
X
R τ ↔
( )
X
S ω .
Có nhiều tên gọi để chỉ hàm mật độ phổ công suất: mật độ phổ công suất,
mật độ phổ, phổ và có lẽ thông dụng và đơn giản nhất là phổ công suất, dù rằng
từ này không chính xác vì không liên quan đến đơn vị. Nếu đơn vị của X(t) là
Vol (trên đoạn 1 Ω) thì đơn vị của phổ công suất là Wat - giây (W - s) hay
Wat/Hz (W/Hz). Tuy nhiên, nếu quá trình có ý nghĩa thực tế khác thì thuật ngữ
và các
đơn vị đưa ra có thể không còn phù hợp, cần thay đổi. Dù sao, trong các
đoạn sau, chúng ta vẫn giữ các thuật ngữ này.
Lưu ý:
Tần số ω nói đến ở (6.1.4), (6.1.5) là tần số góc (đơn vị là Rad/s).
Nhiều tài liệu lại dùng tần số vòng f (đơn vị là Hz) để xác định mật độ phổ:
() ()
j2 f
XX
fRed.
∞
−πτ
−∞
= ττ
∫
S
(6.1.4')
Từ tính chất của phép biến đổi Fourier suy ra

89


90
df.
() ()
j2 f
XX
Rfe
∞
πτ
−∞
τ=
∫
S
(6.1.5')
Mối quan hệ giữa tần số góc và tần số vòng là:
2 f
ω =π.
Từ đó, mối quan hệ giữa "hai dạng mật độ" là:

()
() ( )
XX
XX
S,
2
fS2f
⎧
.

ω
⎛⎞
ω=
⎪⎜⎟
π
⎝⎠
⎨
⎪
= π
⎩
S
S
(6.1.6)
Nếu không sợ hiểu nhầm, người ta có thể viết
( )
X
S f thay cho
X
.
2
ω
⎛⎞
⎜⎟
π
⎝⎠
S
Với quy ước đó thì:

( ) ( )
XX

SSω= f.
Tính chất của phổ công suất thể hiện ở định lý sau.
Định lý 6.1.
Phổ công suất
( )
X
S ω của QTNN thực, dừng
( )
{ }
Xt,t∈ ¡ có
các tính chất sau đây:
i)
( )
X
S ω là hàm thực, không âm, chẵn của tần số ω∈¡ và có thể tính theo
công thức
( ) () ( ) () ( )
XX X
0
S Rcosd2Rcosd
∞∞
−∞
.ω =τωττ=τωτ
∫∫
τ (6.1.7)
ii)
( )
X
S ω xác định duy nhất hàm tự tương quan
( )

X
R τ :
() () ( ) () ( )
XX X
0
11
RScosdScos
2
∞∞
−∞
d.
τ =ωωτω=ωωτ
ππ
∫∫
ω (6.1.8)
iii) Công suất của QT
( )
{ }
Xt là hằng số, xác định theo:
() ()
()
()
()
()
22
XX
1
Pt EXt EX0 S d
2
∞

−∞
===ω
π
∫
ω. (6.1.9)
Chứng minh.
(i) Vì
( )
X
R τ là thực và chẵn suy ra:


() ( ) ( )
() ( ) () ( )
XX
XX
0
SR()cosjsind
R cos d 2 R cos d .
∞
−∞
∞∞
−∞
ω= τ⎡ ωτ− ωτ⎤τ
⎣⎦
=τωττ=τωτ
∫
∫∫
τ
Từ (6.1.2) và từ chỗ kỳ vọng của BNN không âm là không âm, ta suy ra

( )
X
Sω≥0. Tính chất thực và chẵn của
( )
X
S ω được suy từ (6.1.7).

(ii) Khẳng định suy ra từ tính chẵn của
( )
X
S ω và tính chất của phép biến
đổi Fourier:
( )
X
R τ là biến đổi Fourier ngược của
( )
X
S ω

() ()
() ( ) () ( )
j
XX
XX
0
1
RSed
2
11
Scosd Scos

2
∞
ωτ
−∞
∞∞
−∞
τ= ω τ
π
=ωωττ=ωωτ
ππ
∫
∫∫
d.
τ

(iii) Thay τ = 0 vào (6.1.8) ta nhận được (6.1.9). 
Ví dụ 6.1.

Sóng sin ngẫu nhiên
. Xét QTNN
( )
( )
0
Xt Asin t U, t= ω+ ∈¡
với A, ω
0
- hằng số, U có phân bố đều trên [0; 2π].
là dừng với
()
()

2
Xo
A
Rcos
2
τ =ωτ.
Từ Ví dụ 5.10 , ta thấy
( )
{ }
Xt
Từ bảng B-2 các phép biến đổi Fourier ở Phụ lục, ta có
()
()(
2
X0
A
S
2
π
)
0
⎡ ⎤
ω= δω−ω +δω+ω
⎣ ⎦
.
Hình 6.2 mô tả mật độ này. Các tính chất (i), (ii) dễ dàng được kiểm
nghiệm. Công suất của tín hiệu tính bởi:
()
222
XX

1AA
PSd
24
+∞
−∞
=ωω=+=
π
∫
A
.
42

X
S()ω
ω
0
−ω
0
ω
2
A
2
π






Hình 6.2.

Phổ công suất của sóng sin ngẫu nhiên

Ví dụ 6.2.

Tín hiệu điện báo ngẫu nhiên
. Đó là QTNN
Z(t) = AY(t)
trong đó
( )
{ }
Yt là QT điện báo nửa ngẫu nhiên xét đến ở Ví dụ 5.18, còn A là
BNN nhận giá trị ± 1 với xác suất 1/2 và độc lập với Y(t).
Chúng ta sẽ chứng tỏ
( )
{ }
Z t là QT dừng và tìm phổ công suất của nó.
Trước hết ta có:

( ) ( )
EZt E[A]ETt 0.⎡⎤= ⎡⎤=
⎣⎦ ⎣⎦


91

Bởi vì
2
E[A] 0 ; E[A ] 1= = , sử dụng kết quả ở Ví dụ 5.18 suy ra:

() ()()
()()
2
Z
22
R t ,t EAYt Yt
E[A ]E Y t Y t e , t, 0.
−λτ
⎡⎤
+τ = +τ
⎣⎦
=⎡+τ⎤=τ
⎣⎦
≥
Vậy
( )
{ }
Z t là QT dừng. Tính trực tiếp hoặc sử dụng bảng B-2 các phép
biến đổi Fourier ở Phụ lục B ta được

()
2
j
Z
22
4
Seed
4
∞

−λτ
−ωτ
−∞
λ
ω= τ =
λ+ω
∫
.
Giả sử cho trước hàm số
( )
S,ω ω∈¡. Với điều kiện nào
( )
S ω là phổ công
suất của một QT dừng
( )
{ }
X t nào đó? Định lý sau cho ta câu trả lời với trường
hợp thời gian liên tục.
Định lý 6.2.
Hàm
( )
S,ωω∈¡ là phổ công suất của một QT dừng, nhận giá
trị thực với công suất hữu hạn nào đó khi và chỉ khi
( )
S ω là hàm chẵn, thực,
không âm, khả tích trên
¡ .
Chứng minh.
Điều kiện cần suy từ tính chất phổ công suất (Định lý 6.1). Để
chứng minh điều kiện đủ, xét QTNN

( )
{ }
X t là dao động ngẫu nhiên
( ) ( )
Xt acosVt+U=
trong đó a là hằng số chọn sau; U là V là hai BNN độc lập; U có phân bố đều trên
[0;2π]; V có hàm mật độ f
V
(x) chọn sau.
Trước hết thấy
( )
{ }
X t là QT dừng. Thực vậy, từ chỗ U và V độc lập ta có:

( ) ( )
() ()
EXt aEcosVt+U
a
E[cos Vt ]E[cos (U)] E[sin Vt ]E[sin(U)] 0.
2
⎡⎤=⎡ ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
= ⎡−
⎣⎦
⎤=

Tương tự tính toán ta thấy
( )
( )
EcosV2t+ 2U 0.

