bài giảng ôn thi cao học môn toán kinh tế - phùng duy quang

ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
1

ThS PHÙNG DUY QUANG (chủ biên)










BÀI GIẢNG ÔN THI CAO HỌC
Môn: TOÁN KINH TẾ

HÀ NỘI, 2011
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
2

Phần 1. Toán cơ sở ứng dụng trong kinh tế

TOÁN CAO CẤP 1
Chuyên đề 1. Ma trận và Định thức

§1. Ma trận và các phép toán
§ 2. Định thức của ma trận vuông cấp n
§ 3. Ma trận nghịch đảo
§ 4. Hạng của ma trận
Chuyên đề 2. Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng
§1. Khái niệm hệ phương trình tuyến tính
§2. Phương pháp giải hệ phương trình
TOÁN CAO CẤP 2
Chuyên đề 3. Giới hạn, liên tục, vi – tích phân hàm một biến số
§1. Giới hạn của dãy số
§ 2. Giới hạn của hàm số
§ 3. Hàm số liên tục
§ 4 Đạo hàm, vi phân và ứng dụng
§5. Tích phân hàm một biến số
Chuyên đề 4. Phép tính vi phân hàm nhiều biến số và ứng dụng
§ 1. Giới hạn và liên tục
§2. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến
§ 3 Cực trị hàm nhiều biến
Chuyên đề 5. Tổng hợp các dạng Toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế

ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
3

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGRAW-HILL
Book Copany, 1984.
2. Lê Đình Thúy (chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê, 2004.
3. Bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB ĐHKTQD, 2008
4. Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp T1, T2. NXB Giáo dục Việt Nam, 2010.
5. Nguyễn Huy Hoàng,Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế T1, T2.
NXB Giáo dục Việt Nam, 2010.
6. Ngô Văn Thứ, Nguyễn Quang Dong, Mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê, 2005.

ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
4

TOÁN CAO CẤP 1
Chuyên đề 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
§1. MA TRẬN
1. Các khái niệm
Cho m, n là các số nguyên dương
Định nghĩa 1. Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột. Một ma trận có m
dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m
×

n. Khi cho một ma trận ta viết bảng số bên
trong dấu ngoặc tròn hoặc ngoặc vuông. Ma trận cấp m
×
n có dạng tổng quát như sau:














mn2m1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
hoặc













mn2m1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa

Viết tắt là A = (a
ij
)
n xn
hoặc A = [a
ij
]
n xn

Ví dụ 1. Cho ma trận







−
=
176
752
A
. A là một ma trận cấp 2 x 3 với
a
11
= 2 ; a
12
= 5 ; a
13
= - 7 ; a
21
= 6 ; a
22
= 7 ; a
23
= 1
Định nghĩa 2.
• Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp và các phần tử ở
vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau.
• Ma trận chuyển vị của A là A
T
: A
T
= [a
ji

]
n xn

• Ma trận đối của ma trận A là ma trận: -A = [- a
ij
]
n x n

Ví dụ 2. Cho ma trận










−
−
=
02
14
31
A
. Xác định A
T
, - A
Ta có







−−
=
013
241
A
T
;










−
−
−
=−
02
14
31

A


ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
5

• Ma trận không cấp m x n là ma trận mà mọi phần tử đểu bằng 0 :
nxm
]0[=θ

• Khi n = 1 người ta gọi ma trận A là ma trận cột, còn khi m = 1 người ta gọi ma trận
A là ma trận dòng.
• Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau và bằng n. Một ma
trận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Khi đó các phần
từ a
11
, a
22
, … , a
nn
gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính, còn các phần tử a
n1
,
n 12
a
−
,
… , a
1n

gọi là các phần tử thuộc đường chéo phụ.
• Ma trận tam giác là ma trận vuông khi có các phần tử nằm về một phía của đường
chéo chính bằng 0.
+) Ma trận A = [a
ij
]
n x n
được gọi là ma trận tam giác trên nếu a
ij
= 0 với i > j:
















=
−−−
−
−

nn
n1n1n1n
n21n222
n11n11211
a0 00
aa 00

aa a0
aa aa
A

+) Ma trận A = [a
ij
]
n x n
được gọi là ma trận tam giác dưới nếu a
ij
= 0 với i < j:

















=
−
−−−−
nn1nn2n1n
1n1n21n11n
2221
11
aa aa
0a aa

00 aa
00 0a
A

Ví dụ 4. Cho một ví dụ về ma trận vuông cấp 3, ma trận tam giác trên, tam giác dưới cấp
3.
Giải:












−
−
=
611
412
521
A
;










−
=
600
410
521
B
;











−=
611
012
001
C

• Ma trận chéo là ma trận vuông cấp n mà có tất cả các phần tử nằm ngoài đường
chéo chính đều bằng 0
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
6

• Ma trận chéo có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính bằng 1 được gọi là ma
trận đơn vị :

















=
10 00
01 00

00 10
00 01
E

• Tập các ma trận cấp m x n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat
m x n
(R)
• Tập các ma trận vuông cấp n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat
n
(R)
Ví dụ 5. Cho ma trận






