Đề thi ĐH môn Toán qua các năm có hướng dẫn giải

Sở GD-ĐT phú thọ
Trờng T.H.p.t long châu sa é THI thử I H C
N M học: 2010-2011
Mụn thi : TON
Thời gian làm bài:150 phút(không kể thời gian giao đề)
PH N CHUNG CHO T T C TH SINH (7,0 i m)
Cõu I:(2 i m)
Cho hm s :Đ (C)
1. Kh o sỏt v v th hm s .
2. Vi t ph ng trỡnh ti p tuy n v i (C), bi t ti p tuy n ú i qua giao i m c a ng ti m c n v tr c Ox.
Cõu II:(2 i m)
1. Gi i ph ng trỡnh: Đ
2. Gi i ph ng trỡnh: Đ
Cõu III: (2 i m)
1.Tính nguyên hàm: Đ
2.Giải bất phơng trình:Đ
Cõu IV: (1 i m)
Trong m t ph ng Oxy cho tam giỏc ABC cú
tr ng tõm G( 2, 0) bi t ph ng trỡnh cỏc c nh AB, AC theo th t l 4x + y + 14 = 0; Đ. Tỡm t a cỏc nh A,
B, C.
PH N RIấNG (3 i m)
Chú ý:Thí sinh chỉ đợc chọn bài làm ở một phần nếu làm cả hai sẽ không đợc chấm
A. Theo ch ng trỡnh chu n
Cõu Va :
1. Tỡm h s c a x8 trong khai tri n (x2 +
2)n, bi t: Đ.
2. Cho ng trũn (C): x 2 + y2 2x + 4y + 2 = 0.
Vi t ph ng trỡnh ng trũn (C') tõm M(5, 1)
bi t (C') c t (C) t i cỏc i m A, B sao cho
Đ.

B. Theo ch ng trỡnh Nõng cao
Cõu Vb:
1. Gi i ph ng trỡnh :Đ
2. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD
l hỡnh vuụng tõm O, SA vuụng gúc v i đáy hỡnh chúp.
Cho AB = a, SA = aĐ. G i H v K l n l t l hỡnh chi u vuông góc c a A lờn SB, SD.
Ch ng minh SC ( (AHK) v tớnh th tớch khối chúp OAHK.
H t.
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
1x2
1x
y
+
+
=
sin 2 cos 2
cot
cos sin
x x
tgx x
x x
+ =
( )
1
xlog1
4
3logxlog2
3
x93
=

sin 2
( )
3 4sin 2
xdx
F x
x cos x
=
+

1 2 3x x x
02y5x2 =+
49CC8A
1
n
2
n
3
n
=+
3AB =
( ) ( )
21x2log1xlog
3
2
3
=+
2

Hớng dẫn chấm môn toán
Câu ý Nội Dung Điểm
I 2
1 Khảo sát hàm số (1 điểm) 1

TXĐ: D = R\ {-1/2}
Sựự Biến thiên: Đ
Nên hàm số
nghịch biến trên Đ
0,25
+ Giới hạn ,tiệm cận:
Đ
Đ ĐĐTHS có tiẹm cận
đứng : x = -1/2
Đ
Đ ĐđTHS có tiệm cận
ngang: y = -1/2
0,25
+ Bảng biến thiên:

Đ


0,25
( )
,
2
3
0
2 1

y x D
x

= <
+
1 1
( ; ) ( ; )
2 2
va +
1
2
lim
x
y
+

= +
1
2
lim
x
y


=

1
lim
2
x

y

=
1
lim
2
x
y
+
=

x
y
y


-1/2
-
-
-
1/2


-1/2
• §å ThÞ :

§


0,25

2
Giao đi m c a ti m c n đ ng v iể ủ ệ ậ ứ ớ
tr c Ox là §ụ
Ph ng trình ti p tuy n (()ươ ế ế
qua A có d ng §ạ
(() ti p xúc v i (C) §ế ớ
0,25
§
Th (2) vào (1) ta có ptế
hoành đ ti p đi m làộ ế ể
§
0,25
§ và § §
§. Do đó §
0,25
y
x
0
I
-1/2
1
1
-1/2






− 0,

2
1
A






+=
2
1
xky
/
x 1 1
k x
2x 1 2
x 1
k co ù nghieäm
2x 1
− +
 
= +
 ÷


+
 
⇔


− +
 

=
 ÷

+
 

( )







=
+
−






+=
+
+−
⇔

)2( k
1x2
3
)1(
2
1
xk
1x2
1x
2
( )
2
1
3 x
x 1
2
2x 1
2x 1
 
+
 ÷
− +
 
= −
+
+
1
(x 1)(2x 1) 3(x )
2
⇔ − + = +

1
x
2
≠ −
3
x 1
2
⇔ − =
5
x
2
⇔ =
12
1
k −=
 V y ph ng trình ti p ậ ươ ế
tuy n c n tìm là: §ế ầ 0,25
II 2
1
1. Gi i ph ng trình: §ả ươ
(1)
(1)§
§
0,25
§
§
0,25
§ 0,25
§ 0,25
2

2. Ph ng trình: §ươ
(1)
(1)§
0,25
1 1
y x
12 2
 
= − +
 ÷
 
gxcottgx
xsin
x2cos
xcos
x2sin
−=+
xsin
xcos
xcos
xsin
xcosxsin
xsinx2sinxcosx2cos
−=
+
⇔
( )
xcosxsin
xcosxsin
xcosxsin

xx2cos
22
−
=
−
⇔
cosx cos2x sin2x 0⇔ = − ∧ ≠
2
2cos x cosx 1 0 sin2x 0⇔ + − = ∧ ≠
1
cosx (cosx 1 :loaïi vì sinx 0)
2
⇔ = = − ≠
π+
π
±=⇔ 2k
3
x
( )
1
xlog1
4
3logxlog2
3
x93
=
−
−−
( )
1

xlog1
4
x9log
1
xlog2
33
3
=
−
−−⇔

§
đ t: t = logặ 3x

0,25
thành §
(vì t = -2, t =
1 không là nghi m)ệ
§

0,25
Do đó,
(1)§
0,25
III 2
1 1
Ta cã §
0,25
§¨t u = sinx§ O,25
Ta cã: §

0,25
VËy § 0,25
2 1

§k:§
Bpt§
0,25
§

0,25
0,25
0,25


1
xlog1
4
xlog2
xlog2
33
3
=
−
−
+
−
⇔
2
2 t 4
1 t 3t 4 0

2 t 1 t
−
− = ⇔ − − =
+ −
t 1 hay t 4⇔ = − =
3
1
log x 1 hay x 4 x hayx 81
3
⇔ = − = ⇔ = =
2 2
sin 2 2sin cos
( )
3 4sin (1 2sin ) 2sin 4sin 2
xdx x xdx
F x
x x x x
= =
+ − − + +
∫ ∫
cosdu xdx
⇒ =
( )
2
2
( ) ( )
1 ( 1)
1
1
ln 1