⎡⎤
τ +=
⎣⎦
Từ đó:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
E X t+ X t a E cos V t+ +U cos Vt+U
⎡ ⎤
⎡τ ⎤= τ
⎣⎦
⎣ ⎦

() ( )
()
{}
2
a
E[cos V ] E[cos V 2t+ 2U ]
2
=τ+ τ+
()
2
a
E[cos V ].
2
= τ
là hàm chỉ phụ thuộc vào τ. Vậy QT
( )

{ }
Xt dừng với
() () () ( )
22
XV
aa
R E[cos V ] f cos d .
22
∞
−∞
τ= τ = ω ωτ ω
∫

Theo (6.1.8), chúng ta chọn mật độ f
V
(x) sao cho

() () ()
( )
2
VV
2
2S
a
fShayf
2
a
ω
ω= ω ω= .

92


93
1Vì ta chỉ cần chọn
()
V
fd
∞
−∞
ωω=
∫
()
a2Sd
∞
−∞
.= ωω
∫
Cuối cùng

()
( )
()
V
Sx
fx
Sxdx
∞
−∞
=

∫

là dạng chuẩn hoá của phổ công suất S(ω) (để trở thành mật độ xác suất). 
Lưu ý:
Nếu bỏ tính chẵn của
S( )ω
, ta được phổ công suất của QT dừng, nói
chung nhận giá trị phức (xem Định lý 6.
2
′
).
6.1.3. Mật độ phổ công suất chéo
Giống như trên, ta dùng định nghĩa sau đây về mật độ phổ công suất chéo.
Định nghĩa.
Ta gọi biến đổi Fourier của hàm tự tương quan chéo của hai
quá trình dừng đồng thời là mật độ phổ công suất chéo (gọi tắt:
phổ công suất chéo) của chúng:
{X(t)},{Y(t)}
() ()
j
XY XY
SRed
∞
− ωτ
−∞
ω =τ
∫
τ
d.
,

() ()
j
YX YX
SRe
+∞
−ωτ
−∞
ω =τ
∫
τ (6.1.10)
Như vậy, phổ công suất chéo là biến đổi Fourier của hàm tương quan chéo.
Từ tính chất của phép biến đổi Fourier ta được:
() ()
j
XY XY
1
RSe
2
d,
∞
ωτ
−∞
τ =ω
π
∫
ω
() ()
j
YX YX
1

RS
2
ed
∞
ωτ
−∞
τ =ω
π
∫
ω. (6.1.11)
Nói chung, phổ công suất chéo là hàm nhận giá trị phức, kể cả khi QT xuất
phát nhận giá trị thực. Ngoài ra, phổ công suất chéo còn có các
tính chất khác thể hiện ở định lý sau đây:
{X(t)},{Y(t)}
Định lý 6.3.
Đối với hai quá trình { thực, dừng đồng thời thì: X(t)},{Y(t)}
i)
( ) ( ) ( )
*
XY YX YX
SS Sω= −ω= ω. (6.1.12)
ii)
( )
XY
Re S⎡ω
⎣⎦
⎤và
( )
YX
Re S⎡ω

⎣
⎤
⎦
là những hàm chẵn của ω.
iii)
( )
XY
Im S⎡ω
⎣⎦
⎤và
( )
YX
Im S⎡ ω⎤
⎣ ⎦
là những hàm lẻ của ω.
iv) Nếu {X(t)} và {Y(t)} là hai QT trực giao thì:
( ) ( )
XY YX
SS0ω =ω=.
v) Nếu { là hai quá trình không tương quan thì X(t)},{Y(t)}

( ) ( ) ( )
XY YX X Y
SS2ω= ω=πµµδω. (6.1.13)

Định lý 6.4

(Phổ công suất của tổng hai quá trình)

Nếu { là hai quá trình thực, dừng đồng thời thì X(t)},{Y(t)}

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
XY X Y XY YX
SSSSS
+
ω= ω+ ω+ ω+ ω. (6.1.14)
Chứng minh.
Sử dụng tính chất của hàm tương quan
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
XY X Y XY YX
RRRRR
+
τ= τ+ τ+ τ+ τ
(công thức (5.2.18)) rồi dùng phép biến đổi Fourier cả hai vế. 
Định lý trên cho phép chúng ta tính phổ công suất của tổng hai QT thông
qua phổ công suất của từng quá trình và các phổ công suất chéo. Định lý cũng
được mở rộng sang trường hợp n quá trình.
Định lý 6.5.
Nếu
( ) ( )
{ }
1N
X t ,..., X t là các QT thực, dừng đồng thời thì:

() () ()
N
X...X X XX
1N i ij
i1 i j
SSS
++

=≠
ω =ω+
∑∑
ω. (6.1.15)
Ví dụ 6.3. Dạng trễ của tín hiệu ngẫu nhiên.
Cho QT dừng {X(t)} với phổ công suất
( )
X
S ω , {Y(t)} là dạng trễ của
{X(t)} xác định bởi Y(t) = X(t - d), d là hằng số dương cho trước. Khi đó
YX
(t) E(X(t d))µ= −=µ
;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
YX
Rt,s EYtYs EXtdXsd Rts=⎡ ⎤=⎡ − −⎤= −
⎣⎦⎣ ⎦
.
Vậy {Y(t)}là QT dừng với cùng hàm tự tương quan và do đó cùng phổ
công suất với {X(t)}:
( ) ( )
YX
SSω =ω.
Từ đây rút ra nhận xét:
Sự bằng nhau của hai hàm tự tương quan hoặc của hai phổ công suất của
hai QT dừng chưa thể suy ra các quỹ đạo trùng nhau.
Bây giờ ta tính hàm tương quan chéo.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
YX X

Rt,sEYtXsEXtdXsRtsd=⎡ ⎤=⎡ − ⎤= −−
⎣⎦⎣ ⎦
.
Hàm này chỉ phụ thuộc vào hiệu t - s, vậy
( ) ( )
{ }
Xt,Yt là dừng đồng thời,
( ) ( )
YX X
RRdτ =τ−.
Từ tính chất của phép biến đổi Fourier suy ra
( )
YX
S ω=
ℱ
( ) ( )
jd
XX
RdSe.
− ω
⎡τ−⎤=ω
⎣⎦

Rõ ràng ở đây phổ công suất chéo không nhận giá trị thực.
Ví dụ 6.4.
Xét hai QTNN
( )
( )
( )
( )