−
=

176
752
A
và










−
=
2
m7
75
62
B

a) Tìm A
T
và – A
b) Tìm m để A
T
= B
Giải:
a) Ta có











−
=
17
75
62
A
T
và






−−−
−−
=
176
752
A

b)
1m1m
m7
75
62
17
75
62
BA
2
2
T
±=⇔=⇔










−
=











−
⇔=

2. Phép toán trên ma trận
a) Phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với 1 số
Định nghĩa 3. Cho hai ma trận cùng cấp m
×
n:
[
]
[
]
nm
ij
nm
ij
bB;aA
××
=
=

Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m
×
n, kí hiệu A + B và được xác định

như sau:
[
]
nm
iiij
baBA
×
+
=
+

Tích của ma trận A với một số
α
là một ma trận cấp m
×
n, kí hiệu
α
A và được xác
định như sau:
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
7

[
]
nm
ij
a.A
×
α

=
α

Hiệu của A trừ B: A – B = A + (-B)
Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản của phép toán tuyến tính
Tính chất 1. Cho A, B, C là các ma trận bất kì cấp m
×
n,
β
α
;
là các số bất kì ta luôn
có:
1) A + B = B + A
2) (A + B) +C = A + (B + C)
3) A + 0 = A
4) A + (-A) = 0
5) 1.A = A
6)
α
(A + B) =
α
A +
α
B
7) (
α
+
β
)A =

α
A +
β
A
8) (
α
β
)A =
α
(
β
B)
Ví dụ 6. Cho các ma trận






−
=






−
−
=

312
212
B;
110
421
A
. Khi đó






−−−
−−
=






−
−+







−
−
=−
1116
1474
312
212
).3(
110
421
.2B3A2

Ví dụ 7. Cho ma trận






=
35
31
B
. Tìm ma trận C sao cho 3B – 2(B + C) = 2E
Giải:
Phương trình đã cho







−
=






−






=−=⇔
2/12/5
2/32/1
10
01
35
31
.
2
1
EB
2
1

C

b) Phép nhân ma trận với ma trận
Cho hai ma trận :
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
8

A =












mn2m1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
; B =















np2n1n
p22221
p11211
b bb

b bb
b bb

Trong đó, ma trận A có số cột bằng số dòng của ma trận B.
Định nghĩa 4.
Tích của ma trận A với ma trận B là một ma trận cấp m
×
p, kí hiệu là AB và được xác
định như sau: AB =













mn2m1m
n22221
n11211
c cc

c cc
c cc

trong đó
( )
p, ,2,1j;m, ,2,1i;baba babac
n
1k
kjiknjinj22ij11iij
===+++=
∑
=

Chú ý 1.
• Tích AB tồn tại khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước bằng số dòng của ma
trận đứng sau.

• Cỡ của ma trận AB: Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước
và số cột bằng số cột của ma trận đứng sau.
• Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử
ij
c
là tích vô hướng của dòng
thứ i của ma trận đứng trước và cột thứ j của ma trận đứng sau.
Ví dụ 8. Cho hai ma trận






=
13
21
A
và






=
231
410
B
. Tính A.B và B.A

Giải :
Ta có






=






+++
+++
=













=
1461
872
2.14.33.11.31.10.3
2.24.13.21.11.20.1
231
410
.
13
21
B.A

Nhưng số cột của B khác số dòng của A nên không tồn tại tích BA.
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
9

Ví dụ 9. Cho ma trận






−
−
=
023
012
A

;










−
−
=
1203
0112
1321
B
. Tính A.B, BA
Giải:
Ta có






−−
−
=











−
−






−
−
=
3781
1753
1203
0112
1321
.
023
012
B.A

Còn B.A không tồn tại
Các tính chất cơ bản của phép nhân ma trận
Tính chất 2. Giả sử phép nhân các ma trận dưới đây đều thực hiện được.
1) (AB)C = A(BC)
2) A(B+C) = AB+AC; (B+C)D =BD +CD
3)
α
(AB) = (
α
A)B = A(
α
B)
4) AE = A; EB =B
Đặc biệt , với ma trận vuông A: AE = EA = A
5)
( )
T
T T
AB B A
=

Chú ý 2. Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. Nếu
θ
=
B.A
thì chưa chắc
θ
=
A

hoặc
θ
=
B
.
Ví dụ 10. Cho các ma trận






=






=
01
00
B;
00
10
A
.
Khi đó







=






=
10
00
A.B;
00
01
B.A
và
BA
AB
≠

Ví dụ 11. Cho







=






=
10
00
B;
00
01
A
, ta có






=













=
00
00
10
00
.
00
01
B.A



ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
10

c) Luỹ thừa của ma trận vuông: Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta xác định
A
0
= E; A
n
= A
n -1
. A ( n là số nguyên dương)
Ví dụ 12. Cho







=
dc
ba
A
. Chứng minh rằng, ma trận A thoả mãn phương trình
θ=−++− )bcad(X)da(X
2

Giải:
Ta có






−+






+−













=−++−
10
01
).bcad(
dc
ba
).da(
dc
ba
.
dc
ba
E)bcad(A)da(A
2

=
θ=







=






−
−
+






++
++
−






++

++
00
00
bcad0
0bcad
)da(d)da(c
)da(b)da(a
dbcc)da(
b)da(bca
2
2
. (đpcm)
Ví dụ 13. Cho ma trận






=
10
11
A
. Tính A
2
, A
3
, , A
n
(n là số tự nhiên)

Giải:
Ta có






=












=
10
21
10
11
10
11
A
2

;