1
udu du du
F x G u
u u
u
u c
u
= = = −
+ +
+
= + + +
+
∫ ∫ ∫
1
( ) ln 1
sin 1
F x sinx c
x
= + + +
+
3x ≥
2
1 2 3
2 5 6 4
x x x
x x x
⇔ + ≥ − + −
⇔ − + ≤ −
2
4 0

3 12 8 0
3 4
6 2 3 6 2 3
3 3
6 2 3
3
3
x
x x
x
x
x
− ≥

⇔

− + ≤

≤ ≤


⇔

− +
≤ ≤


+
⇔ ≤ ≤
IV 1

. T a đ A là nghi mọ ộ ệ
c a h ủ ệ ⇒ A(–4, 2)
0,25
Vì G(–2, 0) là tr ng tâm c a ọ ủ ∆ABC nên
(1)

0,25
Vì B(xB, yB) ∈ AB ⇔ yB = –4xB – 14 (2)
C(xC, yC) ∈ AC ⇔ ( 3)
0,25
Th (2) và (3) vào (1) ta cóế
V y A(–ậ
4, 2), B(–
3, –2),
C(1, 0)

0,25
V.a 3
1 1
1. i u ki n n Đ ề ệ ≥ 4
Ta có:
H s c a s h ngệ ố ủ ố ạ
ch a x8 là ứ

0,25
H s c a s h ng ch a x8 là ệ ố ủ ố ạ ứ
0,25
Ta có:
⇔ (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
⇔ n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 ⇔ (n – 7)(n2 + 7) = 0 ⇔ n = 7

0,25

Nên h s c a xệ ố ủ 8 là
0,25
2 2

Ph ng trình đ ng tròn (C): xươ ườ 2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2)
§
ng tròn (C') tâm M c t đ ng tròn (C) t i A, B nên AB ( IM t i trungĐườ ắ ườ ạ ạ
đi m H c a đo n AB.ể ủ ạ

0,25
{ {
4x y 14 0 x 4
2x 5y 2 0 y 2
+ + = = −
⇔
+ − = =



−=+
−=+
⇔



++=
++=
2yy

2xx
yyyy3
xxxx3
CB
CB
CBAG
CBAG
5
2
5
x2
y
C
C
+−=



=⇒=
−=⇒−=
⇒





−=+−−−
−=+
0y 1x
2y3x

2
5
2
5
x2
14x4
2xx
CC
BB
C
B
CB
( )
∑
=
−
=+
n
0k
knk2k
n
n
2
2xC2x
4n4
n
2C
−
4n4
n

2C
−
3 2 1
n n n
A 8C C 49− + =
2802C
34
7
=
3R =
Ta có §
0,25

Có 2 v trí cho AB đ i x ng qua tâm I.ị ố ứ
G i A'B' là v trí th 2 c a ABọ ị ứ ủ
G i H' là trung đi m c a A'B'ọ ể ủ
0,25
Ta có: §
Ta có: §
0,25
và §; §
0,25
Ta có: §
§
0,25
V y có 2 đ ng tròn (C') th a ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13ậ ườ ỏ
hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43
0,25
V.b 3
1 1

1. Gi i ph ng ả ươ
trình: §
§k:§
§
0,25
§ §
0,25
§
§§
0,25
§
0,25
2 2

+BC vuông góc v i (SAB) ớ
§ BC vuông góc v i AH mà AHớ vuông v i SBớ
§AH vuông góc v i (SBC) §AHớ vuông góc SC (1)
0,25
2
3
2
AB
BHAH ===
2
2 2
3 3
IH' IH IA AH 3
2 2
 
= = − = − =

 ÷
 ÷
 
( ) ( )
2 2
MI 5 1 1 2 5= − + + =
2
7
2
3
5HIMIMH =−=−=
3 13
MH' MI H'I 5
2 2
= + = + =
13
4
52
4
49
4
3
MHAHMAR
2222
1
==+=+==
43
4
172
4

169
4
3
'MH'H'A'MAR
2222
2
==+=+==
( ) ( )
21x2log1xlog
3
2
3
=−+−
1
1
2
x< ≠
( )
3 3
2log x 1 2log 2x 1 2⇔ − + − =
( )
3 3
log x 1 log 2x 1 1⇔ − + − =
( )
3 3
log x 1 2x 1 log 3⇔ − − =
( )
x 1 2x 1 3⇔ − − =
⇔
{



>
< <

− − =

− + =

2
2
1
x 1
x 1
hoac
2
2x 3x 2 0
2x 3x 4 0(vn)
x 2⇔ =
⇒
⇒⇒
+ T ng t AK vuông góc SC (2)ươ ự
(1) và (2) §SC vuông góc v iớ (AHK )
0,25
§§SB =§
AH.SB = SA.AB §AH=§§SH=§ §SK=§
(do 2 tam giác SAB và SAD b ngằ nhau và cùng vuông t i A)ạ
0,25
§Ta có HK song song
v i BD nên §.ớ

0,25
kÎ OE// SC § suy
ra OE lµ ®êng cao cña h×nh chãp OAHK vµ OE=1/2 IC=1/4SC = a/2
0,5
G i AM là đ ng cao c a tam giác cân AHK ta có ọ ườ ủ
§ §AM=§
0,25
⇒
2 2 2 2
SB AB SA 3a= + =
⇒
a 3
⇒
a 6
3
⇒
2a 3
3
⇒
2a 3
3
HK SH 2a 2
HK
BD SB 3
= ⇒ =
( )( ( ))OE AHK doSC AHK⇒ ⊥ ⊥
2
2 2 2
4a
AM AH HM

9
= − =
⇒
2a
3
§(®vtt)
S
§
0,25
= = =
3
OAHK AHK
1 1 a 1 a 2
V OE.S . HK.AM
3 3 2 2 27
A
M
I
E
O
H
K
M
C
D
Câu II:
1. Gi i ph ng trình: § (1)ả ươ
(1)§
§
§

§
§
§
2. Ph ng trình: § (1)ươ
(1)§
§ đ t: t = logặ 3x
(1) thành
§
(vì t = -2, t = 1 không là nghi m)ệ
§
Do đó, (1)§
Câu IV:
. T a đ A là nghi m c a h ọ ộ ệ ủ ệ ⇒ A(–4,
2)
Vì G(–2, 0) là tr ng tâm c a ọ ủ ∆ABC nên
(1)
Vì B(xB, yB) ∈ AB ⇔ yB = –
4xB – 14 (2)
C(xC, yC) ∈ AC ⇔ ( 3)
Th (2) và (3) vào (1) ta cóế
V y A(–4, 2), B(–3, –2),ậ
C(1, 0)
Câu Vb:
2. (B n đ c t v hình)ạ ọ ự ẽ
+BC vuông góc v i (SAB) ớ
§ BC vuông góc v i AH mà AH vuông v i SBớ ớ
§AH vuông góc v i (SBC) §AH vuông góc SCớ (1)
+ T ng t AK vuông góc SC (2)ươ ự
gxcottgx
xsin

x2cos
xcos
x2sin
−=+
xsin
xcos
xcos
xsin
xcosxsin
xsinx2sinxcosx2cos
−=
+
⇔
( )
xcosxsin
xcosxsin
xcosxsin
xx2cos
22
−
=
−
⇔
cosx cos2x sin2x 0⇔ = − ∧ ≠
2
2cos x cosx 1 0 sin2x 0⇔ + − = ∧ ≠
1
cosx (cosx 1 :loaïi vì sinx 0)
2
⇔ = = − ≠