00
Xt sin t U; Yt cos t U=ω+ = ω+
trong đó tần số ω
0
cố định, U có phân bố đều trên [0;2π].

94

Như đã thấy (xem Ví dụ 5.10), mỗi QT
( )
{ }
Xt và
( )
{ }
Yt là dừng. Chúng
ta tính hàm tương quan chéo

( ) ( )
( )
( )
XY 0 0
Rt+,tEsin t UcostU
⎡⎤
τ= ω +τ+ ω+
⎣⎦

()
()
()
00

1
Esin sin 2t 2U
2
⎡⎤
= ωτ+ ω +τ+
⎣⎦
()
()
0XY
1
sin R .
2
= ωτ = τ
Đây là hàm chỉ phụ thuộc τ, vậy
( )
{ }
( )
{ }
Xt , Yt là dừng đồng thời. Ta tính
phổ công suất chéo
()
() ()()
j
XY 0 0 0
1j
Ssined
22
∞
−ωτ
−∞

π
.
⎡ ⎤
ω= ωτ τ= δω+ω −δω−ω
⎣ ⎦
∫

Sử dụng (6.1.12) chúng ta nhận được

()
()(
*
YX XY 0 0
j
)
() .
2
SS
− π
⎡ ⎤
ω= ω= δω+ω −δω−ω
⎣ ⎦

Ví dụ 6.5.
Cho phổ công suất chéo
b
aj
W
ω
+ với

−
W <

ω
< W

( )
XY
S
ω=

0 ngược lại
trong đó a, b, W là các hằng số thực, W > 0. Tích phân từng phần ta được

()
()() (
W
j
XY
-W
2
1b
R a+j e d ...
2W
1
aW b sin W bW co s W .
W
ωτ
ω
⎛⎞

τ= ω= =
⎜⎟
π
⎝⎠
=⎡τ− τ+τ τ
)
⎤
⎣ ⎦
πτ
∫

6.1.4. Mật độ phổ công suất cho quá trình thực, không dừng

Người ta cũng nghiên cứu phổ công suất cho QT không dừng. Chúng ta
lướt qua một vài kết quả chính.
Các hàm tự tương quan, tương quan chéo trong các công thức (6.1.4),
(6.1.5), (6.1.10) cần phải thay bởi hàm tự tương quan thời gian, tương quan chéo
thời gian:
() ( )
j
XX
-
SARt,te
∞
−ωτ
∞
ω= ⎡ +τ ⎤ τ
⎣⎦
∫
d,

() ()
j
XX
-
1
AR t ,t S e d.
2
∞
ωτ
∞
⎡+τ⎤= ω
⎣⎦
π
∫
τ
Rt,ted.
(6.1.16)
SA
() ( )
j
XY XY
-
∞
−ωτ
∞
ω= ⎡ +τ ⎤ τ
⎣⎦
∫
(6.1.17)

95

Công thức (6.1.9) thể hiện công suất chung của QT trở thành
()
()
()
2
XX
-
1
PAEXt S d
2
.
∞
∞
⎡⎤
==
⎣⎦
π
∫
ωω
(6.1.18)
Nhớ lại rằng A[.] là toán tử trung bình thời gian xác định ở mục 5.3.2.
Tính chất thực, không âm, chẵn của mật độ phổ vẫn được bảo toàn. Khi
dùng ký hiệu cặp biến đổi Fourier, ta có thể viết lại (6.1.16), (6.1.17) dưới dạng:
( ) ( )
X
AR t ,t S .
⎡+τ⎤↔ω

⎣⎦
X
(6.1.19)
Hơn nữa, đối với phổ công suất chéo chúng ta cũng có
( ) ( )
() (
XY XY
YX YX
AR t ,t S ;
AR t ,t S ;
⎡+τ⎤↔ω
⎣⎦
⎡+τ⎤↔ω
⎣⎦
)

() () ()
XY XY YX
1
PAEXtYt S dP
2
.
∞
−∞
⎡⎤
=⎡ ⎤= ωω=
⎣⎦
⎣⎦
π
∫

XY YX YX
S()S()S()
∗
ω= −ω= ω
. (6.1.20)

Ví dụ 6.6.

Đáp ứng của bộ tích với tín hiệu ngẫu nhiên.

Bộ tích là thiết bị điện thông dụng. Ở đây, dạng sóng ngẫu nhiên {X(t)}
được nhân với sóng mang cosin (có thể là sin) để tạo thành QT mới





96





có thể không dừng do
phụ thuộc vào t. Để đơn giản, bây giờ giả
thiết
{
oo
cos(2 t )

ω+ωτ
}
X(t) là dừng, thế thì
oo
Y(t) X(t)A cos( t)=ω
trong đó
là các hằng số. Chúng ta tính
phổ công suất
S( qua S(
oo
A,ω
Y
)ω )
X
ω .
Y
R (t , t) E[Y(t+ ,t)Y(t)]+τ = τ
2
o
Xooo
A
R(t ,t)[cos( ) cos(2 t )]
2
=+τωτ+ω+ωτ
oo
Acos( t)ω
X(t)
Y(t)
.
Kể cả khi

{ }
X(t) là dừng,
{ }
Y(t) cũng
Y
R(t ,t)
+τ
2
o
Xo o
A
R ( )[cos( ) cos(2 t )]
2
=τωτ+ω+ω
o
τ.
A⇒
[
]
Y
R(t ,t)+τ
2
o
Xo
A
R()cos( )
2
=τωτ.
Biến đổi Fourier hai vế, sử dụng tính dịch chuyển tần số ở Bảng B-1, ta
được

2
o
Y
A
S()
2
ω=
ℱ[
R( ]
Xo
)cos( )τωτ
=
2
o
A
2
ℱ[
jj
oo
X
ee
R()
2
ωτ −ωτ
+
τ ]
2
o
A
4

=
[ ]
XoX
S( ) S( )
o
ω−ω + ω+ω .

Đặc biệt, nếu
{ }
X(t) là QT thấp tần với độ rộng dải băng W/2 còn đủ
lớn
thì
{
o
ω
o
(W/ω> 2)
}
Y(t) là QT thông giải với độ rộng dải băng W (Hình 6.3)


97

Hình 6.3. Phổ công suất của QT đầu vào bộ nhân (a) và của đầu ra (b)
Chúng ta sẽ nhận được kết quả tương tự khi
{ }
X(t) là dừng, đầu ra bộ
nhân dạng
, trong đó
oo
Y(t) X(t)A cos( t )=ω+ΘΘ phân bố đều trên
[]
và
độc lập với X(t).
0; 2π

6.1.5. Mật độ phổ công suất cho dãy ngẫu nhiên
Định nghĩa.
Chúng ta gọi biến đổi Fourier của dãy tự tương quan
( )
{ }
X
Rn
của dãy BNN dừng
( )
{ }
Xn
() ()
jn
XX
n
SRne,

+∞
−ω
=−∞
ω =
∑
R
ω∈ (6.1.21)
là phổ công suất của dãy đó.
Theo tính chất của phép biến đổi Fourier,
( )
X
S ω là biến đổi Fourier ngược
của dãy tự tương quan
( )
{ }
X
Rn:
() ()
jn
XX
1
Rn S ed
2
.
π
ω
−π
= ω
π
∫

