force motion control of constrained robots using sliding mode
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (593.47 KB, 11 trang )
Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 1
Force/Motion ConTrol of Constrained Robots Using Sliding Mode
Chun-Yi Su, Tin-Pui Leung, and Qi-Jie Zhou
Tóm tắt : Một thuật toán điều khiển trượt được trình bày để bám một quỹ đạo và một phản ứng cuối
trong một mặt ràng buộc với lực ràng buộc quy đinh bằng cách sử dụng định lí của hệ thống biến cấu
trúc. Sự phát triển thuật toán là cơ sở cho một công thức mới của mô hình động lực học và sự mở rộng
mặt phẳng tượt bao gồm có sai lệch lực ràng buộc. Đề xuất bộ điều khiển trượt rõ ràng, đảm bảo sự xuất
hiện của chế độ trượt trên giao điểm của các bề mặt. Một ví dụ bằng số chi tiết được trình bày để minh
họa cho phương pháp phát triển.
I. GIỚI THIỆU
Trong nhiều nghành ứng dụng của robot, robot end-
effector tiếp xúc với một bề mặt ràng buộc. Một danh
sách dài các ứng dụng như vậy có thể được đưa ra, bao
gồm cả đường bao quanh sau đây, mài, nghiền và lắp ráp.
Trong trường hợp này, lực ràng buộc do sự tiếp xúc với
các bề mặt ràng buộc đã được đưa vào xem xét. Trong
đó, khi bề mặt ràng buộc được mô tả bởi một bề mặt trơn
đa dạng holonomic, các lực ràng buộc được ngầm định
nghĩa là các lực cần thiết để đáp ứng các ràng buộc [1] -
[3]. Sự điều khiển của hệ thống như vậy, trái với điều
khiển chuyển động thuần túy tự do, được gọi là điều
khiển ràng buộc robot [1]. Mục tiêu của điều khiển robot
ràng buộc là để xác định mômen xoắn đầu vào để đạt
được quỹ đạo bám trên bề mặt ràng buộc với các lực
lượng ràng buộc xác định.
Một số bài báo đã được trình bày nhằm giải quyết các
vấn đề về điều khiển ràng buộc robot, ví dụ, điều khiển
tách phi tuyến [4], điều khiển thích nghi [3], [5], điều
khiển mô-men xoắn [l], và những cái khác [2] . Chế độ
điều khiển trượt, như là một phương pháp điều khiển
mạnh, đã được áp dụng thành công để điều khiển chuyển
động của tay máy tự do robot [6]. Tính năng chính của
chế độ điều khiển trượt là cho phép chế độ trượt xảy ra
trên một bề mặt chuyển đổi theo xác định, do đó hệ thống
được chỉ định bởi phương trình trượt và vẫn còn nhạy
cảm với một lớp của nhiễu và tham số biến [7]. Tuy
nhiên, do sự phức tạp của vấn đề điều khiển của robot
ràng buộc, Phương pháp điều khiển bằng chế độ trượt đã
không được phát triển đầy đủ. Gần đây, Young [8] đã đề
xuất một chương trình điều khiển chế độ trượt cho
chuyển động Robot ràng buộc, tuy nhiên, điều khiển lực
ràng buộc không có trong cách tiếp cận của anh ấy.
Trong lưu ý này, một thuật toán điều khiển trượt để bám
được quỹ đạo của một end-effector trên bề mặt ràng buộc
với các lực ràng buộc xác định được đề xuất nghiêm ngặt,
ràng buộc robot không rườm rà. Bằng cách giả thuyết
hiểu biết đầy đủ của các bề mặt ràng buộc, và nhận ra
rằng mức độ tự do của thao tác Robot giảm trong khi
end-effector bị ràng buộc, một mô hình động lực học mới
phù hợp với chuyển động và điều khiển lực ràng buộc
được chuyển hóa. Sau đó, bằng cách khai thác các cấu
trúc đặc biệt động lực học của nó, là thuộc tính cơ bản
của động lực học thu được để tạo điều kiện thiết kế bộ
điều khiển. Cuối cùng, bằng cách mở rộng kích thước của
mặt trượt để bao gồm cả các sai lệch lực ràng buộc, một
thuật toán điều khiển chế độ trượt không gian khớp được
thành lập, chỉ sử dụng các phép đo vị trí khớp, vận tốc và
lực lượng ràng buộc.
Lưu ý này được sắp xếp như sau: một mô hình động lực
học mới của Robot ràng buộc xuất phát tại mục II; Phần
III trình bày các đề xuất thuật toán điều khiển trượt dựa
trên mô hình động lực học cơ sở. Mục IV cung cấp ví dụ
minh họa bằng cách sử dụng phương pháp tiếp cận đề
xuất. Tại Mục V, một số kết luận được trình bày.
II. Động lực học Robot ràng buộc.
Phương trình động lực học trong không gian khớp:
(
)
̈+
(
,̇
)
̇+
(
)
=+(1)
Trong đó: ∈
là vector chỉ vị trí trong không gian
khớp. ∈
là vector momen khớp; ∈
là vector
lực ràng buộc trong không gian khớp. () ma trận quán
tính xác định dương cho mỗi ∈
.
(
,̇
)
̇∈
là
vector momen li tâm và lực cororiolit. ()∈
là
vector momen trọng trường.