π+
π
±=⇔ 2k
3
x
( )
1
xlog1
4
3logxlog2
3
x93
=
−
−−
( )
1
xlog1
4
x9log
1
xlog2
33
3
=
−
−−⇔
1
xlog1
4

xlog2
xlog2
33
3
=
−
−
+
−
⇔
2
2 t 4
1 t 3t 4 0
2 t 1 t
−
− = ⇔ − − =
+ −
t 1 hay t 4⇔ = − =
3
1
log x 1 hay x 4 x hayx 81
3
⇔ = − = ⇔ = =
{ {
4x y 14 0 x 4
2x 5y 2 0 y 2
+ + = = −
⇔
+ − = =




−=+
−=+
⇔



++=
++=
2yy
2xx
yyyy3
xxxx3
CB
CB
CBAG
CBAG
5
2
5
x2
y
C
C
+−=



=⇒=

−=⇒−=
⇒





−=+−−−
−=+
0y 1x
2y3x
2
5
2
5
x2
14x4
2xx
CC
BB
C
B
CB
⇒
⇒⇒
(2) và (2) §SC vuông góc v i (AHK )ớ
§§SB =§
AH.SB = SA.AB §AH=§§SH=§ §SK=§
(do 2 tam giác SAB và SAD b ng nhau và cùngằ vuông t i A)ạ
§Ta có HK song song v i BD nên §.ớ

G i AM là đ ng cao c a tam giác cân ọ ườ ủ
AHK ta có
§ §AM=§
§
Cách khác:
Ch n h tr c t a đ Oxyz sao cho ọ ệ ụ ọ ộ
A= O (0;0;0), B(a;0;0), C( a;a;0), D(0;a;0), S (0;0; §)
Câu I:
1. Kh o sát (B n đ c t làm)ả ạ ọ ự
2. Giao đi m c a ti m c n đ ng v i tr c Oxể ủ ệ ậ ứ ớ ụ
là §
Ph ng trình ti p tuy n (() qua A có ươ ế ế
d ng §ạ
(() ti p xúc v i (C) §ế ớ
§
Th (2) vào (1) ta có pt hoành đ ti pế ộ ế
đi m làể
§
§ và § §
§. Do đó §
V y ph ng trình ti p tuy nậ ươ ế ế
c n tìm là: §ầ
Câu Va:
1. i u ki n n Đ ề ệ ≥ 4
Ta có:
H s c a s h ng ch a x8 là ệ ố ủ ố ạ ứ
Ta có:
⇔ (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
⇔ n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 ⇔ (n – 7)(n2 + 7) = 0 ⇔ n = 7
Nên h s c a xệ ố ủ 8 là

2. Ph ng trình đ ng tròn (C): xươ ườ 2 + y2 – 2x +
4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) §
⇒
2 2 2 2
SB AB SA 3a= + =
⇒
a 3
⇒
a 6
3
⇒
2a 3
3
⇒
2a 3
3
HK SH 2a 2
HK
BD SB 3
= ⇒ =
2
2 2 2
4a
AM AH HM
9
= − =
⇒
2a
3
3

OAHK AHK
1 1 a 2 1 2a
V OA.S . HK.AM
3 3 2 2 27
= = =
a 2






− 0,
2
1
A






+=
2
1
xky
/
x 1 1
k x
2x 1 2

x 1
k co ù nghieäm
2x 1
− +
 
= +
 ÷


+
 
⇔

− +
 

=
 ÷

+
 

( )








=
+
−






+=
+
+−
⇔
)2( k
1x2
3
)1(
2
1
xk
1x2
1x
2
( )
2
1
3 x
x 1
2
2x 1

2x 1
 
+
 ÷
− +
 
= −
+
+
1
(x 1)(2x 1) 3(x )
2
⇔ − + = +
1
x
2
≠ −
3
x 1
2
⇔ − =
5
x
2
⇔ =
12
1
k −=
1 1
y x

12 2
 
= − +
 ÷
 
( )
∑
=
−
=+
n
0k
knk2k
n
n
2
2xC2x
4n4
n
2C
−
3 2 1
n n n
A 8C C 49− + =
2802C
34
7
=
3R =
ng tròn (C') tâm M c t đ ng trònĐườ ắ ườ

(C) t i A, B nên AB ( IM t i trung đi m Hạ ạ ể
c a đo n AB. Ta có §ủ ạ
Có 2 v trí cho AB đ i x ng qua tâm I.ị ố ứ
G i A'B' là v trí th 2 c a ABọ ị ứ ủ
G i H' là trung đi m c a A'B'ọ ể ủ
Ta có: §
Ta
có: §
và §
§
Ta có: §
§
V y có 2 đ ng tròn (C') th a ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13ậ ườ ỏ
hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43
BÀI GI I G I Ý Ả Ợ
Câu I.
1. y = 2x4 – 4x2 . TX : D = RĐ
y’ = 8x3 – 8x; y’ = 0 ( x = 0 ( x = (1; §
x (( (1 0 1 +(
y' ( 0 + 0 ( 0 +
y +( 0 +(
(2 C (2Đ
CT CT
y đ ng bi n trên (-1; 0); (1; +()ồ ế
y ngh ch bi n trên (-(; -1); (0; 1)ị ế
y đ t c c đ i b ng 0 t i x = 0ạ ự ạ ằ ạ
y đ t c c ti u b ng -2 t i x = (1ạ ự ể ằ ạ
Giao đi m c a đ th v i tr c tung là (0; 0)ể ủ ồ ị ớ ụ
Giao đi m c a đ th v i tr c hoành là (0; 0);ể ủ ồ ị ớ ụ ((§;0)
2. x2(x2 – 2( = m ( 2x2(x2 – 2( = 2m (*)

(*) là ph ng trình hoành đ giao đi m c a (C’) : ươ ộ ể ủ
y = 2x2(x2 – 2( và (d): y = 2m
Ta có (C’) ( (C); n u x ( -§ hay x (§ế
(C’) đđ i x ng v i (C) qua tr c hoành n u -§ < xố ứ ớ ụ ế < §
Theo đ th ta th y ycbt ( 0 < 2m < 2 (ồ ị ấ 0 < m < 1
Câu II.
1. PT:sinx+cosxsin2x+§
2
3
2
AB
BHAH ===
2
2 2
3 3
IH' IH IA AH 3
2 2
 