ω (6.1.22)
( )
X
Rn và
( )
X
S ω lập thành một cặp phép biến đổi Fourier:

( )
X
Rn↔
( )
X
S ω .
Tính chất của phổ công suất của dãy dừng thể hiện ở định lý sau.
Định lý 6.6
. Nếu
( )
{ }
X n là dãy các BNN dừng, nhận giá trị thực thì:
i)
( ) ( )
XX
SS . 2ω= ω+ π
ii)
( )
X
S ω∈
R
và

( )
X
S0ω≥ .
iii)
( ) ( )
XX
SS. −ω = ω
iv)
() () ()
2
XXX
1
PEXn R0 S d
2
.
π
−π
⎡⎤
===ω
⎣⎦
π
∫
ω

X
X
S()
0)
ω
S(

ω

W
2
−
W
2

W
o
ω

Y
2
o
X
S()
A
S(0)
4
ω

ω




Tính chất (i) suy từ chỗ: Với mọi n, hàm
jn
e

− ω
tuần hoàn chu kỳ 2π. Các
tính chất còn lại được chứng minh tương tự như với trường hợp liên tục.
Tính chất (i) nói rằng, phổ công suất là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π, vì thế chỉ
cần xét trong khoảng [-π ; π] hay [0 ;

2π ]. Tính chất (ii), (iii) nói rằng phổ công
suất của dãy dừng thực là hàm thực, không âm và chẵn.
(Tính chất thực, không âm của phổ công suất còn đúng cả cho dãy dừng
nhận giá trị phức!)
Tính chất cuối cùng nghĩa là: Công suất trung bình của QT bằng
1
2π
lần
diện tích hình thang cong giới hạn bởi 1 chu kỳ đường cong phổ công suất với
trục hoành; như vậy, bằng giá trị trung bình của phổ công suất trên 1 chu kỳ.
Nhận xét
. Người ta còn dùng biến đổi Z của dãy tự tương quan
:
X
{R (n)}
S
n
XX
n
(z) R (n)z
∞
−
=−∞
=

∑

và đôi khi (một cách lạm dụng) cũng gọi là phổ công suất của X. Nếu chuỗi hội
tụ trên vòng tròn đơn vị, quan hệ giữa 2 loại “phổ công suất” này là
S
j
X
(e ) S ( )
ω
= ω

Ví dụ 6.7. Trung bình trượt cấp một.
Giả sử
( )
{ }
N n là dãy các BNN cùng
phân bố, kỳ vọng không, không tương quan và phương sai chung hữu hạn:
( ) ( )
2
N
ENn 0;DNn
⎡⎤= ⎡⎤=σ<∞
⎣⎦ ⎣⎦
;
[ ]
với m n
≠
.
E N(n)N(m) 0=
Ở mục 6.1.6d, dãy như thế sẽ được gọi là dãy nhiễu trắng. Đây là một dãy

dừng. Dãy ARMA tạo thành từ
( )
{ }
Nn đại diện cho hầu hết các dãy trong thực
tế. Ở đây chúng ta xét trường hợp đơn giản, đó là dãy trung bình trượt cấp một
( )
{ }
X n xác định bởi:
( ) ( ) ( )
Xn Nn bNn 1,n
= +−∈
Z
.
Dãy số liệu này rất đơn giản: Giá trị hiện tại X(n) là tổ hợp tuyến tính đơn
giản của giá trị hiện tại và quá khứ gần nhất của dãy nhiễu trắng xuất phát
( )
{ }
N n . Rõ ràng:
()()
( )
22
N
2
N
1b
EXn kXn b
0
⎧
+ σ
⎪

⎪
+=σ
⎡⎤
⎨
⎣⎦
⎪
⎪
⎩

Như vậy
( )
{ }
X n là dãy dừng. Tính toán phổ công suất như sau:

98

SR
() ()
()
jk 2 2
XX
k
N
ke1b2bcos.
∞
−ω
=−∞
⎡⎤
ω= = + + ωσ
⎣⎦

∑
với k = 0
với
k1
= ±
trái lại

Ví dụ 6.8
.
Phổ công suất của quá trình lấy mẫu
.
Trong ứng dụng, nhiều QT số (digital process) - tức là dãy ngẫu nhiên -
được tạo thành bằng cách lấy mẫu một quá trình tương tự (analog process) - tức
là QT với thời gian liên tục – nào đó. Sau đây chúng ta trình bày mối liên hệ giữa
các hàm tương quan cũng như mật độ phổ của hai QT này.
Cho QT tương tự
( )
{ }
a
Xt,t
∈
R
. Quá trình số
( )
{ }
d
Xn được tạo ra bằng
cách lấy mẫu:

( ) ( )

da
Xn XnT,n
= ∈
Z
.
Ở đây T là hằng số, gọi là chu kỳ lấy mẫu, chỉ số dưới d để chỉ quá trình số
(digital), chỉ số dưới a để chỉ QT tương tự (analog). Rõ ràng:
( ) ( ) ( )
() ()() (
XaX
da
XaaX
da
nEXnT nT;
R n,m E X nT X mT R nT,mT .
µ=⎡ ⎤=µ
⎣⎦
=⎡ ⎤=
⎣⎦
)

Nếu
( )
{ }
a
X t là QT dừng thì
( )
{ }
d
Xn cũng là dãy dừng và

( )
() ( )
XX
da
XX
da
n;
RkRkT
µ=µ
= .

Khi đó, từ công thức tổng Poisson:
" Nếu
thì
() () ()
jux
fx Fu fxe dx
∞
−
−∞
↔=
∫
o
x,c∀ ∈
R
,
()
2
jn x

o
c
o
nn
12
fx nc Fn e
cc
π
∞∞
=−∞ =−∞
π
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
"
(xem[8] tr.395), khi chọn
j( / T)x
X
a
f(x) R (x)e ,
− ω
=
o
cT,x 0= =
ta nhận được
() ( )
jk
XX X

da a
nk
12
SRkTeS
TT
∞∞
−ω
=−∞ =−∞
kω+π
⎛⎞
ω= =
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
,
trong đó
( )
X
a
S ω là phổ công suất của QT tương tự xuất phát
( )
{ }
a
Xt.
6.1.6. Một số mô hình nhiễu
a) Nhiễu trắng
Định nghĩa.
Ta gọi QTNN
( )
{ }

Nt,t∈
R
là nhiễu trắng nếu đó là QT dừng,
qui tâm và phổ công suất bằng hằng số trên tất cả các tần số:
( )
2
N
S,ω=σ ω∈
R
.
(Một số tài liệu dùng độ lớn phổ công suất hai phía
- có tài liệu lại
dùng độ lớn phổ công suất 1 phía
- thay cho ký hiệu
o
N / 2
o
N
2
σ ở định nghĩa trên).



99

Dùng biến đổi Fourier ngược chúng ta nhận được hàm tự tương quan:
( ) ( )
2
N
R,τ=σδτ τ∈

R.
. (6.1.23)
Nếu thêm giả thiết rằng
( )
{ }
N t là quá trình Gauss thì ta có nhiễu trắng
Gauss. Tuy nhiên mục này chúng ta chỉ đề cập đến nhiễu trắng thông thường.
Thuật ngữ nhiễu trắng xuất phát từ tên gọi tương tự với ánh sáng "trắng",
gồm tất cả các tần số có thể trong phổ của nó.
Phổ công suất và hàm tự tương quan của nhiễu trắng thể hiện ở Hình 6.4.