Hai thuộc tính cơ bản của hệ trên là:
1. Thuộc tính 1: Tồn tại một vector thông số thỏa mãn
phương trình: (với Y là ma trận có thể xác định được)
(
)
̈+
(
,̇
)
̇+
(
)
=
(
,̇,̈
)
(2)
2. Thuộc tính 2 : Ma trận
̇
(
)
−2(,̇) đối xứng lệch.
Để ∈
biểu thị vector chỉ vị trí tổng quát của end-
effector trong không gian Descartes. Nếu những ràng
buộc áp đặt được mô tả bởi một đa tạp trơn holonomic,
Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 2
thì phương trình đại số cho ràng buộc có thể được viết
như sau:
(
)
=0 (3)
Với ánh xạ :
→
khả vi hai lần.
Giả sử rằng các vector p có thể được thể hiện trong
không gian khớp bằng mối quan hệ:
=
(
)
(4)
với :
→
là ánh xạ thuận nghịch và khả vi hai lần,
khi đó phương trình ràng buộc trong không gian khớp
được viết như sau :
ψ
(
)
=
(
)
=0 (5)
Ma trận Jacobien :
(
)
=
ψ
(
)
(
6
)
Mô hình động học của giới hạn bởi đường ống với
=
{
(
,̇
)
:ψ
(
)
=0;
(
)
̇=0
}
Lực ràng buộc được cho bởi :
=
(
)
(7)
với là hệ số lagrange cho ràng buộc.
Khi hệ có m ràng buộc thì sẽ mất đi m biến tự do, khi đó
chỉ còn lại =− biến tự do, tức bậc tự do của hệ là
==−. Chọn − biến cho n biến khớp
=
[
,…
]
(8)
là tọa độ tổng quát mô tả các chuyển động ràng buộc của
các tay máy. Các biến khớp còn lại được biểu thị bằng
=
[
,…
]
(9)
Theođịnhlíhàmẩn,thìphương trình ràng buộc (5) có
thể được viết dưới dạng
=
(
)
(10)
Vậytacóthểviếtgọnlạithành
=
Khiđó:
(
)
=
(
)
⇒̇=
(
)
̇
⇒̈=
(
)
̈
+
̇
(
)
̇
Do đó , phương trình động lực học (1) của robot, khi ràng
buộc với bề mặt ràng buộc, có thể được thể hiện lại như
sau :
(
)
(
)
̈
+
(
,̇
)
̇
+
(
)
=+
(
)
(
14
)
Với B
1
được xác định bởi :
(
,̇
)
=
(
)
̇
(
)
+
(
,̇
)
)
(
)
.
Ghi chú: phương trình (14) là phù hợp với mục đích điều
khiển mà là cơ sở cho sự phát triển tiếp theo. Điều này là
do các phương trình ràng buộc bình đẳng được gắn vào
phương trình động lực học, kết quả là một hệ thống phi
tuyến affine mà không ràng buộc. Bằng cách khai thác
các cấu trúc của phương trình (14), ba thuộc tính có thể
thu được:
3. Thuộc tính 3: Phương trình chuyển động (14) vẫn là
tuyến tính trong điều kiện của một tập hợp đã chọn phù
hợp của các thông số đã chọn, tức là
(
)
(
)
̈
+
(
,̇
)
̇
+
(
)
=
(
,̇
,̈
)
Thuộc tính này có thể dễ dàng được chứng minh từ tài
liệu tham khảo [9] và [10]
4. Thuộc tính 4 : Xác định ma trận
(
)
=
(
)
(
)
(
)
với
̇
(
)
−2
(
)
(
,̇
)
là ma trận đối xứng lệch.
Vì :
̇
−2
=
̇
+
̇
+
̇
−2
=
̇
−2
Từ thuộc tính 2 với (
̇
−2) là ma trận đối xứng lệch
nên ta dễ dàng biết được (
̇
−2
) cũng là một ma
trận đối xứng lệch.
5. Thuộc tính 5 :
(
)
(
)
=
(
)
(
)
=0
Thuộc tính này cũng có thể được chứng minh một cách
đơn giản nhờ (
) , bằng việc sử dụng ̇=0, và chú ý
rằng
là độc lập tuyến tính. Thuộc tính trên là cơ bản
để thiết kế luật điều khiển trượt Force/Motion.
III. ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CHO ROBOT CÓ
RÀNG BUỘC
Trong phần này, một vấn đề bám cơ bản cho robot có
ràng buộc được xem xét. Mục tiêu của điều khiển là đưa
ra được một quỹ đạo
và lực ràng buộc
hoặc hệ số
mong muốn thỏa mãn các điều kiện ràng buộc.
ψ
(
)
=0à
=
(
)
, để xác định một luật điều
khiển trượt cho tất cả
(
(
0
)
,̇
(
0
)
∈
)
, tức là →
à→
khi→∞.
Ta nên chú ý rằng, khi
=
(
)
, thì yêu cầu duy nhất
chỉ còn là tìm luật điều khiển trượt để thỏa mãn
→
khi→∞.