=












=
10
31
10
11
10
21
A
3
; ; tương tự ta có thể dự

đoán






=
10
n1
A
n
. Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp công thức A
n
.
Định nghĩa 5. Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A = [a
ij
]
m x n
là các phép biến đổi có
dạng
i) đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau:
)cc(dd
jiji
↔↔

ii) nhân một dòng (cột) với một số khác 0:
)kc(kd
ii

iii) nhân một dòng (cột) với một số rồi cộng vào dòng (cột) khác:
)chc(dhd
jiji
+
+

Ví dụ 15. Cho ma trận










−
−
−
=
4211
5212
6421
A
. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau: (1)
nhân dòng 2 với 2
(2) hoán vị dòng 1 cho dòng 2
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội

11

(3) nhân dòng 2 với – 2 cộng vào dòng 3
Định nghĩa 6. Ma trận dạng bậc thang là ma trận có tính chất
i) Các dòng khác không (tức là có một phần tử khác 0) nếu có thì luôn ở trên các dòng
bằng không (tức là hàng có tất cả các phần tử bằng 0).
ii) Ở hai dòng khác 0 kề nhau thì phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng dưới bao giờ cũng ở bên
phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng trên.
Ví dụ 15. Các ma trận sau là ma trận dạng bậc thang












−
−
=
00000
52000
53110
86511
A
;













−
−
−
=
10000
11200
18210
74311
B
;











−
=
000
120
211
C

ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
12

§2. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG
1. Khái niệm định thức
Cho ma trận A =












nn2n1n
n22221

n11211
a aa

a aa
a aa
. Xét phần tử a
ij
của A, bỏ đi dòng i và cột j của A
ta được ma trận vuông cấp n -1, ký hiệu M
ij
: gọi là ma trận con con ứng với phần tử a
ij
.
Ví dụ 1.










=
333231
232221
131211
aaa
aaa

aaa
A
. Tìm các ma trận con ứng với các phần tử của A
Định nghĩa 1. Cho một ma trận A vuông cấp n: A =












nn2n1n
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
.
Định thức của A, ký hiệu det(A) hoặc
A
được định nghĩa như sau:
* Định thức cấp 1: A = [a
11
] thì det(A) = a

11

* Định thức cấp 2:






=
2221
1211
aa
aa
A
thì
21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa
)Adet( −==

Ví dụ 2. Tính định thức
22.614.1
142
61
=−=

Ví dụ 3. Giải phương trình:
0
49
25x
2
=

Giải: Tính định thức ta được: VT = 4x
2
– 25.9
2
15
x
4
9.25
xPT
2
±
=⇔=⇔

* Định thức cấp 3:
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
13

322311332112312213322113312312332211
333231
232221
131211
a.a.aa.a.aa.a.aa.a.aa.a.aa.a.a

aaa
aaa
aaa
Adet −−−++==
Quy tắc Sariut: Đị
nh th
ứ
c c
ấ
p 3 có 6 s
ố
h
ạ
ng, mà m
ỗ
i s
ố
h
ạ
ng là tích c
ủ
a 3 ph
ầ
n t
ử
mà
m
ỗ
i dòng, m
ỗ

i c
ộ
t ch
ỉ
có m
ộ
t
đạ
i bi
ể
u duy nh
ấ
t.
* Các s
ố
h
ạ
ng mang d
ấ
u c
ộ
ng: các s
ố
h
ạ
ng mà các ph
ầ
n t
ử
n

ằ
m trên
đườ
ng chéo chính
ho
ặ
c các ph
ầ
n t
ử
n
ằ
m trên các
đỉ
nh c
ủ
a tam giác có 3
đỉ
nh có m
ộ
t c
ạ
nh song song v
ớ
i
đườ
ng chéo chính.
* Các s
ố
h

ạ
ng mang d
ấ
u tr
ừ
: các s
ố
h
ạ
ng mà các ph
ầ
n t
ử
n
ằ
m trên
đườ
ng chéo ph
ụ
ho
ặ
c
các ph
ầ
n t
ử
n
ằ
m trên các
đỉ

nh c
ủ
a tam giác có 3
đỉ
nh có m
ộ
t c
ạ
nh song song v
ớ
i
đườ
ng
chéo ph
ụ
.
Để
nh
ớ
quy t
ắ
c tính
đị
nh th
ứ
c c
ấ
p 3, ng
ườ
i ta th

ườ
ng dùng “quy t
ắ
c Sarrus”
sau:
• • • • • •

• • • • • •

• • • • • •

T
ừ
quy t
ắ
c Sarrus trên, chúng ta còn m
ộ
t quy t
ắ
c khác
để
tính nhanh
đị
nh th
ứ
c c
ấ
p
3: ghép thêm c
ộ

t th
ứ
nh
ấ
t và c
ộ
t th
ứ
hai vào bên ph
ả
i
đị
nh th
ứ
c ho
ặ
c ghép thêm dòng th
ứ

nh
ấ
t và dòng th
ứ
hai xu
ố
ng bên d
ướ
i
đị
nh th

ứ
c r
ồ
i nhân các ph
ầ
n t
ử
trên các
đườ
ng chéo
nh
ư
quy t
ắ
c th
ể
hi
ệ
n trên hình:





Ví dụ 4.
Tính
đị
nh th
ứ
c

122
102
321
3
−
−
=∆

Giải:
Ta có
=
∆
3
1.0.1 + 2.(-2).1 + 3.2.(-2) – 3.0.2 – 1.(-2).2) – 1.1.(-2) = -10
D
ấ
u + D
ấ
u -
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
a b c a b
a b c a b
a b c a b

D
ấ
u - D

ấ
u +

1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c

D
ấ
u -
D
ấ
u +
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
14

Ví dụ 5
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

0
124
111
1xx
2
=

Giải:
Ta có



=
=
⇔=+−=
2x
1x
02x3x
124
111
1xx
2
2

•
Định thức cấp n (n
3
≥
):
det(A) =

)Mdet()1(a
ij
ji
n
1j
ij
+
=
−
∑
(v
ớ
i i b
ấ
t k
ỳ
)
ho
ặ
c det(A) =
)Mdet()1(a
ij
ji
n
1i
ij
+
=
−
∑

(v
ớ
i j b
ấ
t k
ỳ
)
Ví dụ 6.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
0
1242008
1112009
1xx2010
0002011
2
=

Giải :

Đặ
t
1242008
1112009
1xx2010
0002011
2

4
=∆ . S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c theo dòng 1 ta
có )2x3x.(2011
124
111
1xx
)1.(2011
2
2
11
4
+−=−=∆
+
.



=

=
⇔=+−⇔
2x
1x
02x3xPT
2

2. Tính chất của định thức
A =[a
ij
]
n x n
v
ớ
i
)Adet(
n
=
∆

Dòng i c
ủ
a
đị
nh th
ứ
c
đượ
c g
ọ

i là t
ổ
ng c
ủ
a 2 dòng n
ế
u:
(
)
(
)
(
)
i1 i2 ij in i1 i2 ij in i1 i2 ij in ij ij ij
a a a a b b b b c c c c ;a b c
( j 1,n)
= + = + ∀ =

Dòng i là t
ổ
h
ợ
p h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a các dòng khác n
ế

u
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
15

)n,1j(aa
kj
n
k
1k
kij
=∀α=
∑
≠
=
. Ký hi
ệ
u
∑
≠
=
α=
n
ik
1k
kki
dd
; d
k
= (a

k1
a
k2
a
kn
)
Tính chất 1.
(Tính ch
ấ
t chuy
ể
n v
ị
)

Đị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n vuông b
ằ
ng
đị
nh th
ứ
c c
ủ

a ma tr
ậ
n chuy
ể
n v
ị
c
ủ
a nó: det(A
T
)
= det(A)
Ví dụ 1.
Cho






=
dc
ba
A . CMR det(A
T
) =det(A)
Bạn đọc tự giải
Chú ý 1.
T
ừ

tính ch
ấ
t chuy
ể
n v
ị
, m
ọ
i tính ch
ấ
t c
ủ
a
đị
nh th
ứ
c
đ
úng cho dòng thì c
ũ
ng
đ
úng cho c
ộ
t và ng
ượ
c l
ạ
i. Do
đ

ó, trong các tính ch
ấ
t c
ủ
a
đị
nh th
ứ
c, ch
ỉ
phát bi
ể
u cho các
dòng, các tính ch
ấ
t
đ
ó v
ẫ
n gi
ữ
nguyên giá tr
ị
khi thay ch
ữ
"dòng" b
ằ
ng ch
ữ
"c

ộ
t".
Tính chất 2.
(Tính ph
ả
n x
ứ
ng).

Đổ
i ch
ỗ
hai dòng cho nhau và gi
ữ
nguyên v
ị
trí các dòng còn l
ạ
i thì
đị
nh th
ứ
c
đổ
i d
ấ
u.
Ví dụ 2.
Xét
dc

ba
và
ba
dc

Bạn đọc tự giải
Hệ quả 1.
M
ộ
t
đị
nh th
ứ
c có hai dòng gi
ố
ng nhau thì b
ằ
ng không.
Chứng minh
G
ọ
i
đị
nh th
ứ
c có hai hàng nh
ư
nhau là
n
∆

.
Đổ
i ch
ỗ
hai hàng
đ
ó ta
đượ
c, theo tính ch
ấ
t 2
ta có
n
∆
= -
n
∆
002
nn
=
∆
⇒
=
∆
⇔

Tính chất 3.
(Tính thu
ầ
n nh

ấ
t).

N
ế
u nhân các ph
ầ
n t
ử
m
ộ
t dòng nào
đ
ó v
ớ
i cùng m
ộ
t s
ố

k thì
đượ
c
đị
nh th
ứ
c m
ớ
i b
ằ

ng k l
ầ
n
đị
nh th
ứ
c c
ũ

nn2n1n
in2i1i
n11211
nn2n1n
in2i1i
n11211
a



a

a

a aa

a aa
.k
a

a

a

ka kaka

a aa
=

Định lý này có thể phát biểu:
N
ế
u m
ộ
t
đị
nh th
ứ
c có m
ộ
t dòng có nhân t
ử
chung thì
đư
a
nhân t
ử
chung ra ngoài d
ấ

u
đị
nh th
ứ
c
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
16

Hệ quả 2.
M
ộ
t
đị
nh th
ứ
c có hai dòng t
ỉ
l
ệ
v
ớ
i nhau thì b
ằ
ng không.
Chứng minh
: Th
ậ
t v
ậ

y, n
ế
u
đư
a h
ệ
s
ố
t
ỷ
l
ệ
ra ngoài d
ấ
u
đị
nh th
ứ
c thì
đượ
c m
ộ
t
đị
nh th
ứ
c
có hai dòng gi
ố
ng nhau nên nó b