N
S()ω
N
R()τ
2
σ
2
σ
τ
ω
(b) (a)





Hình 6.4.

Hàm tự tương quan (a), và phổ công suất (b) của nhiễu trắng
Công suất của QT được tính như sau:
()
NN
1
RSd
2
.
+∞
−∞
=ωω
π
∫
=∞ (6.1.24)
Từ đó, công suất của nhiễu trắng là vô hạn, điều không thể xảy ra trong
thực tế: Mỗi QT xảy ra trong thực tế đều có công suất hữu hạn!
Hơn nữa, từ (6.1.23) suy ra: Giá trị của QT tại hai thời điểm gần nhau bao
nhiêu chăng nữa cũng không tương quan với nhau. Đây lại là một hiện tượng
mâu thuẫn với thực tế: Giá trị của mỗ
i quá trình có thực tại hai thời điểm đủ gần
nhau luôn tương quan với nhau!
Như vậy, nhiễu trắng là QT lý tưởng hoá, không có trong thế giới thực. Tuy
nhiên, trong lý thuyết mạch, mạng thông tin,…, nhiễu trắng luôn là mô hình được
nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi nhất. Hai trong những lý do quan trọng giải
thích cho hiện tượng này là:
+ Mỗi quá trình dừng với phổ công suất không quá đặc biệt (QT chính quy)
đều có thể được biểu diễn một cách thuận l
ợi khi coi nó là đầu ra của một hệ
tuyến tính phù hợp với đầu vào là nhiễu trắng (xem [14]).
+ Một dạng nhiễu tồn tại trong thế giới thực gần xấp xỉ với nhiễu trắng, đó

là nhiễu nhiệt.
Sau đây chúng ta giới thiệu sơ bộ về nhiễu nhiệt.
Nhiễu nhiệt
sinh ra do dao động của điện tử trong bất kỳ một thiết bị điện
nào. Nhiễu nhiệt có phổ công suất là hằng số đến một tần số rất cao rồi sau đó
giảm dần.

100

Một kháng tại nhiệt độ T (Kelvin) sinh ra một điện thế nhiễu tại đầu ra của
một mạch mở với phổ công suất

()
( )
2
N
/T
/T
S
e1
αω
σαω
ω=
−
, (6.1.25)
trong đó
(Kelvin/giây) là hằng số.
12
7,64.10
−

α=
Đây là hàm giảm; tại nhiệt độ trong phòng T = 290
0
K (20
0
C) giá trị của nó
vào khoảng 0,92
σ
2
đối với những tần số lên tới 10
12
Hz (1000GHz). Như vậy,
nhiễu nhiệt có phổ công suất gần đều với tất cả các tần số mà chúng ta vẫn dùng
ngày nay (bao gồm sóng radio, vi sóng hay sóng milimét).
b) Nhiễu trắng dải tần hữu hạn
(band - limited white noise).

Mở rộng khái niệm nhiễu trắng người ta đi đến khái niệm nhiễu trắng dải
tần hữu hạn.
Định nghĩa.
Chúng ta gọi QTNN
( )
{ }
N t là nhiễu trắng dải tần hữu hạn
nếu đây là QT dừng, quy tâm, có mật độ phổ là hằng số khác không trong một
dải tần hữu hạn quanh tần số gốc 0, bằng không ngoài dải đó:
c với
[ ]
W;W ,
ω∈ −

( )
N
S
ω=

0 với
[ ]
W;W .
ω∉ −

W được gọi là độ rộng dải nhiễu.

Công suất nhiễu được tính theo (6.1.9):
()
N
NN
P
1cW
PSd c
2W
∞
−∞
π
=ωω=⇒=
ππ
∫
.

Từ đó mật độ phổ được viết lại dưới dạng


P
W
π
với W < < W ,
− ω

( )
N
S
ω=

0 nếu ngược lại,

trong đó P là công suất nhiễu.
Biến đổi Fourier ngược chúng ta nhận được hàm tự tương quan
()
( )
N
sin W
RP PSa(W
W
τ
)
τ ==
τ
τ

trong đó W là tần số cực đại của nhiễu.
Trường hợp
5
W=
π
và P = 1, phổ công suất và hàm tự tương quan thể hiện ở
Hình 6.5.

101


102



N
R()ω

Hình 6.5.

Phổ công suất (a) và hàm tự tương quan
(b) của nhiễu trắng dải tần hữu hạn.
c) Nhiễu trắng thông dải
(bandpass white noise)
Tồn tại những bộ lọc có thể loại bỏ hết những tần số thấp, để nguyên lại
những tần số cao hơn (gọi là bộ lọc thông dải). Qua bộ lọc này, nhiễu trắng dải
tần hạn chế sẽ trở thành nhiễu trắng thông dải.
Định nghĩa.
QTNN
( )

{ }
Nt dừng, kỳ vọng không với phổ công suất
P
W
π
với
00
WW
< <
22
ω− ω ω+
,


( )
N
S
ω=

0 ngược lại.
trong đó P, W,
ω
0
là những hằng số gọi là nhiễu trắng thông dải. W được gọi là
độ rộng dải nhiễu.
Ta dễ dàng tìm được công suất nhiễu là P; như vậy, P
N
= P.
d) Trường hợp rời rạc
Đối với dãy các BNN chúng ta cũng có khái niệm nhiễu trắng.

Định nghĩa
. Dãy ngẫu nhiên
( )
{ }
Xn được gọi là nhiễu trắng nếu nó là dãy
dừng, quy tâm và hàm tự tương quan cho bởi:
( ) ( )
2
N
Rk k, k
=σδ ∈
Z
.
Như vậy,
( )
{ }
N n là nhiễu trắng khi và chỉ khi
( )
{ }
N n là dãy BNN kỳ
vọng không, cùng phương sai
2
D[X(n)]
= σ
và không tương quan.
Thực hiện phép biến đổi Fourier với dãy tự tương quan
( )
{ }
N
Rn

2
ta nhận
được phổ công suất:
() ()
2jk
N
k
Ske
∞
−ω
=−∞
ω=σ δ =σ
∑
.
Rõ ràng
( )
N
S
ω
tuần hoàn chu kỳ 2
π
. Công suất của QT tính bởi
() ()
2
22
NN
0
1
PEN1 S d
2

.
π
⎡⎤
==ωω
⎣⎦
π
∫
=σ

e) Một số loại nhiễu khác
Giống như ánh sáng màu chỉ bao gồm một phần tần số có thể trong phổ của
nó, chúng ta định nghĩa nhiễu màu như sau.
τ
N
S()ω

2
/5π
ω
5/π

(a)

Định nghĩa.
Nhiễu không phải là nhiễu trắng gọi là nhiễu màu.
Ví dụ 6.9.
Xét nhiễu
( )
{ }
N t là QT dừng, quy tâm với hàm tự tương quan

()
3
N
RPe,
−τ
τ= τ∈
R
,
trong đó P là hằng số.
Chúng ta tìm phổ công suất và công suất QT.
()
3
j
N
2
6P
SPeed
9
.
∞
−τ
−ωτ
−∞
ω= τ=
+ ω
∫