Xác định:
=
(
)
−
(
)
(15)
=
∫
(
−
)
(16)
̇
=̇
−
−
(17)
Với
làsailệchbám,
làsailệchlựctíchlũy,
là quỹ đạo tham chiếu,
,
là ma trận điều hướng.
là một vector hằng số r chiều, có chứa các yếu tố chưa
biết trong thiết lập đã chọn phù hợp của các thông số
Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 3
động tương đương, sau đó các thông tuyến tính động lực
học ( từ thuộc tính 3) dẫn đến
̈
+
̇
+=
(
,̇
,̇
,̈
)
Với
(
,̇
,̇
,̈
)
là ma trận nxr của hàm đã biết của
, ̇
, ̇
, ̈
Mặt trượt được xác định như sau:
=̇
−̇
=̇
+
+
(
19
)
Bộ điều khiển trượt được xác định như sau:
=
(
,̇
,̇
,̈
)
−
(
)
−
(
)
(
20
)
Với
đượcxácđịnhtrong
(
18
)
, Lđược
xácđịnhtrong
(
11
)
,và=
[
,….
]
làhàm được thiết kế theo các biến cấu trúc như lí thuyết
[7] dưới đây.
Dựa trên các mặt trượt (19), sử dụng (14), (18), (19), (20)
và sau một số tính toán ta thu được:
̇
=
−
−
−
(
−
)
Theo như thuộc tính 5, công thức trên được biến đổi
thành:
̇
=
̇
=
−
−
−
(
21
)
Để xác định thuật toán điều khiển, ta xác định hàm
Lyapulov như sau:
=
(22)
Đạo hàm hai vế của V theo thời gian và sử dụng thuộc
tính 4 ta được:
̇
=
1
2
̇
+
̇
+
̇
=
̇
+
=
(
−
−
−
)
+
=
(
−
−
)
(23)
Chọn:
=−
(
)
;=1,
(
24
)
Với
>
|
|
,∀,tađượckếtquả
̇
=−
−
(
)
−
(
)
≤
<0
(
25
)
Từ (22) và (25), hiển nhiên ||s
1
|| ít nhất hội tụ theo hàm
mũ tới không, tức là
→0,và
→0khi→∞. Cũng
với
=(
) , điều này cho thấy rằng
→
nếu
→
, do đó chúng ta đề xuất lí thuyết sau đây.
Lý thuyết: Xét hệ thống robot mô tả bởi (1), sử dụng luật
điều khiển (20) và (24). Hệ thống vòng kín là ổn định
tiệm cận toàn cục theo nghĩa là:
→
và→
khi→∞
Với bất kì
(
(
0
)
,̇
(
0
)
∈
)
Dưới đây là một số nhận xét đáng lưu ý:
Trong định lý, luật điều khiển có liên quan đến các tham
số bị chặn trong một cách đơn giản để các biến thể tham
số trong có thể được đưa vào tính dễ dàng.
Khi luật điều khiển là không liên tục qua mặt phẳng
trượt, một luật điều khiển như vậy sẽ dẫn đến điều khiển
chattering. Chattering là hiện tượng không mong muốn
trong thực tế vì nó ảnh hưởng đến hoạt động điều khiển
và xa hơn nữa có thế gây ra kích thích các tần số động
lực học cao đã bỏ qua trong quá trình mô hình hóa. Điều
này có thể được khắc phục bằng cách xấp xỉ các luật điều
khiển liên tục bằng một bộ ĐK liên tục bên trong lớp biên
[13]. Để làm điều này, các (∙) (24) được thay thế
bằng cách đặt (∙/) với là độ dày lớp biên. Điều này
dẫn đến nó bám đảm bảo chính xác trong một độ chính
xác cho trước.
IV. VÍ DỤ MÔ PHỎNG
Một cơ cấu robot với 2 khớp được ràng buộc trong một
đường tròn được đưa ta trong tài liệu [8], được sử dụng
để xác minh tính hợp lệ của các phương pháp điều khiển
được nêu trong báo cáo này. Các ma trận trong mô hình
(1), trong trường hợp này được viết như sau:
(
)
=
++2
+
+
(
,
)
=
−̇
̇
−
(
̇
+̇
)
0
(
)
=
+
cos(
+
)
cos(
+
)
Trong đó,
=
, làgiatốctrọngtrường; và có 3
thông số chưa biết được xác định như sau:
=
(
+
)
;=
;=
Ràng buộc là một đường tròn trong không gian làm việc
với tâm trùng với trục quay của liên kết đầu tiên. Hình 1
mô tả các liên kết. Mặt ràng buộc được mô tả bằng
phương trình sau:
(
)
=
+
−
=0, =
[
]
(26)
Chuyển từ không gian làm việc sang không gian khớp
được đưa ra bởi:
(
)
=
+
cos(
+
)
+
sin(
+
)
(27)
Phương trình ràng buộc trong không gian khớp là
(
)
=
+
+2
−
=0 (28)
Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 4
Khi đó
là một hằng số được xác định bởi
=cos
−
(
+
)
2
∗
(
29
)
Ma trận Jacobien của (28) là:
(
)
=
0
−2
(
30
)
Do đó ma trận trong (11) được xác đinh bởi :
(
)
=
[
10
]
Mô hình chuyển động ràng buộc trong (14), khi liên kết
là đường tròn, có thể được thể hiện như sau :
++2
∗
+
∗
̈
+
0
̇
∗
̇
+
∗
+
cos(
+
∗
)
cos
(
+
∗
)
=
+
0
−2
∗
(
32
)
Lực ràng buộc là :
=0;
=−2
(
∗
)
(33)
Mục tiêu điều khiển là xác định điều khiển phản hồi đề
khớp q
1
bám được theo quỹ đọa mong muốn
và duy
trì lực ràng buộc
→
, với
và
được giả thiết để
phù hợp với các ràng buộc.