= = − = − =
 ÷
 ÷
 
( ) ( )
2 2
MI 5 1 1 2 5= − + + =
2
7
2
3
5HIMIMH =−=−=

3 13
MH' MI H'I 5
2 2
= + = + =
13
4
52
4
49
4
3
MHAHMAR
2222
1
==+=+==
43
4
172
4
169
4
3
'MH'H'A'MAR
2222
2
==+=+==
x
lim
→±∞
= +∞

2
22
22
3
3 cos3x 2(cos 4x s i n x)= +
2
x
y
−1
1
0
−
2
(C’)
−2
x
y
−1
1
0
−
2
(C)
§
2. §
y = 0
hệ
vô nghi mệ
y ( 0 hệ
( §

t a =Đặ
§; b = §
( § (§
Ta có h làệ
§ ( §
( § hay § .
V y § hay §ậ
( § hay
§(VN) ( § hay §
Câu III :
§
t u = lnx §Đặ
§ Ch n §ọ
§
V y : §ậ
Câu IV.
BH= §, §; §
goïi CA= x, BA=2x, §
§
§§
Ta có: §
V= §
Câu V :
§
§ d u “=” x y ra khi : §ấ ả
Ta có : §
§
§
t t = x2 + y2 , đk t §≥Đặ
§

V y :ậ
§
3 1 3sin x sin 3x
sin x sin 3x 3 cos3x 2 cos4x
2 2 2
sin 3x 3 cos3x 2 cos4x
1 3
sin 3x cos3x cos4x
2 2
sin sin 3x cos cos3x cos4x
6 6
cos4x cos 3x
6
4x 3x k2 x k2
6 6
2
4x 3x k2 x k
6 42 7
−
⇔ + + = +
⇔ + =
⇔ + =
π π
⇔ + =
π
 
⇔ = −
 ÷
 
π π

 
= − + + π = − + π
 
⇔ ⇔
 
π π π
 
= − + π = +
 
 
{
2 2 2
xy x 1 7y
x y xy 1 13y
+ + =
+ + =
2
2
x 1
x 7
y y
x 1
x 13
y y

+ + =



+ + =




1
x
y
+
x
y
2 2
2
1 x
a x 2
y y
= + +
2 2
2
1
x a 2b
y
+ = −
{
2
a b 7
a b 13
+ =
− =
{
2
a b 7

a a 20 0
+ =
+ − =
{
a 4
b 3
=
=
{
a 5
b 12
= −
=
1
x 4
y
x
3
y

+ =



=



1
x 5

y
x
12
y

+ = −



=



{
2
x 4x 3 0
x 3y
− + =
=
{
2
x 5x 12 0
x 12y
+ + =
=
x 1
1
y
3
=




=


{
x 3
y 1
=
=
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3
3
1
2
1
1
3
2
2
1
3 ln x dx ln x
I dx 3 dx
(x 1) (x 1) (x 1)
dx 3 3
I 3
(x 1) (x 1) 4

ln x
I dx
(x 1)
+
= = +
+ + +
−
= = =
+ +
=
+
∫ ∫ ∫
∫
∫
dx
du
x
⇒ =
2
dx
dv .
(x 1)
=
+
1
v
x 1
−
=
+

3
3 3 3
2
1
1 1 1
ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3
I ln
x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2
= − + = − + − = − +
+ + +
∫ ∫ ∫
3
I (1 ln3) ln 2
4
= + −
2
a
2 1 3
3
3 2 2 4
BH a a
BN
BN
= ⇒ = =
3
'
2
a
B H =
3BC x=

2
2 2 2
2
2
CA
BA BC BN+ = +
2
2
2 2
3
3 4 2
4 2
a x
x x
 
⇔ + = +
 ÷
 
2
2
9
52
a
x⇔ =
3 3
' '
2 2
a
B H BB= =
2 3

2
1 1 3 1 9 3 9
3
3 2 2 12 52 2 208
a a a a
x
 
= =
 ÷
 
3
3 2
2
(x y) 4xy 2
(x y) (x y) 2 0 x y 1
(x y) 4xy 0

+ + ≥

⇒ + + + − ≥ ⇒ + ≥

+ − ≥


2
2 2
(x y) 1
x y
2 2
+

⇒ + ≥ ≥
1
x y
2
= =
2 2 2
2 2
(x y )
x y
4
+
≤
( )
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A 3 x y x y 2(x y ) 1 3 (x y ) x y 2(x y ) 1
 
= + + − + + = + − − + +
 
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
(x y )
3 (x y ) 2(x y ) 1
4
9
(x y ) 2(x y ) 1
4
 
+
≥ + − − + +

 
 
= + − + +
1
2
2
9 1
f (t) t 2t 1, t
4 2
9 1
f '(t) t 2 0 t
2 2
1 9
f (t) f ( )
2 16
= − + ≥
= − > ∀ ≥
⇒ ≥ =
min
9 1
A khi x y
16 2
= = =
C A
B
M
N
H
Câu VIa.
1. Ph ng trình 2 phân giác ((1, (2) : §ươ

§
Ph ng trình hoành đ giao đi m c a d1 và (C)ươ ộ ể ủ : (x – 2)2 + (–
2x)2 = §
25x2 – 20x + 16 = 0 (vô nghi m)ệ
Ph ng trình hoành đ giao đi m c a d2 và (C) : ươ ộ ể ủ
(x – 2)2 + §
§ ( x = §. V y K §ậ
R = d (K, (1) = §
2. TH1 : (P) // CD. Ta có : §
§
TH2 : (P) qua § là trung
đi m CDể
§
Câu VIb.
1.
§
Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4)
= 0
§
B(m;m
– 4)
§
V y §ậ
2.
§
Pt m t ph ng (Q) qua A và // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = 0ặ ẳ
( x – 2y + 2z + 1 = 0. G i ( là đ ng th ng b t k qua Aọ ườ ẳ ấ ỳ
G i H là hình chi u c a B xu ng m t ph ng (Q). Ta có :ọ ế ủ ố ặ ẳ
d(B, () ( BH; d (B, () đ t min ( ( qua A và H.ạ
Pt tham s §ố

T a đ H = BH ( (Q) th a h ph ngọ ộ ỏ ệ ươ
trình :
§ § §
( qua A (-
3; 0;1) và có 1
x y x 7y
2 5 2
− −
= ±
1
2
5(x y) (x 7y)
y 2x :d
5(x y) x 7y
1
5(x y) x 7y
y x : d
2
⇔ − = ± −
= −