X
2
16P

Pd
2
9
P.
∞
−∞
=ω
π
+ω
∫
=

Một dạng nhiễu quan trọng hay xảy ra trong kỹ thuật điện tử là nhiễu bắn
(xem mục 5.5.1e1).
6.1.7. Phổ công suất của QTNN phức
Chúng ta đã nghiên cứu hàm kỳ vọng và hàm tương quan QTNN phức ở
§5.6. Mục này dành cho phổ công suất của chúng. Để đơn giản, phổ công suất
được định nghĩa theo phương pháp tương quan.
Định nghĩa phổ công suất, phổ công suất chéo vẫn giữ nguyên như trường
hợp thực, chúng ta ghi lại ở đây.
Định nghĩa.
Gải sử
( )
Z
t
µ
và
( )
Z
R

τ
lần lượt là hàm kỳ vọng và hàm tự
tương quan của QTNN phức dừng
( ) ( ) ( )
Zt Xt jYt
= +
.
Phổ công suất của quá trình
( )
{ }
Z t xác định bởi
() ()
j
ZZ
SRed.
∞
−ωτ
−∞
ω =τ
∫
τ

Từ tính chất của phép biến đổi Fourier suy ra
() ()
j
ZZ
1
RSe
2
d.

∞
ωτ
−∞
τ =ω
π
∫
ω

Như vậy
và là cặp biến đổi Fourier:
Z
R()τ
Z
S( )ω

( ) ( )
ZZ
RS.
τ ↔ω
(6.1.26)
Từ chỗ
suy ra
*
ZZ
R( ) R()−τ = τ
*
ZZ
S() S()ω =ω
, vậy phổ công suất luôn là
hàm thực; tuy nhiên, nói chung nó không chẵn. Giống như Định lý 6.2, ta có

(xem [8], tr 321):
Định lý 6.2
’
.
Hàm
( )
S,
ωω∈
¡ là phổ công suất của một QT dừng (có thể
thể nhận giá trị phức) với công suất hữu hạn khi và chỉ khi
( )
S
ω
là hàm thực,
không âm, khả tích trên
¡ .

103

Đối với phổ công suất chéo vẫn xảy ra hiện tượng:
Hàm tương quan chéo và phổ công suất chéo là cặp phép biến đổi Fourier:
( ) ( )
() ( )
XY XY
YX YX
RS
RS
;
.
τ ↔ω

τ ↔ω
(6.1.27)
Chẳng hạn:
() ()
j
XY XY
SRed;
∞
−ωτ
−∞
ω =τ
∫
τ

() ()
j
XY XY
1
RSe
2
d
∞
ωτ
−∞
τ =ω
π
∫
ω

Vì hàm tương quan chéo có tính chất

( ) ( )
*
XY YX
RR
−τ= τ
nên công thức
(6.1.12) được thay thế ở đây bởi
( ) ( )
XY YX
SS
∗
ω =ω
. (6.1.28)
Ví dụ 6.10. Tổng hợp dao động điều hoà phức cùng tần số
. Trong Ví dụ
5.19 chúng ta đã xét tổng hợp dao động điều hoà phức cùng tần số
()
()
N
jtU
0n
n
n1
Vt Ae
ω+
=
=
∑
,
trong đó

{ }
n
A và
{ }
n
U là các BNN độc lập; U
n
có phân bố đều trên [0;2
π
]; còn
ω
0

là hằng số thực. Hàm tự tương quan của QT là .
()
N
j
2
o
Xn
n1
ReEA
ωτ
=
⎡⎤
τ=
⎣⎦
∑
Biến đổi Fourier hàm này ta nhận được phổ công suất
( )

X
S
ω=
ℱ
N
j
2
0
n
n1
eEA
ωτ
=
⎛⎞
⎡ ⎤
⎜⎟
⎣ ⎦
⎝⎠
∑


N
2
n
n1
EA
=
⎡ ⎤
=
⎣ ⎦

∑
ℱ

()
()
N
j
2
0
0n
n1
e2 EA
ωτ
=
⎡⎤
=πδω−ω
⎣⎦
∑
.
Vậy phổ thu được là phổ vạch tại
ω
0
với công suất
N
2
n
n1
EA
=
⎡ ⎤

⎣ ⎦
∑
.
Ví dụ 6.11
.
Phổ vạch
. Xét tổng hợp dao động điều hoà phức, cùng pha, tần
số hằng số, biên độ ngẫu nhiên

()
N
jt
n
n
n1
Xt Ae
ω
=
=
∑
,
trong đó
ω
n
là các hằng số thực,
{ }
n
A là các BNN thực, quy tâm, không tương
quan,
.

[]
2
nn
DA
=σ <∞
Rõ ràng
Ngoài ra, tính toán cụ thể ta có:
X
(t) 0.µ=

104

( ) ( ) ( )
X
Rt ,t EXt Xt
∗
⎡⎤
+τ = +τ
⎣⎦
()
NN
jt
jt
n
m
nm
n1 m1
EAe Ae
ω+τ
−ω

==
⎡ ⎤
=
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑∑


[]
()
NN
jtj
j
2
nm n
n
nm n
m,n1 n1
EAA e e
ωω +ωτ
ω τ
−
==
==
∑∑
σ

là hàm chỉ phụ thuộc τ. Vậy
( )
{ }

X t là QT dừng
( )
X
S ω=
ℱ
⎛⎞
()
NN
j
22
n
nn
n1 n1
e2
ωτ
==
n
.σ =π σδω−ω
⎝⎠
∑∑
⎜⎟

Như vậy, phổ thu được chỉ chứa một số tần số (một số vạch).
Lưu ý rằng mỗi số hạng
j
n
n
Ae
ω τ
có phổ

( ) ( )
2
nn
S2
n
ω =πσδω−ω (tập
trung tại tần số
với công suất
n
ω
2
n
σ ). Vậy phổ thu được (bao gồm các vạch) là
tổng đơn giản của các phổ công suất thành phần.
Ví dụ 6.12
(☼)
. Hiệu ứng Đôpple
(Doppler). Máy phát dao động điều hoà
đặt tại điểm chuyển động theo trục Ox với vận tốc V (Hình 6.6(a)). Giả
sử tín hiệu máy phát là
e còn tín hiệu nhận được của máy thu đặt tại O là:
P Ox∈
j
0
tω
()
r
jt
0
c

Xt ae
⎛⎞
ω−
⎜⎟
⎝⎠
=
trong đó a là hằng số thể hiện sự suy giảm tín hiệu, c là vận tốc truyền (âm thanh,
sóng điện từ…) và
. Vì máy phát có dao động riêng nên chúng ta giả
sử rằng vận tôc V là BNN với mật độ f
0
rr V=+t
V
(x). Rõ ràng

()
r
V
oo
j1 t
o
cc
Xt ae
ω
⎡ ⎤
⎛⎞
ω− −
⎜⎟
⎢ ⎥
⎝⎠

⎣ ⎦
=











0
ω
0
0
c
(1 )
c
ω−
V
ur
ω
P
0
ω ω
S( )ω
(b) Phổ phát
x O

(c) Phổ thu
(a)
Hình 6.6.