Khi →
nghĩa là
→
, do đó mô phỏng này,
và
đượcchọnnhưsau:
=
−90+52,5
(
1−cos
(
1,26
))
15
(
34
)
=10
(
35
)
Các giá trị đúng của các tham số : =0,8;=
0,32và=0,4. Do đó,
=1;
=
=0,3vàhai
thông số
=30 ;
=1.
Khi bám quỹ đạo trong một bề mặt giới hạn với lực ràng
buộc được quan tâm, vị trí ban đầu và vận tốc của tay
máy được chọn trên quỹ đạo mong muốn là:
(
0
)
=−90;
(
0
)
=80;̇
(
0
)
=̇
(
0
)
=0
Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 5
Lực ràng buộc ban đầu được giả định như sau:
=
0;tứclà=0. Trong việc điều khiển giảm hiện tượng
chattering, các ranh giới được lựa chon như sau:
=
=
=0,05.
Kết quả của mô phỏng được ở hình 2-7. Hình 2 mô tả
quỹ đạo khớp mong muốn. Hình 2 mô tả quỹ đạo thực tế
của khớp 1 với sai lệch bám tối đa là 0,06 rad, và hình 3
thể hiện hệ số lực . Cuối cùng giá trị sai lêch tối đa
là
0,1. Mặt trượt
được thể hiện ở hình 5 và hình 6 + hình
7 thể hiện momen xoắn tại khớp tay máy. Những kết quả
trên thể hiện rằng mục tiêu điều khiển đã thành công.
V. KẾT LUẬN
Thuật toán điều khiển trượt để bám quỹ đạo kết thúc hiệu
ứng trong một mặt trựợt ràng buộc holonomic với lực
ràng buộc xác địnhđược trình bày bằng cách sử dụng các
lí thuyết về hệ thống cấu trúc biến. Những đóng góp lớn
của chú ý này nằm trong việc thành lập một mô hình
động lực học mới để mô tả chuyển động Robot có ràng
buộc, làm cho nó có thể tìm kiếm một luật điều khiển chế
độ trượt. Bằng cách mở rộng kích thước của mặt trượt để
để bao gồm những lực ràng buộc, một công thức chế độ
điều khiển mặt trượt rõ ràng thu được đảm bảo sự xuất
hiện của chế độ trượt trên giao lộ của các bề mặt mà
không cần phải ổn định mỗi một cá nhân. Một ví dụ đơn
giản về 2 liên kết tay máy và ràng buộc bởi vòng tròn đã
được sử dụng để minh họa cho phương pháp phát triển
trong lưu ý này, và kết quả mô phỏng là khá khả quan.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] N. H McClamroch and D. Wang, “Feadback
stabilization and tracking of constrained robots,” IEEE
Trans. Automat. Contr., vol. 33, pp. 419-426, May 1988.
[2] J. K. Mills and A. A. Goldenberg, “Force and position
control of manipulators during constrained motion tasks,
“IEEE Trans. Robot. Automat., vol. 5, pp. 30-46, Feb.
1989.
[3] L. Lui, Y. Han, R. Lingarkar, N. A. Sinha, and M. A.
Elbestawi, “On adaptive force/motion control of
constrained robots,” in Proc. ZECON’89, 1989, p. 433.
[4] X. Yun, “Dynamic state feedback control of
constrained robot manipulator,’’ in Proc. IEEE ConJ
Decision Contr., 1988, p. 433.
[5] C. Y. Su, T. P. Leung, and Q. J. Zhou, “Adaptive
control of robot manipulators under constrained motion,”
in Proc. IEEE Conf. Decision Contr., 1990, p. 2650.
[6] V. I. Utkin, “Discontinuous control system: state of
the art in theory and application,” Preprint 10th ZFAC
World Congress, 1987, vol. 1, p. 75.
[7] V. I. Utkin, Sliding Modes and Their Applications.
Mir: Moscow, 1978.
[8] K. D. Young, “Applications of sliding mode to
constrained robot motion control,” in Proc. Amer. Contr.
Conf., 1988, p. 912.
[9] M. W. Spong and M. Vidyasagar, Robot Dynamics
and Control. New York: 1989.
[10] P. Khosla and T. Kanada, “Parameter estimation of
robot dynamics,” in Proc. IEEE Conf. Decision Contr.,
1985.
[11] D. Koditschek, “Natural motion of robot arms,” in
Proc. IEEE Conf. Decision Contr., 1985.
[12] N. H. McClamroch and H P. Huang, “Dynamics of
a closed chain manipulator,” in Proc. Amer. Contr. Conf.,
1985, p. 50.
[13] J. J. E. Slotine and S. S. Sastry, “Tracking control of
nonlinear system using sliding surface, with application
to robot manipulators,” Znt. J. Contr., vol. 48, pp, 465-
492, 1983.
Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 6
Comments On “Foce/Motion Control of Constrained Robots Using Sling Mode”
M. T. Grable and M. M. Bridges
I. LỜI GIỚI THIỆU
Ghi chú này giải quyết sai sót trong phân tích ổn định của điều khiển lực được trình bày ở [1]. Ở [1], các
tác giả đã cố gắng sử dụng đồng thời chế độ điều khiển trượt bám quỹ đạo và điều khiển lực cho cánh tay
robot. Họ cho rằng luật điều khiển của họ, cùng với các sai lệchlực ràng buộc trong định nghĩa của bề mặt
trượt, gây ra sai lệch của ổn định tiệm cận. Tuy nhiên, luật điều khiển lực riêng biệt phải được thực hiện
xác định và phân tích sự ổn định riêng biệt để xác định trạng thái sai lệch của lực. Tổng quan về các sai sót
trong [1] bây giờ sẽ được đưa ra, với số phương trình được đề cập ở [1].
Các mặt trượt được định nghĩa là:
1 1 2
m m f
s e e e
(19)
Với
m
e
là véctơ sai lệch vị trí,
f
e
là véctơ sai lệch lực
tĩnh lũy, và
1
2
là ma trận điều hướng.
Công thức này được xuất phát từ định nghĩa điển hình
của một mặt trượt như một phương trình vi phân tuyến
tính trong một biến sai lệch bám[2]. Phân tích sự ổn
định thực hiện trong [1] cho thấy
0
s
. Điều kiện
đó đã dẫn đến kết quả là cả hai
0
m
e
và
0
f
e
.
Thật không may,
m
e
và
f
e
không có quan hệ với nhau
về động học hay kiểu đại số để có thể kết luận phải
dùng tới giới hạn của chúng, và cụ thể là
0
s
.
Sai lệch lực tích lũy được định nghĩa là:
0
t
f d
e f v f v
(16)
Với
f
và
d
f
tương ứng là lực ràng buộc thực tế và
đặt (mong muốn).
Yêu cầu được thực hiện ở [1] đó là
0
f d
e f f
. Nó tương đương với
0 0
f f
e e
. Điều này không thể được chứng
minh trừ khi có thêm thông tin về
f
e
. Ví dụ, nếu có
thể chỉ được ra rằng
f
e
đều liên tục, hoặc là
f
e
bị
chặn, sau đó sử dụng bổ đề Barbalat để có đượcc kết
quả mong muốn [2]. Cho
f
e
như định nghĩa, điều này
đòi hỏi phải thể hiện rằng
d
f f
đều liên tục, hoặc
d
f f
bị chặn. Phân tích lực bám được đưa ra
trong [1] không cung cấp thông tin đó.
Dưới đây là một số gợi ý để sửa đổi định nghĩa của mặt
trượt và luật điều khiển được đưa ra trong [1], và phân
tích điều khiển lực thay thế.
Trước tiên chúng ta loại bỏ (16), định nghĩa của sai
lệch lực tích lũy. Kết quả là, từ quỹ đạo (17) bây giờ
được đưa ra bởi:
1 1
r d m
q q e
(A)
Với
là ma trận điều chỉnh không đổi. Giữ nguyên
phương trình (18) và mặt trượt (19) bây giờ được cho
bởi:
1
m m
s e e
(B)
Chúng ta tiếp tục giả định rằng mong muốn quỹ đạo
1
d
q
và các đạo hàm của nó
1
d
q
và
1
d
q
bị chặn. Xác
định lại luật điều khiển (20) bởi:
1 1 1 1 1 1
1 1
, , , ( ) ( )
T
r r c
u Y q q q q L q s J q
(C)
Với
c
là lực điều khiển xác định bởi
c d
Ke
(D)
K là ma trận không đổi
m m
của điều khiển lực phản
hồi
d
e
(E)
Đó là hệ số sai lệch lực, và
được định nghĩa như
trong (24).
Thay thế (C) vào trong mô hình động lực học để triệt
tiêu (14) và sử dụng tính chất 3, chúng ta có:
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1
, , , ( ) ( )
( ) , ,
T
r r c
T
Y q q q q L q s J q
J q Y q q q
(F)
Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 7
Phương trình có thể được viết lại như sau:
1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1
1 1
[ , ,
, , , ( ) ]
c r
r r
J q Y q q q
Y q q q q L q s
(G)
Khi J không phải là duy nhất
Phân tích tính ổ định từ (20) đến (25) trong [1] để thấy
rằng
0
s
. Sử dụng công thức (B) ở trên và lý
thuyết hệ thống tuyến tính dễ dàng có
0
m
e
và
0
f
e
. Do đó
1
s
,
m
e
và
m
e
bị chặn. Sử dụng (15)
và (17) dễ dàng có được
1 1 1 1
, , ,
r r
q q q q
đều bị chặn hết.
do đó tất cả tín hiệu (“signals”) vế bên phải của 21 đều
bị chặn và chúng ta có thể kết luận rằng
1
s
bị chặn. Sử
dụng (B) và (15) cho phép chúng ta kết luận rằng
1
q
bị
chặn. vì vậy tất cả các tín hiệu (“signals”) bên phải của
(G) đều bị chặn, ta có thể viết lại (G):
1 1 1 1 1
0
, , , ,
c r r
q q q q q
(H)
Với
0
là hàm bị chặn. Sử dụng (15) và (17) lần nữa,
có thể viết lại (H) như sau:
1 1 1 1 1 1
, , , , ,
c d d d
q q q q q q
(I)
Với
là hàm bị chặn. Thay thế vào lực điều khiển ở
(D) vào (I) thu được:
1
( )
e K I
(J)
Với I là ma trận đơn vị. Do đó,
e
và sai lệch lực
d
f f
bị chặn và có thể điều chỉnh được bằng các
ma trận phản hồi đầu ra (“feedback gain”) K. Kết quả
này để điều khiển lực tương tự kết quả được trình bày
trong [3] và [4].
