Kỳ thi toán OLYMPIC lớp 11

ĐỀ THI
KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30-4 LẦN THỨ XX
TỔ CHỨC TẠI TP. HỒ CHÍ MINH – NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN – Khối 11
O0O
Câu 1: (4đ) Cho dãy số ( , .Tính Lim
Câu 2: (4đ) Tìm các chữ số a,b sao cho
Câu 3: (4đ) Chứng minh rằng
Trong đó x,y,z là các số thực dương thỏa mãn
Câu 4: (4đ) Giải phương trình
Câu 5: (4đ) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn
(1)
Câu 1: Cho dãy số ( , .Tính Lim
Đáp án
Giả sử
Ta được: (1đ)
(1đ)
Thay vào (3):
(1đ)
(1đ)
Câu 2: Tìm các chữ số a,b sao cho
Đáp án:
Ta có:
Để (1đ)
Xét
Nếu ta có
(1đ)
Nếu ta có
(1đ)
Kết luận: (1đ)
Câu 3: Chứng minh rằng

Trong đó x,y,z là các số thực dướng thõa mãn
Đáp án
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
Từ đó suy ra
(3) (1đ)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
(4) (1đ)
Biến đổi BĐT (2) như sau
(1đ)
Thay thế (3),(4) vào vế trái (5) ta thấy (5) đúng nên BĐT (2) đúng
Đẳng thức xảy ra ở (2) (1đ)
Câu 4: Giải phương trình
Đáp án
Điều kiện :
Ta có : (2đ)

Từ (1), (2) dấu “ = ” xảy ra trong (2) xảy ra (1đ)
Kết hợp với điều kiện , nghiệm của phương trình là (1đ)
Câu 5: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn
(1)
Đáp án
Cho , từ (1) suy ra
Cho từ (1) suy ra
Cho từ (1) suy ra
Chứng tỏ là hàm lẻ . PT hàm đã cho trở thành
Lại có
Suy ra
Tóm lại
Tính theo hai cách . Ta có

(1.1)

(1.2)
Từ (1.1) và (1.2) suy ra , a là hằng số.
Thử lại ta thấy hàm thỏa mãn PT hàm đã cho . Vậy .