− = −


⇔ ⇔


− = − +
=



4
5
2
x 4
2 5
 
=
 ÷
 
2
25x 80x 64 0⇔ − + =
8
5
8 4
;
5 5
 
 ÷
 
2 2
5
AB ( 3; 1;2), CD ( 2;4;0)= − − = −
uuur uuur
(P) có PVT n ( 8; 4; 14) hay n (4;2;7)
(P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 0
4x 2y 7z 15 0
⇒ = − − − =
− + − + − =
⇔ + + − =

r r
I (1;1;1)
Ta có AB ( 3; 1;2), AI (0; 1;0)
(P) có PVT n (2;0;3)
(P) :2(x 1) 3(z 1) 0 2x 3z 5 0
= − − = −
⇒ =
− + − = ⇔ + − =
uuur uur
r
1 4 4
9
AH
2 2
1 36 36
S AH.BC 18 BC 4 2
9
2 AH
2
− − −
= =
= = ⇔ = = =
x y 4
7 1
H : H ;
x y 3
2 2
− =

 

⇒ −

 ÷
+ =
 

2 2
2
2
2
BC 7 1
HB 8 m m 4
4 2 2
7 11
m 2
7
2 2
m 4
7 3
2
m 2
2 2
   
⇒ = = = − + − +
 ÷  ÷
   

= + =

 

⇔ − = ⇔

 ÷
 

= − =


1 1 2 2
11 3 3 5 3 5 11 3
B ; C ; hay B ; C ;
2 2 2 2 2 2 2 2
       
∧ − − ∧
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
P
AB (4; 1;2); n (1; 2;2)= − = −
uuur r
x 1 t
BH: y 1 2t
z 3 2t
= +


= − −


= +


x 1 t, y 1 2t, z 3 2t
x 2y 2z 1 0
= + = − − = +


− + + =

10
t
9
⇒ = −
1 11 7
H ; ;
9 9 9
 
⇒ −
 ÷
 
( )
1
a AH 26;11; 2
9
∆
= = −
uur uuur
VTCP §
Pt (() : §
Câu VII.a. t z = x + yi v i x, y ( R thìĐặ ớ
z – 2 – i = x – 2 + (y – 1)i
(z – (2 + i)(= § và §

( § ( §
( § ( § hay §
V y z = 3 + 4i hay z = 5 ậ
Câu VII.b.
Pt hoành đ giao đi m c a đ th và đ ngộ ể ủ ồ ị ườ
th ng là : § ẳ
( 2x2 – mx – 1 = 0 (*) (vì x = 0 không là
nghi m c a (*))ệ ủ
Vì a.c < 0 nên pt luôn có 2 nghi m phân bi t ( 0ệ ệ
Do đó đ th và đ ng th ng luôn có 2 giao đi m phân bi t A, Bồ ị ườ ẳ ể ệ
AB = 4 ( (xB – xA)2 + [(-xB + m) – (-xA + m)]2 = 16 ( 2(xB – xA)2 = 16
( (xB – xA)2 = 8 ( § ( § ( m = §.
H t.ế
x 3 y 0 z 1
26 11 2
+ − −
= =
−
10
z.z 25=
2 2
2 2
(x 2) (y 1) 10
x y 25

− + − =

+ =

{

2 2
4x 2y 20
x y 25
+ =
+ =
{
2
y 10 2x
x 8x 15 0
= −
− + =
{
x 3
y 4
=
=
{
x 5
y 0
=
=
2
x 1
x m
x
−
− + =
2
m 8
8

4
 
+
=
 ÷
 
2
m 24=
2 6±
Ð THI TUY N SINH I H C KH I D N M 2009Ề Ể ĐẠ Ọ Ố Ă
Môn thi : TOÁN
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINHẦ Ấ Ả
Câu I (2,0 đi m). ể
Cho hàm s y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đ th là (Cm), m là tham s .ố ồ ị ố
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s đã cho khi m = 0.ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2. Tìm m đ đ ng th ng y = -1 c t đ th (Cm) t i 4 đi m phân bi t đ u có hoành đ nh h n 2.ể ườ ẳ ắ ồ ị ạ ể ệ ề ộ ỏ ơ
Câu II (2,0 đi m)ể
1. Gi i ph ng trình §ả ươ
2. Gi i hả ệ
ph ng trình §ươ (x, y ( R)
Câu III (1,0 đi m).ể Tính tích
phân §
Câu IV (1,0 đi m). Cho hình l ng tr đ ngể ă ụ ứ
ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. G i M là trung đi m c a đo nạ ọ ể ủ ạ
th ng A’C’, I là giao đi m c a AM và A’C. Tính theo a th tích kh i t di n IABC và kho ng cách t đi mẳ ể ủ ể ố ứ ệ ả ừ ể
A đ n m t ph ng (IBC).ế ặ ẳ
Câu V (1,0 đi m).Cho các s th c không âm x, y thay đ i và th a mãn x + y = 1. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nhể ố ự ổ ỏ ị ớ ấ ị ỏ
nh t c a bi u th c S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.ấ ủ ể ứ
PH N RIÊNG (3,0 đi m)Ầ ể
Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B)ỉ ượ ộ ầ ầ ặ

A. Theo ch ng trình Chu nươ ẩ
Câu VI.a (2,0 đi m)ể
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung đi m c a c nh AB.ặ ẳ ớ ệ ọ ộ ể ủ ạ
ng trung tuy n và đ ng cao qua đ nh A l n l t có ph ng trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4Đườ ế ườ ỉ ầ ượ ươ
= 0. Vi t ph ng trình đ ng th ng AC.ế ươ ườ ẳ
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho các đi m A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và m t ph ng (P):ớ ệ ọ ộ ể ặ ẳ
x + y + z – 20 = 0. Xác đ nh t a đ đi m D thu c đ ng th ng AB sao cho đ ng th ng CD song songị ọ ộ ể ộ ườ ẳ ườ ẳ
v i m t ph ng (P).ớ ặ ẳ
3 cos5x 2sin 3x cos2x sin x 0− − =
2
2
x(x y 1) 3 0
5
(x y) 1 0
x
+ + − =