ằ
ng không.
Ví dụ 2.19.
Ch
ứ
ng minh
đị
nh th
ứ
c sau chia h
ế
t cho 17:
91176
4112
204356817
76212
4
−
−−
−
=∆

Giải:
Ta có
D.17
91176
4112
12241
76212
.17

91176
4112
)12.(172.17)4.(171.17
76212
4
=
−
−−
−
=
−
−−
−
=∆
.
Vì D là
đị
nh th
ứ
c t
ạ
o b
ở
i các s
ố
nguyên nên D c
ũ
ng là s
ố
nguyên. Do

đ
ó
17
4
M
∆

Tính chất 3.
(Tính c
ộ
ng tính).

N
ế
u
đị
nh th
ứ
c có m
ộ
t dòng là t
ổ
ng hai dòng thì
đị
nh th
ứ
c
b
ằ
ng t

ổ
ng c
ủ
a hai
đị
nh th
ứ
c.
11 12 1n 11 12 1n 11 12 1n
i1 i1 i2 i2 in in i1 i2 in i1 i2 in
n1 n2 nn n1 n 2 nn n1 n2 nn
a a a a a a a a a
b c b c b c b b b c c c
a a a a a a a a a
= +
+ + +
L L L
L L L L L L L L L L L L
L L L
L L L L L L L L L L L L
L L L

Hệ quả 3.
N
ế
u
đị
nh th
ứ
c có m

ộ
t dòng là t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a các dòng khác thì
đị
nh
th
ứ
c
ấ
y b
ằ
ng không.
Đ
ó là h
ệ
qu
ả
c
ủ
a tính ch
ấ
t c
ộ

ng tính và tính thu
ầ
n nh
ấ
t.
Hệ quả 4.
N
ế
u c
ộ
ng vào m
ộ
t dòng m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a các dòng khác thì
đị
nh th
ứ
c
không
đổ
i.

Từ các tính chất của định thức, ta thường sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
trong quá trình tính định thức cấp n:
*
Đổ
i ch
ỗ
2 dòng (c
ộ
t) cho nhau:
)cc(dd
jiji
↔↔
, phép bi
ế
n
đổ
i này
đị
nh th
ứ
c
đổ
i d
ấ
u
* Nhân m
ộ
t dòng (c
ộ
t) v

ớ
i m
ộ
t s
ố
khác 0:
)kc(kd
ii
, phép bi
ế
n
đổ
i này
đị
nh th
ứ
c t
ă
ng lên
k l
ầ
n.
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
17

* Nhân m
ộ
t dòng (c
ộ

t) v
ớ
i m
ộ
t s
ố
c
ộ
ng vào dòng (c
ộ
t) khác:
)chc(dhd
jiji
+
+
, phép bi
ế
n
đổ
i này không làm thay
đổ
i giá tr
ị
c
ủ
a
đị
nh th
ứ
c.

Ví dụ 4.
Tính
đị
nh th
ứ
c
y'ccxy'bbxy'aax
'c'b'a
cba
3
+++
=∆


Giải:
Nhân dòng 1 v
ớ
i (-x), dòng 2 v
ớ
i (-y) c
ộ
ng vào dòng 3 ta
đượ
c:
0
000
'c'b'a
cba
321

dydxd
3
==∆
+−−

Ví dụ 5.
Tính
đị
nh th
ứ
c
2222
2222
2222
2222
4
)3d()3c()3b()3a(
)2d()2c()2b()2a(
)1d()1c()1b()1a(
dcba
++++
++++
++++
=∆

Giải:

Nhân dòng 1 v
ớ
i (-1), r

ồ
i c
ộ
ng l
ầ
n l
ượ
t vào dòng 2, dòng 3, dòng 4
đượ
c:
9d69c69b69a6
4d44c44b44a4
1d21c21b21a2
dcba
2222
dd
4,3,2i
4
i1
++++
++++
++++
=∆
+−
=

Sau
đ
ó nhân dòng 2 v
ớ

i (- 2) c
ộ
ng vào dòng 3, nhân dòng 2 v
ớ
i (-3) c
ộ
ng vào dòng 4
đượ
c:
6666
2222
1d21c21b21a2
dcba
2222
dd2
dd3
4
32
42
++++
=∆
+−
+−
= 0 (vì có 2 dòng t
ỷ
l
ệ
nhau)
Ví dụ 6.
Tính

