phương trình vi phân toán cao cấp

Bài tập Giải tích 2 – Tổ Bộ môn Toán – Lý, Khoa Vật Lý – ðHSP TpHCM
Bài tập
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CÂU HỎI ÔN TẬP LÝ THUYẾT:
1. Phát biểu ñịnh lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân cấp 1
2. Ý nghĩa hình học của ptvp cấp 1.
3. Dạng của ptvp biến số phân ly. Chỉ rõ phương pháp tích phân phương trình ñó?
4. Dạng của ptvp ñẳng cấp và cách giải nó.
5. Ptvp cấp 1 như thế nào ñược gọi là ptvp tuyến tính? Cách giải?
6. Dạng của ptvp toàn phần. Thế nào là thừa số tích phân. Cách giải phương trình vi
phân toàn phần.
7. Dạng của ptvp tuyến tính cấp 2 ñẳng cấp và không ñẳng cấp?
8. Nghiệm tổng quát của pttt cấp 2, hệ số hằng, không có vế phải?
9. Nghiệm tổng quát của pttt cấp 2, hệ số hằng, không có vế phải có dạng như thế
nào khi phương trình ñặc trưng: Có 2 nghiệm thực khác nhau, có 2 nghiệm thực
bằng nhau, có 2 nghiệm ảo?
10. Quy tắc tìm nghiệm riêng của ptvp cấp 2, hệ số hằng và vế phải có dạng:
f(x) = e
ax
(P
n
(x)cosbx + Q
m
(x) sinbx) – P
n
,Q
m
là các ña thức bậc n và m

BÀI TẬP
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1:
Bài 1:
1. tgxsin
2
ydx + cos
2
x cotgy dy = 0
ð/s: cotg
2
y = tg
2
x + C
2. y – xy’ = a(1 + x
2
y’)
ð/s: y = a +
cx
1 + ax

3. y’ = cos(y – x)
ð/s: cotg
y - x
2
= x + C
4. y’ = 4x + 2y -1
4x + 2y -1 – 2ln( 4x + 2y -1 + 2) = x
+C
5. xdy – ydx = x
2

+ y
2
dx
ð/s: arcsin (y/x) = ln C; y = ± x
6. (2 st – s)dt + tds = 0

ð/s: s/t + ln |t| = C; t = 0
7. xy’ – y = (x+y) ln(
x + y
x
)
ð/s: ln(
x + y
x
) = Cx
8. 2(3xy
2
+ 2x
3
)dx + 3(2x
2
y + y
2
) dy =
0
ð/s: x
4
+ 3x
2
y

2
+ y
3
= C
9. y’ = (tgx).y + cos x
ð/s: y = (½ x + ¼ sin2x + C). (1/cosx)

10. y’ + 2xy =
xe
-x
2

Bài tập Giải tích 2 – Tổ Bộ môn Toán – Lý, Khoa Vật Lý – ðHSP TpHCM
Bài 2:
1. y = (2x + y
3
)y’ ð/s : x = y
3
+ Cy
2

2. (y
3
– x)y’ = y ð/s: xy = ¼ y
4
+ C
3. xy’ + x
2
+ xy – y = 0
ð/s: y = x(Ce

- x
– 1)
4. y = x(y’ – xcosx)
ð/s: y = x(C + sinx)
5. (2x + y)dy = ydx + 4lny dy
ð/s: x = 2lny – y + 1 + Cy
2

6. 3y
2
y’ – ay
3
– x – 1 = 0
ð/s:
7. y’(x
2
y
3
+ xy) = 1
ð/s:
8. (2x – y
2
)y’ + 1 = 0
ð/s: x= Ce
-2y
+ ½ y
2
– ½ y + ¼
9. a(xy’ + 2y) = xyy’
ð/s: y =

2x + C
2Cx - 1

10. x
2
y’ = y(x + y)
ð/s: y =
2x
Cx
2
- 1
; y = 0
11. xy’ = y (1 + lny – lnx), y(1) = e
ð/s: y = xe
x

12. (x – ycosx/y)dx + xcosx/y dy = 0
ð/s: sin(y/x) = - ln|x| + C
13. (x + 1)(y’ + y
2
) = -y
ð/s:
14. x – y/y’ = 2/y
ð/s: y
2
= C(xy – 1); xy = 1
15. (x + y)
2
y’ = 1
ð/s: x +y = tg(y – C)

16. dx/x = (1/y – 2x)dy
ð/s: y(xy – 1) = Cx
17.
y - xy'
x + yy'
= 2
ð/s: ln(x
2
+ y
2
) + arctg(y/x) = 0
18. (1 + y
2
)(e
2x
dx – e
y
dy)–(1 + y)dy = 0
ð/s: ½ e
2x
– e
y
– arctgy – ½ ln(1 + y
2
) = C
19. ye
y
= (y
3
+ 2xe

y
)y’
ð/s: x = y
2
(C – e
-y
) và y = 0
20.
xdx + ydy
x
2
+ y
2

=
xdy - ydx
y
2

ð/s: x
2
+ y
2
= x/y + C



PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 HỆ SỐ HẰNG:
1. 2y’’ – y’ – y = 4xe
2x

2. y’’ – 2y’ + y = xe
x
3. y’’ + y = xsinx 4. y’’ – y = 2e
x
– x
2
5. y’’ – 3y’ + 2y = xcosx 6. 2y’’ + 5y’ = 29xsinx
7. y’’ – 2y’ – 3y = xe
4x
+ x
2
8. y’’ + 4y = 2sìnx – 3cos2x
9.y’’ + 4y’ + 4y = 1 +e
-2x
lnx