Thể tích khối đa diện ( thầy nguyện)

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Biên soạn: Đinh Tiến Nguyện 0982. 648.156
VẤN ĐỀ 1: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC HAY TỨ DIỆN
 Hệ thống lý thuyết cơ bản ( In class)
 Bài tập mẫu minh họa
Bài 1.( ĐH khối D – 2011) .Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a, mp
(SBC) vuông góc với mp(ABC),
2 3SB a
,

0
30SBC 
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ
B đến mp (SAC).
Bài 2.Trong mặt phẳng
 

cho tam giác OAB có OA = OB = 2a,

0
120AOB 
. Trên đường vuông góc với
 

tại O lấy hai điểm C, D về hai phía của O sao cho tam giác ABC vuông tại C và tam giác ABD đều. Tính
thể tích của khối chóp ABCD theo a.
Bài 3. ( Dự bị ĐH khối A – 2007). Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
60
0
. Tam giác ABC và SBC đều cạnh a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và khoảng cách từ B đến mặt
phẳng (SAC).

Bài 4. ( ĐH khối A – 2011). Cho hình chóp S.ABC có
đáy là tam giác vuông cân AB = BC = 2a. Hai m
ặt
phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng qua SM và song
song BC cắt AC tại N. Góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách
giữa hai đường thẳng AB, SN.
 Bài tập rèn luyện
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC và SAC là tam giác đều cạnh a,
6
2
a
SB 
.
a) Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SIB) và (ABC) vuông góc với nhau.
b) Gọi J là trung điểm của SA. Gọi (P) là mặt phẳng qua JC và song song BI cắt SB tại M. Tính thể tích của
khối chóp S.JMC.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có
đáy là tam giác đ
ều ABC cạnh 3a,


0
45 , 2SAB SAC SA a  
. Gọi I là
trung điểm của BC, SH là đường cao của khối chóp.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
b) Tính khoảng cách từ I đến (SAB).
Bài 7.( Dự bị ĐH khối B – 2007).

Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn
đư
ờng kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC =
R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
bằng 60
0
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Chứng minh rằng tam giác AHK
vuông và tính thể tích tứ diện S.ABC theo R.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Biên soạn: Đinh Tiến Nguyện 0982. 648.156
VẤN ĐỀ 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ MỘT CẠNH VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY.
 Những lưu
ý khi làm bài
( In class)
 Bài tập mẫu minh họa( In class)
Bài 1.Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông c
ạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc
của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
4
AC
AH 
. Gọi CM là đường cao của tam giác
SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
Bài 2.Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông c
ạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
AB, AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
3SH a
. Tính thể

tích khối chóp S.CDMN và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Bài 3.Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình thang vuông t
ại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI)
và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 4. ( ĐH khối A – 2012). Cho hình chóp S.ABC có
đáy là tam giác đ
ều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S
lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AB sao cho AH = 2 HB. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng
60
0
.Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa BC và SA theo a.
 Bài tập rèn luyện
Bài 5.(Dự bị ĐH khối A – 2006).Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình ch
ữ nhật với AB=a, AD = 2a,
SA vuông góc với đáy, SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60
0
. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho
3
2
a
AM 
.
Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a.
Bài 6.( ĐH khối B – 2006). Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình ch

ữ nhật với AB =a,
2AD a
,
SA = a và SA vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của MB và
AC. Chứng minh rằng (SAC) vuông góc (SMB). Tính thể tích khối tứ diện A.NIB.
Bài 7. ( Dự bị ĐH khối B 2006). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

0
60BAD 
,
SA=a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song
BD cắt SB, SD tại B’ và D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) , góc BAC= 120
0
, tam giác SBC đều cạnh a. Tính
thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có
đáy là tam giác vuông t
ại B, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SA = AB
= BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Biên soạn: Đinh Tiến Nguyện 0982. 648.156
VẤN ĐỀ 3: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ MỘT MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
 Các lưu
ý khi v
ẽ hình và xác
đ
ịnh đường cao( In class)
 Bài tập mẫu minh họa (In class)
Bài 1. ( ĐH khối B- 2008). Cho hình chóp S.ABCD có