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] C. Y. Su, T. P. Leung, and Q. J. Zhou,
“Force/motion control of constrained robots using
sliding mode,” IEEE Trans. Automat. Cont., vol. 37,
no. 5, May 1992, pp. 668-672.
[2] J. J. E. Slotine and W. Li, Applied Nonlinear
Control. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1991.
[3] M. T. Grabbe, J. J. Carroll, D. M. Dawson, and Z.
Qu, “Robust control of a robot manipulator during
constrained and unconstrained motion,” IEEE Int. Conf
Robotics Automation, Nice, France, May 1992, pp.
21462 15 1,
[4] R. Carelli and R. Kelly, “An adaptive
impedance/force controller for robot manipulators,”
IEEE Trans. Automat. Cont., vol. 36, no. 8, Aug. 1991,
pp, 967-971.
Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 8
Correspondence
Sliding-Mode Motion/Force Control of Constrained Robots
Kuang-Yow Lian and Chia-Ru Lin
Tóm tắt–Một bộ điều khiển trượt được đề xuất để điều khiển đồng thời vị trí và lực cho robot tay máy có
ràng buộc với những tham số bất định. Trên cơ sở bộ điều khiển đó, những quỹ đạo của hệ thống vòng kín
sẽ đạt được một mặt trượt trong thời gian hữu hạn. Với điều kiện đó, sự hội tụ tiệm cận của sai số chuyển
động và sai số lực có thể được bảo đảm thành công so với các nghiên cứu trước đấy.
Thuật ngữ: Robot có ràng buộc, điều khiển chuyển động và lực, điều khiển trượt.
I. GIỚI THIỆU
Những thuận lợi của việc sử dụng điều khiển trượt bao
gồm đáp ứng nhanh, bền vững với vấn đề sự thay đổi
tham số [3], [6]. Trong việc xem xét các thuận lợi của
điều khiển trượt, mặt trượt riêng biệt, xác định sai số
chuyển động và sai số lực được sử dụng trong [1],[5]
để xây dựng bộ điều khiển cho robot có ràng buộc.
Trong các chương trình, sai số lực bám được cho thấy
là tốt nhất, to be arbitrarily small by using high gain.
Để đơn giản hóa phương pháp thiết kế và chứng minh
sự ổn định, các tác giả trong [4] đã cố gắng sử dụng
điều khiển chuyển động và lực đồng thời cho một
roobot tay máy có ràng buộc. Tuy nhiên có một vài lỗi
trong bài báo này được chỉ ra trong [1]. Việc nghiên
cứu của chúng tôi là dành cho điều khiển chuyển động
và lực cho robot có ràng buộc. Dưới đây là một mặt
trượt mới về sai số chuyển động và lực dược chỉ ra,
theo đó sự ổn định tiệm cạn của sai số chuyển động
bám và sai số lực bám có thể được bảo đảm. Do đó, sai
số trong [4] có thể tránh được trong khi hiệu suất được
cải thiện. Ngoài ra, việc thiết kế điều khiển và chứng
minh ổn định có thể thực hiện một các đơn giản.
II. MÔ HÌNH ĐỘNG LỰC CÓ RÀNG BUỘC
Xét hệ thống robot n thanh liên kết cứng với nhứng
điều kiện ràng buộc. Cho
n
q
là vecto tọa độ tổng
quát và
( ) 0
h q
, trong đó :
n n
h
, biểu thị các
điều khiện ràng buộc. Để thực hiện các nguồn gốc tiếp
theo, các gả định dưới đây liên quan đến phương trình
ràng buộc
( ) 0
h q
được thực hiện.
Giả định 1:Tồn tại tập
n m
và hàm :
n
1 2
; ( )
q q
sao cho
1 2
([q ,q ])=
h
2 2
h([ ( ), ) 0.
q q
Hơn nữa, sự bị chặn của
2
/
q
trong không gian
làm việc được giả định.
Phương trình động lực học của robot tay máy có ràng
buộc có thể được chứng minh từ [2]:
( ) ( , ) ( )
M q q C q q q G q f
(1)
Trong đó
( ), ( , ), ( )
M q C q q G q
và
lần lượt là ma
trận quán tính, ma trận hương tâm và Coriolis, vecto
trọng lực và môn men đầu vào,
n
f
và biểu thị cho
sự ràng buộc về lực.
Lực ràng buộc là cần thiết để luôn luôn chủ động điều
khiên thích hợp.
( )
A q
là ma trận Jacobien của phương
trình ràng buộc. Suy ra
( )
T
f A q
, với
n
là
vecto lực ràng buộc. Như trong [2], ta giả định
( )
A q
có đủ hạng hàng (row rank) trong không gian làm việc.