Hiệu ứng Doppler: Ngoài hiện tượng tăng (giảm) tần số
còn hiện tượng nới rộng phổ
Dễ thấy đây là QT dừng với hàm tự tương quan là

105


()
V
j1
o
2
c
X
RaE[e ]
()
⎛⎞
ω− τ
⎜⎟
⎝⎠
τ=
s
j1
o
2
c

V
afse d
⎛⎞
∞
s
ω −τ
⎜⎟
⎝⎠
−∞
=
∫
.
Với phép đổi biến
0
s
1
c
⎛
ω=ω −
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
, tích phân trở thành
()
2j
XV
00
1c
R2afc1e

2
∞
ωτ
−∞
⎛⎞
⎛⎞
ω
τ= π − ω
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
πω ω
⎝⎠
⎝⎠
∫
d.

Vế phải là biến đổi Fourier ngược của hàm
()
2
V
00
c
S2afc1
⎛⎞
⎛⎞
ω
ω=π −
⎜
⎜⎟

⎜
ωω
⎝⎠
⎝⎠
.
⎟
⎟
(6.1.29)
Đây là hàm số dương nên nó là mật độ phổ (Định lý 6.
2
′
). Do tính duy nhất
của biến đổi Fourier suy ra
( ) ( )
X
SS.ω =ω
Trong trường hợp chuyển động tạo với trục Ox một góc α, chúng ta phải
thay vận tốc V bởi hình chiếu
lên trục Ox và các bàn luận trên vẫn còn giá trị.
x
V
Xét trường hợp V = 0. Khi đó
( )
j
2
0
X
Rae
ω τ
τ= ;

( )
( )
2
X0
S2ω =πσδω−ω .
Rõ ràng phổ này trùng với phổ của tín hiệu phát.
Bây giờ giả sử
và giả sử
0
Vc cons== t c
0
c< (vận tốc chuyển động thấp
hơn vận tốc truyền). Khi đó
2
0
0
c
S( ) 2 a (1 ) .
c
⎛
ω= π δω−ω −
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
(6.1.30)
Như vậy, máy thu nhận được tín hiệu với tần số
0
0
c

(1 )
c
ω− , thấp hơn tần số
phát, phù hợp với hiện tượng nêu ở Vật lý đại cương.
Trường hợp tổng quát, khi mật độ f
V
(x) của vận tốc V tập trung quanh c
0

(ví dụ, khi Mod V = c
0
) thì phổ công suất tập trung quanh
0
0
c
1
c
⎛
ω−
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
(Hình
6.6(c)). Như vậy, ngoài hiện tượng suy giảm tần số, chuyển động dao động còn
gây ra sự phân tán của phổ, làm cho phổ bị "mờ đi". Ta nói dao động gây ra sự
nới rộng phổ.
(
☼
)

106

§6.2. CĂN BẢN VỀ HỆ TUYẾN TÍNH
Phần lớn những công việc của chúng ta cho đến bây giờ là nhằm mô tả các
hiện tượng ngẫu nhiên bằng cách mô hình hoá nó như là quỹ đạo của QTNN.
Chúng ta nhận ra rằng, phương pháp miền thời gian dựa vào hàm tương quan và
kỹ thuật miền tần số dựa vào phổ công suất lập nên những cách cực kỳ hiệu quả để
xác định dáng điệu c
ủa tín hiệu ngẫu nhiên. Tuy nhiên, chúng ta phải dừng lại ở
đây, bởi vì khía cạnh quan trọng nhất của tín hiệu ngẫu nhiên là gắn kết chúng thế
nào đó với hệ tuyến tính. Trước hết ở mục này, chúng ta thảo luận những điều căn
bản về hệ tuyến tính. Chú ý của chúng ta tập trung vào hệ tất định, chỉ có một đầu
vào, một đầu ra và là hệ liên tục (tức là tín hi
ệu đầu vào và đầu ra là những tín hiệu
với thời gian liên tục). Ai đã thạo về hệ tuyến tính tất định có thể bỏ qua mục này,
chuyển ngay đến mục §6.3 tiếp sau.
6.2.1. Hệ tuyến tính tổng quát
Hệ là mô hình toán học của một quá trình vật lý mà tác động lên tín hiệu đầu
vào x(t) để tạo thành tín hiệu đầu ra y(t).
Như vậy, hệ là phép biến đổi (ánh xạ) tín hiệu x(t) nằm trong tập các tín hiệu
đượ
c phép
D
nào đó thành tín hiệu y(t). Phép biến đổi này ký hiệu bởi T và chúng
ta viết
( ) ( ) ( )
yt Txt ,xt= ⎡⎤ ∈
⎣⎦

D
. (6.2.1)
Khi không sợ hiểu nhầm, ta có thể không viết ra đòi hỏi
. Tín hiệu
đầu vào x(t) còn được gọi là tín hiệu kích thích, tín hiệu đầu ra y(t) - tín hiệu đáp
ứng. Ánh xạ T thể hiện tác động của hệ lên tín hiệu x(t) (xem Hình 6.7).
()
xt∈D


107




Hệ tuyến tính
Đầu ra y(t)
Đầu ra y(t)
Đầu vào x(t)

Đầu vào x(t)

Hệ LTI
(a)
(b)

Hình 6.7. Hệ tuyến tính đơn giản (a) và hệ tuyến tính bất biến thời gian (b)
Hệ được gọi là tuyến tính nếu ánh xạ T là tuyến tính, tức là:
i) Tập các tín hiệu được phép
là tuyến tính;

D
ii) Ánh xạ T có hai tính chất sau:
( ) ( ) ( ) ( )
12 1 2
Tx t x t Tx t Tx t⎡+ ⎤=⎡⎤+⎡
⎣⎦⎣⎦⎣
⎤
⎦
(cộng tính)
( ) ( )
Txt Txt⎡α ⎤ =α ⎡ ⎤
⎣⎦⎣⎦
(thuần nhất)

trong đó x
1
(t), x
2
(t), x(t) là các tín hiệu được phép bất kỳ và α là hằng vô hướng
bất kỳ.
Hai đòi hỏi cộng tính và thuần nhất được gộp lại dưới dạng
( ) ( ) ( ) ( )
11 2 2 1 1 2 2
Txt xt Txt Txt⎡α +α ⎤ = α ⎡ ⎤ + α ⎡ ⎤
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(6.2.2)
với mọi tín hiệu được phép x
1
(t), x
2

(t) và mọi hằng số
12
,α α
.
Tính chất này được mở rộng thành
() ()
NN
nn n n
n1 n1
Txt Txt
==
⎡⎤
α=α⎡
⎢⎥
⎤
⎣ ⎦
⎣⎦
∑∑

trong đó x
n
(t) là những tín hiệu (được phép) tùy ý, α
n
là những hằng số vô hướng
tùy ý và N là số nguyên dương tùy ý (hoặc vô hạn nếu chuỗi ở mỗi vế có nghĩa
còn T là ổn định (xem mục 6.2.3)).
Người ta thường ký hiệu ánh xạ tuyến tính bằng chữ cái L.
Từ định nghĩa và tính chất của hàm xung Dirac suy ra