đáy là h
ình vuông c
ạnh 2a, SA = a, SB =
3a
và mặt
phẳng ( SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính theo a thể
tích khối chóp S.BMDN và xác định góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
Bài 2. ( ĐH khối A-2007). Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông c
ạnh a. Tam giác SAD đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC và CD. Chứng minh
rằng AM vuông góc BP và tính thể tích của tứ diện CMNP
Bài 3.Cho hình chóp S.ABC có
đáy ABC là tam giác đ
ều cạnh a. Gọi I là một điểm trên cạnh BC sao cho
2 0IB IC 
 
. Biết tam giác SAI cân tại S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối
chóp S.ABC nếu:
a) Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
.
b) Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC) bằng
3
2
a
.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là h
ình thang cân có hai đáy AD và BC. M

ặt phẳng (SAD)
vuông góc với đáy, biết AB = BC = CD = a, SA = SD = AD = 2a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và
tính khoảng cách giữa AD và SB.
 Bài tập rèn luyện ( At home)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông c
ạnh a, mặt bên SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có
đáy là tam giác vuông cân t
ại A, AB = AC = a. Mặt bên (SBC) vuông góc
với đáy. Hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc 60
0
. Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 7. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC và tam giác ABD là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (ACD)
vuông góc với (BCD). Tính thể tích của tứ diện ABCD và góc giữa AD và BC.
Bài 8. (CĐ -2010) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với
mặt phẳng (ABCD), SA = SB, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là 45
0
. Tính thể tích của khối chóp
S.ABCD và tính khoảng cách giữa AB và SC.
Bài 9.Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, (ABC) vuông góc với
mặt phẳng (BCD). Biết AD hợp với (BCD) góc 60
0
. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là h
ình ch
ữ nhật, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) bằng 30

0
. Tính thể tích của khối
chóp S.ABCD
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Biên soạn: Đinh Tiến Nguyện 0982. 648.156
VẤN ĐỀ 4: THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP ĐỀU
 Những lưu
ý
về tính chất của chóp đều ( In class)
 Bài tập mẫu minh họa
Bài 1. Cho hình chóp tam giác
đ
ều S.ABC có đáy ABC cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc 60
0
. Tính thể tích của
khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC).
Bài 2. Cho hình chóp tam giác
đ
ều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh
3a
. Tính thể tích của khối chóp
S.ABC trong các trường hợp sau đây:
a)
 

0
,( ) 60SC ABC 
b)
 


0
( ),( ) 45SAB ABC 
c)
 
3
,( )
6
a
d A SBC 
d)
2
( , )
4
a
d AB SC 
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là h
ình vuông c
ạnh a, tâm O. Tính thể tích của khối chóp
S.ABCD biết:
a)
 

0
,( ) 60SD ABCD 
b)
 

0
( ),( ) 45SBC ABCD 
Bài 4. ( ĐH khối B – 2012). Cho hình chóp tam giác

đ
ều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A lên SC. Chứng minh rằng:
( )SC ABH
. Tính thể tích khối chóp S.ABH.
Đáp số:
3
7 11
96
SABH
a
V 
 Bài tập rèn luyện
Bài 5. Cho hình chóp tam giác
đ
ều S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, cạnh bên 2a. Gọi I là trung điểm
của BC. Chứng minh rằng SA vuông góc BC. Tính thể tích của khối chóp S.ABI.
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA =
2a
. Gọi M, N , P là trung điểm của SA, SB và
CD. Chứng minh rằng MN vuông góc SP. Tính thể tích của khối chóp AMNP.
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, tam giác SAC đều. Mặt phẳng (P) qua A và
vuông góc SC tại N cắt SB, SD tại M, K. Tính thể tích của khối chóp S.AMNK.
Bài 8. Cho hình chóp
đ
ều S.ABC có cạnh bên bằng a và nghiêng với đáy (ABC) một góc 60
0
. Tính thể tích
của khối chóp S.ABC.
Bài 9. Cho hình chóp tam giác

đ
ều S.ABC có AB = a, góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng 30
0
. Tính thể
tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa SA và BC.
“ Đời người chỉ có một, sống sao cho khỏi xót xa ân hận vì thời gian sống hoài sống phí”