Chú ý, ta luôn có
( ) 0
h q
, suy ra
( ) 0
h q q
.Cho:
( )
2
[0 I ]
n m n
n m
E
Và
2
2
( )
0
m
n m
I q
T
q
I
Xác định:
2
2
2
( )
T
n m
q
J TE
q
I
Từ đó suy ra :
2
q Jq
, cũng chú ý ràng
2
( ) 0
A q Jq
với mọi
( )
2
n m
q
. Điều đó có nghĩa rằng
2 ( )
( ) ( ) 0
T T
n m m
J q A q
và
2 ( )
( ) ( ) 0
m n m
A q J q
Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 9
với mọi
n
q
. Theo đó, mô hình đông lực (1) có thể
viết dưới dạng:
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
T T
E M q E q CE q G q E
(2)
Trong đó:
, ( )
T T
M T MT C T MT CT
, .
T T
G T G T
Một số thuộc tính về mô hình động lực giản lược được
bổ sung dưới đây:
Thuộc tính 1: Trong không gian làm việc
2 2
, ( , )
C q q
và
2
( )
M q
bị chặn nếu
2
q
và
2
q
bị chặn;
2 2
( , )
C q q
bị chăn nếu
2 2
,
q q
và
2
q
bị chăn.
Thuộc tính 2: Ma trận
M
xác định dương. Hơn nữa,
với một lựa chọn thích hợp của
C
,
2
M C
là ma
trận đối xứng lệch.
Thuộc tính 3: Phương trình của chuyển động được
tuyến tính hóa:
2 2 2 1 2 2 2
2 ( , , )
T T
ME q CE qL G Y q q q
(3)
Trong đó
1
( )
Y
là ma trận
n Y
chứa các hàm có thể
xác định được, và
là vecto r chiều chứa các thông số
chưa biết hoặc bất định.
Các tính chất này có thể dễ dàng chứng minh tren cơ
sở các thuộc tính được trình bày trong ví dụ,[4].
III. ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CHO ROBOT CÓ
RÀNG BUỘC
Bộ điều khiển trượt được đề xuất trong phần này để
điều khiển hệ thống robot có ràng buộc, do dó sai số
chuyển động bám và lực bám phải tiến tới 0,
( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )
d d d
q t q t q t q t t t
khi
t
Trong đó
( )
d
q t
là quỹ đạo đạt và
( )
d
t
đại diện cho
lực ràng buộc đặt. Quỹ đạo đặt phải thỏa mãn các
phương trình
1 2
d d
q q
. Xác định:
2 2
0
2 2
( ) ( ),
( ) ,
( ) ,
n m
p d p
t
T n
f d f
T n
r p d f r
e q t q t e
e A dt e
q E e q e q
Trong đó
, ,
p f r
e e q
lần lượt là biểu thị sai số chuyển
động, sai số lực và tâp của tín hiệu phụ. Tham số điều
khiển
đặc trưng bởi nguời thiết kế, là một ma trận
xác định dương
( ) ( )
n m n m
. Sai số ước lượng
n
s
:
2 2 2
( )
T T
r p p f
s q E q E e e e
(4)
Trong đó bao gồm sai số chuyển động cũng như sai số
lực. Sai số ước lượng biểu thị độ lệch từ mặt trượt
( ) 0
s t
. Chú ý rằng chuyển động bám và lực bám có
thể được bảo đảm một lần sai số ước lượng s có thể
được điều khiển tiến về 0. Để chứng minh điều này,
mở rộng (4) bởi
T
J
sinh ra từ
T
p p
e e J s
. Khi
( ) 0
s t
thì
0
p p
e e
. Hơn nữa,
lim 0
t f
e
có
thể được bảo đảm từ (4). Một các đơn giản,
, ,
p p f
e e e
hội tụ về 0 khi
t
cũng như
( ) 0
s t
. Mối quan
hệ của sai số ước lượng với sai số động lực có thế được
viết lại theo mẫu dưới đây:
2 2
2 2
( )
.
T
r
T T T
r
Ms M q E q
Mq CE q G T A
(5)
Theo thuộc tính 3,
r r
Mq Cq G
có thể được đơn
giản như
2 2
( , , , )
r r
Y q q q q
với định nghĩa thích hợp
của những hàm đo được của ma trận
Y
. Vì vậy, nếu
cài đặt luật điều khiển
theo mẫu:
sgn
T T
K s T A Y
(6)
Trong đó:
1 2
, , , , 0,
n l
K diag K K K K
1,2, , ;
l n
và
1 2
, , ,
T
r
là hàm chuyển đổi
được thiết kế theo lý thuyết trượt [6] như dưới đây:
1
sgn , 1,2, ,
n
i i j ji
j
s Y i r
Với
i i
thì sai sô động lực (5) có thể được viết lại
như sau:
Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 10
( )
sgn .
T T
r r
Ms Mq C q s G T A
Y Cs K s Y
(7)
Phân tích ổn đinh hoàn toàn của sai số hệ thống được
đưa ra sau khi chứng minh định lý dưới đây.
Định lý:Xét hệ thông vòng kín được xác định bời bộ
điều khiển (6) và robot có ràng buộc,đó là (1) với ràng
buộc
( ) 0
h q
.Cho rằng giả định 1 được thỏa mãn.
Thì quỹ đạo hệ thống đạt tới mặt trượt
( ) 0
s t
trong
thời gian hưu hạn. Ngoài ra,
( ), ( ), ( )
q t q t t
lần lựơt
tiệm cận giá trị đặt
( ), ( ), ( )
d d d
q t q t t
khi
t
Chứng minh:
Xét hàm Lyapunov
1
2
T
V s Ms
. Đạo hàm của V theo
thời gian ta có:
1
1 1 1
1 1
1
2
0
n
T T T T
l l
l
n r n
l l j ji i
l i j
r n n
j ji i l l
i j l
V s Ms s Ms K s s Y s Y
K s s Y
s Y K s
(8)
Trong đó (7) và thuộc tính 2 được áp dụng trong đẳng
thức thứ 2.
Do đó, tính bị chặn của tất cả tín hiệu có thể được kết
luận qua (4) và (8). Ngoài ra, quỹ đạo sẽ tiến tới mặt
trượt
0
s
trong thời gian hữu hạn. Sau những lập
luận đó, theo (4), có thể chỉ ra rằng
, ,
p p f
e e e
hội tụ về
0 khi
t
. Ngoài ra,
t 1 1d
lim q = q
do
1 2
( )
q q
và
1 2
( )
d d
q q
;
d
khi
t
.
Thực tế rằng
s L
có nghĩa là ,
p f
e e L
do (4)
Tương tự
s L
và thuộc tính 1,
;
s L
như vậy
f
e L
được giải quyết bởi (4) và (7). Từ kết quả đó,
, ;lim
f f t f
e e L e
, nó kéo theo
lim 0
t f
e
theo bổ đề Barbalat. Viết lại
f
e
như dưới đây:
0
t
T T
f d d
e A d A
Trong đó
0
lim 0
t
t d
d
vì
lim 0
t f
e
và A có full row rank. Vậy nên,
d
khi
t
.
Nhận xét 1: Có thể thay thế (6) với
.
T T
Ks T A Y
Sau đó theo các lập luận
tương tự, có thể chứng minh rằng s tiệm cận 0 theo cấp
số nhân, đảm bảo hơn nữa , ,
d d d
q q q q
khi
t
.
Nhận xét 2: Luật điều khiển không liên tục (6) sẽ cho
kết quả trong một hiện tượng chattering. Điều đó có
thể được khác phục bằng cách sử dụng các bộ lọc kĩ
thuật giống như kỹ thuật chặn lớp hay thay thế hàm
signum bằng hàm liên tục [3],[4].
IV. MỘT VÍ DỤ MINH HỌA.
Là một ví dụ để xác minh tính hợp lệ của bộ điều khiển
đề xuất, đây là một máy phun hai chiều Cartesian với
ràng buộc là đường tròn được xem xét. Một hệ thông
được phác họa trên hình 1. Động lực học của robot
ràng buộc là:
+
0
0
̈+
(
+
)
0
=+
Với một phương trình ràng buộc vô hướng được cho
bởi ℎ
(
)
=
+
−1=0. Để cho đơn giản, ta đặt
Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 11
=
=1 và không biết trong thiết kế bộ điều
khiển. Qũy đạo mong muốn được cho bởi:
=
cos
4
sin
(
)
sin
4
sin
(
)
=10+5sin
(
)
Quỹ đạo mong muốn
và vị trí không gian khớp
của mô phỏng xuất hiện trên hình 2. Vận tốc mong
muốn
và vận tốc khớp
được thể hiện trên hình
3, trong khi đó lực mong muốn
và lực ràng buộc
được thể hiện trên hình 4. Hiệu suất dự kiến có thể
được xác nhận từ các kết quả bằng số.
V. KẾT LUẬN
Một bộ điều khiển trượt thành phát triển thành công để
điều khiển chuyển động và điều khiển lực ràng buộc
robot có các tham số không chắc chắn. Mặt trượt được
xác đinh bởi sự tổng hợp các biến lỗi chuyển động
cũng như các biến lỗi về lực. Một vài thuộc tính của
động lực học được giảm bớt của robot ràng buộc được
trình bày và khai thác để chứng minh các thuộc tính
tiệm cận bám của bộ điều khiển chế độ trượt. Cuối
cùng, một hệ thống tay máy ràng buộc bởi đường tròn
của 2 khớp đơn giản được lấy để minh họa cho sự phát
triển trong nghiên cứu này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M. T. Grabbe and M. M. Bridges, “Comments on
force/motion control ofconstrained robots using sliding
mode,”IEEE Trans. Automat. Contr.,vol. 39, p. 179,
Jan. 1994.
[2] N. H. McClamroch and D. Wang, “Feedback
stabilization and tracking of constrained robots,” IEEE
Trans. Automat. Contr., vol. 33, pp. 419–426, 1988.
[3] J. J. E. Slotine and S. S. Sastry, “Tracking control
of nonlinear systemsusing sliding surface, with
application to robot manipulators,”Int. J.Contr., vol.
48, pp. 465–492, 1983.
[4] C Y. Su, T P. Leung, and Q J. Zhou,
“Force/motion control of constrained robots using
sliding mode,”IEEE Trans. Automat. Contr.,vol. 37,
pp. 668–672, May 1992.
[5] C. Y. Su, Y. Stepanenko, and T P. Leung,
“Combined adaptive and variable structure control for
constrained robots,”Automatica, vol. 31, no. 3, pp.
483–488, 1995.
[6] V. I. Utkin, Sliding Modes and Their Applications.
Moscow, Russia:Mir, 1978.