+ − + =


3
x
1
dx
I
e 1
=
−

∫
Câu VII.a (1,0 đi m). Trong m t ph ng t a đ Oxy, tìm t p h p đi m bi u di n các s ph c z th a mãn đi uể ặ ẳ ọ ộ ậ ợ ể ể ễ ố ứ ỏ ề
ki n (z – (3 – 4i)(= 2.ệ
B. Theo ch ng trình Nâng caoươ
Câu VI.b (2,0 đi m)ể
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ ngặ ẳ ớ ệ ọ ộ ườ tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = 1. G i I là tâm c a (C). Xácọ ủ
đ nh t a đ đi m M thu c (C) sao cho §= 300.ị ọ ộ ể ộ
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz,ớ ệ ọ ộ
cho đ ng th ng (: § và m t ph ng (P): xườ ẳ ặ ẳ
+ 2y – 3z + 4 = 0. Vi t ph ng trình đ ng th ng d n m trong (P) sao cho d c t và vuông góc v i đ ngế ươ ườ ẳ ằ ắ ớ ườ
th ng (.ẳ
Câu VII.b (1,0 đi m)ể
Tìm các giá tr c a tham s m đ đ ng th ngị ủ ố ể ườ ẳ
y = -2x + m c t đ th hàm s § t i hai đi mắ ồ ị ố ạ ể
phân bi t A, B sao cho trung đi m c a đo nệ ể ủ ạ
th ng AB thu c tr c tung.ẳ ộ ụ
]BÀI GI I G I Ý Ả Ợ
Câu I. 1. m = 0, y = x4 – 2x2 . TX : D = RĐ
y’ = 4x3 – 4x; y’ = 0 ( x = 0 ( x = (1; §
x (( (1 0 1 +(
y' ( 0 + 0 ( 0 +
y +( 0 +(
(1 C (1Đ
CT CT
y đ ng bi n trên (-1; 0); (1; +()ồ ế
y ngh ch bi n trên (-(; -1); (0; 1)ị ế
y đ t c c đ i b ng 0 t i x = 0ạ ự ạ ằ ạ
y đ t c c ti u b ng -1 t i x = (1ạ ự ể ằ ạ
Giao đi m c a đ th v i tr c tung là (0; 0)ể ủ ồ ị ớ ụ
Giao đi m c a đ th v i tr c hoành là (0; 0);ể ủ ồ ị ớ ụ ((§;0)

2. Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (Cm) vàươ ộ ể ủ đ ng th ng y = -1 là ườ ẳ
x4 – (3m + 2)x2 + 3m = -1
( x4 – (3m + 2)x2 + 3m + 1 = 0 ( x = (1 hay x2 = 3m + 1 (*)
ng th ng y = -1 c t (Cm) t i 4 đi m phân bi t có hoành đ nh h n 2 khi và ch khi ph ng trình (*) cóĐườ ẳ ắ ạ ể ệ ộ ỏ ơ ỉ ươ
hai nghi m phân bi t khác (1 và < 2ệ ệ
( § ( §
Câu II. 1) Ph ng trình t ng đ ng :ươ ươ ươ
·
IMO
x 2 y 2 z
1 1 1
+ −
= =
−
2
x x 1
y
x
+ −
=
x
lim
→±∞
= +∞
2
0 3m 1 4
3m 1 1
< + <



+ ≠

1
m 1
3
m 0

− < <



≠

3 cos5x (sin 5x sin x) sin x 0 3cos5x sin 5x 2 sin x− + − = ⇔ − =
−1
x
y
−1
1
0
§
( § ( §
( § hay §
( § hay §
( § hay § (k ( Z).
2) H ph ng trình t ng đ ng :ệ ươ ươ ươ
§ K : x 0≠Đ
t t=x(x + y). H trĐặ ệ ở
thành:

§
V y §ậ
Câu III : §
§
Câu IV.
§
§
H là hình chiếu của I xuống mặt ABC
Ta có §
§
§ (đvtt)
Tam giác A’BC vuông tại B
Nên SA’BC=§
Xét 2 tam
giác A’BC và IBC, Đáy §
Vậy d(A,IBC) §
Câu V. S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) +
25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) +
34xy
= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy
= 16x2y2 – 2xy + 12
t t = x.y, vì x, y ( 0 và x + y = 1 nên 0 ( t ( ¼ Đặ
Khi đó S = 16t2 – 2t + 12
S’ = 32t – 2 ; S’ = 0 ( t = §
S(0) = 12; S(¼) = §; S (§) = §. Vì S liên t c [0; ¼ ] nên :ụ
Max S = § khi x = y = §
Min S = § khi § hay §
PH N RIÊNGẦ
Câu VI.a.
3 1

cos5x sin5x sin x
2 2
− =
sin 5x sin x
3
π
 
− =
 ÷
 
5x x k2
3
π
− = + π
5x x k2
3
π
− = π − + π
6x k2
3
π
= − π
2
4x k2 k2
3 3
π π
= − π − π = − − π
x k
18 3
π π

= −
x k
6 2
π π
= − −
2 2 2
2
2
x(x y 1) 3
x(x y) x 3
5
x (x y) x 5
(x y) 1
x
+ + =

+ + =


⇔
 
+ + =
+ + =



2 2 2
t x 3 t x 3 t x 3 t 1 x 1
t x 5 (t x) 2tx 5 tx 2 x 2 t 2



+ = + = + =  = =
 
 
⇔ ⇔ ⇔ ∨
    
+ = + − = = = =
 





3
x(x y) 1 x(x y) 2 y 1
y
2
x 2 x 1 x 1
x 2

+ = + = =
= −
  

∨ ⇔ ∨
   
= = =
  

=


3 3 3
x x x
3
x
x x
1
1 1 1
1 e e e
I dx dx dx 2 ln e 1
e 1 e 1
− +
= =− + = − + −
− −
∫ ∫ ∫
3 2
2 ln(e 1) ln(e 1) 2 ln(e e 1)= − + − − − = − + + +
2 2 2 2
9 4 5 5AC a a a AC a= − = ⇒ =
2 2 2 2
5 4 2BC a a a BC a= − = ⇒ =
IH AC⊥
/ /
/
1 2 4
2 3 3
IA A M IH a
IH
IC AC AA
= = ⇒ = ⇒ =

3
1 1 1 4 4
2
3 3 2 3 9
IABC ABC
a a
V S IH a a= = × × =
2
1
52 5
2
a a a=
/
/ 2
2 2 2
5
3 3 3
IBC
A BC
IC A C S S a= ⇒ = =
3
2
3 4 3 2 2 5
3
9 5
2 5 5
IABC
IBC
V a a a
S

a
= = = =
1
16
25
2
1
16
191
16
25
2
1
2
191
16
2 3
x
4
2 3
y
4

+
=



−


=


2 3
x
4
2 3
y
4

−
=



+

=


/
A
A
C
I
M
B

H

C
/

1) G i đ ng cao AH : 6x – y – 4 = 0 và đ ng trung tuy n AD : 7x – 2y – 3 = 0ọ ườ ườ ế
A = AH ( AD ( A (1;2)
M là trung đi m AB ( B (3; -2)ể
BC qua B và vng góc v i AH ( BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = 0 ( x + 6y + 9 = 0ớ
D = BC ( AD ( D (0 ;§)
D là trung đi m BC ( C (- 3; - 1)ể
AC qua A (1; 2) có VTCP §
nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0 ( 3x – 4y +
5 = 0
2) AB qua A có VTCP § nên có ph ngươ
trình : §
D ( AB ( D (2 – t; 1 + t; 2t)
§. Vì C ( (P) nên : §
§V y : §ậ
Câu VI.b. 1. (x – 1)2 + y2 = 1. Tâm
I (1; 0); R = 1
Ta có § = 300, (OIM cân t i I ( § = 300 ạ
( OM có h s góc k = § = §ệ ố
+ k = (§ ( pt OM : y=(§ th vào pt (C) ( §ế
( x= 0 (lo i) hay §. V y Mạ ậ
§
Cách khác:
Ta có thể giải bằng hình học phẳng
OI=1, §, do đối xứng ta sẽ có
2 điểm đáp án đối xứng với Ox
H là hình chiếu của M xuống OX.
Tam giác §là nửa tam giác đều

OI=1 => §
Vậy §
2. G i A = ( ( (P) ( A(-3;1;1)ọ
§; §
d đđi qua A và có VTCP
§ nên pt d là :
§
Câu VII.a. G i z = x + yi. Ta có z – (3 – 4i)ọ
= x – 3 + (y + 4)i
V y (z – (3 – 4i)( = 2 ( § ( (x – 3)2 + (yậ
+ 4)2 = 4
Do đđó t p h p bi u di n các s ph c z trong mp Oxy là đ ng tròn tâm I (3; -4) và bán kính R = 2.ậ ợ ể ễ ố ứ ườ
Câu VII.b. pt hồnh đ giao đi m là : § ộ ể (1)
( x2 + x – 1 = x(– 2x + m) (vì x = 0
khơng là nghi m c a (1))ệ ủ
( 3x2 + (1 – m)x – 1 = 0
ph ng trình này có a.c < 0 v i m i m nên có 2 nghi m phân bi t v i m i mươ ớ ọ ệ ệ ớ ọ
Ycbt ( S = x1 + x2 = § = 0 ( m – 1 = 0 ( m = 1.
3
2
−
AC ( 4; 3)= − −
uuur
AB ( 1;1;2)= −
uuur
x 2 t
y 1 t (t )
z 2t
= −



= + ∈


=

¡
CD (1 t; t ; 2t)= −
uuur
(P)
CD //(P) CD n⇔ ⊥
uuur r
1
1(1 t) 1.t 1.2t 0 t
2
⇔ − + + = ⇔ = −
5 1
D ; ; 1
2 2
 
−
 ÷
 
·
IMO
·
MOI
0
tg30±
1

3
±
1
3
x
3
2
2
x
x 2x 0
3
− + =
3
x
2
=
3 3
;
2 2
 
±
 ÷
 
·
·
0
30IOM IMO= =
1
OM H
3 3 3 3 3

,
2 6
3 2 3
OH OM HM= ⇒ = = =
1 2
3 3 3 3
, , ,
2 2 2 2
M M
   
−
 ÷  ÷
   
a (1;1; 1)
∆
= −
uur
( P)
n (1;2; 3)= −
uuur
d ( P)
a a , n ( 1;2;1)
∆
 
= = −
 
uur uur uuur
x 3 y 1 z 1
1 2 1
+ − −

= =
−
2 2
(x 3) (y 4) 2− + + =
2
x x 1
2x m
x
+ −
= − +
b
a
−
O
I
1
M
2
M
H

H t.ế
B GIÁO D C VÀ ÀO T OỘ Ụ Đ Ạ THI TUY N SINH I H C N M 2009ĐỀ Ể ĐẠ Ọ Ă
Môn thi: TOÁN; Kh i: Aố
CHÍNH THÚCĐỀ Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đờ ể ờ ề
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m):Ầ Ấ Ả ể
Câu I (2,0 đi m)ể
Cho hàm s §ố
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ thả ự ế ẽ ồ ị
c a hàm s (1).ủ ố

2. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (1), bi t ti p tuy n đó c t tr c hoành, tr c tung l n l tế ươ ế ế ủ ồ ị ế ế ế ắ ụ ụ ầ ượ
t i hai đi m phân bi t A, B và tam giác OAB cân t i g c to đ O.ạ ể ệ ạ ố ạ ộ
Câu II (2,0 đi m)ể
1. Gi i ph ng trình §ả ươ
2.
2.
Gi i ph ng trình §ả ươ
Câu III (1,0 đi m)ể
Tính tích phân §
Câu IV (1,0 đi m)ể
Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình thang vuông t i A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABCD)ạ ữ ặ ẳ
b ng 600. G i I là trung đi m c a c nh AD. Bi t hai m t ph ng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc v i m tằ ọ ể ủ ạ ế ặ ẳ ớ ặ
ph ng (ABCD), tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a.ẳ ể ố
Câu V (1,0 đi m)ể
Ch ng minh r ng v i m i s th c d ng x, y, z tho mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:ứ ằ ớ ọ ố ự ươ ả
§.
PH N RIÊNG (3,0 đi m):Ầ ể
Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B)ỉ ượ ộ ầ ầ ặ
A. Theo ch ng trình Chu nươ ẩ
Câu VI.a (2,0 đi m)ể
1. Trong m t ph ng v i h to đặ ẳ ớ ệ ạ ộ
Oxy, cho hình ch nh t ABCD cóữ ậ
đi m I(6; 2) là giao đi m c a hai đ ng chéo AC và BD. i m M(1; 5) thu c đ ng th ng AB vàể ể ủ ườ Đ ể ộ ườ ẳ
trung đi m E c a c nh CD thu c đ ng th ng §. Vi t ph ng trình đ ng th ng AB.ể ủ ạ ộ ườ ẳ ế ươ ườ ẳ
2. Trong không gian v iớ
h to đ Oxyz, choệ ạ ộ
m t ph ng § và m t c u §. Ch ng minh r ng m t ph ng (P) c t m t c u (S) theo m t đ ngặ ẳ ặ ầ ứ ằ ặ ẳ ặ ặ ầ ộ ườ
tròn. Xác đ nh to đ tâm và tính bán kính c a đ ng tròn đó.ị ạ ộ ủ ườ
Câu VII.a (1,0 đi m)ể

G i z1 và z2 là hai nghi m ph c c a ph ng trình z2 + 2z + 10 = 0. tính giá tr c a bi u th c A = |z1|3 + |ọ ệ ứ ủ ươ ị ủ ể ứ
z2|3.
B. Theo ch ng trình Nâng caoươ
Câu VI.b (2,0 đi m)ể
1. Trong m t ph ng v i hặ ẳ ớ ệ
( )
x 2
y 1
2x 3
+
=
+
( )
( ) ( )
1 2sin x cos x
3.
1 2sin x 1 sinx
−
=
+ −
( )
3
2 3x 2 3 6 5x 8 0 x R− + − − = ∈
( )
2
3 2
0
I cos x 1 cos x.dx
π
= −

∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
x y x z 3 x y x z y z 5 y z+ + + + + + + ≤ +
:x y 5 0∆ + − =
( )
P : 2x 2y z 4 0− − − =
( )
2 2 2
S : x y z 2x 4y 6z 11 0+ + − − − − =
( )
2 2
C : x y 4x 4y 6 0+ + + + =
: x my 2m 3 0∆ + − + =
∆
to đ Oxy, cho đ ng tròn § và đ ng th ng §, v i m là tham s th c. G i I là tâm c a đ ng trònạ ộ ườ ườ ẳ ớ ố ự ọ ủ ườ
(C). Tìm m đ § c t (C) t i hai đi m phân bi t A và B sao cho di n tích tam giác IAB l n nh t.ể ắ ạ ể ệ ệ ớ ấ
2. Trong không gian
v i h to đ Oxyz,ớ ệ ạ ộ
cho m t ph ng § và hai đ ng th ng §. Xác đ nh to đ đi m M thu c đ ng th ng § sao choặ ẳ ườ ẳ ị ạ ộ ể ộ ườ ẳ
kho ng cách t M đ n đ ng th ng § và kho ng cách t M đ n m t ph ng (P) b ng nhau.ả ừ ế ườ ẳ ă ừ ế ặ ẳ ằ
Câu VII.b (1,0 đi m)ể
Gi i h ph ng trình §.ả ệ ươ
H t ế
ÁP ÁN THI MÔN TOÁNĐ ĐỀ
KH I A N M 2009Ố Ă
Câu I.
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm sả ự ế ẽ ồ ị ố
+ T p xác đ nh:v i m i x §ậ ị ớ ọ
+ y’ = §

+ Ti m c nệ ậ
Vì §nên ti m c n ngang làệ ậ : y = §
Vì § nên ti m c n đ ng làệ ậ ứ : x = - §
B ng bi n thiên:ả ế
V đ th : đ thẽ ồ ị ồ ị
c t Oy t i § vàắ ạ
c t Ox t i (-2; 0)ắ ạ
( )
P : x 2y 2z 1 0− + − =
1 2
x 1 y z 9 x 1 y 3 z 1
: ; :
1 1 6 2 1 2
+ + − − +
∆ = = ∆ = =
−
1
∆
2
∆
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
x xy y
log x y 1 log xy
x, y R
3 81

− +

+ = +

∈

 =

3
2
≠ −
( )
2
1 3
0, x
2
2x 3
−
< ∀ ≠ −
+
x
x 2 1
lim
2x 3 2
→∞
+
=
+
1
2

3 3
x x
2 2
x 2 x 2
lim ; lim
2x 3 2x 3
+ −
   
→− →−
 ÷  ÷
   
+ +
= +∞ = −∞
+ +
3
2
2
0;
3
 
 ÷
 
2. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (1), bi t ti p tuy n đó c t tr c hoành, tr c tung l n l t t iế ươ ế ế ủ ồ ị ế ế ế ắ ụ ụ ầ ượ ạ
hai đi m phân bi t A, B và tam giác OAB cân t i g c to đ O.ể ệ ạ ố ạ ộ
Ta có § nên ph ng trình ti p tuy n t i ươ ế ế ạ
§ (v i §) là:ớ
y - f(§) = f’(§)(x -§)
§
Do đó ti p tuy n c tế ế ắ
Ox t i A(§;0)ạ

và c t Oy t i B(0; §)ắ ạ
Tam giác OAB cân t i O§(v i OA > 0) ạ ớ
§
§
V i § ta có ti p tuy n y = x 2ớ ế ế
2
1
y '
(2x 3)
−
=
+
0
x x=
0
3
x
2
≠ −
0
x
0
x
0
x
2
0 0
2 2
0 0
2x 8x 6

x
y
(2x 3) (2x 3)
+ +
−
= +
+ +
2
0 0
2x 8x 6+ +
2
0 0
2
0
2x 8x 6
(2x 3)
+ +
+
OA OB⇔ =
2
2
0 0
A B 0 0
2
0
2x 8x 6
x y 2x 8x 6
(2x 3)
+ +
⇔ = ⇔ + + =

+
0
2
0 0
0
x 1(L)
(2x 3) 1 2x 3 1
x 2 (TM)
= −

⇔ + = ⇔ + = ± ⇔

= −

0
x 2= −
Câu II.
1.Gi i ph ng trình :ả ươ §
Gi iả :
KX : § Đ Đ
Ph ng trình§ cosx - ươ
2sinxcosx = § (1 – sinx + 2sinx
– 2sin2x)
§cosx – sin2x = §+ §sinx - 2§sin2x
§§sinx + cosx = sin2x + §(1 – 2sin2x)
= sin2x + §cos2x
§-§
§§
§§
§§

§§
K t h p v i đkxđ ta có h nghi m c a pt là:ế ợ ớ ọ ệ ủ
x = §
2. Gi iả
ph ng trình :§ươ
kxđ: § (*)Đ
t §§Đặ
§
§
V y ph ng trình ậ ươ
có t p nghi m là S={-2}ậ ệ
Câu
III.Tính tích phân §.Ta có:
( )
( ) ( )
1 2sin x cos x
3.
1 2sin x 1 sinx
−
=
+ −
5
1
x k2 ; x k2
sinx
6 6
2
sinx 1
x 2l
2

π − π

≠ − + π ≠ + π


≠ −
 
⇔
 
π
 
≠
≠ + π



⇔
3
⇔
333
⇔
3−
3
3
⇔
3 1 1 3
sin x cos x sin 2x cos 2x
2 2 2 2
+ = +
⇔

5 5
sin x.cos cos x.sin sin 2x.cos cos 2x.sin
6 6 3 3
π π π π
+ = +
⇔
5
sin x sin 2x
6 3
π π
   
+ = +
 ÷  ÷
   
⇔
5
x 2x m2
6 3
5
x 2x n2
6 3
π π

+ = + + π


π π

+ = π− − + π



⇔
x m2 x m2
2 2
2
3x n2 x n
6 18 3
π π
 
− = − + π = − π
 
⇔
 
π π π
 
= − + π = − +
 
 
( )
2
n n Z
18 3
π π
− + ∈
( )
3
2 3x 2 3 6 5x 8 0 x R− + − − = ∈
6
6 5x 0 x
5

− ≥ ⇔ ≤
3
3
3 2
2
2u 3v 8
u 3x 2 u 3x 2
(v 0)
5u 3v 8
v 6 5x
v 6 5x

+ =

= − = −

 
≥ ⇒ ⇒
  
+ =
= −
= − 




3 2
8 2u
v
3

5u 3v 8
−

=

⇒


+ =

3 2
15u 64 32u 4u 24 0⇒ + − + − =
3 2
2
2 2
0
15u 4u 32u 40 0
(u 2)(15u 26u 20) 0
u 2
15u 26u 20 0 vô n do ' 13 15.20 0
u 2 x 2 (tm).
⇔ + − + =
⇔ + − + =
= −

⇔

− + = ∆ = − <

⇔ = − ⇒ = −

( )
2
3 2
0
I cos x 1 cos x.dx
π
= −
∫