() () ( )

xt xs t sds.
∞
−∞
=δ−
∫
(6.2.3)
Thay (6.2.3) vào (6.2.1) và lưu ý rằng ánh xạ L tác động trên miền thời gian,
chúng ta nhận được

() () ( ) () ( )
yt L xs t sds xsL t s ds.
∞∞
−∞ −∞
⎡⎤
=δ−=⎡δ−
⎢⎥
⎤
⎣ ⎦
⎣⎦
∫∫

Giả sử đầu vào được kích thích bởi
( )
tsδ −
trong đó δ(t) là hàm xung Dirac,
ở đầu ra sẽ nhận được:

( ) ( )
ht,s L t s= ⎡δ − ⎤
⎣ ⎦

. (6.2.4)
Đây là đáp ứng của hệ với đầu vào là xung δ đặt tại thời điểm s, gọi tắt là
đáp ứng xung của hệ. Từ đó:
() () ( )
yt xsht,sds.
∞
−∞
=
∫
(6.2.5)
Tín hiệu chấp nhận được là tín hiệu làm cho tích phân ở vế phải có nghĩa
(tức là tích phân hội tụ với mọi t).
Biểu thức (6.2.5) chứng tỏ rằng, hệ tuyến tính tổng quát hoàn toàn được xác
định bởi đáp ứng xung h(t,s). Đáp ứng xung là công cụ hết sức hiệu quả để nghiên
cứu hệ tuyến tính. Hàm này tạo ra những tính chất đặc trưng của hệ. Chính vì thế,
nhiều tài liệ
u (nhất là những sách tiếng Nga) gọi h(t,s) là hàm đặc tuyến hay hàm
đặc tính của hệ.

108

6.2.2. Hệ tuyến tính bất biến theo thời gian
Định nghĩa
. Hệ tuyến tính được gọi là bất biến theo thời gian (Linear Time -
Invariant), ký hiệu là LTI, nếu mỗi phép dịch chuyển thời gian ở tín hiệu đầu vào
gây ra cùng một phép dịch chuyển thời gian ở tín hiệu đầu ra. Cụ thể là:
,
0
t∀∈R
( ) ( )

( ) ( )
0
yt Lxt yt t Lxt t
0
⎡ ⎤
=⎡ ⎤⇒ − = −
⎣⎦
⎣ ⎦
. (6.2.6)
Định lý 6.7.
Cho hệ tuyến tính với đáp ứng xung h(t,s). Hệ là bất biến theo
thời gian khi và chỉ khi xảy ra một trong hai điều kiện sau:
i)
( ) ( )
ht,s ht s.=−
(6.2.7)
ii)
(6.2.8)
() ( ) ()
yt ht sxsds.
∞
−∞
=−
∫
Chứng minh.
Giả sử hệ là tuyến tính và bất biến theo thời gian, và giả sử với
kích thích
(tại t = 0) nhận được đáp ứng h(t). Khi đó với kích thích
()
tδ

( )
0
ttδ−
(xung δ tại t = t
0
) sẽ nhận được đáp ứng
( )
0
ht t− . Suy ra
() () ()
()
()
00 0
ht t L t t s t ht,sds ht,t .
0
∞
−∞
⎡⎤
−=δ− =δ− =
⎣⎦
∫

Điều này có nghĩa là xảy ra (6.2.7). Rõ ràng (6.2.8) cũng xảy ra. Điều ngược
lại dễ dàng. 
Đối với hệ LTI, hàm số
h(t) L[ (t)]=δ
(6.2.9)
cũng được gọi là đáp ứng xung của hệ.
Định lý 6.8.
Đối với hệ LTI với đáp ứng xung h(t) khả tích tuyệt đối:

()
ht dt
∞
−∞
<∞
∫
, nếu đầu vào x(t) khả tích tuyệt đối thì đầu ra y(t) cũng khả tích
tuyệt đối.
Chứng minh
. Theo định lý Fubini ta có:
() ()()
yt dt ht s xsdtds
∞∞∞
−∞ −∞ −∞
=−
∫∫∫
() ()
xs ds. ht dt .
∞ ∞
−∞ −∞
≤ <∞
∫∫

Lưu ý:
Sử dụng ký hiệu tích phân chập
∗
cũng như tính chất giao hoán của
nó, chúng ta có thể viết lại (6.2.8) dưới dạng tiện lợi sau đây:
() () () ( ) ()
yt ht xt ht sxsds

∞
−∞
=∗= −
∫

109

() () ( ) ()
xt ht xt shsds.
∞
−∞
=∗ = −
∫
(6.2.10)

Định nghĩa.
Biến đổi Fourier của đáp ứng xung h(t) của hệ LTI, ký hiệu là
H(ω), được gọi là hàm truyền (transfer function) (tên khác: đáp ứng tần số, đặc
trưng tần số, hàm hệ thống, hệ số truyền).

( )
H ω=
ℱ
() ()
jt
ht ht e dt.
∞
−ω
−∞
⎡⎤=

⎣⎦
∫
(6.2.11)
Để thấy ý nghĩa của hàm truyền, chúng ta xét tín hiệu đầu vào x(t) cũng như
h(t) khả tích tuyệt đối. Theo định lý vừa nêu, y(t) cũng khả tích tuyệt đối. Chúng ta
có thể xét các biến đổi Fourier của hai tín hiệu này, lần lượt ký hiệu là X(ω), Y(ω).
Theo định lý Fubini về đổi thứ tự lấy tích phân nhận được:
() () ( )()
() ( )
jt j t
j(ts) js
Y y t e dt h t s x s ds e dt
xs ht se dt e ds
∞∞∞
−ω − ω
−∞ −∞ −∞
∞∞
−ω− −ω
−∞ −∞
⎡⎤
ω= = −
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
=−
⎢⎥
⎣⎦
∫∫∫
∫∫

(6.2.12)
() () () ()
js
xs H e ds H X .
∞
−ω
−∞
=ω=ω
∫
ω
Đây là một công thức cơ bản, cho ta mối liên hệ rất đơn giản giữa biến đổi
Fourie đầu ra với biến đổi Fourier đầu vào.
Định lý 6.9.
Xét một hệ LTI bất kỳ, khi đó:
a) Biến đổi Fourie của đầu ra bằng biến đổi Fourier đầu vào nhân với hàm
truyền của hệ:
( ) ( ) ( )
YHXω= ω ω
(6.2.13)
b) Hàm truyền của hệ có thể được tính theo công thức
()
jt
jt
Le
H
e
ω
ω
.

⎡ ⎤
⎣ ⎦
ω= (6.2.14)
Chứng minh.
Chúng ta đã chứng minh (a) ở trên. Ngoài ra
()
jt js
Le e ht sds.
∞
ωω
−∞
⎡⎤
=−
⎣⎦
∫

Đổi biến ta được t s u; s t u, ds du−= =− =−

()
()
jtu
jt
Le e hudu
∞
ω−
ω
−∞
⎡⎤
=
⎣⎦

∫
() ()
jt ju j t
eehudueH.
∞
ω−ω ω
−∞
= =
∫
ω

Công thức (6.2.14) cho một cách khác rất tiện lợi để tính hàm truyền. Người
ta chứng minh được
là họ hàm duy nhất thoả mãn tính chất (6.2.14). Theo
jt
e
ω
110