đị
nh th
ứ
c
1
2
ac
2
cb
2
ba
1bac
1acb
1cba
4
+++
=∆

Giải:
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
18

C
ộ
ng các c
ộ
t vào c
ộ
t 1 ta

đượ
c:
1
2
ac
2
cb
1cba
1ba1cba
1ac1cba
1cb1cba
4
++
+++
+++
+++
+++
=∆

Đặ
t nhân t
ử
chung c
ủ
a c
ộ
t 1 ra ngoài:
0
1
2

ac
2
cb
1
1ba1
1ac1
1cb1
).1cba(
4
=
++
+++=∆

3.Các phương pháp tính định thức
Cho
đị
nh th
ứ
c c
ấ
p n:
nmnj1n
inij1i
n1j111
n
a a a

a a a

a a a

=∆

a) Sử dụng định nghĩa bằng công thức khai triển:
•

Ph
ầ
n bù
đạ
i s
ố
c
ủ
a
ij
a

Xóa
đ
i dòng th
ứ
i và c
ộ
t th
ứ
j (dòng và c
ộ
t ch
ứ
a ph

ầ
n t
ử

ij
a
) c
ủ
a A ta
đượ
c m
ộ
t ma
tr
ậ
n con (n - 1), kí hi
ệ
u là
ij
M
.
Đị
nh th
ứ
c c
ủ
a
ij
M

đượ
c g
ọ
i là
đị
nh th
ứ
c con c
ấ
p n -1
t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i ph
ầ
n t
ử
a
ij
c
ủ
a A và
)Mdet()1(A
ij
ji
ij
+

−=

đượ
c g
ọ
i là ph
ầ
n bù
đạ
i s
ố
c
ủ
a
ph
ầ
n t
ử

ij
a
c
ủ
a
đị
nh th
ứ
c d. Cho
đị
nh th

ứ
c c
ấ
p n là
n
∆
. Khi
đ
ó
n
∆
có th
ể
tính theo hai
cách sau:
i)

Công th
ứ
c khai tri
ể
n theo dòng th
ứ
i :
∑∑
==
+
=−=∆
n
1j

ijij
n
1j
ij
ji
ijn
Aa)Mdet(.)1(a
(1)
ii)

Công th
ứ
c khai tri
ể
n theo c
ộ
t th
ứ
j:
ThS Phùng Duy Quang
Tr
ưở
ng Khoa C
ơ
b
ả
n – Tr
ườ
ng
Đạ

i h
ọ
c Ngo
ạ
i Th
ươ
ng Hà n
ộ
i
19

∑∑
==
+
=−=∆
n
1i
ijij
n
1i
ij
ji
ijn
Aa)Mdet(.)1(a
(2)
Hệ quả.

Đố
i v
ớ

i
đị
nh th
ứ
c c
ấ
p n là
n
∆
, ta có
i)



≠
=∆
=
∑
=
kikhi0
kikhi
Aa
n
n
1j
kjij
(3)
ii)




≠
=∆
=
∑
=
kjkhi0
kjkhi
Aa
n
n
1i
ikij
(4)
Nhận xét:
M
ụ
c
đ
ích c
ủ
a công th
ứ
c (1) ho
ặ
c (2) là chuy
ể
n vi
ệ
c tính

đị
nh th
ứ
c c
ấ
p n v
ề

tính
đị
nh th
ứ
c c
ấ
p n -1, r
ồ
i t
ừ
c
ấ
p n -1 chuy
ế
n v
ề
c
ấ
p n -2, …, cho
đế
n
đị

nh th
ứ
c c
ấ
p 3, 2.
Khi áp d
ụ
ng công th
ứ
c (1) ho
ặ
c (2), ta nên ch
ọ
n dòng ho
ặ
c c
ộ
t có ch
ứ
a nhi
ề
u ph
ầ
n t
ử
0
nh
ấ
t
để

khai tri
ể
n. N
ế
u không có dòng ho
ặ
c c
ộ
t nh
ư
v
ậ
y ta bi
ế
n
đổ
i
đị
nh th
ứ
c
đư
a v
ề

đị
nh
th
ứ
c m

ớ
i b
ằ
ng
đị
nh th
ứ
c ban
đầ
u nh
ư
ng có dòng ho
ặ
c c
ộ
t nh
ư
v
ậ
y.
Ví dụ 1.
Tính
đị
nh th
ứ
c a)
054
213
112
3

−=∆
b)
421
213
121
3
−
−
=∆

Giải:
a) Khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c theo dòng 3 ta có:
75120
23
12
.)1.(5
21
11
.)1.(4
2313
3
=−=+−+
−
−=∆

++

b) Khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c theo c
ộ
t 1 ta có:

355300
21
12
.)1)(1(
42
12
.)1.(3
42
21
.)1.(1
131211
3
−=−−=
−
−−+
−
−+−=∆
+++

Ví dụ 2.
Tính
đị
nh th
ứ
c a)
1253
3142
3131
5011
4
−
−−−
−
=∆
b)
11432
4100
3010
2001
4
−
=∆

Giải:
a) Nhân c
ộ
t 1 v
ớ

i (-1) c
ộ
ng vào c
ộ
t 2, nhân c
ộ
t 1 v
ớ
i (-5) c
ộ
ng vào c
ộ
t 4; r
ồ
i khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c theo c
ộ
t 1, ta
đượ
c
ThS Phùng Duy Quang
Tr
ưở
ng Khoa C
ơ

b
ả
n – Tr
ườ
ng
Đạ
i h
ọ
c Ngo
ạ
i Th
ươ
ng Hà n
ộ
i
20

1428
1316
814
1428
1316
814
.)1.(1
14283
13162
8141
0001
11
cc

cc5
4
21
41
−−
−−−=
−−
−−−−=
−−
−−−
−
=∆
+
+−
+−

C
ộ
ng dòng 1 vào dòng 2, nhân dòng 1 v
ớ
i (-2) c
ộ
ng vào dòng 2, r
ồ
i khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ

c
theo c
ộ
t 2 ta
đượ
c:
20
3016
52
.)1.(1
30016
502
814
21
dd
dd2
4
21
31
=
−−
−−
−=
−−
−−=∆
+
+
+−

b) Nhân c

ộ
t (-2) v
ớ
i c
ộ
t 1 r
ồ
i c
ộ
ng v
ớ
i c
ộ
t 4
9432
4100
5010
0001
4
−
=∆

Khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c theo dòng 1 ta
đượ

c

943
410
501
943
410
501
.)1.(1
9432
4100
5010
0001
11
4
−
=
−
−=
−
=∆
+

Nhân c
ộ
t 1 v
ớ
i 5 c
ộ
ng vào c

ộ
t 3, khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c theo dòng 1 ta
đượ
c
81624
244
41
.)1.(1
2443
410
001
11
4
=−=−==∆
+

Ví dụ 3.
Tính
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr

ậ
n tam giác trên và tam giác d
ướ
i
a)
nn
n1n1n1n
n21n222
n11n11211
n
a0 00
aa 00

aa a0
aa aa
−−−
−
−
=∆
b)
nn1nn2n1n
1n1n21n11n
2221
11
n
aa aa
0a aa

00 aa
00 0a

−
−−−−
=∆

Giải:
ThS Phùng Duy Quang
Tr
ưở
ng Khoa C
ơ
b
ả
n – Tr
ườ
ng
Đạ
i h
ọ
c Ngo
ạ
i Th
ươ
ng Hà n
ộ
i
21

Ta ch
ỉ
c

ầ
n xét ý a) L
ầ
n l
ượ
t khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c theo c
ộ
t 1 :
nn2211
nn
n1n1n1n
n21n222
11
11
nn
n1n1n1n
n21n222
n11n11211
n
a a.a
a0 0
aa 0

aa a

.)1.(a
a0 00
aa 00

aa a0
aa aa
==−==∆
−−−
−
+
−−−
−
−

T
ươ
ng t
ự
, ta có
nn2211
nn1nn2n1n
1n1n21n11n
2221
11
n
a aa
aa aa
0a aa

00 aa

00 0a
==∆
−
−−−−

b) Phương pháp biến đổi về dạng tam giác:
Dùng các tính ch
ấ
t c
ủ
a
đị
nh th
ứ
c
để
bi
ế
n
đổ
i
đị
nh th
ứ
c
đư
a
đị
nh th
ứ

c v
ề

đị
nh th
ứ
c c
ủ
a
ma tr
ậ
n tam giác trên ho
ặ
c d
ướ
i, sau
đ
ó áp d
ụ
ng công th
ứ
c:
nn332211
nn
n222
n11211
a a.a.a
a 00

a a0

a aa
=
ho
ặ
c
nn2211
nn2n1n
2221
11
a aa
a aa

0 aa
0 0a
=

Ví dụ 1.
Tính các
đị
nh th
ứ
c
a)
04321
50321
54021
54301
54321
5
−−−−

−−−
−−
−
=∆
b)
44321
43321
43221
43211
4321
4
baaaa1
abaaa1
aabaa1
aaaba1
aaaa1
+
+
+
+
=∆

Bạn đọc tự giải





ThS Phùng Duy Quang
Tr

ưở
ng Khoa C
ơ
b
ả
n – Tr
ườ
ng
Đạ
i h
ọ
c Ngo
ạ
i Th
ươ
ng Hà n
ộ
i
22

Ví dụ 2.
Tính
đị
nh th
ứ
c
a)
0xxxx1
x0xxx1
xx0xx1

xxx0x1
xxxx01
111110
6
=∆
b)
axxxxx
xaxxxx
xxaxxx
xxxaxx
xxxxax
xxxxxa
6
=∆

Giải:
a)

•

N
ế
u x = 0, khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c theo dòng 1, suy ra
0

6
=
∆

•

N
ế
u x
≠
0, nhân c
ộ
t 1, dòng 1 v
ớ
i x, r
ồ
i c
ộ
ng các dòng vào dòng 1và
đặ
t nhân t
ử

chung (n -1) ra ngoài ta
đượ
c:
0xxxxx
x0xxxx
xx0xxx
xxx0xx

xxxx0x
xxxxxx
.
x
5
0xxxxx
x0xxxx
xx0xxx
xxx0xx
xxxx0x
xxxxx0
.
x
1
22
6
==∆

Nhân dòng 1 v
ớ
i (-1) r
ồ
i c
ộ
ng vào các dòng khác ta
đượ
c:
35
22
6

x5)x(x.
x
5
x00000
0x0000
00x000
000x00
0000x0
xxxxxx
.
x
5
−=−=
−
−
−
−
−
=∆

b) C
ộ
ng các c
ộ
t vào c
ộ
t 1, r
ồ
i
đặ

t nhân t
ử
chung ra ngoài d
ấ
u
đị
nh th
ứ
c ta
đượ
c
[ ]
ax xx1
xa xx1

xx ax1
xx xa1
xx xx1
.x5a
ax xxx5a
xa xxx5a

xx axx5a
xx xax5a
xx xxx5a
6
+=
+
+
+

+
+
=∆

ThS Phùng Duy Quang
Tr
ưở
ng Khoa C
ơ
b
ả
n – Tr
ườ
ng
Đạ
i h
ọ
c Ngo
ạ
i Th
ươ
ng Hà n
ộ
i
23

Nhân dòng 1 v
ớ
i (-1) và c
ộ

ng vào các dòng 2, dòng 3, … , dòng n ta
đượ
c
[ ] [ ]
6
n
)xa.(x5a
xa0 000
0xa 000

00 xa00
00 0xa0
xx xx1
.x5a −+=
−
−
−
−
+=∆

ThS Phùng Duy Quang
Tr
ưở
ng Khoa C
ơ
b
ả
n – Tr
ườ
ng

Đạ
i h
ọ
c Ngo
ạ
i Th
ươ
ng Hà n
ộ
i
24

§3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO CỦA MA TRẬN VUÔNG

Trong ph
ầ
n này chúng ta xem xét khái ni
ệ
m ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a ma tr
ậ
n vuông
c

ấ
p n,
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t
ạ
i và cách tìm ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o
1. Định thức của tích hai ma trận vuông
Cho hai ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n : A = [a
ij
]
n x n
; B = [b
ij
]

n x n

Định lý 1. Đị
nh th
ứ
c c
ủ
a tích hai ma tr
ậ
n vuông b
ằ
ng tích các
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n
thành ph
ầ
n: det(AB)= det(A)det(B)
Ví dụ 1.
Cho A, B là ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p 3 có det(A) = 2, det(B) = -2. Tính det(AB),
det(A

2
B); det(2AB).
Bạn đọc tự giải
2. Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Định nghĩa 1.
Cho A là ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n và E là ma tr
ậ
n
đơ
n v
ị
c
ấ
p n. N
ế
u có ma
tr
ậ
n vuông B c
ấ
p n sao cho
A.B = B.A = E
thì ta nói ma tr
ậ
n A là kh
ả

ngh
ị
ch và B
đượ
c g
ọ
i là ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a ma tr
ậ
n A
(hay A có ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o là B), và ký hi
ệ
u A
-1
= B.
Ví dụ 2.
a) Ma tr

ậ
n A =






40
01
là kh
ả
ngh
ị
ch và có ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o là








=

−
4
1
0
01
A
1
.
Vì ta có






=















=














10
01
40
01
.
4
1
0
01
4
1
0
01
.
40

01
.
b) Ma tr
ậ
n






=θ
00
00
không kh
ả
ngh
ị
ch vì m
ọ
i ma tr
ậ
n vuông B c
ấ
p 2
đề
u có
E.BB.
≠
θ

=
θ
=
θ
.
Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo
Định lý 2.
Ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o A
-1
c
ủ
a ma tr
ậ
n vuông A n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i thì duy nh
ấ
t
3. Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo
Định lý 3.

Ma tr
ậ
n vuông A kh
ả
ngh
ị
ch khi và ch
ỉ
khi det(A)
≠
0.
ThS Phùng Duy Quang
Tr
ưở
ng Khoa C
ơ
b
ả
n – Tr
ườ
ng
Đạ
i h
ọ
c Ngo
ạ
i Th
ươ
ng Hà n
ộ

i
25

và A
-1
=
1
det(A)
.
A
=
1
det(A)
.
11 21 n1
12 22 n2
1n 2n nn
A A A
A A A
A A A
 
 
 
 
 
 
L
L
M M O M
L

Ví dụ 3.
Tìm A
-1
c
ủ
a










−
−
=






=
100
410
121

B;
62
31
A

Bạn đọc tự giải
T
ừ
khái ni
ệ
m và
đ
i
ề
u ki
ệ
n kh
ả
ngh
ị
ch c
ủ
a ma tr
ậ
n, ta có m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ

t sau:
Định lý 4.
Gi
ả
s
ử
A, B là các ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n.
i) N
ế
u A kh
ả
ngh
ị
ch thì A
-1
, A
T
, kA (k
≠
0), A
m
(m nguyên d
ươ
ng) c
ũ
ng kh

ả
ngh
ị
ch và
(A
-1
)
-1
= A ; (A
T
)
-1
= (A
-1
)
T
;
11
A
k
1
)kA(
−−
=
; (A
m
)
- 1
= (A
-1

)
m

ii) N
ế
u A, B kh
ả
ngh
ị
ch thì AB c
ũ
ng kh
ả
ngh
ị
ch và (AB)
-1
= B
-1
A
-1

iii) N
ế
u A kh
ả
ngh
ị
ch thì các ph
ươ

ng trình A.X = C, X.A = C có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
CAXCX.A
1−
=⇔=

1
A.CXCXA
−
=⇔=

Ví dụ 4.
Tìm (A
2
)
-1
v
ớ
i






=
62

31
A

B
ạ
n
đọ
c t
ự
gi
ả
i
4. Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
a) Phương pháp định thức
D
ự
a vào
đị
nh lý 2.12, ta có các b
ướ
c tìm ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a ma tr
ậ

n A = [a
ij
]
n×n
nh
ư

sau:
Bước 1:
Tính det(A)
N
ế
u det(A) = 0 thì A không kh
ả
ngh
ị
ch.
N
ế
u det(A)
≠
0 thì A có ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o.
Bước 2:
Tìm

ma trận phụ hợp
c
ủ
a

A: